2013年乌鲁木齐地区高三年级第一次诊断性测验
试卷
理科数学(问卷)
(卷面分值:150分考试时间:120分钟)
第I 卷(选择题共60分)
一、选择题:共12小题,每小题5分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合A= {x|| x| >1},B = {x|x =R ,则m 的值可以是 A. -1 B.O C 1 D. 2 2. b R A. (1,2) B. (2,-i ) C.(2,1) D.(1,-2) 3. “a >0”是“20a a +≥”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 4. 函数22()log (1),()log (1)f x x g x x =+=-,则f (x )-g (x ) 是 A.奇函数 B.偶函数 C.既不是奇函数又不是偶函数 D.既是奇函数又是偶函数 5. 已知函数0,0 (),0x x f x e x ≤?=?>? ,则使函数g (x )=f (x )+x -m 有零点的实数m 的取值范围是 A.[0,1) B.(,1)-∞ C 、(,1](2,)-∞?+∞ D. (,0](1,)-∞?+∞ 6. 设n S 为等差数列{n a }的前n 项和,若1321,5,36k k a a S S +==-=,则k 的值为 A.8 B. 7 C. 6 D.5 7. 函数()2sin()(0,0)f x x ω?ω?π=+>≤≤的部分图象如图所示,其 中A ,B 两点之间的距离为5,则f(x )的递增区间是 A.[6k -1,6k +2](k ∈Z ) B.[6k -4,6k -1](k ∈Z ) C.[3k -1,4k +2](k ∈Z ) D.[3k -4,3k -1](k ∈Z ) 8. 执行右边的程序框图,若输出的S 是127,则条件①可以为 A 、n≤5 B 、n≤6 C 、n≤7 D 、n≤8 9. 如图,正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,E 、F 是AB 的三等分点,G 、H 是 CD 的三等分点,M 、N 分别是BC 、EH 的中点,则四棱锥A 1 -FMGN 的 侧视图为 三角形(含边界与内部).若点(x ,y ) ∈ D ,则x + y 的最小值为 A. -1 B.0 C. 1 D.3 11.如图,椭圆的中心在坐标原点0,顶点分别是A 1, A 2, B 1, B 2,焦点分别为F 1 ,F 2,延长B 1F 2 与A 2B 2交于P 点,若为钝角,则此椭 圆的离心率的取值范围为 12. 中,若,则 第II 卷(非选择题共90分) 本卷包括必考题和选考题两部分.第13题~第21题为必考题,每个试题考生都必须作 答.第22题?第24题为选考题,考生根据要求作答. 二、填空题:本大题共4小题,每小题5分. 13. 某车间为了规定工时定额,需要确定加工零件所花费的时间,为此进行了5次试验.根据 收集到的数据(如下表),由最小二乘法求得回归直线方程 表中有一个数据模糊不清,请你推断出该数据的值为______ . 14. 如图,单位正方体A BCD-A 1B 1C 1D 1中,点P 在平面A 1BC 1上,则三棱 锥P-A CD 1的体积 为______ 15. 点A(x ,y)在单位圆上从出发,沿逆时针方向做匀速圆 周运动,每12秒运动一周.则经过时间t 后,y 关于t 的函数解析式 为______ 16. 设A 、B 为在双曲线上两点,O 为坐标原点.若OA 丄OB,则ΔAOB 面 积的最小值为______ 三、解答题:第17?21题每题12分,解答应在答卷的相应各题中写出文字说明,证明过程或演 算步骤. . 17. (本小题满分12分) 已知数列{a n }、{b n }分别是首项均为2的各项均为正数的等比数列和等差数列,且 (I) 求数列{a n }、{b n }的通项公式; (II )求使n b a <0.001成立的最小的n 值. 18. (本小题满分12分) PM2. 5是指大气中直径小于或等于2. 5微米的颗粒物,也称为 可人肺颗粒物.我国PM2. 5标准采用世卫组织设定的最宽限 值,即PM2.5日均值在35微克/立方米以下空气质量为一级; 在35微克/立方米~75微克/立方米之间空气质量为二级;在 75微克/立方米以上空气质量为超标. 某市环保局从市区2012年全年每天的PM2.5监测数据中 随机抽取15天的数据作为样本,监测值如茎叶图所示(十位为茎,个位为叶) (I)从这15天的数据中任取3天的数据,记表示其中空气质量达到一级的天数ξ,求的ξ分布列; (II) 以这15天的PM2. 5日均值来估计一年的空气质量情况,则一年(按360天计算)中大约有多少天的空气质量达到一级. 