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第六章 6.3数列

§6.3等比数列及其前n项和

1．等比数列的有关概念

(1)定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数(不为零)，那么这个数列叫做等比数列．这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q 表示，定义的表达式为

a n ＋1

a n

＝q (n ∈N *，q 为非零常数)． (2)等比中项：如果a ，G ，b 成等比数列，那么G 叫做a 与b 的等比中项．即G 是a 与b 的等比中项?a ，G ，b 成等比数列?G 2＝ab . 2．等比数列的有关公式 (1)通项公式：a n ＝a 1q n －

1. (2)前n 项和公式：

S n ＝????

na 1(q ＝1)，a 1(1－q n )1－q ＝a 1－a n q 1－q (q ≠1).

3．等比数列的常用性质

(1)通项公式的推广：a n ＝a m ·q n －

m (n ，m ∈N *)．

(2)若m ＋n ＝p ＋q ＝2k (m ，n ，p ，q ，k ∈N *)，则a m ·a n ＝a p ·a q ＝a 2k

. (3)若数列{a n }，{b n }(项数相同)是等比数列，则{λa n }，????

??1a n ，{a 2n }，{a n ·

b n }，????

a n

b n (λ≠0)仍然是等比数列．

(4)在等比数列{a n }中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即a n ，a n ＋k ，a n ＋2k ，a n ＋3k ，…为等比数列，公比为q k .

4．在等比数列{a n }中，若S n 为其前n 项和，则S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 也成等比数列(n 为偶数且q ＝－1除外)．

概念方法微思考

1．将一个等比数列的各项取倒数，所得的数列还是一个等比数列吗？若是，这两个等比数列的公比有何关系？

提示仍然是一个等比数列，这两个数列的公比互为倒数．

2．任意两个实数都有等比中项吗？

提示不是．只有同号的两个非零实数才有等比中项．

3．“b2＝ac”是“a，b，c”成等比数列的什么条件？

提示必要不充分条件．因为b2＝ac时不一定有a，b，c成等比数列，比如a＝0，b＝0，c ＝1.但a，b，c成等比数列一定有b2＝ac.

题组一思考辨析

1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)

(1)满足a n＋1＝qa n(n∈N*，q为常数)的数列{a n}为等比数列．(×)

(2)如果数列{a n}为等比数列，则数列{ln a n}是等差数列．(×)

(3)数列{a n }的通项公式是a n ＝a n

，则其前n 项和为S n ＝a (1－a n )

1－a

.( × )

(4)数列{a n }为等比数列，则S 4，S 8－S 4，S 12－S 8成等比数列．( × ) 题组二教材改编

2．已知{a n }是等比数列，a 2＝2，a 5＝1

4，则公比q ＝______.

答案 12

解析由题意知q 3＝a 5a 2＝18，∴q ＝1

3．公比不为1的等比数列{a n }满足a 5a 6＋a 4a 7＝18，若a 1a m ＝9，则m 的值为( ) A ．8 B ．9 C ．10 D ．11 答案 C

解析由题意得，2a 5a 6＝18，a 5a 6＝9，∴a 1a m ＝a 5a 6＝9，∴m ＝10. 题组三易错自纠

4．若1，a 1，a 2,4成等差数列，1，b 1，b 2，b 3,4成等比数列，则a 1－a 2

b 2的值为________．

答案－1

解析 ∵1，a 1，a 2,4成等差数列， ∴3(a 2－a 1)＝4－1，∴a 2－a 1＝1.

又∵1，b 1，b 2，b 3,4成等比数列，设其公比为q ，

则b 22＝1×4＝4，且b 2＝1×q 2

>0，∴b 2＝2，

∴

a 1－a 2

b 2＝－(a 2－a 1)b 2＝－1

. 5．设S n 为等比数列{a n }的前n 项和，8a 2＋a 5＝0，则S 5

S 2＝________.

答案－11

解析设等比数列{a n }的公比为q ， ∵8a 2＋a 5＝0，∴8a 1q ＋a 1q 4＝0. ∴q 3＋8＝0，∴q ＝－2，

∴S 5S 2＝a 1(1－q 5

)1－q ·1－q a 1(1－q 2)

＝1－q 51－q 2＝1－(－2)51－4

＝－11. 6．一种专门占据内存的计算机病毒开机时占据内存1 MB ，然后每3秒自身复制一次，复制后所占内存是原来的2倍，那么开机________秒，该病毒占据内存8 GB.(1 GB ＝210 MB) 答案 39

解析由题意可知，病毒每复制一次所占内存的大小构成一等比数列{a n }，且a 1＝2，q ＝2，∴a n ＝2n ，

则2n ＝8×210＝213，∴n ＝13. 即病毒共复制了13次． ∴所需时间为13×3＝39(秒).

