高考数学函数与方程的
思想方法
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第4讲 函数与方程的思想方法
一、知识整合
函数与方程是两个不同的概念，但它们之间有着密切的联系，方程f(x)＝0的解就是函数y ＝f(x)的图像与x 轴的交点的横坐标，函数y ＝f(x)也可以看作二元方程f(x)-y ＝0通过方程进行研究。
就中学数学而言，函数思想在解题中的应用主要表现在两个方面：一是借助有关初等函数的性质，解有关求值、解(证)不等式、解方程以及讨论参数的取值范围等问题：二是在问题的研究中，通过建立函数关系式或构造中间函数，把所研究的问题转化为讨论函数的有关性质，达到化难为易，化繁为简的目的.许多有关方程的问题可以用函数的方法解决，反之，许多函数问题也可以用方程的方法来解决。函数与方程的思想是中学数学的基本思想，也是历年高考的重点。
1．函数的思想，是用运动和变化的观点，分析和研究数学中的数量关系，建立函数关系或构造函数，运用函数的图像和性质去分析问题、转化问题，从而使问题获得解决。函数思想是对函数概念的本质认识，用于指导解题就是善于利用函数知识或函数观点观察、分析和解决问题。
2．方程的思想，就是分析数学问题中变量间的等量关系，建立方程或方程组，或者构造方程，通过解方程或方程组，或者运用方程的性质去分析、转化问题，使问题获得解决。方程的数学是对方程概念的本质认识，用于指导解题就是善于利用方程或方程组的观点观察处理问题。方程思想是动中求静，研究运动中的等量关系.
3．(1) 函数和方程是密切相关的，对于函数y ＝f(x)，当y ＝0时，就转化为方程f(x)＝0，也可以把函数式y ＝f(x)看做二元方程y －f(x)＝0。函数问题（例如求反函数，求函数的值域等）可以转化为方程问题来求解，方程问题也可以转化为函数问题来求解，如解方程f(x)＝0，就是求函数y ＝f(x)的零点。
(2) 函数与不等式也可以相互转化，对于函数y ＝f(x)，当y>0时，就转化为不等式f(x)>0，借助于函数图像与性质解决有关问题，而研究函数的性质，也离不开解不等式。
(3) 数列的通项或前n 项和是自变量为正整数的函数，用函数的观点处理数列问题十分重要。
(4) 函数f(x)＝n b ax )( （n ∈N *）与二项式定理是密切相关的，利用这个函数用赋值法和比较系数法可以解决很多二项式定理的问题。
(5) 解析几何中的许多问题，例如直线和二次曲线的位置关系问题，需要通过解二元
方程组才能解决，涉及到二次方程与二次函数的有关理论。
(6) 立体几何中有关线段、角、面积、体积的计算，经常需要运用布列方程或建立函数表达式的方法加以解决。
二、例题解析
Ⅰ．运用函数与方程、表达式相互转化的观点解决函数、方程、表达式问题。
例1 已知155=-a
c b ，（a 、b 、c ∈R ），则有（ ） (A) ac b 42> (B) ac b 42≥ (C) ac b 42< (D) ac b 42≤
解析 法一：依题设有 a ·5－b ·5＋c ＝0 ∴5是实系数一元二次方程02=++c bx ax 的一个实根；
∴△＝ac b 42-≥0 ∴ac b 42≥ 故选(B)
法二：去分母，移项，两边平方得：
22210255c ac a b ++=≥10ac ＋2·5a ·c ＝20ac
∴ac b 42≥ 故选(B)
点评解法一通过简单转化，敏锐地抓住了数与式的特点，运用方程的思想使问题得到解决；解法二转化为b 2是a 、c 的函数，运用重要不等式，思路清晰，水到渠成。
练习1 已知关于x 的方程 2x －（2 m －8）x +2m －16 = 0的两个实根
1x 、2x 满足 1x ＜23＜2
x ，则实数m 的取值范围_______________。 答案：17{|}22
m m -<<； 2 已知函数 32()f x ax bx cx d =+++的图象如下，则（ ）
（A ）(),0b ∈-∞ (B)()0,1b ∈
(C) (1,2)b ∈ (D)(2,)b ∈+∞
答案：A.
