一元函数微分与中值定理
类型一：高阶导数问题 1、研究函数
1
0()0
x e x f x x -??≠=?
=??的各次可微性（7P63）
当0x ≠时，归纳假设12
()1()()x n n f x P e x
-
=，再利用导数定义归纳得出0点处
的各阶导数.（马蓉） 2、设5sin ,y x =求()n y （7P64） 积化和差降次后间接求. 3、设arctan ,y x =求()n y （7P64） 隐函数，幂级数
4、设arcsin ,y x =求()(0).n y （7P64）（关倩）
用隐函数形式求导，归纳；利用莱布尼兹求导公式 26、设函数()sin cos22
x f x x =+，则(28)()f π（10P74京6专）
38、设41
x y x =-，求(2001).y （10P204
京13专）
将其化为真分式和多项式之和，再间接求导. 53、设
y x =
，求()(0).n y （10P307
北建88）（曹庆梅）
转化成隐函数形式，利用莱布尼兹公式求高阶导数. 61、设()arctan ,f x x =试导出关系式
2(2)(1)()(1)()2(1)()(1)()0n n n x f x n xf x n n f x +++++++=，并求()(0).n f
（10P342北京防化 92）
利用莱布尼兹公式求高阶导数.（周燕）
65、设1997()tan f x x x =，则(1997)(0)f （10P373北科大 97） 77、已知23()(65)(43)(2)f x x x x =+++，求(5)(0).f （9P24）（范玉琴）
82、已知sin x y e x =，求().n y （9P74）（任玉祥） 归纳（不要用莱布尼兹公式） 类型二：导数的应用 涉及方程的根的问题：
5、若1002
1
n
a a a n ++
+
=+，试判定010
n n a a x a x +++=在(0,1)内必有实根
（7P78）（俞琼） 令21
10()2
1
n n a a f x a x x x n +=++
+
+，利用罗尔定理求证. 14、设函数()f x 在[,)a +∞内二次可微，()0,f x ''≤又()0,()0f a f a '><，证明：
()0f x =在(,)a +∞内存在唯一实根。（7P99）（肖敏）
利用单调性和零点定理证明，（凸函数在其切线下方.） 35、设10()n n f x a x a x a =+
++是是系数多项式，
2n ≥，且某个0(11)k a k n =≤≤-及当i k ≠时，0i a ≠，证明：若()0
f x =有n 个相异的实根，则10.
k k a a -<（10P179京12）
罗尔定理，单调性，极值，反证
41、设常数1,0.a b >>为使方程log b a x x =存在实根，求,a b 应满足的条件 （10P239京15丙）（罗勤）
42、证明方程3243610x x x +-+=在(0,1)内至少有一个实根（10P241广东91）罗尔定理（原函数）或介值定理（求最小值点）. 48、设正整数1n >，证明：方程22112110n n n x a x a x --+++-=至少有两个实
根。（10P270天津04） 广义零点定理.
51、设k 为常数，方程110kx x
-+=在(0,)+∞上恰有一根，求k 的取值范围。
（10P285江苏04专） 84、证明方程21
00!
k
n k x k +==∑
有且仅有一个实根，其中n 为自然数。（9P85）（汪超）
直接利用零点定理，其根的唯一性难以判定（导函数的符号）；引入指数函数作辅助函数.
方程200!
k
n
k x k ==∑无实根。
79、讨论方程34310x x --=的实根个数。（9P67）（向妙峰） 找特定根，由罗尔定理反证
69、若a 是一个正常数，证明方程212
x
x ae x =++
恰有一个实根。（10P415
美国）
83、若()f x 在(,)-∞+∞上可导，且()()0f x f x '+>，试证：()f x 至多只有一个零点。（9P83）（周燕） 利用指数函数构造同解方程. 其他：
13、已知0,a >试证：11
()1||1||f x x x a =+++-的最大值为2.1a a
++（7P95） 分段求最值.
17、设()f x 是可导函数，对于任意实数,s t ，有()(
)()2f s t f s f t s t
+=++，且
(0)1.
f '=求函数()f x 的表达式（10P33京3）
由导数定义，建立方程.（罗勤） 19、若
()
f x 对于一切
u v
≠均有
()()
()()
f u f v f u f v u v
αβ-''=+-，其中
,0,1αβαβ>+
=试求()f x 的表达式（10P44京4）（曹庆梅）
,u v 互换，建立方程组，讨论a β≠
20、设函数()f u 在内可导 ，且(0)0f =，又
1
01(ln )1
x f x x <≤??'=>，求出()f u 的表达式。（10P48京5）
22、设0,y x >>求证：.y
x x y y x >（10P57
京5）
取对数，分情况讨论
23、由直线0,8y x ==及抛物线2y x =围成一个曲边三角形，在曲边上求一点，使去现在该点处的切线与0,8y x ==所围成的三角形面积最大。（10P65京5专）
24、设函数()f x
在上有定义，对任意x ，都有(1)2().f x f x +=且当01x ≤≤时，2()(1).f x x x =-试判断在0x =处，()f x 是否可导（10P67京6） 27、已知函数
()
f x 在
x =的某个邻域内有连续的导数，且
20
sin ()lim(
)2x x f x x x
→+=，试求 (0),(0).f f '（10P82
京7）
33、求数列1
{}n
n -中的最小项。（10P167京11专） 考虑函数1
x
y x -=的最小值（余琼）
34、设()f x 在点0x =可导，且()0
cos 1
lim 11
f x x x e
→-=-，求(0)f '（10P167京12） 36、()y f x =二阶可导，且
(4)(0)dy
y y dx
ββ=->，
若()y f x =的一个拐点0(,3)x ，则β（10P188京13） 45、设函数()0g x '≠ ()cos 0()0
x x x f x x
a x ?-?≠?=??=?
，其中()x ?具有连续二阶导函
数，且(0) 1.?=
（1）确定a 的值，使函数()f x 在0x =处可导，并求()f x '
（2）讨论()f x '在0x =处的连续性。（10P261天津03）
56、研究函数[]y x x =的可导性，如有不可导点，要讨论左右导数是否存在（10P317西安交大89）（范玉琴）
68、假定()f x 是一个连续的实函数，使()f x '在0x ≠时，存在，并且0lim ()
x f x →'也存在。证明：(0)f '存在（10P415美国）
68、假定()f x 是一个连续的实函数，使()f x '在0x ≠时，存在，并且0lim ()
x f x →'也存在。证明：(0)f '存在（10P415美国）
78、已知y =+，求.y '（9P24）
85、设()f x 是7次多项式，若()1f x +能被4(1)x -整除，()1f x -能被4(1)x +整除，求().f x （9P89） 88、设
()f x 在(0,)+∞上有定义，()f x 在1x =处可导且(1) 4.f '=若对所有
120,0x x >>有121221()()().f x x x f x x f x =+试证：()f x 在(0,)+∞上可导，并求()f x 及().f x '（9P193）
89、设n 为自然数，试证：1111
(1)(1)(1)(1).212n n e n n n n
+
+<<+++（9P200） 96、设0p >，证明对正整数n ，有11(1)12.11
p p p p p
n n n p p +++<+++<++（9P265）（关倩）
类型三：中值定理证明等式或不等式 证明等式：
10、设区间(,)I a b =，任给x I ∈，有()0,f x ''=则任给x I ∈，有().f x cx d =+（7P82）
求该二阶微分方程.
