磁悬浮系统的PID控制
本科毕业设计（论文）题目: 磁悬浮系统的PID控制
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华科学院
摘要
磁悬浮技术具有无摩擦、无磨损、无需润滑以及寿命较长等一系列优点，在能源、交通、航空航天、机械工业和生命科学等高科技领域有着广泛的应用背景。
本设计毕业设计在分析磁悬浮系统构成及工作原理的基础上，建立其数学模型，并以此为研究对象，设计了PID控制器，确定控制方案，运用MATLAB软件进行仿真研究，得出较好的控制参数。最后，本文对以后研究工作的重点进行了思考，提出了自己的见解。
关键词：磁悬浮系统控制器MATLAB软件PID控制
Abstract
Magnetic suspension technology, which has a series of advantages such as contact-free, no friction, no wear, no need of lubrication and long life expectancy, is widely concerned and adopted in high-tech areas such as energy, transportation, aerospace, industrial machinery and life science．On the basis of analyzing of magnetic suspension system’s structure and working principle, its system mathematical model was established, this thesis describe PID controller designed and get control scheme. It get the better control parmeters by MATLAB software simulation studies.The key research works for further study are proposed at last．
Key Word：Magnetic Levitation Ball System Digital Controller MATLAB PID Control
目录
摘要................................................................ I ABSTRACT ........................................................... III 第1章绪论. (1)
1.1磁悬浮技术综述 (1)
1.1.1 前言 (1)
1.1.2 磁悬浮方式的分类 (1)
1.1.3 控制方式的分类 (2)
1.1.4 磁悬浮技术的应用及展望 (2)
1.2课题的提出及意义 (6)
1.3本论文的工作及主要内容 (6)
第2章磁悬浮系统的结构与建模 (9)
2.1简介 (9)
2.1.1 磁悬浮实验本体 (9)
2.1.2 磁悬浮实验电控箱 (10)
2.1.3 磁悬浮实验平台 (10)
2.2磁悬浮系统的基本结构 (11)
2.3磁悬浮系统工作原理 (11)
2.4磁悬浮系统的数学模型 (12)
2.4.1 控制对象的运动方程 (12)
2.4.2 系统的电磁力模型 (12)
2.4.3 电磁铁中控制电压与电流的模型 (13)
2.4.4 电磁铁平衡时的边界条件 (14)
2.4.5 电磁铁系统数学模型 (14)
2.4.6 电磁铁系统物理参数 (15)
2.5本章小结 (15)
第3章控制器设计 (17)
3.1控制器方案选择 (17)
3.1.1 电流控制器 (17)
3.1.2 电压控制器 (17)
3.1.3 方案的确定 (18)
3.2PID控制器设计 (18)
3.2.1 PID控制器 (19)
3.2.2 改进型PID算法的应用 (20)