3 求使不等式)lg(xy ≤a lg ·y x 22lg lg +对大于1的任意x 、y 恒成立的a 的取值范围。
Ⅱ：构造函数或方程解决有关问题：
例2 已知t
t f 2log )(=，t ∈[2，8]，对于f(t)值域内的所有实数m ，不等式x m mx x 4242+>++恒成立，求x 的取值范围。 解析∵t ∈[2，8]，∴f(t)∈[2
1，3] 原题转化为：2)2()2(-+-x x m >0恒成立，为m 的一次函数（这里思维的转化很重要）
当x ＝2时，不等式不成立。
∴x ≠2。令g(m)＝2)2()2(-+-x x m ，m ∈[2
1，3] 问题转化为g(m)在m ∈[21，3]上恒对于0，则：?????>>0
)3(0)21(g g ； 解得：x>2或x<－1
评析 首先明确本题是求x 的取值范围，这里注意另一个变量m ，不等式的左边恰是m 的一次函数，因此依据一次函数的特性得到解决。在多个字母变量的问题中，选准“主元”往往是解题的关键。
例3 为了更好的了解鲸的生活习性，某动物保护组织在受伤的鲸身上装了电子监测装置，从海洋放归点A 处，如图（1）所示，把它放回大海，并沿海岸线由西向东不停地对它进行了长达40分钟的跟踪观测，每隔10分钟踩点测得数据如下表（设鲸沿海面游动），然后又在观测站B 处对鲸进行生活习性的
。
a 、
b 近似地满足的关系式并
画出鲸的运动路线草图；
（2）若鲸继续以（1）－②运动的路线运动，试预测，该鲸经过多长时间（从放归时开设计时）可进入前方观测站B 的观测范围并求出可持续观测的时间及最佳观测时刻。（注：41≈；精确到1分钟）
解析（1）由表中的信息可知：
①鲸沿海岸线方向运动的速度为：101（km/分钟） 海岸 西东
图1 B
②a 、b 近似地满足的关系式为：a b =运动路线如图
（2）以A 为原点，海岸线AB 为x 轴建立直角坐标系，设鲸所在
位置点P （x ，y ），由①、②得：x y =，又B （15，0），
依题意：观测站B 的观测范围是：
22)15(y x +-≤5 （y ≥0） 又x y =
∴x x +-2)15(≤25 解得：≤x ≤
由①得：∴该鲸经过t ＝10
1
30.11＝113分钟可进入前方观测站B 的观测范围 持续时间：10
1
30.1170.17-＝64分钟 ∴该鲸与B 站的距离d ＝22)15(y x +-＝225292+-x x
当d 最小时为最佳观测时刻，这时x ＝2
29＝，t ＝145分钟。 练习4．已知关于x 的方程x a x cos sin 2+－2a = 0有实数解，求实数a 的取值范围。
（答案：0≤a ≤4－32）
Ⅲ：运用函数与方程的思想解决数列问题
例4设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知123=a ，12S >0，13S <0，
（1）求公差d 的取值范围；
（2）指出1S 、2S 、3S …，12S 中哪一个最大，并说明理由。
解析（1）由123=a 得：d a 2121-=，
∵12S ＝d d a 4214444121+=+>0 13S ＝d d a 5215678131+=+<0 ∴7
24- 512(212)1(21-+=-+= ∵d<0，n S 是关于n 的二次函数，对称轴方程为：x ＝ d 1225- ∵724- 13 ∴当n ＝6时，n S 最大。 三、强化练习 1．8(x -展开式中5x 的系数为____________. 2．已知方程22(2)(2)0x x m x x n -+-+=的四个根组成一个首项为 14 的等差数列,则m n -=( ) A 1 B 34 C 12 D 38 3.设双曲线的焦点x 在轴上，两条渐近线为12 y x =±，则该双曲线的离心率e =（ ） C 2 D 54 4．已知锐角三角形ABC 中，31sin(),sin()55 A B A B +=-=。 Ⅰ.求证tan 2tan A B =； Ⅱ.设3AB =，求AB 边上的高。 5．甲、乙、丙三台机床各自独立地加工同一种零件，已知甲机床加工的零件是一等品而乙机床加工的零件不是一等品的概率为14 ，乙机床加工的零件是一等品而丙机床加工的零件不是一等品的概率为112 ，甲、丙两台机床加工的零件都是一等品的概率为29 。 Ⅰ.分别求甲、乙、丙三台机床各自加工的零件是一等品的概率； Ⅱ.从甲、乙、丙加工的零件中各取一个进行检验,求至少有一个是一等品的概率。 6．设0a >，2()f x ax bx c =++，曲线()y f x =在点00(,())P x f x 处切线的倾斜角的取值范围为0,4π?????? ，则点Ｐ到曲线()y f x =对称轴距离的取值范围是（ ） 1.0,2A ?????? 1.0,2B a ?????? .0,2b C a ?????? 1.0,2b D a ?-????? 7.设双曲线C： 2 2 2 1(0) x y a a -=>与直线:1 l x y +=相交于两个不同的点A、B。 Ⅰ.求双曲线C的离心率e的取值范围； Ⅱ.设直线l与y轴的交点为P，且 5 12 PA PB =，求a的值。 第三章函数的概念与基本初等函数Ⅰ 1.函数的概念与性质 (1)了解构成函数的要素，能求简单函数的定义域和值域． (2)在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数． (3)了解简单的分段函数，并能简单应用． (4)理解函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义；结合具体函数，了解奇偶性的含义． (5)会运用函数图象理解和研究函数的性质． 2.指数函数 (1)了解指数函数模型的实际背景． (2)理解有理指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握指数幂的运算性质． (3)理解指数函数的概念，理解指数函数的单调性，掌握指数函数图象通过的特殊点． (4)知道指数函数是一类重要的函数模型． 3.