第五章测量误差的基本知识
一、名词解释
1、系统误差
2、偶然误差
3、多余观测
4、中误差
5、相对中误差
6、极限误差
二、问答题
1、偶然误差有哪些特性？
2、测量中对偶然误差和系统误差处理的原则各是什么？
3、为什么说观测值的算术平均值是最或然值？
三、计算题
1、对某线段丈量了5次，观测结果为：49.535 m、49.547 m、49.526 m、49.537 m、49.529m，
请计算其算术均值和算术平均值的中误差。
2、用DJ6级经纬仪观测某个水平角4个测回，其观测值分别为：68°32′18″，68°31′54″，
68°31′42″，68°32′06″，请计算一测回的中误差、算术平均值及其中误差。
3、设有一n边形，每个角的观测值中误为m=±9″，请计算该n边形内角和的中误差。
4、某三角形，测得a=110.11m±0.02m，∠A=64°24′±1′，∠B=35°10′±0.5′，请计算c边长及
其中误差。
第五章测量误差的基本知识 单选题 1、引起测量误差的因素概括起来有以下三个方面（B）。 A.观测者、观测方法、观测仪器 B.观测仪器、观测者、外界因素 C.观测方法、外界因素、观测者 D.观测仪器、观测方法、外界因素 2、测量误差来源于（A）。 A.仪器、观测者、外界条件 B.仪器不完善 C.系统误差 D.偶然误差 3、用测回法测水平角，盘左盘右角值相差1°是属于（ D ）。 A.系统误差 B.偶然误差 C.绝对误差 D.粗差 4、测量记录时，如有听错、记错，应采取（C）。 A.将错误数字涂盖 B. 将错误数字擦去 C. 将错误数字划去 D.返工重测重记 5、真误差是观测值与（A ）之差。 A.真值 B.观测值与正数 C.中误差 D.相对误差 6、真误差为观测值与（C）之差。 A.平均 B.中误差 C.真值 D.改正数 7、钢尺的尺长误差对距离测量产生的影响属于（B ）。 A.偶然误差 B.系统误差 C.偶然误差也可能是系统误差 D.既不是偶然误差也不是系统误差 8、下列误差中（A）为偶然误差。 A.照准误差和估读误差 B.横轴误差 C.水准管轴不平行与视准轴的误差 D.指标差 9、尺长误差和温度误差属（B）。 A.偶然误差 B.系统误差 C.中误差 D.粗差 10、用名义长度为30 m的钢尺量距，而该钢尺实际长度为30.004 m，用此钢尺丈量AB两点距离，由此产生的误差是属于（C）。 A.偶然误差 B.相对误差 C.系统误差 D.绝对误差 11、水准尺向前或向后方向倾斜对水准测量读数造成的误差是（B）。 A.偶然误差 B.系统误差
C.可能是偶然误差也可能是系统误差 D.既不是偶然误差也不是系统误差 12、普通水准尺的最小分划为1cm，估读水准尺mm位的误差属于（A）。 A.偶然误差 B.系统误差 C.可能是偶然误差也可能是系统误差 D.既不是偶然误差也不是系统误差 13、由于钢尺的不水平对距离测量所造成的误差是（ B ）。 A.偶然误差 B.系统误差 C.可能是偶然误差也可能是系统误差 D.既不是偶然误差也不是系统误差 14、经纬仪对中误差属（A） A.偶然误差 B.系统误差 C.中误差 D.容许误差 15、衡量一组观测值精度的指标是（A）。 A.中误差 B.相对误差 C.平均误差 D.容许误差 16、在距离丈量中衡量精度的方法是用（B）。 A.绝对误差 B.相对误差 C.标准差 D.中误差 17、工程测量中的最大误差一般取其中误差的（A ）。 A.2倍 B.1倍 C.3倍 D.以上都不是 18、中误差反映的是（A）。 A.一组误差离散度的大小 B.真差的大小 C.似真差的大小 D.相对误差的大小 19、基线丈量的精度用相对误差来衡量，其表示形式为（A）。 A.平均值中误差与平均值之比 B.丈量值中误差与平均值之比 C.平均值中误差与丈量值之和之比 D.以上全不对 20、对三角形进行5次等精度观测，其真误差（闭合差）为：+04″；-03″；+01″；-02″；+06″，则该组观测值的精度（B）。 A.不相等 B.相等 C.最高为+01″ D.最低为-02″ 21、某基线丈量若干次计算得到平均长为540m，平均值之中误差为±0.05m，则该基线的相对误差为（C）。 A.0.0000925 B.1/12000 C.1/10000 D. 1/9000 22、下面是三个小组丈量距离的结果，只有（D）组测量的相对误差不低于1/5000的要求。 A.100m±0.025m B.250m±0.060m C.150m±0.035m D.200m±0.040m
5 测量误差的基本知识 一、填空题： 1、真误差为观测值减去真值。 2、观测误差按性质可分为粗差、和系统误差、和偶然误差三类。 3、测量误差是由于仪器误差、观测者（人的因素）、外界条件（或环境）三方面的原因产生的。 4、距离测量的精度高低是用_相对中误差___来衡量的。 5、衡量观测值精度的指标是中误差、相对误差和极限误差和容许误差。 6、独立观测值的中误差和函数的中误差之间的关系，称为误差传播定律。 7、权等于1的观测量称单位权观测。 8、权与中误差的平方成反比。 9、用钢尺丈量某段距离，往测为112.314m，返测为112.329m，则相对误差为1/7488 。 10、用经纬仪对某角观测 4 次,由观测结果算得观测值中误差为± 20″, 则该角的算术平均值中误差为___10″__． 11、某线段长度为300m,相对误差为1/3200, 则该线段中误差为__9.4 mm___。 12、设观测一个角度的中误差为± 8″，则三角形内角和的中误差应为±13.856 ″。 