3.2.3 PID控制器参数整定 (22)
3.3本章小结 (23)
第4章基于MATLAB的控制系统仿真 (25)
4.1引言 (25)
4.2MATLAB软件简介 (25)
4.3选用此软件的缘由 (26)
4.4S IMULINK仿真系统 (26)
4.5MATLAB下数学模型的建立 (27)
4.6开环系统仿真 (27)
4.7闭环系统仿真 (28)
4.8PID参数现场实验法整定 (32)
4.9本章小结 (36)
第5章总结与展望 (37)
参考文献 (39)
致谢 (41)
第1章绪论
1.1 磁悬浮技术综述[1]
1.1.1 前言
磁悬浮技术属于自动控制技术，它是随着控制技术的发展而建立起来的。磁悬浮的作用是利用磁场力使某一物体沿着或绕着某一基准框架的一轴或几轴保持固定位置。由于悬浮体和支撑之间没有任何接触，克服了由摩擦带来的能量消耗和速度限制，具有寿命长、能耗低、无污染、无噪声、不受任何速度限制、安全可靠等优点，因此目前世界各国已广泛开展磁悬浮控制系统的研究。随着控制理论的不断完善和发展，采用先进的控制方法对磁悬浮系统进行的控制和设计，使系统具有更好的鲁棒性。随着电子技术的发展，特别是电子计算机的发展，带来了磁悬浮控制系统向智能化方向的快速发展。
目前，关于磁悬浮技术的研究与开发在国内外都处于快速发展之中。磁悬浮技术从原理上来说不难以理解，但是真正将其产业化却是近几年才开始的。1.1.2 磁悬浮方式的分类
一般而言，磁悬浮可分为以下3种主要的应用方式：
a.电磁吸引控制悬浮方式
这种控制方式利用了导磁材料与电磁铁之间的吸力，几乎绝大部分磁悬浮技术采用该技术。虽然原理上这种吸引力是一种不稳定的力，但通过控制电磁铁电流的大小，可以将悬浮气隙保持在一定数值上。随着现代控制理论的发展和驱动元器件高性能、低价格化，该方式得到了广泛应用。在此基础上也有研究人员提出了把需要大电流励磁的电磁铁部分替换成可控型永久磁铁的方案，并深入的进行了研究和开发工作。该方案可以大幅度的降低励磁损耗，甚至在额定悬浮高度时不需要能量，是一种非常值得注目的新技术。
b.永久磁铁斥力悬浮方式
这种控制方式利用永久磁体间的斥力，一般产生斥力为1kg/cm2，所以被称为永久磁体斥力悬浮方式。当然，根据所用的磁材料的不同，其产生的斥力相应变化。但是，由于横向位移的不稳定因素，需要从力学角度来安排磁铁的位置。
近年来出现了一些该方式的产品，例如日本1994年4月公布的专利中，就有关于该方式配置方案的内容。随着稀土材料的普及，该方式将会被更多的应用到各个领域。
c.感应斥力方式
这种控制方式利用了磁铁或励磁线圈和短路线圈之间的斥力，简称感应斥力方式。为了得到斥力，励磁线圈和短路线圈之间必须有相对的运动。这种方式主要应用于超导磁悬浮列车的悬浮装置上。但是，在低速时由于得不到足够的悬浮力，在低速或停止时需要有车轮来支撑车身。从原理上而言，该方式很少被应用于低速传动机构。
1.1.3 控制方式的分类
目前，磁悬浮控制应用技术分为数字控制方式和模拟控制方式。随着近年来现代控制理论的日趋成熟，同时随着计算机计算速度的飞跃提高，数字式控制方式得到越来越多的应用。与数字式控制相比，由于模拟式的控制部分为硬件构成，容易被技术人员理解、掌握和调试，并且相对价格比较低。容易实现产品化、系列化，从而在产业界得到了广泛的应用。目前的磁悬浮轴承产品大多数为模拟式控制。但是，模拟运算电路一旦制板，则无法再做根本性修正，缺乏软件的灵活性，同时也无法发挥现代控制理论中 系统等理论的强大威力。
1.1.4 磁悬浮技术的应用及展望
目前，磁悬浮技术的大规模应用主要集中在磁悬浮列车和磁悬浮轴承两方面：
a.磁悬浮列车
20世纪60年代，世界上出现了3个载人的气垫车试验系统，它是最早对磁悬浮列车进行研究的系统。随着技术的发展，特别是固体电子学的出现，使原来十分庞大的控制设备变得十分轻巧，这就给磁悬浮列车技术提供了实现的可能。1969年，德国牵引机车公司的马法伊研制出小型磁悬浮列车模型，以后命名为TR01型，该车在1km轨道上的时速达165km，这是磁悬浮列车发展的第一个里程碑。在制造磁悬浮列车的角逐中，日本和德国是两大竞争对手。1994年2月24日，日本的电动悬浮式磁悬浮列车，在宫崎一段74km长的试验线上，创造了时速431km的日本最高纪录。1999年4月，日本研制的超导磁悬浮列车在试验线上达到时速552km。德国经过近20年的努力，技术上已趋于成熟，已具有建造
