全国高中数学联合竞赛试题（A 卷）
一试
一、填空题（本大题共8小题，每小题8分，共64分）
1. 若正数,a b 满足()2362log 3log log a b a b +=+=+，则11
a b
+的值为________．
答案：设连等式值为k ，则2
3
2
,3
,6k k k
a b a b --==+=，可得答案108
分析：对数式恒等变形问题，集训队讲义专门训练并重点强调过
2. 设集合3|12b a b a ??
+≤≤≤????中的最大元素与最小你别为,M m ，则M m -的值为______．
答案：33251b a +≤+=
，33
b a a a
+≥+≥
，均能取到，故答案为5-分析：简单最值问题，与均值、对勾函数、放缩有关，集训队讲义上有类似题 3. 若函数()21f x x a x =+-在[0,)+∞上单调递增，则实数a 的取值范围是______．
答案：零点分类讨论去绝对值，答案[]2,0-
分析：含绝对值的函数单调性问题，集训队讲义专门训练并重点强调过
4. 数列{}n a 满足12a =，()()*1221n n n a a n N n ++=∈+，则
2014
122013a a a a =+++______． 答案：()1221
n n n a
a n ++=+，迭乘得()121n n a n -=+，()212232421n n S n -=+?+?+++，
乘以公比错位相减，得2n n S n =，故答案为2015
2013
．
分析：迭乘法求通项，等差等比乘积求前n 项和，集训队讲义专门训练并重点强调过
5. 正四棱锥P ABCD -中，侧面是边长为1的正三角形，,M N 分别是边,AB BC 的中点，则异面直线MN
与PC 之间的距离是
________．
答案：OB 为公垂线方向向量，故距离为12OB =分析：异面直线距离，也可以用向量法做，集训队讲义专门练并重点强调过
6. 设椭圆Γ的两个焦点是12,F F ，过点1F 的直线与Γ交于点,P Q ．若212PF F F =，且1134PF QF =，则
椭圆Γ的短轴与长轴的比值为________．
答案：不妨设焦点在x 轴（画图方便），设114,3PF QF ==，焦距为2c ，224a c =+，
可得△2PQF 三边长为7,21,2c c +
，过2F 作高，利用勾股可得5c =． 分析：椭圆中常规计算，与勾股定理、解三角形、斯特瓦尔特等有关，集训队讲义训练过相关
7. 设等边三角形ABC 的内切圆半径为2，圆心为I ．若点P 满足1PI =，则△APB 与△APC 的面积之
比的最大值为________．
答案：sin sin APB APC S PAB
S PAC ∠=∠，又两角和为60
最大，即AP 与
(),1I 切于对称轴右侧
2
分析：平面几何最值、面积、三角函数、轨迹
8. 设,,,A B C D 是空间中四个不共面的点，以
1
2
的概率在每对点之间连一条边，任意两点之间是否连边是相互独立的，则,A B 之间可以用空间折线（一条边或者若干条边组成）连结的概率为_______． 答案：总连法64种，按由A 到B 最短路线的长度分类．长度为1，即AB 连其余随意，32种； 长度为2，即AB 不连，ACB 或ADB 连，其余随意，ACB 连8种，故共88214+-=种 （一定注意,ACB ADB 同时连被算了2次，根据CD 是否连有2种情形）；长度为3，两种情形
考虑ACDB ，ACDB 连、,,AB CB AD 均不连只有1种，故连法为2种；综上，答案483
644
=
分析：组合计数，分类枚举，难度不大但容易算错，集训队讲义训练过类似题目
二、解答题（本大题共3小题，共56分）
9. （本题满分16分）平面直角坐标系xOy 中，P 是不在x 轴上的一个动点，满足条件：过P 可作抛物
线24y x =的两条切线，两切点连线P l 与PO 垂直．设直线P l 与直线PO ，x 轴的交点分别为,Q R ． （1）证明：R 是一个定点；
（2）求PQ
QR
的最小值．
答案：（1）设(),P a b ，()()1122,,,A x y B x y ，0,0a b ≠≠，()11:2PA yy x x =+，()22:2PB yy x x =+ 故,A B 两点均适合方程()2by a x =+，利用垂直，可得2a =-，故交点为定点()2,0
（2）∵2a =-，故,2
PO PR b b
k k =-=-，设OPR α∠=，则α为锐角，1tan PQ QR α=，利用两角差 的正切公式，可得282PQ b QR b
+
=≥． 分析：涉及圆锥曲线切点弦方程、两直线夹角公式、不等式求最值，集训队讲义专门训练并重点过
10. （本题满分20分）数列{}n a 满足16a π
=，()()
*1arctan sec n n a a n N +=∈．求正整数m ，使得
121
sin sin sin 100m a a a ???=． 答案：由反函数值域，知,22n a ππ??
