考前冲刺30天数学(理)训练卷(1)(解析版)

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2016年考前冲刺30天数学（理）训练卷（1）（解析版）

一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.

1.不等式组-

-

表示的平面区域是().

2.已知复数z=a+b i(a,b∈R且ab≠0),且z(1-2i)为实数,则等于().

A. 3

B. 2

C.

D.

3.已知cosα=,则cos2α+sin2α的值为().

A. B. C. D.

(第4题)

4.执行如图所示的程序框图,若输出的k=5,则输入的整数p的最大值为().

A. 7

B. 15

C. 31

D. 63

5.已知a,b,c是平面向量,下列命题中真命题的个数是().

①(a·b)·c=a·(b·c);②|a·b|=|a||b|;

③|a+b|2=(a+b)2;④a·b=b·c?a=c.

A. 1

B. 2

C. 3

D. 4

6.已知函数f(x)=sin x+a cos x的图象关于直线x=对称,则实数a的值为().

A. -

B. -

C.

D.

7.若一个棱长都为a的直三棱柱的六个顶点全部在同一个球面上,则该球的表面积为().

A. πa2

B. 2πa2

C. πa2

D. πa2

8.已知数列{a n}满足a1=0,a n+1=a n+2+1,则a13等于().

A. 143

B. 156

C. 168

D. 195

9.在Excel中产生[0,1]区间上均匀随机数的函数为“rand()”,在用计算机模拟估计函数y=sin x的图象、直线x=和x轴在区间上部分围成的图形面积时,随机点(a1,b1)与该区域内的点(a,b)的坐标变换公式为().

A. a=a1+,b=b1

B. a=2(a1-0.5),b=2(b1-0.5)

C. a∈,b∈[0,1]

D. a=,b=b1

10.已知抛物线y2=8x的焦点为F,直线y=k(x-2)与此抛物线相交于P,Q两点,则+等于().

A. B. 1 C. 2 D. 4

11.如图所示是一个几何体的三视图,则该几何体的体积为().

(第11题)

A. 16+2π

B. 8+2π

C. 16+π

D. 8+π

12.已知两条直线l1:y=a和l2:y=(其中a>0),l1与函数y=|log4x|的图象从左至右相交于点A,B,l2与函数y=|log4x|的图象从左至右相交于点C,D.记线段AC和BD在x轴上的投影长度分别为m,n.当a变化时,的最

小值为().

A. 4

B. 16

C. 211

D. 210

二、填空题:本大题共4小题,每小题5分.

13.(+x)d x=.

14.用1,2,3,4这四个数字组成无重复数字的四位数,其中恰有一个偶数字夹在两个奇数字之间的四位数的个数为.

15.双曲线-=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1和F2,左、右顶点分别为A1和A2,过焦点F2与x轴垂直的直线和双曲线的一个交点为P,若||是||和||的等比中项,则该双曲线的离心率为.

16.设集合A=--,B=--,C={(x,y)|2|x-3|+|y-4|=λ},若(A∪

B)∩C≠ ,则实数λ的取值范围是.

三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17. (本小题满分12分)

在△ABC中,2sin2C·cos C-sin3C=(1-cos C).

(Ⅰ)求角C的大小;

(Ⅱ)若AB=2,且sin C+sin(B-A)=2sin2A,求△ABC的面积.

18. (本小题满分12分)

2014年第三季度,国家电网决定对城镇居民民用电计费标准做出调整,并根据用电情况将居民分为三类: 第一类的用电区间在(0,170],第二类在(170,260],第三类在(260,+∞)(单位:千瓦时).某小区共有1000户居民,现对他们的用电情况进行调查,得到频率分布直方图如图所示.

(第18题)

(Ⅰ)求该小区居民用电量的中位数与平均数;

(Ⅱ)利用分层抽样的方法从该小区内选出10位居民代表,若从该10户居民代表中任选两户居民,求这两户居民用电资费属于不同类型的概率;

(Ⅲ)若该小区长期保持着这一用电消耗水平,电力部门为鼓励其节约用电,连续10个月,每个月从该小区居民中随机抽取1户,若取到的是第一类居民,则发放礼品一份,设X为获奖户数,求X的数学期望E(X)与方差D(X).

