高一数学 指数函数平移问题
⑴y =12+x 与y =22+x . ⑵y =12-x 与y =22-x .
f (x )的图象
向左平移a 个单位得到f (x +a )的图象;向右平移a 个单位得到f (x -a )的图象; 向上平移a 个单位得到f (x )+a 的图象;向下平移a 个单位得到f (x )-a 的图象.
指数函数·经典例题解析
(重在解题方法)
【例1】求下列函数的定义域与值域:
(1)y 3
(2)y (3)y 12x
===-+---213321x x
解 (1)定义域为x ∈R 且x ≠2.值域y >0且y ≠1. (2)由2x+2-1≥0,得定义域{x|x ≥-2},值域为y ≥0.
(3)由3-3x-1≥0,得定义域是{x|x ≤2},∵0≤3-3x -1<3,∴值域是≤<.0y 3 及时演练求下列函数的定义域与值域 (1)4
12
-=x y ; (2)||
2()3
x y =; (3)12
41
++=+x x y ;
【例2】指数函数y =a x ,y =b x ,y =c x ,y =d x 的图像如图2.6-2所示,则a 、b 、c 、d 、1之间的大小关系是 [ ]
A .a <b <1<c <d
B .a <b <1<d <c
C . b <a <1<d <c
D .c <d <1<a <b
解 选(c),在x 轴上任取一点(x ,0),则得b <a <1<d <c . 及时演练 指数函数①
②
满足不等式
,则它们的图象是 ( ).
【例3】比较大小:
(1)2(2)0.6
、、、、的大小关系是:.
2481632
358945
12--()
(3)4.54.1________3.73.6
解(1)y 221()x ∵,,,,,函数=,>,该函数在-∞,+∞上是增函数,
又<<<<,∴<<<<.
22224282162133825491
2
2841621
2
3
13
5
25
8
38
9
49
3859=====
解 (2)0.6110.6
∵>,>,
∴>.
-
---45
12
45
12
32
32
()()
解 (3)借助数4.53.6打桥,利用指数函数的单调性,4.54.1>4.53.6,作函数y 1=4.5x ,y 2=3.7x 的图像如图2.6-3,取x =3.6,得4.53.6>3.73.6∴ 4.54.1>3.73.6.
说明 如何比较两个幂的大小:若不同底先化为同底的幂,再利用指数函数的单调性进行比较,如例2中的(1).若是两个不同底且指数也不同的幂比较大小时,有两个技巧,其一借助1作桥梁,如例2中的(2).其二构造一个新的幂作桥梁,这个新的幂具有与4.54.1同底与3.73.6同指数的特点,即为4.53.6(或3.74.1),如例2中的(3). 及时演练(1)1.72.5与
1.73
( 2 )0.1
0.8
-与0.2
0.8
- ( 3 )
1.70.3 与0.93.1
(4)
5
.31
.2和
7
.20
.2
【例4】解
比较大小与>且≠,>.
当<<,∵>,>,
a a a
a
a
n n n n n n n
n n n
n n -+-+-=-111
1
111
1(a 0a 1n 1)0a 1n 10()
()
∴<,∴<当>时,∵>,>,
∴>,>a
a a n n a
a a n n n n n n n n n n n n 1111
1111
1
1()
()
()--+--+-1a 1n 101
【例5】已知函数f(x)=a -
1
2x +1,若f(x)为奇函数,则a =________.
【解析】 解法1:∵f(x)的定义域为R ,又∵f(x)为奇函数,∴f(0)=0,即a -120+1=0.∴a =1
2.
解法2:∵f(x)为奇函数,∴f(-x)=-f(x),即a -12-x +1=12x +1-a ,解得a =1
2.【答案】 12
【例6】解求函数=的单调区间及值域.
令=-+,则=是关于的减函数,而=--+y u x 5x 6y u u x 5x
x 2
5x 622()()34
3
4
u
+在∈∞,上是减函数,在∈,∞上是增函数.∴函数
=的单调增区间是∞,,单调减区间是,∞.
-+6x x y x 25x 6(][)()(][)-+-+525
2
345252
又∵=-+=≥,
函数=,在∈,∞上是减函数,
所以函数=的值域是,.
-+u x 5x 6y u y 2
x 25x 6()()[)()(]x u ----+52141
4
341
4
340108
324
【例7】解求函数=+≥的单调区间及它的最大值.
=,令=,∵≥,∴<≤,又∵=是∈,+∞上的减函数,函数=y 1(x 0) y u x 00u 1u x 0)y ()()[()]()[()]()()[()141
2
121211212341
2
121
2
222
x x x x x x x u --+=-+-
+-3401212121
2
1212141
2
在∈,上为减函数,在,上是增函数.但由<≤得≥,由≤≤,得≤≤,∴函数=+单调增区间是,+∞,单调减区间,u 1)0x 110x 1y 11)[01]
(][()()()()[x x x x
当x =0时,函数y 有最大值为1.