∈- ?
??，2222132tan sec tan 1tan 3n n n n a a a +-==+==，
1212112122311tan tan tan tan tan tan tan sin sin sin sec sec sec tan tan tan tan m m m m m m a a a a a a a a a a a a a a a a a ++???=?=?==故3333m =
分析：涉及简单反三角函数、数列通项公式求法，集训队讲义对类似题目进行过训练
11. （本题满分20分）确定所有的复数α，使得对任意复数()121212,,1,z z z z z z <≠，均有
()
()2
2
1122z z z z αααα++≠++．
答案：转换命题为计算存在12,z z 使得相等时的充要条件
存在12,z z 使得相等，记()()2
f z z z αα=++，()()()()()
1212121220f z f z z z z z z z αα-=++-+-=， 则()
()()1212122z z z z z z αα-=-++-，故12122222z z z z a ααα=++≥-->-， 故2α<； 若2α<，令12,22
z i z i α
α
ββ=-
+=-
-，其中012α
β<<-
，则12z z ≠，12
2
i α
α
ββ-
±≤-
+<，
计算121212,2,2z z z z i z z i αββ+=--=-=-并代入，知()()12f z f z =．
综上，满足条件的α为,2Z αα∈≥
二试
一、（本题满分40分）设实数,,
a b c满足1
a b c
++=，0
abc>
．求证：
1
4
ab bc ca
++<．
a b c
≥≥
>，则
1
a≥
1
c≤．
)
ab bc ca c
++-+
?
1
2
c
-
，故有
()(
)11
11
22
c c c
c c
c c
?
--
-≤-+-
???
由于
111
0,3
333
c
-≥
+≥>310
c->，故原不等式成立．
方法2：不妨设0
a b c
≥≥>，则
1
3
a≥c，设(
)()
1
f b ab bc ca ab c c
=++=+-
，
()
f b递增
f
?，()())()
1
f b a
b a b a b
?
'=--=-
?
，
(
)010
f b
'≥?≥?≤≥
故()
f b a；
题目转化为21
a
c
+=，a c
≥，记()()
22
2212
g a a ac a a a
=+-=+--
()()
2
62621
g a a a
?
'=-+=-?
?
，由于
1
3
a≥1
=，得
15
32
a=，115
,
332
a
??
∈ ?
??
时g'
151
,
322
?
?
??
时()
g a在
1
3
或
1
2max
11
24
g g
??
==
?
??
分析：一道偏函数化的不等式题，可以将其放缩为一元函数，也可以拿导数与调整法很快做出来，
集训队讲义上两种方法都训练过．
二、（本题满分40分）在锐角三角形ABC中，60
BAC
∠≠，过点,B C分别作三角形ABC的外接圆的切线,
BD CE，且满足BD CE BC
==．直线DE与,
AB AC的延长线分别交于点,F G．设CF与BD交于点M，
CE与BG交于点N．证明：AM AN
=．
答案：设△ABC三边为,,
a b c，则BD CE a
==，先计算AM，
∵,
BFD ABC BDF DBC BAC
∠=∠∠=∠=∠，
∴△BFD∽△CBA．由比例可知
ac
DF
b
=，
故
BM BC b
BD
DF c
==，故
ab
BM
b c
=
+
，故由余弦定理知
()
2
222cos
ab ab
AM c c A B
b c b c
??
=+-?+
?
++
??
2
2
2
cos
ab abc
c C
b c b c
??
=++
?
++
??