19. (本小题满分12分)

如图,E是矩形ABCD中边AD上的点,F为边CD的中点,AB=AE=AD,现将△ABE沿BE边折至△PBE位置,

且平面PBE⊥平面BCDE.

(Ⅰ) 求证:平面PBE⊥平面PEF;

(Ⅱ) 求二面角E-PF-C的大小.

(第19题)

20. (本小题满分12分)

如图,曲线M:y2=x与曲线N:(x-4)2+2y2=m2(m>0)相交于A,B,C,D四个点.

(Ⅰ) 求m的取值范围;

(Ⅱ)求四边形ABCD的面积的最大值及此时对角线AC与BD的交点坐标.

(第20题)

21. (本小题满分12分)

已知函数f(x)=e x sin x.

(Ⅰ)求函数f(x)的单调区间;

(Ⅱ)如果对于任意的x∈,f(x)≥kx总成立,求实数k的取值范围;

(Ⅲ)设函数F(x)=f(x)+e x cos x,x∈-.过点M-作函数F(x)图象的所有切线,令各切点的横坐标构成数列{x n},求数列{x n}的所有项之和S的值.

请考生从第22、23、24题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题记分.

22. (本小题满分10分)选修4-1:几何证明选讲

如图,AB是☉O的直径,弦CD与AB垂直,并与AB相交于点E,点F为弦CD上异于点E的任意一点,连结BF,AF并延长交☉O于点M,N.求证:

(Ⅰ)B,E,F,N四点共圆;

(Ⅱ)AC2+BF·BM=AB2.

(第22题)

23. (本小题满分10分)选修4-4:坐标系与参数方程

在直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为(t是参数,0≤α<π),以原点O为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程为ρ2=.

(Ⅰ)求曲线C1的普通方程和曲线C2的直角坐标方程;

(Ⅱ)当α=时,曲线C1和C2相交于M,N两点,求以线段MN为直径的圆的直角坐标方程.

24. (本小题满分10分)选修4-5:不等式选讲

设函数f(x)=|x+1|+|x-5|,x∈R.

(Ⅰ)求不等式f(x)≤x+10的解集;

(Ⅱ)如果关于x的不等式f(x)≥a-(x-2)2在R上恒成立,求实数a的取值范围.

答案解析

1. B【命题意图】本小题主要考查二元一次不等式组所表示的区域.

【解题思路】x-3y+6≥0表示直线x-3y+6=0以及该直线下方的区域,x-y+2<0表示直线x-y+2=0的上方区域,故选B.

2. C【命题意图】本小题主要考查复数的概念及其基本运算.

【解题思路】由z·(1-2i)=(a+b i)(1-2i)=(a+2b)+(b-2a)i为实数,所以b=2a,=.

3. A【命题意图】本题考查同角三角函数的基本关系式以及倍角的余弦公式的应用.

【解题思路】由cosα=,得cos2α+sin2α=2cos2α-1+1-cos2α=cos2α=,故选A.

4. B【命题意图】本小题主要通过程序框图的理解考查学生的逻辑推理能力,同时考查学生对算法思想的理解与剖析.

【解题思路】由程序框图可知:①S=0,k=1;②S=1,k=2;③S=3,k=3;④S=7,k=4;⑤S=15,k=5.

第⑤步后k输出,此时S=15≥p,则p的最大值为15,故选B.

【易错警示】由于对15<15与15≤15这两个不等式理解不准确,会误认为S=15时,再循环一次,错选C. 5. A【命题意图】本小题主要考查平面向量的定义与基本性质,特别是对平面向量运算律的全面考查,另外本题也对考生的分析判断能力进行考查.