13、水准测量时，设每站高差观测中误差为± 3mm，若1km观测了15 个测站，则1km的高差观测中误差为11.6mm，1公里的高差中误差为11.6 mm 二、名词解释： 1、观测条件测量是观测者使用某种仪器、工具，在一定的外界条件下进行的。观测者视觉鉴别能力和技术水平；仪器、工具的精密程度；观测时外界条件的好坏，通常我们把这三个方面 综合起来，称为观测条件。 2、相对误差K 是误差m的绝对值与相应观测值D的比值。它是一个不名数，常用分子为 1 的分式表示。 3、等精度观测是指观测条件（仪器、人、外界条件）相同的各次观测。 4、非等精度观测是指观测条件不同的各次观测。 5、权是非等精度观测时衡量观测结果可靠程度的相对数值，权越大，观测结果越可靠。 三、选择题： 1、产生测量误差的原因有（ABC）。 A、人的原因 B、仪器原因 C、外界条件原因 D、以上都不是 2、系统误差具有的性质是（ABCD）。 A、积累性 B、抵消性 C、可消除或减弱性 D、规律性 3、衡量精度高低的标准有（ABC）。 A、中误差 B、相对误差 C、容许误差 D、绝对误差
四、测量误差基本知识 1、测量误差分哪两类？它们各有什么特点？测量中对它们的主要处理原则是什么？ 2、产生测量误差的原因有哪些？偶然误差有哪些特性？ 3、何谓标准差、中误差和极限误差？ 4、对某个水平角以等精度观测4个测回，观测值列于下表（表4-1）。计算其算术平均值x、一测回的中误差m及算术平均值的中误差m x。 表4-1 5、对某一三角形（图4-1）的三个内角重复观测了九次，定义其闭合差?=α+β+γ-180?，其结果如下：?1=+3"，?2=-5"，?3=+6"，?4=+1"，?5=-3"，?6=-4"，?7=+3"，?8=+7"，?9=-8"；求此三角形闭合差的中误差m?以及三角形内角的测角中误差mβ。 图4-1 6、在一个平面三角形中，观测其中两个水平角（内角）α和β，其测角中误差均为m=±20"，根据角α和角β可以计算第三个水平角γ，试计算γ角的中误差mγ。 15
16 7、量得某一圆形地物直径为64.780m ，求其圆周的长S 。设量测直径的中误差为±5㎜，求其周长的中误差m S 及其相对中误差m S /S 。 8、对某正方形测量了一条边长a =100m ，a m =±25mm ；按S=4a 计算周长和P=a 计算面积，计算周长的中误差s m 和面积的中误差p m 。 9、某正方形测量了四条边长a 1=a 2=a 2=a 4=100m ，m = m = m = m =±25mm ；按 S=1a +2a +3a +4a 计算周长和P=（1a ?2a +3a ?4a ）/2计算面积，求周长的中误差s m 和面积的中误差p m 。 10．误差传播定律应用 （1）（1）已知m a =m c =m ，h=a -b ，求h m 。 （2）已知a m =m =±6"，β=a -c ，求βm 。 （3）已知a m =b m =m ，S=100(a -b) ，求s m 。 （4）已知D=( ) h S -，s m =±5mm ，h m =±5mm ，求D m 。 （5）如图4-2，已知x a m =±40 mm ，y a m =±30 mm ； S=30.00m ，β=30? 15'10"，s m =±5.0mm ，βm =±6"。求P 点坐标的中误差x p m 、y p m 、M （M=m m + ）。
5测量误差的基本知识 一、填空题： 1、真误差为观测值减去真值。 2、观测误差按性质可分为粗差、和系统误差、和偶然误差三类。 3、测量误差是由于仪器误差、观测者（人的因素）、外界条件（或环境）三方面的原 因产生的。 4、距离测量的精度高低是用_相对中误差 ___来衡量的。 5、衡量观测值精度的指标是中误差、相对误差和极限误差和容许误差。 6、独立观测值的中误差和函数的中误差之间的关系，称为误差传播定律。 7、权等于 1 的观测量称单位权观测。 8、权与中误差的平方成反比。 9、用钢尺丈量某段距离，往测为112.314m，返测为 112.329m，则相对误差为 1/7488 。 10、用经纬仪对某角观测 4 次, 由观测结果算得观测值中误差为±20″, 则该角的算术平均值中误差为 ___10″__． 11、某线段长度为300m,相对误差为 1/3200, 则该线段中误差为 __9.4 mm ___。 12、设观测一个角度的中误差为±8″，则三角形内角和的中误差应为±″ 。 13、水准测量时，设每站高差观测中误差为±3mm，若1km观测 15 个测站，则1km 了 的高差观测中误差为11.6mm，1 公里的高差中误差为11.6 mm 二、名词解释： 1、观测条件 ----测量是观测者使用某种仪器、工具，在一定的外界条件下进行的。 观测者视觉鉴别能力和技术水平；仪器、工具的精密程度；观测时外界条件的好坏， 通常我们把这三个方面综合起来，称为观测条件。 2、相对误差 K---- 是误差 m的绝对值与相应观测值 D 的比值。它是一个不名数， 常用分子为 1 的分式表示。 3、等精度观测 ----是指观测条件(仪器、人、外界条件)相同的各次观测。 4、非等精度观测 ----是指观测条件不同的各次观测。