对数函数 (1)理解对数的概念和运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数；了解对数在简化运算中的作用． (2)了解对数函数的概念，了解对数函数的单调性，了解对数函数图象通过的特殊点． (3)知道对数函数是一类重要的函数模型． (4)知道指数函数y＝a x与对数函数y＝log a x互为反函数(a＞0，且a≠1)． 4.幂函数 (1)了解幂函数的概念． (2)结合函数y＝x，y＝ 1 x，y＝x2，y＝x，y＝x3的图象，理解它们的变化规律． 5.函数与方程 (1)结合二次函数的图象，了解函数的零点与方程根的联系，判断一元二次方程根的存在性及根的个数． (2)结合具体连续函数及其图象的特点，能够用二分法求相应方程的近似解． 6.函数模型及其应用 (1)了解指数函数、对数函数以及幂函数的增长特征，知道“对数增长”“直线上升”“指数爆炸”等不同函数类型增长的含义． (2)了解函数模型(如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型)的广泛应用． 3.1函数的概念及其表示 1.函数的概念 一般地，设A，B是两个非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个________，记作y＝f(x)，x∈A，其中，x叫做，x的取值范围A叫做函数的；与x的值相对应的y值叫做，其集合{f(x)|x∈A}叫做函数的． 2.函数的表示方法 (1)解析法：就是用表示两个变量之间的对应关系的方法． (2)图象法：就是用表示两个变量之间的对应关系的方法． (3)列表法：就是来表示两个变量之间的对应关系的方法． 3.构成函数的三要素 (1)函数的三要素是：，， . (2)两个函数相等：如果两个函数的相同，并且完全一致，则称这两个函数相等． 4.分段函数 若函数在定义域的不同子集上的对应关系也不同，这种形式的函数叫做分段函数，它是一类重要的函数． 5.补充几个常用概念 ?0 ③ f(x)= , g(x)= ; ④ f(x)= , g(x)=2（x-1-e -x ) . 年 高 考 江 苏 卷 试 题 11 ） 已 知 函 数 f ( x ) = ? x + 1, x ≥ 0 , 则 满 足 不 等 式 ) 剪成两块，其中一块是梯形，记 S = ,则 S 的最小值是____▲____。 2 x 2 +1 xlnx+1 2x 2 x lnx x+1 其中, 曲线 y=f(x) 和 y=g(x) 存在“分渐近线”的是( ) A. ①④ B. ②③ C.②④ D.③④ 33. (20XX 年 高 考 天 津 卷 理 科 16) 设 函 数 f ( x ) = x 2 - 1 ， 对 任 意 3 x x ∈[ , +∞) , f ( ) - 4m 2 f ( x ) ≤ f ( x - 1) + 4 f (m ) 2 m 恒成立，则实数 m 的取值范围是 。 34 ．（ 20XX ? 2 ?1, x < 0 f (1- x 2 )> f ( 2x 的 x 的范围是__▲___。 35．（20XX 年高考江苏卷试题 14）将边长为 1m 正三角形薄片，沿一条平行于底边的直线 (梯形的周长） 梯形的面积 36 已知函数 f ( x ) = ( x + 1)ln x - x + 1 . （Ⅰ）若 xf '(x) ≤ x 2 + ax + 1 ，求 a 的取值范围； （Ⅱ）证明： ( x - 1) f ( x ) ≥ 0 . 1. 已知函数()f x =32 31ax x -+，若()f x 存在唯一的零点0x ，且0x ＞0，则a 的取值范围为 A ．（2，+∞） B ．（-∞，-2） C ．（1，+∞） D ．（-∞，-1） 2. 如图，圆O 的半径为1，A 是圆上的定点，P 是圆上的动点，角x 的始边为射线OA ，终边为射线OP ，过点P 作直线OA 的垂线，垂足为M ，将点M 到直线OP 的距离表示为x 的函数()f x ，则y =()f x 在[0,π]上的图像大致为 3. 设函数()f x ，()g x 的定义域都为R ，且()f x 是奇函数，()g x 是偶函数，则下列结论正确的是 A ．()f x ()g x 是偶函数 B ．|()f x |()g x 是奇函数 C ．()f x |()g x |是奇函数 D ．|()f x ()g x |是奇函数 4. 函数()y f x =的图象与函数()y g x =的图象关于直线0x y +=对称，则()y f x =的反函数是 A ．()y g x = B ．()y g x =- C ．()y g x =- D ．()y g x =-- 5. 已知函数f （x ）＝????? －x 2＋2x x ≤0ln(x ＋1) x ＞0 ，若|f （x ）|≥ax ，则a 的取值范围是 A ．（－∞，0] B ．（－∞，1] C ．[－2，1] D ．[－2，0] 6. 已知函数3 2 ()f x x ax bx c =+++，下列结论中错误的是 A ．0x R ?∈，0()0f x = B ．函数()y f x =的图象是中心对称图形 C ．若0x 是()f x 的极小值点，则()f x 在区间0(,)x -∞单调递减 D ．若0x 是()f x 的极值点，则0'()0f x = 7. 设3log 6a =，5log 10b =，7log 14c =，则 A ．c b a >> B ．b c a >> C ．a c b >>D ．a b c >> 8. 若函数()2 11=,2f x x ax a x ?? ++ +∞ ??? 在是增函数，则的取值范围是 A ．[]-1，0 B ．[)+∞-,1 C ．[]0，3 D ．[)+∞,3 9. 函数()()21=log 10f x x x ??+> ? ?? 的反函数()1 =f x - A ．()1021x x >- B ．()1021 x x ≠-C ．()21x x R -∈D ．()210x x -> 10. 