15、设函数()f x 在(,)a +∞内有二阶导数，且(1)0,lim ()0,lim ()0.
x x a f a f x f x +
→+∞
→+===求证.在(,)a +∞内至少有一点ξ，满足()0.f ξ''=（10P9京1）（马蓉） 充分利用极限的定义构造罗尔定理
25、设函数()f x 在[0,1]上可导，且(0)0,(1) 1.f f ==证明：存在两点12,[0,1]x x ∈，使得
1211
2.()()
f x f x +=''（10P69京6）
由介值定理找出1().2
f ξ=
28、
考察函数
3
2
40
()2101
x f x x x x x ??-≤<=?--+≤≤??在[4,1]-上是否满足拉格朗日中值定理的条件？若满足，则求出结论中的ξ。（10P119京8） 30、设()f x 在[,]a b 上连续，(,)a b 内可导，0.2
a b π≤<≤证明在(,)a b 内至少
存在两点12,ξξ，使得2
211
sin ()tan ()
.2
cos a b f f ξξξξ+''=
（10P146京10）（陈萍）
37、设()f x 在[0,1]上有二阶导数，且(1)(0)(1)(0)0f f f f ''====，证明：存在(0,1)ξ∈，使得()().f f ξξ'''=（10P190京13）
43、设函数()f x 在[,]a b 上连续，(,)a b 内可导，其中0a >，()0f a =，试证明：在(,)a b 内必有一点ξ，使得()().b f f a
ξ
ξξ-'=（10P245
广东91）
47、设函数()f x 在[0,1]上连续，在(0,1)内可导，且(0)0,(1) 1.f f ==试证明：对于任意给定的正数,a b ，在开区间(0,1)内存在不同的两点,ξη，使得
.()()
a b
a b f f ξη+=+''（10P262天津03）
49、设()f x 在[,]a b 上连续，在(,)a b 内二阶可导，()()0,()0b
a f a f
b f x dx =
==?，
求证：（1）在(,)a b 内至少有一点ξ，使得()()f f ξξ'=；（2）在(,)a b 内至
少有一点,ηηξ≠，使得()().f f ηη''=
（10P278
江苏04）
50、设()f x 在[,]a b 上连续，在(,)a b 内可导，221
(),()()2
b
a
f a a f x dx b a ==-?，
求证：在(,)a b 内至少有一点ξ，使得()() 1.f f ξξξ'=-+（10P285江苏04专） 52、设12n a a a <<<为n 个不同的实数，函数()f x 在1[,]n a a 上有n 阶导数，
并满足
12()()()0
n f a f a f a ==
==，则对每个1[,]n c a a ∈，都相应的存在
1(,)n a a ξ∈满足()12()()
()
()().!
n n c a c a c a f c f n ξ---=
（10P290
浙大82）
58、设函数()f x 在[2,2]-上二阶可导，且|()|1f x ≤，又22(0)[(0)]4f f '+=， 试证：在(2,2)-内至少存在一点ξ，使得()()0.f f ξξ''+=（10P324上海交大 91）
中值定理，辅助函数22F f f '=+。 59、设函数()f x 在[0,)+∞可导，且2
0()1x f x x ≤≤+，证明：存在0ξ>，使
得
2
22
1().(1)f ξξξ-'=+（10P324
北京化工 91）（肖敏）
60、设()f x 在[,]a b 上连续，在(,)a b 内可导，且()()0,f a f b ==求证： （1）存在(,)a b ξ∈，使得()()0f f ξξξ'+=
（2）存在(,)a b η∈，使得()()0.f f ηηη'+=（10P336北京商学 92） 62、若函数(),()f x g x 在[,]a b 上连续，在(,)a b 内可导， ()0g x '≠，证明：
存在(,)a b ξ∈，使得
()()().()()()
f f f a
g g b g ξξξξ'-='-（10P348北京工业 94）
64、设函数()f x 在[0,1]上有二阶导数，且(0)(1)0,f f ==试证：存在(0,1)ξ∈，
使得2()
().1f
f ξξξ
'''=-（10P368北邮 96）
66、设()f x 在[0,)+∞上连续，可导，且lim ()(0)x f x f →+∞
=，证明：存在(0,)c ∈+∞，
使得()0.f c '=（10P373北科大 97） 令1
1,()[()]1x F t f g t t
=
-=- 71、设()f x 在[1,1]-上具有三阶连续导数，且(1)0,(1)1,(0)0,f f f '-===证明：在(1,1)-内至少存在一点ξ，使得() 3.f ξ'''=（10P457 99考研） 72、假设函数(),()f x g x 在[,]a b 上存在二阶导数，并且
()0,()()()()0,g x f a f b g a g b ''≠====
试证：（1）在(,)a b 内()0g x ≠；（2）在(,)a b
内至少存在一点ξ，使得()()
.()()
f f
g g ξξξξ''=''（10P457 95考研）
73、假设函数
()
f x 在[0,1]上连续，在(0,1)内二阶可导，过点
(0,(0)),(1,A f B f 的直线与曲线()y f x =相交于点(,())(01)C c f c c <<。证明：
在(0,1)内至少存在一点ξ，使()0.f ξ''= （10P459 93考研） 86、若()f x 在
[0,1]上连续，在(0,1)内可导，且(0)0,(1) 1.f f ==证明：对任
意给定的一组正数：
12,,,k
m m m ，必存在(0,1)内的
k
个数：
1201k x x x <<<
<<，使得 12
1212.()()()
k
k k m m m m m m f x f x f x +++
=+++'''（9P92）（任玉祥）
81、如果0,a b <<()f x 在[,]a b 上连续，在(,)a b 内可导，试证：在(,)a b 内存
在123,,x x x ，使2212333
2212ln ()()()().24b a f x f x a b x f x x x b a
'''=+=-（9P72） 76、设()y f x =
在(1,1)-内具有二阶连续导数，且()0f x ''≠，试证： （1）对于
(1,1)
-内的任一
x ≠，存在惟一的()(0,1)x θ∈，使得
()(0)(()f x f x f x x θ'=
+成立；（2）01lim ().2x x θ→=（10P463 01考研）
91、设()
f x 在[0,1]上可导且
1
(0)0,|()||()|.2
f f x f x '=≤
试证明：在[0,1]上，()0.f x ≡（9P265）
92、设()f x 在[,]a b 上连续，在(,)a b 内可导，且()()0,()()0.
2
a b f a f b f a f +?>?<试证明：对任意实数k ，在(,)a b 内存在ξ，使得
()
.()
f k f ξξ'=（9P265） 94、设()f x 在[,]a b 上连续，在(,)a b 内二阶可导，试证明：在(,)a b 内存在
c ，使得
2
()()()2()().24
a b b a f a f b f f c +-''+-=（9P265）
证明不等式：
6、证明：若(),()f x g x 都是可微函数，且当x a ≥时，|()|()f x g x ''≤，则当x a ≥时|()()|()()f x f a g x g a -≤-（7P79） 令()()()x g x f x ?=-，()()()x g x f x ψ=+
7、证明不等式
1
1
1
1
1122,(1,1)(1)ln n n n n a a a a a n n a n
++-<<>≥+ 11、设()f x 在[,]a b 上二次可导，且()()0,f a f b ''=
=则存在(,)c a b ∈使得
2
4
|()||()()|.()f c f b f a b a ''≥
--（7P84） 泰勒公式
12、设()f x 在(,)-∞+∞上二次可导，且()(,)
max |()|,0,1,2i i x M f x i ∈-∞+∞=<∞=，证明： 21022.M M M ≤（7P85）
泰勒公式，两次作差，判别式
16、设函数()f x 是一个定义于长度不小于2的闭区间I 上的是函数，
满足：|()|1,|()| 1.f x f x ''≤≤
对于x I ∈，证明：|()|2f x '≤，对于x I ∈，且有函数使得等式成立. （10P12京2） 泰勒展式，运算放缩
18、设()f x 在[,]a b 上不恒为零，其导函数f '连续，并有()()0.f a f b =
=试
证明：存在点
[,]a b ξ∈，使得2
1|()|()()b
a
f f x dx b a ξ'>
-?
