【3年高考2年模拟】第十二章系列4第三节4-4坐标系与参数方程
第一部分 三年高考荟萃 2012年高考数学 坐标系与参数方程
一、填空题
1 ．（2012陕西文）直线2cos 1ρθ=与圆2cos ρθ=相交的弦长为___________。
2 ．（2012湖南文）在极坐标系中,曲线1C
:sin )1ρθθ+=与曲线2C :a ρ=(0)
a >的一个交点在极轴上,则a =_______.
3 ．（2012广东文）(坐标系与参数方程)在平面直角坐标系xOy 中,曲线1C 和2C 的参数方程分
别为x y θθ
?=??=??(θ为参数,02πθ≤≤)
和12x y ?=-????=-??
(t 为参数),则曲线1C 与2C 的交
点坐标为________.
4 ．（2012上海理）如图,在极坐标系中,过点)0,2(M 的直线l
6πα=.若将l 的极坐标方程写成)(θρf =的形式,则
=)(θf _________ .
5．（2012陕西理）(坐标系与参数方程)直线2cos 1ρθ=与圆2cos ρθ=相交的弦长为
___________.
6．（2012湖南理）在直角坐标系xOy 中,已知曲线1C :1,
12x t y t =+??=-?
(t 为参数)与曲线
2C :sin ,
3cos x a y θθ=??=?
(θ为参数,0a >) 有一个公共点在X 轴上,则__a =.
7．（2012湖北理）(选修4-4:坐标系与参数方程)在直角坐标系xOy 中,以原点O 为极点,x 轴
的正半轴为极轴建立极坐标系. 已知射线π
4θ=与曲线2
1,(1)
x t y t =+??=-?(t 为参数)相交于A ,B 两点,则线段AB 的中点的直角坐标为__________.
8．（2012广东理）(坐标系与参数方程)在平面直角坐标系xOy 中,曲线1C 和2C 的参数方程分
别为x t y =???=??(t 为参数)和x y θ
θ
?=??=??(θ为参数),则曲线1C 与2C 的交点坐标为
________.
9．（2012北京理）直线2,1x t y t =+??
=--?(t 为参数)与曲线3cos 3sin x y =α
??=α?
(α为参数)的交点个数为
____________.
10．（2012安徽理）在极坐标系中,圆4sin ρθ=的圆心到直线()6
R π
θρ=∈的距离是_____
二、解答题
11．（2012辽宁文理）选修4-4:坐标系与参数方程
在直角坐标xOy 中,圆221:4C x y +=,圆22
2:(2)4C x y -+=.
(Ⅰ)在以O 为极点,x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,分别写出圆12,C C 的极坐标方程,并求出圆12,C C 的交点坐标(用极坐标表示); (Ⅱ)求圆12C C 与的公共弦的参数方程.
12．（2012新课标文理）选修4-4:坐标系与参数方程
已知曲线1C 的参数方程是2cos 3sin x y ?
?=??=?
(?是参数),以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为
极轴建立极坐标系,曲线2C :的极坐标方程是ρ=2,正方形ABCD 的顶点都在2C 上,且
A,B,C,D 依逆时针次序排列,点A 的极坐标为(2,3
π
). (Ⅰ)求点A,B,C,D 的直角坐标;
(Ⅱ)设P 为1C 上任意一点,求2
2
2
2
||||||||PA PB PC PD +++的取值范围.
13．（2012江苏）[选修4 - 4:坐标系与参数方程]在极坐标中,已知圆C 经过点(
)
4
P
π
，
,圆
心为直线sin 3ρθπ?
?-= ???
与极轴的交点,求圆C 的极坐标方程.
14．（2012福建理）选修4-4:坐标系与参数方程
在平面直角坐标系中,以坐标原点O 为几点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.已知直
线l 上两点,M N 的极坐标分别
为(2,0),(
)32
π
,圆C 的参数方
程22cos 2sin x y θθ
=+??
?
=??(θ为参数). (Ⅰ)设P 为线段MN 的中点,求直线OP 的平面直角坐标方程; (Ⅱ)判断直线l 与圆C 的位置关系.
参考答案
一、填空题
1. 解析:将极坐标方程化为普通方程为12
x =
与22
2x y x +=,联立方程组成方程组求出两
交点的坐标1(,
22
和1(,)22-,
2.
【答案】
2
【解析】曲线1C
1y +=,曲线2C 的普通方程是直角坐标方程
222x y a +=,因为曲线C 1
:sin )1ρθθ+=与曲线C 2:a ρ=(0)a >的一个交点
在极轴上,所以1C 与x 轴交点横坐标与a 值相等,
由0,2y x ==
,知a
=2
. 【点评】本题考查直线的极坐标方程、圆的极坐标方程,直线与圆的位置关系,考查转化的思想、方程的思想,考查运算能力;题型年年有,难度适中.把曲线1C 与曲线2C 的极坐标方程都转化为直角坐标方程,求出与x 轴交点,即得.
3. 解析:()2,1.法1:曲线1C 的普通方程是225x y +=(0x ≥,0y ≥),曲线2C 的普通方程是
10x y --=,联立解得21x y =??=?(舍去1
2
x y =-??=-?),所以交点坐标为()2,1. 法2:联
立c o s 12
s i n 2θ
θ=-?=-,消去参数θ可
得
22
1522????
-+-= ? ? ? ?????
,解
得1t =舍去
),2t =于是2
1x y =??=?
,所以交点坐标为()2,1.
4. [解析] )0,2(M 的直角坐标也是(2,0),斜率3
1
=
k ,所以其直角坐标方程为
23=-y x ,
化为极坐标方程为:2sin 3cos =-θρθρ,1)sin cos (2
3
21=-θθρ,
1)sin(6
=-θρπ,)sin(1
6
θπρ-=,即=
)(θf )sin(1
6
θπ-.(或=
)(θf )cos(13
πθ+)
5.解析:将极坐标方程化为普通方程为12
x =
与22
2x y x +=,联立方程组成方程组求出两交
点的坐标1(2和1(,2-,. 6. 【答案】
3
2
【解析】曲线1C :1,12x t y t
=+??
=-?直角坐标方程为32y x =-,与x 轴交点为3
(,0)2;
曲线2C :sin ,3cos x a y θθ=??=?
直角坐标方程为22
219x y a +=,其与x 轴交点为(,0),(,0)a a -,
由0a >,曲线1C 与曲线2C 有一个公共点在X 轴上,知3
2
a =
. 【点评】本题考查直线的参数方程、椭圆的参数方程,考查等价转化的思想方法等.曲线1C 与曲线2C 的参数方程分别等价转化为直角坐标方程,找出与x 轴交点,即可求得.
7.考点分析:本题考察平面直角坐标与极坐标系下的曲线方程交点.
解析:π
4θ=
在直角坐标系下的一般方程为)(R x x y ∈=,将参数方程21,(1)x t y t =+??=-?
(t 为参数)转化为直角坐标系下的一般方程为2
2
2
)2()11()1(-=--=-=x x t y 表示一条抛物线,联立上面两个方程消去y 有0452
=+-x x ,设B A 、两点及其中点P 的横坐标分别为0x x x B A 、、,则有韦达定理2
5
20=+=
B A x x x ,又由于点P 点在直线x y =上,因此AB 的中点)2
5
,25(P .
8.解析:()1,1.法1:曲线1C 的普通方程是2y x =(0y ≥),曲线2C 的普通方程是222x y +=,联
立解得1
1x y =??=?,所以交点坐标为()1,1.
法2:联立c o s
i n
t θθ?=?,可得
2cos 2si n θθ=,即22cos 20θθ-=,解得
cos
θ或cos θ=舍去),所以11t =??
=,交点坐标为()1,1. 9. 【答案】2
【解析】直线转化为1x y +=,曲线转化为圆2
2
9x y +=,将题目所给的直线和圆图形作
出,易知有两个交点.
【考点定位】 本题考查直线和圆的位置关系,而且直线和圆是以参数方程的形式给出的,学生平时对消参并不陌生的话,此题应该是比较容易的.
10.
圆2
2
4sin (2)4x y ρθ=?+-=的圆心(0,2)C
直线:()06
l R x π
θρ=
∈?=;点C 到直线l
=
二、解答题
11. 【答案与解析】
【命题意图】本题主要考查点的极坐标表示、圆的极坐标方程、参数方程的表示及参数方程与一般方程的转换、解方程组的知识，难度较小。
【解析】圆1C 的极坐标方程为=2ρ，圆2C 的极坐标方程为=4cos ρθ，
解=2=4cos ρρθ
???得=2,=3πρθ±，故圆1C 与圆2C 交点的坐标为2,,2,-33ππ???? ? ????? ……5分
注：极坐标系下点的表示不唯一 （2）（解法一）由=cos =sin x y ρθ
ρθ
??
?，得圆1C 与圆2C
交点的直角坐标为(
(,
故圆1C 与圆2C
的公共弦的参数方程为=1
=x y t ???
（或参数方程写成=1
=x y y y
?≤≤?? … 10分 （解法二） 将=1x 代入=cos =sin x y ρθρθ??
?
，得cos =1ρθ，从而1
=cos ρθ
于是圆1C 与圆2C 的公共弦的参数方程为=1-=tan 3
3x y ππ
θθ?≤≤?
?
