第二章常用统计技术 第二章常用统计技术 【考试趋势】 单选4-5题，多选6-8题，综合分析7-8题。总分值30-40分。总分170分。占比20%左右。 【大纲考点】 一、方差分析 (一)方差分析基本概念 1．掌握因子、水平和方差分析的三项基本假定 2．熟悉方差分析是在同方差假定下检验多个正态均值是否相等的统计方法（难点） (二)方差分析方法 1．掌握单因子的方差分析方法(平方和分解、总平方和、因子平方和、误差平方和，自由由度、f比、显著性) （重点） 2．了解重复数不等情况下的方差分析方法。（难点） 二、回归分析 主要研究定量因子，也就是变量分析 (一)散布图与相关系数 1.掌握散布图的作用与做法 2.掌握样本相关系数的定义、计算及其检验方法（重点，难点） (二)一元线性回归 1．掌握用最小二乘估计建立一元线性回归方程的方法（重点，难点） 2．掌握一元线性回归方程的检验方法（重点，难点） 3．熟悉一元线性回归方法在预测中的应用 (三)了解可化为一元线性回归的曲线回归问题 三、试验设计 三、试验设计
(一)基本概念与正交表 1．了解试验设计的必要性 2．熟悉常用正交表及正交表的特点 (二)正交试验设计与分析 1．熟悉使用正交表进行试验设计的步骤 2．掌握无交互作用的正交试验设计的直观分析法与方差分析法 3．熟悉贡献率的分析方法 4．了解有交互作用的正交试验设计的方差分析法 5．熟悉最佳水平组合的选取 【考点解读】 三种统计技术的特点：新版教材第74页。 第一节方差分析 第一节方差分析 一、方差分析 1、三项基本假定-(掌握p75) 为什么要方差分析？目的和用途。方差分析不是简单分析方差，通过方差分析因子的显著与否。方差只是手段。对结果的影响是否显著。要用到假设检验。零假设，备择假设。 但是假设检验的前提条件是：正态分布，等方差，观测相互独立。也就是大纲里讲的三项基本假定。 2、方差分析的统计检验-(掌握p76) 那么如何在同方差假定下检验多个正态均值是否相等呢？其实统计检验的 问题。大家想一下，零假设，备择假设是什么？ 同一个因子，有不同水平，每个水平重复多次试验就得到一个分布。有几个水平就有几个分布，方差分析是看分布的均值是否相等。相等，说明因子变动对结果没影响，相差越大就越显著！ 3、单因子的方差分析-(掌握p76-79)
第七章 假设检验与方差分析 习题答案 一、名词解释 用规范性的语言解释统计学中的名词。 1. 假设检验：对总体分布或参数做出某种假设，然后再依据抽取的样本信息，对假设是否正确做出统计判断，即是否拒绝这种假设。 2. 原假设：又叫零假设或无效假设，进行统计检验时预先建立的假设，表示为 H 0，总是含有等号。 3. 备择假设：是零假设的对立，表示为 H 1，总是含有不等号。 4. 单侧检验：备择假设符号为大于或小于时的假设检验。 5. 显著性水平：原假设为真时，拒绝原假设的概率。 6. 方差分析：通过对数据总变异进行分解，来检验多个总体均值是否相等的一种统计分析方法。 二、填空题 根据下面提示的内容，将适宜的名词、词组或短语填入相应的空格之中。 1. u ，n x σμ0-，标准正态； ),(),(2/2/+∞--∞n z n z σσ αα 2. 参数检验，非参数检验 3. 弃真，存伪 4. 方差 5. 卡方， F 6. 方差分析 7. t ，u 8. n s x 0 μ-，不拒绝 9. 单侧，双侧 10．新产品的废品率为5% ，0.01 11．相关，总变异，组间变异，组内变异 12．总变差平方和=组间变差平方和+组内变差平方和 13．连续，离散 14．总体均值 15．因子，水平 16．组间，组内 17．r-1，n-r
18. 正态，独立，方差齐
三、单项选择 从各题给出的四个备选答案中，选择一个最佳答案，填入相应的括号中。 1．B 2．B 3. B 4．A 5． C 6． B 7． C 8． A 9． D 10． A 11． D 12． C 四、多项选择 从各题给出的四个备选答案中，选择一个或多个正确的答案，填入相应的括号中。 1.AC 2．A 3.B 4.BD 5. AD 五、判断改错 对下列命题进行判断，在正确命题的括号内打“√”；在错误命题的括号内打“×”，并在错误的地方下划一横线，将改正后的内容写入题下空白处。 1. 在任何情况下，假设检验中的两类错误都不可能同时降低。 ( × ) 样本量一定时 2. 对于两样本的均值检验问题，若方差均未知，则方差分析和t 检验均可使用，且两者检验结果一致。 ( √ ) 3. 方差分析中，组间离差平方和总是大于组内离差平方和。( × ) 不一定 4. 在假设检验中，如果在显著性水平0.05下拒绝了 00:μμ≤H ，则在同一水平一定可以拒绝假设00:μμ=H 。( × ) 不一定 5. 为检验k 个总体均值是否显著不同，也可以用t 检验，且与方差分析相比，犯第一类错误的概率不变。（ × ） 会增加 6. 方差分析中，若拒绝了零假设，则认为各个总体均值均有显著性差异。( × ) 不完全相等 六、简答题 根据题意，用简明扼要的语言回答问题。 1. 假设检验与统计估计有何区别与联系？ 【答题要点】 假设检验是在给定显著性水平下，计算出拒绝域，并根据样本统计量信息来做出是否拒
