5.5 子空间的和与直和
授课题目：
子空间的和与直和. 教学目标：
1．理解并掌握子空间的概念.
2．掌握子空间的判别方法，熟悉几种常见的子空间. 3．掌握子空间的交与和的概念. 授课时数：3学时
教学重点：子空间的判别. 教学难点：子空间的交与和． 教学过程：
一 子空间的的和 回忆:
令W 是数域F 上向量空间V 的一个非空子集.如果W 对于V 的加法以及标量与向量的乘法来说是封闭的，那么就称W 是V 的一个子空间. 一个向量空间V 本身和零空间叫做V 的平凡子空间。V 的非平凡子空间叫做V 的真子空间。
1. 定义：设12,W W V ?，则称V 的子集{}121122/,W W αααα+∈∈ 为1212w w W W +与的和，记为
即12W W +={}121122/,W W αααα+∈∈
定理5.5.1：若12,W W 均为V 的两个子空间，则12W W +仍然是子空间.
证明：12,W W θθθθθ∈∈∴=+∈ 12W W +故12W W +≠φ 对121212,,,,a b F W W αβαααβββ?∈?+=+=+有，
111222,,,W W αβαβ∈∈ 12W W +均为v 子空间.
∴
111222,a b W a b W αβαβ+∈+∈
于是
()()()()1212112212a b a b a b a b W W αβααββαβαβ+=+++=+++∈+ ∴
12W W +是V 的子空间。
推广：12,,,n W W W V n 为的个子空间，则
{}12121122/,,,n n n n W W W W W W αααααα+++=+++∈∈∈
仍然是V 的子空间.
补充：若1W =L ()r ααα,,,21 ，()212,,,t W L βββ= 则12W W +=L ()t r βββααα,,,,,,,2121
证明：∈γ12W W +，有βαγ+=，12,W W αβ∈∈ 设r r k k k αααα+++= 2211
t t l l l ββββ+++= 2211
∴ =+=βαγr r k k k ααα+++ 2211+βββt l l l +++ 2211 ∴
12W W +=L ()t r βββααα,,,,,,,2121
定理5.5.2 维数定理。dim(12W W +)=dim ()1212dim dim W W W W +-?
证明: 设12dim()0,W W r => 取12W W 的一个基为12{,,,},r ααα 因为12W W 同是12,W W 的子空间, 所以可以分别扩充成1W 与2W 的基
121{,,,,,,},r s αααββ (2) 121{,,,,,,},r t αααγγ (3)
这里12dim ,dim .W r s W r t =+=+
下面证明1211{,,,,,,,,,}r s t αααββγγ (4)是12W W +的基. 显然, 12W W +中每个向量都可以由(4)线性表示, 只需证明(4)线性无关. 设112211110,r r s s t t a a a b b c c αααββγγ+++++++++= 则1122111112.r r s s t t a a a b b c c W W αααββγγ++++++=---∈+ 于是在F 中存在12,,,,r k k k 使得1111,t t r r c c k k γγαα---=++ 即11110.r r t t k k c c ααγγ+++++= 由于121,,,,,,r t αααγγ 是2W 的基, 所以
1210,0.r t k k k c c =======
于是 11110.r r s s k k b b ααββ+++++= 由于121,,,,,,r s αααββ 是1W 的基, 所以
1210,0.r s k k k b b =======
这样(4)线性无关, 从而(4)是12W W +的基. 从而
12dim()W W r s t r s r t r +=++=+++- 1212dim dim dim().W W W W =+-
对于0r =时, 仿照上面的证明, 把1W 和2W 的基拼起来就是和的基.
推论：①dim(12W W +)≤dim 12dim W W +
②当且仅当12W W ?={0}时()12dim W W +=dim 12dim W W + ③dim 12dim W W +＞n,则12W W ?{}0≠
例1：设有向量组()()()0,3,0,3,1,1,0,2,1,2,0,1321=-==ααα
()()1,3,1,4,1,0,1,121==ββ
令()()12312,,,,V L V L αααββ==，求12V V +的维数和一组基 解：由于12V V +=(
)()213
21,,,ββαααL L +=L ()2131,,,,ββααα
故12V V +的维数就是向量2131,,,,ββααα的秩，而这个向量组的极大无关组也是12V V +的基。
将2131,,,,ββααα为列作矩阵施行初等行变换：
B A =?????
???????-?→??????????
???--??→???
?????
??
???-=-00
000
10101110000001
1
11
01
13031211000110
1
111
01
130312110004132131γγ 由于秩（A ）=秩（B ）=3，且由B 知，第2，3，4列线性无关，故132,,βαα便是12V V +的一个基。（杨子胥—下册—154）
例2：()()()1,1,1,1,1,0,0,1,1,0,1,1321-===ααα
()()0,1,1,0,1,0,2,121==ββ
求()()21321,,,ββαααL L +和()321,,αααL ()21,ββL 的基和维数
解：给出P 4
的一组基：()()()()???
????
???????====1,0,0,00,1,0,00,0,1,00,0,0,14321εεεε
而
()2
1
3
1
,,,,ββααα=()432
1
,,,εεε
εA 其中
A=?????
???????-01
111
101001210101111
1,312111211223311221122112233112212312123433112212312(,,)(,),,(,,,,)(,,),L L W W x x x y y x x x x x x x y y A x x y y y y x x A x y y ααααββααααααββθαααββαααββεεεε?∈∈∈=++=+???? ? ? ? ?
? ?∴=++--== ? ?-- ? ? ? ?--????
? - -? 则且设故
1212121232211,011001dim()2,22.
W W θββααααα--?????? ? ?? ? ?
? ? ?=? ? ?? ? ?
? ? ?
?????