（10P35京3）
21、设()f x 在[,]a b 上连续，在(,)a b 内二阶可导，且对|()|1f x ''≥，求证：曲线()y f x =
，a x b ≤≤上，存在三个点,,A B C
使得ABC ?的面积大于等于
3
().16
b a -（10P55京5）
由一定条件下某函数绝对值的已知不等式来过度。
引理：设()g x 在[,]a b 上连续，在(,)a b 内二阶可导，且|()|0g x m ''≥>，又
()()0,g a g b ==则2max |()|().8
a x b
m
g x b a ≤≤≥
- 令()()
()()()()f b f a x x a f a f x b a ?-=
-+--。 31、设
()
f x 在包含原点的某区间(,)a b 内有二阶导数，且
()
lim
1,()0(),x f x f x a x b x
→''=><<证明：().f x x ≥（10P158京10专）
40、设()
f x 在[0,]a 上具有二阶导数，且在(0,)a 内达到最小值，又
|()|([0,])f x M x a ''≤∈，证明：|(0)||()|f f a Ma ''+≤（10P210
京14）
44、设函数
()
f x 在上有界且导数连续，又对任意实数x
有
|()()|1f x f x '+≤，试证明： |()|1f x ≤（10P245
广东91）
57、设函数()f x 在[1,1]-上三次可微，(1)0,(1)1,(0)0.f f f '-===证明至少存在一点(1,1)ξ∈-，使得() 3.f ξ'''≥（10P317北京理工 92）
74、设()f x 在[0,]c 上连续，其导数()f x '在(0,)c 内存在且单调减少，(0)0.f =试应用拉格朗日中值定理证明不等式：
()()()
f a b f a f b +≤+，其中
0.a b a b c ≤≤≤+≤
（10P460 90考研）
75、函数()f x 在[0,1]上具有二阶导数，且满足|()|,|()|f x a f x b ''≤≤，其中,a b 都是非负常数，c 是(0,1)内任意一点。证明：|()|22
b f
c a '≤+（10P463 96
考研）
80、如果
()
f x 在[0,1]上二阶可导，且[0,1]
(0)(1)1,min{()}0.x f f f x ∈===试证：
[0,1]
max{()}8.
x f x ∈''≥（9P71） 87、设()f x 在[,]a b 上二阶可导，且有()()0.f a f b ''==则在(,)a b 内必存在c ，
使得
2
4
|()||()()|.()f c f b f a b a ''≥
--（9P101） 推广：设
()
f x 在
[,]
a b 上存在直到
n
阶导数，且有
()
()
()()0.(1,2,,1)k k
f a f
b k n ===-则在(,)a b 内必存在
c ，使得
1()
2!
|()||()()|.()n n n
n f
c f b f a b a -?≥--
93、若()f x 在[0,2]上可导且|()|1f x '≤，(0)(2) 1.f f ==试证明：2
01() 3.
f x dx ≤≤?（9P265）
95、设()f x 在[0,1]上二阶可导，[0,1](0)(1)0,max () 2.x f f f x ∈===试证明：在(0,1)内存在一点ξ，使得()16.f ξ''≤-（9P265）
类型四：导数或中值定理求极限
8、设函数()f x 在0x x =附近有连续导数，而0(1,23,)n n x n αβ<<=
，当n →∞
时，00,.n n x x αβ→→证明0()()
lim
()n n n n n
f f f x βαβα→∞
-'=-（7P82）
9、设1x ≤<+∞时，有2
10()f x x '<<
，且()f x '连续，试证明极限lim ()n f n →∞
存在
（7P82）
积分构造夹逼准则形式 29、设()f x 有一阶连续导数，且(0)0,(0)1f f '==，则1
ln(1)0
lim[1()].x x f x +→+
（10P143京10）
32、设()f x 具有连续的二阶导数，且130()lim[1]x
x f x x e x
→++
=，
试求(0),(0),(0)f f f '''以及10
()lim[1].x
x f x x
→+
（10P159京10专）
39、若函数()f x 在1x =可导，且(1)1f '=，则
(1)(12sin )2(13tan )
lim
x f x f x f x x
→+++--（10P204
京14）
46、设函数()f x 具有二阶连续导函数，且(0)0,(0)0,(0)0.f f f '''==>在曲线
()y f x =上任意取一点(,())x f x (0)x ≠作曲线的切线，此切线在x 轴上的截距记作μ，求0
()
lim
.()
x xf f x μμ→（10P262天津03） 54、设()f x 满足(1)1f =，且当1x ≥时，有221
()()
f x x f x '=+，试证：lim ()
x f x →+∞存在，且其值小于1.4
π+（10P316重大89）
55、已知lim (),lim ()0.x x f x c f x →∞→∞'''==求证：lim ()0,lim ()0.x x f x f x →∞→∞'''== （10P316重大89）
63、设函数()x ?可导，且满足(0)0?=，又()x ?'单调递减，（1）证明：对
(0,1)
x ∈，有(1)()(0)x x x ???''<<；（2）若(1)0,(1) 1.??'≥≤任取0(0,1)x ∈，令
1(),1,2,
n n x x n ?-==
证明：lim n n x →∞
极限存在，并求之。（10P366同济 96） 67、设()f x 在(1,1)-上具有任意阶导数，而在0x =处的任意阶导数都不为0，又设对01x <<和自然数n ，有泰勒展开式
(1)()1(0)()()(0)(0),01(1)!!