已知函数()()()-1,021f x f x -的定义域为，则函数的定义域为 A ．()1,1-B ．11,2? ?-- ??? C ．()-1,0 D ．1,12?? ??? 11. 已知函数()()x x x f -+= 1ln 1 ，则y=f （x ）的图像大致为 A ． B ． 函数 1、 函数的概念 定义：一般地，给定非空数集A,B,按照某个对应法则f ，使得A 中任一元素x ，都有B 中唯一确定的y 与之对应，那么从集合A 到集合B 的这个对应，叫做从集合A 到集合B 的一个函数。记作：x→y=f(x),x ∈A.集合A 叫做函数的定义域，记为D,集合{y ∣y=f(x),x ∈A}叫做值域，记为C 。定义域，值域，对应法则称为函数的三要素。一般书写为y=f(x),x ∈D.若省略定义域，则指使函数有意义的一切实数所组成的集合。 两个函数相同只需两个要素：定义域和对应法则。 已学函数的定义域和值域 一次函数b ax x f +=)()0(≠a :定义域R, 值域R; 二次函数 c bx ax x f ++=2 )() 0(≠a :定义域R ，值域：当 2、 函数图象 定义：对于一个函数y=f(x)，如果把其中的自变量x 视为直角坐标系上的某一点的横坐标，把对应的唯一的函数值y 视为此点的纵坐标，那么，这个函数y=f(x)，无论x 取何值，都同时确定了一个点，由于x 的取值范围是无穷大，同样y 也有无穷个，表示的点也就有无穷个。这些点在平面上组成的图形就是此函数的图象，简称图象。 常数函数f(x)=1 一次函数f(x)=-3x+1 二次函数f(x)=2x 2+3x+1 反比例函数f(x)=1/x 3、定义域的求法 已知函数的解析式，若未加特殊说明，则定义域是使解析式有意义的自变量的取值范围。一般有以下几种情况： 分式中的分母不为零； 偶次根式下的数或式大于等于零； 实际问题中的函数，其定义域由自变量的实际意义确定； 定义域一般用集合或区间表示。 4、值域的求法 ①观察法 通过对函数定义域、性质的观察，结合函数的解析式，求得函数的值域。 例1求函数y=3+√(2－3x) 的值域。 ②反函数法 当函数的反函数存在时，则其反函数的定义域就是原函数的值域。 例2求函数y=(x+1)/(x+2)的值域。 练习：求函数y=(10x+10-x)/(10x －10-x)的值域。 ③配方法 当所给函数是二次函数或可化为二次函数的复合函数时,可以利用配方法求函数值域 例3：求函数y=√(－x 2+x+2)的值域。 练习：求函数y=2x －5＋√15－4x 的值域. ④判别式法 若可化为关于某变量的二次方程的分式函数或无理函数,可用判别式法求函数的值域。 ⑤图象法 通过观察函数的图象，运用数形结合的方法得到函数的值域。 例4求函数y=∣x+1∣+√(x-2) 2的值域。 ⑥换元法 以新变量代替函数式中的某些量，使函数转化为以新变量为自变量的函数形式，进而求出值域。 例5求函数y=x-3+√2x+1 的值域。 练习：求函数y=√x-1 –x 的值域。 ⑦不等式法 例6求函数y=(2x-1)/(x+1) (1≤x ≤2) 的值域。 5、复合函数 设y=f(u ），u=g(x ），当x 在u=g(x ）的定义域Dg 中变化时，u=g(x ）的值在y=f(u ）的定义域D f 内变化，因此变量x 与y 之间通过变量u 形成的一种函数关系，记为：y=f(u)=f[g(x)]称为复合函数，其中x 称为自变量,u 为中间变量,y 为因变量（即函数）。 6、函数的表示方法：列表法，解析法，图像法 7、分段函数：对于自变量x 的不同的取值范围，有着不同的对应法则，这样的函数通常叫做分段函数.它是一个函数,而不是几个函数:分段函数的定义域是各段函数定义域的并集,值域也是各段函数值域的并集. 分段函数经常使用图像法 8、函数解析式的求法 ①代入法 例1已知f(x)=x 2-1,求f(x+x 2) ②待定系数法 若已知函数为某种基本函数，可设出解析式的表达形式的一般式，再利用已知条件求出系数。 例2已知f(x)是一次函数，f(f(x))=4x+3，求f(x) ③换元法 ④特殊值法 例4已知函数)(x f 对于一切实数y x ,都有x y x y f y x f )12 ()()(++=-+成立，且0)1(=f 。 (1)求 )0(f 的值；(2)求)(x f 的解析式。 ⑤方程组法 1、求下列函数的定义域： 2、求下列函数的值域 3 函数? ?? ??>+-≤<+≤+=1,51 0,30 ,32x x x x x x y 的最大值是 。 4已知：x x x f 2)1(2 += +，求)(x f 。 6已知()3()26,f x f x x --=+求()f x ． 指数函数 1．指数函数的定义： 函数)1 (≠ > =a a a y x且叫做指数函数，其中x是自变量，函数定义域是R 2.指数函数的图象和性质： 在同一坐标系中分别作出函数y=x2，y= x ? ? ? ? ? 2 1 ，y=x 10，y= x ? ? ? ? ? 10 1 的图象. 我们观察y=x2，y= x ? ? ? ? ? 2 1 ，y=x 10，y= x ? ? ? ? ? 10 1 图象特征，就可以得到)1 (≠ > =a a a y x且的图象和性质。 a>10 ()x f c 的大小关系是_____． 分析：先求b c ，的值再比较大小，要注意x x b c ，的取值是否在同一单调区间内． 解：∵(1)(1)f x f x +=-， ∴函数()f x 的对称轴是1x =． 故2b =，又(0)3f =，∴3c =． ∴函数()f x 在(]1-， ∞上递减，在[)1+，∞上递增． 若0x ≥，则321x x ≥≥，∴(3)(2)x x f f ≥； 若0x <，则321x x <<，∴(3)(2)x x f f >． 综上可得(3)(2)x x f f ≥，即()()x x f c f b ≥． 评注：①比较大小的常用方法有：作差法、作商法、利用函数的单调性或中 间量等．②对于含有参数的大小比较问题，有时需要对参数进行讨论． 2．