第一章 测量误差及数据处理的基本知识 物理实验离不开对物理量的测量。由于测量仪器、测量方法、测量条件、测量人员等因素的限制，测量结果不可能绝对准确。所以需要对测量结果的可靠性做出评价，对其误差范围作出估计，并能正确地表达实验结果。 本章主要介绍误差和不确定度的基本概念，测量结果不确定度的计算，实验数据处理和实验结果表达等方面的基本知识。这些知识不仅在每个实验中都要用到，而且是今后从事科学实验工作所必须了解和掌握的。 1.1 测量与误差 1.1.1测量 物理实验不仅要定性的观察物理现象，更重要的是找出有关物理量之间的定量关系。因此就需要进行定量的测量。测量就是借助仪器用某一计量单位把待测量的大小表示出来。根据获得测量结果方法的不同，测量可分为直接测量和间接测量：由仪器或量具可以直接读出测量值的测量称为直接测量。如用米尺测量长度，用天平称质量；另一类需依据待测量和某几个直接测量值的函数关系通过数学运算获得测量结果，这种测量称为间接测量。如用伏安法测电阻，已知电阻两端的电压和流过电阻的电流，依据欧姆定律求出待测电阻的大小。 一个物理量能否直接测量不是绝对的。随着科学技术的发展，测量仪器的改进，很多原来只能间接测量的量，现在可以直接测量了。比如车速的测量，可以直接用测速仪进行直接测量。物理量的测量，大多数是间接测量，但直接测量是一切测量的基础。 一个被测物理量，除了用数值和单位来表征它外，还有一个很重要的表征它的参数，这便是对测量结果可靠性的定量估计。这个重要参数却往往容易为人们所忽视。设想如果得到一个测量结果的可靠性几乎为零，那么这种测量结果还有什么价值呢？因此，从表征被测量这个意义上来说，对测量结果可靠性的定量估计与其数值和单位至少具有同等的重要意义，三者是缺一不可的。 1.1.2 误差 绝对误差 在一定条件下，某一物理量所具有的客观大小称为真值。测量的目的就是力图得到真值。但由于受测量方法、测量仪器、测量条件以及观测者水平等多种因素的限制，测量结果与真值之间总有一定的差异，即总存在测量误差。设测量值为N ，相应的真值为N 0，测量值与真值之差ΔN ΔN ＝N －N 0 称为测量误差，又称为绝对误差，简称误差。 误差存在于一切测量之中，测量与误差形影不离，分析测量过程中产生的误差，将影响降低到最低程度，并对测量结果中未能消除的误差做出估计，是实验测量中不可缺少的一项重要工作。 相对误差 绝对误差与真值之比的百分数叫做相对误差。用Ｅ表示： %1000 ??=N N E 由于真值无法知道，所以计算相对误差时常用Ｎ代替0N 。在这种情况下，Ｎ可能是公认 值，或高一级精密仪器的测量值，或测量值的平均值。相对误差用来表示测量的相对精确度，相对误差用百分数表示，保留两位有效数字。 1.1.3 误差的分类
测量误差理论的基本知识 1.研究测量误差的目的是什么？ 2.系统误差与偶然误差有什么区别？在测量工作中，对这二种误差如何进行处理？ 3.偶然误差有哪些特征？ 4.我们用什么标准来衡量一组观测结果的精度？中误差与真误差有何区别？ 5.什么是极限误差？什么是相对误差？ 6.说明下列原因产生的误差的性质和削弱方法 钢尺尺长不准，定线不准，温度变化，尺不抬平、拉力不均匀、读数误差、锤球落地不准、水准测量时气泡居中不准、望远镜的误差、水准仪视准轴与水准管轴不平行、水准尺立得不直、水准仪下沉、尺垫下沉、经纬仪上主要轴线不满足理想关系、经纬仪对中不准、目标偏心、度盘分划误差、照准误差。 7.什么是误差传播定律？试述任意函数应用误差传播定律的步骤。 8.什么是观测量的最或是值？ 9.什么是等精度观测和不等精度观测？举例说明。 10.什么是多余观测？多余观测有什么实际意义？ 11.用同一把钢尺丈量二直线，一条为1500米，另一条350米，中误差均为±20毫米，问 两丈量之精度是否相同？如果不同，应采取何种标准来衡量其精度？ 12.用同一架仪器测两个角度，A=10°20.5′±0.2′,B=81°30′±0.2′哪个角精度高？ 为什么？ 13.在三角形ABC中，已测出A=30°00′±2′,B=60°00′±3′，求C及其中误差。 14.两个等精度的角度之和的中误差为±10″，问每一个角的中误差为多少？ 15.水准测量中已知后视读数为a=1.734,中误差为m a＝±0.002米，前视读数b=0.476米， 中误差为m b＝±0.003米，试求二点间的高差及其中误差。 16.一段距离分为三段丈量，分别量得S1=42.74米，S2＝148.36米，S3=84.75米，它们的中 误差分别为，m1=±2厘米，m2=±5厘米，m3=±4厘米试求该段距离总长及其中误差m s。 17.在比例尺为1：500的地形图上，量得两点的长度为L=23.4毫米，其中误差为m1=±0.2mm， 求该二点的实地距离L及其中误差m L。 18.在斜坡上丈量距离，其斜距为：S＝247.50米，中误差m s＝±0.5厘米，用测斜器测得 倾斜角a=10°30′，其中误差m a＝±3″，求水平距离d及其中误差m d＝？ 19.对一角度以同精度观测五次，其观测值为：45°29′54″，45°29′55″，45°29′ 55.7″，45°29′55.7″，45°29′55.4″，试列表计算该观测值的最或然值及其中误 差。 20.对某段距离进行了六次同精度观测，观测值如下：346.535m,346.548，346.520，346.546， 346.550，346.573，试列表计算该距离的算术平均值，观测值中误差及算术平均值中误差。 21.一距离观测四次，其平均值的中误差为±10厘米，若想使其精度提高一倍，问还应观测 多少次？ 22.什么叫观测值的权？观测值的权与其中误差有什么关系？ 23.用尺长为L的钢尺量距，测得某段距离S为四个整尺长，若已知丈量一尺段的中误差为 ±5毫米，问全长之中误差为多少？ 24.仍用23题，已知该尺尺长的鉴定误差为±5毫米，问全长S由钢尺尺长鉴定误差引起的 中误差是多少？两题的结论是否相同？为什么？
