学习目标：
1、了解命题的概念，会判定一个命题的真假。
2、经历现实情境，探究命题的内涵，感悟命题的思想方法。
学习重点：了解命题的内涵和结构
学习难点：区分命题的题设和结论
导学过程：
一、自主学习
1、议一议：下面的表达语言
（1）北京是中华人民共和国的首都（2）如果∠1与∠2是对顶角，那么∠1=∠2（3）1+1<2 （4）邻补角互补
师生共识：叫做命题，是真命题，是假命题。思考：肯定句、陈述句、疑问句、祈使句，哪些是命题？哪些不是命题？2、想一想：“如果两直线平行，那么同位角相等”是命题。
你思考一下命题的结构是什么？命题的形式是什么？
归纳结论：
题设：已知事项
命题的结构
结论：已知事项推出的事项
命题的形式：如果……那么……
如果p那么q，或若p，则q，p是命题的条件（或题设）
q是命题的结论（或题断）
3、看一看：下面两个命题（1）如果内错角相等，那么两直线平行
（2）如果两直线平行，那么内错角相等
师生共同总结：将命题中的条件与结论互换，便得到一个新命题我们把这样的两个命题称为是互逆命题，其中一个叫做原命题，另一个就叫做原命题的逆命题
4、探究：如果∠1=∠2那么∠1与∠2是对顶角是假命题，怎样说明这个命题是假的呢？
总结方法：我们称之为反例，要说明一个命
题是假命题，只要举出一个反例。
二、交流
（1）下列语句中，哪些是命题，哪些不是命题？如果是命题，判断命题的真假？
①同旁内角相等②如果a是有理数，那么a2+1>0
③若a∥c，b∥c，那么a∥b ④1是质数
⑤不相交的两条线是平行线⑥奇数一定是质数吗？
⑦画一个半径是1cm的圆⑧任何数的绝对值都是正数
（2）指出下列命题的条件和结论
①如果两个角相等，那么它们是对顶角②若a>b,b>c则a>c
③两角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等
④全等的两个三角形的面积相等⑤对顶角相等
（3）写出下列命题的逆命题，并判断所得逆命题的真假，如果是假命题，请举出一个反例
①如果两个数互为相反数，那么它们的和为零
②若a=0，则ab=0
③两个角的和等于平角时，这两个角互为补角
三、学习小结：这节课你有哪些收获？
四、评价
1、把下列命题改写成“如果p，那么q”的形式
（1）两条直线相交，只有一个交点
（2）直线AB⊥直线CD，交点为O，有∠AOC=90°
（3）两直线平行，内错角相等
（4）等角的补角相等
2、判断下列命题是真命题还是假命题，如果是假命题，请举一个反例（1）若|a|=|b|，则a=b
（2）如果ab>0，那么a,b都是正数
（3）两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补
（4）两条直线与第三条直线相交，同位角相等
3、写出下列命题的逆命题，并判断它们的真假
（1）如果a=b，则a2=b2
（2）等角的余角相等
（3）同位角相等，两直线平行
反思总结：
（1）求证：BG FG =； （2）若2 ==，求AB的长． AD DC 二：如图，已知矩形ABCD，延长CB到E，使CE=CA，连结AE并取中点F，连结AE并取中点F，连结BF、DF，求证BF⊥DF。 三：已知:如图,在矩形ABCD中,E、F分别是边BC、AB上的点,且EF=ED,EF⊥ED.
求证:AE平分∠BAD. 四、（本题7分）如图，△ABC中，M是BC的中点，AD是∠A的平分线，BD⊥AD于D，AB=12， AC=18，求DM的长。
五、（本题8分）如图，四边形ABCD 为等腰梯形，AD ∥BC ，AB=CD ，对角线AC 、BD 交于点O ， 且AC ⊥BD ，DH ⊥BC 。 ⑴求证：DH=2 1（AD+BC ） ⑵若AC=6，求梯形ABCD 的面积。 六、(6分) 、如图，P 是正方形ABCD 对角线BD 上一点，PE ⊥DC ，PF ⊥BC ，E 、F 分别为垂足，若CF=3,CE=4,求AP 的长.