【解题思路】由平面向量的数量积可知,平面向量没有乘法的交换律,故①错;②与平面向量的数量积公式不符,少了cosθ,故不正确;向量的数量积不能约分,故④不正确;只有③正确,故选A.

【易错警示】容易受到实数运算律的影响,容易误认为①或④正确,其原因是对平面向量的数量积不理解.【举一反三】本题用平面向量数量积公式即可正确求解,也可以举例子,特殊值法来排除.

6.B【命题意图】本题考查三角函数的基础知识,三角函数的图象与性质,三角恒等变换,本小题同时也考查考生的运算求解能力与考生的数形结合思想.

【解题思路】由函数f(x)=sin x+a cos x的图象关于直线x=对称,可知f=±,

即sin+a cos=±,可求得a=-.故选B.

7. A【命题意图】本小题主要考查立体几何中球与球的内接几何体中基本量的关系,以及球表面积公式的应用.

【解题思路】如图,设O1,O2为棱柱两底面的中心,球心O为O1O2的中点.

(第7题)

又直三棱柱的棱长为a,可知OO1=a,AO1=a,

所以R2=OA2=O+A=,因此该直三棱柱外接球的表面积为S=4πR2=4π×=πa2,故选A.

【举一反三】本考点是近年来高考中的热点问题,同时此类问题对学生的运算求解能力、空间想象能力也提出较高要求

8. C【命题意图】本小题主要考查数列的递推问题,以及等差数列的通项公式,也同时考查学生利用构造思

想解决问题的能力以及学生的推理论证能力.

【解题思路】由a n+1=a n+2+1,可知a n+1+1=a n+1+2+1=(+1)2,即=+1,故数列{}是公差为1的等差数列,

所以=+12=13,则a13=168.故选C.

【举一反三】本题通过构造,得到数列{}是公差为1的等差数列,在数列的求解中经常用到构造思想,应多加训练.

9. D【命题意图】本小题主要考查均匀随机数的意义与简单应用,对于不同尺度下点与点的对应方式也做出一定要求.本题着重考查考生数据处理的能力,与化归的数学思想.

【解题思路】由于a∈,b∈[0,1],而a1∈[0,1],b1∈[0,1],所以坐标变换公式为a=a1,b=b1.故选D.

【易错警示】本题要认真审题,弄清a与a1的取值范围及其关系,才能正确作答.

10.A【命题意图】本小题是定值问题,考查抛物线的定义与基本性质及过焦点的弦的性质,考查直线恒过定点问题,会联立方程组,用韦达定理求解,对考生的计算能力、化归与转化的数学思想也有较高要求.

【解题思路】直线y=k(x-2)过定点(2,0),抛物线y2=8x的焦点为(2,0),设P(x1,y1),Q(x2,y2),由题意可知,|PF|=x1+2,|QF|=x2+2,则+=+=,联立直线与抛物线方程消去得y,k2x2-(4k2+8)x+4k2=0,可知x1x2=4,故+===.故选A.

【易错警示】由于直线方程带字母k,求解过程中,稍不细心,结果会出现k消不去,没有答案的情况,因此,本题要求有较好计算能力.

11. B【命题意图】本小题主要考查立体几何中的三视图问题,并且对考生的空间想象能力及利用三视图还原几何体的能力进行考查,同时考查简单几何体的体积公式.

【解题思路】由图可知该几何体是由两个相同的半圆柱与一个长方体拼接而成,因此V=1×2×4+π×12×2=8+2π.故选B.

【易错警示】本题由正视图容易误认为长方体上面是两个半球,从而致错,事实上,由三视图的尺寸可以看出,长方体上面的是两个放倒的半圆柱,它们的底面半径为1,高为2.

12.C【命题意图】本小题主要考查函数的图象与性质,对于函数图象的翻折变换以及基本不等式的应用都有考查.同时对考生的推理论证能力与运算求解能力都有较高要求.