第一章测量误差及数据处理的基本知识 物理实验离不开对物理量的测量。由于测量仪器、测量方法、测量条件、测量人员等因素的限制，测量结果不可能绝对准确。所以需要对测量结果的可靠性做出评价，对其误差范围作出估计，并能正确地表达实验结果。 本章主要介绍误差和不确定度的基本概念，测量结果不确定度的计算，实验数据处理和实验结果表达等方面的基本知识。这些知识不仅在每个实验中都要用到，而且是今后从事科学实验工作所必须了解和掌握的。 1.1 测量与误差 1.1.1测量 物理实验不仅要定性的观察物理现象，更重要的是找出有关物理量之间的定量关系。因此就需要进行定量的测量。测量就是借助仪器用某一计量单位把待测量的大小表示出来。根据获得测量结果方法的不同，测量可分为直接测量和间接测量：由仪器或量具可以直接读出测量值的测量称为直接测量。如用米尺测量长度，用天平称质量；另一类需依据待测量和某几个直接测量值的函数关系通过数学运算获得测量结果，这种测量称为间接测量。如用伏安法测电阻，已知电阻两端的电压和流过电阻的电流，依据欧姆定律求出待测电阻的大小。 一个物理量能否直接测量不是绝对的。随着科学技术的发展，测量仪器的改进，很多原来只能间接测量的量，现在可以直接测量了。比如车速的测量，可以直接用测速仪进行直接测量。物理量的测量，大多数是间接测量，但直接测量是一切测量的基础。 一个被测物理量，除了用数值和单位来表征它外，还有一个很重要的表征它的参数，这便是对测量结果可靠性的定量估计。这个重要参数却往往容易为人们所忽视。设想如果得到一个测量结果的可靠性几乎为零，那么这种测量结果还有什么价值呢？因此，从表征被测量这个意义上来说，对测量结果可靠性的定量估计与其数值和单位至少具有同等的重要意义，三者是缺一不可的。 1.1.2 误差 绝对误差在一定条件下，某一物理量所具有的客观大小称为真值。测量的目的就 是力图得到真值。但由于受测量方法、测量仪器、测量条件以及观测者水平等多种因素的限制，测量结果与真值之间总有一定的差异，即总存在测量误差。设测量值为N，相应的真值为N0，测量值与真值之差ΔN ΔN＝N－N0 称为测量误差，又称为绝对误差，简称误差。 误差存在于一切测量之中，测量与误差形影不离，分析测量过程中产生的误差，将
第七章测量误差基本知识 内容：了解测量误差来源及产生的原因；掌握系统误差和偶然误差的特点及其处理方法；理解精度评定的指标（中误差、相对误差、容许误差）的概念；了解误差传播定律的应用。 重点：系统误差和偶然误差的特点及其处理方法。 难点：中误差、相对误差、容许误差的概念；误差传播定律的应用。 § 5.1 测量误差的概念 测量误差按其对测量结果影响的性质，可分为系统误差和偶然误差。 一、系统误差 (system error) 1、定义：在相同观测条件下，对某量进行一系列观测，如误差出现符号和大小均相同或按一定的规律变化，这种误差称为系统误差。 2、特点：具有积累性，对测量结果的影响大，但可通过一般的改正或用一定的观测方法加以消除。 二、偶然误差 (accident error) 1、定义：在相同观测条件下，对某量进行一系列观测，如误差出现符号和大小均不一定，这种误差称为偶然误差。但具有一定的统计规律。 2、特点： （1）具有一定的范围。 （2）绝对值小的误差出现概率大。 （3）绝对值相等的正、负误差出现的概率相同。 （4）数学期限望等于零。即： 误差概率分布曲线呈正态分布，偶然误差要通过的一定的数学方法（测量平差）来处理。 此外，在测量工作中还要注意避免粗差 (gross error) （即：错误）的出现。 偶然误差分布频率直方图 § 5.2 衡量精度的指标 测量上常见的精度指标有：中误差、相对误差、极限误差。 一、中误差 方差：——某量的真误差， [] ——求和符号。 规律：标准差估值（中误差 m ）绝对值愈小，观测精度愈高。 在测量中，n为有限值，计算中误差 m 的方法，有： 1、用真误差（ true error ）来确定中误差——适用于观测量真值已知时。 真误差Δ——观测值与其真值之差，有：
《误差理论与数据处理》(第七版) 习题及参考答案
第一章 绪论 1－5 测得某三角块的三个角度之和为180o 00’02”,试求测量的绝对误差和相对误差 解： 绝对误差等于： 相对误差等于： 1-8在测量某一长度时，读数值为2.31m ，其最大绝对误差为20m μ，试求其最大相对误差。 % 108.66 % 1002.31 1020 100% max max 4-6 -?=??=?= 测得值 绝对误差相对误差 1-10检定2.5级（即引用误差为2.5%）的全量程为100V 的电压表，发现50V 刻度点的示值误差2V 为最大误差，问该电压表是否合格？ %5.22%100%100 2 100% <=?= ?= 测量范围上限 某量程最大示值误差 最大引用误差 该电压表合格 1-12用两种方法分别测量L1=50mm ，L2=80mm 。测得值各为50.004mm ，80.006mm 。试评定两种方法测量精度的高低。 相对误差 L 1:50mm 0.008%100%5050 004.501=?-= I L 2:80mm 0.0075%100%80 80 006.802=?-= I 21I I > 所以L 2=80mm 方法测量精度高。 1－13 多级弹导火箭的射程为10000km 时，其射击偏离预定点不超过0.lkm ，优秀射手能在距离50m 远处准确地射中直径为2cm 的靶心，试评述哪一个射 21802000180''=-'''o o %000031.010*********.00648002066018021802≈=' '' '''??''=''＝o