，整理可得此式关于,b c对称
故可知22
AM AN
=
分析：由于一旦,,
a b c三边确定则图形固定，
所以通过相似、比例、余弦定理计算的思路比较显然G
F E
D
三、（本题满分50分）设{}1,2,3,,100S =．求最大的整数k ，使得S 有k 个互不相同的非空子集，具有
性质：对这k 个子集中任意两个不同子集，若它们的交非空，则它们交集中的最小元素与这两个子集中的最大元素均不相同．
答案：一方面，取包含1的、至少含2个元素的所有子集，共9921-个，显然满足题意； 另外归纳证对于{}1,2,3,
,S n =，任取()123n n -≥个子集，均存在两个的交集中最小的等于某个中最大的
当3n =时，将7个非空子集分为三类：{}{}{}31,32,3，{}{}21,2，{}{}11,2,3．任取四个必有两个同类． 假设n k =时命题成立，当1n k =+时，如果取出的2k 个子集中至少有12k -个不含1k +，利用归纳假设知成 立；如果不含1k +的不足12k -，则至少有121k -+个含有1k +，而S 含有1k +的子集共2k 个，可以配成12k - 对，使得每对中除了公共元素1k +外，其余恰为1到n 的互补子集，这样，如果选出121k -+个，则必有两 个除1k +外不交，故命题成立． 综上，k 的最大值为9921-．
分析：集合中的组合最值问题，比较常规的一道题，类似感觉的题集训队讲义在组合中的归纳法中有过
四、（本题满分50分）设整数122014,,,x x x 模2014互不同余，整数122014,,
,y y y 模2014也互不同余．证
明：可将122014,,
,y y y 重新排列为122014,,,z z z ，使得112220142014,,
,x z x z x z +++模4028互不同余．
答案：不妨设()mod 2014i i x y i ≡≡，1,2,
,2014i =．下面对i y 序列进行1007次调整从而构成i z 序列：
若i i x y +与10071007i i x y +++模4028不同余，则1007,i i y y +不调整；否则，交换1007,i i y y +位置，1,2,,2014i =．
下证，进行1007次调整后，得到的i z 序列一定满足条件． 任意挑选一列()1,2,
,1007i i x z i +=，
只需证其与10071007i i x z +++、()1,2,
,1007,j j x z j j i +=≠、10071007j j x z +++模4028不同余即可
由i z 构造方法，i i x z +与10071007i i x z +++不同余是显然的，因为不可能调整前后均同余，故只需看另两个； 首先，对于不同的,i j ，2i 与2j 模4028不同余，否则会导致()mod 2014i j ≡．
若,i j y y 均未调整，则()2mod 2014i i x z i +≡，()100710072mod 2014j j j j x z x z j +++≡+≡，故成立；
若,i j y y 均已调整，则()21007mod 2014i i x z i +≡+，()1007100721007mod 2014j j j j x z x z j +++≡+≡+，故成立； 若只有一个被调整过，不妨设i y 未调整、j y 已调整，则()2mod 2014i i x z i +≡， ()1007100721007mod 2014j j j j x z x z j +++≡+≡+，
若()4028|21007i j --，则()1007|i j -，矛盾，故同样成立． 综上，构造的i z 序列满足条件．
全国高中数学联赛试题及解答
2014高中联赛试题分析
从试题类型来看，今年代数、几何、数论、组合4部分所占的比例为：代数37.3%，几何26.7%，数论16.7%，组合19.3%．这方面和历年情况差不多，但具体的知识点差别极大．
一试第7题填空题可谓出人意表，虽然解答是用三角函数的方法处理的，对比历年试题，这题毫无疑问也是顶替了三角函数的位置．但本题却是一道彻头彻尾的平面几何题．从图中不难看出，最值情况在相切时取到，剩下的只是利用三角函数处理了一下计算上的问题．
其余填空题中，第1~6题和往年出题风格类似，第8题概率计算略显突兀，本题几乎不需要用到计数的技巧，而是用单纯枚举的方法即可解决．放在填空题最后一题的位置不免显得难度不够．一试三道解答题中，第9题和第10题均不太难，所考知识点也和往年类似，无需多说．第11题又再次爆了冷门，考了一道复数问题．联赛已经多年没有考复数的大题了，许多学生都没有准备．可以说，这次一下戳中了学生的罩门．相信本题最终的得分率不容乐观．
而本次试题中最特殊的要数加试中的平面几何题了．一反从1997年开始保持到如今的惯例，没有将平面几何题放在加试的第一题．而且本题实则为《中等数学》2012年第12期中的数学奥利匹克高中训练题中的原题，这无疑又让此题失色不少．
今年的加试第一题放了一道不等式问题，虽然近几年不等式考察得较少，但是不等式一直是数学竞赛中的热门，在历年联赛中多有出现．考虑到本题难度并不大，放在联赛加试第一题还是非常合适的．加试第三题组合最值问题的出题风格一如既往，可以从很极端的情况下猜出答案，再进行证明．值得
全国高中数学联赛试题及解答
一提的是本题题干描述有歧义，最后一句“则它们交集中的最小元素与这两个子集中的最大元素均不相同”中，记最小元素为a ，两个最大元素为b 和c ．本句话中到底是指a 、b 、c 这3个数互不相同还是指a b ≠且a c ≠，无疑是容易让人误解的．希望今后联赛试题中能避免出现这种情况．
加试第四题虽说考察的是数论中的同余知识，但更多考察的是构造法技巧，这也符合联赛加试中试题综合各方面知识的出题思想．从难度上来说本题难度不算太大，只要能从较小的数开始构造并寻找规律，找出2014的构造并不显得困难．但本题的出题背景无疑和以下题目相关：“n 为给定正整数，()
122,,,n x x x 和()122,,
,n y y y 均为1~2n 的一个排列，则112222,,
,n n x y x y x y +++这2n 个数不可能模2n 互不同余．
” 总的说来，本次联赛考察的知识点和往年比差别较大，但从试卷难度来说，和前两年是相当的．预计今年联赛的分数线可能比去年略低．