求解有关指数不等式 例2 已知2321(25)(25)x x a a a a -++>++，则x 的取值范围是___________． 分析：利用指数函数的单调性求解，注意底数的取值范围． 解：∵2225(1)441a a a ++=++>≥， ∴函数2(25)x y a a =++在()-+，∞∞上是增函数， ∴31x x >-，解得1 4x >．∴x 的取值范围是14 ??+ ??? ， ∞． 评注：利用指数函数的单调性解不等式，需将不等式两边都凑成底数相同的指数式，并判断底数与1的大小，对于含有参数的要注意对参数进行讨论． 3．求定义域及值域问题 例3 求函数y = 解：由题意可得2160x --≥，即261x -≤， ∴20x -≤，故2x ≤． ∴函数()f x 的定义域是(]2-， ∞． 令26x t -=，则y =， 又∵2x ≤，∴20x -≤． ∴2061x -<≤，即01t <≤． ∴011t -<≤，即01y <≤． 近五年高考函数图像题汇总 1（2020全国卷1理5）某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率y 和温度x （单位：°C ）的关系，在20个不同的温度条件下进行种子发芽实验，由实验数据(,)(1,2,,20)i i x y i =得到下面的散点图： 由此散点图，在10°C 至40°C 之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率y 和温度x 的回归方程类型 的是（ ） A. y a bx =+ B. 2y a bx =+ C. e x y a b =+ D. ln y a b x =+ 2（2020天津卷理3）函数241x y x = +的图象大致为（ ） A . B. C. D. 3（2020江苏卷理4）函数y =x cos x +sin x 在区间[–π，+π]的图象大致为（ ） A. B. C. D. 4.（2019全国Ⅰ理5）函数f (x )=2sin cos ++x x x x 在[,]-ππ的图像大致为 A ． B ． C ． D ． 5.（2019全国Ⅲ理7）函数3 222 x x x y -=+在[]6,6-的图像大致为 A ． B ． C ． D ． 6.（2019浙江6）在同一直角坐标系中，函数y =1x a ，y =log a (x +12)，(a >0且a ≠1)的图像可能是 A. B. C. D. 7．(2018全国卷Ⅱ)函数2()--=x x e e f x x 的图像大致为 8．(2018全国卷Ⅲ)函数42 2y x x =-++的图像大致为 9．(2018浙江)函数||2sin 2x y x =的图象可能是 A ． B ． C ． D ． 10．(2016全国I) 函数2|| 2x y x e =-在[–2,2]的图像大致为 A ． B ． C ． D ． 专题二 函数概念与基本初等函数Ⅰ 第三讲 函数的概念和性质 一、选择题 1．(2018全国卷Ⅱ)函数2 ()--=x x e e f x x 的图像大致为 2．(2018全国卷Ⅲ)函数4 2 2y x x =-++的图像大致为 3．(2018浙江)函数|| 2sin 2x y x =的图象可能是 A ． B ． C ． D ． 4．(2018全国卷Ⅱ)已知()f x 是定义域为(,)-∞+∞的奇函数，满足(1)(1)-=+f x f x ． 若(1)2=f ，则(1)(2)(3)(50)++++=…f f f f A ．50- B ．0 C ．2 D ．50 5．（2017新课标Ⅰ）函数()f x 在(,)-∞+∞单调递减，且为奇函数．若(1)1f =-，则满足1(2)1f x --≤≤ 的x 的取值范围是 A ． B ． C ． D ． 6．（2017浙江）若函数2 ()f x x ax b =++在区间[0，1]上的最大值是M ，最小值是m ，则M m - A ．与a 有关，且与b 有关 B ．与a 有关，但与b 无关 C ．与a 无关，且与b 无关 D ．与a 无关，但与b 有关 7．（2017天津）已知奇函数()f x 在R 上是增函数，()()g x xf x =．若2(log 5.1)a g =-，0.8(2)b g =，(3)c g =， 则a ，b ，c 的大小关系为 A ．a b c << B ．c b a << C ．b a c << D ．b c a << 8．（2017北京）已知函数1()3()3 x x f x =-，则()f x A ．是奇函数，且在R 上是增函数 B ．是偶函数，且在R 上是增函数 C ．是奇函数，且在R 上是减函数 D ．是偶函数，且在R 上是减函数 9．(2016山东)已知函数f (x )的定义域为R ．当x <0时，3 ()1f x x =- ；当11x -≤≤ 时， ()()f x f x -=-；当12x > 时，11 ()()22 f x f x +=-，则f (6)= 对数函数图像和性质及经典例题 第一部分：回顾基础知识点 对数函数的概念：函数0(log >=a x y a ，且)1≠a 叫做对数函数其中x 是自变量，函数的定义域是（0，+∞）． 对数函数的图象和性质 ○ 1 在同一坐标系中画出下列对数函数的图象； （1） x y 2log = （2） x y 2 1log = （3） x y 3log = （4） x y 3 1log = ○ 2 对数函数的性质如下： 图象特征 函数性质 1a > 1a 0<< 1a > 1a 0<< 函数图象都在y 轴右侧 函数的定义域为（0，＋∞） 图象关于原点和y 轴不对称 非奇非偶函数 向y 轴正负方向无限延伸 函数的值域为R 函数图象都过定点（1，1） 11=α 自左向右看， 图象逐渐上升 自左向右看， 图象逐渐下降 增函数 减函数 第一象限的图象纵坐标都大于0 第一象限的图象纵坐标都大于0 0log ,1>>x x a 0log ,10>< 第二部分：对数函数图像及性质应用 例1．如图，A ，B ，C 为函数x y 2 1log =的图象上的三点，它们的横坐标分别是t , t +2, t +4(t ≥1). (1)设?ABC 的面积为S 。