5 测量误差的基本知识 一、填空题: 1真误差为观测值减去真值。 2、观测误差按性质可分为粗差、和系统误差、和偶然误差三类。 3、测量误差是由于仪器误差、观测者（人的因素）、外界条件（或环境）三方面的原因 产生的。 4、距离测量的精度高低是用_相对中误差_来衡量的。 5、衡量观测值精度的指标是中误差、相对误差和极限误差和容许误差。 6、独立观测值的中误差和函数的中误差之间的关系，称为_误差传播定律。 7、权等于1的观测量称单位权观测。 8权与中误差的平方成反比。 9、用钢尺丈量某段距离，往测为112.314m,返测为112.329m,则相对误差为1/7488。 10、用经纬仪对某角观测4次,由观测结果算得观测值中误差为土20〃,则该角的算术 平均值中误差为10〃? 11、某线段长度为300m,相对误差为1/3200,则该线段中误差为9.4 mm 。 12、设观测一个角度的中误差为土8〃，则三角形内角和的中误差应为土13.856 〃。 13、水准测量时，设每站高差观测中误差为土3mm若1km观测了15个测站，则1km 的高差观测中误差为11.6mm 1公里的高差中误差为11.6 mm 二、名词解释： 1、观测条件----测量是观测者使用某种仪器、工具，在一定的外界条件下进行的。 观测者视觉鉴别能力和技术水平；仪器、工具的精密程度；观测时外界条件的好坏，通常我们把这三个方面综合起来，称为观测条件。 2、相对误差K----是误差m的绝对值与相应观测值D的比值。它是一个不名数，常用分子为1的分式表示。 3、等精度观测----是指观测条件（仪器、人、外界条件）相同的各次观测。 4、非等精度观测----是指观测条件不同的各次观测。 5、权----是非等精度观测时衡量观测结果可靠程度的相对数值，权越大，观测结果越可靠。 三、选择题： 1、产生测量误差的原因有（ABC ）。 A、人的原因 B、仪器原因 C、外界条件原因 D、以上都不是 2、系统误差具有的性质是（ABCD ）。 A、积累性 B、抵消性 C、可消除或减弱性 D、规律性
测量误差理论的基本知识答案 第13题答案：90°±3.6″ 第15题答案： 1.258±0.0036 第16题答案： S S1S2S342.74148.3684.75275.85 m mS mS1mS2mS3254 6.7 cm 第17题答案： 该二点间的实地距离为L：L=500×I=500×0.0234=11.70 m L的中误差为：mL5000.2100 mm0.1 m 实地距离最后结果为：11.70.1 m 第18题答案： 水平距离为：d=S×cosa=247.50×cos(10o34)=243.303 m 水平距离的中误差为： 222222 m2md(cosa)2mS(S sina)2a3438 2223[cos(1034)]0.005[247.50sin(1034)]3438 4.0 cm22 第19题答案： 该角度的最或然值为： [L]452954.0452955.0452955.7452955.4 452955.02 x n4 各观测值的最或然误差（改正数）为： v1=x-L1=1.02, v2=x-L2=0.02, v3=x-L3=-0.68, v4=x-L4=-0.38 角度观测中误差为：m[vv]0.74 n 1 m0.37 n该角度最或然值的中误差为：mx 第20题答案： 该距离的算术平均值（最或然值）为： x[L]346.535346.548346.520346.546346.550346.573346.545 m n6 各观测值的最或然误差（改正数）为： v1=x-L1=+0.0103, v2=x-L2=-0.0027, v3=x-L3=+0.0253, v4=x-L4=-0.0007 v5=x-L5=-0.0047, v6=x-L6=-0.0277 距离观测中误差为：m[vv] 1.8 cm n 1 m n7.3 mm 该距离最或然值的中误差为：mx 第23题答案：10mm 第24题答案：20mm
四、测量误差基本知识 1测量误差分哪两类？它们各有什么特点？测量中对它们的主要处理原则是什么? 3、何谓标准差、中误差和极限误差? 4、对某个水平角以等精度观测4个测回，观测值列于下表（表4-1）。计算其算术平均值 一测回的中误差m及算术平均值的中误差 表4-1 5、对某一三角形（图4-1）的三个内角重复观测了九次，定义其闭合差 结果如下：1=+3 , 2=- 5 , 3=+6 , 4=+1 , 5=- 3 , 6=- 4 , 7=+3 , 8=+7 , 求此三角 形闭合差的中误差m以及三角形内角的测角中误差 6、在一个平面三角形中，观测其中两个水平角（内角）a和B,其测角中误差均为20，根据角 a和角B可以计算第三个水平角丫，试计算丫角的中误差 2、产生测量误差的原因有哪些? 偶然误差有哪些特性? m x。 X、 + + -180 ，其 9=-8 ； m= ±