19. (本小题满分12分) 在正四棱锥V - A BCD 中,P ,Q 分别为棱VB ,VD 的中点, 点 M 在边 BC 上,且 BM: BC = 1 : 3,A B = ,V A = 6. (I )求证CQ 丄A P; (I I )求二面角B -A P -M 的余弦值. 20. (本小题满分12分) 已知点F( 1,0), 与直线4x+3y + 1 =0相切,动圆M 与 及y 轴都相切. (I )求点M 的轨迹C 的方程; (II )过点F 任作直线l ,交曲线C 于A ,B 两点,由点A ,B 分别向各引一条切线,切 点 分别为P ,Q ,记 .求证sin sin αβ+是定值. 21. (本小题满分12分) (I)若曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的句线与X轴平行,求函数f(x)的单调区间; (II)若对一切正数x,都有恒成立,求a的取值集合. 请考生在第22、23、24三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑. 22. (本小题满分10分)选修4-1:几何证明选讲 如图,AB是的直径,AC是弦,直线CE和切于点C,AD 丄CE,垂足为D. (I) 求证:AC平分; (II) 若A B=4A D,求的大小. 23. (本题满分10分)选修4 -4:坐标系与参数方程 将圆上各点的纵坐标压缩至原来的,所得曲线记作C;将直线3x-2y-8=0 绕原点逆时针旋转90°所得直线记作l. (I)求直线l与曲线C的方程; (II)求C 上的点到直线l 的最大距离. 24. (本题满分10分)选修4 - 5 :不等式选讲 设函数, . (I ) 求证 ; (II)若成立,求x 的取值范围. 参考答案 一、选择题:共12小题,每小题5分,共60分. 1.选D.【解析】11x x >?>或1x <-,由A B =R ,得1m >. 2.选C.【解析】122+=-i i i ,其共轭复数为2+i ,即2+=+a bi i ,所以2,1==a b . 3.选A.【解析】0a >?20a a +≥;反之2 0a a +≥?0,1a a ≥≤-或,不能推出0a >. 4.选A.【解析】()()f x g x -的定义域为()1,1-记()F x =()()f x g x -2 1log 1x x +=-,则 ()F x -=21log 1x x -+1 21log 1x x -+?? = ? -?? 2 1log 1x x +=--()F x =-,故()()f x g x -是奇函数. 5.选D.【解析】函数()()g x f x x m =+-的零点就是方程()f x x m +=的根,作出 (), 0(),0 x x x h x f x x e x x ≤?=+=?+>?的图象,观察它与直线y m =的交点,得知当0m ≤时, 或1m >时有交点,即函数()()g x f x x m =+-有零点. 6.选A.【解析】由11a =,35a =,解得2d =,再由:221 k k k k S S a a +++-=+ 12(21)4436a k d k =++=+=,解得8k =. 7.选B.【解析】5,4A B AB y y =-=,所以3A B x x -=,即 32 T =,所以26T π ω = =, 3 π ω= 由()2sin 3f x x π ???=+ ???过点()2,2-,即22sin 23π???+=- ??? ,0?π≤≤, 解得56 π?= ,函数为()52sin 3 6f x x ππ?? =+ ? ?? ,由5222362k x k ππππππ-≤+≤+, 解得 6461k x k -≤≤-,故函数单调递增区间为[]()64,61k k k --∈Z . 8.选B.【解析】依题意21122221+=++++=- n n S ,有121127+-=n ,故6=n . 9.选C.【解析】(略). 10.选B.【解析】双曲线的渐近线为12 y x =±,抛物线的准线为2x =,设z x y =+,当直线 过点()0,0O 时,min 0=z . 11.选D.【解析】易知直线22B A 的方程为0bx ay ab +-=,直线12B F 的方程为 0bx cy bc --=,联立可得()2,b a c ac P a c a c -?? ?++??,又()()21,0,0,A a B b -, ∴122,ac ab PB a c a c --??= ?++?? ,()()2,a a c b a c PA a c a c ---??= ?++?? , ∵12B PA ∠为钝角∴210PA PB ?< ,即()()() () 2 2 22 220a c a c ab a c a c a c ---+<++, 化简得2b ac <,22a c ac -<,故2 10c c a a ?? +-> ??? ,即210e e +-> ,e > 或 e < 01e << 1< 12.选B.【解析】设ABC ?中, ,,a b c 分别是,,A B C ∠∠∠所对的边,由 ( ) 235CA CB AB AB +?= 得235 CA AB CB AB AB ?+?