第七章方差分析 方差分析（analysis of variance）是检验多个总体均值是否相等的统计方法。目的：通过检验多个总体的均值是否相等来判断定类变量对定距变量是否有显著影响。 第一节方差分析引述 一、方差分析的基本思想和原理 例1：想了解四个行业的服务质量如何，得到以下数据： 消费者对四个行业的投诉次数 自变量行业是分类变量，因变量被投诉次数是定距变量。 想知道行业对被投诉次数的影响，就要分析不同行业的被投诉次数之间是否有显著差异，即检验四个行业被投诉次数的总体均值是否相等（注意不是样本均值）。如果相等，行业对投诉次数无影响；如果均值不全相等，有影响。 为什么不用均值检验的方法？ 均值检验一次只研究两个样本，要检验4个总体均值是否相等，需要6次检验（1-2，1-3，1-4，2-3，2-4，3-4）。每次检验犯第一类错误的概率是α，作多次检验会增加犯错概率和降低置信水平。而方差分析同时将所有样本信息结合在一起，增加了分析的可靠性，降低了犯错的概率，避免拒绝真实的原假设。如何用样本均值检验总体均值即判断行业对投诉次数是否有影响？ 各行业被投诉次数的样本均值不相等，是否可说明不同行业被投诉次数有明显差异？不一定，也许各行业总体均值无差异，仅仅因为抽样的随机性造成了彼此之间的差异/随机误差。（来自同一个总体的各个样本之间因为随机性而造成的均值差异和来自不同总体的样本之间的均值差异在散点图上是有差异的。）所以，方差分析就是对于差异来源进行分析（来源于随机误差还是不同总体间的真实差异），从而判断不同总体均值是否相等。 在例1中，在同一行业（同一总体）下，样本的各观测值不同，其差异可看作抽样的随机性造成的，称之为随机误差。在不同行业（不同总体）下，各观测
第二章均值比较检验与方差分析 在经济社会问题的研究过程中，常常需要比较现象之间的某些指标有无显著差异，特别当考察的样本容量n比较大时，由随机变量的中心极限定理知，样本均值近似地服从正态分布。所以，均值的比较检验主要研究关于正态总体的均值有关的假设是否成立的问题。 ◆本章主要内容： 1、单个总体均值的 t 检验（One-Sample T Test）； 2、两个独立总体样本均值的 t 检验（Independent-Sample T Test）； 3、两个有联系总体均值均值的 t 检验（Paired-Sample T Test）； 4、单因素方差分析（One-Way ANOVA）； 5、双因素方差分析（General Linear Model Univariate）。 ◆假设条件：研究的数据服从正态分布或近似地服从正态分布。 在Analyze菜单中，均值比较检验可以从菜单Compare Means，和General Linear Model得出。如图2.1所示。 图2.1 均值的比较菜单选择项 §2.1 单个总体的t 检验（One-Sample T Test）分析 单个总体的 t 检验分析也称为单一样本的 t 检验分析，也就是检验单个变量的均值是否与假定的均数之间存在差异。如将单个变量的样本均值与假定的常数相比较，通过检验得出预先的假设是否正确的结论。
例1：根据2002年我国不同行业的工资水平（数据库SY-2），检验国有企业的职工平均年工资收入是否等于10000元，假设数据近似地服从正态分布。 首先建立假设：H0：国有企业工资为10000元； H1：国有企业职工工资不等于10000元 打开数据库SY-2，检验过程的操作按照下列步骤： 1、单击Analyze →Compare Means →One-Sample T Test，打开One-Sample T Test 主对话框，如图2.2所示。 图2.2 一个样本的t检验的主对话框 2、从左边框中选中需要检验的变量（国有单位）进入检验框中。 3、在Test Value框中键入原假设的均值数10000。 4、单击Options按钮，得到Options对话框（如图2.3），选项分别是置信度（默认项是95％）和缺失值的处理方式。选择后默认值后返回主对话框。 图2.3 一个样本t检验的Options对话框 5、单击OK，得输出结果。如表2.1所示。 表2.1（a）.数据的基本统计描述 One-Sample Statistics