已知 m a = m b = m , S=100(a- b)，求 m s 。 7、量得某一圆形地物直径为 64.780m ，求其圆周的长 S 。设量测直径的中误差为± 其周长的中误差m s 及其相对中误差m S /S 。 8、对某正方形测量了一条边长 a =100m ，m a = 25mm ；按S=4a 计算周长和 P= a' 计算周长的中误差 m s 和面积的中误差 m p 。 计算面积, 9、某正方形测量了四条边长 S=a i + a 2+ a 3+ a 4计算周长和 的中误差m p 。 a i =a 2=a 2=a 4=l00m , m a = m ^ = m a i = m a J = 25mm ； P= ( a a 2+ a 3 a 4) /2计算面积，求周长的中误差 按 m s 和面积 10.误差传播定律应用 （1） (1)已知 m a =m c = m , h=a-b ，求 m h 。 (2) 已知 m a = m c = 6 =a-c ,求 m 。 (4)已知 D= s' h ， m s = 5mm , m h = 5mm ，求 m D 。 （5）如图 4-2，已知 m xa = 40 mm ， m = 6。求P 点坐标的中误差 m xp 、 m ya = m yp 、 30 mm ；S=30.00m, =30 15 10 , m s = 5.0mm , M ( M= J ￡ 3 \ m xp m yp )。 (3)
误差理论习题答疑 目录 1. 绪论 2. 误差基本原理 3. 误差的合成与分解 4. 最小二乘法原理 5. 回归分析 绪论 绪论1-4 -4 在测量某一长度时，读数值为2.31m, 其最大绝对误差为20um，试求其最大相对误差。 解：最大相对误差≈（最大绝对 误差）/测得值， 绪论1-5 1-5 使用凯特摆时，由公式。给定。今测出长度给定。今测出长度 为(1.042300.00005)m , 振动时间T为(2.04800.0005)s 。试求g 及最大相 对误差。如果测出为(1.042200.0005)m ，为了使g的误差能小于，T的测量必须精确到多少？ 解：由得对进行 全微分，令，得 ，从而的最大相对误差为： 由得 ，所以，。 绪论1-7 1-7 为什么在使用微安表时，总希望指针在全量程的2/3范围内使用？
,解：设微安表的量程为，测量时指针的指示值为X，微安表的精度等级为S，最大 误差,相对误差，一般故当X越接近相对误差就越小，故在使用微安表时，希望指针在全量程的2/3范围内使用。 绪论1-9 ,1-9 多级弹导火箭的射程为10000km时，其射击偏离预定点不超过0.1km,优秀选手能在距离50m远处准确射中直径为2cm的靶心，试评述哪一个射击精度高？ 解：火箭射击的相对误差：选手射击的相对误差： 所以，相比较可见火箭的射击精度高。 绪论1-10 ,1-10若用两种测量方法测量某零件的长度L1=100mm，其测量误 差分别为而用第三种方法测量另一零件的长度L2 =150mm ，其测量误差为，试比较三种测量方法精度的高低. 解：第一种方法测量的相对误差为： 第二种方法测量的相对误差为： 第三种方法测量的相对误差为： 相比较可知：第三种方法测量的精度最高，第一种方法测量的精度最低。 第二章：误差基本原理 算术平均值 标准差及算术平均值的标准差 测量结果表达方式 粗大误差判断及剔除 误差基本原理2-2 , 2-2测量某物体共8次，测得数据（单位为g）为236.45，236.37，23.51，236.34，236.39，236.48，236.47，236.40。试求算术平均值及其标准差. , 解：算术平均值为：
《误差理论与测量平差基础》期末考试试题A(参考答案) 一、名词解释（每题2分，共10分） 1、偶然误差 ——在相同的观测条件系作一系列的观测，如果误差在大小和符号上都 表现出偶然性。即从单个误差看，该误差的大小和符号没有规律性，但 就大量误差的总体而言，具有一定的统计规律。这种误差称为偶然误差。 2、函数模型线性化 ——在各种平差模型中，所列出的条件方程或观测方程，有的是线性形式，有的是非线性形式。在进行平差计算时，必须首先把非线性形式的函数方程按台劳公式展开，取至一次项，转换成线性方程。这一转换过程，称之为函数模型的线性化。 3、点位误差椭圆 ——以点位差的极大值方向为横轴轴方向，以位差的极值分别为椭圆的长、短半轴，这样形成的一条椭圆曲线，即为点位误差椭圆。 4、协方差传播律 ——用来阐述观测值的函数的中误差与观测值的中误差之间的运算规 律的数学公式。如，若观测向量的协方差阵为，则按协 方差传播律，应有。 5、权 ——表示各观测值方差之间比例关系的数字特征，。 二、判断正误（只判断）（每题1分，共10分） 参考答案：X√X√X X X√√X 三、选择题（每题3分，共15分）
参考答案： 四．填空题（每空3分，共15分） 参考答案：1. 6个 2. 13个 3.1 4. 0.4 5. ,其中 五、问答题（每题4分，共12分） 1. 几何模型的必要元素与什么有关？必要元素数就是必要观测数吗？为什么？ 答：⑴几何模型的必要元素与决定该模型的内在几何规律有关；（1分） ⑵必要元素数就是必要观测数；（1分） ⑶几何模型的内在规律决定了要确定该模型，所必须具备的几何要素，称 为必要元素，必要元素的个数，称为必要元素数。实际工程中为了确定该几何模型，所必须观测的要素个数，称为必要观测数，其类型是由必要元素所决定的，其数量，必须等于必要元素的个数。（2分） 2. 简述偶然误差的特性 答：⑴在一定条件下，误差绝对值有一定限值。或者说，超出一定限值的误差，其出现概率为零；（1分） ⑵绝对值较小的误差比绝对值较大的误差出现的概率大；（1分） ⑶绝对值相等的正负误差出现的概率相同；（1分） ⑷偶然误差的数学期望为零，即。（1分） 3. 在平差的函数模型中，n，t，r，u，s，c等字母代表什么量？它们之间有什么关系？