n n n n
f f x f x f f x x x n n θθ--'=++
++<<-
试求0lim .x θ→（10P403苏联） 利用泰勒展式，建立θ的函数
90、设()f x 满足(1)1f =，且当1x ≥时，有221
()()
f x x f x '=+，试证：lim ()
x f x →+∞存在，且其值小于1.4
π+（9P203）
微分中值定理与导数 的应用
第三章微分中值定理与导数的应用 本章内容是上一章的延续，主要是利用导数与微分这一方法来分析和研究函数的性质及其图形和各种形态，这一切的理论基础即为在微分学中占有重要地位的几个微分中值定理。在分析、论证过程中，中值定理有着广泛的应用。 一、教学目标与基本要求 （一）知识 1.记住罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理的条件和结论； 2.记住泰勒公式及其拉格朗日余项的表达式； 3.记住e x,sin(x),cos(x),ln(1+x),1/1+x的N阶麦克劳林公式； 4.知道极限的末定式及其常见的几种类型的求法； 5.知道函数的极值点、驻点的定义以及它们之间的关系； 6.知道曲线的凹凸性与拐点的定义； 7.知道弧微分的定义与弧微分公式； 8.知道光滑曲线、曲率和曲率半径的定义； 9.知道求方程的近似解的基本方法。 （二）领会 1.领会罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理，领会罗尔定理、拉格朗日中值定理的几何意义； 2.领会罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理和泰勒中值定理之间的联系； 3.领会洛必达法则； 4.领会函数的单调性与一阶导数之间的联系； 5.领会函数的极值与一、二阶导数之间的联系； 6.领会函数的极值和最值的定义以及它们之间的区别和联系； 7.领会曲线的凹凸性与二阶导数之间的联系。 （三）运用 1.会用中值定理证明等式和不等式； 2.会用洛必达法则求末定式的极限； 3.会求一些函数的泰勒公式和利用泰勒公式求函数的极限及一些函数的近似值； 4.会用导数求函数的单调区间和极值； 5.会用函数的单调性证明不等式； 6.会用导数判断函数图形的凹凸性和拐点； 7.会求曲线的水平渐近线和铅直渐近线，会描绘函数的图形； 8.会求一些最值应用问题； 9.会求曲率和曲率半径； 10.会用二分法和切线法求一些方程实根的近似值。 （四）分析综合 1.综合运用中值定理、介值定理和函数的单调性等证明方程实根的存在性和惟一性；
微分中值定理 班级： 姓名： 学号：
摘要 微分中值定理是一系列中值定理的总称，是研究函数的有力工具，包括费马中值定理、罗尔定理、拉格朗日定理、柯西定理.以罗尔定理、拉格朗日中值定理和柯西中值定理组成的一组中值定理是一整个微分学的重要理论。它不仅沟通了函数与其导数的关系，而且也是微分学理论应用的桥梁，本文在此基础上，综述了微分中值定理在研究函数性质，讨论一些方程零点（根）的存在性，和对极限的求解问题，以及一些不等式的证明. 罗尔定理 定理1 若函数f 满足下列条件： (1)在闭区间[,]a b 连续； (2)在开区间(,)a b 可导； (3)()()f a f b =， 则在开区间(,)a b 内至少存在一点ξ，使得 ()0f ξ'=. 几何意义： 在每一点都可导的连续曲线上，若端点值相等则在曲线上至少存在一条水平曲线。 （注：在罗尔定理中，三个条件有一个不成立，定理的结论就可能不成立.） 例1 若()x f 在[]b a ,上连续，在()b a ,内可导()0>a ，证明：在()b a ,内方程 ()()[]() ()x f a b a f b f x '222-=-至少存在一个根. 证明：令()()()[]()()x f a b x a f b f x F 222---= 显然()x F 在[]b a ,上连续，在()b a ,内可导，而且 ()()()()b F a f b a b f a F =-=22 根据罗尔定理，至少存在一个ξ，使
()()[]() ()x f a b a f b f '222-=-ξ 至少存在一个根. 例2 求极限： 1 2 20(12) lim (1) x x e x ln x →-++ 解：用22ln )(0)x x x →:(1+有 20 2 12 012 01(12)2lim (1) 1(12)2 lim (12)lim 2(12)lim 2212 x x x x x x x x e x In x e x x e x x e x →→-→- →-++-+=-+=++=== 拉格朗日中值定理 定理2：若函数f 满足如下条件： (1)在闭区间[,]a b 连续； (2)在开区间(,)a b 可导， 则在开区间(,)a b 内至少存在一点ξ，使得 ()() () f b f a f b a ξ-'=- 显然，特别当()()f a f b =时，本定理的结论即为罗尔中值定理的结论．这表明罗尔中值定理是拉格朗日中值定理的一种特殊情形． 拉格朗日中值定理的几何意义是：在满足定理条件的曲线()y f x =上至少存在一点(,())P f ξξ，该曲线在该点处的切线平行于曲线两端点的连线AB ． 此外，拉格朗日公式还有以下几种等价表示形式，供读者在不同场合适用：
1基础知识详解 先回顾一下第一章的几个重要定理 1、0 lim ()()x x x f x A f x A α→∞→=?=+ ，这是极限值与函数值（貌似是邻域）之间的 关系 2、=+()o αββαα?: ，这是两个等价无穷小之间的关系 3、零点定理： 条件：闭区间[a,b]上连续、()()0f a f b < (两个端点值异号) 结论：在开区间(a,b)上存在ζ ，使得()0f ζ= 4、介值定理： 条件：闭区间[a,b]上连续、[()][()]f a A B f b =≠= 结论：对于任意min(,)max(,)A B C A B <<，一定在开区间(a,b)上存在ζ，使得 ()f C ζ=。 5、介值定理的推论： 闭区间上的连续函数一定可以取得最大值M 和最小值m 之间的一切值。 第三章 微分中值定理和导数的应用 1、罗尔定理 条件：闭区间[a,b]连续，开区间(a,b)可导，f(a)=f(b) 结论：在开区间(a,b)上存在ζ ，使得 '()0f ζ= 2、拉格朗日中值定理 条件：闭区间[a,b]连续，开区间(a,b)可导 结论：在开区间(a,b)上存在ζ ，使得()()'()()f b f a f b a ζ-=- 3、柯西中值定理 条件：闭区间[a,b]连续，开区间(a,b)可导，()0,(,)g x x a b ≠∈ 结论：在开区间(a,b)上存在ζ ，使得 ()()'() ()()'() f b f a f g b g a g ζζ-= - 拉格朗日中值定理是柯西中值定理的特殊情况，当g(x)=x 时，柯西中值定理就变成了拉格朗日中值定理。 4、对罗尔定理，拉格朗日定理的理解。 罗尔定理的结论是导数存在0值，一般命题人出题证明存在0值，一般都用罗尔定理。当然也有用第一章的零点定理的。但是两个定理有明显不同和限制，那就是，零点定理两端点相乘小于0，则存在0值。而罗尔定理是两个端点大小相同，
第六章微分中值定理及其应用 微分中值定理(包括罗尔定理、拉格朗日定理、柯西定理、泰勒定理)是沟通导数值与函数值之间的桥梁，是利用导数的局部性质推断函数的整体性质的有力工具。中值定理名称的由来是因为在定理中出现了中值“ξ”，虽然我们对中值“ξ”缺乏定量的了解，但一般来说这并不影响中值定理的广泛应用. 1．教学目的与要求：掌握微分中值定理与函数的Taylor公式并应用于函数性质的研究，熟练应用L＇Hospital法则求不定式极限，熟练应用导数于求解函数的极值问题与函数作图问题. 2．教学重点与难点： 重点是中值定理与函数的Taylor公式，利用导数研究函数的单调性、极值与凸性. 难点是用辅助函数解决有关中值问题，函数的凸性. 3．教学内容： §1 拉格朗日定理和函数的单调性 本节首先介绍拉格朗日定理以及它的预备知识—罗尔定理，并由此来讨论函数的单调性. 一罗尔定理与拉格朗日定理 定理6.1(罗尔(Rolle)中值定理)设f满足 (ⅰ)在[]b a,上连续; (ⅱ)在) a内可导; (b , (ⅲ)) a f= f ) ( (b