【解题思路】设A(x A,y A),B(x B,y B),C(x C,y C),D(x D,y D),则x A=4-a,x B=4a,x C=-,x D=,则=-

,分子与分

---

母同乘以可得==,又2a+=2a+1+-1≥

2-1=11,当且仅当2a+1=6,即a=时,“=”成立,所以的最小值为211.故选C.

【举一反三】本题是函数与不等式的综合题,考查较为全面,难度系数较高,应有较好的计算能力和基本技能.

13.【命题意图】本小题主要考查积分的定义与牛顿—莱布尼茨公式在解决定积分问题上的应用,考查

学生的运算求解能力.

【解题思路】(+x)d x==+=.

14. 8【命题意图】本小题主要考查学生对排列组合问题基本方法的掌握与应用,同时对考生解决此类问题的策略作出考查.

【解题思路】··=8种.

15.【命题意图】本小题主要考查双曲线中各基本量间的关系,特别是考查通径长度的应用以及相关的计算,同时也对等比中项问题作出了一定要求.

【解题思路】由题意可知||2=||·||,即+(a+c)2=2c(a+c),经化简可得a2=b2,则e====.

【举一反三】本题看似比较复杂,但是根据题目的条件,将双曲线中各基本量代入,列出方程组,求解就不难了.对圆锥曲线离心率问题,重点还是找到基本量a,b,c之间关系.

16.【命题意图】本小题主要考查曲线与方程的实际应用问题,对学生数形结合与分类讨论思想的应用作出较高要求.

【解题思路】由题可知,集合A表示圆(x-3)2+(y-4)2=上点的集合,集合B表示圆(x-3)2+(y-4)2=上点的集合,集合C表示曲线2|x-3|+|y-4|=λ上点的集合,此三集合所表示的曲线的中心都在(3,4)处,集合A,B表示圆,集合C则表示菱形,可以将圆与菱形的中心同时平移至原点,如图所示,可求得λ的取值范围是.

(第16题)

【易错警示】曲线C应分四种情况讨论,画出四条线段,容易出错.

【举一反三】对于曲线与方程问题,经常要画出图形,用数形结合的方法求解,比较简捷.

17.【命题意图】本题针对三角变换公式以及解三角形进行考查,主要涉及三角恒等变换,正、余弦定理等内容,要求有一定的计算能力.

【解题思路】(Ⅰ)由题意,得2sin2C·cos C-sin(2C+C)=(1-cos C),

则sin2C cos C-cos2C sin C=-cos C,(2分)

化简,得sin C=-cos C,

则sin C+cos C=,即2sin=,

所以sin=.(4分)

∵0

从而C+=,故C=.(6分)

(Ⅱ)由sin(A+B)+sin(B-A)=2sin2A,可得sin B cos A=2sin A cos A.

所以cos A=0或sin B=2sin A.(7分)

当cos A=0时,A=90°,则b=,

S△ABC=·b·c=··2=;(8分)

当sin B=2sin A时,由正弦定理,得b=2a.

所以由cos C=-=-=,可知a2=.(10分)

所以S△ABC=·b·a·sin C=·2a·a·=a2=.(11分)

综上可知S ABC=. (12分)

18.【命题意图】本小题主要考查统计与概率的相关知识,其中包括中位数与平均数的求法、基本概率的应用以及离散型随机变量的二项分布的数学期望与方差的求法.本题主要考查学生的数据处理能力.

【解题思路】(Ⅰ) 因为在频率分布直方图上,中位数的两边面积相等,可得中位数为155.(2分)

平均数为120×0.005×20+140×0.015×20+160×0.020×20+180×0.005×20+200×0.003×20+220×0.002×20=156.8.(4分) (Ⅱ) 由频率分布直方图可知,采用分层抽样抽取10户居民,其中8户为第一类用户,2户为第二类用户,则从

该10户居民中抽取2户居民且这两户居民用电资费不属于同一类型的概率为=.(8分)

(Ⅲ) 由题可知,该小区内第一类用电户占80%,则每月从该小区内随机抽取1户居民,是第一类居民的概率为0.8,则连续10个月抽取,

获奖人数X的数学期望E(X)=np=10×0.8=8,

方差D(X)=np(1-p)=10×0.8×0.2=1.6.(12分)

19.【命题意图】本小题主要考查立体几何的相关知识,具体涉及到线面、面面的垂直关系、二面角的求法及空间向量在立体几何中的应用.本小题对考生的空间想象能力与运算求解能力有较高要求.