第12章方差分析（Analysis of V ariance） 方差分析是鉴别各因素效应的一种有效统计方法，它是通过实验观察某一种或多种因素的变化对实验结果是否带来显著影响，从而选取最优方案的一种统计方法。 在科学实验和生产实践中，影响一件事物的因素往往很多，每一个因素的改变都有可能影响产品产量和质量特征。有的影响大些，有的影响小些。为了使生产过程稳定，保证优质高产，就有必要找出对产品质量有显著影响的那些因素及因素所处等级。方差分析就是处理这类问题，从中找出最佳方案。 方差分析开始于本世纪20年代。1923年英国统计学家R.A. Fisher 首先提出这个概念，（ANOV A）。因当时他在Rothamsted农业实验场工作，所以首先把方差分析应用于农业实验上，通过分析提高农作物产量的主要因素。Fisher1926年在澳大利亚去世。现在方差分析方法已广泛应用于科学实验，医学，化工，管理学等各个领域，范围广阔。 在方差分析中，把可控制的条件称为“因素”（factor），把因素变化的各个等级称为“水平”或“处理”（treatment）。 若是试验中只有一个可控因素在变化，其它可控因素不变，称之为单因素试验，否则是多因素试验。下面分别介绍单因素和双因素试验结果的方差分析。 1.1 单因素方差分析（One Way Analysis of Variance） 1.一般表达形式 2.方差分析的假定前提 3.数学模形 4.统计假设 5.方差分析：（1）总平方和的分解；（2）自由度分解；（3）F检验 6.举例 7.多重比较 1.1.1 一般表达形式 首先通过一个例子引出单因素方差分析方法。某农业科研所新培养了四种水稻品种，分别用A1，A2，A3，A4表示。每个品种随机选种在四块试验田中，共16块试验田。除水稻品种之外，尽量保持其它条件相同（如面积，水分，日照，肥量等），收获后计算各试验田中产量如下表： 通过这些数据要考察四个不同品种的单位产量，是否有显著性差异。类似的例子很多，如劳动生产率差异，汽车燃油消耗，金属材料淬火温度等问题。上述问题可控实验条件是“种子”。所以种子是因素。把不同的品种A1，A2，A3，A4称为“水平”。1，2，3，4表示试验
第七章方差分析基础 ＆7.1 方差分析的必要性与作用 一、方差分析的必要性 ●前面学习了两个样本平均数的假设测验，该法只适用于比较两个试验处理的优劣。用于 多个平均数间差异显著性测验，就会表现出如下一些问题： 1．多个处理用t测验计算麻烦 若进行5个样本平均数的差异显著性比较，则需进行10次两两均数差异显著性测验: H0: μ1= μ2 , μ1= μ3 , μ1= μ4 , μ1= μ5； μ2= μ3 , μ2= μ4 , μ2= μ5； μ3= μ4 , μ3= μ5； μ4= μ5 . 因此, 当样本平均数的个数k≥3时，采用上章学习的方法进行差异显著性测验，工作量是相当大的。 2.推断的可靠性降低，犯α错误的概率增大 t测验，α=0.05时犯第一类错误的概率为0.05, 推断的可靠性为1- α =0.95。 5个处理采用t测验进行比较，α=0.05, 需进行10次两两比较，每次比较的可靠性为1- α =0.95 , 10次推断的可靠性由0.95降到0.5987, 犯第一类错误的概率则由0.05上升0.4013. 3.误差估计的精确性和检验的灵敏性降低 采用t测验法，每次只能利用两组观察值估计试验误差，与利用全部观察值估计的试验误差相比，精确性低，误差的自由度也低，从而使检验的灵敏度也降低，容易掩盖差异的显著性，增大犯第二类错误的可能。 因此对多个处理平均数进行差异显著性测验，不宜采用t测验，而需采用——方差分析法。 二、方差分析的作用 ●解决多个处理的比较问题，充分利用资料的全部信息，提高分析的精确度。 1、在单因素试验中，可以分辨出最优的水平。 2、在多因素试验中，可以分辨出最优的水平组合。 ＆7.2 方差分析及基本原理 方差分析的概念： 将试验数据的总变异分解为不同来源的变异，从而评定不同变异来源的相对重要性的一种统计方法。 一、数据结构与变异来源的分解 设有k个处理，每个处理有n个观察值，则共有nk个观察值，其数据结构和符号如表7.1。