七、(8分)如图，等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，M 、N 分别是AD 、BC 的中点，E 、F 分别是BM 、CM 的中点． （1）在不添加线段的前提下，图中有哪几对全等三角形？请直接写出结论； （2）判断并证明四边形MENF 是何种特殊的四边形？ （3）当等腰梯形ABCD 的高h 与底边BC 满足怎样的数量关系时？四边形MENF 是正方形（直接写出结论，不需要证明）． 选择题： 15、如图，每一个图形都是由不同个数的全等的小等腰梯形拼成的，梯形上、下底及腰长如 图，依此规律第10个图形的周长为 。 …… 第一个图 第二个图 第三个图 16、如图，矩形ABCD 对角线AC 经过原点O ，B 点坐标为 （―1，―3），若一反比例函数x k y 的图象过点D ，则其 解析式为 。 M F E N D C A B
13.1命题、定理与证明 (第一课时) 一、学前导入： 同学们，“猫是有四条腿的动物”这个判断对吗? “有四条腿的动物是猫”这个判断对吗? 今天我们将学习像这样判断一件事情的语句。 二、课前训练： 试判断下列句子是否正确． （1）如果两个角是对顶角，那么这两个角相等；( ) （2）两直线平行，同位角相等； ( ) （3）同旁内角相等，两直线平行； ( ) （4）平行四边形的对角线相等； ( ) （5）直角都相等． ( ) (6)三角形的内角和等于180°. ( ) (7)等腰三角形的两个底角相等 . ( ) 三、新知导入： 1、什么叫命题？ ___________________________________________________________________________ ____________________________________________ I、点拨提示： （1）错误的命题也是命题。如：“3＜2”是一个命题 （2）命题必须是对某种事情作出判断，如问句，几何的作法等就不是命题。 II、巩固练习：判断下列语句是不是命题？是用“√”，不是用“×表示。 1）长度相等的两条线段是相等的线段吗？（） 2）两条直线相交，有且只有一个交点（） 3）不相等的两个角不是对顶角（） 4）一个平角的度数是180度（） 5）相等的两个角是对顶角（） 6）取线段AB的中点C（） 7）画两条相等的线段（） 2、命题的结构： 在数学中，许多命题是由______________________两部分组成的。______________是_____________，______________是由______________________，这种命题常可写成______________________的形式,“如果”开始的部分是______,“那么”开始的部分是_______. I、例题展示： 例：把命题“在一个三角形中，等角对等边”改写成：“如果…那么…”的形式，并分别指出命题的条件和结论。 II、方法总结： 添加“如果”、“那么”后，命题的意义不能改变，改写的句子要完整，语句要通顺，使命题的条件和结论更明朗，易于分辨，改写过程中，要适当增加词语，切不可生搬硬套。
文档从互联网中收集，已重新修正排版，word格式支持编辑，如有帮助欢迎下载支 持。 课题：命题与证明 【学习目标】 1．了解命题的概念，会判定一个命题的真假； 2．经历探究命题以及结构的过程，体会命题的内涵． 【学习重点】 认识命题的内涵和结构． 【学习难点】 区别命题的题设和结论． 1word格式支持编辑，如有帮助欢迎下载支持。
行为提示： 点燃激情，引发学生思考本节课学什么． 行为提示： 教会学生看书，自学时对于书中的问题一定要认真探究，书写答案． 教会学生落实重点．情景导入生成问题 问题引入： 有一根比地球赤道长1m的铜线将我们生活的地球赤道绕一圈．想一想，铜线与地球赤道之间的空隙有多大(假设地球是球形的)？能放进一个苹果吗？ 此例中，要想知道结论，必须计算验证． 解：设地球半径为r，铜线圈半径为R，赤道周长为a米，铜线圈周长为(a＋1)米． ∵2πr＝a，2πR＝a＋1，∴r＝ a 2π ，R＝ a＋1 2π ，R－r＝ a＋1 2π － a 2π ＝ 1 2π ，1÷2π≈0.15cm.不能放进一个苹 果． 自学互研生成能力 阅读教材P75～P76的内容，回答下列问题： 什么叫命题，什么叫真命题、假命题？命题结构是怎样的？ 方法指导： 对于变例中命题的题设与结论的划分要注意，因为“相等、平行、垂直”涉及两个对象．所以在叙述时一般要添上：如果两个角(两条直线，两个三角形等)． 说明： 注意引导学生举例． 行为提示： 教会学生怎么交流．先对学，再群学．充分在小组内展示自己，分析答案，提出疑惑，共同解决(或按结对子学—帮扶学—组内群学来开展)．在群学后期教师可有意安排每组展示问题，并给学生板书题目和组内演练的时间．答：对某一事件作出正确或不正确判断的语句叫做命题；正确的命题叫做真命题；错误的命题叫做假命题；命题分为题设和结论两部分，分别以“如果……，那么……”的结构体现． 典例1：下列四个句子中是命题的是( B) A．生活在水里的动物是鱼吗B．正方形的四条边相等 C．利用三角形画60°的角D．直线、射线、线段 典例2：命题“对顶角相等”的条件是如果两个角是对顶角，结论是那么这两角相等． 典例3：将命题“两直线平行，内错角相等”写成“如果……那么……”的形式为如果两直线平行并被第三条直线所截，那么内错角相等． 仿例1：命题“相等的角是对顶角”是假命题(选填“真”或“假”)． 仿例2：下列命题，其中真命题是( C) A．同位角相等B．6的平方根是3 C．若直线a∥b，b∥c，则a∥c D．三角形的两边之差大于第三边 变例1：已知命题A：任何偶数都是8的整数倍．在下列选项中，可以作为“命题A的假命题”的反例的是( D) A．2k B．15 C．24 D．42 变例2：命题“等角的余角相等”的题设是如果两个角是相等角的余角，结论那么这两个角相等．