【点评】本题要注意圆2
2
1:4C x y +=的圆心为)0,0(半径为21=r ，圆2
2
2:(2)4C x y -+=的圆心为)0,2(半径为22=r ，从而写出它们的极坐标方程；对于两圆的公共弦，可以先求出其代数形式，然后化成参数形式，也可以直接根据直线的参数形式写出。 12. 【命题意图】本题考查了参数方程与极坐标,是容易题型.
【解析】(Ⅰ)由已知可得(2cos
,2sin )33A π
π,(2cos(),2sin())3232
B ππππ
++, (2cos(),2sin())33C ππππ++,33(2cos(),2sin())3232
D ππππ
++,
即
(Ⅱ)设(2cos ,3sin )P ??,令S =2222
||||||||PA PB PC PD +++, 则S =2
2
16cos 36sin 16??++=2
3220sin ?+, ∵2
0sin 1?≤≤,∴S 的取值范围是[32,52].
13. 【答案】解:∵圆C 圆心为直线sin 3ρθπ?
?-= ???
与极轴的交点,
∴在sin 3ρθπ?
?-= ??
?中令=0θ,得1ρ=.
∴圆C 的圆心坐标为(1,0).
∵圆C 经过点(
)4
P
π
，
,∴圆C 的半径为PC .
∴圆C 经过极点.∴圆C 的极坐标方程为=2cos ρθ. 【考点】直线和圆的极坐标方程.
【解析】根据圆C 圆心为直线sin 3ρθπ?
?-= ???
与极轴的交点求出的圆心坐标;根据圆
C 经过点(
)
4
P
π
，
求出圆C 的半径.从而得到圆C 的极坐标方程. 14. 【考点定位】本题主要考查极坐标与参数方程的互化、圆的参数方程等基础知识,考查运
算求解能力,考查转化与化归的思想.
【解析】(Ⅰ)由题意知(2,0),M N ,因为P 是线段MN 中点,则P ,
因此PO 直角坐标方程为:.3
y x =
(Ⅱ)因为直线l 上两点(2,0),(0,
3
M N
∴l 垂直平分线方程为30y -=,圆心(2,半径2r =.
∴3
2
d r =
=
<,故直线l 和圆C 相交. 【考点定位】本题主要考查极坐标与参数方程的互化、圆的参数方程等基础知识,考查运算求解能力,考查转化化归思想.
2011年高考题 一、选择题
1.（安徽理5）在极坐标系中，点θρπ
cos 2)3,2(=到圆的圆心的距离为
（A ）2 （B ）
942
π+
（C ）
912
π+
（D ）3
【答案】D
2.（北京理3）在极坐标系中，圆ρ=-2sin θ的圆心的极坐标系是
A ．(1,)
2π
B ．
(1,)
2π
-
C ． (1,0)
D ．(1，π)
【答案】B
3.（天津理11）已知抛物线C 的参数方程为28,8.
x t y t ?=?
=?（t 为参数）若斜率为1的
直线经过抛物线C 的焦点，且与圆
()2
224(0)
x y r r -+=>相切，
则r =________.
二、填空题 1.（陕西理15）（考生注意：请在下列三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题评10.分）
C ．（坐标系与参数方程选做题）直角坐标系xoy 中，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建
立极坐标系，设点A ，B 分别在曲线
13cos :4sin x C y θ
θ=+??
=+?（θ为参数）和曲线2:1C ρ=上， 则
AB
的最小值为 。
答案 3
2.（湖南理9）在直角坐标系xOy 中，曲线C1的参数方程为cos ,
1sin x y αα=??
=+?（α为参数）在极
坐标系（与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴）中，曲线C2的方程为()cos sin 10
ρθθ-+=，则C1与C2的交点个数为
【答案】2
3.（江西理15）（1）（坐标系与参数方程选做题）若曲线的极坐标方程为=2sin 4cos ,ρθθ+以极点为原点，极轴为x 轴正半轴建立直角坐标系，则该曲线的直角坐标方程为
【答案】
22
420x y x y +--=
4.（广东理14）（坐标系与参数方程选做题）已知两曲线参数方程分别为
(0)sin x y θθπθ?=?≤
=??和25()4x t t R y t ?
=?∈??=?，它们的交点坐标为___________．
【答案】
三、简答题
1.（福建理21）本题设有（1）、（2）、（3）三个选考题，每题7分，请考生任选2题做答，满分14分，如果多做，则按所做的前两题计分，做答时，先用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑，并将所选题号填入括号中。 （2）（本小题满分7分）选修4-4：坐标系与参数方程
在直接坐标系xOy 中，直线l 的方程为x-y+4=0，曲线C 的参数方程为
x y sin α
αα?=??
=??（为参数）．
（I ）已知在极坐标（与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半
轴为极轴）中，点P 的极坐标为（4，2π），判断点P 与直线l 的位置关系；
（II ）设点Q 是曲线C 上的一个动点，求它到直线l 的距离的最小值．
答案 （2）选修4—4：坐标系与参数方程
本小题主要考查极坐标与直角坐标的互化、椭圆的参数方程等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想。满分7分。
解：（I ）把极坐标系下的点(4,)
2P π
化为直角坐标，得P （0，4）。
因为点P 的直角坐标（0，4）满足直线l 的方程40x y -+=， 所以点P 在直线l 上，
（II ）因为点Q 在曲线C 上，故可设点Q
的坐标为,sin )αα， 从而点Q 到直线l 的距离为
2cos()4
)6d π
απα++===++，
由此得，当cos()1
6π
α+=-时，d
2.（辽宁理23）选修4-4：坐标系统与参数方程
在平面直角坐标系xOy 中，曲线C1的参数方程为??
?==??sin cos y x （?为参数），曲线C2的参数方程为??
?==??
sin cos b y a x （0>>b a ，?为参数），在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标 系
中，射线l ：θ=α与C1，C2各有一个交点．当α=0时，这两个交点间的距离为2，当α=2
π时，这两个交点重合．
（I ）分别说明C1，C2是什么曲线，并求出a 与b 的值；
（II ）设当α=4π时，l 与C1，C2的交点分别为A1，B1，当α=4π
-
时，l 与C1，C2的交点
为A2，B2，求四边形A1A2B2B1的面积． 解：
（I ）C1是圆，C2是椭圆.
当0α=时，射线l 与C1，C2交点的直角坐标分别为（1，0），（a ，0），因为这两点间的距离为2，所以a=3.
当
2π
α=
时，射线l 与C1，C2交点的直角坐标分别为（0，1），（0，b ），因为这两点重
合，所以b=1.
（II ）C1，C2的普通方程分别为2
2
2
21 1.
9x x y y +=+=和
当
4π
α=
时，射线l 与C1交点A1
的横坐标为
x =
，与C2交点B1的横坐标为
10x '=
当
4π
α=-
时，射线l 与C1，C2的两个交点A2，B2分别与A1，B1关于x 轴对称，因此，
四边形A1A2B2B1为梯形.
故四边形A1A2B2B1的面积为
(22)()2
.
25x x x x ''+-= …………10分
3.（全国新课标理23）选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为2cos (22sin x y α
αα=??
=+?为参数）
，M 为1C 上的动点，
P 点满足2OP OM =
，点P 的轨迹为曲线2C
．
（I ）求
2
C 的方程；
（II ）在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线3π
θ=
与1C 的异于极点的交
点为A ，与
2
C 的异于极点的交点为B ，求|AB|.
答案 解：（I ）设P(x ，y)，则由条件知M(
2,2Y X ).由于M 点在C1上，所以 ???????
???????+=?=sin 222,cos 22y x 即 ???????+=?=sin 44cos 4y x
从而2C 的参数方程为
4cos 44sin x y αα=??
=+?（α为参数）
（Ⅱ）曲线1C 的极坐标方程为4sin ρθ=，曲线2C 的极坐标方程为8sin ρθ=．
射线
3π
θ=
与1C 的交点A 的极径为
14sin
3π
ρ=，
射线
3π
θ=
与2C 的交点B 的极径为
28sin
3π
ρ=．
所以21||||AB ρρ-==
2010年高考题
1.（2010湖南文）4. 极坐标cos p θ=和参数方程12x t y t ?=--?
=+?（t 为参数）所表示的图形分别
是
A. 直线、直线
B. 直线、圆
C. 圆、圆
D. 圆、直线 【答案】 D
3.（2010北京理）极坐标方程（p-1）（θπ
-）=（p≥0）表示的图形是（A）两个圆（B）两条直线
（C）一个圆和一条射线（D）一条直线和一条射线【答案】C
4.（2010湖南理）极坐标方程
cos
ρθ
=和参数方程
1
23
x t
y t
=--
?
?
=+
?（t为参数）所表示的图形分
别是
A、圆、直线
B、直线、圆
C、圆、圆
D、直线、直线
5.（2010安徽理）设曲线C的参数方程为
23cos
13sin
x
y
θ
θ
=+
?
?
=-+
?（θ为参数），直线l的方程为
320
x y
-+=，则曲线C上到直线l
距离为的点的个数为
A、1
B、2
C、3
D、4 【答案】B
【解析】化曲线C的参数方程为普通方程：
22
(2)(1)9
x y
-++=，圆心(2,1)
-到直线
320 x y
-+=
的距离
3
d==<
，直线和圆相交，过圆心和l平行的
直线和圆的2个交点符合要求，
又
3
>
，在直线l的另外一侧没有圆上的点符合
要求，所以选B.
