现代控制理论试题
现代控制理论试题
一、名词解释（15分） 1、4、能近稳定性、能观性3
、系统的最小实现
二、 简答题（15分）
1、 连续时间线性时不变系统（线性定常连续 系统）做线性变换时不改变系统的那些性质？
2、 如何 断线性 ......... 的充传要条数什么？ 4、 囚于线:性定常系统能够任意配置极点的充 要条件是什么？ 5、 线性定常连续系统状态观测器的存在条件 是什么？
三、 计算题（70分）
“+、J 、RC 无源网络如图1所示犬试列写出其 状态万程和输出万程。其中 选G 两端的电压为状态变量"宀两 态变量"电压叭为为系统的输出y 常系 统的 如何判 G
国的最小实现A 、B 、C 和D 台匕
「两系统的压入犬 ■0
图1: RC 无源网
络
2、计算下列状态空间描述的传递函数 g
（s ）
3、求出下列连续时间线性是不变系统的时间 离散化状态方程:
其中，采样周期为T=2.
4、求取下列各连续时间线性时不变系统的状 态变量解认)和社?
5、确定是下列连续时间线性时不变系统联合 完全能控和完全能观测得待定参数 a 的取值 范围：
6、对下列连续时间非线性时不变系统，判断原 点平衡状态即是否为大范围渐近稳定：
直=衍
=-JT1 - X t 1X 1
7、给定一个单输入单输出连续时间线性时不 变系统的传递函数为
1
恥国=s(s + 4)(^ + 0)
试确定一个状态反馈矩阵 K ，使闭环极点配 置为竝二-2用=?4和找二?7
r = -1 0 1 —2 a r
卄 0
0 0 -3
1
ity = [0 0 l]x
U
现代控制理论试题答案
一、概念题
1、何为系统的能控性和能观性？卄一亠八訪 答：(1)对于线性定常连续系统，若存在一分段 连续控制向量u(t)，能在有限时间区间［t o ,t l ］内将 系统从初始状态x(t o )转移到任意终端状态x(t i )， 那么就称此状态是能控的
(2)对于线性定常系统，在任意给定的输入u(t) 下，能够根据输出量必)在有限时间区间［t o ,t i ］内 的测量值，唯一地确定系统在t o 时刻的初始状态 x(t o )，就称系统在t o 时刻是能观测的。若在任意 初始时刻系统都能观测，则称系统是状态完全能 观测的，简称能观测的。 2、何为、系统的最小实现？ 、 、+、
答：由传递函数矩阵或相目应的脉冲响应来建立系 统的状态空间表达式的工作，称为实现冋题。在 所有可能的实现中，维数最小的实现称为最小实 现。
,
使得I 坯7』11￡甌切八乏?时,有 近稳定-心’则称冷为李雅普若夫意义下的渐 二、简答题
1、连续时间线性时不变系统(线性定常连续 系统)做线性变换时不改变系统的那些性质？ 答：系统做线性变换后，不改变系统的能控性、
3、 何为系统的渐近为李雅普若夫意义下的稳定， 答：若在时亥I
且存在不依赖于咕的实数賢山"和任意给定的初 始状态…，使得I 计
能观性，系统特征值不变、传递函数不变 答：方法1:对n 维线性定常连续系统，则系统 的状态完全能控性的充分必要条件为：
廟=ranA^ AU —山冃珂=H o
方法2:如果线性定常系统的系统矩阵 A 具 有互不相同的特征值，则系统能控的充要条件 是，系统经线性非奇异变换后 A 阵变换成对角 标准形，且直不包含元素全为0的行
线性定常连续系统状态完全能观测的充分必 要条件是能观性矩阵％满秩。即： rankW o = ramie [c r "E 尸C 7] = n.
3、 传递函数矩阵晒的最小实现A 、B 、C 和D 的充要条件是什么？
答：充要条件是系统状态完全能控且完全能观 测。 4、 肉于线性定常系统能够任意配置极点的充 要条件是什么？
答：线性定常系统能够任意配置极点的充要条件 是系统完全能控。
5、 线性定常连续系统状态观测器的存在条件 是什么？
答：线性定常连续系统状态观测器的存在条件是 原系统完全能观。
二、计算题
1、RC 无源网络如图1所示，试列写出其状态方 程和输出万程。其中，人为系统的输入，选航两端 的电压为状态变量.匚两端的电压为状态变量 匚 电压「?为为系统的输出y 。
J?】
R 2 i
|
*
h
h 如?
G
G _____
%
如何判 断如性定常线性定常系统的能控性?
解: 由电路图可知：
U r = ^4+Hn
^cl =屍4 +
4=G警
=U ct] ? =険]y =叽可彳得：
盅二(盍+盍)血十蠢禺+九齐
所以可以得到:
Y=n[> iu
2、计算下列状态空间描述的传递函数g(s)
解：运用公式可得:
娜F 二谢号洽上胃1
二;
可得传递函数为:
c + adj(d. —
A)b
det(sl — A) 12s + 59 - 44 j= + 6s+ 3
3、求出下列连续时间线性是不变系统的时间 离散化状态方程： *=c 刖册
其中，采样周期为T=2。
解：先求出系统的.