第十一章几何证明初步知识点整理定义：用来说明一个名词含义的语句叫做定义. 2.命题：对事情进行判断的语句叫做命题.每个命题都由条件和结论两部分组 成.条件是已知事项,结论是由已知事项推断出的事项. 3.一般地,命题可以写成“如果……,那么……”的形式,其中“如果”引出的部 分是条件,“那么”引出的部分是结论.如果一个句子没有对某一件事情作出任何判断,那么它就不是命题.例如,下列句子都不是命题: 4.(1)你喜欢数学吗?(2)作线段AB=CD.⑶清新的空气；⑷不许讲话。 5.正确的命题称为真命题,不正确的的命题称为假命题. 6.反例：要指出一个命题是假命题，只要能举出一个例子，使它具备命题的条 件，而不符合命题的结论就可以了。这种例子称为反例。 5.公理：人类经过长期实践后公认为正确的命题,作为判断其他命题的依据。这些公认为正确的命题叫做公理。 证明:除了公理外,其它真命题的正确性都通过推理的方法证实.推理的过程称为证明. 定理:经过证明的真命题称为定理. 本套教材以下列基本事实作为公理： 1.两点确定一条直线。 2.过直线外一点可以作且只能作一条直线与已知直线平行。 3.两直线平行,同位角相等。 4.两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行。 5.判断三角形全等的方法：SAS ASA SSS。 6.全等三角形的对应角相等，对应边相等。 7.在等式或不等式中,一个量可以用它的等量来代替.例如,如果a=b,b=c,那么a=c,这一性质也看作公理,称为“等量代换”. 判断：
所有的命题都是公理。所有的真命题都是定理。 所有的定理是真命题。所有的公理是真命题。 6.在两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题。把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题叫做它的逆命题。 Eg: (1)两条直线平行，内错角相等． (2)如果两个实数相等，那么它们的平方相等． (3)如果两个实数相等，那么它们的绝对值相等． (4)全等三角形的对应角相等． 注意: 一个命题是真命题,它的逆命题却不一定是真命题. 如果一个定理的逆命题也是真命题，那么这个逆命题就是原来定理的逆定理！（勾股定理和它的逆定理） 7.三角形内角和定理：三角形三个角的内角和等于180° 推论一：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和。 推论二：三角形的一个外角大于与它不相邻的任意一个内角。 8.直角三角形的两个锐角互余。有两角互余的三角形是直角三角形。 三角形的外角和等于360°。 9.反证法：先提出与命题的结论相反的假设,推出矛盾,从而证明命题成立.这种证明的方法叫做反证法. 反证法的步骤：否定结论—推出矛盾—肯定结论 Eg: 1、“a＜b”的反面应是（） （A）a≠＞b （B）a ＞b （C）a=b （D）a=b或a ＞b
八年级数学下册第六章《证明(一)》测验试卷 1.下列语句中，是命 题的是( ) A ．两点确定一条直线吗？ B ．在线段AB 上任取一点 C ．作∠A 的平分线AM D ．两个锐角的和大于直角 2、满足下列条件的△ABC 中，不是直角三角形的是（ ） A 、∠B+∠A=∠C B 、∠A ：∠B ：∠C=2：3：5 C 、∠A=2∠B=3∠C D 、 一个外角等于和它相邻的一个内角 3、如图，∠ACB=90o ，CD ⊥AB ，垂足为D ，下列结论错 误 的是（ ） A 、图中有三个直角三角形 B 、∠1=∠2 C 、∠1和∠B 都是∠A 的余角 D 、∠2=∠A 4、三角形的一个外角是锐角，则此三角形的形状是（ ） A 、锐角三角形 B 、钝角三角形 C 、直角三角形 D 、无法确定 5、下列命题中的真命题是（ ） A 、锐角大于它的余角 B 、锐角大于它的补角 C 、钝角大于它的补角 D 、锐角与钝角之和等于平角 6、如图，AB ∥CD ，∠C=110°，∠B=120°，则∠BEC= （ ） A 、110° B 、120° C 、130° D 、150° 7、如图，下列哪种说法是错误的（ ） A 、∠ B >∠ACD B 、∠B+∠ACB =180°-∠A C 、∠B+∠ACB < 180° D 、∠HEC>∠B （第6题图） （第7题图） （第8题图） 8、已知:如图，下列条件中不能判断直线l 1∥l 2的是（ ） 学 班 姓名 学 2 1 D C B A
A.∠1＝∠3 B.∠2＝∠3 C.∠4＝∠5 D.∠2＋∠4＝180° 9、如图，AB∥CD，直线HE⊥MN交MN于E，∠1=130o，则∠2等于（） A、50o B、40o C、30o D、60o 10、如图，如果AB∥CD，则角α、β、γ之间的关系式为（） A、α＋β＋γ=360o B、α－β＋γ=180o C、α＋β＋γ=180o D、α＋β－γ=180 o （第9题图）（第10题图） 二、填空题（每小题3分，共15分） 11.把命题“对顶角相等”改写成：如果， 那么 . 12、△ABC中，∠B=45o，∠C=72o，那么与∠A相邻的一个外角等于 . 13、直角三角形中两个锐角的差为20o，则两个锐角的度数分别为 . 14、如图，AB∥CD，EG⊥AB，垂足为G．若∠1＝50°，则∠E＝________度．； 15、如图，下列结论：①∠A >∠ACD；②∠B+∠ACB=180°-∠A；③∠B+ ∠ACB<180°；④∠HEC>∠B。其中正确的是(填上你认为正确的所有序号). （第14题图）（第15题图） 三、解答题（每小题5分，共25分） 16. 如上图右，已知，∠ADC＝∠ABC，BE、DF分别平分∠ABC、∠ADC，且∠1=∠2，求证：∠A=∠C. 17、已知如图，在△ABC中，∠1是它的一个外角，E为边AC上一点，延长BC到D， 连接DE。 求证：∠1 > ∠2 18、已知如图，在△ABC中，CH是外角∠ACD的平分 线，BH是∠ABC的平分线。 求证：∠A= 2∠H. 19、如图，BC⊥ED，垂足为O，∠A=27o，∠ D=20o，求∠ACB与∠B的度数. 20、如图：∠A=65o ，∠ABD=∠DCE=30o，且CE平 分∠ACB,求∠BEC. 四、解答题（每小题7分，共21分） 21、. 求证：两条直线平行，同旁内角的角平分线 互相垂直。 （提示：先画图，写出已知，求证，然后进行证明） 22、如图，AD、AE分别是△ABC的高和角平分线，且∠B=36°，∠C=76°，求∠DAE的度数. 23、如图：已知CB⊥AB，CE平分∠BCD，DE平分∠ADC，∠1＋∠2＝90o, 求证：AB∥CD 五、解答题（9分） 24．已知如图，AB∥DE. 密 封