求S=f (t ) ； (2)判断函数S=f (t )的单调性； (3) 求S=f (t)的最大值 . 解：（1）过A,B,C,分别作AA 1,BB 1,CC 1垂直于x 轴，垂足为A 1,B 1,C 1， 则S=S 梯形AA 1B 1B +S 梯形BB 1C 1C －S 梯形AA 1C 1C . )44 1(log )2(4log 2 3223 1t t t t t ++=++= （2）因为v =t t 42+在),1[+∞上是增函数,且v ≥5, [)∞++=.541在v v 上是减函数，且1 三角函数历年高考题汇编 一.选择题1、（2009）函数 22cos 14y x π? ?=-- ?? ?是 A ．最小正周期为π的奇函数 B ．最小正周期为π的偶函数 C ．最小正周期为 2π的奇函数 D ．最小正周期为2 π 的偶函数 2、（2008）已知函数 2()(1cos 2)sin ,f x x x x R =+∈，则()f x 是（ ） A 、最小正周期为π的奇函数 B 、最小正周期为2π 的奇函数 C 、最小正周期为π的偶函数 D 、最小正周期为2 π 的偶函数 3.（2009浙江文）已知a 是实数，则函数()1sin f x a ax =+的图象不可能．．． 是（ ） 4.(2009山东卷文)将函数 sin 2y x =的图象向左平移 4 π 个单位, 再向上平移1个单位,所得图象的函数解析式是 A. 22cos y x = B. 2 2sin y x = C.)4 2sin(1π++=x y D. cos 2y x = 5.（2009江西卷文）函数()(13)cos f x x x =的最小正周期为 A ．2π B ． 32π C ．π D ． 2 π 6.（2009全国卷Ⅰ文）如果函数3cos(2)y x φ=+的图像关于点4( ,0)3 π 中心对称，那么φ的最小值为 A. 6π B.4π C. 3π D. 2π 7.（2008海南、宁夏文科卷）函数 ()cos 22sin f x x x =+的最小值和最大值分别为（ ） A. －3，1 B. －2，2 C. －3， 3 2 D. －2， 32 8.（2007海南、宁夏）函数 πsin 23y x ??=- ???在区间ππ2?? -???? ，的简图是（ ） 高中数学：函数的概念及其表示 1．函数与映射的概念 2．函数的三要素 函数由________、________和对应关系三个要素构成，在函数y ＝f (x )，x ∈A 中，x 叫作自变量，x 的取值范围A 叫作函数的________；与x 的值相对应的y 值叫作函数值，函数值的集合{f (x )|x ∈A }叫作函数的________． 3. 函数的表示法 函数的常用表示方法有：________、________、________． 4．分段函数 若函数在其定义域内，对于定义域内的不同取值区间，有着不同的________，这样的函数通常叫作分段函数．分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数． 常用结论 1．常见函数定义域： (1)分式函数中分母不等于0. (2)偶次根式函数的被开方式大于或等于0. (3)一次函数、二次函数的定义域为R . (4)y ＝a x (a >0且a ≠1)，y ＝sin x ，y ＝cos x 的定义域均为R . (5)y ＝tan x 的定义域为???? ??xx ∈R 且x ＝k π＋π 2，k ∈Z . 2．基本初等函数的值域： (1)y ＝kx ＋b (k ≠0)的值域是R . (2)y ＝ax 2 ＋bx ＋c (a ≠0)的值域是：当a >0时，值域为??? ?4ac －b 2 4a ，＋∞；当a <0时，值 域为? ??? －∞，4ac －b 2 4a . (3)y ＝k x (k ≠0)的值域是{y |y ≠0}． (4)y ＝a x (a >0且a ≠1)的值域是(0，＋∞)． (5)y ＝log a x (a >0且a ≠1)的值域是R . 题组一 常识题 1．[教材改编] 以下属于函数的有________．(填序号) ①y ＝±x ；②y 2＝x －1；③y ＝x －2＋1－x ； ④y ＝x 2－2(x ∈N )． 2．[教材改编] 已知函数f (x )＝? ????ln x －2，x >0， x ＋a ，x ≤0，若f [f (e)]＝2a ，则实数a ＝________． 3．[教材改编] 函数f (x )＝ 8－x x ＋3 的定义域是________． 题组二 常错题 ◆ 索引：函数概念理解不透彻；分段函数解不等式忘记范围；换元法求解析式，反解忽视范围；函数值域理解不透彻． 4．已知集合P ＝{x |0≤x ≤4}，Q ＝{y |0≤y ≤2}，下列从P 到Q 的各对应关系f 不是函数的是________． ①f ：x →y ＝12x; ②f ：x →y ＝1 3x ； ③f ：x →y ＝2 3 x; ④f ：x →y ＝x . 5．设函数f (x )＝???（x ＋1）2 ，x <1， 4－x －1，x ≥1， 则使得f (x )≥1的自变量x 的取值范围为 ______________． 6．已知f (x )＝x －1，则f (x )＝________． 7．若一系列函数的解析式相同、值域相同，但其定义域不同，则称这些函数为“同族函数”，那么函数解析式为y ＝x 2，值域为{1，4}的“同族函数”共有________个． 题组三 常考题 8．[2015·重庆卷改编] 函数f (x )＝lg(x 2＋x －6)的定义域是________． 9．[2015·全国卷Ⅱ改编] 函数f (x )＝? ????1＋log 3（3－x ），x <1，x 2＋2，x ≥1，则f (－6)＋f (2)＝________. 探究点一 函数的定义域 考向1 求给定函数解析式的定义域 经典函数测试题及答案 （满分：150分 考试时间：120分钟） 一、选择题：本大题共12小题。