则),(b a ∈?ξ使 0)(='ξf (1) 注 (ⅰ)定理6.1中三条件缺一不可. 如: 1o ? ??=<≤=1 010 x x x y , (ⅱ),(ⅲ)满足, (ⅰ)不满足, 结论不成立. 2o x y = , (ⅰ),(ⅲ)满足, (ⅱ)不满足,结论不成立. 3o x y = , (ⅰ), (ⅱ)满足, (ⅲ)不满足,结论不成立. (ⅱ) 定理6.1中条件仅为充分条件. 如:[]1,1 )(2 2-∈?????-∈-∈=x Q R x x Q x x x f , f 不满足(ⅰ), (ⅱ), (ⅲ)中任一条,但0)0(='f . (ⅲ)罗尔定理的几何意义是:在每一点都可导的一段连续 曲线上,若曲线两端点高度相等,则至少存在一条水平切线. 例 1 设f 在R 上可导,证明:若0)(='x f 无实根,则0)(=x f 最多只有一个实根. 证 (反证法,利用Rolle 定理) 例 2 证明勒让德(Legendre)多项式 n n n n n dx x d n x P )1(!21)(2-?= 在)1,1(-内有n 个互不相同的零点. 将Rolle 定理的条件(ⅲ)去掉加以推广,就得到下面应用更为广
第三章 微分中值定理与导数的应用 一、选择题 1、则，且存在，，设 ,1)x (f )x (f )x (f 0)x (f 0)x (f 00000-=+''''='>（ ） 是否为极值点不能断定的极值点 不是 的极小值点是的极大值点 是0000x )D ()x (f x )C ( )x (f x )B ()x (f x )A ( 2、处必有在则处连续且取得极大值，在点函数 x )x (f x x )x (f y 00==（ ） 0)x (f )B ( 0)x ('f )A (00<''= 或不存在 且 0)x (f )D (0)x (f 0)x (f )C (0'00=<''= 3、的凸区间是 x e y x -=（ ） ) , 2( (D) ) , (2 (C) 2) , ( (B) 2) , ( (A)∞+-∞+--∞-∞ 4、在区间 [-1，1] 上满足罗尔定理条件的函数是 （ ） (A)x x sin )x (f = (B)2)1x ()x (f += (C) 3 2 x )x (f = (D)1x )x (f 2+= 5、设f (x) 和g (x) 都在x=a 处取得极大值，F (x)=f (x)g (x)，则F(x)在x=a 处（ ） (A) 必取得极大值 (B)必取得极小值 (C)不取极值 (D)不能确定是否取得极值 6、满足罗尔定理的区间是使函数 )x 1(x y 322-=（ ） (A) [-1,1] (B) [0,1] (C) [-2,2] (D) ] 5 4, 5 3[- 7、x 2 e x y -=的凹区间是（ ） (A))2,(-∞ (B) )2,(--∞ (C) ) 1(∞+， (D) ) 1(∞+-， 8、函数)x (f 在0x x = 处连续，若0x 为)x (f 的极值点，则必有（ ） ． (A)0)(0='x f (B)0)(0≠'x f (C)0)(0='x f 或)(0x f '不存在 (D))(0x f '不存在 9、当a= ( ) 时，处取到极值在 3 x 3sin3x asinx f(x )π=+ =（ ） (A) 1 (B) 2 (C) 3 π (D) 0 10、间是适合罗尔定理条件的区使函数 )x 1(x )x (f 322-=（ ） ] 5 4 , 5 3[)D ( ]2,2[)C ( ]1,1[)B ( ]1,0[)A (--- 11、()，则上的凹弧与凸弧分界点为连续曲线，若 )x (f y )x (f x 00=（ ） 的极值 必定不是的极值点为必定为曲线的驻点 ， 必为曲线的拐点， )x (f x )D ( )x (f x )C ( ))x (f x ( )B ( ))x (f x ( )A (000000 二、填空题 1、__________________e y 82 x 的凸区间是曲线-=． 2、______________ 2 x y x 的极小值点是函数=．
第六章 微分中值定理及其应用 引言 在前一章中,我们引进了导数的概念,详细地讨论了计算导数的方法.这样一来,类似于求已知曲线上点的切线问题已获完美解决.但如果想用导数这一工具去分析、解决复杂一些的问题,那么,只知道怎样计算导数是远远不够的,而要以此为基础,发展更多的工具. 另一方面,我们注意到：（1）函数与其导数是两个不同的的函数;（2）导数只是反映函数在一点的局部特征;（3）我们往往要了解函数在其定义域上的整体性态,因此如何解决这个矛盾？需要在导数及函数间建立起一一联系――搭起一座桥,这个“桥”就是微分中值定理. 本章以中值定理为中心,来讨论导数在研究函数性态（单调性、极值、凹凸性质）方面的应用. §6.1 微分中值定理 教学章节：第六章 微分中值定理及其应用——§6.1微分中值定理 教学目标：掌握微分学中值定理,领会其实质,为微分学的应用打下坚实的理论基础. 教学要求：深刻理解中值定理及其分析意义与几何意义,掌握三个定理的证明方法,知道三者之 间的包含关系. 教学重点：中值定理. 教学难点：定理的证明. 教学方法：系统讲解法. 教学过程： 一、一个几何命题的数学描述 为了了解中值定理的背景,我们可作以下叙述：弧? AB 上有一点P,该处的切线平行与弦AB.如何揭示出这一叙述中所包含的“数量”关系呢？ 联系“形”、“数”的莫过于“解析几何”,故如建立坐标系,则弧? AB 的函数是y=f(x),x ∈[a,b]的图像,点P 的横坐标为x ξ=.如点P 处有切线,则f(x)在点x ξ=处可导,且切线的斜率为()f ξ';另一方面,弦AB 所在的直线斜率为()() f b f a b a --,曲线y=f(x)上点P 的切线平行于弦 AB ?()() ()f b f a f b a ξ-'= -. 撇开上述几何背景,单单观察上述数量关系,可以发现：左边仅涉及函数的导数,右边仅涉及
第三章 微分中值定理与导数应用 第一节 微分中值定理 教学目的：理解并会用罗尔定理、拉格朗日中值定理，了解柯西中值定理和泰勒 中值定理。 教学重点：罗尔定理、拉格朗日中值定理。 教学难点：罗尔定理、拉格朗日中值定理的应用。 教学内容： 一、罗尔定理 1. 罗尔定理 几何意义：对于在],[b a 上每一点都有不垂直于x 轴的切线，且两端点的连线与x 轴平行的不间断的曲线 )(x f 来说，至少存在一点C ，使得其切线平行于x 轴。 从图中可以看出：符合条件的点出现在最大值和最小值点，由此得到启发证明罗尔定理。为应用方便，先介绍费马（Fermat ）引理 费马引理 设函数 )(x f 在点0x 的某邻域)(0x U 内有定义, 并且在0x 处可导, 如果对任 意)(0x U x ∈, 有)()(0x f x f ≤ (或)()(0x f x f ≥), 那么0)(0'=x f . 证明：不妨设)(0x U x ∈时，)()(0x f x f ≤（若)()(0x f x f ≥，可以类似地证明）. 于是对于)(00x U x x ∈?+,有)()(00x f x x f ≤?+, 从而当0>?x 时, 0 ) ()(00≤?-?+x x f x x f ; 而当0