严=上7{曲一却7} = ? J]
v=n z 吟如
det(sl-A) = detpjg 5
s a +6s + ：6
g(s)= C(sl-A)-1S + D =
令汀幻-网迄代，用「寓辱“ 可得:
X(k+ 1) = GXQ0 + HuC10=[J
：]X(k)+ 呦吩)
4、求取下列各连续时间线性时不变系统的状 态变量解讹?和皿)
関出3帥糾幣I 胡皿十…
解：计算算式为：熾:磁:，:腭严“沁険虽
…、 r 2a
-
* — a _3t g _t ? _at 1 rni 『p -t — p _at
e
^?=l-2e-r + 2(?-I￡ -5^4 2e-at Hll = l-ff-c 4-2e"3C
[-2e-f + 4ts _c +
I Ac "t 一 if o 一 JL M —St
=|^1
[氐Y-L l-2e-f +
2e"af
严 一 g-3t
2e _3C
一厂A 町十起半
所以：
x
?=s ⑹+『心阳丽鬲=
[￡：m ：」
5、确定是下列连续时间线性时不变系统联合 完全能控和完全能观测得待定参数 a 的取值
范围:
解：由于A 无特定形式，用秩判据简单。
[0 抚 1 一 4a det[Bj ABj
= dei 0 1 — 5 = —— 1
1 -3 9
■ C
□ 0 1 CA C41 =
det
0 0-3 0 0 9
因此，不管a 去何值都不能够联合完全能控 和完全能观测
6、对下列连续时间非线性时不变系统，判断原 点平衡状态即「是否为大范围渐近稳定：
V(x)，
岭＜)7汕g 笃可知:
-1 1 x= 0 -2
0 D
0 ity = [0 Q 1
即怜］-乔性-;为正定。
（2）计算一并判断其定号性。对取定
龄7 - ；冷2 - S 2和系统状态方程，计算得到: 喰=警学十警学一心
基此可知:
咆
滩）={=叫聲盂囂寓血=01
=0,
即:呵为负半定。
（3）判断代0（%0）"0。对此，只需判断畑）=0的2【:」和丈-［制不为系统状态方程的解。为此，将口。讦带入状态方程，导出：
0 = X2=-X1~X12X2=^
表明，状态方程的解只为x = ［d 0卩，工=［0不是系统状态方程的解。通过类似分析也可以得证"凶吓不是系统状态方程的解。基此，可知判断恤
U5）却。
（4）综合可知，对于给定非线性时不变系统，可构造李雅普若夫函数判断呦=疔+切满足：
V（x）为正定，?为负定；对任意.，他s勅曲当|厠］三評+— oa，有V&0 =1/ + ^23- DO
基此，并根据李雅普若夫方法渐近稳定性定理知：系统原点平衡状态；为大范围渐近稳定。
7、给定一个单输入单输出连续时间线性时不变系统的
传递函数为
恥? ~ + 4）（^ + 9}
试确定一个状态反馈矩阵K，使闭环极点配置为
挂=-2,珀=-4和找=-7。
解：可知，系统完全可控，可以用状态反馈进行
任意极点配置。由于状态维数为3维。
所以设Q「叹?- - . O
系统期望的特征多项式为：
肛ay=a - -珀）a -药）=汹+帕捽+5山十弘
而
I A -1 0
HI-A + 3K|= 0 A -1
-F 32 +Ac a + 12
令律-A + BK|= a砂,二者相应系数相等。
彳得：叫—56?kj= 18, 即：—I;产z ；丨验证：
g⑸=C（sl=外血:眼+ 56
现代控制理论试题 Company number：【WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998】
现代控制理论试题 一、名词解释（15分） 1、能控性 2、能观性 3、系统的最小实现 4、渐近稳定性 二、简答题（15分） 1、连续时间线性时不变系统（线性定常连续系统）做线性变换时不改变系 统的那些性质 2、如何判断线性定常系统的能控性如何判断线性定常系统的能观性 3、传递函数矩阵的最小实现A、B、C和D的充要条件是什么 4、对于线性定常系统能够任意配置极点的充要条件是什么 5、线性定常连续系统状态观测器的存在条件是什么 三、计算题（70分） 1、RC 无源网络如图1所示，试列写出其状态方程和输出方程。其中，为系统的输入，选两端的电压为状态变量,两端的电压为状态变量,电压为为系统的输出y。 2、计算下列状态空间描述的传递函数g(s) 图1：RC无源网络 3、求出下列连续时间线性是不变系统的时间离散化状态方程： 其中，采样周期为T=2. 4、求取下列各连续时间线性时不变系统的状态变量解和 5、确定是下列连续时间线性时不变系统联合完全能控和完全能观测得待定参数a的 取值范围： 6、对下列连续时间非线性时不变系统，判断原点平衡状态即是否为大范围渐 近稳定： 7、给定一个单输入单输出连续时间线性时不变系统的传递函数为 试确定一个状态反馈矩阵K，使闭环极点配置为,和。 现代控制理论试题答案 一、概念题 1、何为系统的能控性和能观性 答：（1）对于线性定常连续系统，若存在一分段连续控制向量u(t)，能在有限时间区间[t0,t1]内将系统从初始状态x(t0)转移到任意终端状态x(t1)，那么就称此状态是能控的。 （2）对于线性定常系统，在任意给定的输入u(t)下，能够根据输出量y(t)在有限时间区间[t0,t1]内的测量值，唯一地确定系统在t0时刻的初始状态x(t0 )，就称系统在t0时刻是能观测的。若在任意初始时刻系统都能观测，则称系统是状态完全能观测的，简称能观测的。
绪论 为了帮助大家在期末复习中能更全面地掌握书中知识点，并且在以后参加考研考博考试直到工作中，为大家提供一个理论参考依据，我们11级自动化二班的同学们在王整风教授的带领下合力编写了这本《现代控制理论习题集》（刘豹第三版），希望大家好好利用这本辅助工具。 根据老师要求，本次任务分组化，责任到个人。我们班整体分为五大组，每组负责整理一章习题，每个人的任务由组长具体分配，一个人大概分1~2道题，每个人任务虽然不算多，但也给同学们提出了要求：1.写清题号，抄题，画图（用CAD或word画）。2.题解详略得当，老师要求的步骤必须写上。3.遇到一题多解，要尽量写出多种方法。 本习题集贯穿全书，为大家展示了控制理论的基础、性质和控制一个动态系统的四个基本步骤，即建模、系统辨识、信号处理、综合控制输入。我们紧贴原课本，强调运用统一、联系的方法分析处理每一道题，将各章节的知识点都有机地整合在一起，力争做到了对控制理论概念阐述明确，给每道题的解析赋予了较强的物理概念及工程背景。在课后题中出现的本章节重难点部分，我们加上了必要的文字和图例说明，让读者感觉每一题都思路清晰，简单明了，由于我们给习题配以多种解法，更有助于发散大家的思维，做到举一反三！