八年级数学命题与证明单元测试题 ： 1.下列语句中，属于定义的是 . A直线AB和CD垂直吗 B过线段AB的中点C画AB的垂线 C数据分组后落在各小组内的数据个数叫做频数 D同旁内角互补，两直线平行 2.下列命题中，属于真命题的是 A若一个角的补角大于这个角 B若a∥b，b∥c，则a∥c C若a⊥c，b⊥c，则a∥b D互补的两角必有一条公共边 3.命题“垂直于同一条直线的两条直线互相平行”的题设是 . A垂直 B两条直线 C同一条直线 D两条直线垂直于同一条直线 4.对于命题“如果∠1+∠2=90°，那么∠1≠∠2”，能说明它是假命题的例子是 A∠1=50°，∠2=40° B∠1=50°，∠2=50° C∠1=∠2=45° D∠1=40°，∠2=40° 5.已知△ABC的三个内角度数比为2：3：4，则这个三角形是 . A锐角三角形 B直角三角形 C钝角三角形 D等腰三角形 6.在三角形的内角中，至少有 A一个钝角 B一个直角 C一个锐角 D两个锐角 7.若等腰三角形的一个外角为110°，则它的底角为 . A55° B70° C55°或70° D以上答案都不对 8.若三角形的三个外角的度数之比为2：3：4，则与之对应的三个内角的度数之比为 . A4：3：2 B3：2：4 C5：3：1 D3：1：5
9.如图，在锐角△ABC中，CD和BE分别是AB和AC边上的高，且CD和BE交于点P，若∠A=50°，则∠BPC的度数是 . A150° B130° C120° D100° 10.如图6所示，△ABC与△BDE都是等边形，AB 第一节. 等腰三角形 1. 性质：等腰三角形的两个底角相等（等边对等角）. 2. 判定：有两个角相等的三角形是等腰三角形（等角对等边）． 3. 推论：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高线互相重合（即“三线合一”）． 4. 等边三角形的性质及判定定理 性质定理：等边三角形的三个角都相等，并且每个角都等于60°；等边三角形是轴对称图形，有3条对称轴. 判定定理：(1)有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形； (2)三个角都相等的三角形是等边三角形. 第二节.直角三角形 1. 勾股定理及其逆定理 定理：直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方． 逆定理：如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形． 2. 含30°的直角三角形的边的性质 定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对应的直角边等于斜边的一半. 3.直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。 要点诠释：勾股定理的逆定理在语言叙述的时候一定要注意，不能说成“两条边的平方和等于斜边的平方”，应该说成“三角形两边的平方和等于第三边的平方”． 4.斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等。 第三节. 线段的垂直平分线 1. 线段垂直平分线的性质及判定 性质：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等. 判定：到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上. 2.三角形三边的垂直平分线的性质 三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等.该点就是三角形的外心。以此外心为圆心，可以将三角形的三个顶点组成一个圆。 3.如何用尺规作图法作线段的垂直平分线： 分别以线段的两个端点A、B为圆心，以大于AB的一半长为半径作弧，两弧交于点M、N；作直线MN就是线段AB 的垂直平分线。 第四节. 角平分线 1. 角平分线的性质及判定定理 性质：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等； 判定：在一个角的内部，且到角的两边的距离相等的点，在这个角的平分线上. 2. 三角形三条角平分线的性质定理 性质：三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等.这个点叫内心 通用篇 1.真命题与假命题 真命题：真命题就是正确的命题，即如果命题的条件成立，那么结论一定成立。 假命题：条件和结果相矛盾的命题是假命题， 命题与逆命题 命题包括已知和结论两部分；逆命题是将原命题的已知和结论交换； 在两个命题中，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么这两个命题称为互逆命题。其中一个命题称为另一个命题的逆命题。一个命题是真命题，它的逆命题不一定是真命题。如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，其中一个定理称为另一个定理的逆定理。这两个定理称为互逆定理。 