每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的。 1．函数)12(-=x f y 是偶函数，则函数)2(x f y =的对称轴是 （ ） A ．0=x B ．1-=x C ．21= x D ．2 1-=x 2．已知1,10-<<x 时，,log )(2x x f =则当0 2016年高考理科数学大题预测及重要公式 11年考题12年考题13年考题14年考题15年考题 17题解三角形：正弦定理 C R c B R b A R a C c B b A a sin 2 = sin 2 = sin 2 = sin = sin = sin 用角表示边： 边转化为角； 三角形内角和公式： ） －（C A B+ 180 = 和差化积公式： ) 45 cos( = sin 2 2 + cos 2 2 C C C－ 三角形面积公式： A bc B ac C ab S sin 2 1 sin 2 1 sin 2 1 = = = ? 解三角形：由内角和定理知 ） －（C A B+ 180 = 代入 cos()cos1 A C B -+=中消去 B角,将2 a c =利用正弦定理 C R c B R b A R a sin 2 = sin 2 = sin 2 = 用角表示边： 边转换成角，得C A sin 2 = sin 解三角形： 已知B c C b a sin + cos =，求 B,利用正弦定理将边转换成角： C R c B R b A R a sin 2 = sin 2 = sin 2 = 用角表示边： 即有： 由内角和定理 B Cs C B A in sin + cos sin = sin 知 ） －（C B A+ 180 = 代入, ) + sin( = sin C B A C B C B C B sin cos + cos sin = ) + sin( 有 B B cos = sin, 等比数列：已知递推公式： 1 a=1，131 n n a a + =+， 证明{}12n a+是等比数列，求 {} n a的通项公式。 1 11 3() 22 n n a a + +=+ 1 13 22 a+=，所以 1 {} 2 n a+是首 项为3 2 ，公比为3的等比数列 13 22 n n a+=，因此{} n a的通 项公式为 31 2 n n a - = 解三角形：三角形面积公式： A bc B ac C ab S sin 2 1 = sin 2 1 = sin 2 1 = 利用正弦定理将边转换成角： C R c B R b A R a sin 2 = sin 2 = sin 2 = 用角表示边： 余弦定理： C ab b a c B ac c a b A bc c b a cos 2 + = cos 2 + = cos 2 + = 2 2 2 2 2 2 2 2 2 － － － 推论： ab c b a C ac b c a B bc a c b A 2 + = cos 2 + = cos 2 + = cos 2 2 2 2 2 2 2 2 2 － － － 高中数学导数典型例题 题型一：利用导数研究函数的单调性、极值、最值 1. 已知函数32()f x x ax bx c =+++ 过曲线()y f x =上的点(1,(1))P f 的切线方程为y=3x +1 。 （1）若函数2)(-=x x f 在处有极值，求)(x f 的表达式； （2）在（1）的条件下，求函数)(x f y =在[－3，1]上的最大值； （3）若函数)(x f y =在区间[－2，1]上单调递增，求实数b 的取值范围 2. 已知).(323 2)(23R a x ax x x f ∈--= (1)当41||≤ a 时, 求证：)x (f 在)1,1( -内是减函数; (2)若)x (f y =在)1,1( -内有且只有一个极值点, 求a 的取值范围. 题型二：利用导数解决恒成立的问题 例1：已知322()69f x x ax a x =-+（a ∈R ） ． （Ⅰ）求函数()f x 的单调递减区间； （Ⅱ）当0a >时，若对[]0,3x ?∈ 有()4f x ≤恒成立，求实数a 的取值范围． 例2：已知函数222()2()21x x f x e t e x x t =-++++，1()()2g x f x '= ． （1）证明：当t <时，()g x 在R 上是增函数； （2）对于给定的闭区间[]a b ，，试说明存在实数 k ，当t k >时，()g x 在闭区间[]a b ， 上是减函数； （3）证明： 3()2 f x ≥． 例3：已知3)(,ln )(2-+-==ax x x g x x x f （1）求函数)(x f 在)0](2,[>+t t t 上的最小值 （2）对(0,),2()()x f x g x ?∈+∞≥恒成立，求实数a 的取值范围 题型三：利用导数研究方程的根 例4：已知函数a x ax x f 313)(23-+-=. （Ｉ）讨论函数)(x f 的单调性； （Ⅱ）若曲线()f x 上两点A 、B 处的切线都与y 轴垂直，且线段AB 与x 轴有公共点，求实 数a 的取值范围. 北京第十八中学高三数学第一轮复习 14 函数的表示法求解 析式教学案（教师版） 一、课前检测 1．若函数()f x 满足2(1)2f x x x +=-，则f = . 答案：6- 2.已知()()()23,2f x x g x f x =++=，则()g x = . 答案：21x - 3. 若)(x f 是一次函数，14)]([-=x x f f 且，则)(x f = . 答案：()123f x x =- 或()21f x x =-+ 二、知识梳理 求函数解析式的题型有： 1.已知函数类型，求函数的解析式：待定系数法； 解读： 2.已知()f x 求[()]f g x 或已知[()]f g x 求()f x ：换元法、配凑法； 解读： 3.已知函数图像，求函数解析式； 解读： 4.()f x 满足某个等式，这个等式除()f x 外还有其他未知量，需构造另个等式：解方程组法； 解读： 5.