= 即()2 3cos cos 5 bc A ac B c π-+= ,∴3cos cos 5 a B b A c -= ∴2 2 2 2 2 2 3225 a c b b c a a b c ac bc +-+-? -? = ,即22 2 35 a b c -= , ∴ 2 22 22 2 2 2 222222 223 tan sin cos 2543tan sin cos 52a c b c c A A B a a c b ac b c a B B A b b c a c c bc +-++-= ?=?===+-+--+. 二、填空题:共4小题,每小题5分,共20分. 13.填68.【解析】设遮住部分的数据为m ,10+20+30+40+50 305 =x =, 由?0.67+54.9y =x 过()x,y 得0.6730+54.9=75?y = ∴ 62++75+81+89 =755 m ,故68=m . 14.填 16 .【解析】平面11A BC ∥平面1ACD ,∴P 到平面1ACD 的距离等于平面11A BC 与平面 1ACD 间的距离,等于113 B D = 1 111sin 602 ACD S AD CD ?= ??= , ∴三棱锥1P ACD - 的体积为113 6 = . 15.填sin 6 3y t ππ?? =+ ??? . 【解析】03 xOA π ∠=,点A 每秒旋转 212 6 ππ = ,所以秒旋转 6 t π , 06 A OA t π ∠= ,6 3 xOA t π π ∠= + ,则sin y xOA =∠sin 6 3t ππ?? =+ ??? . 16.填 222 2 a b b a -.【解析】设直线OA 的方程为y kx =,则直线OB 的方程为1y x k =- , 则点()11,A x y 满足22221 y kx x y a b =???-=??故22222 22 11222222 ,a b a b k x y b a k b a k ==--, ∴()2 2 2 2 2211222 1k a b OA x y b a k +=+= -,同理()2 2 2 2 222 1k a b OB k b a += -, 故()()2 2 2 2 2 2 22 222 222 11k a b k a b OA OB b a k k b a ++?= ? --() () 44 2 2 2 2 2 2 2 2 1a b k a b a b k = -++? + ∵ () 2 2 2 2 2 1114 12 k k k k =≤++ +(当且仅当1k =±时,取等号) ∴() 4422 2 2 2 4a b OA OB b a ?≥ -,又0b a >>,故12 AOB S OA OB ?= ?的最小值为 222 2 a b b a -. 三、解答题:共6小题,共70分. 17.(Ⅰ)设{}n a 的公比为q ,{}n b 的公差为d ,依题意()2422226 d q d q +=???? +?=?? 解得212d q =???=??,或538d q =-???=-?? (舍) ∴2 12n n a -?? = ???,2n b n =; …6分 (Ⅱ)由(Ⅰ)得22 212n n b n a a -?? == ??? , 因为22 10.0010.0012n n b a -?? < ? ?? 22 2 1000n -?>, 所以2210n -≥,即6n ≥,∴最小的n 值为6. …12分 18.(Ⅰ)依据条件,ξ服从超几何分布:其中15,5,3N M n ===,ξ的可能值为0,1,2,3, 其分布列为:()()3510 3 15 0,1,2,3k k C C P k k C ξ-?== =. …6分 (Ⅱ)依题意可知,一年中每天空气质量达到一级的概率为5 115 3 P = =, 一年中空气质量达到一级的天数为η,则1~360,3B η?? ?? ? ,∴13601203 E η=? =(天) 所以一年中平均有120天的空气质量达到一级. …12分 19.设正方形ABCD 的中心为O ,N 为AB 的中点,R 为BC 的中点,分别以ON ,OR , OV 所在直线为x 轴,y 轴,z 轴,如图建立空间直角坐标系, 在Rt VOB ?中,可得OV =, 则(0,,V )0,A ) 0B , () 0,C ( ) 0,D 0,M ? ??? ,P Q ? ?. 于是() ,0,0,AP AB ?== ? ξ 0 2 3 P 24 91 4591 2091 2 91 0,AM ??= ? ??? CQ = . (Ⅰ)∵0AP CQ ??=?= ? , ∴CQ AP ⊥ ,即CQ ⊥AP ; …6分 (Ⅱ)设平面BAP 的法向量为()1,,a b c =n ,由00AP AB ??=???=?? 11n n 得300a b b ?--=? ?=? ? 故) 10,1= n ,同理可得平面APM 的法向量为()23,1,0=n , 设二面角B AP M --的平面角为θ ,则cos θ?= = 1212 n n n n . …12分 20.