运用的水平。原计划在汉堡和柏林之间修建第一条时速为400km的磁悬浮铁路，总长度为248km，预计2003年正式投入营运。但由于资金计划问题，2002年宣布停止了这一计划。
我国对磁悬浮列车的研究工作起步较晚，1989年3月，国防科技大学研制出我国第一台磁悬浮试验样车。1995年，我国第一条磁悬浮列车实验线在西南交通大学建成，并且成功进行了稳定悬浮、导向、驱动控制和载人等时速为300km的试验。西南交通大学这条试验线的建成，标志我国已经掌握了制造磁悬浮列车的技术。然而，2001年3月上海13.8km的磁悬浮列车开始营运，标志着我国成为世界上第一个具有磁悬浮运营铁路的国家。
b.磁悬浮轴承
(1)磁悬浮轴承工业应用
1)航天工业方面[2][16]
磁轴承主要应用对象有低轨道地球卫星和航天器中的超真空泵、中子粉碎机、卫星惯性飞轮和能量存储飞轮、姿态控制飞轮、火箭引擎透平泵、制冷透平泵、环状悬浮定位系统以及反射镜的驱动机械装置等。
2)机床主轴支承中的应用
随着现代工业对加工精度要求的不断提高以及机床转速的增加，传统的滚动轴承和静压轴承均已明显地不能满足对支承的要求，其中尤以噪声、振动、发热及使用寿命的问题更为突出。另外，在传统的轴承中，供油系统是必不可少的。这不仅使结构更趋复杂，同时又产生了诸如污染等问题。可幸的是上述问题在采用了磁轴承以后，均能获得圆满解决。法国的S2M公司在数百台机床上成功地应用了磁轴承[3]，包括各种高精度车床、铣床和磨床，而磨床方面的应用尤为突出。
3)其它工业技术方面
在一般工业生产中第一个装有磁轴承的是德国Leybol-Heraeus公司发明的涡轮机驱动的真空泵，其额定转速达30,000r/min，工作气隙直径90mm，转子重7kg，高真空、高转速、长寿命。在轻工业中，磁轴承主要应用于涡轮分子真空泵、离心机液态泵、纺织机主轴、小型低温压缩机、旋转光学境主轴、旋转阳极射线管、中子分选器等。法国研制成功一台冶金实验用的小型超高速离心机，其转速达800,000r/min。在重工业中，磁轴承也得到了应用。德国ABB公司采用磁轴承系统研制成功第一台大型核能用部件，即MALVE实验循环器，其转子重2
吨，功率400k w，外伸推进器直径1.25m。由于磁轴承具有独特的优良性能，在能源工业中，特别是核能技术的研究中，它将发挥越来越大的作用。此外，磁轴承在航海技术、纺织技术、医疗器械、电动机、发电机、喷气机、电度表、机器人技术、振动控制等方面都得到了应用。
(2)磁悬浮轴承国内外发展概况
磁轴承的发展与研究一直受到国内外工业界的广泛关注。自1988年起，国际上每两年举行一届磁轴承国际会议，交流和研讨该领域的最新研究成果。目前较为活跃并处于领先地位的主要有瑞士联邦工学院(ETH)，美国Maryland大学和Virginia大学、日本东京大学和英国Sussex大学等研究机构，以及法国S2M、瑞士IBAG、英国Glacier、美国Avcon、MTI、Satcon等生产厂家。磁轴承在国外有较长的研究历史，目前已进入应用阶段：1969年，法国军部实验室(LRBN) 开始磁悬浮轴承研究，1972年将第一个磁悬浮轴承应用于卫星导向器飞轮支承上；美国在1983年11月搭载于航天飞机的欧洲空间实验舱采用了磁悬浮轴承真空泵；1995年，日本精工精机公司在意大利国际机床博览会上展出了采用了磁轴承主轴的机械加工中心MV--40B[4]。法国SEP公司的磁悬浮轴承产品，转速范围0-800,000r/min，转子直径14-600mm，单个轴承承载能力3,000～50,000N，使用温度范围-253～450℃。美国Federal-Mogul公司生产的磁轴承转速在400～120,000r/min，最大线速度可达264m/s，轴向承载222kN，径向承载80kN。从目前国外的应用状况来看，在高速旋转和高精度的应用场合，磁轴承具有极大的优越性，并已逐渐成为应用的主流。