【解题思路】(Ⅰ)由题可知,

在中?

?EF⊥BE.(3分)

在中?

平面平面

平面平面? 平面

?

平面

平面PBE⊥平面PEF.(6分)

(Ⅱ)以D为原点,以方向为x轴,以方向为y轴,以过点D的平面ECDE向上的法线方向为z轴,建立坐标系.(7分)

则E(0,-1,0),P(1,-2,),F(1,0,0),C(2,0,0),

=(1,-1,),=(-1,-2,),=(1,1,0),=(-1,0,0),

设平面PEF平面PFC的法向量分别为n1,n2.

解得n1=(1,-1,-),n2=(0,1,),(9分)

|cos|=--=,(11分)

综上,二面角E-PF-C大小为150°.(12分)

【易错警示】本题中建立空间直角坐标系时,z轴不过已知图形中的任何一条线段,注意三条轴两两垂直;用空间向量法求二面角,注意相关点坐标不要写错.

【举一反三】证明面面垂直,关键是在一个平面内找到一直线垂直另一个平面.用空间向量法求二面角,求二个平面的法向量,按照公式做即可.

20.【命题意图】本小题主要考查直线与圆锥曲线的综合应用能力,具体涉及到直线与圆锥曲线的联立方程组,韦达定理,换元法,利用函数的导数求最值.本小题对考生的化归与转化思想、运算求解能力都有很高要求.

【解题思路】(Ⅰ) 联立曲线M,N消去y可得(x-4)2+2x-m2=0,即x2-6x+16-m2=0,

--

根据条件可得

-

解得

(Ⅱ)设A(x1,y1),B(x2,y2),x2>x1,y1>0,y2>0,

则S ABCD=(y1+y2)(x2-x1)=(+)(x2-x1)

=-

=-·--.(6分)

令t=-,则t∈(0,3),

S ABCD=·-=2--,(7分)

设f(t)=-t3-3t2+9t+27,

则令f'(t)=-3t2-6t+9=-3(t-1)(t+3)=0,

可得当t∈(0,3)时,f(x)的最大值为f(1)=32,从而S ABCD的最大值为16.

此时t=1,即-=1,则m2=15.(9分)

联立曲线M,N的方程消去y并整理,得

x2-6x+1=0,解得x1=3-2,x2=3+2,

所以点A坐标为(3-2,-1),点C坐标为

(3+2,--1).

k AC=----

=-.

--

则直线AC的方程为y-(-1)=-[x-(3-2)],(11分)

当y=0时,x=1,由对称性可知AC与BD的交点在x轴上,即对角线AC与BD交点坐标为(1,0).(12分)

【易错警示】本题运算量较大,涉及知识面较广,一个环节的知识点不过关,都容易出错.

21.【命题意图】本小题主要考查函数与导数的综合应用能力,具体涉及到用导数来描述函数的单调性、极值以及函数零点的情况.本小题主要考查考生分类讨论思想的应用,对考生的逻辑推理能力与运算求解有较高要求.

【解题思路】(Ⅰ)由于f(x)=e x sin x,

所以f'(x)=e x sin x+e x cos x=e x(sin x+cos x)

=e x sin.(2分)

当x+∈-,

即x∈-时,f'(x)>0;

当x+∈,

即x∈时,f'(x)<0.

所以f(x)的单调递增区间为-(k∈Z),

单调递减区间为(k∈Z).(4分)

(Ⅱ)令g(x)=f(x)-kx=e x sin x-kx,要使f(x)≥kx总成立,只需x∈时g(x)min≥0.