2、证明命题的一般步骤: (1)理解题意:分清命题的条件(已知),结论(求证); (2)根据题意,画出图形; (3)结合图形,用数学语言写出“已知”和“求证”; (4)分析题意,探索证明思路(由“因”导“果”,执“果”索“因“ (5)依据思路,运用数学语言条理清晰地写出证明过程; (6)检查表达过程是否正确,完整. 3、用反证法证明几何命题的步骤： (1)假设命题的结论不成立. (2)由假设作为条件,根据已知条件及学过的定义、定理、公理进行逐步的推导直至与假设或与某个己知条件或与学过的某个定义、定理、公理出现矛盾. (3)从而判断假设错误,原命题成立 2.2 命题与证明 定义、命题、证明（2） 教学目标 1、知识与技能： 了解真命题和假命题；知道判断一个命题是真假命题的方法； 了解公理、定理的含义。 2、过程与方法： 结合实例让学生意识到证明的必要性，培养学生说理有据，有条理地表达自己想法的良好意识。 3、情感、态度与价值观： 初步感受公理化方法对数学发展和人类文明的价值。 教学过程 一、复习引入： 什么叫命题？命题由哪两部分构成？ 什么叫互逆命题？ 二、探究新知 （一）命题、真命题与假命题 学生回答后，教师给出答案：根据已有的知识可以判断出句子正确的，还是错误的。像这样可以判断出它是正确的还是错误的句子叫做命题。正确的命题称为真命题，错误的命题称为假命题 （二）真假命题的证明 教师讲解：要判断一个命题是真命题，可以用逻辑推理的方法加以论证；而要判断一个命题是假命题，只要举出一个例子，说明该命题不成立，即只要举出一个符合该命题题设而不符合该命题结论的例子就可以了，在数学中，这种方法称为“举反例”。 例如，要证明命题“一个锐角与一个钝角的和等于一个平角”是假命题，只要举出一个反例：60度角是锐角，100度角是钝角，但它们的和不是180度即可。 （三）公理 教师讲解：数学中有些命题的正确性是人们在长期实践中总结出来的，并把它们作为判断其他命题真假的原始依据，这样的真命题叫做公理。 我们已经知道下列命题是真命题： 一条直线截两条平行直线所得的同位角相等； 两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行； …… 在本书中我们将这些真命题均作为公理。 （四）定理 教师引导学生通过举反例来说明下面两题中归纳出的结论是错误的。从而说明证明的重要性。 1、教师讲解：请大家看下面的例子： 当n=1时，（n2-5n+5)2=1; 当n=2时，（n2-5n+5)2=1； 当n=3时，（n2-5n+5)2=1。 我们能不能就此下这样的结论：对于任意的正整数（n2-5n+5)2的值都是1呢？ 实际上我们的猜测是错误的，因为当n=5时，（n2-5n+5)2=25。 2、教师再提出一个问题让学生回答：如果a=b,那么a2=b2.由此我们猜想：当a＞ b时，a2＞ b2。这个命题是真命题吗？ ［答案：不正确，因为3＞ -5，但3 2＜（-5）2］ 教师总结：在前面的学习过程中，我们用观察、验证、归纳、类比等方法，发现了很多几何图形的性质。但由前面两题我们又知道，这些方法得到的结论有时不具有一般性。也就是说，由这些方法得到的命题可能是真命题，也可能是假命题。 教师讲解：数学中有些命题可以从公理出发用逻辑推理的方法证明它们是正确的，并且可以进一步作为推断其他命题真假的依据，这样的真命题叫做定理。 我们把经过证明为真的命题叫做定理。 如“三角形的内角和等于180度”称为“三角形内角和定理” 定理也可以作为判断其他命题。 (五）例题与证明 例如，有了“三角形的内角和等于180°”这条定理后，我们还可以证明刻画直角三角形的两个锐角之间的数量关系的命题：直角三角形的两个锐角互余。 全等三角形的判定班级：姓名： 1．已知AD是⊿ABC的中线，BE⊥AD，CF⊥AD，求证BE=CF。2．已知AC=BD，AE=CF，BE=DF，求证AE∥CF 3．已知AB=CD，BE=DF，AE=CF，求证AB∥CD 4．已知在四边形ABCD中，AB=CD，AD=CB，求证AB∥CD 5．已知∠BAC=∠DAE，∠1=∠2，BD=CE，求证⊿ABD≌⊿ACE. 6．已知CD∥AB，DF∥EB，DF=EB，求证AF=CE 7．已知BE=CF，AB=CD，∠B=∠C，求证AF=DE A B C D F E C D E F D C F E A B A D E B C 1 2 A D C E F B A D 8．已知AD =CB ， ∠A =∠C ，AE =CF ，求证EB ∥DF 9．已知M 是AB 的中点，∠1=∠2，MC =MD ，求证∠C =∠D 。 10．已知，AE =DF ，BF =CE ，AE ∥DF ，求证AB =CD 。 11．已知∠1=∠2，∠3=∠4，求证AC =AD 12．已知∠E =∠F ，∠1=∠2，AB =CD ，求证AE =DF 13．已知ED ⊥AB ，EF ⊥BC ，BD =EF ，求证BM =ME 。 14．在⊿ABC 中，高AD 与BE 相交于点H ，且AD =BD ，求证⊿BHD ≌⊿ACD 。 A C D B 1 2 3 4 A B C D E F 1 2 A E H A C M E F B D B A D F E C M A B C D 1 2 D C F E A B 15．已知∠A =∠D ，AC ∥FD ，AC =FD ，求证AB ∥DE 。 16．已知AC =AB ，AE =AD ， ∠1=∠2，求证∠3=∠4。 17．已知EF ∥BC ，AF =CD ，AB ⊥BC ，DE ⊥EF ，求证⊿ABC ≌⊿DEF 。 18．已知AD =AE ，∠B =∠C ，求证AC =AB 。 19．已知AD ⊥BC ，BD =CD ，求证AB =AC 20．已知∠1=∠2，BC =AD ，求证⊿ABC ≌⊿BAD 。 A B C E F D A B C E D F A D E B C A B C D A D E B C 1 2 3 4 1等腰三角形 知识点1 等腰三角形的性质定理 等腰三角形的性质定理:等腰三角形的两个底角相等(简述为等边对等角）. 用符号语言表示为:如图１-１所示,在△ＡBC 中,∵AB =A Ｃ，∴∠B =∠C ． 定理的证明: 取BC 的中点D ,连接AD . ∵(),()()AB AC BD CD AD AD =??=??=? 