根据函数 )(x f 在0x 处可导及极限的保号性的得 ==+)()(0'0'x f x f 0)()(lim 000≤?-?++ →?x x f x x f x ==-)()(0'0'x f x f 0)()(lim 000≥?-?+- →?x x f x x f x 所以0)(0'=x f , 证毕. 定义 导数等于零的点称为函数的驻点(或稳定点，临界点). 罗尔定理 如果函数)(x f 满足：（1）在闭区间],[b a 上连续, （2）在开区间),(b a 内可导, （3）在区间端点处的函数值相等，即)()(b f a f =, 那么在),(b a 内至少在一点)(b a <<ξξ , 使得函数)(x f 在该点的导数等于零，即 0)('=ξf . 证明：由于)(x f 在],[b a 上连续，因此必有最大值M 和最小值m ，于是有两种可能的情形： （1）m M =，此时)(x f 在],[b a 上必然取相同的数值M ，即.)(M x f = 由此得.0)(='x f 因此，任取),(b a ∈ξ，有.0)(='ξf （2）m M >，由于)()(b f a f =，所以M 和m 至少与一个不等于)(x f 在区间],[b a 端点处 的函数值.不妨设)(a f M ≠(若)(a f m ≠,可类似证明),则必定在),(b a 有一点ξ使M f =)(ξ. 因此任取],[b a x ∈有)()(ξf x f ≤, 从而由费马引理有0)(='ξf . 证毕 例1 验证罗尔定理对32)(2--=x x x f 在区间]3,1[-上的正确性 解 显然 32)(2--=x x x f )1)(3(+-=x x 在]3,1[-上连续，在)3,1(-上可导，且 0)3()1(==-f f , 又)1(2)(-='x x f , 取))3,1(1(,1-∈=ξ,有0)(='ξf . 说明：1 若罗尔定理的三个条件中有一个不满足, 其结论可能不成立; 2 使得定理成立的ξ可能多于一个，也可能只有一个. 例如 ]2,2[,-∈=x x y 在]2,2[-上除)0(f '不存在外，满足罗尔定理的一切条件， 但在区间]2,2[-内找不到一点能使0)(='x f . 例如 ?? ?=∈-=0 ,0]1,0(,1x x x y 除了0=x 点不连续外，在]1,0[上满足罗尔定理的一切条
微分中值定理历史与发展 卢玉峰 (大连理工大学应用数学系, 大连, 116024) 微分中值定理是微分学的基本定理之一, 研究函数的有力工具. 微分中值 定理有着明显的几何意义和运动学意义. 以拉格朗日(Lagrange) 定理微分中值定理为例,它的几何意义：一个定义在区间[]b a ,上的可微的曲线段,必有中一点()x f (b a ,)ξ， 曲线在这一点的切线平行于连接点())(,a f a 与割线.它的运动学意义：设是质点的运动规律，质点在时间区间()(,b f b )f []b a ,上走过的路程),()(a f b f ?a b a f b f ??)()(代表质点在()b a ,上的平均速度， 存在()b a ,的某一时刻ξ，质点在ξ的瞬时速度恰好是它的平均速度. 人们对微分中值定理的认识可以上溯到公元前古希腊时代.古希腊数学家在 几何研究中,得到如下结论:“过抛物线弓形的顶点的切线必平行于抛物线弓形的 底”,这正是拉格朗日定理的特殊情况.希腊著名数学家阿基米德(Archimedes) 正是巧妙地利用这一结论,求出抛物弓形的面积. 意大利卡瓦列里(Cavalieri) 在《不可分量几何学》(1635年) 的卷一中给出处理平面和立体图形切线的有趣引理,其中引理3基于几何的观点也叙述了同样一个事实: 曲线段上必有一点的切线平行于曲线的弦.这是几何形式的微分中值定理,被人们称为卡瓦列里定理. 人们对微分中值定理的研究,从微积分建立之始就开始了. 1637年,著名法国数学家费马(Fermat) 在《求最大值和最小值的方法》中给出费马定理,在教科书中,人们通常将它称为费马定理.1691年,法国数学家罗尔(Rolle) 在《方程的解法》一文中给出多项式形式的罗尔定理.1797年,法国数学家拉格朗日在《解析函数论》一书中给出拉格朗日定理,并给出最初的证明.对微分中值定理进行系统研究是法国数学家柯西(Cauchy) ,他是数学分析严格化运动的推动者,他的三部
分类号UDC 单位代码 密级公开学号 2006040223 四川文理学院 学士学位论文 论文题目：微分中值定理及其应用 论文作者：XXX 指导教师：XXX 学科专业：数学与应用数学 提交论文日期：2010年4月20日 论文答辩日期：2010年4月28日 学位授予单位：四川文理学院 中国 达州 2010年4月
目 录 摘要 .......................................................................... Ⅰ ABSTRACT....................................................................... Ⅱ 引言 第一章 微分中值定理历史 (1) 1.1 引言 ................................................................... 1 1.2 微分中值定理产生的历史 .................................................. 2 第二章 微分中值定理介绍 (4) 2.1 罗尔定理 ............................................................... 4 2.2 拉格朗日中值定理........................................................ 4 2.3 柯西中值定理 ........................................................... 6 第三章 微分中值定理应用 (7) 3.1 根的存在性的证明........................................................ 7 3.2 一些不等式的证明........................................................ 8 3.3 求不定式极限 .......................................................... 10 3.3.1 型不定式极限 .................................................... 10 3.3.2 ∞ ∞ 型不定式极限 .................................................... 11 3.4 利用拉格朗日定理讨论函数的单调性 ....................................... 12 第四章 结论 ................................................................... 14 参考文献....................................................................... 15 致谢 .. (16)
第三章 中值定理与导数的应用 一、 基本内容 （一） 中值定理 1.罗尔定理 如果函数)(x f 在闭区间],[b a 上连续，在开区间),(b a 内可导，且)()(b f a f =，那么在),(b a 内存在一点ξ，使得0)(='ξf . For personal use only in study and research; not for commercial use 2.拉格朗日中值定理 如果函数)(x f 在闭区间],[b a 上连续，在开区间),(b a 内可导，那么在),(b a 内至少有一点ξ，使得 a b a f b f f --= ') ()()(ξ 其微分形式为 x f x f x x f ??'=-?+)()()(ξ 这里10,<