我国对磁轴承的研究起步于80年代，国防科技大学、清华大学、哈尔滨工业大学、天津大学、上海交通大学等均开展了相应的研究。1994年，清华大学机电与控制实验室研制成功卧式五自由度磁轴承系统，转速高达53,200r/min，1997年成功进行了内圆磨削实验，1999年实现了数控，转速高达50,000r/min，回转精度lμm。1996年，哈尔滨工业大学研制成功数控机床用高刚度磁力轴承主轴，主轴转速20,000r/min，磨头端部刚度20N/μm，轴承处径向静刚度169N/μm，主轴运动误差小于25μm[5]，目前，正致力于磁轴承卫星飞轮应用技术的研究。同时，西安交通大学研制成功用于涡轮膨胀机的磁轴承系统。但到目前为止，开发的多数产品还处于实验室阶段，而且在承载刚度和承载能力方面距离大规模应用还有一定距离。国外磁轴承的价格十分昂贵，而且处于技术上保密的原因，不对国内
进行小批量磁轴承的出售。磁轴承能否产业化，其发展速度和水平关系着民族工业的前途，其市场潜力也非常巨大[6]。
(3) 现阶段磁悬浮轴承控制研究发展所面临的主要问题
1) 动态刚度的提高
在磁悬浮轴承的各项技术指标中，动态刚度是其中相当重要的一环，其大小决定着磁轴承能否在工业上应用，这也是现在磁轴承研究上的一个难点。磁轴承的动态刚度和阻尼不仅是系统参数的函数，而且是频率 的函数，故要使磁轴承系统动态刚度的提高可以通过改善系统各组成部分的硬件来达到，但通过这种方法提高的动态刚度有限，故更重要的是通过改变磁轴承控制器的结构来实现，即通过调整控制器的策略来实现。
2) 采用数字控制器
用模拟电路来实现控制器的功能，称之为模拟控制器，其优点有：成本较低，实现容易。但它有很多不足之处：参数调节很不方便，很难实现复杂的控制算法等。因此，今后磁轴承主要采用数字控制器，是磁轴承发展的必然趋势。数字控制器的主要优点有：
a) 在开发阶段，数字控制易于进行各种可能控制策略的试验，能够实现复杂的控制功能；
b) 数字控制器除了使被控装置稳定外，还可以承担大量额外任务，如设定点调整，自适应控制，不平衡补偿和其他机械误差补偿等。有些任务虽然采用模拟控制器也能实现，但数字控制可使专用硬件的数目大大减少；
c) 采用数字控制，可以更好地实现在线检测：载荷位移振动、轴承电流及其它允许工况，可以显示记录及远程传输；
d) 对意外和紧急情况以及相应的安全问题可以做出智能反映；
e) 系统的更新换代由于常常只涉及到软件而更为容易。
(4)磁悬浮轴承对控制器的要求
要根据物体的悬浮状态主动地调节磁场来保持物体自由稳定的悬浮状态，必须要有反馈控制系统来实现。磁悬浮轴承的控制器是磁轴承系统中最关键的部分，控制器的性能不仅决定了磁悬浮能否实现，而且还直接影响到轴承的回转精度和承载能力等关键指标。所以在整个磁轴承系统设计中，控制器的设计及优化工作显得尤为重要。磁轴承对控制器性能指标有以下几点要求：
1) 求磁轴承系统抗干扰能力强，即要求系统的增益大，保证定位精度高；
2) 系统的动态响应时间短；
3) 系统的阻尼特性好，系统的动态过程不应有大的超调量。
1.2课题的提出及意义
随着控制理论的发展以及对磁悬浮系统性能要求的不断提高，磁悬浮系统控制器需要实现的控制算法的复杂程度日渐加大。传统的模拟控制器虽然具有成本低、速度快、性能稳定、对控制算法适应良好等优点，但存在着参数调整不太方便，硬件结构不易改变等缺点，难以满足用户日益增高的要求。于是数字控制成为磁悬浮系统控制的主流趋势。
在磁悬浮系统控制中，普遍采用了基于DSP构建的数控平台。此平台难以克服其硬件成本高、开发周期长、延续性差、对用户软件、硬件能力要求高等缺点。开发一种低成本、高效率、易开发、易维护的控制器实验平台便成为迫切的需要。计算机技术的发展给控制系统开辟了新的途径，PC机作为控制器的试验平台有许多优势：
（1）程序具有移植性，不依赖于硬件。软件的可重用性好，后续的开发不必从头开始；
（2）能在图形界面下开发，充分利用PC机的开发优势，有强大的实时操作系统支持，可轻松实现多任务调度。通过多任务编程，能实时改变控制参数和控制算法，实时监控控制器的输入、输出和内部变量；