=-+-++ 解此方程组的基础解系：
，故它的一组解基为，，或，二子空间的直和直和，余子空间
定义2 设12,W W 是线性空间V 的两个子空间，如果 ①21W W V += ②{}021=W W
121221V W W W W W W ⊕则称为与的直和，记为，且称是的余子空间。结合维数定理：
定理5.5.3. 当21W W +是直和?则21W W +∈α且分解成221121,,W W ∈∈+=ααααα是唯一的 证：“必要性”，若V W W V ∈?⊕=α,21有
21ααα+= W W ∈∈211,αα 21ββα+= 2211,W W ∈=ββ
则22112121)()(αββαθββαα-=-?=+-+
111W ∈-βα 且211W ∈-βα，从而θβα=∈-2111W W 11βα=∴同理22βα=
“充分性”（只须证{}021=W W ）
1W ∈?α
21W W ∈?α，则120W W αααα=+-∈-∈（），，，又000=+，10W ∈，20W ∈
由表示法唯一，故0α=，0α-=即{}021=W W 故21W W V ⊕=
定理5.5.4. 若21W W V +=，则下列命题彼此等价
①21W W V ⊕=
②21dim dim dim W W V +=
③1W 的一个基与2W 的一个基，并起来是V 的一个基 证：运用循回证法
①?②由21W W V ⊕+知{}0)dim(02121==W W W W 故由维数定理，得
21dim dim dim W W V +=
②?③s r s W r W βββααα,,,,,,,dim ,dim 212121 和且设==分别是的基与21W W ，那么，
),,,,(),,,(),,,(11212121s r s r L L L W W V ββααβββααα =+=+=
由于,dim s r V +=于是r αα,,1 ，s ββ,,1 为V 的基。
③?①设s r βββααα,,,,,,,2121 分别为1W 与2W 的基，有s r βββααα,,,,,,,2121 是V 的基，对21W W ∈?α有
1W ∈α且2W ∈α令s s r r b b a a ββααα++=++= 1111即
01111=---++s s r r b b a a ββαα s r ββαα,,,,11 ，线性无关 011======∴s r b b a a
0=∴α 故{}021=W W ，又21W W V += 故21W W V ⊕=
三.余子空间的确定
⑴.1V 是n 维向量空间V 的一个子空间，且t V =1dim ，则存在余子空间2V 使21V V V ⊕= 证：设t ααα ,,21是1V 的一个基，则),,,(211t L V ααα =且t V =1dim ，
将t ααα,,,21 扩充为V 的一个基，使),,,,,,(121t n t L V -=ββααα 作),(112-=n L V ββ ，于是t n V -=2dim ，而)dim(dim dim 2121V V V V +==
0)dim(21=∴V V
故2V 是1V 的余子空间，21V V V ⊕=∴
例：已知)0,0,2,1(),0,0,0,1(21==αα，),(211ααL V =，求1V 的余子空间2V 使4
21R V V =⊕。 解：以432121,,,,,εεεεαα为列作矩阵，对A 施行初等变换
????
??
? ?
?10
0000010000001020000111显然4321,,,εεαα线性无关，设),(432εεL V =，故2V 为所求。 ⑵1V 是n 维线性空间V 的子空间，则1V 的余子空间不唯一。 证：（另外找出1V 的余子空间）
设t ααα,,,21 是1V 的一个基，将其扩充为V 的一个基t n t -ββααα,,,,,,121 于是),,(12t n L V -=ββ 为1V 的余子空间。
又t n t -+βββααα,,,,,,2111 也是V 的一个基。 设0)(2211111=+++++++--t n t n t t l l l k k βββααα
0)(2211111=+++++++--t n t n t t l l l k l k βββαα t n t -ββαα,,,,,11 是基数线性无关
t n j t i l k j i -====∴,,1,,,1,0,0
于是),,,(2113t n L V -+=βββα 亦为1V 之余子空间。（F 证32V V ≠，1V 与2V 中有一个向量不相同）
311V ∈+βα ，若211V ∈+βα，则t n t k k -++=+βββα 1111
故t n -ββα,,,11 线性相关与t n t -ββαα,,,,11 线性无关相矛盾。
211V ?+∴βα 21V V ≠∴
（3）.子空间的直和可以推广到多个子空间的情形. 设t W W W ,,,21 是线性空间V 的子空间，如果 ①t W W W W V ++++= 321
②{}0)(121=+++++++t i i i W W W W W W
则称V 是t W W W ,,,21 的直和，记为t W W W V ⊕⊕⊕= 21
例.设P 为数域，给出3
p 的两个子空间为},,,),,{(1P c b a c b a c b a V ∈===
},),,0{(2P y x y x V ∈=。证明：213V V P ⊕=
证明：法一：另知))1,1,1((1L V =，))1,0,0(),0,1,0((2L V =
3),,(P c b a ∈?，21),,0(),,(),,(V V a c a b a a a c b a +∈--+=，因而213V V P +=
由于1dim ,1dim 21==V V 因而)dim(dim dim 2121V V V V +=+，故213V V P ⊕=
5.5 子空间的和与直和 授课题目： 子空间的和与直和. 教学目标： 1．理解并掌握子空间的概念. 2．掌握子空间的判别方法，熟悉几种常见的子空间. 3．掌握子空间的交与和的概念. 授课时数：3学时 教学重点：子空间的判别. 教学难点：子空间的交与和． 教学过程： 一 子空间的的和 回忆: 令W 是数域F 上向量空间V 的一个非空子集.如果W 对于V 的加法以及标量与向量的乘法来说是封闭的，那么就称W 是V 的一个子空间. 一个向量空间V 本身和零空间叫做V 的平凡子空间。V 的非平凡子空间叫做V 的真子空间。 1. 定义：设12,W W V ?，则称V 的子集{}121122/,W W αααα+∈∈ 为1212w w W W +与的和，记为 即12W W +={}121122/,W W αααα+∈∈ 定理5.5.1：若12,W W 均为V 的两个子空间，则12W W +仍然是子空间. 证明：12,W W θθθθθ∈∈∴=+∈ 12W W +故12W W +≠φ 对121212,,,,a b F W W αβαααβββ?∈?+=+=+有， 111222,,,W W αβαβ∈∈ 12W W +均为v 子空间. ∴ 111222,a b W a b W αβαβ+∈+∈ 于是 ()()()()1212112212a b a b a b a b W W αβααββαβαβ+=+++=+++∈+ ∴ 12W W +是V 的子空间。 推广：12,,,n W W W V n 为的个子空间，则 {}12121122/,,,n n n n W W W W W W αααααα+++=+++∈∈∈ 仍然是V 的子空间. 补充：若1W =L ()r ααα,,,21 ，()212,,,t W L βββ= 则12W W +=L ()t r βββααα,,,,,,,2121
§5 子空间的运算 教学目的 通过2学时的讲授，使学生理解子空间交、和的定义与性质，基本掌握子空间直和的刻画定理及初步应用． 教学内容 为了进一步把握向量空间的结构，本节学习向量空间的子空间的交与和两种运算，以及子空间和的重要特况：直和． 5.1 交与和 命题6.5.1 设W 1，W 2都是数域F 上向量空间V 的子空间，则W 1∩W 2也是V 的子空间，叫做W 1与W 2的交． 证 因为θ∈W 1∩W 2，所以W 1∩W 2≠?．设α，β∈W 1∩W 2，则α，β∈W i ，i =1，2．因为W i 是子空间，所以α+β∈W i ；k α∈W i ，?k ∈F ；i =1,2．于是α+β∈W 1∩W 2，k α∈W 1∩W 2，?k ∈F ．因此，W 1∩W 2是V 的子空间． 由集合的交的定义可得出，子空间的交适合下列运算规则： 1)交换律 W 1∩W 2= W 2∩W 1； 2)结合律 (W 1∩W 2)∩W 3= W 1∩(W 2∩W 3)． 由结合律，我们得到多个子空间的交： t i i t W W W W 121==， 且由归纳法易见， t i i W 1=也是V 的子空间． 注 类似命题 6.5.1的证明可得，设I 是任一指标集，若?i ∈I ，W i 是V 的子空间，则{ }I i W W i I i i ∈?∈=∈,αα 也是V 的子空间． 向量空间V 的两个子空间W 1与W 2的并集一般不是V 的子空间．例如，在V 3中，取W 1，W 2是通过原点的两个不同的平面，它们都是V 3的子空间．W 1∪W 2对加法一般不封闭，因此W 1∪W 2不是V 3的子空间．若我们想构造一个包含W 1∪W 2的子空间，则这个子空间应当包含W 1中的任一向量α1与W 2中的任一向量α2的和α1+α2 ．由此受到启发．我们来证明 命题6.5.2 设W 1，W 2是数域F 上向量空间V 的两个子空间，则集合 },{221121W W ∈∈+αααα (1) 是V 的一个子空间，叫做W 1和W 2的和，记作W 1+W 2． 证 把集合(1)记作W ．显然θ∈W (因为θ =θ +θ )．在W 中任取两个向量α，β，可设 21ααα+=， 21βββ+=， 其中α1，β1∈W 1，α2，β2∈W 2，则 )()(2211βαβαβα+++=+． 由于W 1，W 2是V 的子空间，所以α1+β1∈W 1，α2+β2∈W 2，从而α+β∈W ．