【方法总结】解决这类问题首先把曲线C的参数方程为普通方程，然后利用圆心到直线的距
离判断直线与圆的位置关系，这就是曲线C上到直线l
距离为
，然后再判断知3
>-
，进而得出结论.
二、填空题
6.（坐标系与参数方程选做题）参数方程
cos,
1sin
x
y
α
α
=
?
?
=+
?（α为参数）化成普通方程为
【答案】x2＋（y－1）2＝1.
解析：
1
sin
cos
)1
(2
2
2
2=
+
=
-
+α
α
y
x
7.（2010天津理）已知圆C的圆心是直线
1,
(
1
x
t
y t
=
?
?
=+
?
为参数）
与x轴的交点，且圆C与直线x+y+3=0相切，则圆C的方程为
【答案】
22
(1)2
x y
++=
本题主要考查直线的参数方程，圆的方程及直线与圆的位置关系等基础知识，属于容易题。令y=0得t=-1，所以直线
1
x t
y t
=
?
?
=+
?与x轴的交点为（-1.0）
因为直线与圆相切，所以圆心到直线的距离等于半径，即
r==
，所以圆C的方程为
22
(1)2
x y
++=
【温馨提示】直线与圆的位置关系通常利用圆心到直线的距离或数形结合的方法求解。
8.（2010广东理）（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系（ρ，θ）（0 ≤θ<2π）中，曲线ρ=2sinθ与cos1
pθ=-的交点的极坐标为______．
【答案】
3
)
4
π
．
由极坐标方程与普通方程的互化式
cos,
sin
x
y
ρθ
ρθ
=
?
?
=
?知，这两条曲线的普通方程分别为222,1
x y y x
+==-．解得
1,
1.
x
y
=-
?
?
=
?由
cos,
sin
x
y
ρθ
ρθ
=
?
?
=
?得点（-1，1
）的极坐标为
3
)
4
π
．9.（2010广东文）（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系
)
,
(θ
ρ)
2
0(π
θ≤
≤中，曲线
1)sin (cos =+θθρ与1)sin (cos =-θθρ的交点的极坐标为
.
三、简答题
10.（2010辽宁理）（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
（θ为参数，πθ≤≤0）上的点，点A 的坐标为（1,0）， 已知P 为半圆C ：
O 为坐标原点，点M 在射线OP 上，线段OM 与C 的弧
的长度均为3π
。
（I ）以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求点M 的极坐标； （II ）求直线AM 的参数方程。 解：
（Ⅰ）由已知，M 点的极角为3π，且M 点的极径等于3π
， 故点M 的极坐标为（3π，3π
）. ……5分
（Ⅱ）M
点的直角坐标为（,
6
6π
），A （0,1），故直线AM 的参数方程为
1(1)6x t y π?
=+-???
?=??（t 为参数） ……10分
11.（2010福建理）本题设有（1）（2）（3）三个选考题，每题7分，请考生任选2题做答，满分14分。如果多做，则按所做的前两题计分。作答时，先用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑，并将所选题号填入括号中。 （1）（本小题满分7分）选修4-2：矩阵与变换
已知矩阵M=11a b ??
?
??，20c N d ??= ???，且2020MN ??= ?-??，
（Ⅰ）求实数,,,a b c d 的值；（Ⅱ）求直线3y x =在矩阵M 所对应的线性变换下的像的方程。 （2）（本小题满分7分）选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系xoy 中，直线l
的参数方程为3,x y ?=???
?=??（t 为参数）。在极坐标系（与直
角坐标系xoy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴）中，圆C 的方
程为ρθ=。
（Ⅰ）求圆C 的直角坐标方程；（Ⅱ）设圆C 与直线l 交于点A 、B ，若点P
的坐标为， 求|PA|+|PB|。
（3）（本小题满分7分）选修4-5：不等式选讲 已知函数()||f x x a =-。
（Ⅰ）若不等式()3f x ≤的解集为
{}|15x x -≤≤，求实数a 的值； （Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，若()(5)f x f x m ++≥对一切实数x 恒成立，求实数m 的取值范围。
（1）选修4-2：矩阵与变换
【命题意图】本小题主要考查矩阵与变换等基础知识，考查运算求解能力。
【解析】（Ⅰ）由题设得02200220c ad bc b d +=??+=??+=-??+=?，解得1122
a b c d =-??=-??=??=?；
（Ⅱ）因为矩阵M 所对应的线性变换将直线变成直线（或点），所以可取直线3y x =上的两（0，0），（1，3），
由001111-????= ???-????00?? ???，131111-????= ???-????22-?? ???得：点（0，0），（1，3）在矩阵M 所对应的
线性变换下的像是（0，0），（-2，2），从而
直线3y x =在矩阵M 所对应的线性变换下的像的方程为y x =-。
（2）选修4-4：坐标系与参数方程
【命题意图】本小题主要考查直线的参数方程、圆的极坐标方程、直线与圆的位置关系等基础知识，考查运算求解能力。
【解析】
（Ⅰ）由ρθ=
得22
0,x y +-=
即
22( 5.x y += （Ⅱ）将l 的参数方程代入圆C
的直角坐标方程，得
22
(3)()522-
+=，
即240,t -+=
由于
2
4420?=-?=>，故可设12,t t 是上述方程的两实根，
所以12124t t l P t t ?+=??
=??又直线过点故由上式及t 的几何意义得：
|PA|+|PB|=
12|t |+|t |=12t +t
=
（3）选修4-5：不等式选讲
【命题意图】本小题主要考查绝对值的意义、绝对值不等式等基础知识，考查运算求解能力。 【解析】（Ⅰ）由()3f x ≤得||3x a -≤，解得33a x a -≤≤+，
又已知不等式()3f x ≤的解集为{}|15x x -≤≤，所以31
35a a -=-??+=?
，解得2a =。 （Ⅱ）当2a =时，()|2|f x x =-，设()=()(5)g x f x f x ++，于是
()=|x-2||3|g x x ++=21,<3
5,3221,>2x x x x x ---??
-≤≤??
+?，所以
当x<-3时，g(x)>5；当-3x 2≤≤时，g(x)>5；当x>2时，g(x)>5。
12.（2010江苏卷） [选做题]本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答。若多做，则按作答的前两题评分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
选修4-4：坐标系与参数方程 （本小题满分10分）
在极坐标系中，已知圆ρ=2cos θ与直线3ρcos θ+4ρsin θ+a=0相切，求实数a 的值。 [解析] 本题主要考查曲线的极坐标方程等基本知识，考查转化问题的能力。满分10分。
解：22cos ρρθ=，圆ρ=2cos θ的普通方程为：
22222,(1)1x y x x y +=-+=， 直线3ρcos θ+4ρsin θ+a=0的普通方程为：340x y a ++=，
1,
=解得：2a =，或8a =-。
第二部分 两年模拟题
2012届高三模拟试题
1.（2012年西城二模理3）椭圆 3cos 5sin x y ?
?
=??
=?(?是参数)的离心率是（ B ）
A ．
35 B.45 C.925 D.1625
2.（2012年朝阳二模理5）在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为,
4x t y t =??
=+?
（t 为参数）．以
原点O 为极点，以x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程
为
s i n ()4
ρθπ
=+
，则直线l 和曲线C 的公共点有（ B ） A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．无数个
3.（2012年海淀二模理3）直线11x t
y t =+??=-?
（t 为参数）的倾斜角的大小为（ D ）
A ．4
-
π
B.
4π C.2
π D.
34
π
4.（2012年丰台二模理9）在极坐标系中，圆2sin ρθ=的圆心的极坐标是____． 答案：(1,
)2
π
。
5.（2012年昌平二模理4）已知直线l ：为参数）t t y t
x (1
???+==，圆C ：2cos ρθ=，则圆心C
到直线l 的距离是（ C ）
A. 2
B. 3
C. 2
D. 1
6.（2012年东城二模理10）若圆C 的参数方程为3cos 1,
3sin x y =+??=?
θθ（θ为参数），则圆C 的
答案：(1,0)；
2
7、（安徽省安庆市
2012年3月高三第二次模拟理科）以平面直角坐标系的原点为极点，以x
轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，则曲线
x x ?
?
?=??
=??（?为参数，R ?∈）上的点到曲线cos sin 4(,)R ρθρθρθ+=
∈的最短距离是
A 、
0 B 、
C 、1
D 、
【答案】B
8、（安徽省皖南八校2012届高三第二次联考理科）1()sin()
4
R ρπ
θ=
∈+的距
离为_____ 解答：
2
2
1sin cos 11sin()
4
x y ρθρθπ
θ=?+=?+=+，故2
2=
d . 9．（2012年西城区高三期末考试理2）已知圆的直角坐标方程为22
20x y y +-=．在以原 点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，该圆的方程为（ B ）
A ．2cos ρθ=
B ．2sin ρθ=
C ．2cos ρθ=-
D ．2sin ρθ=- 10.【广东省肇庆市2012届高三第一次模拟理】14.（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，圆2ρ=上的点到直线()
6sin 3cos =+θθρ的距离的最小值为 ▲ 【答案】1.
【解析】圆的直角坐标方程为2
2
4x y +=
，直线的直角坐标方程为60x +-=，圆心到
直线的距离|006|
32
d -=
=，所以圆上一点直线的最小值等于321d r -=-=
11.【广东省肇庆市2012届高三上学期期末理】15.（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系
),(θρ)20(πθ≤≤中，点 5(2,
)4P π
到直线cos()4
π
ρθ-=的距离等于
【答案】2【解析】点 5(2,
)4P π
的直角坐标为(
，直线cos()4
π
ρθ-=为20x y +-=
，所以2d =
=+.