已知中点定义，公共边，∴△ABD ≌△A ＣD (SSS)． ∴∠B ＝∠C (全等三角形的对应角相等). 定理的作用:证明同一个三角形中的两个内角相等. 拓展 等腰三角形还具有其他性质. (1）等腰直角三角形的两个底角相等,都等于4５°． （2)等腰三角形的底角只能是锐角，不能是钝角或直角,但顶角可以是锐角、钝角或直角. （３）等腰三角形的三边关系：设腰长为ａ，底边长为b ，则2 b <ａ. (4)等腰三角形的三角关系：设顶角为∠A ,底角为∠B ，∠C ，则∠A =１80°-∠B -∠Ｃ＝180°-2∠B ＝180°－２∠C ． 知识点2 等腰三角形的性质定理的推论 推论1:等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合(简称“三线合一”)． (１)用符号语言表示为:如图１-3所示, ①在△AB Ｃ中，∵AB =A Ｃ,∠１＝∠2，∴A Ｄ⊥B Ｃ.ＢD ＝ＤC ; ②在△ABC 中,∵AB =A Ｃ,ＡD ⊥BC ,∴∠1=∠2，BD ＝ＤC ； ③在△ＡBC 中,∵AB =ＡC ,BD =DC ,∴∠1=∠２，ＡD ⊥BC . （2）推论１的证明． ①在△A ＢC 中,∵A Ｂ＝AC ，∠1＝∠2,AD =ＡD ， ∴△ABD ≌△ＡＣD (ＳAS)． ∴BD ＝ＤＣ，∠ADB ＝∠ADC ＝90°．∴ＡD ⊥B Ｃ. ②在△ABC 中,∵AD ⊥B Ｃ,∴∠ＡDB ＝∠ADC =90°. 命题与证明综合练习 一、知识结构梳理 1．定义： （1）概念： ①； 命2．命题（2）分类 题②假命题（可通过来说明） 与（3）形式：命题都可写成的形式。 证（4）互逆命题 明（1）公理： 3. 公理与定理 （2）定理： （1）概念： 4. 证明 ①理解题意，画出 （2）证明命题的一般步骤②写出已知， ③写出 （3）反证法 二、巩固练习 1、下列语句中，属于定义的是（）． （A）直线AB和CD垂直吗？（B）过线段AB的中点C画AB的垂线。 （C）数据分组后落在各小组内的数据个数叫做频数。（D）同旁内角互补，两直线平行。 2、下列命题中，属于真命题的是（） （A）一个角的补角大于这个角（B）若a∥b，b∥c，则a∥c （C）若a⊥c，b⊥c，则a⊥b （D）互补的两角必有一条公共边 3、命题“垂直于同一条直线的两条直线互相平行”的题设是（）． （A）垂直（B）两条直线 （C）同一条直线（D）两条直线垂直于同一条直线 4、对于命题“如果∠1+∠2=90°，那么∠1≠∠2”，能说明它是假命题的例子是（）（A）∠1=50°，∠2=40°（B）∠1=50°，∠2=50° （C）∠1=∠2=45°（D）∠1=40°，∠2=40° 5、命题“同旁内角互补”中，题设是，结论是。 6、把下列命题改写成“如果……那么……”的形式。 （1）锐角小于90o。答：。 1 2 3l l （2）相等的角是对顶角。答： 。 （3）垂直于同一条直线的两条直线平行。答： 。 （4）直角都相等。答： 。 7、命题“如果22a b = ,那么a b =”的逆命题是________________________________. 8、求证：两条直线被第三条直线所截.如果同旁内角不互补，那么这两条直线不平行. 已知：如图，直线12,l l 被3l 所截，∠1+∠2____180°. 求证：12l l 与_______. 1l 证明：（反证法）假设12____l l ， 2l 则∠1+∠2____180°（ ） 这与______________矛盾，故_________不成立. 所以____________________________________. 9、已知：图12，AD ⊥BC 于D ，EF ⊥BC 于F ，交AB 于G ，交CA 延长线于E ，∠1＝∠2． 求证：AD 平分∠BAC，填写分析和证明中的空白． （分析：要证明AD 平分BAC ，只要证明∠_______＝∠________，而已知∠1＝∠2，所以 应联想这两个角分别和∠1、2的关系，由已知BC 的两条垂线可推 出________∥_________，这时再观察这两对角的关系得到结论．） 证明：∵AD⊥BC，EF⊥BC（已知） ∴________∥_________（ ） ∴_______＝________（两直线平行，内错角相等）， ________＝ （两直线平行，同位角相等） ∵ （已知） ∴______________即AD 平分∠BAC（ ） 补充题：写出“两直线平行，内错角相等”的逆命题并证明其为真命题。 八年级上册数学《证明》教案 教学目标： 知识与技能 1.使学生知道证明的意义和证明的必要性，知道证明要合乎逻辑，知道证明的过程可以有不同的表达形式，掌握综合法证明的格式。 2.通过实例让学生体会反证法的含义和步骤。 过程与方法 经历有关有关命题的证明过程，三角形外角和定理的证明过程，使学生初步认识事物之间的因果关系与相互制约的关系。 情感、态度与价值观 感受数学的严谨，结论的确定，初步养成言之有理、落笔有据的推理习惯，发展初步的演绎推理能力。 教学重点： 使学生知道证明的意义和证明的必要性，知道证明要合乎逻辑，知道证明的过程可以有不同的表达形式，掌握综合法证明的格式。 教学难点： 综合法证明格式以及对反证法的理解。 教学过程： 一、复习： 判断下列命题是真命题还是假命题？（请生答） ①若两个数的绝对值相等，则这两个数也相等。 ②内错角相等。 ③如果两个角不相等，那么这两个角不是对顶角。 ④三角形三个内角和为180度。（第四个一齐回答） 二、新授： 1，证明： 三角形的内角和为180度，那么三角形的外角和为多少度呢？ 采用剪拼或度量的方法，猜测三角形的外角和。（学生活动） 由于不同形状的三角形有无数个，我们不可能一一来验证，只能猜测任何一个三角形的外角和为360度。猜测出来的命题未必都是真命题，需要通过推理的方法加以证明。 回忆：从命题的条件出发，通过讲道理（推理），得出其结论城里，从而判断这个命题为真命题，这个过程叫做证明。 例1：证明命题“三角形的外角和为360度”是真命题。 