§7.4 不变子空间 教学目的 本节要求掌握不变子空间的概念及其不变子空间的判断方法，掌握值域和核的概 念以及它们都是σ的不变子空间的事实，了解σ的秩和零度的概念及其相关结论。 教学难点 不变子空间的证明 教学重点 不变子空间的概念、值域和核的概念以及它们都是σ的不变子空间的证明 教 学 过 程 备 注 教学 内容 一、不变子空间的定义 为了解决不变子空间的问题，我们需要不变子空间的概念.先看一个例 子. 在3V 中，设σ是数量变换，即有一个确定的数k ，使得对任意 αασαk )(,3=∈V ，设W 是3V 中过原点的一个平面，W 是3V 的一个子空间， 对W 中每一个向量ξ，ξ在σ作用之下的像)(ξσ仍是W 中的向量，这样的子空间W 就是σ的不变子空间. 定义1 设σ是F 上向量空间V 的一个线性变换，W 是V 的一个子空间，若W 中向量在σ下的像仍在W 中，即对于W 中任一向量ξ，都有W ∈)(ξσ，则称W 是σ的一个不变子空间，或称W 在σ之下不变. 例1 向量空间V 本身和零子空间是V 的任一个线性变换的不变子空间，称它们为V 的平凡不变子空间，其它不变子空间称为非平凡不变子空间. 例2 向量空间V 的任一子空间都是数量变换的不变子空间. 例3 在R [x]中，令x)(f (f(x))'=σ，对任意][],[)(x R x R x f n ∈是R [x]的子空间，并且]x [n R 是σ的不变子空间. 例4 设σ是3V 中以过原点的一条直线L 为轴,旋转θ角的变换,则L 是 σ的一维不变子空间;过原点且与L 垂直的平面H 是σ的一个二维不变子空 间. 二、不变子空间的判断 下面给出一种判断不变子空间的方法 定理7.4.1 设σ是n 维向量空间V 的一个线性变换，W 是V 的子空间， {}r 21,,,ααα 是 W 的基.则W 是σ的不变子空间的充要条件是 )(,),(),(r 21ασασασ 在W 中.
子空间的和与直和 授课题目： 子空间的和与直和. 教学目标： 1．理解并掌握子空间的概念. 2．掌握子空间的判别方法，熟悉几种常见的子空间. 3．掌握子空间的交与和的概念. 授课时数：3学时 教学重点：子空间的判别. 教学难点：子空间的交与和． 教学过程： 一 子空间的的和 回忆: 令W 是数域F 上向量空间V 的一个非空子集.如果W 对于V 的加法以及标量与向量的乘法来说是封闭的，那么就称W 是V 的一个子空间. 一个向量空间V 本身和零空间叫做V 的平凡子空间。V 的非平凡子空间叫做V 的真子空间。 1. 定义：设12,W W V ?，则称V 的子集{}121122/,W W αααα+∈∈ 为1212w w W W +与的和，记为 即12W W +={}121122/,W W αααα+∈∈ 定理5.5.1：若12,W W 均为V 的两个子空间，则12W W +仍然是子空间. 证明：12,W W θθθθθ∈∈∴=+∈12W W +故12W W +≠φ 对121212,,,,a b F W W αβαααβββ?∈?+=+=+有， 111222,,,W W αβαβ∈∈ 12W W +均为v 子空间. ∴ 111222,a b W a b W αβαβ+∈+∈ 于是 ()()()()1212112212a b a b a b a b W W αβααββαβαβ+=+++=+++∈+
∴ 12W W +是V 的子空间。 推广：12,, ,n W W W V n 为的个子空间，则 {}12121122/,, ,n n n n W W W W W W αααααα++ +=++ +∈∈∈ 仍然是V 的子空间. 补充：若1W =L ()r ααα,,,21 ，()212,,,t W L βββ= 则12W W +=L ()t r βββααα,,,,,,,2121 证明：∈γ12W W +，有βαγ+=，12,W W αβ∈∈ 设r r k k k αααα+++= 2211 t t l l l ββββ+++= 2211 ∴ =+=βαγr r k k k ααα+++ 2211+βββt l l l +++ 2211 ∴ 12W W +=L ()t r βββααα,,,,,,,2121 定理5.5.2 维数定理。dim(12W W +)=dim ()1212dim dim W W W W +-? 证明: 设1 2dim()0,W W r => 取12W W 的一个基为12{,,,},r ααα 因为12W W 同是12,W W 的子空间, 所以可以分别扩充成1W 与2W 的基 121{,,,,,,},r s αααββ (2) 121{,, ,,, ,},r t αααγγ (3) 这里12dim ,dim .W r s W r t =+=+ 下面证明1211{,, ,,,,,,,}r s t αααββγγ (4)是12W W +的基. 显然, 12W W +中每个向量都可以由(4)线性表示, 只需证明(4)线性无关. 设112211110,r r s s t t a a a b b c c αααββγγ+++++++++= 则1122111112.r r s s t t a a a b b c c W W αααββγγ++ +++ +=-- -∈+ 于是在F 中存在12,,,,r k k k 使得1111,t t r r c c k k γγαα-- -=+ + 即11110.r r t t k k c c ααγγ+++++= 由于121,, ,,, ,r t αααγγ是2W 的基, 所以 1210,0.r t k k k c c ===== ==
线性子空间的研究 数学与应用数学专业学生：罗柏平 指导老师：周绍杰 摘要:线性子空间理论是线性代数的核心内容之一，在数学及其它领域中有着广泛的应用.本文讨论了线性子空间及其交、和、直和的定义，并阐述了线性子空间、子空间直和的几个等价性定义，并做了一定的的推广；在此基础上，给出了求两个子空间交的基的一般方法.且对其作了进一步讨论，得到了一些有用的结果. 关键词：线性空间，线性子空间，子空间的交，维数 Abstract: Linear space and subspaces are one of linear algebra，and they have been applied to mathematics or other fields extensively.This paper discussed the linear subspace and pay, and and, and subspace straight.And we discussed the linear subspace, subspace straight and few equivalence definition，and did some promotion; Based upon these, draw subspace of mixed operation is for and included relation and its two subspaces, and further discussion was gived and several important conclusions were given. Keyword: linear space; linear subspace ; intersection of subspaces; dimensions 0引言 线性子空间理论是高等代数中的重要内容，线性子空间是线性空间的子集，线性子空间中的元素满足对原线性空间的加法与数量乘法封闭.要懂得利用定义及其线性子空间的相关定理来判定线性子空间. 线性子空间包括线性子空间的定义，子空间的交与和，直和等等. 它把具体、直观的平面与集合空间推广到抽象的线性空间.线性子空间是线性空间的子集，线性子空间中的元素满足对原线性空间的加法与数量乘法封闭.线性子空间的应用领域越来越广，在数学、物理、通信、化学、甚至医学等各方面有广泛应用.线性空间的概念是n维向量空间概念的抽象和提高，子空间的理论不仅是高等代数的核心，而且广泛渗透到各自然科学、工程技术、经济管理科学中.因而线性子空间在一定意义上值得广泛推广.为了对线性子空问作进一步的研究，先讨论有关线性子空间的一些基本问题，对线性空间有关的概念和部分结论作一回顾，然后再在应用中对线性子空间做更多的探讨.