12.【广东省镇江一中2012高三10月模拟理】15．（坐标系与参数方程选做题）已知点P （x,y ）在曲线2cos sin x y θθ
=-+??
=?（θ为参数，[,2)θππ∈上，则y
x 的取值范围为 ．
【答案】3
13.【广东省肇庆市2012届高三第二次模拟理】14.（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系
中，曲线2ρ=与cos sin 0θθ+=（0θπ≤≤）的交点的极坐标为 ▲ 【答案】32,4π??
???
【解析】解析1
：由2224cos sin 0x x y y x y ρθθ?==?+=???????+==-=????
x y ?=??=??（舍去）得32,
4π
??
???
解析2：由c o s s i n 0t a n 1θθθ+=?=-，因为0θπ≤≤，所以34πθ=
，故交点的极坐标为32,4
π
??
???
14.【广东省云浮中学2012届高三第一次模拟理】14．（坐标系与参数方程选做题）已知曲线
1C 、2C 的极坐标方程分别为2cos()2π
ρθ=-+
cos()104
π
θ-+=，则曲线1C 上的
点与曲线2C 上的点的最远距离为________.
1
15.【广东省镇江二中2012高三第三次月考理】14．（坐标系与参数方程）在平面直角坐标系下，曲线1:C 22x t a
y t =+??
=-?（t 为参数），曲线2:
C 2cos 22sin x y θ
θ
=??
=+?（θ为参数）.若曲线1C 、2C 有公共点，则实数a 的取值范围____________．
【答案】
16.【广东省粤西北九校2012届高三联考理】15．（极坐标与参数方程选做题）在极坐标系中,
过圆4cos ρθ=的圆心,且垂直于极轴的直线的极坐标方程是 .
【答案】cos 2ρθ=
17.【广东省深圳市松岗中学2012届高三理科模拟（2）】15、(坐标系与参数方程选做题)在
极坐标系(ρ，θ)(02θπ≤＜)中，曲线2sin ρθ=与cos 1ρθ=-的交点的极坐标为_____________．
【答案】3)4
π
18.【广东省深圳市松岗中学2012届高三理科模拟（4）】15．（《坐标系与参数方程》选做题）
以平面直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位．已知直线的极坐标方程为cos sin 20ρθρθ-+=，则它与曲线
sin cos 1sin 2x y αα
α
=+??
=+?（α为参数）的交点的直角坐标是 ． 【答案】()1,1-
19.【广东省英德市一中2012届高三模拟考试理】15.已知椭圆:C cos ,
()2sin x y θθθ
=?∈?
=?R 经过点1(,)2
m ，则m =______，离心率e =______.
【答案】415±
20.【广东省深圳市松岗中学2012届高三理科模拟（1）】15（坐标系与参数方程选做题）已
知直线的极坐标方程为sin()4
2
π
ρθ+=
，则点（0,0）到这条直线的距离是 .
【答案】
2
21.【广东省深圳高级中学2012届高三上学期期末理】14．(坐标系与参数方程选做题）极坐标系中，圆2
2cos 30ρρθ+-=上的动点到直线cos sin 70ρθρθ+-=的距离的最大值是 ． 【答案】224+
【解析】将极坐标方程转化为直角方程，圆的标准方程为0322
2
=-++x y x ，即
4)1(22=++y x ，圆心坐标为)0,1(-，半径为2=r 。直线方程为07=-+y x ，圆心到直
线的距离为r d >=--=
242
71，所以直线与圆相离，所以圆上动点到直线的最大距离为
224+=+r d 。
22.【广东省深圳市2012届高三第二次调研理】14．（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，已知直线
把曲线
所围成的区域分成面积相等的
两部分，则常数a 的值是 ． 【答案】1-
23.【广东省六校2012届高三第四次联考理科】14．（坐标系与参数方程选做题）已知曲线1C 、
2C 的极坐标方程分别为2cos()2πρθ=-+cos()104
π
θ-+=，则曲线1C 上的点与曲
线2C 上的点的最远距离为________.
1
24.【广东省茂名市2012年第二次高考模拟理】14．（坐标系与参数方程选做题）已知曲线C
的参数方程为1cos (sin x y θ
θθ=+??=?
为参数），则曲线C 上的点到直线02=++y x 的距离的最大
值为
高考试题汇编：坐标系与参数方程 1. x 4 cost x 8cos 已知曲线C1 : （t 为参数），C2 （为参数），y 3 sint y 3sin （1）化C1，C2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线； （2）若C1上的点P 对应的参数为t ，Q为C2上的动点，求PQ 中 1 2 1 2 x 3 2t 点M 到直线C3 : x 3 2t（t 为参数）距离的最小值. 3 y 2 t 解：（1）曲线C1的普通方程为（x 4）2（y 3）2 1，表示以点（ 4,3） 为圆心，半径r 1 的圆； 22 曲线C2的普通方程为x y 1，表示中心是坐标原点，焦点在x 轴2 64 9 上，长半轴长是8 ，短半轴长是3的椭圆； 2）点P的坐标为（ 4,4），设点Q的坐标为（8cos ,3sin ）， 8 58 5 5，当且仅当sin（） 1时，取最 小结：本题主要考查 1）参数方程与普通方程的互化； 2）动点到直线距离的最值问题；2
8 8 5 所以点 M 的坐标为 2 4cos ,2 32sin ， 直线 C 3的普通方程为 x 2y 7 0， 所以点 M 到直线 C 3 的距离为 d 2 4cos 4 3sin 7 5 13 5sin 5 小值 8 5 . 5
x 1 tcos x cos 已知直线 C 1: （ t 为参数），圆C 2 : （ 为参数）， y tsin y sin x cos 1）当 时，求 C 1和 C 2的交点坐 标； 2）过坐标原点 O 作 C 1的垂线，垂足为 A ,P 为OA 的中点.当 变化 时，求 P 点轨迹的参数方程，并指出它是什么曲线 . x 解：（1）当 时，则直线 C 1 : 31 y 1 1t 2 ， 3t ， 2 其普通方程为 3x y 3 0，圆 C 2的普通方程为 y 2 1， 联立得 x 2 3（x 1）2 1，解得 x 1 1 y 1 0 x 2 y 2 1 2 ， 3 2 1 所以 C 1和 C 2的交点坐标为 （1,0） ，（1, 2 23). 2）设垂足 A 点坐标为 1 tcos ,tsin ， 则 OA 1 tcos ,tsin ，直线 C 1 的方向向量为 （cos ,sin ) ， 所以 cos tcos 2 tsin 2 0 ，则 t cos ， 所以 A 点坐标为 1 cos 2 cos sin ，则 P 点坐标为 1 cos 2 sin2 ， 4,4 ， 所以 P 点轨迹的参数方程为 1 cos2 4 ( 为参数)， sin2 4 P 点轨迹的普通方程为 （x 14)2 2 1 y 16 ， 11 表示以 14,0 为圆心，半径为 14 4的圆.