这本书是由11级自动化二班《现代控制理论》授课老师王整风教授全程监管，魏琳琳同学负责分组和发布任务书，由五个小组组组长李卓钰、程俊辉、林玉松、王亚楠、张宝峰负责自己章节的初步审核，然后汇总到胡玉皓同学那里，并由他做最后的总审核工作，绪论是段培龙同学和付博同学共同编写的。 本书耗时两周，在同学的共同努力下完成，是二班大家庭里又一份智慧和努力的结晶，望大家能够合理使用，如发现错误请及时通知，欢迎大家的批评指正！ 2014年6月2日
现代控制理论试题
现代控制理论试题 一、名词解释（15分） 1、4、能近稳定性、能观性3 、系统的最小实现 二、 简答题（15分） 1、 连续时间线性时不变系统（线性定常连续 系统）做线性变换时不改变系统的那些性质？ 2、 如何 断线性 ......... 的充传要条数什么？ 4、 囚于线:性定常系统能够任意配置极点的充 要条件是什么？ 5、 线性定常连续系统状态观测器的存在条件 是什么？ 三、 计算题（70分） “+、J 、RC 无源网络如图1所示犬试列写出其 状态万程和输出万程。其中 选G 两端的电压为状态变量"宀两 态变量"电压叭为为系统的输出y 常系 统的 如何判 G 国的最小实现A 、B 、C 和D 台匕 「两系统的压入犬 ■0 图1: RC 无源网 络 2、计算下列状态空间描述的传递函数 g （s ）
3、求出下列连续时间线性是不变系统的时间 离散化状态方程: 其中，采样周期为T=2. 4、求取下列各连续时间线性时不变系统的状 态变量解认)和社? 5、确定是下列连续时间线性时不变系统联合 完全能控和完全能观测得待定参数 a 的取值 范围： 6、对下列连续时间非线性时不变系统，判断原 点平衡状态即是否为大范围渐近稳定： 直=衍 =-JT1 - X t 1X 1 7、给定一个单输入单输出连续时间线性时不 变系统的传递函数为 1 恥国=s(s + 4)(^ + 0) 试确定一个状态反馈矩阵 K ，使闭环极点配 置为竝二-2用=?4和找二?7 r = -1 0 1 —2 a r 卄 0 0 0 -3 1 ity = [0 0 l]x U
现代控制理论基础考试题 西北工业大学考试题（A卷） （考试时间120分钟） 学院：专业：姓名：学号： ) 一．填空题（共27分，每空分） 1.现代控制理论基础的系统分析包括___________和___________。 2._______是系统松弛时，输出量、输入量的拉普拉斯变换之比。 3.线性定常系统齐次状态方程是指系统___________时的状态方程。 4.推导离散化系统方程时在被控对象上串接一个开关，该开关以T为周期进 行开和关。这个开关称为_______。 5.离散系统的能______和能______是有条件的等价。 6.在所有可能的实现中，维数最小的实现称为最小实现，也称为__________。 7.构造一个与系统状态x有关的标量函数V(x, t)来表征系统的广义能量， V(x, t)称为___________。8." 9.单输入-单输出线性定常系统，其BIBO稳定的充要条件是传递函数的所有 极点具有______。 10.控制系统的综合目的在于通过系统的综合保证系统稳定，有满意的 _________、_________和较强的_________。 11.所谓系统镇定问题就是一个李亚普诺夫意义下非渐近稳定的系统通过引入_______，以实现系统在李亚普诺夫意义下渐近稳定的问题。 12.实际的物理系统中，控制向量总是受到限制的，只能在r维控制空间中某一个控制域内取值，这个控制域称为_______。 13._________和_________是两个相并行的求解最优控制问题的重要方法。二．判断题（共20分，每空2分） 1.一个系统，状态变量的数目和选取都是惟一的。（×） 2.传递函数矩阵的描述与状态变量选择无关。（√） 3.状态方程是矩阵代数方程，输出方程是矩阵微分方程。（×） 4.对于任意的初始状态) ( t x和输入向量)(t u，系统状态方程的解存在并且惟一。（√） 5.（ 6.传递函数矩阵也能描述系统方程中能控不能观测部分的特性。（×） 7.BIBO 稳定的系统是平衡状态渐近稳定。（×）
西北工业大学考试试题（卷）2008 －2009 学年第2 学期
2009年《现代控制理论》试卷A 评分标准及答案 第一题（10分，每个小题答对1分，答错0分） （1）对 （2）错 （3）对 （4）错 （5）对 （6）对 （7）对 （8）对 （9）对 （10）错 第二题（15分） （1）)(t Φ（7分）：公式正确3分，计算过程及结果正确4分 ? ? ? ???+-+---=-=Φ?? ?? ??????+- +-+- +-+- ++-+=??????-+++=-??? ???+-=------------t t t t t t t t e e e e e e e e A sI L t s s s s s s s s s s s s A sI s s A sI 22221 11 2222}){()(22112 21221112112 213)2)(1(1 )(321 （2） 状态方程有两种解法（8分）：公式正确4分，计算过程及结果正确4分 ??????-+-+-=????? ???????+-+++-+++-++??????+--=??????????? ???????++-++++-=-+-=??????---+-=????? ?+--+??? ???+--=??????-Φ+Φ=------------------------------??t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t e e te e e te s s s s s s L e e e e t x t x s s s s s L x A sI L t x s BU A sI x A sI s X e e t e e t d e e e e e e e e e t x t x d t Bu x t t x 222 21 22212 21111122)(02222210 2344}2414)1(42212)1(4 {2)()(} )2()1(4) 2()1()3(2{)}0(){()() ()()0()()(2)34()14(22222)()()()()0()()(或者 ττ τττττττ 第三题（15分，答案不唯一，这里仅给出可控标准型的结果） （1） 系统动态方程（3分） []x y u x x 0010 1003201 00010=???? ??????+??????????--=&
信息工程学院现代控制理论课程习题清单