不变子空间.若当.最小多项式(简介) §7 不变子空间 ◎ 本节重点：不变子空间的定义与“限制”. 已知可对角化对应于对角矩阵，但是并不是每个都能对角化的.退一步，对应于准对 角形也好；虽然比对角形复杂，但也算简单.这个问题的研究需要用到不变子空间的概念. 一、定义与例子 1.定义：σ∈L(Vn)，W是σ的不变子空间?W是V的子空间，且?ξ∈W,有 σ(ξ)∈W. 简称σ-子空间. （注意：与线性变换有关） 2.例子：设σ∈L(Vn)，则下列子空间W都是σ的不变子空间： 1）W={0} 2）W=V 3）W=σ -1 (0) 4）W=σ(V) 5）W=Vλ0={ξ∈V|σ(ξ)=λ0ξ} A与B是可交换的，则B的核与值域都是A-子空间. 二、线性变换在不变子空间上的“限制” 1.定义：设W是σ∈L(Vn)的不变子空间，可只在W中考虑σ，记为σ|W. 【意义】缩小了线性变换的范围，从而简化线性变换.因此，如果V可分解为若干σ-子空间 Wi的直和，那么对V 的线性变换σ的研究就归结为对各个子空间Wi的直和研究. 2.区别：σ|W与σ的作用结果一样，但作用范围不同.即 ξ∈W?(σ|W)ξ=σξ；ξ?W?(σ|W)ξ无意义. 三、不变子空间与线性变换矩阵化简之间的关系（意义） V=W1⊕W2⊕ ⊕Ws，设V可分解为若干个σ-子空间的直和：在每个不变子空间Wi中 取基εi,εi, ,εi，i=1,2, s，并把他们合并为V的一组基，则在这组基下，σ的 矩阵具有 1
2 k ?A1 准对角形 ? ?? ?，其中Ai，i=1,2, s是A|Wi在对应基下的矩阵. As?? 进一步的，我们有： *四、不变子空间的直和分解 定理12：设线性变换σ∈L(Vn)的特征多项式f(λ)可分解成一次因式： f(λ)=(λ-λ1)r(λ-λ2)r (λ-λS)r,则V可以分解成不变子空间的直和： 1 2 S V=V1⊕V2⊕ ⊕Vs,其中Vi={ξ∈V|(σ-λiE)iξ=0}. r §8 若当（Jordan）标准形介绍 若当（Jordan）标准形是一类特殊的准对角矩阵. 一、基本定义 1. 若当块?λ 1 J(λ,t)= 0 ?0 00 10 00 λ 00 λ1
§7 不变子空间 ◎ 本节重点：不变子空间的定义与“限制”. 已知可对角化对应于对角矩阵，但是并不是每个都能对角化的.退一步，对应于准对角形也好；虽然比对角形复杂，但也算简单.这个问题的研究需要用到不变子空间的概念. 一、定义与例子 1.定义：)(n V L ∈σ，W 是σ的不变子空间W ?是V 的子空间，且,W ∈?ξ有W ∈)(ξσ. 简称σ-子空间. （注意：与线性变换有关） 2.例子：设)(n V L ∈σ，则下列子空间W 都是σ的不变子空间： 1）{}0=W 2）V W = 3）)0(1-=σW 4）)(V W σ= 5）{}ξλξσξλ0)(|0=∈==V V W 例1若线性变换A 与B 是可交换的，则B 的核与值域都是A -子空间. 二、线性变换在不变子空间上的“限制” 1.定义：设W 是)(n V L ∈σ的不变子空间，可只在W 中考虑σ，记为W |σ. 【意义】缩小了线性变换的范围，从而简化线性变换.因此，如果V 可分解为若干-σ子空间 i W 的直和，那么对V 的线性变换σ的研究就归结为对各个子空间i W 的直和研究. 2.区别：W |σ与σ的作用结果一样，但作用范围不同.即 σξξσξ=?∈)|(W W ；ξσξ)|(W W ??无意义. 三、不变子空间与线性变换矩阵化简之间的关系（意义） 设V 可分解为若干个σ-子空间的直和：s W W W V ⊕⊕⊕=Λ21，在每个不变子空间i W 中 取基k i i i εεε,,,21Λ，s i Λ,2,1=，并把他们合并为V 的一组基，则在这组基下，σ的矩阵具有 准对角形??? ? ? ? ?s A A O 1，其中i A ，s i Λ,2,1=是i W A |在对应基下的矩阵. 进一步的，我们有： *四、不变子空间的直和分解 定理12：设线性变换)(n V L ∈σ的特征多项式)(λf 可分解成一次因式： S r S r r f )()()()(2121λλλλλλλ---=Λ,则V 可以分解成不变子空间的直和：
第一讲线性空间 一、线性空间的定义及性质 [知识预备] ★集合：笼统的说是指一些事物（或者对象）组成的整体 集合的表示：枚举、表达式 集合的运算：并（），交（） 另外，集合的“和”（＋）：并不是严格意义上集合的运算，因为它限定了集合中元素须有可加性。 ★数域：一种数集，对四则运算封闭（除数不为零）。比如有理数域、实数域（R）和复数域（C）。实数域和复数域是工程上较常用的两个数域。 线性空间是线性代数最基本的概念之一，也是学习现代矩阵论的重要基础。线性空间的概念是某类事物从量的方面的一个抽象。 1．线性空间的定义： 设V是一个非空集合，其元素用x,y,z等表示；K是一个数域，其元素用k,l,m等表示。如果V满足[如下8条性质，分两类] ∈时，有唯一的和（I）在V中定义一个“加法”运算，即当x,y V +∈（封闭性），且加法运算满足下列性质 x y V （1）结合律()() ++=++； x y z x y z （2）交换律x y y x +=+； （3）零元律存在零元素o，使x+o x =；
（4）负元律 对于任一元素x V ∈，存在一元素y V ∈，使x y +=o ，且称y 为x 的负元素，记为（x -） 。则有()x x +-= o 。 （II ）在V 中定义一个“数乘”运算，即当x V ∈，k K ∈时，有唯一的kx V ∈（封闭性），且数乘运算满足下列性质 （5）数因子分配律 ()k x y kx ky +=+； （6）分配律 ()k l x kx lx +=+； （7）结合律 ()()k lx kl x =； （8）恒等律 1x x =； [数域中一定有1] 则称V 为数域K 上的线性空间。 注意：1）线性空间不能离开某一数域来定义，因为同一个集合， 如果数域不同，该集合构成的线性空间也不同。 （2）两种运算、八条性质 数域K 中的运算是具体的四则运算，而V 中所定义的加法运算和数乘运算则可以十分抽象。 （3）除了两种运算和八条性质外，还应注意唯一性、封闭 性。唯一性一般较显然，封闭性还需要证明，出现不封闭的情况：集合小、运算本身就不满足。 当数域K 为实数域时，V 就称为实线性空间；K 为复数域，V 就称为复线性空间。 例1． 设R +＝{全体正实数}，其“加法”及“数乘”运算定义为 x y=xy , k k x x =o