（3）数据采集卡不需自己开发，价格便宜，硬件平台构建方便；
（4）便于实现网络编程，可通过局域网进行远程监控；
（5）运算速度及实时性随着PC机的升级而自然升级，升级成本低，性能提升迅速。
当然，PC机平台在体积及稳定性方面比DSP平台有其劣势，但是就研究阶段作为控制器试验平台而言，它无疑是比DSP平台更好的选择。选择MATLAB 软件控制，免去了对DSP的硬件需求，从而降低了成本，且使用方便，人机界面友好。本课题研究的目的在于通过对磁悬浮控制系统研究，如果研究成功可以将其控制原理推广到多自由度磁悬浮控制系统，可以实现多自由度磁悬浮系统的数字控制。
1.3本论文的工作及主要内容
本论文的主要工作就是基于MATLAB设计出磁悬浮系统的PID控制器，运用个人计算机实现对磁悬浮系统的数字控制。
本论文分为以下章，各章内容安排如下：
第1章绪论：通过磁悬浮技术综述，介绍了磁悬浮方式的分类，磁悬浮控制技术的分类及磁悬浮技术的应用及展望；
第2章磁悬浮系统的结构与建模：以磁悬浮系统为例，介绍了磁悬浮系统的构成及工作原理，对这一系统建立数学模型，并分析了该系统的稳定性；
第3章控制器的设计：介绍了PID控制器的结构及对磁悬浮系统的影响，并对理想PID控制器，数字PID的构成及参数整定做了介绍，最后得出了适合本系统的PID参数；
第4章基于MATLAB的控制系统仿真：介绍了MATLAB软件、设计出PID控制器并仿真，得出仿真结果进行对比；
第5章总结与展望：对本论文所做的工作及贡献作了总结，并对进一步的研究与开发作了思考，提出了自己的见解。
第2章磁悬浮系统的结构与建模
2.1 简介
本文所使用的磁悬浮实验装置系统，是由固高科技有限公司所生产的磁悬浮实验装置GML1001。此磁悬浮实验装置由LED光源、电磁铁、光电传感器、功放模块、模拟量控制模块、数据采集卡和被控对象(钢球)等元器件组成，其结构简单，实验控制效果直观明了，极富有趣味性。它是一个典型的吸浮式悬浮系统。此系统可以分为磁悬浮实验本体、电控箱及由数据采集卡和普通PC机组成的控制平台等三大部分。系统组成框图见图2-1。
图2-1磁悬浮实验系统框图
2.1.1 磁悬浮实验本体
电磁铁绕组中通以一定的电流会产生电磁力,控制电磁铁绕组中的电流,使之产生的电磁力与钢球的重量相平衡,钢球就可以悬浮在空中而处于平衡状态。但是这种平衡状态是一种不稳定平衡。此系统是一开环不稳定系统。主要有以下
几个部分组成：箱体、电磁铁、传感器、激光发生器、悬浮体。磁悬浮实验本体见图2-2。
图2-2 磁悬浮实验本体
2.1.2 磁悬浮实验电控箱
电控箱内安装有如下主要部件：直流线性电源、传感器后处理模块、电磁铁驱动模块、空气开关、接触器、开关、指示灯等电气元件。磁悬浮实验电控箱见图2-3。
图2-3磁悬浮实验电控箱
2.1.3 磁悬浮实验平台
与IBM PC/AT机兼容的PC机（公司不提供），带PCI总线插槽，PCI1711
数据采集卡及其驱动程序演示实验软件。
磁悬浮系统是一个典型的非线性开环不稳定系统。电磁铁绕组中通以一定的电流会产生电磁力，控制电磁铁绕组中的电流，使之产生的电磁力与钢球的重力相平衡，钢球就可以悬浮在空中而处于平衡状态。但是这种平衡状态是一种开环不稳定的平衡，这是由于电磁铁与钢球之间的电磁力大小与它们之间的距离的平方成反比，只要平衡状态稍微受到扰动（如：加在电磁铁线圈上的电压产生脉动、周围的震动等），就会导致钢球掉下来或被电磁铁吸住，不能稳定悬浮，因此必须对系统实现闭环控制。由LED光源和传感器组成的测量装置检测钢球与电磁铁之间的距离变化，当钢球受到扰动下降，钢球与电磁铁之间的距离增大，传感器感受到光强的变化而产生相应的变化信号，经（数字或模拟）控制器调节、功率放大器放大处理后，使电磁铁控制绕组中的控制电流相应增大，电磁力增大，钢球被吸回平衡位置。
2.2磁悬浮系统的基本结构
磁悬浮控制系统由铁心、线圈、光位移传感器、控制器、功率放大器和被控对象(钢球)等元器件组成。它是一个典型的吸浮式悬浮系统。系统开环结构如图2-4所示。