正确理解线性系统的数学描述，状态空间的基本概念，熟练掌握状态空间的表达式，线性变换，线性定常系统状态方程的求解方法。 重点容：状态空间表达式的建立，状态转移矩阵和状态方程的求解，线性变换的基本性质，传递函数矩阵的定义。要求熟练掌握通过传递函数、微分方程和结构图建立电路、机电系统的状态空间表达式，并画出状态变量图，以及能控、能观、对角和约当标准型。难点：状态变量选取的非唯一性，多输入多输出状态空间表达式的建立。 预习题 1.现代控制理论中的状态空间模型与经典控制理论中的传递函数有何区别？ 2.状态、状态空间的概念？ 3.状态方程规形式有何特点？ 4.状态变量和状态矢量的定义？ 5.怎样建立状态空间模型？ 6.怎样从状态空间表达式求传递函数？ 复习题 1.怎样写出SISO系统状态空间表达式对应的传递函数阵表达式 2.若已知系统的模拟结构图，如何建立其状态空间表达式？ 3.求下列矩阵的特征矢量 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? - - = 2 5 10 2 2 1- 1 A 4.（判断）状态变量的选取具有非惟一性。 5.（判断）系统状态变量的个数不是惟一的，可任意选取。 6.（判断）通过适当选择状态变量，可将线性定常微分方程描述其输入输 出关系的系统，表达为状态空间描述。 7.（判断）传递函数仅适用于线性定常系统；而状态空间表达式可以在定 常系统中应用，也可以在时变系统中应用. 8.如果矩阵A 有重特征值，并且独立特征向量的个数小于n ,则只能化为 模态阵。 9.动态系统的状态是一个可以确定该系统______（结构，行为）的信息集 合。这些信息对于确定系统______（过去，未来）的行为是充分且必要 的。 10.如果系统状态空间表达式中矩阵A, B, C, D中所有元素均为实常数时， 则称这样的系统为______（线性定常，线性时变）系统。如果这些元素 中有些是时间t 的函数，则称系统为______（线性定常，线性时变）系 统。 11.线性变换不改变系统的______特征值，状态变量）。 12.线性变换不改变系统的______（状态空间，传递函数矩阵）。 13.若矩阵A 的n 个特征值互异，则可通过线性变换将其化为______（对 角阵，雅可比阵）。 14.状态变量是确定系统状态的______（最小，最大）一组变量。 15.以所选择的一组状态变量为坐标轴而构成的正交______（线性，非线性） 空间，称之为______（传递函数，状态空间）。
现代控制理论试题 一、名词解释（15分） 1、能控性 2、能观性 3、系统的最小实现 4、渐近稳定性 二、简答题（15分） 1、连续时间线性时不变系统（线性定常连续系统）做线性变换时不改变系统的那些性 质？ 2、如何判断线性定常系统的能控性？如何判断线性定常系统的能观性？ 3、传递函数矩阵错误！未找到引用源。的最小实现A、B、C和D的充要条件是什么？ 4、对于线性定常系统能够任意配置极点的充要条件是什么？ 5、线性定常连续系统状态观测器的存在条件是什么？ 三、计算题（70分） 1、RC无源网络如图1所示，试列写出其状态方程和输出方程。其中，错误！未找到引用源。为系统的输入，选错误！未找到引用源。两端的电压为状态变量错误！未找到引用源。,错误！未找到引用源。两端的电压为状态变量错误！未找到引用源。,电压错误！未找到引用源。为为系统的输出y。 图1：RC无源网络 2、计算下列状态空间描述的传递函数g(s) 3、求出下列连续时间线性是不变系统的时间离散化状态方程： 其中，采样周期为T=2. 4、求取下列各连续时间线性时不变系统的状态变量解错误！未找到引用源。和错误！ 未找到引用源。
5、确定是下列连续时间线性时不变系统联合完全能控和完全能观测得待定参数a的 取值范围： 6、对下列连续时间非线性时不变系统，判断原点平衡状态即错误！未找到引用源。是 否为大范围渐近稳定： 7、给定一个单输入单输出连续时间线性时不变系统的传递函数为 试确定一个状态反馈矩阵K，使闭环极点配置为错误！未找到引用源。,错误！未找到引用源。和错误！未找到引用源。。
现代控制理论试题答案 一、概念题 1、何为系统的能控性和能观性？ 答：（1）对于线性定常连续系统，若存在一分段连续控制向量u(t)，能在有限时间区间[t0,t1]内将系统从初始状态x(t0)转移到任意终端状态x(t1)，那么就称此状态是能控的。 （2）对于线性定常系统，在任意给定的输入u(t)下，能够根据输出量y(t)在有限时间区间[t0,t1]内的测量值，唯一地确定系统在t0时刻的初始状态x(t0 )，就称系统在t0时刻是能观测的。若在任意初始时刻系统都能观测，则称系统是状态完全能观测的，简称能观测的。 2、何为系统的最小实现？ 答：由传递函数矩阵或相应的脉冲响应来建立系统的状态空间表达式的工作，称为实现问题。在所有可能的实现中，维数最小的实现称为最小实现。 3、何为系统的渐近稳定性？ 答：若错误！未找到引用源。在时刻错误！未找到引用源。为李雅普若夫意义下的稳定，且存在不依赖于错误！未找到引用源。的实数错误！未找到引用源。和任意给定的初始状态错误！未找到引用源。，使得错误！未找到引用源。时，有错误！未找到引用源。，则称错误！未找到引用源。为李雅普若夫意义下的渐近稳定 二、简答题 1、连续时间线性时不变系统（线性定常连续系统）做线性变换时不改变系统的那些性 质？ 答：系统做线性变换后，不改变系统的能控性、能观性，系统特征值不变、传递函数不变 2、如何判断线性定常系统的能控性？如何判断线性定常系统的能观性？ 答：方法1：对n维线性定常连续系统，则系统的状态完全能控性的充分必要条件为：错误！未找到引用源。。 方法2：如果线性定常系统的系统矩阵A具有互不相同的特征值，则系统能控的充要条件是，系统经线性非奇异变换后A阵变换成对角标准形，且错误！未找到引用源。不包含元素全为0的行 线性定常连续系统状态完全能观测的充分必要条件是能观性矩阵错误！未找到引用源。满秩。即：错误！未找到引用源。 3、传递函数矩阵错误！未找到引用源。的最小实现A、B、C和D的充要条件是什么？