第五章测量误差的基本知识 1、衡量测量精度的指标有中误差、相对误差、极限误差。 5．测量，测角中误差均为10″，所以A角的精度高于B角。(×) 8．在测量工作中无论如何认真仔细，误差总是难以避免的。(×) 10.测量中，增加观测次数的目的是为了消除系统误差。(×) 1、什么是偶然误差？它有哪些特性？ 定义：相同的观测条件，若误差在数值和符号上均不相同或从表面看无规律性。如估读、气泡居中判断等。 偶然误差的特性：(1)有界性 (2)渐降性 (3)对称性 (4)抵偿性 7．已知DJ6经纬仪一测回的测角中误差为mβ=±20″，用这类仪器需要测几个测回取平均值，才能达到测角中误差为±10″？（） A．1 B.2 C.3 D.4 3．偶然误差服从于一定的________规律。 4．对于偶然误差，绝对值较小的误差比绝对值较大的误差出现的机会________。 14.测量误差的来源有___________、___________、外界条件。 3.设对某距离丈量了6次，其结果为246.535m、246.548m、246.520m、246.529m、246.550m、 246.537m，试求其算术平均值、算术平均值中误差及其相对中误差。 6．偶然误差的算术平均值随观测次数的无限增加而趋向于______________。 14．设对某角度观测4个测回，每一测回的测角中误差为±5″，则算术平均值的中误差为±″。 24．衡量测量精度的指标有、、极限误差。 3.观测值与______之差为闭合差。( ) A.理论值 B.平均值 C.中误差 D.改正数 5.由于钢尺的不水平对距离测量所造成的误差是( ) A．偶然误差 B.系统误差 C．可能是偶然误差也可能是系统误差 D.既不是偶然误差也不是系统误差 8．阐述函数中误差与观测值中误差之间关系的定律称为_______________。 3．什么是系统误差？什么是偶然误差？误差产生的原因有哪些? 4．测量误差按性质可分为和两大类。1．2．相对误差 2. 由估读所造成的误差是( )。 A.偶然误差 B.系统误差
第五章测量误差的基本知识 本章摘要：本章主要介绍测量误差的种类；偶然误差的统计特征和处理方法；精度的含义；评定测量精度的指标；不同精度指标表达的意义及其适用范围。 §5-1 测量误差及分类 摘要内容：学习误差理论知识的目的，使我们能了解误差产生的规律，正确地处理观测成果，即根据一组观测数据，求出未知量的最可靠值，并衡量其精度；同时，根据误差理论制定精度要求，指导测量工作选用适当观测方法，以符合规定精度。 讲课重点：测量误差的概念、测量与观测值分类、测量误差及其来源、测量误差的种类、偶然误差的特性及其概率密度函数。 讲课难点：偶然误差的特性及其概率密度函数。 讲授重点内容提要： 一、测量误差的概念 人们对客观事物或现象的认识总会存在不同程度的误差，这种误差在对变量进行观测和量测的过程中反映出来，称为测量误差。 二、测量与观测值 通过一定的仪器、工具和方法对某量进行量测，称为观测，获得的数据称为观测值。 三、观测与观测值的分类 1.同精度观测和不同精度观测 观测条件：构成测量工作的要素包括观测者、测量仪器和外界条件，通常将这些测量工作的要素统称为观测条件。 同精度观测：在相同的观测条件下，即用同一精度等级的仪器、设备，用相同的方法和在相同的外界条件下，由具有大致相同技术水平的人所进行的观测称为同精度观测，其观测值称为同精度观测值或等精度观测值。 反之，则称为不同精度观测，其观测值称为不同（不等）精度观测值。 2.直接观测和间接观测 直接观测：为确定某未知量而直接进行的观测，即被观测量就是所求未知量本身，称为直接观测，观测值称为直接观测值。 间接观测：通过被观测量与未知量的函数关系来确定未知量的观测称为间接观测，观测值称为间接观测值。 （说明：例如，为确定两点间的距离，用钢尺直接丈量属于直接观测；而视距测量则属于间接观测。） 3.独立观测和非独立观测 独立观测：各观测量之间无任何依存关系，是相互独立的观测，称为独立观测，观测值称为独立观测值。 非独立观测：若各观测量之间存在一定的几何或物理条件的约束，则称为非独立观测，观测值称为
测量误差及不确定度分析的基础知识 物理实验是以测量为基础的。测量可分为直接测量与间接测量，直接测量指无需对被测的量与其它实测的量进行函数关系的辅助计算而可直接得到被测量值的测量，间接测量指利用直接测量的量与被测量之间的已知函数关系经过计算从而得到被测量值的测量。 由于测量仪器、测量方法、测量环境、人员的观察力等种种因素的局限，测量是不能无限精确的，测量结果与客观存在的真值之间总是存在一定的差异，即存在测量误差。因此分析测量中产生的各种误差，尽量消除或减小其影响，并对测量结果中未能消除的误差作出估计，给出测量结果的不确定度就是物理实验和科学实验中必不可少的工作。为此我们必须了解误差的概念、特性、产生的原因及测量结果的不确定度的概念与估算方法等的有关知识。 一.误差的定义： 测量结果与被测量的真值（或约定真值）之差叫做误差，记为: 被测值的真值是一个理想的概念，一般说来真值是不知道的。在实际测量中常用准确度高的实际值来作为约定真值，才能计算误差。 二.误差的分类及其处理方法： 误差主要分为系统误差和随机误差。 系统误差： （1）定义：在同一被测量的多次测量过程中，绝对值和符号保持恒定或以可预知的方式变化的测量误差的分量。 （2）产生原因： ①仪器本身的缺陷或没按规定条件使用仪器而引起的误差（又称作仪器误差） 例：电表的刻度不均匀---示值误差 等臂天平的两臂实际不等---机构误差 指针式电表使用前没调零---零位误差 大气压强计未在标定条件下使用引起的系统误差等