参数方程极坐标系 解答题 1．已知曲线C：+=1，直线l：（t为参数） （Ⅰ）写出曲线C的参数方程，直线l的普通方程． （Ⅱ）过曲线C上任意一点P作与l夹角为30°的直线，交l于点A，求|PA|的最大值与最小值． +=1 ， ， 的距离为 则 取得最小值，最小值为 2．已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点处，极轴与x轴的正半轴重合，直线l的极坐标方程为： ，曲线C的参数方程为：（α为参数）． （I）写出直线l的直角坐标方程； （Ⅱ）求曲线C上的点到直线l的距离的最大值． 的极坐标方程为： cos=
∴ y+1=0 （ d= 的距离的最大值． 3．已知曲线C1：（t为参数），C2：（θ为参数）． （1）化C1，C2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线； （2）若C1上的点P对应的参数为t=，Q为C2上的动点，求PQ中点M到直线C3：（t为参数）距离的最小值． ：（化为普通方程得：+ t=代入到曲线 sin =，），﹣
4．在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立直角坐标系，圆C的极坐标方程为 ，直线l的参数方程为（t为参数），直线l和圆C交于A，B两点，P是圆C 上不同于A，B的任意一点． （Ⅰ）求圆心的极坐标； （Ⅱ）求△PAB面积的最大值． 的极坐标方程为，把 ，利用三角形的面积计算公式即可得出． 的极坐标方程为，化为= 把 ∴圆心极坐标为； （t ， = 距离的最大值为 5．在平面直角坐标系xoy中，椭圆的参数方程为为参数）．以o为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为．求椭圆上点到直线距离的最大值和最小值．
极坐标与参数方程单元练习1 一、选择题（每小题5分，共25分） 1、已知点M 的极坐标为?? ? ??35π，，下列所给出的四个坐标中能表示点M 的坐标是（ ）。 A. B. C. D. ?? ? ? ? -355π， 2、直线：3x-4y-9=0与圆：? ??==θθ sin 2cos 2y x ，(θ为参数)的位置关系是( ) A.相切 B.相离 C.直线过圆心 D.相交但直线不过圆心 3、在参数方程? ??+=+=θθ sin cos t b y t a x （t 为参数）所表示的曲线上有B 、C 两点，它们对应的参数值分别为t 1、 t 2，则线段BC 的中点M 对应的参数值是（ ） 4、曲线的参数方程为???-=+=1 2 32 2t y t x (t 是参数)，则曲线是（ ） A 、线段 B 、双曲线的一支 C 、圆 D 、射线 5、实数x 、y 满足3x 2 ＋2y 2 =6x ，则x 2 ＋y 2 的最大值为（ ） A 、 27 B 、4 C 、2 9 D 、5 二、填空题（每小题5分，共30分） 1、点()22-， 的极坐标为 。 2、若A ，B ?? ? ? ? -64π， ，则|AB|=___________，___________。（其中O 是极点） 3、极点到直线()cos sin 3ρθθ+=________ _____。 4、极坐标方程2sin 2cos 0ρθθ-?=表示的曲线是_______ _____。 5、圆锥曲线()为参数θθ θ ?? ?==sec 3tan 2y x 的准线方程是 。
6、直线l 过点()5,10M ，倾斜角是 3 π ，且与直线032=--y x 交于M ，则0MM 的长为 。 三、解答题（第1题14分，第2题16分，第3题15分；共45分） 1、求圆心为C ，半径为3的圆的极坐标方程。 2、已知直线l 经过点P(1,1),倾斜角6 π α=， （1）写出直线l 的参数方程。 （2）设l 与圆42 2=+y x 相交与两点A 、B ，求点P 到A 、B 两点的距离之积。 3、求椭圆14 92 2=+y x ）之间距离的最小值，与定点（上一点01P 。 极坐标与参数方程单元练习1参考答案 【试题答案】一、选择题：1、D 2、D 3、B 4、D 5、B 二、填空题：1、??? ? ?-422π， 或写成?? ? ? ? 4722π，。 2、5，6。 3、。 4、()2 2sin 2cos 02y x ρθρθ-==，即，它表示抛物线。 5、13 13 9±=y 。6、3610+。 三、解答题 1、1、如下图，设圆上任一点为P （ ），则((((2366 OP POA OA π ρθ=∠=- =?=，， ((((cos Rt OAP OP OA POA ?=?∠中， 6cos 6πρθ? ?∴=- ???而点O )32,0(π A )6 ,0(π符合 2、解：（1）直线的参数方程是是参数）t t y t x (;211,23 1??? ????+=+= （2）因为点A,B 都在直线l 上，所以可设它们对应的参数为t 1和t 2,则点A,B 的坐标分别为 ),211,231(11t t A ++ )2 1 1,231(22t t B ++ 以直线L 的参数方程代入圆的方程42 2 =+y x 整理得到02)13(2=-++t t ① 因为t 1和t 2是方程①的解，从而t 1t 2＝－2。所以|PA|·|PB|= |t 1t 2|＝|－2|＝2。 3、（先设出点P 的坐标，建立有关距离的函数关系）
坐标系与参数方程 1、（2011天津）下列在曲线sin 2(cos sin x y θ θθθ =??=+?为参数） 上的点是（ ） A 、1 (,2)2- B 、31(,)42 C 、(2,3) D 、 (1,3) 2、(2011·安徽理，5)在极坐标系中点?? ? ??3,2π到圆ρ＝2cos θ的圆心的距离为( ) A ．2 B. 4＋π 2 9 C. 1＋π2 9 D. 3 3、(2011·北京理，3)在极坐标系中，圆ρ＝－2sin θ的圆心的极坐标是( ) A ．(1，π2) B ．(1，－π 2 ) C ．(1,0) D ．(1，π) 4、(2010·湖南卷)极坐标方程ρ＝cos θ和参数方程? ?? ?? x ＝－1－t y ＝2＋3t (t 为参数)所表示的图形分别是( ) A ．圆、直线 B ．直线、圆 C ． 圆、圆 D ．直线、直线 5、(2010·北京卷)极坐标方程为(ρ－1)(θ－π)＝0(ρ≥0)表示的图形是( ) A ．两个圆 B ．两条直线 C ．一个圆和一条射线 D ．一条直线和一条射线 6．N3[2012·安徽卷] 在极坐标系中，圆ρ＝4sin θ的圆心到直线θ＝ π 6 (ρ∈R )的距离是________． 7．N3[2012·北京卷] 直线??? ?? x ＝2＋t ， y ＝－1－t (t 为参数)与曲线 ???? ? x ＝3cos α，y ＝3sin α (α为参数)的交点个数为________． 8．N3[2012·广东卷] (坐标系与参数方程选做题)在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1和C 2的参数方程分别为?? ? x ＝t ，y ＝t (t 为参数)和 ?? ? x ＝2cos θ，y ＝2sin θ (θ为参数)，则曲线C 1与C 2的交点坐标为________． 9．N3[2012·湖南卷] 在直角坐标系xOy 中，已知曲线C 1：????? x ＝t ＋1，y ＝1－2t (t 为参数)与曲线C 2：? ?? ?? x ＝a sin θ， y ＝3cos θ(θ为参数，a ＞0)有一个公共点 在x 轴上，则a ＝________. 10．N3[2012·湖北卷]在直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴的 正半轴为极轴建立坐标系．已知射线θ＝π 4与曲线? ???? x ＝t ＋1，y ＝t －12 (t 为参数)相交于A ，B 两点，则线段AB 的中点的直角坐标为________． 11、(2012·高考广东卷)(坐标系与参数方程选做题)在平面直角坐标系 xOy 中，曲线C 1和C 2的参数方程分别为???x ＝5cos θ y ＝5sin θ ? ????θ为参数，0≤θ≤π2和 ? ????x ＝1－2 2t y ＝－2 2 t (t 为参数)，则曲线C 1与C 2的交点坐标为__________． 12.【广东省珠海市2012年9月高三摸底考试】在极坐标系中，圆 2cos ρθ=的圆心到直线cos 2ρθ=的距离是_____________. 13、(2011·陕西理，15)直角坐标系xOy 中，以原点为极点，x 轴的正 半轴为极轴建立极坐标系，设点A ，B 分别在曲线C 1： ? ???? x ＝3＋cos θy ＝4＋sin θ(θ 为参数)和曲线C 2：ρ＝1上，则|AB |的最小值为________． 14、 N3 [2012·陕西卷]直线2ρcos θ＝1与圆ρ＝2cos θ相交的弦长为________． 15、(2012·高考湖南卷)在极坐标系中，曲线C 1：ρ(2·cos θ＋sin θ)＝1与曲线C 2：ρ＝a (a >0)的一个交点在极轴上，则a ＝__________． 17．(2011·天津理，11)已知抛物线C 的参数方程为? ?? ?? x ＝8t 2 ， y ＝8t ，(t 为 参数)，若斜率为1的直线经过抛物线C 的焦点，且与圆(x －4)2 ＋y 2 ＝ r 2(r >0)相切，则r ＝________. 18．(2011·广东理)已知两曲线参数方程分别为?? ? x ＝5cos θ y ＝sin θ (0≤θ<π)和????? x ＝54 t 2 y ＝t (t ∈R )，它们的交点坐标为________． 19、【福建省华安、连城、永安、漳平一中、龙海二中、泉港一中六校 2013届高三上学期第一次联考】 已知在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为33x t y t =-???=??， （t 为参数）， 在极坐标系（与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点， 以x 轴正半轴为极轴）中，曲线C 的极坐标方程为2 4s 30co ρρθ-+=. ①求直线l 普通方程和曲线C 的直角坐标方程； ②设点P 是曲线C 上的一个动点，求它到直线l 的距离的取值范围. 20、(2012·高考课标全国卷) 已知曲线C 1的参数方程是? ????x ＝2cos φ， y ＝3sin φ，(φ为参数)，以坐标原点为 极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程是ρ＝2， 正方形ABCD 的顶点都在C 2上，且A 、B 、C 、D 依逆时针次序排列，点A 的极坐标为(2，π 3 )． (Ⅰ) 求点A 、B 、C 、D 的直角坐标； (Ⅱ) 设P 为C 1上任意一点，求|PA |2＋|PB |2＋|PC |2＋|PD |2 的取值范围．
高考数学重点题型：参数取值题型与分析 （Ⅰ）参数取值问题的探讨 一、若在等式或不等式中出现两个变量，其中一个变量的范围已知，另一个变量的范围 为所求，且容易通过恒等变形将两个变量分别置于等号或不等号的两边，则可将恒成立问题转化成函数的最值问题求解。 例1．已知当x ∈R 时，不等式a+cos2x<5-4sinx+45-a 恒成立，求实数a 的取值范 围。 分析：在不等式中含有两个变量a 及x ，其中x 的范围已知（x ∈R ），另一变量a 的范 围即为所求，故可考虑将a 及x 分离。 解：原不等式即：4sinx+cos2x<45-a -a+5 要使上式恒成立，只需45-a -a+5大于4sinx+cos2x 的最大值，故上述问题转 化成求f(x)=4sinx+cos2x 的最值问题。 f(x)= 4sinx+cos2x=-2sin2x+4sinx+1=-2(sinx -1)2+3≤3, ∴45-a -a+5>3即45-a >a+2 上式等价于 ?? ? ??->-≥-≥-2)2(450 450 2a a a a 或???≥-<-04502a a ，解得≤54a<8. 说明：注意到题目中出现了sinx 及cos2x ，而cos2x=1-2sin2x,故