《现代控制理论》复习题1 二、（15分）考虑由下式确定的系统： 2 33 )(2 +++= s s s s G 试求其状态空间实现的能控标准型、能观标准型和对角线标准型，并画出能控标准型的状态变量图。 解： 能控标准形为 []? ? ? ???=??????+??????????? ?--=??????21212113103210x x y u x x x x 能观测标准形为 []? ? ? ???=?? ????+??????? ?????--=??????21212110133120x x y u x x x x 对角标准形为 []? ? ? ???-=??????+??????? ?????--=??????21212112112001x x y u x x x x 三、（10分）在线性控制系统的分析和设计中，系统的状态转移矩阵起着很重要的作用。对系统 x x ?? ????--=3210 求其状态转移矩阵。 解：解法1。 容易得到系统状态矩阵A 的两个特征值是2,121-=-=λλ，它们是不相同的，故系统的矩阵A 可以对角化。矩阵A 对应于特征值2, 121-=-=λλ的特征向量是 ?? ? ???-=?? ? ???-=21, 1121νν 取变换矩阵 []??? ???--==-1112121 ννT ， 则 ?? ? ???--=-2111 1T 因此， ? ? ? ???--==-20011TAT D 从而，
????? ?+-+---=?? ? ???--????????????--=??????=-------------t t t t t t t t t t t t At e e e e e e e e e e T e e T e 2222221 22221112002111 00 解法2。拉普拉斯方法 由于 ??????? ?? ?+++-+++-+-++-+=????????????++++-+++++=?? ????-+++=--=??????+-=---2211221221112112)2)(1()2)(1(2)2)(1(1)2)(1(32132)3(1)(adj )det(1321)(1 1 s s s s s s s s s s s s s s s s s s s s s s A sI A sI s s A sI 故 ?? ? ???+-+---=-==Φ----------t t t t t t t t At e e e e e e e e A sI L e t 222211 2222])[()( 解法3。凯莱-哈密尔顿方法 将状态转移矩阵写成 A t a I t a e At )()(10+= 系统矩阵的特征值是-1和-2，故 )(2)() ()(10210t a t a e t a t a e t t -=-=-- 解以上线性方程组，可得 t t t t e e t a e e t a 2120)(2)(-----=-= 因此， ?? ? ???+-+---=+==Φ--------t t t t t t t t At e e e e e e e e A t a I t a e t 2222102222)()()( 四、（15分）已知对象的状态空间模型Cx y Bu Ax x =+=, ,是完全能观的，请画出观 测器设计的框图，并据此给出观测器方程，观测器设计方法。 解 观测器设计的框图： 观测器方程：
一．（本题满分10分） 请写出如图所示电路当开关闭合后系统的状态方程和输出方程。其中状态变量的设置如图所示，系统的输出变量为流经电感2L 的电流强度。 【解答】根据基尔霍夫定律得： 1113222332 1L x Rx x u L x Rx x Cx x x ++=?? +=??+=? 改写为1 13111 22 322 312 11111R x x x u L L L R x x x L L x x x C C ? =--+?? ?=-+???=-?? ，输出方程为2y x = 写成矩阵形式为
[]11 111222 2 331231011000110010R L L x x L R x x u L L x x C C x y x x ??? --???????????????? ???????=-+???? ??????? ??????????????? ? ???-?????? ? ? ??? ?? ?=??? ?????? 二．（本题满分10分） 单输入单输出离散时间系统的差分方程为 (2)5(1)3()(1)2()y k y k y k r k r k ++++=++ 回答下列问题： （1）求系统的脉冲传递函数； （2）分析系统的稳定性； （3）取状态变量为1()()x k y k =，21()(1)()x k x k r k =+-，求系统的状态空间表达式； （4）分析系统的状态能观性。 【解答】 （1）在零初始条件下进行z 变换有： ()()253()2()z z Y z z R z ++=+ 系统的脉冲传递函数： 2()2 ()53 Y z z R z z z +=++ （2）系统的特征方程为 2()530D z z z =++= 特征根为1 4.3z =-，20.7z =-，11z >，所以离散系统不稳定。 （3）由1()()x k y k =，21()(1)()x k x k r k =+-，可以得到 21(1)(2)(1)(2)(1)x k x k r k y k r k +=+-+=+-+ 由已知得 (2)(1)2()5(1)3()y k r k r k y k y k +-+=-+-112()5(1)3()r k x k x k =-+- []212()5()()3()r k x k r k x k =-+-123()5()3()x k x k r k =--- 于是有： 212(1)3()5()3()x k x k x k r k +=--- 又因为 12(1)()()x k x k r k +=+ 所以状态空间表达式为
现代控制理论试题B 卷及答案 一、1 系统[]210,01021x x u y x ? ??? =+=????-???? 能控的状态变量个数是cvcvx ，能观测的状态变量个数是。 2试从高阶微分方程385y y y u ++= 求得系统的状态方程和输出方程（4分/个） 解 1． 能控的状态变量个数是2，能观测的状态变量个数是1。状态变量个数是2。…..（4分） 2．选取状态变量1x y =，2x y = ，3x y = ，可得 …..….…….（1分） 12233131 835x x x x x x x u y x ===--+= …..….…….（1分） 写成 010*********x x u ???? ????=+????????--???? …..….…….（1分） []100y x = …..….…….（1分） 二、1给出线性定常系统(1)()(),()()x k Ax k Bu k y k Cx k +=+=能控的定义。 （3分） 2已知系统[]210 020,011003x x y x ?? ??==?? ??-?? ，判定该系统是否完 全能观？(5分)