(2)在点a 的某去心邻域内，)(x f '及)(x g '都存在且0)(≠'x g ； (3)) () (l i m x g x f a x ''→存在（或为无穷大），那么 ) () (lim )()(lim x g x f x g x f a x a x ''=→→ 2.法则2 如果函数)(x f 及)(x g 满足条件： (1)0)(lim =∞ →x f x , 0)(lim =∞ →x g x ； (2)当N x >时，)(x f '及)(x g '都存在且0)(≠'x g ； (3) ) () (lim x g x f x ''∞ →存在（或为无穷大）； 那么 ) ()(lim )()(lim x g x f x g x f x x ''=∞→∞ → 以上两个法则是针对00型未定式. 对∞ ∞ 型未定式，也有相应的两个法则. 对∞?0、∞-∞、00、∞1、0∞型未定式，可以通过变形将其转化成00或∞ ∞ 型来求. （三） 泰勒公式 1.带拉格朗日余项的泰勒公式 设函数)(x f y =在0x 的某邻域),(0δx U 内有1+n 阶导数，那么在此邻域内有 +-''+ -'+=200000)(2) ())(()()(x x x f x x x f x f x f ！ )()(!) (00)(x R x x n x f n n n +-+ 10)1()()! 1() ()(++-+=n n n x x n f x R ξ 其中ξ在0x 和x 之间，)(x R n 是拉格朗日余项. （四） 函数的单调性 函数单调性的判别法 设函数)(x f y =在],[b a 上连续，在),(b a 内可导. (1)如果在),(b a 内0)(>'x f ，那么函数)(x f y =在],[b a 上单调增加；
第三单元微分中值定理与导数应用 一、填空题 1、 lim xln x x 0 。 2、 函数f x 2x cos x 在区间 单调增 3 、 函数f x 4 8x 3 3x 4的极大值是 。 4 、 曲线y x 4 6x 2 3x 在区间 是凸的。 5 、 函数f x cosx 在x 0处的2m 1阶泰勒多项式是 6 、 曲线y xe 3x 的拐点坐标是 。 7、若fx 在含X 。的a,b (其中a b )内恒有二阶负的导数，且 则f X 。是f x 在a,b 上的最大值。 & y X 3 2x 1 在 内有 个零点。 1 1 9、 lim cot x( ) 。 sin x x 1 i 10、 lim (~2 ------------ ) __________ 。 x 0 x xta n x 11、 曲线y e"的上凸区间是 _____________ 。 12、 函数y e x x 1的单调增区间是 _______________ 。 二、单项选择 1、 函数f(x)有连续二阶导数且f(0) 0, f (0) 1,f (0) 2,则lim x 0 () (A) 不存在；(E) 0 ; (C) -1 ; (D) -2 2、 设 f(x) (x 1)(2x 1),x (,),则在(丄,1)内曲线 f(x)( f(x) x 2 x
2 (A)单调增凹的；(E)单调减凹的； (A)不可导; (B)可导，且f'(0) 0 ；
(C)单调增凸的; (D)单调减凸的 3、f(x)在(a,b)内连续，X 。 (a,b), f (X 。) f (x °) 0，则 f (x)在 x x 。处 ( ) (A)取得极大值； (E)取得极小值； (C) 一定有拐点(x o ，f(x 。)); (D)可能取得极值，也可能有 拐点。 4、设f(x)在a,b 上连续，在(a,b)内可导，则I:在(a,b)内f (x) 0与 在(a,b)上f (x) f (a)之间关系是( ) (A)无实根； (B)有唯一实根； (C) 有两个实根； (D)有三个 实根。 7、已知f(x)在x 0的某个邻域内连续，且f(0) 0 , lim f(x) 2 , x 01 cosx 则在点x 0处f(x)( ) (A) I 是H 的充分但非必要条件 分条件； (C) I 是H 的充分必要条件； 也不是必要条件。 5、 设f(x)、g(x)在a,b 连续可导, 则当a x b 时，则有( (A) f(x)g(x) f(a)g(a)； (C)他他； g(x) g(a) 6、 方程x 3 3x 1 0在区间(， (B) I 是H 的必要但非充 (D) I 不是H 的充分条件， f (x)g(x) 0，且 f (x)g(x) f(x)g (x), ) (B) f(x)g(x) f (b)g(b)； (D)喪起。 f(x) f(a) )内( )
引言 通过对数学分析的学习我们知道，微分学在数学分析中具有举足轻重的地位，它是组成数学分析的不可缺失的部分。对于整块微分学的学习，我们可以知道中值定理在它的所有定理里面是最基本的定理，也是构成它理论基础知识的一块非常重要的内容。由此可知，对于深入的了解微分中值定理，可以让我们更好的学好数学分析。通过对微分中值定理的研究，我们可以得到它不仅揭示了函数整体与局部的关系，而且也是微分学理论应用的基础。微分中值定理是一系列中值定理总称，但本文主要是以拉格朗日定理、罗尔定理和柯西定理三个定理之间的关系[1-3]以及它们的推广为研究对象，利用它们来讨论一些方程根（零点）的存在性, 和对极限的求解问题，以及一些不等式的证明。 中值定理的内容及联系 基本内容[4][5] 对于，微分中值定理的了解，我们了解到它包含了很多中值定理，可以说它是一系列定理的总称。而本文主要是以其中的三个定理为对象，进行探讨和发现它们之间的关系。它们分别是“罗尔（Rolle ）定理、拉格朗日（Lagrange ）定理和柯西（Cauchy ）定理”。这三个定理的具体内容如下： Rolle 定理 若()f x 在[],a b 上连续，在(),a b 内可导，且()()f a f b =，则至少存在一点(),a b ξ∈，使()0f ξ'=。 Lagrange 定理 若()f x 在[],a b 上连续，在(),a b 内可导，则至少存在一点(),a b ξ∈，使()()()() =f b f a f b a ξ-'- Cauchy 定理 设()f x ，()g x 在[],a b 上连续，在(),a b 内可导，且()0g x '≠，则至少存在一点 (),a b ξ∈，使得 ()()()()()() f b f a f g b g a g ξξ'-='-。 三个中值定理之间的关系 现在我们来看这三个定理，从这三个定理的内容我们不难看出它们之间具有一定的关系。那它们之间具体有什么样的关系呢？我们又如何来探讨呢？这是我们要关心的问题，我们将利用推广和收缩的观点来看这三个定理。首先我们先对这三个定理进行观察和类比，从中可以发现，如果把罗尔定理中的()()f a f b =这一条件给去掉的话，那么定理就会变成为拉格朗日定理。相反，如果在拉格朗日定理中添加()()f a f b =这一条件的话，显然就该定理就会成为了罗尔定理。通过这一发现，可以得到这样的一个结论：拉格朗日定理是罗尔定理的推广，而罗尔定理是拉格朗日定理的收缩，或是它的特例。继续用这一思路来看拉格朗日
3[1]1微分中值定理 及其应用
3.2 微分中值定理及其应用 教学目的： 1.掌握微分学中值定理，领会其实质，为微分学的应用打好坚实的理论基 础； 2.熟练掌握洛比塔法则，会正确应用它求某些不定式的极限； 3.掌握泰勒公式，并能应用它解决一些有关的问题； 4.使学生掌握运用导数研究函数在区间上整体性态的理论依据和方法，能根据函数的整体性态较为准确地描绘函数的图象； 5.会求函数的最大值、最小值，了解牛顿切线法。 教学重点、难点： 本章的重点是中值定理和泰勒公式，利用导数研究函数单调性、极值与凸性；难点是用辅助函数解决问题的方法。 教学时数：2学时 一、微分中值定理: 1. Rolle中值定理: 设函数在区间上连续,在内可导,且有.则?Skip Record If...?，使得?Skip Record If...?.
https://www.doczj.com/doc/0212302524.html,grange中值定理: 设函数在区间上连续,在内可导, 则?Skip Record If...?，使得?Skip Record If...?. 推论1 函数在区间I上可导且为I上的常值函 数. 推论2 函数和在区间I上可导且 推论3 设函数在点的某右邻域上连续,在内可导. 若存在,则右导数也存在,且有 (证) 但是, 不存在时, 却未必有不存在. 例如对函数 虽然不存在,但却在点可导(可用定义求得). Th ( 导数极限定理 ) 设函数在点的某邻域内连续,在 内可导. 若极限存在, 则也存在, 且( 证 ) 由该定理可见,若函数在区间I上可导,则区间I上的每一点,要么是导函 数的连续点,要么是的第二类间断点.这就是说,当函数在区间I 上点点可导时,导函数在区间I上不可能有第二类间断点.