若把sinx 换元成t,则 可把原不等式转化成关于t 的二次函数类型。 另解：a+cos2x<5-4sinx+45-a 即 a+1-2sin2x<5-4sinx+45-a ,令sinx=t,则t ∈[-1,1], 整理得2t2-4t+4-a+45-a >0,( t ∈[-1,1])恒成立。 设f(t)= 2t2-4t+4-a+45-a 则二次函数的对称轴为t=1, ∴ f(x)在[-1，1]内单调递减。 ∴ 只需f(1)>0,即45-a >a -2.(下同) 例2．已知函数f(x)在定义域（-∞，1]上是减函数，问是否存在实数k ，使不等式 f(k -sinx)≥f(k2-sin2x)对一切实数x 恒成立？并说明理由。 分析：由单调性与定义域，原不等式等价于k -sinx ≤k2-sin2x ≤1对于任意x ∈R 恒成 立，这又等价于 ? ????----≥+-----+≤)2()21(sin 41)1(sin 12222x k k x k 对于任意x ∈R 恒成立。 不等式（1）对任意x ∈R 恒成立的充要条件是k2≤(1+sin2x)min=1,即-1≤k ≤1----------(3) 不等式（2）对任意x ∈R 恒成立的充要条件是k2-k+41 ≥[(sinx -21)2]max=49 ,
三直线的参数方程 （课前部分） 编写者: 【学习目标】 理解直线的参数式方程以及明确它的形式特征，明确参数t 的几何意思。 【学习重点】 直线的参数式方程以及参数t 的几何意义。 【学习难点】 理解直线的参数方程中t 的几何意义. 【学法指导】通过探究直线上两点间的距离及利用向量的有关知识，让学生积极、主动地参与观察，分析、进而得出直线的参数式方程，培养了学生运用类比法的数学思想方法解决问题 通过本节课的学习，不仅要让学生学会知识，更重要的是由学会变为会学，让学生在探究活动中，自主探究知识，逐步掌握自主获得知识的学习方法。 【复习回顾】 1 、我们知道经过平面内的定点M0（x0,y 0）及斜率k 应用直线方程的点斜式就可以写出直线方程，那么你认为有几种办法能确定斜率k 值呢？ 2 、直线方程的方向向量如何确定？平面向量的共线定理是什么？ 3 、数轴上两点对应的数分别为t1,t 2 ,则两点间的距离是什么？ 【自主学习】 大家都知道，当我们把平面向量中所有的单位向量的起点放在坐标原点，那么他们的终点的轨迹是以坐标原点为圆心的单位圆。那么你能写出一个倾斜角为α的直线的一个方向单位向量吗？ 已知直线上定点M 0，M 是直线上的任意一点，当M 移动时，M0M 发生了哪些变化？与直线L 的单位方向向量e 之间什么关系？ 设直线l的倾斜角为，定点M 0、动点M 的坐标 分别为M0（x0,y0）、M （x,y） 如何用e和M 0的坐标表示直线上任意一点M的坐标？ 通过对上面的问题的分析，你认为用哪个几何条件来建立参数方程比较好？又应当怎样选择参数呢？请同学们自己动手推导一下直线的参数方程的标准式，对比教材P35 的推导过程. 请同学们进一步思考直线的参数方程中哪些是变量？哪些是常量？每一个量的几何意义又是什么？形式上有什么要求？ 根据直线的参数方程的公式请大家写出经过点M0（－2,3），倾斜角为30°的直线L 的参数方程？ 通过这个方程请大家求出：（1）当t=1 时对应的点P1的坐标。（2）当t= -1 时对应的点P2的坐标。（3）当t=0 时对应的点P3的坐标。（4）求出直线L 上与点M0相距为 2 的点的坐标。 画图找到这些点，做好标注！ 有人说t>0 时，t 表示向量M 0M 的长度，你同意吗？t<0 时又如何呢？通过对以上的分析你能总结出参数t 的几何意义吗？如有困难参看教材P36例 1 的上面部分。 由于直线的倾斜角α [0 ，），所以这个方向单位向量很特别，方向如何？请同学们自己动手 画出图形，写出这个向量e 的坐标。 当你竭尽全力，时间自会主持公道1
2018高考数学解题技巧 解答题模板3：极坐标与参数方程 1、 题型与考点（1）{极坐标与普通方程的互相转化 极坐标与直角坐标的互相转化 （2） {参数方程与普通方程互化参数方程与直角坐标方程互化 (3) {利用参数方程求值域参数方程的几何意义 2、【知识汇编】 参数方程：直线参数方程：00cos ()sin x x t t y y t θθ=+??=+?为参数 00(,)x y 为直线上的定点， t 为直线上任一点(,)x y 到定 点00(,)x y 的数量； 圆锥曲线参数方程：圆的参数方程：cos ()sin x a r y b r θθθ=+?? =+?为参数(a,b)为圆心，r 为半径； 椭圆22221x y a b +=的参数方程是cos ()sin x a y b θθθ=??=? 为参数； 双曲线2222-1x y a b =的参数方程是sec ()tan x a y b φθφ=??=? 为参数； 抛物线22y px =的参数方程是2 2()2x pt t y pt ?=?=?为参数 极坐标与直角坐标互化公式： 若以直角坐标系的原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立坐标系，点P 的极坐标为(,)ρθ，直角坐标为(,)x y ， 则cos x ρθ=, sin y ρθ=, 222x y ρ=+, tan y x θ=。 解题方法及步骤 （1）、参数方程与普通方程的互化 化参数方程为普通方程的基本思路是消去参数，常用的消参方法有代入消去法、加减消去法、恒等式（三角的或代数的）消去法；化普通方程为参数方程的基本思路是引入参数，即选定合适的参数t ，先确定一个关系()x f t =（或()y g t =，再代入普通方程(),0F x y =，求得另一关系()y g t =（或()x f t =）.一般地，常选择的参数有角、有向线段的数量、斜率，某一点的横坐标（或纵坐标） 例1、方程?????+=-=--t t t t y x 2 222（t 为参数）表示的曲线是（ ） A. 双曲线 B.双曲线的上支 C.双曲线的下支 D.圆 解析：注意到2t t 与2t -互为倒数，故将参数方程的两个等式两边分别平方，再相减，即可消去含t 的项，4)22()22(2222-=+--=---t t t t y x ，即有422=+y x ，又注意到 02>t ，222222=?≥+--t t t t ，即
坐标系与参数方程选做专题（2015-10-14） 命题：靳建芳 1．在直角坐标系x y O 中，以坐标原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．已知 曲线1C :452x t y t =+??=+?（t 为参数），曲线2C :26cos 10sin 90ρρθρθ--+=． （Ⅰ）将曲线1C 化成普通方程，将曲线2C 化成参数方程； （Ⅱ）判断曲线1C 和曲线2C 的位置关系． 2．曲线1C 的参数方程为)(sin 22cos 2为参数αα α ???+==y x ，M 是曲线1C 上的动点，且M 是线段OP 的中点，P 点的轨迹为曲线2C ，直线l 的极坐标方程为sin()4π ρθ+=直线l 与曲线2 C 交于A ，B 两点。 （Ⅰ）求曲线2C 的普通方程； （Ⅱ）求线段AB 的长。 3．在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为1cos 2(1 cos 2 x y α αα=+???=??为参数），在极坐标系中,曲线2 C 的极坐标方程为sin()4 πρθ-= （1）求曲线2C 的普通方程； （2）设1C 与2C 相交于,A B 两点，求AB 的长． 4．在直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系。已知曲线C 1的极坐标方程为θ ρ2 2sin 12 += ，直线l 的极坐标方程为θ θρcos sin 24+=。
（Ⅰ）写出曲线C 1与直线l 的直角坐标方程； （Ⅱ）设Q 为曲线C 1上一动点，求Q 点到直线l 距离的最小值。 5．在直角坐标版权法xOy 吕，直线l 的参数方程为132(32 x t t y t ?=+?? ??=??为参数） ，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系， 的极坐标方程为23sin ρθ=. （Ⅰ）写出的直角坐标方程； （Ⅱ）P 为直线l 上一动点，当P 到圆心C 的距离最小时，求点P 的坐标. 6．在直角坐标系xOy 中，直线1C :x =-2，圆2C ：()()2 2 121x y -+-=,以坐标原点为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系. （Ⅰ）求1C ，2C 的极坐标方程； （Ⅱ）若直线3C 的极坐标方程为()4 R π θρ=∈，设2C 与3C 的交点为M ,N ,求2C MN ?的 面积. 7．已知直线l ：3 5132x y t ?=????=??（t 为参数）．以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的坐标方程为2cos ρθ=． （1）将曲线C 的极坐标方程化为直坐标方程； （2）设点M 的直角坐标为3)，直线l 与曲线C 的交点为A ，B ，求|MA|?|MB|的值． 8.在极坐标系中曲线C 的极坐标方程为2sin cos 0ρθθ-=，点(1,)2 M π ．以极点O 为原点，
高考复习之参数方程 一、考纲要求 1.理解参数方程的概念，了解某些常用参数方程中参数的几何意义或物理意义，掌握参数方 程与普通方程的互化方法.会根据所给出的参数，依据条件建立参数方程. 2.理解极坐标的概念.会正确进行点的极坐标与直角坐标的互化.会正确将极坐标方程化为 直角坐标方程，会根据所给条件建立直线、圆锥曲线的极坐标方程.不要求利用曲线的参数 方程或极坐标方程求两条曲线的交点. 二、知识结构 1.直线的参数方程 (1)标准式 过点Po(x 0,y 0)，倾斜角为α的直线l(如图)的参数方程是 ? ? ?+=+=a t y y a t x x sin cos 00 (t 为参数) (2)一般式 过定点P 0(x 0,y 0)斜率k=tg α= a b 的直线的参数方程是 ?? ?+=+=bt y y at x x 00(t 不参数) ② 在一般式②中，参数t 不具备标准式中t 的几何意义，若a 2 +b 2 =1,②即为标准式，此 时， ｜ t ｜表示直线上动点P 到定点P 0的距离；若a 2+b 2 ≠1，则动点P 到定点P 0的距离是 22b a +｜t ｜. 直线参数方程的应用 设过点P 0(x 0,y 0),倾斜角为α的直线l 的参数方程是 ? ??+=+=a t y y a t x x sin cos 00 （t 为参数） 若P 1、P 2是l 上的两点，它们所对应的参数分别为t 1,t 2，则 (1)P 1、P 2两点的坐标分别是 (x 0+t 1cos α,y 0+t 1sin α) (x 0+t 2cos α,y 0+t 2sin α)； (2)｜P 1P 2｜=｜t 1-t 2｜; (3)线段P 1P 2的中点P 所对应的参数为t ，则 t= 2 2 1t t + 中点P 到定点P 0的距离｜PP 0｜=｜t ｜=｜2 2 1t t +｜ (4)若P 0为线段P 1P 2的中点，则 t 1+t 2=0.