解 1．答：若存在控制向量序列(),(1),,(1)u k u k u k N ++- ，时系统从第 k 步的状态()x k 开始，在第N 步达到零状态，即()0x N =，其中N 是大于 0的有限数，那么就称此系统在第k 步上是能控的。若对每一个k ，系统的所有状态都是能控的，就称系统是状态完全能控的，简称能控。…..….…….（3分） 2. [][]320300020012 110-=?? ?? ? ?????-=CA ………..……….（1分） [][]940300020012 3202=?? ?? ? ?????--=CA ……..……….（1分） ???? ? ?????-=??????????=940320110 2CA CA C U O ………………..……….（1分） rank 2O U n =<，所以该系统不完全能观……..….……. （2分） 三、已知系统1、2的传递函数分别为 2122211 (),()3232 s s g s g s s s s s -+==++-+ 求两系统串联后系统的最小实现。（8分） 解 112(1)(1)11 ()()()(1)(2)(1)(2)4 s s s s g s g s g s s s s s s -+++== ?=++--- …..….……. （5分） 最小实现为
西北工业大学考试试题（卷） 2008 －2009 学年第2 学期 ? 2? 设系统的传递函数为
[y b =21x x kx =-- · @
} 2009年《现代控制理论》试卷A 评分标准及答案 第一题（10分，每个小题答对1分，答错0分） （1）对 （2）错 （3）对 （4）错 （5）对 （6）对 （7）对 （8）对 （9）对 （10）错 第二题（15分） （1）)(t Φ（7分）：公式正确3分，计算过程及结果正确4分 ? ? ? ???+-+---=-=Φ?? ?? ??????+- +-+-+-+- ++-+=??????-+++=-? ?? ???+-=------------t t t t t t t t e e e e e e e e A sI L t s s s s s s s s s s s s A sI s s A sI 22221 11 2222}){()(22112 2 1221112112213)2)(1(1 )(321 （2） 状态方程有两种解法（8分）：公式正确4分，计算过程及结果正确4分 ??????-+-+-=????? ???????+-+++-+++-++??????+--=??????????? ???????++-++++-=-+-=??????---+-=????? ?+--+??? ???+--=??????-Φ+Φ=------------------------------??t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t e e te e e te s s s s s s L e e e e t x t x s s s s s L x A sI L t x s BU A sI x A sI s X e e t e e t d e e e e e e e e e t x t x d t Bu x t t x 222 21 22212 21111122)(02222210 2344}2414)1(42212)1(4 {2)()(} )2()1(4) 2()1()3(2{)}0(){()() ()()0()()(2)34()14(22222)()()()()0()()(或者 ττ τττττττ *
概念： 设动态系统为)()()(,)()()(t Du t Cx t y t Bu t Ax t x +=+=&， （1）若At e t =Φ) (，则)(t Φ称为（状态转移矩阵 ） （2）若D B A sI C s G +-=-1 )()(，则)(s G 称为（ 传递函数矩阵 ） （3）若],,,,[],[1 2B A B A AB B B A n c -=ΓΛ，则],[B A c Γ称为（能控性矩阵） （4）若T n o CA CA CA C A C ],,,,[],[12-=ΓΛ，则],[A C o Γ称为（能观性矩阵） （5）若],,,,,[],,[1 2D B CA B CA CAB CB B A C n oc -=ΓΛ，则],,[B A C oc Γ称为（输出能 控性矩阵） （6）李雅普诺夫方程 Q PA P A T -=+，其中Q 为正定对称阵，当使方程成立的P 为（ 正定对称阵 ）时，系统为渐近稳定。 （7）设系统0)0(,0,)(=≥=f t x f x &，如果存在一个具有一阶导数的标量函数 )(x V ，0)0(=V ，并且对于状态空间X 中的且非零点x 满足如下条件：)(x V 为（正定）；)(x V &为（负定）；当∞→x 时，∞→)(x V 。则系统的原点平衡状态是 （大范围渐近稳定的）。 （8）状态反馈不改变系统的（可控性）。输出至状态微分反馈不改变系统的（可观测性）。输出至参考输入反馈，不改变系统的（可控性和可观测性）。状态反馈和输出反馈都能影响系统的（稳定性和动态性能）。 （9）状态反馈控制的极点任意配置条件是系统状态（完全可控）。状态观测的极点任意配置条件是系统状态（完全可观）。 （10）系统线性变换Px x =时，变换矩阵P 必须是（非奇异的，或满秩）的。 二：已知系统传递函数 ) 2()1(5 )(2 ++= s s s G ，试求约当型动态方程。 解：25 15) 1(5)2()1(5)(2 2+++-+=++= s s s s s s G
、选择题 1. 下面关于建模和模型说法错误的是( C )。 A ?无论是何种系统，其模型均可用来提示规律或因果关系。 B ?建模实际上是通过数据、图表、数学表达式、程序、逻辑关系或各种方式的组合表示状态变量、输入变量、输出变量、参数之间的关系。 C.为设计控制器为目的建立模型只需要简练就可以了。 D .工程系统模型建模有两种途径，一是机理建模，二是系统辨识。 2. 系统&y&(t) 3y&(t) 10 u(t) 的类型是( B ) 。 A ?集中参数、线性、动态系统。 B ?集中参数、非线性、动态系统。 C.非集中参数、线性、动态系统。 D ?集中参数、非线性、静态系统。 3. 下面关于控制与控制系统说法错误的是( B )。 A ?反馈闭环控制可以在一定程度上克服不确定性。 B ?反馈闭环控制不可能克服系统参数摄动。 C?反馈闭环控制可在一定程度上克服外界扰动的影响。 D ?控制系统在达到控制目的的同时，强调稳、快、准、鲁棒、资源少省。 4. 下面关于线性非奇异变换x Pz说法错误的是(D )。 A ?非奇异变换阵P是同一个线性空间两组不同基之间的过渡矩阵。 B ?对于线性定常系统，线性非奇异变换不改变系统的特征值。 C?对于线性定常系统，线性非奇异变换不改变系统的传递函数。 D ?对于线性定常系统，线性非奇异变换不改变系统的状态空间描述。 5. 下面关于稳定线性系统的响应说法正确的是( A )。 A .线性系统的响应包含两部分，一部是零状态响应，一部分是零输入响应。 B .线性系统的零状态响应是稳态响应的一部分。 C.线性系统暂态响应是零输入响应的一部分。 D .离零点最近的极点在输出响应中所表征的运动模态权值越大。 6. 下面关于连续线性时不变系统的能控性与能观性说法正确的是( A ) 。 A ?能控且能观的状态空间描述一定对应着某些传递函数阵的最小实现。 B ?能控性是指存在受限控制使系统由任意初态转移到零状态的能力。 C.能观性表征的是状态反映输出的能力。 D .对控制输入的确定性扰动影响线性系统的能控性，不影响能观性。 7. 下面关于系统Lyapunov 稳定性说法正确的是( C ) 。