【例8】已知=>f(x)(a 1)a a x x -+1
1
(1)判断f(x)的奇偶性; (2)求f(x)的值域; (3)证明f(x)在区间(-∞,+∞)上是增函数. 解 (1)定义域是R .
f(x)f(x)-==-,a a a a x x x x ---+=--+111
1
∴函数f(x)为奇函数.
(2)y y 1a 1y 1x 函数=,∵≠,∴有=>-<<,a a y y y y x x -+---=+-?11
111
10即f(x)的值域为(-1,1).
(3)设任意取两个值x 1、x 2∈(-∞,+∞)且x 1<x 2.f(x 1)-f(x 2)
==,∵>,<,<,++>,∴<,故在上为增函数.
a a a a a a a a a a a a x l x l x x x l x x l x
x x x x -+-+--++112121*********()
()()a 1x x (1)(1)0f(x )f(x )f(x)R 1212
实用标准 指数函数·例题解析 第一课时 【例1】(基础题)求下列函数的定义域与值域: (1)y 3 (2)y (3)y 1 2x ===-+---213321x x 解 (1)定义域为{x|x ∈R 且x ≠2}.值域{y|y >0且y ≠1}. (2)由2x+2-1≥0,得定义域{x|x ≥-2},值域为{|y|y ≥0}. (3)由3-3x-1≥0,得定义域是{x|x ≤2},∵0≤3-3x -1<3, ∴值域是≤<.0y 3 1.指数函数Y=ax (a>0且a ≠1)的定义域是R ,值域是(0,+∞) 2. 求定义域的几个原则:①含根式(被开方数不为负)②含分式,分母不为0③形如a0,(a ≠ 0) 3. 求函数的值域:①利用函数Y=ax 单调性②函数的有界性(x2≥0;ax>0)③换元法.如:y=4x+6×2x-8(1≤x ≤2) 先换元,再利用二次函数图象与性质(注意新元的范围)
【例2】(基础题)指数函数y=a x,y=b x,y=c x,y=d x的图像如图2.6-2所示,则a、b、c、d、1之间的大小关系是 [ ] A.a<b<1<c<d B.a<b<1<d<c C.b<a<1<d<c D.c<d<1<a<b 解选(c),在x轴上任取一点(x,0),则得b<a<1<d<c.
【例3】(基础题)比较大小: (1)2(2)0.6 、、、、的大小关系是:. 2481632 35894 5 12--() (3)4.54.1________3.73.6 解(1)y 221()x ∵,,,,,函数=,>,该函数在-∞,+∞上是增函数,又<<<<,∴<<<<.22224282162133825491 2 28416212313525838949 3859=====
升腾教育高一数学 满分150分 姓名 一、选择题(每题4分,共40分) 1、下列四组对象,能构成集合的是 ( ) A 某班所有高个子的学生 B 著名的艺术家 C 一切很大的书 D 倒数等于它自身的实数 2、集合{a ,b ,c }的真子集共有 个 ( ) A 7 B 8 C 9 D 10 3、若{1,2}?A ?{1,2,3,4,5}则满足条件的集合A 的个数是 ( ) A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 4、若U={1,2,3,4},M={1,2},N={2,3},则C U (M ∪N )= ( ) A . {1,2,3} B. {2} C. {1,3,4} D. {4} 5、方程组 1 1x y x y +=-=- 的解集是 ( ) A .{x=0,y=1} B. {0,1} C. {(0,1)} D. {(x,y)|x=0或y=1} 6、以下六个关系式:{}00∈,{}0??,Q ?3.0, N ∈0, {}{},,a b b a ? , {}2 |20,x x x Z -=∈是空集中,错误的个数是 ( ) A 4 B 3 C 2 D 1 8、设集合A=} { 12x x <<,B=} { x x a <,若A ?B ,则a 的取值范围是 ( ) A } { 2a a ≥ B } { 1a a ≤ C } { 1a a ≥ D } { 2a a ≤ 9、 满足条件M U }{1=}{ 1,2,3的集合M 的个数是 ( ) A 1 B 2 C 3 D 4