②测量所依据的理论公式本身的近似性、或实验条件不能达到理论公式的要求、或测量方法所带来的系统误差（又称作理论误差或方法误差）。 例：单摆运动方程小角度近似解引起的误差、伏安法测电阻时电表内阻引起的测量误差。 (3)分类及处理方法：根据误差的符号、绝对值确定与否分类如下： ①已定系统误差---绝对值和符号已经确定的系统误差分量，如零位误差、大气压强计室温下使用引起的误差、伏安法测电阻时电表内阻引起的误差等；这类误差分量一般都要修正。 ②未定系统误差---绝对值和符号未定的系统误差；对这类误差一般要估计出其分布范围（大致对应于不确定度估计中的）。实验中可以通过方案选择、参数设计、计量器具校准、环境条件控制等环节来减小未定系统误差的限值. 随机误差： （1）定义：在同一量的多次重复测量中绝对值和符号以不可预知方式变化的测量误差分量。 （2）产生原因：实验条件和环境因素无规则的起伏变化，引起测量值围绕真值发生涨落的变化，如：电表轴承的摩擦力变动、螺旋测微计测力在一定范围内随机变化、操作读数时的视差影响、数字仪表末位取整数时的随机舍入过程等，都会产生一定的随机误差分量。 （3）特点： ①小误差出现的几率比大误差出现的几率大 ②大小相等符号相反的误差出现的几率相等，即多次测量时随机误差的分布具有抵性，所以可以取多次测量的平均值来作为被测量的最佳估计值以消除随机误差的影响。 （4）随机误差的处理方法：假定对一个量进行了次测量，测得的值为，可用下述方法求被测量的最佳估计值并评定测得值的分散性。 ①用多次测量的算术平均值作为被测量的最佳估计值
第五章测量误差基本知识 教学目的：1. 使学生了解测量误差的概念。 2. 测量误差产生的原因。 3．减少测量误差的措施。 4．熟悉衡量精度的标准。 教学重点：各种误差的概念 教学难点：各种精度的应用 教学资料：测量学教材、教学课件 教学方法：讲授法、讲解法 讲授新课： 前面所学的水准测量、角度测量及距离测量，在实际测量过程中我们发现观测结果中不可避免地存在着测量误差。下面介绍：测量误差产生的原因、测量误差的分类、衡量精度的标准及算术平均值及其中误差。 第一节测量误差及其分类 一、测量误差产生的原因 1、观测者 2、仪器误差 3、外界条件的影响 这三者结合起来就是观测条件，如观测条件相同称为等精度观测，反之是非等精度观测
二、测量误差的分类 按性质不同可分为： （一）、系统误差 1、定义：在相同观测条件下，对某量进行一系列观测，如误差出现符号和大小均相同或按一定的规律变化，这种误差称为系统误差。 2、特性：具有积累性，对测量结果的影响大，但可通过一般的改正或用一定的观测方法加以消除。 （二）、偶然误差 1、定义：在相同观测条件下，对某量进行一系列观测，如误差出现符号和大小均不一定，这种误差称为偶然误差。但具有一定的统计规律。 2、特性：①、具有一定的范围。 ②、绝对值小的误差出现概率大。 ③、绝对值相等的正、负误差出现的概率相同。 ④、数学期限望等于零。即： 0] [lim =?∞ →n n 第二节 衡量精度的标准 测量上常见的精度指标有：中误差、容许误差、相对误差。 一、中误差 m = （5-3） 式中 []??——真误差的平方和，[]??＝△12+△22+……+△n 2 n ——观测次数 上式表明，观测值的中误差并不等于它的真误差，只是一组观测值的精度指标，中误差越小，相应的观测成果的精度就越高，反之精度就越低。在计算中误差m 时应取2～3位有效数字，并在数值前冠以"±"号，数值后写上“单位”。 二、容许误差
第五章 测量误差的基本知识 (一)基本要求 1.了解测量误差的概念、来源及其分类； 2.理解偶然误差的特性、衡量精度的指标； 3.掌握误差传播定律的应用、等精度直接观测值的最可靠值的计算方法； 4.了解不等精度直接观测平差最或然值的计算与精度评定的方法。 (二)重点与难点 1.重点：观测条件的含义、系统误差与偶然误差的含义以及偶然误差的特性，各种衡量精度的指标的含义与计算方法，误差传播定律的理解与应用。 重点概念：系统误差、偶然误差、真误差、中误差、误差传播定律、最或然值、改正数。 2.难点：中误差的含义与计算方法，误差传播定律的应用，等精度直接观测值的最可靠值的计算方法。 (三)教学内容 讲述内容：(2学时)：观测条件、等精度观测、真误差、最或然值、最或然、误差、中误差、相对误差、极限误差、算术平均值中误差等等概念。 自学内容：(2学时)系统误差、偶然误差、粗差概念及其性质；减小或消除系统误差的办法；能够举一系列实例；计算最或然值及误差，中误差的计算式推导及应用计算；比较相对误差；算术平均值中误差的计算；误差传播定律。 (四)复习思考题 1.何谓偶然误差？偶然误差由哪些统计特性？ 2.何谓等精度观测与不等精度观测？请举例说明。 3.衡量精度的指标有哪些？ 4.中误差的定义式和计算式？ 5.在ABC 中，已测出 ,40060,30040'±'=∠'±'=∠ B A 求C ∠的值及其中误差。 6.等精度观测某线段6次，观测值分别为146.435m ，146.448m ，146.424m ，146.446m ，146.450m ，146.437m ，试求该线段长度的最或然值及其中误差。 (五)例题选解 1.用测回法测水平角，盘左盘右角值相差1°是属于(D)A.系统误差B.偶然误差C.绝对误差D.粗差 2.水准测量中，高差h=a －b ，若m a ,m b ,m h 分别表示a 、b 、h 的中误差，而且m a =m b =m ，那么正确公式是(B)A.m h =m∕2B.m h =±2m C.m h =±m 2 D.m h =2m 3.设在三角形ABC 中直接观测了∠A 和∠B ，其中误差分别为m A =±3″，m B =±4″，则m C =(A) A.±5″B.±1″ C.±7″ D.±25″ 4.用名义长度为30米的钢尺量距，而该钢尺实际长度为30.004米，用此钢尺丈量AB