现代控制理论试卷作业 一．图为R-L-C 电路，设u 为控制量，电感L 上的支路电流 11121222121212010Y x U R R R R Y x R R R R R R ????????????=+????????-????+++???????? 和电容C 上的电压2x 为状态变量，电容C 上的电压2x 为输出量，试求：网络的状态方程和输出方程（注意指明参考 方向）。 解：此电路没有纯电容回路，也没有纯电感电路，因有两个储能元件，故有独立变量。 以电感L 上的电流和电容两端的电压为状态变量，即令：12,L c i x u x ==，由基尔霍夫电压定律可得电压方程为： 从上述两式可解出1x ?，2x ? ，即可得到状态空间表达式如下： ??????21y y =????????++-211212110R R R R R R R ??????21x x +u R R R ????????+2120 二、考虑下列系统： （a ）给出这个系统状态变量的实现； （b ）可以选出参数K （或a ）的某个值，使得这个实现或者丧失能控性，或者丧失能观性，或者同时消失。 解：（a ）模拟结构图如下： 则可得系统的状态空间表达式： （b ） 因为 3023A -??=??? 0013 k k a -??-??-? 110b ????=?????? 所以：当1a =时，该系统不能控；当1a ≠时，该系统能控。 又因为：[2C = 1 ]0 所以：当0k =或1a =时，该系统不能观；当0k ≠且1a ≠时，该系统能观。 综上可知：当1a =时或0k =且1a =时，该系统既不能控也不能观。 三、已知系统. Ax x =?的状态转移矩阵为： （1）试确定矩阵A ，并验证At e 确为上式。
现代控制理论 1、经典-现代控制区别: 经典控制理论中,对一个线性定常系统,可用常微分方程或传递函数加以描述,可将某个单变量作为输出,直接与输入联系起来;现代控制理论用状态空间法分析系统,系统的动态特性用状态变量构成的一阶微分方程组描述,不再局限于输入量,输出量,误差量,为提高系统性能提供了有力的工具、可以应用于非线性,时变系统,多输入-多输出系统以及随机过程、2、实现-描述 由描述系统输入-输出动态关系的运动方程式或传递函数,建立系统的状态空间表达式,这样问题叫实现问题、实现就是非唯一的、 3、对偶原理 系统=∑1(A1,B1,C1)与=∑2(A2,B2,C2)就是互为对偶的两个系统,则∑1的能控性等价于∑2的能观性, ∑1的能观性等价于∑2的能控性、或者说,若∑1就是状态完全能控的(完全能观的),则∑2就是状态完全能观的(完全能控的)、对偶系统的传递函数矩阵互为转置 4、对线性定常系统∑0=(A,B,C),状态观测器存在的充要条件就是的不能观子系统为渐近稳定 第一章控制系统的状态空间表达式 1、状态方程:由系统状态变量构成的一阶微分方程组 2、输出方程:在指定系统输出的情况下,该输出与状态变量间的函数关系式 3、状态空间表达式:状态方程与输出方程总合,构成对一个系统完整动态描述 4、友矩阵:主对角线上方元素均为1:最后一行元素可取任意值;其余元素均为0 5、非奇异变换:x=Tz,z=T-1x;z=T-1ATz+T-1Bu,y=CTz+Du、T为任意非奇异阵(变换矩阵),空间表达式非唯一 6、同一系统,经非奇异变换后,特征值不变;特征多项式的系数为系统的不变量 第二章控制系统状态空间表达式的解 1、状态转移矩阵:eAt,记作Φ(t) 2、线性定常非齐次方程的解:x(t)=Φ(t)x(0)+∫t0Φ(t-τ)Bu(τ)dτ 第三章线性控制系统的能控能观性 1、能控:使系统由某一初始状态x(t0),转移到指定的任一终端状态x(tf),称此状态就是能控的、若系统的所有状态都就是能控的,称系统就是状态完全能控 2、系统的能控性,取决于状态方程中系统矩阵A与控制矩阵b 3、一般系统能控性充要条件:(1)在T-1B中对应于相同特征值的部分,它与每个约旦块最后一行相对应的一行元素没有全为0、(2)T-1B中对于互异特征值部分,它的各行元素没有全为0的 4、在系统矩阵为约旦标准型的情况下,系统能观的充要条件就是C中对应每个约旦块开头的一列的元素不全为0 5、约旦标准型对于状态转移矩阵的计算,可控可观性分析方便;状态反馈则化为能控标准型;状态观测器则化为能观标准型 6、最小实现问题:根据给定传递函数阵求对应的状态空间表达式,其解无穷多,但其中维数最小的那个状态空间表达式就是最常用的、 第五章线性定常系统综合 1、状态反馈:将系统的每一个状态变量乘以相应的反馈系数,然后反馈到输入端与参考输入相加形成控制律,作为受控系统的控制输入、K为r*n维状态反馈系数阵或状态反馈增益阵 2、输出反馈:采用输出矢量y构成线性反馈律H为输出反馈增益阵 3、从输出到状态矢量导数x的反馈:A+GC 4、线性反馈:不增加新状态变量,系统开环与闭环同维,反馈增益阵都就是常矩阵 动态补偿器:引入一个动态子系统来改善系统性能 5、(1)状态反馈不改变受控系统的能控性 (2)输出反馈不改变受控系统的能控性与能观性 6、极点配置问题:通过选择反馈增益阵,将闭环系统的极点恰好配置在根平面上所期望的位置,以获得所希望的动态性能(1)采用状态反馈对系统任意配置极点的充要条件就是∑0完全能控