坐标系与参数方程高考解答题专题 1、（2018江苏）在极坐标系中，直线l 的方程为π sin()26 ρθ-=，曲线C 的方程为4cos ρθ=， 求直线l 被曲线C 截得的弦长． 2、（2018全国新课标Ⅰ文、理）在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的方程为2y k x =+．以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为 22cos 30ρρθ+-=． （1）求2C 的直角坐标方程； （2）若1C 与2C 有且仅有三个公共点，求1C 的方程． 3、（2018全国新课标Ⅲ文、理）[选修4—4：坐标系与参数方程]（10分） 在平面直角坐标系xOy 中，O ⊙的参数方程为cos , sin x y θθ=?? =? （θ为参数）， 过点(0,且倾斜角为α的直线l 与O ⊙交于A B ，两点． （1）求α的取值范围； （2）求AB 中点P 的轨迹的参数方程． 4、(2017江苏) 在平面坐标系中xOy 中,已知直线l 的参考方程为x 82 t t y =-+?? ?=??(t 为参数),曲线C 的参数方程为2 2, x s y ?=??=?? (s 为参数).设P 为曲线C 上的动点，求点P 到直线l 的距离的 最小值. 5、（2017全国新课标Ⅰ文、理）在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为3cos , sin ,x y θθ=??=?（θ 为参数），直线l 的参数方程为4, 1,x a t t y t =+??=-? （为参数）． （1）若1-=a ，求C 与l 的交点坐标； （2）若C 上的点到l a ．
6、（2017全国新课标Ⅱ文、理） 在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线1C 的极坐标方程为cos 4ρθ=. （1）M 为曲线1C 上的动点，点P 在线段OM 上，且满足||||16OM OP ?=,求点P 的轨迹2C 的直角坐标方程； （2）设点A 的极坐标为π(2,)3 ，点B 在曲线2C 上，求OAB △面积的最大值. 7、（2017全国新课标Ⅲ文、理）在直角坐标系xOy 中，直线l 1的参数方程为, ,x t y kt =2+?? =? （t 为参 数），直线l 2的参数方程为, ,x m m y k =-2+?? ?=?? （m 为参数），设l 1与l 2的交点为P ，当k 变化时，P 的轨迹为曲线C ． （1）写出C 的普通方程： （2）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系， 设:(cos sin )l ρθθ3+-=0，M 为l 3与C 的交点，求M 的极径． 8、（2016江苏）在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程为112x t y ?=+?? ??=?? （t 为参数），椭圆C 的参数方程为cos , 2sin x y θθ=??=? （θ为参数）.设直线l 与椭圆C 相交于 A ， B 两点，求线段AB 的长. 9、（2016全国Ⅰ文、理）在直角坐标系x O y 中,曲线C 1的参数方程为cos 1sin x a t y a t =??=+? （t 为 参数,a ＞0）．在以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C 2：ρ=4cos θ. （1）说明C 1是哪一种曲线,并将C 1的方程化为极坐标方程； （2）直线C 3的极坐标方程为0θα=,其中0α满足tan 0α=2,若曲线C 1与C 2的公共点都在C 3上,求a ．
极坐标与参数方程单元练习3 一．选择题（每题5分共60分） 1．设椭圆的参数方程为()πθθ θ ≤≤?? ?==0sin cos b y a x ，()1 1 ,y x M ，()2 2 ,y x N 是椭圆上两点，M ，N 对应的参数为2 1 ,θθ且21 x x <，则 A ．21 θθ < B ．21θθ> C ．21θθ≥ D ．21θθ≤ 2.直线：3x-4y-9=0与圆：?? ?==θ θ sin 2cos 2y x ，(θ为参数)的位置关系是( ) A.相切 B.相离 C.直线过圆心 D.相交但直线不过圆心 3.经过点M(1，5)且倾斜角为3 π的直线，以定点M 到动 点P 的位移t 为参数的参数方程是( ) A.???????-=+=t y t x 235211 B. ???????+=-=t y t x 235211 C. ???????-=-=t y t x 235211 D. ??? ????+=+=t y t x 235211 4.参数方程????? -=+ =2 1y t t x (t 为参数)所表示的曲线是 ( ) A.一条射线 B.两条射线 C.一条直线 D.两条直线
5．若动点(x ,y )在曲线1422 2=+b y x (b >0)上变化，则 x 22y 的最大值为 (A) ?????≥<<+)4(2)40(442b b b b ； (B) ?????≥<<+)2(2) 20(442 b b b b ；(C) 442+b (D) 2b 。 6．实数x 、y 满足3x 2＋2y 2=6x ，则x 2＋y 2的最大值为（ ） A 、2 7 B 、4 C 、2 9 D 、5 7．曲线的参数方程为???-=+=1 2 32 2t y t x (t 是参数)，则曲线是 A 、线段 B 、双曲线的一支 C 、圆 D 、射线 8． 已知动园： ),,(0sin 2cos 222是参数是正常数θθθb ，a b a by ax y x ≠=--+，则圆心的 轨迹是 A 、直线 B 、圆 C 、抛物线的一部分 D 、椭圆
高考数学参数方程大题 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN
高三最后一题 1、以平面直角坐标系的原点为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位，设点A 的极坐标为)6 ,2(π ，直线l 过点A 且与极轴成角 为 3π，圆C 的极坐标方程为)4 cos(2πθρ-=． （1）写出直线l 参数方程，并把圆C 的方程化为直角坐标方程； （2）设直线l 与曲线圆C 交于B 、C 两点，求AC AB .的值． 【答案】（1）直线l C 的直角坐标方程为02222=--+y x y x ；（2 2、已知曲线C 的参数方程为31x y α α ?=+??=+??（α为参数），以直角坐标系原点 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系． （1）求曲线C 的极坐标方程，并说明其表示什么轨迹． （2）若直线的极坐标方程为1 sin cos θθρ -= ，求直线被曲线C 截得的弦长． 【答案】（1）6cos 2sin ρθθ=+（2 3、在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为t t y t x (22522 5??? ??? ?+=+ -=为参数），若以 O 点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，则曲线C 的极坐标方程为 θρcos 4=。 （1）求曲线C 的直角坐标方程及直线l 的普通方程； （2）将曲线C 上各点的横坐标缩短为原来的 2 1 ，再将所得曲线向左平移1个单位，得到曲线1C ，求曲线1C 上的点到直线l 的距离的最小值 【答案】（1）() 422 2 =+-y x ，052=+-y x （2 ）
高考数学参数方程所有经典类型（必刷题） 1．极坐标系与直角坐标系xoy 有相同的长度单位，以原点O 为极点，以x 轴正半轴为 极轴.已知直线l 的参数方程为1222 x t y ?=+????=??（t 为参数），曲线C 的极坐标方程为 2sin 8cos ρθθ=. （Ⅰ）求C 的直角坐标方程； （Ⅱ）设直线l 与曲线C 交于,A B 两点，求弦长||AB . 2．已知直线l 经过点1 (,1)2P ，倾斜角α＝6 π，圆C 的极坐标方程为)4πρθ=-. (1)写出直线l 的参数方程，并把圆C 的方程化为直角坐标方程； (2)设l 与圆C 相交于两点A 、B ，求点P 到A 、B 两点的距离之积． 3．在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线1C ：cos sin θθ=??=? x y （θ为参数），将1C 上的所有 和2倍后得到曲线2C ．以平面直角坐标系xOy 的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系，已知直线l ：sin )4ρθθ+=． （1）试写出曲线1C 的极坐标方程与曲线2C 的参数方程； （2）在曲线2C 上求一点P ，使点P 到直线l 的距离最小，并求此最小值． 4．在直角坐标系xoy 中，直线l 的方程为40x y -+=，曲线C 的参数方程为
x 3cos y sin ααα ?=??=??（为参数）． (1)已知在极坐标系（与直角坐标系xoy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴）中，点P 的极坐标为(4,)2π ，判断点P 与直线l 的位置关系； (2)设点Q 是曲线C 上的一个动点，求它到直线l 的距离的最小值． 5．在平面直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐V 标方程为πcos =13ρθ? ?- ??? ，M ，N 分别为曲线C 与x 轴、y 轴的交点． （1）写出曲线C 的直角坐标方程，并求M ，N 的极坐标； （2）求直线OM 的极坐标方程． 6．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程 已知曲线 （为参数），（为参数）． （1）化 的方程为普通方程； （2）若上的点P 对应的参数为为上的动点，求中点到直线 （为参数）距离的最小值．