第七章方差分析 第一节方差分析的意义 ?3个以上平均数间的差异进行显著性检验，若仍采用t检验法两两检验，将存在以下三方面的缺陷：?其一，检验过程非常烦琐。 ?其二，不能充分利用试验资料的全部信息，精度不高。 ?其三，随着k的增大，犯第一类错误的概率也将增加。 第二节方差分析的步骤 ?一、自由度和平方和的分解 ?方差是平方和除以自由度的商。因此，方差分析的第一步就是进行自由度和平方和的分解。?设有k个处理，每个处理皆含有n个重复观察值的完全随机试验资料，其数据结构见表7.1。 表7.1 k个处理每处理n个重复观察值的完全随机试验数据符号表 表7.1 nk个观察值的单向分组资料模式 ?总变异平方和 ?总变异是nk个观察值的变异， ?受条件的限制，自由度为n T=nk-1 ?总变异平方和可以分解为处理内和处理间两个部分 ?处理内（即误差）变异为各处理内观察值与处理平均数的变异，因每处理具有自由度（n– 1）和平方和 ?而资料共有k个处理，故处理内自由度为： ?df e=k(n– 1) ?处理内平方和SS e为： ?处理平均数间的平方和 ?具自由度n t=k-1,注意 ?为了正确地进行F测验，必须使它们都估计着同一参数s2,。因而，样本间的平方和应为： 总变异的=处理间的+处理内的 平方和 SS T = SS t + SS e 自由度 (nk-1) = (k-1) + k(n-1) 进而得： 样本间的均方 样本内的均方 ?〔例7.1〕研究A、B、C、D、E共5个饲草品种的鲜草产量差异，E为对照，盆栽试验，每品种3盆，完全随机放置于同一网室内。以对照E孕穗期作为刈割日期，测得各品种单株鲜重（g）见表7.2，试分解其自由度和平方和。 表7.2 不同饲草品种单株鲜重的结果(g) ?解： ?总变异自由度df T=nk-1=3?5-1=14 ?处理(品种)间自由度df t=k-1=5-1=4 ?品种内(误差)自由度df e=k(n-1)=5?(3-1)=10 ?矫正数
第2章方差分析 2.1 概述 方差分析（analysis of variance）是数理统计的基本方法之一，是分析试验数据的一种有效工具。方差分析是在20世纪20年代初由英国统计学家费歇尔（R.A.Fisher）所创，最早用于生物学和农业实验，后在工业生产和科学研究中的许多领域广泛应用，取得良好的效果。 一、方差分析的必要性 在第1章中，我们已经讨论了两个正态总体均值相等的假设检验问题。但在实际生产中，经常遇到检验多个正态总体均值是否相等的问题。 例2-1 以淀粉为原料生产葡萄糖的过程中，残留有许多糖蜜，可作为生产酱色的原料。在生产酱色之前应尽可能彻底除杂，以保证酱色质量。为此，对除杂方法进行选择。在试验中选用五种不同的除杂方法，每种方法做四次试验，即重复四次，结果见表2-1。 表2-1 不同除杂方法的除杂量(g/kg) 本试验的目的是判断不同的除杂方法对除杂量是否有显著影响，以便确定最佳除杂方法。我们可以认为，同一除杂方法重复试验得到
的4个数据的差异是由随机误差造成的，而随机误差常常是服从正态分布的，这时除杂量应该有一个理论上的均值。而对不同的除杂方法，除杂量应该有不同的均值。这种均值之间的差异是由于除杂方法的不同造成的。于是我们可以认为，五种除杂方法所得数据是来自五个均值不同的五个正态总体，且由于试验中其它条件相对稳定，因而可以认为每个总体的方差是相等的，即五个总体具有方差齐性。这样，判断除杂方法对除杂效果是否有显著影响的问题，就转化为检验五个具有相同方差的正态总体均值是否相同的问题了，即检验假设 H0: μ1=μ2=μ3=μ4=μ5 对于这种多个总体样本均值的假设检验，第1章介绍的方法不再适用，须采用方差分析方法。 二、方差分析的基本思想 方差分析的实质就是检验多个正态总体均值是否相等。那么，如何检验呢？ 从表2-1可见，20个试验数据（除杂量）是参差不齐的。数据波动的可能原因来自两个方面：一是由于因素的水平（即除杂方法）不同造成的，事实上，5种除杂方法下的数据平均值 之间确实有差 i 异；二是偶然失误造成的。从表中数据可见，每一种除杂方法下的4个数据虽然是相同条件下的试验结果，但仍然存在差异。这是由于试验中存在的偶然因素（如环境、原材料成分、测试技术等的微小而又随机的变化）引起的。我们把由因素的水平变化引起的试验数据波动称为条件误差；把由随机因素引起的试验数据波动称为随机误差或试验误差。 方差分析的中心要点是：把实验数据的总波动分解为两部分，一部分反映由条件误差变化引起的波动；另一部分反映由实验误差引起