等比数列基本量的运算

1．(2020·晋城模拟)设正项等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 2＝3，S 4＝15，则公比q 等于( ) A ．5 B ．4 C ．3 D ．2 答案 D

解析因为S 2＝3，S 4＝15，S 4－S 2＝12，

所以?????

a 1＋a 2＝3，a 3＋a 4＝12，

两个方程左右两边分别相除，得q 2＝4，因为数列是正项等比数列，

所以q ＝2，故选D.

2．(2019·全国Ⅲ)已知各项均为正数的等比数列{a n }的前4项和为15，且a 5＝3a 3＋4a 1，则a 3等于( )

A ．16

B ．8

C ．4

D ．2 答案 C

解析设等比数列{a n }的公比为q ，由a 5＝3a 3＋4a 1得q 4＝3q 2＋4，得q 2＝4，因为数列{a n }的各项均为正数，所以q ＝2，又a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝a 1(1＋q ＋q 2＋q 3)＝a 1(1＋2＋4＋8)＝15，所以a 1＝1，所以a 3＝a 1q 2＝4.

3．(2019·全国Ⅰ)记S n 为等比数列{a n }的前n 项和．若a 1＝13，a 24＝a 6，则S 5＝________. 答案

121

解析设等比数列{a n }的公比为q ，因为a 24＝a 6，所以(a 1q 3)2＝a 1q 5

，所以a 1q ＝1，又a 1＝13，所以q ＝3，所以S 5＝a 1(1－q 5)

1－q ＝1

3×(1－35)1－3

＝121

4．(2018·全国Ⅲ)等比数列{a n }中，a 1＝1，a 5＝4a 3. (1)求{a n }的通项公式；

(2)记S n 为{a n }的前n 项和，若S m ＝63，求m . 解 (1)设{a n }的公比为q ，由题设得a n ＝q n －1. 由已知得q 4＝4q 2，解得q ＝0(舍去)，q ＝－2或q ＝2. 故a n ＝(－2)n －1或a n ＝2n －1(n ∈N *)． (2)若a n ＝(－2)n －1，则S n ＝1－(－2)n

由S m ＝63得(－2)m ＝－188，此方程没有正整数解．若a n ＝2n －1，则S n ＝2n －1. 由S m ＝63得2m ＝64，解得m ＝6. 综上，m ＝6.

思维升华 (1)等比数列的通项公式与前n 项和公式共涉及五个量a 1，a n ，q ，n ，S n ，已知其中三个就能求另外两个(简称“知三求二”)．

(2)运用等比数列的前n 项和公式时，注意对q ＝1和q ≠1的分类讨论．

等比数列的判定与证明

例1 (2019·衡阳模拟)已知数列{a n }，{b n }满足a 1＝1，b 1＝12，2a n ＋1＝a n ＋12b n ,2b n ＋1＝1

2a n ＋b n .

(1)证明：数列{a n ＋b n }，{a n －b n }为等比数列； (2)记S n 为数列{a n }的前n 项和，证明：S n <10

证明

(1)依题意，有??

n ＋1＝a n ＋

12b n

，2b

n ＋1＝1

a n ＋

b n ，

两式相加得，a n ＋1＋b n ＋1＝3

4(a n ＋b n )，

又∵a 1＋b 1＝3

≠0，

∴{a n ＋b n }为首项为32，公比为3

4的等比数列，

两式相减得，a n ＋1－b n ＋1＝1

4(a n －b n )，

又∵a 1－b 1＝1

≠0，

∴{a n －b n }为首项为12，公比为1

4的等比数列．

(2)由(1)可得，a n ＋b n ＝32????34n －1

，①

a n －

b n ＝12????14n －1

，②

①＋②得，a n ＝????14n ＋????34n

，

∴S n ＝14????1－14n 1－14＋34????1－3n 4n 1－34 <141－14＋3

41－34＝103.