浅谈不变子空间的存在性问题 最近读了Abramovich与Aliprantis的An Invitation to Operator Theory，对其中的不变子空间问题还是很有感觉的，下面就结合书中的内容给大家简单科普一下。 先讲讲为什么要研究不变子空间。一般研究线性算子时。T：X→X 的算子总是要比T：X→Y的线性算子更加值得关注，这一点在有限维的情形下就更为明显了，一般矩阵中方阵总是特别被重视，因为我们可以定义其行列式、可逆性等等。线性算子T：X→Y不变子空间V是指满足T（V）≤V的子空间V，这样我们就可以把T限制在V上得到一个V上的类似方阵的线性算子T：V→V，这也就是不变子空间的妙处了。 假设T：X→X是Banach空间X上的有界线性算子，那么它天然的就带有两个闭不变子空间：Ker T与Im T，而它们还是T的闭超不变子空间。这里子空间V称为T的超不变子空间是指对于任何与T交换的算子S，V都是S的不变子空间。这个结论可以说定义超不变子空间的动机，也是关于超不变子空间存在性的第一个命题，相信很多同学在泛函分析甚至线性代数中都证明过类似命题，只是那时还没有给出超不变子空间这个名称而已。 有了这个基本结论，就可以看一下非平凡闭不变子空间的存在性
问题，这里的非平凡是指子空间不能为{0}或X。假若算子T与一个非一一或值域非稠的算子S：X→X交换，那么T就一定存在非平凡的闭不变子空间，实际上这个子空间就是S的闭超不变子空间。这里通过子空间的超不变性，从一个算子传递到与之交换的另一个算子，是处理不变子空间问题的常用手段。 除了核与值域之外，我们还有另一类常见的超不变子空间，那就是线性算子T：X→X的特征值空间。由此可得，有限维复Banach空间上任何非数值算子都有非平凡的超不变子空间。对于有限维实Banach空间X的情形，结论则稍微复杂一点：假若dim X的奇数，那么T的非平凡超不变子空间一定存在；假若dim X≥4是偶数，那么T的不变子空间一定存在，但未必是超不变的；假若dim X=2，那么T甚至可以没有非平凡不变子空间，对此只要取旋转算子就可以了。 对于无穷维空间的情形，问题就变得非常复杂。最新的研究表明，哪怕就是在最简单的Hilbert空间上的有界线性算子，也可以不存在非平凡的不变子空间。当然啦，即便是对于非紧算子而言，存在非平凡闭不变子空间的情形也是比较广泛的，比如Hilbert空间l^2上的右平移算子R（x_1,x_2,…)=(0,x_1,x_2,…）就有非平凡闭不变子空间{x∈l^2；x_1=0}. 下面我们要讨论的一类重要情形是关于紧算子的，直观的来看紧算子就是把很大的Banach空间映射到一个比有限维空间大不了多少
§6.7 子空间的直和 一、直和的定义 二、直和的判定 三、多个子空间的直和
有两种情形： 由维数公式设为线性空间V 的两个子空间，12,V V 121212dim dim dim()dim()V V V V V V +=++1212 1)dim()dim dim V V V V +<+此时12dim()0, V V >即，必含非零向量. 12V V
情形2）是子空间的和的一种特殊情况 直和1212 2)dim()dim dim V V V V +=+此时12dim()0, V V =不含非零向量，即12V V {}120V V =
一、直和的定义 设为线性空间V 的两个子空间，若和12,V V 12V V +12112,,V V ααααα=+∈∈是唯一的，和就称为直和，记作12.V V ⊕12V V +注:若有,,,1212111222,V V αααββαβαβ=+=+∈∈,. αβαβ==①分解式唯一的，意即12ααα=+中每个向量的分解式 α
②分解式唯一的不是在任意两个子空间的和中都成立. 例如，R 3的子空间 11222333(,),(,),()V L V L V L εεεεε===123(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1) εεε===这里，在和中，向量的分解式不唯一，如12V V +(2,2,2)(2,3,0)(0,1,2)(2,1,0)(0,1,2)=+-=+所以和不是直和. 12V V +
而在和中，向量(2,2,2)的分解式是唯一的， 13V V +(2,2,2)(2,2,0)(0,0,2)=+事实上，对12313(,,), a a a V V α?=∈+故是直和. 12V V +123(,,0)(0,0,).a a a α=+ 都只有唯一分解式：
目录 1.线性变换的不变子空间 1.1代数学的发展历程简介 1.2线性变换的不变子空间的概念及性质 1.3线性变换的不变子空间性质的多种证明 2.研究线性变换的不变子空间的必要性与可行性 2.1研究该问题的必要性 2.2研究该问题的可行性 3. 线性变换的不变子空间的国内外研究现状 3.1国内研究现状 3.2国外研究现状 4.线性变换的不变子空间的应用 4.1理论上的应用 4.2生活中的应用 5.心得体会
摘要 线性变换的不变子空间理论是高等代数的重要理论之一，但是对于一个线性变换的不变子空间，在高等代数教材中也是简单的讲解一下，于是本文对它做了更进一步的讨论。空间中的任何元素经过映射后，新的元素仍然在这个空间里，这个空间叫做这个映射下的不变子空间，不变子空间是原空间的一个子集，对于原空间运算也构成空间且封闭，其作用是可以在子空间去考虑原空间的代数性质，而不必回到原空间，从而将问题简化，本文的研究内容也是建立在这个基础之上的。 关键词：线性变换不变子空间的性质地位应用