高考数学专题——参数方程 一、基本知识要求 1．参数方程和普通方程的互化 (1通过消去参数，从参数方程得到普通方程． (2)寻找变量x ，y 中的一个与参数t 的关系，令x ＝f (t )，把它代入普通方程，求出另一个变 数与参数的关系y ＝g (t )，那么? ????x ＝f （t ）， y ＝g （t ）就是曲线的参数方程，在参数方程与普通方程的 互化中，必须使x ，y 的取值范围保持一致． 2．直线、圆和圆锥曲线的参数方程形式 直线参数方程：{x =x 0+t cos α y =y 0+t sin α （t 为参数） 圆的参数方程：{x =x 0+acos θ y =y 0+asin θ （θ为参数且0≤θ<2π） 椭圆的参数方程：{x =m cos t y =n sin t (t 为参数且0≤t <2π) 抛物线的参数方程：{x =2pt 2 y =2pt （t 为参数） 二、常考题型要求 常考题型：共4种大题型（包含参数方程与普通方程转化问题、求距离问题、 直线参数方程t 的几何意义、与动点有关的取值范围和最值问题） 1、参数方程与普通方程互化问题：（1）参数方程中可通过代入法、加减法、平方法等直接消去参数时，则直接消参；（2）参数方程中参数为角时，则通过构造sin 2θ＋cos 2θ＝1消去参数。 例1、【2020年高考全国II 卷理数】[选修4—4：坐标系与参数方程] 已知曲线C 1，C 2的参数方程分别为 C 1：（θ为参数），C 2：（t 为参数）．
（1）将C1，C2的参数方程化为普通方程； 【解析】（1）的普通方程为． 由的参数方程得，，所以． 故的普通方程为． 例2、【2020·广东省高三其他（理）】在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C的极坐标方程为＝（＞0），过 点的直线的参数方程为（t为参数），直线与曲线C相交 于A，B两点． （Ⅰ）写出曲线C的直角坐标方程和直线的普通方程； 【答案】（Ⅰ）， 【解析】（Ⅰ）根据可将曲线C的极坐标方程化为直角坐标，两式相减消去参数得直线的普通方程为． 得,由韦达定理有．解之得：或（舍去） 试题解析：（Ⅰ）由得, ∴曲线的直角坐标方程为． 直线的普通方程为． 例3、【2020·山西省太原五中高三其他（理）】在直角坐标系中，曲线的参数方程为 (为参数).以为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．曲线25()12x t t y t =-+?? =-?为参数与坐标轴的交点是（ ）． A ．21(0,)(,0)5 2 、 B ．11(0,)(,0)5 2 、 C ．(0,4)(8,0)-、 D ．5(0,)(8,0)9 、 2．把方程1xy =化为以t 参数的参数方程是（ ）． A ．1 21 2x t y t -?=???=? B ．sin 1sin x t y t =???=?? C ．cos 1cos x t y t =???=?? D ．tan 1tan x t y t =???=?? 3．若直线的参数方程为12()23x t t y t =+?? =-?为参数，则直线的斜率为（ ）． A ． 23 B ．23- C ．32 D ．32 - 4．点(1,2)在圆18cos 8sin x y θ θ =-+?? =?的（ ）． A ．内部 B ．外部 C ．圆上 D ．与θ的值有关 5．参数方程为1()2 x t t t y ? =+ ???=?为参数表示的曲线是（ ）． A ．一条直线 B ．两条直线 C ．一条射线 D ．两条射线 6．两圆???+=+-=θθsin 24cos 23y x 与???==θ θ sin 3cos 3y x 的位置关系是（ ）． A ．内切 B ．外切 C ．相离 D ．内含 7．与参数方程为()21x t t y t ?=?? =-??为参数等价的普通方程为（ ）． A ．22 14y x += B ．221(01)4 y x x +=≤≤ C ．22 1(02)4y x y +=≤≤ D ．221(01,02)4 y x x y +=≤≤≤≤
第十五章坐标系与参数方程 命题探究 解答过程 (1)曲线C的普通方程为+y2=1. 当a=-1时,直线l的普通方程为x+4y-3=0. 由- 解得或 - 从而C与l的交点坐标为(3,0),-. (2)直线l的普通方程为x+4y-a-4=0,故C上的点(3cos θ,sin θ)到l的距离 d= -- . 当a≥-4时,d的最大值为.由题设得=,所以a=8; 当a<-4时,d的最大值为.由题设得=,所以a=-16. 综上,a=8或a=-16 考纲解读
分析解读坐标系与参数方程是高考数学的选考内容,重点考查直线与圆的极坐标方程,极坐标与直角坐标的互化;直线、圆与椭圆的参数方程以及参数方程与普通方程的互化.本章在高考中以极坐标方程(参数方程)为载体,考查直线与圆、圆锥曲线的位置关系等知识,分值约为10分,属中档题. 五年高考 考点一坐标系与极坐标 1.(2017北京,11,5分)在极坐标系中,点A在圆ρ2-2ρcos θ-4ρsin θ+4=0上,点P的坐标为(1,0),则|AP|的最小值为. 答案 1 2.(2017天津,11,5分)在极坐标系中,直线4ρcos-π+1=0与圆ρ=2sin θ的公共点的个数为. 答案 2 3.(2017课标全国Ⅱ,22,10分)在直角坐标系xOy中,以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C1的极坐标方程为ρcos θ= 4. (1)M为曲线C1上的动点,点P在线段OM上,且满足|OM|·|OP|=16,求点P的轨迹C2的直角坐标方程; (2)设点A的极坐标为π,点B在曲线C2上,求△OAB面积的最大值. 解析(1)设P的极坐标为(ρ,θ)(ρ>0),M的极坐标为(ρ1,θ)(ρ1>0).由题设知|OP|=ρ,|OM|=ρ1=. 由|OM|·|OP|=16得C2的极坐标方程ρ=4cos θ(ρ>0). 因此C2的直角坐标方程为(x-2)2+y2=4(x≠0). (2)设点B的极坐标为(ρB,α)(ρB>0).由题设知|OA|=2,ρB=4cos α,于是△OAB面积S=|OA|·ρB·sin∠AOB =4cos α·-π=2-π-≤2+. 当α=-π时,S取得最大值2+. 所以△OAB面积的最大值为2+. 4.(2016课标全国Ⅱ,23,10分)在直角坐标系xOy中,圆C的方程为(x+6)2+y2=2 5. (1)以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,求C的极坐标方程; (2)直线l的参数方程是(t为参数),l与C交于A,B两点,|AB|=,求l的斜率. 解析(1)由x=ρcos θ,y=ρsin θ可得圆C的极坐标方程ρ2+12ρcos θ+11=0.(3分) (2)在(1)中建立的极坐标系中,直线l的极坐标方程为θ=α(ρ∈R).(4分)
2011-2017新课标《坐标系与参数方程》分类汇编 1. 【2011年新课标】在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为2cos 22sin x y α α =?? =+?（α为参数），M 是C 1上的动点，P 点满足OP → =2OM → ，P 点的轨迹为曲线C 2. （1）求C 2的方程； （2）在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线3 πθ=与C 1的异 于极点的交点为A ，与C 2的异于极点的交点为B ，求|AB |. 【答案】 （1）设P (x , y )，则由条件知(,)22x y M . 由于M 点在C 1上，所以2cos 222sin 2 x y αα ?=????=+??， 即4cos 44sin x y α α =??=+?，从而C 2的参数方程为4cos 44sin x y αα=??=+?（α为参数）. （2）曲线C 1的极坐标方程为4sin ρθ=，曲线C 2的极坐标方程为8sin ρθ=. 射线3 π θ= 与C 1的交点A 的极径为14sin 3 π ρ=，射线3 πθ= 与C 2的交点B 的极径 为28sin 3 π ρ=. 所以21||||AB ρρ-== 2. 【2012年新课标】已知曲线1C 的参数方程是)(3sin y 2cos x 为参数??? ???==，以坐标原 点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立坐标系，曲线2C 的坐标系方程是2=ρ，正方形ABCD 的顶点都在2C 上，且,,,A B C D 依逆时针次序排列，点A 的极坐标为 (2,)3 π （1）求点,,,A B C D 的直角坐标； （2）设P 为1C 上任意一点，求2 2 2 2 PA PB PC PD +++的取值范围. 【答案】 （1）依题意，点A ，B ，C ，D 的极坐标分别为5411(2,),(2,),(2,),(2,)3636ππππ . 所以点A ，B ，C ，D 的直角坐标分别为 、( 、(1,- 、1)-. （2） 设()2cos ,3sin P ?? ，则222222||||||||(12cos )3sin )PA PB PC PD ??+++=-+