对g(x)求导,得g'(x)=e x(sin x+cos x)-k,

令h(x)=e x(sin x+cos x),则h'(x)=2e x cos x>0(x∈).

所以h(x)在上为增函数.

所以h(x)∈[1,].(6分)

对k分类讨论:

当k≤1时,g'(x)≥0恒成立,所以g(x)在上为增函数,所以g(x)min=g(0)=0,即g(x)≥0恒成立;

②当1

③当k≥时,g'(x)≤0恒成立,所以g(x)在上为减函数,则g(x)

综合①②③可得,所求的实数k的取值范围是(-∞,1].(9分)

(Ⅲ)因为F(x)=f(x)+e x cos x=e x(sin x+cos x),

所以F'(x)=2e x cos x.

设切点坐标为(x0,(sin x0+cos x0)),

则斜率为F'(x0)=2cos x0.

切线方程为y-(sin x0+cos x0)=2cos x0·(x-x0),(10分)

将M-的坐标代入切线方程,得

-(sin x0+cos x0)=2cos x0·--,

-tan x0-1=-2--,即tan x0=2-,

令y1=tan x,y2=2-,则这两个函数的图象均关于点对称,它们交点的横坐标也关于对称成对出现,方程tan x=2-,x∈-的根即所作的所有切线的切点横坐标构成的数列{x n}的项也关于对称成对出现,在-内共构成1006对,每对的和为π,因此数列{x n}的所有项的和S=1006π.(12分)

【易错警示】分类讨论是本题的一个难点,注意分类不遗漏,不重复.

22.【命题意图】本小题主要考查平面几何的证明,具体涉及到四点共圆的证明、圆中三角形相似等内容.本小题重点考查考生对平面几何推理能力.

【解题思路】(Ⅰ)连结BN,则AN⊥BN,

又CD⊥AB,

则∠BEF=∠BNF=90°,

即∠BEF+∠BNF=180°,

则B、E、F、N四点共圆.(5分)

(Ⅱ)由直角三角形的射影原理可知AC2=AE·AB,

由Rt△BEF与Rt△BMA相似可知=,

即BF·BM=BA·BE=BA·(BA-EA),BF·BM=AB2-AB·AE,则BF·BM=AB2-AC2,即AC2+BF·BM=AB2.(10分)

23.【命题意图】本小题主要考查极坐标系与参数方程的相关知识,具体涉及到极坐标方程与平面直角坐标方程的互化、平面内直线与曲线的位置关系等内容.本小题考查考生的方程思想与数形结合思想,对运算求解能力有一定要求.

【解题思路】(Ⅰ)对于曲线C1消去参数,得

当a≠时,C1:y-1=tanα(x-2);当α=时,C1:x=2.(3分)

对于曲线C2:ρ2+ρ2cos2θ=2,x2+y2+x2=2,则C2:x2+=1.(5分)

(Ⅱ)当α=时,曲线C1的方程为x-y-1=0,

联立C1,C2的方程消去y,得2x2+(x-1)2-2=0,

即3x2-2x-1=0.

|MN|=-

=

=·=,

圆心为,即-,从而所求圆的方程为-+=.(10分)

24.【命题意图】本小题主要考查不等式的相关知识,具体涉及到绝对值不等式及不等式证明等内容.本小题重点考查考生的化归与转化思想.

【解题思路】(Ⅰ)f(x)=--

-

-

(2分)

当x<-1时,-2x+4≤x+10,即x≥-2,则-2≤x<-1;

当-1≤x≤5时,6≤x+10,即x≥-4,则-1≤x≤5;

当x>5时,2x-4≤x+10,即x≤14,则5

综上可得,不等式的解集为[-2,14].(5分)

(Ⅱ)设g(x)=a-(x-2)2,

由函数f(x)的图象与g(x)的图象可知:

f(x)在x∈[-1,5]时取最小值为6,f(x)在x=2时取最大值为a,若f(x)≥g(x)恒成立,则a≤6.(10分)