思维升华判定一个数列为等比数列的常见方法

(1)定义法：若a n ＋1

a n

＝q (q 是不为零的常数)，则数列{a n }是等比数列．

(2)等比中项法：若a 2n ＋1＝a n a n ＋2(n ∈N *，a n ≠0)，则数列{a n }是等比数列．

(3)通项公式法：若a n ＝Aq n (A ，q 是不为零的常数)，则数列{a n }是等比数列．跟踪训练1 已知数列{a n }满足对任意的正整数n ，均有a n ＋1＝5a n －2·3n ，且a 1＝8. (1)证明：数列{a n －3n }为等比数列，并求数列{a n }的通项公式； (2)记b n ＝a n

3n ，求数列{b n }的前n 项和T n .

解 (1)因为a n ＋1＝5a n －2·3n ，

所以a n ＋1－3n ＋1＝5a n －2·3n －3n ＋1＝5(a n －3n )，又a 1＝8，所以a 1－3＝5≠0，

所以数列{a n －3n }是首项为5，公比为5的等比数列．所以a n －3n ＝5n ，所以a n ＝3n ＋5n .

(2)由(1)知，b n ＝a n 3n ＝3n ＋5

n ＝1＋????53n ，则数列{b n }的前n 项和

T n ＝1＋????531＋1＋????532＋…＋1＋????53n ＝n ＋53????1－????53n 1－53

＝5n ＋1

2·3n ＋n －5

等比数列性质的应用

例2 (1)(2019·黑龙江省大庆第一中学模拟)在各项不为零的等差数列{a n }中，2a 2 019－a 22 020＋

2a 2 021＝0，数列{b n }是等比数列，且b 2 020＝a 2 020，则log 2(b 2 019·b 2 021)的值为( ) A ．1 B ．2 C ．4 D ．8 答案 C

解析因为等差数列{a n }中a 2 019＋a 2 021＝2a 2 020，

所以2a 2 019－a 22 020＋2a 2 021＝4a 2 020－a 2

2 020＝0，

因为数列{a n }各项不为零，所以a 2 020＝4，

因为数列{b n }是等比数列，所以b 2 019·b 2 021＝a 22 020＝16. 所以log 2(b 2 019·b 2 021)＝log 216＝4.故选C.

(2)(2020·长春质检)各项均为正数的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 6＝30，S 9＝70，则

S 3＝________. 答案 10

解析根据等比数列的前n 项和的性质，若S n 是等比数列的和，则S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n ，…仍是等比数列，得到(S 6－S 3)2＝S 3(S 9－S 6)，解得S 3＝10，或S 3＝90(舍)．思维升华等比数列常见性质的应用等比数列性质的应用可以分为三类： (1)通项公式的变形． (2)等比中项的变形．

(3)前n 项和公式的变形．根据题目条件，认真分析，发现具体的变化特征即可找出解决问题的突破口．

跟踪训练2 (1)(2019·安徽省江淮十校月考)已知等比数列{a n }的公比q ＝－1

2，该数列前9项

的乘积为1，则a 1等于( ) A ．8 B ．16 C ．32 D ．64 答案 B

解析由已知a 1a 2…a 9＝1 ，又a 1a 9＝a 2a 8＝a 3a 7＝a 4a 6＝a 25 ，所以a 9

5＝1 ，即a 5＝1，所以

a 1???

?－1

24＝1 ，a 1＝16.故选B. (2)已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 3S 6＝89，则a n ＋1a n －a n －1＝________(n ≥2，且n ∈N *)．

答案－1

解析很明显等比数列的公比q ≠1，

则由题意可得，S 3S 6＝a 1()1－q 3

1－q a 1

(

)

1－q 61－q

＝11＋q 3＝8

9，解得q ＝12

，

则a n ＋1

a n －a n －1＝a n －1

q 2

a n －1q －a n －1＝q 2q －1＝14

－1

＝－1

对于数列通项公式的求解，除了我们已经学习的方法以外，根据所给递推公式的特点，还有以下几种构造方式．

构造法1 形如a n ＋1＝ca n ＋d (c ≠0，其中a 1＝a )型 (1)若c ＝1，数列{a n }为等差数列. (2)若d ＝0，数列{a n }为等比数列.