(Ⅰ)⊙F 1=,⊙F 的方程为()2 2 11x y -+=, 由题意动圆M 与⊙F 及y 轴都相切,分以下情况: (1)动圆M 与⊙F 及y 轴都相切,但切点不是原点的情况: 作MH ⊥y 轴于H ,则1MF MH -=,即1MF MH =+,则MF MN =(N 是过M 作直线1x =-的垂线的垂足),则点M 的轨迹是以F 为焦点,1x =-为准线的 抛物线. ∴点M 的轨迹C 的方程为()2 40y x x =≠; (2)动圆M 与⊙F 及y 轴都相切且仅切于原点的情况: 此时点M 的轨迹C 的方程为0(0,1)y x =≠; …6分 (Ⅱ)对于(Ⅰ)中(1)的情况: 当不与x 轴垂直时,直线的方程为()1y k x =-,由()2 14y k x y x =-??? =??得 ()2 2 2 2 240k x k x k -++=,设()()1122,,,A x y B x y ,则2 12122 24,1k x x x x k ++= = ∴121111sin sin 1 1 AF BF x x αβ+= + = + ++12121212122211 11 x x x x x x x x x x ++++= = =++++++, 当与x 轴垂直时,也可得sin sin 1αβ+=, 对于(Ⅰ)中(2)的情况不符合题意(即作直线,交C 于一个点或无数个点,而非两 个交点). 综上,有sin sin 1αβ+=. …12分 21.(Ⅰ)∵()11f x ax '= -, ∴曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线斜率为()111k f a '== -, 依题意 110a -=,故1a =,∴()ln f x x x =-,()11f x x '= -, 当01x <<时,()0f x '>,函数()f x 单调递增;当1x >时,()0f x '<,函数()f x 单调递减;所以函数()f x 的单调增区间为()0,1,减区间为()1,+∞; …6分 (Ⅱ)若0a <,因为此时对一切()0,1x ∈,都有 ln 0x a >,10x -<,所以 ln 1x x a >-, 与题意矛盾,又0a ≠,故0a >,由()11f x ax '= -,令()0f x '=,得1x a = . 当10x a << 时,()0f x '>,函数()f x 单调递增;当1x a > 时,()0f x '<,函数()f x 单调递减;所以()f x 在1 x a = 处取得最大值 111ln a a a - ,故对x + ?∈R ,()1f x ≤-恒 成立,当且仅当对a + ?∈R , 111ln 1a a a -≤-恒成立. 令 1t a =,()ln g t t t t =-,0t >. 则()ln g t t '=,当01t <<时,()0g t '<,函数()g t 单调递减;当1t >时,()0g t '>,函数()g t 单调递增;所以()g t 在1t =处取得最小值1-,因此,当且仅当11a =, 即1a =时, 111ln 1a a a -≤-成立. 故a 的取值集合为{}1. …12分 22.(Ⅰ)连接BC ,∵AB 是O 的直径,∴90∠=?ACB . ∴90∠+∠=?B CAB ∵⊥AD CE ,∴90∠+∠=?ACD DAC , ∵AC 是弦,且直线CE 和O 切于点C , ∴∠=∠ACD B ∴∠=∠DAC CAB ,即AC 平分∠BAD ; …5分 (Ⅱ)由(Ⅰ)知?? ABC ACD ,∴ =AC AD AB AC ,由此得2 =?AC AB AD . ∵4=AB AD ,∴22 442=??=AC AD AD =AD AC AD ,于是60∠=?DAC , 故∠BAD 的大小为120?. …10分 23.(Ⅰ)设曲线C 上任一点为(),x y ,则(),2x y 在圆224x y +=上, 于是()2 2 24x y +=即 2 2 14 x y +=. 直线3280x y --=的极坐标方程为3cos 2sin 80ρθρθ--=,将其记作0l , 设直线上任一点为(),ρθ,则点(),90ρθ-?在0l 上, 于是()()3cos 902sin 9080ρθρθ-?--?-=,即:3sin 2cos 80ρθρθ+-= 故直线的方程为2380x y +-= …5分 (Ⅱ)设曲线C 上任一点为()2cos ,sin M ??, 它到直线的距离为d 其中0?满足:0043cos ,sin 5 5 ??== . ∴当0??π-=时,max d = …10分 24.(Ⅰ)()12(1)(2)1f x x x x x =-+-≥---=. …5分 2= =≥, 成立,需且只需122x x -+-≥, 即1122x x x ?-+-≥?,或12122x x x ≤?-+-≥?,或2122 x x x ≥??-+-≥?,解得12x ≤,或5 2x ≥ 故x 的取值范围是15,,22 ???? -∞+∞ ???? ? ? ? . …10分 以上各题的其他解法,限于篇幅从略,请相应评分.