1.线性变换的不变子空间 1.1代数学的发展历程简介 数学发展到现在，已经成为科学世界中拥有100多个主要分支学科的庞大的“共和国”。大体说来，数学中研究数的部分属于代数学的范畴；研究形的部分，属于几何学的范筹；沟通形与数且涉及极限运算的部分，属于分析学的范围。这三大类数学构成了整个数学的本体与核心。在这一核心的周围，由于数学通过数与形这两个概念，与其它科学互相渗透，而出现了许多边缘学科和交叉学科。在此简要介绍代数学的有关历史发展情况。 “代数”（algebra）一词最初来源于公元9世纪阿拉伯数学家、天文学家阿尔·花拉子米（al-Khowārizmī，约780－850）一本著作的名称，书名的阿拉伯文是‘ilm al-jabr wa’l muqabalah，直译应为《还原与对消的科学》．al-jabr 意为“还原”，这里指把负项移到方程另一端“还原”为正项；muqabalah 意即“对消” 或“化简”，指方程两端可以消去相同的项或合并同类项．在翻译中把“al-jabr”译为拉丁文“aljebra”，拉丁文“aljebra”一词后来被许多国家采用，英文译作“algebra”。 花拉子米科学研究的范围十分广泛，包括数学、天文学、历史学和地理学等领域．他撰写了许多重要的科学著作．在数学方面，花拉子米编著了两部传世之作：《代数学》和《印度的计算术》． 1859年，我国数学家李善兰首次把“algebra”译成“代数”。 后来清代学者华蘅芳和英国人傅兰雅合译英国瓦里斯的《代数
子空间直和的判定与证明 一、直和的定义： 设V1，V2是线性空间V的子空间，如果和V1+V2中每个向量α的分解式 α=α1+α2，α1V1，α2V2， 是惟一的，这个和就称为直和，记为V1⊕V2. 二、判定定理： 1.定理：和V1+V2是直和的充分必要条件是等式 α1+α2=0，αiVi （i=1,2） 只有在αi全为零向量时才成立. 证明：要证明零向量的分解式是唯一的即可。 必要性：显然成立； 充分性：设αV1+V2，它有两个分解式 α=α1+α2=β1+β2，αi,βiVi （i=1,2） 于是（α1-β1）+（α2-β2）=0. 其中αi-βiVi （i=1,2）.由定理的条件，应有 α1-β1=0，αi=βi （i=1,2）. 这就是说，向量α的分解式是唯一的。 2.定理：和V1+V2为直和的充分必要条件是V1∩V2={0}. 证明：充分性：假设α1+α2=0，αiVi （i=1,2） 那么α1=-α2 V1∩V2. 由假设α1=α2=0. 这就是证明了V1+V2是直和。 必要性：任取向量αV1∩V2，于是零向量可以表成 0=α+（-α），αV1，—αV2. 因为是直和，所以α=-α=0， 这就证明了V1∩V2={0}. 3.定理：设V1，V2是线性空间V的子空间，令W= V1+V2，则W= V1⊕V2的充分必 要条件是维（W）=维（V1）+维（V2）. 证明：充分性：维（W）=维（V1）+维（V2），由维数公式知， 维（V1∩V2）=0，则V1∩V2={0}， 由定理2得，V1+V2是直和。 必要性：因为维（W）+维（V1∩V2）=维（V1）+维（V2）， 由定理2得，V1+V2是直和的充分必要条件是 V1∩V2={0}，这与维（V1∩V2）=0等价， 则维（W）=维（V1）+维（V2）. 4.定理：设U是线性空间V的一个子空间，那么一定存在一个子空间W，使V=U⊕ W. 证明：取U得一组基α1，……，αm，把它扩充为V的一组基α1，……，αm，αm+1，……，αn，令W=L（αm+1，……，αn）.W即满足条件。 三、（1）直和的定义1： 设V1，V2, ……Vs都是线性空间V的子空间，如果和V1+V2+……+Vs中每个向量α的分解式α=α1+α2+……+αs，αiVi （i=1,2, ……,s）是唯一的，这个和就是直
第一讲 线性空间 一、 线性空间的定义及性质 [知识预备] ★集合：笼统的说是指一些事物（或者对象）组成 的整体 集合的表示：枚举、表达式 集合的运算：并（），交（） 另外，集合的“和”（＋）：并不是严格意义上集合的运算，因为它限定了集合中元素须有可加性。 ★数域：一种数集，对四则运算封闭（除数不为零）。比如有理数域、实数域（R ）和复数域（C ）。实数域和复数域是工程上较常用的两个数域。 线性空间是线性代数最基本的概念之一，也是学习现代矩阵论的重要基础。线性空间的概念是某类事物从量的方面的一个抽象。 1． 线性空间的定义： 设V 是一个非空集合，其元素用x,y,z 等表示；K 是一个数域，其元素用k,l,m 等表示。如果V 满足[如下8条性质，分两类] （I ）在V 中定义一个“加法”运算，即当x,y V ∈时，有唯一的和 x y V +∈（封闭性），且加法运算满足下列性质 （1）结合律 ()()x y z x y z ++=++； （2）交换律 x y y x +=+；
（3）零元律 存在零元素o ，使x +o x =； （4）负元律 对于任一元素x V ∈，存在一元素y V ∈，使x y +=o ，且称y 为x 的负元素，记为（x -） 。则有()x x +-= o 。 （II ）在V 中定义一个“数乘”运算，即当x V ∈，k K ∈时，有唯一的kx V ∈（封闭性），且数乘运算满足下列性质 （5）数因子分配律 ()k x y kx ky +=+； （6）分配律 ()k l x kx lx +=+； （7）结合律 ()()k lx kl x =； （8）恒等律 1x x =； [数域中一定有1] 则称V 为数域K 上的线性空间。 注意：1）线性空间不能离开某一数域来定义，因为同一个集合， 如果数域不同，该集合构成的线性空间也不同。 （2）两种运算、八条性质 数域K 中的运算是具体的四则运算，而V 中所定义的加法运算和数乘运算则可以十分抽象。 （3）除了两种运算和八条性质外，还应注意唯一性、封闭 性。唯一性一般较显然，封闭性还需要证明，出现不封闭的情况：集合小、运算本身就不满足。 当数域K 为实数域时，V 就称为实线性空间；K 为复数域，V 就称为复线性空间。 例1． 设R +＝{全体正实数}，其“加法”及“数乘”运算定义为