应用题求函数解析式常用方法有待定系数法等． 解读： 三、典型例题分析 例1 设2211(),f x x x x +=+ ，求()f x 的解析式. 答案：()22f x x =- 变式训练1：设(cos )cos 2,(sin )f x x f x =求的解析式. 答案：()2sin 1f x x =- 变式训练2：设33221)1(,1)1(x x x x g x x x x f +=++=+， 求)]([x g f . 答案：()22f x x =-，()33g x x x =-，642[()]692f g x x x x =-+- 小结与拓展：配凑法 例2 设23)1(2+-=+x x x f ，求)(x f 的解析式. 答案：2()56f x x x =-+ 变式训练1：已知21lg f x x ??+= ???，求)(x f 的解析式. 答案：2 ()lg 1f x x =- 变式训练2：设x x f 2cos )1(cos =-，求)(x f 的解析式. 答案：2()21f x x x =++ 小结与拓展：换元法 例3 已知()f x 是一次函数，且满足3(1)2(1)217f x f x x +--=+， 求()f x 的解析式； 答案：()27f x x =+ 变式训练1：已知12()3f x f x x ?? += ???，求)(x f 的解析式. 答案：1 ()2f x x x =- （满分：150分 考试时间：120分钟） 一、选择题：本大题共12小题。每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的。 1．函数)12(-=x f y 是偶函数，则函数)2(x f y =的对称轴是 （ ） A ．0=x B ．1-=x C ．21= x D ．2 1-=x 2．已知1,10-<<x 时，,log )(2x x f =则当0 高考数学历年函数试 题及答案 1. 设（x ）是定义在R 上的偶函数，其图象关于直线x=1对称，对任意x 1,x 2∈ [0，2 1 ]都有).()()(2121x f x f x x f ?=+ （Ⅰ）设);4 1 (),21(,2)1(f f f 求= （Ⅱ）证明)(x f 是周期函数。 2. 设函数.,1|2|)(2R x x x x f ∈--+= （Ⅰ）判断函数)(x f 的奇偶性； （Ⅱ）求函数)(x f 的最小值. 3． 已知函数()2sin (sin cos f x x x x =+ （Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期和最大值； （Ⅱ）在给出的直角坐标系中，画出函数 ()y f x =在区间,22ππ??-? ??? 上的图象 x 4．（本小题满分12分）求函数x x x x x x f 2sin 2cos sin cos sin )(2244-++=的最小正周 期、最大值和最小值. 5．（本小题满分12分）已知13)(23+-+=x x ax x f 在R 上是减函数，求a 的取值范围. 6.△ABC 的三个内角为A 、B 、C ，求当A 为何值时，2 cos 2cos C B A ++取得最大值，并求出这个最大值 7.设a 为实数，函数x a ax x x f )1()(223-+-=在)0,(-∞和),1(+∞都是增函数， 求 a 的取值范围. 8. 设函数f (x )=2x 3+3ax 2+3bx+8c 在x =1及x =2时取得极值. (Ⅰ)求a 、b 的值; (Ⅱ)若对于任意的x ,3,0〕〔∈ 都有f (x )＜c 2成立，求c 的取值范围. 9.已知函数32()1f x x ax x =+++，a ∈R ． （Ⅰ）讨论函数()f x 的单调区间； （Ⅱ）设函数()f x 在区间2133?? -- ??? ，内是减函数，求a 的取值范围． 10.在ABC ?中，内角A 、b 、c 的对边长分别为a 、b 、c.已知222a c b -=，且 sin 4cos sin B A C =，求b. 函数 31．（本小题满分14分） 已知二次函数()y g x =的导函数的图像与直线2y x =平行，且()y g x =在1x =-处取得极小值1(0)m m -≠．设() ()g x f x x = ． （1）若曲线()y f x =上的点P 到点(0,2)Q m 的值； （2）()k k R ∈如何取值时，函数()y f x kx =-存在零点，并求出零点． 32．（2010年高考福建卷理科10）对于具有相同定义域D 的函数f(x)和g(x),若存在函数 h(x)=kx+b(k,b 为常数),对任给的正数m,存在相应的0x D ∈,使得当x D ∈且0x x >时,总有 0()()0()() ③2x +1f(x)=x ,xlnx+1g(x)=lnx ; ④2 2x f(x)=x+1 ,-x g(x)=2x-1-e )（. 其中, 曲线y=f(x)和y=g(x)存在“分渐近线”的是( ) A. ①④ B. ②③ C.②④ D.③④ 33. (2010年高考天津卷理科 16)设函数2()1f x x =-，对任 意 3[,)2x ∈+∞,2()4()(1)4()x f m f x f x f m m -≤-+ 恒成立，则实数m 的取值范围是 。 34．（2010 年高考江苏卷试题11）已知函数21,0()1, 0x x f x x ?+≥=? 的x 的范围是__▲___。 35．（2010年高考江苏卷试题14）将边长为1m 正三角形薄片，沿一条平行于底边的直线 剪成两块，其中一块是梯形，记2 (S =梯形的周长） 梯形的面积 ,则S 的最小值是____▲____。 36已知函数()(1)ln 1f x x x x =+-+. （Ⅰ）若2 '()1xf x x ax ≤++，求a 的取值范围； （Ⅱ）证明：(1)()0x f x -≥ .2021届高考数学核按钮【新高考广东版】3.1 函数的概念及其表示
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