二、填空题 11、若}4,3,2,2{-=A ,},|{2 A t t x x B ∈==,用列举法表示B 12、集合A={x| x 2 +x-6=0}, B={x| ax+1=0}, 若B ?A ,则a=__________ 13、设全集U={ } 2 2,3,23a a +-,A={}2,b ,C U A={} 5,则a = ,b = 。 14、集合{}33|>-<=x x x A 或,{}41|><=x x x B 或,A B ?=____________. 三、解答题 17、已知集合A={x| x 2 +2x-8=0}, B={x| x 2 -5x+6=0}, C={x| x 2 -mx+m 2 -19=0}, 若B ∩C ≠Φ,A∩C=Φ,求m 的值 18、已知二次函数f (x )=2 x ax b ++,A=}{ }{ ()222x f x x ==,试求 f ()x 的解析式 19、已知集合{}1,1A =-,B=} { 2 20x x ax b -+=,若B ≠?,且A B A ?= 求实数 a , b 的值。
指数函数及其基本性质 指数函数的定义 一般地,函数()10≠>=a a a y x 且叫做指数函数,其中x 是自变量,函数的定义域是R . 问题:指数函数定义中,为什么规定“10≠>a a 且”如果不这样规定会出现什么情况? (1)若a<0会有什么问题?(如2 1 ,2= -=x a 则在实数范围内相应的函数值不存在) (2)若a=0会有什么问题?(对于0≤x ,x a 无意义) (3)若 a=1又会怎么样?(1x 无论x 取何值,它总是1,对它没有研究的必要.) 师:为了避免上述各种情况的发生,所以规定0>a 且 1≠a . 指数函数的图像及性质 函数值的分布情况如下:
指数函数平移问题(引导学生作图理解) 用计算机作出的图像,并在同一坐标系下作出下列函数的图象,并指出它们与指数函数y =x 2的图象的关系(作图略), ⑴y =1 2+x 与y =2 2+x . ⑵y =12 -x 与y =2 2 -x . f (x )的图象 向左平移a 个单位得到f (x +a )的图象; 向右平移a 个单位得到f (x -a )的图象; 向上平移a 个单位得到f (x )+a 的图象; 向下平移a 个单位得到f (x )-a 的图象.
指数函数·经典例题解析 (重在解题方法) 【例1】求下列函数的定义域与值域: (1)y 3 (2)y (3)y 12x ===-+---213321x x 解 (1)定义域为x ∈R 且x ≠2.值域y >0且y ≠1. (2)由2x+2-1≥0,得定义域{x|x ≥-2},值域为y ≥0. (3)由3-3x-1≥0,得定义域是{x|x ≤2},∵0≤3-3x -1<3, ∴值域是≤<.0y 3 及时演练求下列函数的定义域与值域 (1)4 12-=x y ; (2)|| 2()3 x y =; (3)1241++=+x x y ; 【例2】指数函数y =a x ,y =b x ,y =c x ,y =d x 的图像如图2.6-2所示,则a 、b 、c 、d 、1之间的大小关系是 [ ] A .a <b <1<c <d B .a <b <1<d <c C . b <a <1<d <c D .c <d <1<a <b 解 选(c),在x 轴上任取一点(x ,0),则得b <a <1<d <c . 及时演练
高考数学-指数函数图像和性质及经典例题 【基础知识回顾】 一、指数公式部分 有理指数幂的运算性质 (1)r a ·s r r a a += ),,0(Q s r a ∈>; (2)rs s r a a =)( ),,0(Q s r a ∈>; (3)s r r a a a b =)( ),0,0(Q r b a ∈>>. 正数的分数指数幂的意义 )1,,,0(*>∈>=n N n m a a a n m n m )1,,,0(1 1*>∈>= = - n N n m a a a a n m n m n m 二、指数函数 1.指数函数的概念:一般地,函数)1a ,0a (a y x ≠>=且叫做指数函数,其中x 是自变量,函数的定义域为R . 2.指数函数的图象和性质 1.在同一坐标系中画出下列函数的图象: (1)x )31(y = (2)x )2 1 (y = (3)x 2y = (4)x 3y = (5)x 5y =
【指数函数性质应用经典例题】 例1.设a 是实数, 2 ()()21 x f x a x R =- ∈+,试证明:对于任意,()a f x 在R 上为增函数. 证明:设1212,,x x R x x ∈<,则 12()()f x f x -12 22()()2121 x x a a =- --++ 21222121 x x = - ++ 121 22(22)(21)(21) x x x x -=++, 由于指数函数2x y =在R 上是增函数, 且12x x <, 所以1222x x < 即1 2220x x -<, 又由20x >, 得1 1 20x +>,2120x +>, ∴12()()0f x f x -< 即12()()f x f x <, 所以,对于任意,()a f x 在R 上为增函数. 例2.已知函数2 ()1 x x f x a x -=+ +(1)a >, 求证:(1)函数()f x 在(1,)-+∞上为增函数;(2)方程()0f x =没有负数根.