§7.4不变子空间 教学目的本节要求掌握不变子空间的概念及其不变子空间的判断方法，掌握值域和核的概念以及它们都是σ的不变子空间的事实，了解σ的秩和零度的概念及其相关结论。 教学难点不变子空间的证明 教学重点不变子空间的概念、值域和核的概念以及它们都是σ的不变子空间的证明 教学过程备注 教学内容 一、不变子空间的定义 为了解决不变子空间的问题，我们需要不变子空间的概念.先看一个例子. 在 3 V中，设σ是数量变换，即有一个确定的数k，使得对任意α α σ αk ) ( , 3 = ∈V，设W是 3 V中过原点的一个平面，W是 3 V的一个子空间，对W中每一个向量ξ，ξ在σ作用之下的像) (ξ σ仍是W中的向量，这样的子空间W就是σ的不变子空间. 定义1 设σ是F上向量空间V的一个线性变换，W是V的一个子空间， 若W中向量在σ下的像仍在W中，即对于W中任一向量ξ，都有W ∈ ) (ξ σ，则称W是σ的一个不变子空间，或称W在σ之下不变. 例1 向量空间V本身和零子空间是V的任一个线性变换的不变子空间，称它们为V的平凡不变子空间，其它不变子空间称为非平凡不变子空间. 例2 向量空间V的任一子空间都是数量变换的不变子空间. 例3 在R[x]中，令x) ( f (f(x))' = σ，对任意] [ ], [ ) (x R x R x f n ∈是R[x] 的子空间，并且]x[ n R是σ的不变子空间. 例4 设σ是 3 V中以过原点的一条直线L为轴,旋转θ角的变换,则L是σ的一维不变子空间;过原点且与L垂直的平面H是σ的一个二维不变子空间. 二、不变子空间的判断 下面给出一种判断不变子空间的方法 定理7.4.1 设σ是n维向量空间V的一个线性变换，W是V的子空间，{} r 2 1 , , ,α α α 是W的基.则W是σ的不变子空间的充要条件是 ) ( , ), ( ), ( r 2 1 α σ α σ α σ 在W中.
第九讲 不变子空间与直和分解 ———标准形和最小多项式的应用 一、不变子空间 例题9.1 证明：n 维线性空间V 的任一子空间W ，一定存在,()L V ∈A B ,使得ker W V ==A B ，此时必有=AB 0。 这里构造的(L V)∈A,B ，还满足=BA 0。那么在例题9.1中，是否存在 ,()L V ∈A B ，ker W V ==A B 同时≠BA 0？ 如果W V =或者0W =，恒有=BA 0，如果W 是V 的非平凡子空间，回答是肯定的。 命题9.2 设W 是n 维线性空间V 的非平凡子空间，则一定存在V 的线性变换,A B ,使得ker W V ==A B ，同时≠BA 0。 证明：取W 的一个基底12,,,r ααα ，再扩充为V 的一个基1,,,,r n ααα ，因为0r n <<，对于122111r r r r n n V, x x x x x ββααααα++?∈=++++++ 。 作 1122:r r r n n V V x x x βααα+++→→+++A 1122:r r V V x x x βααα→→+++B 则(L V)∈A,B ，且ker W V ==A B 。此时 111()()0r ααα+==≠BA B ， 所以≠BA 0。 什么时候可以使 Ker W V ==A A ？一个必要条件是 dim dim dim ker 2dim V V V W =+=A A 。 命题9.3 若dim V 为偶数，且V 的子空间W 满足2dim dim W V =，则存在线性变换A ，使 W Ker V ==A A 。
例题9.4 (L V)∈A,B ，且 22,==A A B B ，证明 (i) ,V V =?==A B AB B BA A ， (ii) Ker Ker ,=?==A B AB A BA B 。 证(i)“?” V α?∈， V V V αβαβ∈=∴ ?∈=B B A B A 因此 ()2 αβββα====∴=AB A A A A B AB B 。 同理=BA A 。 “?” 因为,==AB B BA A ，所以()V V V V ==?B AB A B A ，同样 ()V V V V ==?A BA B A B 。因此V V =A B 。 (ii)“?” V ∈?α，则Ker Ker αα-∈=B B A ，所以()0αα-=A B ，即 αα=AB A ，所以=AB A 。同理有=BA B 。 “?” Ker α?∈A ，则0αα==B BA ，得Ker α∈B 。即Ker Ker ?A B 。 同理Ker Ker ?B A 。得证。 命题9.5若()()()f x g x h x =，且((),())1g x h x =，设(L V)∈A ，证明 Ker ()Ker ()Ker ()f g h =⊕A A A 。 证明 因为()()()()()f g h h g ==A A A A A ，所以很容易得到 Ker ()Ker (),Ker ()Ker ()f g f h ??A A A A 因此就有 Ker ()Ker ()Ker ()f g h ?+A A A ； 反过来，Ker ()f α?∈A ，即()0f α=A ；因为((),())1g x h x =，所以(),() u x v x ?使得()()()()1v x h x u x g x +=，即有等式 ()()()()v h u g +=A A A A E 。
第一讲 线性空间 一、 线性空间的定义及性质 [知识预备] ★集合：笼统的说是指一些事物（或者对象）组成 的整体 集合的表示：枚举、表达式 集合的运算：并（U ），交（I ） 另外，集合的“和”（＋）：并不是严格意义上集合的运算，因为它限定了集合中元素须有可加性。 ★数域：一种数集，对四则运算封闭（除数不为零）。比如有理数域、实数域（R ）和复数域（C ）。实数域和复数域是工程上较常用的两个数域。 线性空间是线性代数最基本的概念之一，也是学习现代矩阵论的重要基础。线性空间的概念是某类事物从量的方面的一个抽象。 1． 线性空间的定义： 设V 是一个非空集合，其元素用x,y,z 等表示；K 是一个数域，其元素用k,l,m 等表示。如果V 满足[如下8条性质，分两类] （I ）在V 中定义一个“加法”运算，即当x,y V ∈时，有唯一的和x y V +∈（封闭性），且加法运算满足下列性质 （1）结合律 ()()x y z x y z ++=++； （2）交换律 x y y x +=+； （3）零元律 存在零元素o ，使x +o x =； （4）负元律 对于任一元素x V ∈，存在一元素y V ∈，使