F 分析：命题的条件：三角形的外角 命题的结论：外角和为360度（小组讨论完成） A 过程：已知：∠BAF、∠CBD、∠ACE分别是△ABC的三个外角 求证：∠BAF+∠CBD+∠ACE=360° 证明：如图， ∵∠BAF=∠2+∠3 ∠CBD=∠1+∠3 B C ∠ACE=∠1+∠2（三角形的外角定理） D E ∴∠BAF+∠CBD+∠ACE=2（∠1+∠2+∠3）（等式的性质） 北师大版八年级下册数学第一章三角形的证明一．选择题（共12小题） 1．（2014?遂宁）如图，AD是△ABC中∠BAC的角平分线，DE⊥AB于点E，S△ABC=7，DE=2，AB=4，则AC长是（） A．3B．4C．6D．5 2．（2014?台湾）如图，锐角三角形ABC中，直线L为BC的中垂线，直线M为∠ABC的角平分线，L与M相交于P 点．若∠A=60°，∠ACP=24°，则∠ABP的度数为何？（） A．24B．30C．32D．36 3．（2014?安顺）已知等腰三角形的两边长分別为a、b，且a、b满足+（2a+3b﹣13）2=0，则此等腰三角形的周长为（） A．7或8B．6或1O C．6或7D．7或10 4．（2014?宁波）如图，正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，BC=1，CE=3，H是AF的中点，那么CH的长是（） A．B．C．D．2 5．（2014?甘井子区一模）如图，△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AE=4cm，△ABD的周长为14cm，则△ABC的周长为（） A．18cm B．22cm C．24cm D．26cm 6．（2014?本溪一模）如图，在△ABC，∠C=90°，∠B=15°，AB的中垂线DE交BC于D，E为垂足，若BD=10cm，则AC等于（） A．10cm B．8cm C．5cm D． 7．（2013?西宁）如图，已知OP平分∠AOB，∠AOB=60°，CP=2，CP∥OA，PD⊥OA于点D，PE⊥OB于点E．如果点M 是OP的中点，则DM的长是（） A．2B．C．D． 8．（2013?滨城区二模）如图，△ABC中，∠B=40°，AC的垂直平分线交AC于D，交BC于E，且∠EAB：∠CAE=3：1，则∠C等于（） A．28°B．25°C．°D．20° 9．（2013?澄江县一模）若一个等腰三角形至少有一个内角是88°，则它的顶角是（） A．88°或2°B．4°或86°C．88°或4°D．4°或46° 10．（2012?泰安）如图，在矩形ABCD中，AB=2，BC=4，对角线AC的垂直平分线分别交AD、AC于点E、O，连接CE，则CE的长为（） 八年级数学上册几何证明题（提高题） 1.如图，在平面上将△ABC 绕 B 点旋转到△A/BC/的位置时,AA/∥BC,∠ABC=700，则∠CBC/为度. 2.如图，△ABE 和△ADC 是△ABC 分别沿着AB、AC 边翻折1800形成的，若∠1:∠2:∠3=28:5:3，则∠a 的度数为 3.将直角三角形（∠ACB 为直角）沿线段CD 折叠使B 落在B/处，若∠ACB/=50°，则∠ACD 度数为______． 4.如图,已知BD 平分∠ABC,DE⊥AB 于E,S△ABC=36cm2,AB=18cm,BC=12cm,则DE 的长为 5.如图,∠DEF=360，AB=BC=CD=DE=EF，求∠A 的度数。 6.已知△ABC≌△A/B/C/，△ABC 的三边为3、m、n，△A/B/C/的三边为5、p、q，若△ABC的各边都是整数，则m+n+p+q 的最大值为__________ 7.长为L 的一根绳,恰好可围成两个全等三角形,则其中一个三角形的最长边x的取值范围为( ) 8.已知,如图,下列三角形中,AB=AC，则经过三角形的一个顶点的一条直线能够将这个三角形分成两个小等腰三角形的是（） A.①③④ B.①②③④ C.①②④ D.①③ 9.如图，ΔABC 和ΔBDE 是等边三角形，D 在AE 延长线上。求证：BD+DC=AD。 10.如图，已知AB>AD, ∠BAC=∠FAC,CD=BC.求证：∠ADC+∠B=1800. 11.如图，在△ABC 中，D,E 分别为AB,AC 边中点，连接CD、BE 并分别延长至F、G，使BE=EG,CD=DF,连接FA,GA.求证：AF=AG. 12.如图，△ABC 中，∠BAC=900，AB=AC，BD 是∠ABC 的平分线，BD 的延长线垂直于过C 点的直线于E， 直线CE 交BA 的延长线于F．求证：BD=2CE． 13.如图,已知△ABC中，AD平分∠BAC，E、F 分别在 BD、AD 上．DE=CD，EF=AC．求证：EF∥AB. 14.如图，∠A+∠D=1800，BE 平分∠ABC，CE平分∠BCD，点 E在 AD上． (1)探讨线段AB、CD 和BC 之间的等量关系;(2)探讨线段BE 与CE 之间的位置关系． 15.已知AB=4，AC=2，D 是BC 中点，AD 是整数，求AD的长. 16.已知，E 是AB 中点，AF=BD，BD=5，AC=7，求DC的长. 17.如图,在△ABC 中，∠B，∠C相邻的外角的平分线交于点 D.求证：点 D 在∠A 的平分线上. 18.已知，在Rt△ABC 中，∠C=900，AC=BC，AD 为∠BAC 的平分线，DE⊥AB，垂足为C． 求证：△DBE 的周长等于AB的长． 19.已知，如图,在△ABC 中,AD 是∠BAC的角平分线，E、F 分别是AB、AC上的点，且∠EDF+∠EAF=1800. 求证：DE=DF. 20.已知：如图，在△ABC 中，D 为BC 的中点，过D 点的直线GF 交AC 于F，交AC 的平行线BG 于点G，DE⊥GF，并交AB 于点E，连结EG． 新北师大版八年级数学下册第一章证明（二）辅导资料 第一节等腰三角形 知识回顾： 复习证明全等三角形的判定方法 等腰三角形的性质： （1）、等腰三角形的两个底角，也就是说，在同一个三角形中，；（2）、等腰三角形的顶角、底边上的和互相重合，简称等腰三角形。 