图2-4 磁悬浮系统开环结构图
2.3 磁悬浮系统工作原理
电磁铁绕组中通以一定的电流会产生电磁力，控制电磁铁绕组中的电流，使之产生的电磁力与钢球的重力相平衡，钢球就可以悬浮于空中而处于平衡状态。但是这种平衡是一种不稳定平衡，这是由于电磁铁与钢球之间的电磁力的大小与它们之间的距离()x t 成反比，只要平衡状态稍微受到扰动(如：加在电磁铁线圈上的电压产生脉动、周围的振动、风等)，就会导致钢球掉下来或被电磁铁吸住，因此必须对系统实现闭环控制。由电涡流位移传感器检测钢球与电磁铁之间的距离()x t 变化，当钢球受到扰动下降，钢球与电磁铁之间的距离()x t 增大，传感器输出电压增大，经控制器计算、功率放大器放大处理后，使电磁铁绕组中的控制电流相应增大，电磁力增大，钢球被吸回平衡位置，反之亦然。
2.4 磁悬浮系统的数学模型
2.4.1 控制对象的运动方程
忽略小球受到的其他干扰力，则受控对象小球在此系统中只受电磁吸力F 和自身的重力mg 。球在竖直方向的动力学方程可以如下描述：
22()(,)d x t m mg F i x dt
=- (2-1) 式中x 为磁极到小球的气隙，单位为m ；m 为小球的质量，单位为g K ；(,)F i x 为电磁吸力，单位为N ；g 为重力加速度，单位为2/m s 。
2.4.2 系统的电磁力模型
由磁路的基尔霍夫定律、毕奥-萨伐尔定律和能量守恒定律有：
220220()(,)2(,)()2m AN i W i x AN i
x F i x x x x
μδδμδδ===- (2-2) 式中0μ为空气磁导率，70410/H m μπ-=?；A 为铁芯的极面积，单位为2m ；N 为电磁铁线圈匝数；x 为小球质心到电磁铁磁极表面的瞬时气隙，单位为m ；i 为电磁铁绕组中的瞬时电流，单位为A 。
由于上式中A 、N 、0μ均为常数，故可定义一常系数K
2
02AN K μ=- (2-3)
则电磁力可改写为：
2(,)()i F i x K x
= (2-4) 2.4.3 电磁铁中控制电压与电流的模型
电磁铁绕组上的瞬时电感与气隙间的关系如图2-5所示。
图2-5 电磁铁电感特性［Woodson,1968］
电磁铁通电后所产生的电感与小球到磁极面积的气隙有如下关系：
1()1L L x L x
a
=++
(2-5) 由上式可知：
110()L L x L L <≤+
(2-6) 又因为：
10L L >>
(2-7) 故有：
1()L x L ≈
(2-8) 根据基尔霍夫电压定律有：
[]
[][]1
()()()()()()()()m d t U t Ri t dt
d L x gi t Ri t dt d i t Ri t L dt
ψ=+=+
≈+
(2-9)
式中1L 为线圈自身的电感，单位为H ；0L 为平衡点处的电感，单位为H ；x 为小球到磁极面积的气隙，单位为m ；i 为电磁铁中通过的瞬时电流，单位为A ；R 为电磁铁的等效电阻，单位为Ω。
2.4.4 电磁铁平衡时的边界条件
当小球处于平衡状态时，其加速度为零，即所受合力为零，小球的重力等于小球受到的向上的电磁吸引力， 即：
2
0000
(,)(
)i mg F i x K x == (2-10) 2.4.5 电磁铁系统数学模型
综上所诉，描述磁悬浮系统的方程可完全由下面方程确定：
()22120000(,)()()(,)()(,)()d x
m mg F i x dt d i t U t Ri t L dt i F i x K x i mg F i x K x ?=-???????=+???
?=??
?==??
(2-11) 对电、力学关联方程线性化后，设系统的状态变量为123,,x x x x x i '===，则系统的状态空间方程为：
1130
0223
200331101002200100x x ki ki X x x U mx mx x x R L L ?
?
??
?
??' ? ????? ?
? ???''==-+ ? ? ??? ?
? ??'??? ? ???
?- ????
?
(2-12)