x y +=o ，且称y 为x 的负元素，记为（x -） 。则有()x x +-= o 。 （II ）在V 中定义一个“数乘”运算，即当x V ∈，k K ∈时，有唯一的kx V ∈（封闭性），且数乘运算满足下列性质 （5）数因子分配律 ()k x y kx ky +=+； （6）分配律 ()k l x kx lx +=+； （7）结合律 ()()k lx kl x =； （8）恒等律 1x x =； [数域中一定有1] 则称V 为数域K 上的线性空间。 注意：1）线性空间不能离开某一数域来定义，因为同一个集合， 如果数域不同，该集合构成的线性空间也不同。 （2）两种运算、八条性质 数域K 中的运算是具体的四则运算，而V 中所定义的加法运 算和数乘运算则可以十分抽象。 （3）除了两种运算和八条性质外，还应注意唯一性、封闭 性。唯一性一般较显然，封闭性还需要证明，出现不封闭的情况：集合小、运算本身就不满足。 当数域K 为实数域时，V 就称为实线性空间；K 为复数域，V 就称为复线性空间。 例1． 设R +＝{全体正实数}，其“加法”及“数乘”运算定义为 x y=xy , k k x x =o 证明：R +是实数域R 上的线性空间。 [证明] 首先需要证明两种运算的唯一性和封闭性
第22讲线性变换与矩阵回顾，特征值与特征向量一、线性变换的概念和基本性质 定义设σ: V→V 是线性空间V 到自身的一个映射(变换), 如果σ保持加法及数乘运算, 即对任意α, β∈V, 对任意常数k, 都有 σ(α+β) = σ(α)+σ(β), σ(kα) = kσ(α), 则称σ是线性空间V 的一个线性变换,称σ(α) 为向量α在线性变换σ下的象. 我们用L(V)来表示线性空间V 的全部线性变换所作成的集合. 1
2 定理设σ是n 维线性空间V 的一个线性变换, α1, α2,?,αn 是V 的一组基, 则V 中任一向量α的象σ(α)由基的象σ(α1), σ(α2),?, σ(αn ) 所完全确定. 11112121212122221122()() (1)()n n n n n n n nn n a a a a a a a a a σαααασαααασαααα=+++??=+++????=+++? 记σ(α1, α2,?, αn ) = (σ(α1), σ(α2),?, σ(αn )), A = (a ij )n ?n , 则(1)式可表示为σ(α1, α2,?, αn ) = (α1, α2,?, αn )A . n 阶矩阵A 叫做线性变换σ在基α1, α2,?, αn 下的矩阵. 其中A 的第j 列就是基向量αj 的象σ(αj ) 在这组基下的坐标.
定理设线性变换σ在基α , α2,?, αn下的矩阵是A, 即 1 σ(α) = (α1, α2,?, αn)A, 设向量α, σ(α) 在这组基下的坐标分别是 X = (x1, x2,?, x n)T , Y = (y1, y2,?, y n)T, 则Y = AX. 定理设α , α2,?, αn是n 维线性空间V 的一组基, 对任意 1 , β2,?, βn, 都存在线性变换σ, 使得 给定的n 个向量β 1 σ(αi)= βi(i= 1, 2,?, n). , α2,?, αn, 是n 维线性空间V 的一组基, A = (a ij) 是定理设α 1 任一n 阶矩阵, 则有唯一的线性变换σ满足 σ(α1, α2,?, αn) = (α1, α2,?, αn)A 推论σ∈L(V) 是双射?σ对应的矩阵可逆. 3
§7 不变子空间 对于给定的n 维线性空间V ，A ∈)(V L ,如何才能选到V 的一个基,使A 关于这个基的矩阵具有尽可能简单的形式.由于一个线性变换关于不同基的矩阵是相似的.因而问题也可以这样提出:在一切彼此相似的n 阶矩阵中,如何选出一个形式尽可能简单的矩阵.这一节介绍不变子空间的概念，来说明线性变换的矩阵的化简与线性变换的内在联系. 定义7 设A 是数域P 上线性空间V 的线性变换,W 是V 的一个子空间.如果W 中的向量在A 下的像仍在W 中，换句话说,对于W 中任一向量ξ，有A W ∈ξ，就称W 是A 的不变子空间，简称A -子空间. 例1 整个空间V 和零子空间{}0，对于每个线性变换A ，都是A -子空间. 例2 A 的值域与核都是A -子空间. 例3 若线性变换A 与B 是可交换的，则B 的核与值都是A -子空间. 因为A 的多项式f (A )是和A 交换的，所以f (A )的值域与核都是A -子空间. 例4 任何一个子空间都是数乘变换的不变子空间. 特征子空间与一维不变子空间之间有着紧密的联系.设W 是一维A -子空间，ξ是W 中任何一个非零向量，它构成W 的一个基.按A -子空间的定义，A W ∈ξ,它必是ξ的一个倍数: A ξλξ0=. 这说明ξ是A 的特征向量，而W 即是由ξ生成的一维A -子空间. 反过来，设ξ是A 属于特征值0λ的一个特征向量，则ξ以及它任一倍数在A 下的像是原像的0λ倍，仍旧是ξ的一个倍数.这说明ξ的倍数构成一个一维A -子空间. 显然，A 的属于特征值0λ的一个特征子空间0λV 也是A 的一不变子空间.
A -子空间的和与交还是A -子空间. 设A 是线性空间V 的线性变换, W 是A 的不变子空间.由于W 中向量在A 下的像仍在W 中，这就使得有可能不必在整个空间V 中来考虑A ，而只在不变子空间W 中考虑A ，即把A 看成是W 的一个线性变换，称为A 在不变子空间W 上引起的变换.为了区别起见，用符号A |W 来表示它；但是在很多情况下，仍然用A 来表示而不致引起混淆. 必须在概念上弄清楚A 与A |W 的异同：A 是V 的线性变换, V 中每个向量在A 下都有确定的像；A |W 是不变子空间W 上的线性变换，对于W 中任一向量ξ，有 (A |W )ξ=A ξ. 但是对于V 中不属于W 的向量η来说，（A |W ）η是没有意义的. 例如，任一线性变换在它的核上引起的变换就是零变换，而在特征子空间0λV 上引起的变换是数乘变换0λ. 如果线性空间V 的子空间W 是由向量组s ααα,,,21 生成的，即),,,(21s L W ααα =，则W 是A -子空间的充要条件为A 1α,A 2α,…, A s α全属于W . 下面讨论不变子空间与线性变换矩阵化简之间的关系. 1）设A 是维线性空间V 的线性变换，W 是V 的A -子空间.在W 中取一组基k εεε,,,21 ,并且把它扩充成V 的一组基 n k k εεεεε,,,,,,121 +. (1) 那么，A 在这组基下的矩阵就具有下列形状