第四章 中值定理与导数的应用 一、填空 1、若()x x x f -=3在[0，3]上满足罗尔定理的ξ值为 。 2、若2 1 cos 1sin lim 20=-→kx x x ，则k = 。 3、=a ，=b 时，点（1，3）为2 3bx ax y +=的拐点。 4、3+=x e x 在),(+∞-∞内的实根的个数为 。 5、函数)1ln(2 x x y +-=的单调递增区间 ，在[-1，1]中最大值为 ，最小值为 。 6、函数23 )5()(-=x x x f 的驻点为 ，其极大值为 ，极小值为 。 7、若5)(cos sin lim 0=--→b x a e x x x ，则=a ，=b 。 8、x x x y )1 1(-+=的水平渐近线为 。 二、选择 1、设R x x x x f ∈+-='),12)(1()(，则在)4 1 ,21(- 内)(x f 是（ ） A 、单调增加，图形上凹 B 、单调减少，图形上凹 C 、单调增加，图形下凹 D 、单调减少，图形下凹 2、设函数)(x f 在[0，1]上可导，0)(>'x f 并且0)1(,0)0(> 题型 1.利用极限、函数、导数、积分综合性的使用微分中值定理写出证明题 2.根据极限，利用洛比达法则，进行计算 3.根据函数，计算导数，求函数的单调性以及极值、最值 4.根据函数，进行二阶求导，求函数的凹凸区间以及拐点 5.根据函数，利用极限的性质，求渐近线的方程 内容 一．中值定理 1.罗尔定理 2.拉格朗日中值定理 二．洛比达法则 一些类型（00、∞ ∞、∞?0、∞-∞、0 ∞、0 0、∞ 1等） 三．函数的单调性与极值 1.单调性 2.极值 四．函数的凹凸性与拐点 1.凹凸性 2.拐点 五．函数的渐近线 水平渐近线、垂直渐近线 典型例题 题型I 方程根的证明 题型II 不等式（或等式）的证明 题型III 利用导数确定函数的单调区间与极值 题型IV 求函数的凹凸区间及拐点 自测题三 一．填空题 二．选择题 三．解答题 4月13日微分中值定理与导数应用练习题 基础题： 一．填空题 1．函数12 -=x y 在[]1,1-上满足罗尔定理条件的=ξ 。 3．1)(2 -+=x x x f 在区间[]1,1-上满足拉格朗日中值定理的中值ξ= 。 4．函数()1ln +=x y 在区间[]1,0上满足拉格朗日中值定理的=ξ 。 5.函数x x f arctan )(=在]1 ,0[上使拉格朗日中值定理结论成立的ξ是 ． 6.设)5)(3)(2)(1()(----=x x x x x f ，则0)(='x f 有 个实根，分别位于区间 中． 7. =→ x x x 3cos 5cos lim 2 π35- 8.=++∞→x x x arctan ) 1 1ln(lim 微分中值定理及应用综述 谢娟 09211045 江苏师范大学 数学与统计学院 徐州 221116 摘 要：微分中值定理是一系列中值定理的总称，是研究函数的有力工具，包括费马中值定理、罗尔定理、拉格朗日定理、柯西定理、泰勒定理.以罗尔定理、拉格朗日中值定理和柯西中值定理组成的一组中值定理是一整个微分学的重要理论。它不仅沟通了函数与其导数的关系，而且也是微分学理论应用的桥梁和基石.本文对微分中值定理中的一些条件给予了相关说明，介绍了微分三大中值定理以及它们之间的关系，后又在此基础上，综述了微分中值定理在研究函数性质，讨论一些方程零点（根）的存在性，和对极限的求解问题，以及一些不等式的证明. 关键词：微分中值定理；关系；应用 引言 微分中值定理是微分学的基本定理，是沟通函数与其导数之间的桥梁，是应用导数的局部性研究函数整体性的重要数学工具，应用十分广泛. 1 浅谈微分中值定理 1.1 微分中值定理的基本内容 微分中值定理是反映导数值与函数值之间的联系的定理, 它们分别是罗尔定理、拉格朗日定理和柯西中值定理.具体内容如下: 1.1.1 罗尔定理 如果函数()y f x = 满足: ( 1) 在闭区间[],a b 上连续; ( 2) 在开区间(),a b 内可导; ( 3) 在区间端点的函数值相等, 即()()f a f b =, 那么在区间(),a b 内至少有一 点ε()a b ε<< , 使函数()y f x =在该点的导数等于零, 即 ()/0f ε= 几何分析 在（图1） 中可见()y f x =曲线在[],a b 上是一条连续光滑的曲线, 曲线()y f x =在 (),a b 内处处有切线且没有垂直于x 轴的切线.在曲线的两端点一般高(罗尔定理的三条件在 平面几何中成立), 因而在(),a b 内曲线()y f x =至少有一点处的切线平行于x 轴(罗尔定理的结论成立,/ ()0f x =).通过对罗尔定理的几何分析, 抽象的罗尔定理得到了具体化(这也反应了数学的一般思想, 抽象思维具体化)。对于我们理解和掌握罗尔定理大有帮助. (A) 一选择 1—5 BCBDB 二计算与证明 1 .若 x 0，证明 e x 1 x 。 证明：令 F x =e x _1_x ，则 F x =e x -1 当x 0时，F'x ?0,从而Fx 在0单增 因为F0=0，故Fx ?0,即 e x 1 x 2 2 .设 x 0，证明 x - x In 1 x :: x 。 2 证明： -In 1 X ，贝u f x =1 —X-丄二二 2 因x ? 0，贝U f x ：：： 0，从而f x 在0, ?::单减。 2 x 故 f x :: f 0 =0，即卩 x In 1 x 2 20：令 g x ；=ln 1 x -x ，则 g x 1 ——1 1 + x 当x 0时，g x ：：： 0，从而g x 在0「：：单减 故 g x : g 0 = 0，即 In 1 x < x 2 由 1°、20 知，x —亠：：：l n 1 ? x :: x 2 (B ) 一选择 1— 4 CBDD 习题3.1 1°:令 f x R x - 计算与证明 arcta n arcta n — n n +1 1 1 解：令F x "「如x ，则Fx 在GJ 上连续，在占*可导，故 1 1 arctan arcta n — ，使 f n LJ v f 1 1 当n 时，贝厂＞ 0 1 故原式二 lim f = lim 2 = 1 2.设f x 在0,1 1上可导，且0 ：：： f x ：：： 1，对于任何x ?0,1 ，都有f x - 1， 试证：在0,1内，有且仅有一个数X ，使f x = x 。 证：令Fx 二fx-x ，因为Fx 在0,1上连续，且F0二f0 0， F 1二f 1 -1 ：：：0，则由零点存在定理在 0,1内至少存在一点 x ，使 F x 二 f x = 0，即 f x 二 x 。 下证唯一性。设在0,1内存在两个点X 1与X 2，且X 1 ::： X 2，使f X 1 = x 1， f X 2 1=X 2，在〔X 1,X 2 1上运用拉格朗日中值定理，则有 ：5 1X1, X 2 ，使 得 f = f X 2 - f X 1 二 X 2 -X 1 二 1 x 2 _捲 x 2 _捲 这与题设f X =1矛盾，故只有一个X 使f X 二X 。 3 .设fx 在1,2 1上具有二阶导数f x ，且f2二f1=0，如果 F x -1 f x ，证明至少存在一点 1,2，使F 」=0。 求lim n _L ：i 由拉格朗日定理知，存在一点 第四章微分中值定理与导数得应用习题 §４、1 微分中值定理 1. 填空题 (1）函数在上使拉格朗日中值定理结论成立得ξ就是. （2)设,则有３个实根，分别位于区间中. 2.选择题 (1)罗尔定理中得三个条件:在上连续,在内可导,且,就是在内至少存在一点,使成立得（B ). A．必要条件 B.充分条件 C. 充要条件D．既非充分也非必要条件 （2)下列函数在上满足罗尔定理条件得就是( C ）． A、B、C、Ｄ、 (3)若在内可导，且就是内任意两点,则至少存在一点,使下式成立(Ｂ). A. B. 在之间 C. Ｄ. 3.证明恒等式：. 证明: 令，则,所以为一常数. 设，又因为, 故． ４．若函数在内具有二阶导数，且,其中,证明：在内至少有一点，使得. 证明:由于在上连续,在可导,且,根据罗尔定理知,存在, 使. 同理存在，使. 又在上 符合罗尔定理得条件,故有,使得． 5. 证明方程有且仅有一个实根. 证明:设, 则,根据零点存在定理至少存在一个,使得.另一方面，假设有,且，使,根据罗尔定理,存在使,即,这与矛盾.故方程只有一个实根. 6. 设函数得导函数在上连续,且,其中就是介于之间得一个实数. 证明: 存在,使成立、 证明: 由于在内可导,从而在闭区间内连续,在开区间内可导.又因为,根据零点存在定理,必存在点，使得. 同理,存在点,使得．因此在上满足罗尔定理得条件,故存在，使成立． 7、设函数在上连续，在内可导、试证：至少存在一点, 使 证明：只需令,利用柯西中值定理即可证明、 ８．证明下列不等式 (1)当时，. 证明：设,函数在区间上满足拉格朗日中值定理得条件,且, 故, 即 (） 因此, 当时,. (2)当时,. 证明:设,则函数在区间上满足拉格朗日中值定理得条件,有 因为,所以,又因为，所以，从而 . §4、2 洛毕达法则 １. 填空题 (１) (２)０ （3）= (4)１ 2.选择题微分中值定理与导数的应用练习题
微分中值定理及应用综述
第三章中值定理与导数的应用答案
微分中值定理与导数的应用习题
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