等腰三角形有下面的判定方法： （1）、依据三角形定义：如果一个三角形有相等，那么这个三角形是等腰三角形。（2）、依据定理：如果一个三角形有相等，那么这个三角形是等腰三角形。简单地说：在同一个三角形中，； 3、有边相等的三角形叫做等腰三角形。 有三边相等的三角形叫做三角形，也叫三角形。 4、等边三角形的角都，且等于；等边三角形是 图形 5、等边三角形的判定方法： （1）有边相等的三角形叫做等边三角形； （2）有角相等的三角形叫做等边三角形； （3）有个角都等于600的三角形叫做等边三角形； （4）有个角等于600的三角形叫做等边三角形。 典型例题： 1、已知等腰三角形的一边长为，另一边长为，则它的周长为 。 2、已知等腰三角形的一边长为，另一边长为，则它的周长为。 3、等腰三角形底边长为，一腰上的中线把其周长分为两部分的差为 .则腰长为 3、如果等腰三角形的顶角等于36°，则底角等于_________度；如果底角等于36°，那么 顶角的度数为_________． 4、有一个角等于50°，另一个角等于__________的三角形是等腰三角形． 5、等边三角形的三个角的度数分别为_______. 6、有一个角为的等腰三角形的另外两个角的度数为______. 7、有一个角为的等腰三角形的另外两个角的度数为________. 8、在等腰三角形中，如果顶角是一个底角的2倍，那么顶角等于_____度；如果一个底角是顶角的2倍，那么顶角等于_______度. 9、如图，，交BC于点D，，那么BC的长为_________. 10、如图，在中，D是AC上的一点，且，，则 _______， ______， ________. 11、如图，已知：在中，，，BD是的角平分线，求 的度数. 第十一章 图形的证明一 测试 一，选择 1.下列关于判断一个数学结论是否正确的叙述正确的是 ( ) A.只需观察得出 B.只需依靠经验获得 C.通过亲自实验得出 D.必须进行有根据地推理. 2.通过观察你能肯定的是 ( ) A.图形中线段是否相等; B.图形中线段是否平行 C.图形中线段是否相交; D.图形中线段是否垂直 3.下列问题你不能肯定的是 ( ) A.一支铅笔和一瓶矿泉水的体积大小关系; B.三角形的内角和 C.n 边形的外角和; D.三角形与矩形的面积关系 4.下列问题用到推理的是 ( ) A.根据x=1,y=1 得x=y; B.观察得到四边形有四个内角; C.老师告诉了我们关于金字塔的许多奥秘; D.由公理知道过两点有且只有一条直线 5.下列句子中,是命题的是 ( ) A.今天的天气好吗 B.作线段AB ∥CD; C.连结A 、B 两点 D.正数大于负数 6.下列命题是真命题的是 ( ) A.如果两个角不相等,那么这两个角不是对顶角; B.两互补的角一定是邻补角 C.如果a 2=b 2 ,那么a=b; D.如果两角是同位角,那么这两角一定相等 7.下列命题是假命题的是 ( ) A.如果a ∥b,b ∥c,那么a ∥c; B.锐角三角形中最大的角一定大于或等于60° C.两条直线被第三条直线所截,内错角相等; D.矩形的对角线相等且互相平分 8.已知下列四个命题：（1）若直角三角形的两边长分别是3与4，则第三边长是5；（2）a a 2)(；（3）若点P （a,b ）在第三象限，则点Q(-a,-b)在第一象限；（4）两边及第三 边上的中线对应相等的两个三角形全等，其中正确的选项是 （ ） A.只有（1）错误，其他正确 B.（1）（2）错误，（3）（4）正确 八年级下册数学《三角形的证明》知识点复 习 节.等腰三角形 性质：等腰三角形的两个底角相等. 判定：有两个角相等的三角形是等腰三角形． 推论：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高线互相重合． 等边三角形的性质及判定定理 性质定理：等边三角形的三个角都相等，并且每个角都等于60°；等边三角形是轴对称图形，有3条对称轴. 判定定理：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形； 三个角都相等的三角形是等边三角形. 第二节.直角三角形 勾股定理及其逆定理 定理：直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方． 逆定理：如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形． 含30°的直角三角形的边的性质 定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么 它所对应的直角边等于斜边的一半. 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。 要点诠释：勾股定理的逆定理在语言叙述的时候一定要注意，不能说成“两条边的平方和等于斜边的平方”，应该说成“三角形两边的平方和等于第三边的平方”．斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等。 第三节.线段的垂直平分线 线段垂直平分线的性质及判定 性质：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等. 判定：到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上. 三角形三边的垂直平分线的性质 三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等.该点就是三角形的外心。以此外心为圆心，可以将三角形的三个顶点组成一个圆。 如何用尺规作图法作线段的垂直平分线： 分别以线段的两个端点A、B为圆心，以大于AB的一半长为半径作弧，两弧交于点、N；作直线N就是线段AB的垂直平分线。 第四节.角平分线 角平分线的性质及判定定理八年级数学下册三角形证明知识点
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