用分离变量法解常微分
方程
TTA standardization office【TTA 5AB- TTAK 08- TTA 2C】
用
分离变量法解常微分方程
.
１ 直接可分离变量的微分方程
形如
dx
dy
= ()x f ()y ? 的方程，称为变量分离方程，这里()x f ，()y ?分别是的连续函数.
如果?(y)≠0，我们可将（）改写成
)
(y dy
?= ()x f ()x d , 这样，变量就“分离”开来了.两边积分，得到
通解：?
)(x dy
?=?
dx x f )(+c. 其中，c 表示该常数，?
)(x dy
?，?dx x f )(分别理解为)
(1y ?，()x f 的原函数.常数c 的取值必须保证（）有意义.使()0=y
?的0y y =是方程的解. 例1 求解方程01122=-+-dx y dy x 的通解. 解：(1)变形且分离变量： (2)两边积分：
c x
dx y
dy +-=-?
?
2
2
11 ，
得
c x y +-=arcsin arcsin .
可以验证1±=y 也是原方程的解，若视x 和y 是平等的，则1±=x 也是原方程的解.
我们可以用这个方法来解决中学常见的一些几何问题.
例2 曲线L 上的点),(y x P 处的法线与x 轴的交点为Q ，且线段PQ 被y 轴平分.求曲线L 的方程.
分析:这是一个利用几何条件来建立微分方程的例子.先建立法线PQ 的方程，用大写的),(Y X 表示法线上的动点，用小写的表示曲线L 上的点，法κ为过点),(y x P 的法线的斜率.
解：由题意得
y
'-
=1法κ. 从而法线PQ 的方程为
)(1
x X y y Y -'
-
=-. 又PQ 被y 轴平分，PQ 与y 轴交点M 的坐标为??
?
??2,0y ，代入上式，得
)0(1
2x y y y -'
-=-. 整理后，得
x y y 2-='，
分离变量，解得
x +2
其中c 为任意正数，如图1.
２ 变量可替换的微分方程
种可化为变量分离方程的类型:
齐次方程
形如
??
?
??=x y dx dy ?
的微分方程，称为齐次微分方程.这里)(u ?是u 的连续函数.
对方程做变量变换
x
y
u =， 即ux y =，于是
u dx
du x dx dy +=. 将,代入（），则原方程变为
)(u u dx
du
x
?=+， 整理后，得到
x u
u dx du -=
)(?. 方程（）是一个变量分离方程.可按前面的方法求解，然后代回原来的变量，便得到（）的解.
例3 求微分方程dx
dy
xy dx dy x y =+22的通解. 解：原方程化为
()2
2
y
dx
dy x xy =- ()x y ≠，
即
1-??? ??=x
y x y dx
dy ， 于是，令x y u =
，即xu y =，将dx
du u dx dy +=代入该方程，得 1
2
-=+u u dx du x u ，
整理，即有
1
12-=--=u u u u u dx du x ， 分离变量，得
x
dx du u u =-1 ()0≠u ，
两边积分，得
1ln ln ln c x u u +=-，
将x
y
u =
代回来，得 ()y c c x x y x y 11ln ln =??
?
????=， ∴ x
y
e y c =1，
即
x
y ce y =，其中c 为任意常数.
另, 0=u 即0=y 也是原方程的解，但此解课包含于通解0=c 之中.故,方程的通解为x
y
ce y =.
形如
2
221
11c y b x a c y b x a dx dy ++++= 的方程，这里212121,,,,,c c b b a a 均为常数. 此方程经变量变换可化为变量分离方程.
我们分三种情形来讨论：
()常数k c c b b b a ===2
1
2111的情形. 这时方程化为 有通解
c kx y +=，
其中为任意的常数c .
2
12111c c k b b a a ≠==的情形. 令y b x a u 22+=，这时有 是变量分离方程.
2
1
11b b b a ≠的情形. 如果方程()1.2中21,c c 不全为零，方程右端分子、分母都是y x ,的一次多项式，因
此
0121=++c y b x a ，
0222=++c y b x a . （） 代表Oxy 平面上两条相交直线，设交点()βα,.若令
α-=x X ，
β-=y Y .
则（）化为
011=+Y b X a ，
022=+Y b X a .
从而（）变为
??
? ??=++=X Y Y b X a Y b X a dX dY ?2211. 因此，求解上述变量分离方程，最后代回原变量即可得原方程（）的解.
如果方程（）中021==c c 可不必求解（），直接取变换x
y
u =即可.
上述解题的方法也适用于比方程（）更一般的方程类型
???
? ??++++=222111c y b x a c y b x a f dx dy
. 例4 求解方程
7
663
22-++-=y x y x dx dy （） 解： 解方程组 0322=+-y x , 0766=-+y x ,
得34
,61=-=y x .
于是，令
61
-=X x ,
3
4
+=Y y ,
代入方程（），则有
Y
X Y
X dx dy 6622+-=
. ()1.2 再令X
Y
u =
,即 uX Y =，则()5.2化为 du u
u u
X dX 2211--+=， 两边积分，得
c
u u X ~12ln ln 22+-+-=， 因此
()
1~
2212c e u u X c =±=-+，
代回原变量，得
1222c X XY Y =-+，
即
12
2613461234c x y x y =??? ??+-??? ??-??? ?