(3)若c ≠1且d ≠0，数列{a n }为线性递推数列，其通项可通过待定系数法构造等比数列来求．方法如下：设a n ＋1＋λ＝c (a n ＋λ)，得a n ＋1＝ca n ＋(c －1)λ，与题设a n ＋1＝ca n ＋d 比较系数得λ＝d c －1(c ≠1)，

所以a n ＋d

c －1＝c ?

???a n －1＋d c －1(n ≥2)，

即??????a n ＋d c －1构成以a 1＋d

c －1为首项，以c 为公比的等比数列．

例1 在数列{a n }中，若a 1＝1，a n ＋1＝3a n ＋2，则通项a n ＝________. 答案 2×3n －

1－1

解析 a n ＋1＝3a n ＋2，即a n ＋1＋1＝3(a n ＋1)，又因为a 1＋1＝2≠0，

所以{a n ＋1}构成以2为首项，以3为公比的等比数列，所以a n ＋1＝2·3n －1，a n ＝2·3n －1－1.

构造法2 形如 a n ＋1＝pa n ＋q ·p n ＋

1(p ≠0,1，q ≠0)型

a n ＋1＝pa n ＋q ·p n ＋1(p ≠0,1，q ≠0)的求解方法是两端同时除以p n ＋

1，即得a n ＋1p

n ＋1－a n p n ＝q ，则数列?????

?a n p n

为等差数列．

例2 (1)已知正项数列{a n }满足a 1＝4，a n ＋1＝2a n ＋2n ＋

1，则a n 等于( ) A ．n ·2n －

1 B ．(n ＋1)·2n C ．n ·2n ＋1 D ．(n －1)·2n

答案 B

解析 ∵a n ＋1＝2a n ＋2n ＋1， ∴

a n ＋12n ＋1＝a n 2n ＋1，即a n ＋12

n ＋1－a n

2n ＝1，又∵a 121＝4

＝2，

∴数列????

a n 2n 是首项为2，公差为1的等差数列，

∴a n

2n ＝2＋(n －1)×1＝n ＋1， ∴a n ＝(n ＋1)·2n ，故选B.

(2)(2019·武汉市二中月考)已知正项数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝2a n ＋3×5n ，则数列{a n }的通项a n 等于( ) A ．－3×2n －

1 B ．3×2n －

1 C ．5n ＋3×2n －1 D ．5n －3×2n －

答案 D

解析方法一在递推公式a n ＋1＝2a n ＋3×5n 的两边同时除以5n ＋1，得a n ＋15n ＋1＝25×a n 5n ＋3

5，①

令a n 5n ＝b n ，则①式变为b n ＋1＝25b n ＋35，即b n ＋1－1＝2

(b n －1)，

所以数列{b n －1}是等比数列，其首项为b 1－1＝a 15－1＝－35，公比为2

5，

所以b n －1＝????－35×????2

5n －1，即b n ＝1－35×???

?25n －1

，

所以a n 5n ＝1－35×????25n －1

＝1－3×2n

－15n

故a n ＝5n －3×2n －1.

方法二设a n ＋1＋k ·5n ＋1＝2(a n ＋k ×5n )，

则a n ＋1＝2a n －3k ×5n ，与题中递推公式比较得k ＝－1，即a n ＋1－5n ＋1＝2(a n －5n )，

所以数列{a n －5n }是首项为a 1－5＝－3，公比为2的等比数列，则a n －5n ＝－3×2n －1，故a n ＝5n －3×2n －1.故选D.

构造法3 相邻项的差为特殊数列(形如a n ＋1＝pa n ＋qa n －1，其中a 1＝a ，a 2＝b 型) 可化为a n ＋1－x 1a n ＝x 2(a n －x 1a n －1)，其中x 1，x 2是方程x 2－px －q ＝0的两根．例3 数列{a n }中，a 1＝1，a 2＝2，a n ＋2＝23a n ＋1＋1

3a n ，求数列{a n }的通项公式．

解由a n ＋2＝23a n ＋1＋1

3a n 可得，

a n ＋2－a n ＋1＝－1

(a n ＋1－a n )，

所以数列{a n ＋1－a n }是首项为1，公比为－1

3的等比数列，

当n ≥2时，a 2－a 1＝1，a 3－a 2＝－13，a 4－a 3＝1

9，…，

a n －a n －1＝????－1

3n －2，将上面的式子相加可得

a n －1＝1＋????－13＋19＋…＋????－1