2012年现代控制理论考试试卷 一、（10分，每小题1分）试判断以下结论的正确性，若结论是正确的， （ √ ）1. 由一个状态空间模型可以确定惟一一个传递函数。 （ √ ）2. 若系统的传递函数不存在零极点对消，则其任意的一个实现均为最小实现。 （ × ）3. 对一个给定的状态空间模型，若它是状态能控的，则也一定是输出能控的。 （ √ ）4. 对线性定常系统x Ax =&，其Lyapunov 意义下的渐近稳定性 和矩阵A 的特征值都具有负实部是一致的。 （ √ ）5.一个不稳定的系统，若其状态完全能控，则一定可以通过状态反馈使其稳定。 （ × ）6. 对一个系统，只能选取一组状态变量； （ √ ）7. 系统的状态能控性和能观性是系统的结构特性，与系统的输入和输出无关； （ × ）8. 若传递函数1()()G s C sI A B -=-存在零极相消，则对应的状态空间模型描述的系统是不能控且不能观的； （ × ）9. 若一个系统的某个平衡点是李雅普诺夫意义下稳定的，则该系统在任意平衡状态处都是稳定的； （ × ）10. 状态反馈不改变系统的能控性和能观性。
二、已知下图电路，以电源电压u(t)为输入量，求以电感中的电流和电容中的电压作为状态变量的状态方程，和以电阻R2上的电压为输出量的输出方程。（10分） 解：（1）由电路原理得： 112 212 1111 222 11 111L L c L L c c L L di R i u u dt L L L di R i u dt L L du i i dt c c =- -+=-+=- 222R L u R i = 112211112221011000110L L L L c c R i i L L L R i i u L L u u c c ?? -- ?????????????????? ??????=-+??????????????????????????-??????????? ??? g g g
2008 现代控制理论试题B 卷及答案 一、1 系统[]210,01021x x u y x ????=+=????-???? &能控的状态变量个数是cvcvx ，能观测的状态变量个数是。（4分） 2试从高阶微分方程385y y y u ++=&&&&&求得系统的状态方程和输出方程（4分） 解： 1． 能控的状态变量个数是2，能观测的状态变量个数是1。状态变量个数是2。…..（4分） 2． 解：选取状态变量1 x y =，2x y =&，3x y =&&，可得 …..….…….（1分） 12 23 3131 835x x x x x x x u y x ===--+=&&& …..….…….（1分） 写成 010*********x x u ???? ????=+????????--???? & …..….…….（1分） []100y x = …..….…….（1分） 二、1给出线性定常系统(1)()(), ()()x k Ax k Bu k y k Cx k +=+=能控的定义。 （3分） 2已知系统[]210 020,011003x x y x ????==?? ??-?? &，判定该系统是否完全能观？(5分) 解： 1．答：若存在控制向量序列(),(1),,(1)u k u k u k N ++-L ，时系统从第k 步的状态()x k 开始，在第N 步达到零状态，即()0x N =，其中N 是大于0的有限数，那么就称此系统在第k 步上是能控的。若对每一个k ，系统的所有状态都是能控的，就称系统是状态完全能控的，简称能控。…..….…….（3分） 2. [][]320300020012 110-=???? ??????-=CA ………..……….（1分）
' 《现代控制理论》练习题 判断题 1. 由一个状态空间模型可以确定惟一一个传递函数。 3. 对一个给定的状态空间模型，若它是状态能控的，则也一定是输出能控的。 4. 对系统Ax x = ，其Lyapunov 意义下的渐近稳定性和矩阵A 的特征值都具有负实部是一致的。 5. 对一个系统，只能选取一组状态变量； 6. 由状态转移矩阵可以决定系统状态方程的系统矩阵，进而决定系统的动态特性； 7. 状态反馈不改变系统的能控性。 【 8. 若传递函数B A sI C s G 1 )()(--=存在零极相消，则对应状态空间模型描述的系统是不能控的； 9. 若线性系统是李雅普诺夫意义下稳定的，则它是大范围渐近稳定的； 10. 相比于经典控制理论，现代控制理论的一个显著优点是可以用时域法直接进行系统的分析和设计。 11. 传递函数的状态空间实现不唯一的一个主要原因是状态变量选取不唯一。 12. 状态变量是用于完全描述系统动态行为的一组变量，因此都是具有物理意义。 13. 等价的状态空间模型具有相同的传递函数。 14. 互为对偶的状态空间模型具有相同的能控性。 15. 一个系统的平衡状态可能有多个，因此系统的李雅普诺夫稳定性与系统受扰前所处的平衡位置无关。 … 16. 若一线性定常系统的平衡状态是渐近稳定的，则从系统的任意一个状态出发的状态轨迹随着时间的推移都将收敛到该平衡状态。 17. 反馈控制可改变系统的稳定性、动态性能，但不改变系统的能控性和能观性。 18. 如果一个系统的李雅普诺夫函数确实不存在，那么我们就可以断定该系统是不稳定的。 填空题 l ．系统状态完全能控是 指 。 2 ． 系 统 状 态 的 能 观 性 是 指 。 3．系统的对偶原理： 。
现代控制理论试卷作业 一．图为R-L-C电路，设u为控制量，电感L上的支路电流 11 1212 22 121212 010 Y x U R R R R Y x R R R R R R ???? ???? ???? =+ ???? ???? - ???? +++ ???? ???? 和电容C上的电压 2 x为状态变 量，电容C上的电压 2 x为输出量，试求：网络的状态方程和输出方程（注意指明参考方向）。 解：此电路没有纯电容回路，也没有纯电感电路，因有两个储能元件，故有独立变量。 以电感L上的电流和电容两端的电压为状态变量，即令： 12 , L c i x u x ==，由基尔霍夫电压定律可得电压方程为： 2221 R C x x L x ?? +-= 1121 ()0 R x C x L x u ?? ++-= 从上述两式可解出 1 x ? ， 2 x ? ，即可得到状态空间表达式如下： 12 112 1 2 12 () () R R x R R L R x R R C ? ? ? - ???+ ??? = ??? - ??? + ? 12 1 1212 2 1212 ()() 11 ()() R R x R R L R R L u x R R C R R C ??? ??? ++ ?? ??? + ?? ??? ?? -??? ++ ??? ? ? ? ? ? ? 2 1 y y = ? ? ? ? ? ? ? ? + + - 2 1 1 2 1 2 1 1 R R R R R R R ? ? ? ? ? ? 2 1 x x +u R R R ? ? ? ? ? ? ? ? + 2 1 2 二、考虑下列系统：