?
++??? ??-.
因此，方程（）的通解为
c x y xy x y =--
+-18
47
37222， 其中，c 为任意常数.
通过上述的求解，我们发现以上的方法是非常的准确的，但是对于像例5这种形式的的方程，我们发现还可以用另一种方法——凑微分进行求解.
凑微分 当方程
满足：
21b a -= （）
时，方程会有更简便的求解方法（全微分的知识的运用）.
即：将12b a -=代入方程2
221
11c y b x a c y b x a dx dy ++++=中， 有 即 展开，得
=++dx c ydx b xdx a 111dy c ydy b xdy a 222++ （）
有条件（）可知，
dx b xdy a ydx a xdy a xy d a 12222)(-=+= （）
将（）代入（）中，得
0)222(1212222=--++x c x a y c y b xy a d .
很显然，这是一个全微分方程，从而原方程的通解为
C x c x a y c y b xy a =--++1212222222，其中C 为任意常数.
例5 求解方程
8
5+-+-=y x y x dx dy . 解法一：，令y x u -=.则dy dx du -= 所以，原方程可化为
8
3
+=
u dx du . 这是一个分离变量方程.整理可得
x u u 6162=+.
将y x u -=代入，可得 即，通解为
c y x xy y x =-+-+1610222.其中c 为任意常数.
观察例6可以发现，方程也满足条件，于是用凑微分的方法同样可以求解. 解法二：原方程变形为
dx y x dy y x )5()8(+-=+-.
整理得
058)(=--+-+dx xdx dy ydy ydy xdy .
所以
0)521
821(22=--+-
x x y y xy d . 两边积分，得原方程的通解为x x y y xy 52
1
82122--+-=C ，其中C 为任意常数.
以上的两种方法都是求解微分方程的常用方法,下面再介绍几种比较常见的课分离变量的方程.
形如 ()
c by ax f y
x dx dy ++=--βαβα11
的方程也可以经变量变换化为变量分离方程，这里的
c b a ,,均为常数.
做变量变换
c by ax u ++=βα，
这时有
()u f x b x a dx
dy y b x a dx du ???+??=???+??=----1111ααβαβαβα， 即
()
dx x u f b a du
1-=??+?αβα.
是变量分离方程.而当1==βα时，
()c by ax f dx
dy
++=为其特殊形式. 例7 求解方程y
x xy y x dx ++=3dy . 解：因为
y
x
xy y x dx ++=3dy ， 可以化为
()
1dy 22
++=y x y
x dx .
于是，令
122++=y x u .
则
xu x dx
dy y x dx du 2222+=+=, 将代入可以知道，这是一个分离变量方程. 即
xdx du u =+2
21
. 两边同时积分，得
()121ln c x u +=+.
再将代入，得
()
12222ln c x y x +=++.
所以 整理得，
2
22
2x Ce y x =++，其中C 为任意常数.
其他几种变量能分离的方程类型
形如
()()0=+dy xy xg dx xy yf ,
的方程同样可已经变量替换化为变量分离方程.
将变形为
()()
xy yf xy xg dx dy -= 做变量替换
xy u =. 这时有
2
x udx
xdu dy -=
， 将代入中，得
()()()dx x
du u uf u ug u g 1
=-.
是变量分离方程. 形如
()xy f dx
dy
x =2
， 的方程是变量分离方程.
做变量替换
xy u =，
则
2
x udx
xdu dx dy -=
， 代入原方程，得
()dx x
du u f u 1
1=-.
是变量分离方程. 形如
??
?
??=2x y xf dx dy ， 的方程是变量分离方程.
做变量替换
2x
y u =
， 则，有
xudx du x dy 22+=，
将代入中，得
()dx x
du u u f 1
21=-，
所以，原方程同样是变量可替换方程. 形如
βαby ax dx
dy
+= （其中α、β满足βααβ-=）的方程.
可令1+=αz y ，方程化为齐次方程
???
?????+???
??+=-b x z dx dz α
αα11， 事实上，
()dx
dz
z dx dy α
α1+=， 由于
ααβαβαβααααbz x bz x by x dx
dz
+=+=+=+， 所以
()ααα
αbz ax dx
dz
z +=+1， 即
()???
?????+???
??+=-b x z dx dz α
αα11， 再，设x
z
u =
，可化为变量分离变量. 除此之外，还有一些一般形式，如
()??
?
??+=x y f x x y dx dy ?可以通过变量替换x y u =化为变量分离方程求解；形如()()()()ydx xdy y x N ydy xdx y x M -++,,（其中M 、N 为y x ,齐次函数，次数可以不相同）也可通过变量替换θρθρsin ,cos ==y x 化为变量分离方程求解.变量代换是求解一阶微分方程的一种重要方法，在一阶微分方程的初等解法中具有重要的作用.