《机械优化设计》复习题解答
一、填空题
1、用最速下降法求f(X)=100(x 2- x 12) 2+(1- x 1) 2的最优解时，设X （0）＝[-0.5,0.5]T ，第一步迭代的搜索方向为 [-47,-50]T 。
2、机械优化设计采用数学规划法，其核心一是寻找搜索方向，二是计算最优步长。
3、当优化问题是凸规划的情况下，任何局部最优解就是全域最优解。
4、应用进退法来确定搜索区间时，最后得到的三点，即为搜索区间的始点、中间点和终点，它们的函数值形成 高－低－高 趋势。
5、包含n 个设计变量的优化问题，称为 n 维优化问题。
6、函数
C X B HX X T T
++2
1的梯度为B 。 7、设G 为n×n 对称正定矩阵，若n 维空间中有两个非零向量d 0，d 1，满足(d 0)T Gd 1=0，则d 0、d 1之间存在共轭关系。
8、 设计变量 、 目标函数 、 约束条件 是优化设计问题数学模型的基本要素。
9、对于无约束二元函数),(21x x f ，若在),(x 20100x x 点处取得极小值，其必要条件是 ?f(x 10,x 20)=0 ，充分条件是 ?2f (x 10,x 20)=0正定 。
10、 K-T 条件可以叙述为在极值点处目标函数的梯度为起作用的各约束函数梯度的非负线性组合。 11、用黄金分割法求一元函数3610)(2+-=x x x f 的极小点，初始搜索区间]10,10[],[-=b a ，经第一次区间消去后得到的新区间为 [-2.36 10] 。 12、优化设计问题的数学模型的基本要素有设计变量、 目标函数 、 约束条件。
13、牛顿法的搜索方向d k
= ，其计算量大 ，且要求初始点在极小点 附近 位
置。
14、将函数f(X)=x 12+x 22-x 1x 2-10x 1-4x 2+60表示成
C X B HX X T T
++2
1的形式 12
[x 1
x 2][2
?1?1
2][x 1
x 2
]+[?10?4][x 1x 2
]+60 。
15、存在矩阵H ，向量 d 1，向量 d 2，当满足d 1T Hd 2=0，向量 d 1和向量 d 2是关于H 共轭。
16、采用外点法求解约束优化问题时，将约束优化问题转化为外点形式时引入的惩罚因子r 数列，具有单调递增特点。
17、采用数学规划法求解多元函数极值点时，根据迭代公式需要进行一维搜索，即求最优步长。
1k k H g --
二、选择题
1、下面C 方法需要求海赛矩阵。 A 、最速下降法 B 、共轭梯度法 C 、牛顿型法 D 、DFP 法
2、对于约束问题
()()()()22
12221122132min 44 g 10
g 30 g 0
f X x x x X x x X x X x =+-+=--≥=-≥=≥
根据目标函数等值线和约束曲线，判断()1[1,1]T X =为 ，()251[,]22
T
X =为 。D
A ．点；点 B. 外点；外点 C. 点；外点 D. 外点；点
3、点惩罚函数法可用于求解B 优化问题。 A 无约束优化问题
B 只含有不等式约束的优化问题
C 只含有等式的优化问题
D 含有不等式和等式约束的优化问题
4、对于一维搜索，搜索区间为[a ，b]，中间插入两个点a 1、b 1，a 1
5、D 不是优化设计问题数学模型的基本要素。 A 设计变量
B约束条件
C目标函数
D 最佳步长
6、变尺度法的迭代公式为x k+1=x k-αk H k▽f(x k)，下列不属于H k必须满足的条件的是C。
A. H k之间有简单的迭代形式
B.拟牛顿条件
C.与海塞矩阵正交
D.对称正定
7、函数)
(X
f在某点的梯度方向为函数在该点的A。
A、最速上升方向
B、上升方向
C、最速下降方向
D、下降方向
8、下面四种无约束优化方法中，D在构成搜索方向时没有使用到目标函数的一阶或二
阶导数。
A 梯度法
B 牛顿法
C 变尺度法
D 坐标轮换法
9、设)
f在R上为凸函数的
(X
(X
f为定义在凸集R上且具有连续二阶导数的函数，则)
充分必要条件是海塞矩阵G(X)在R上处处B。
A 正定
B 半正定
C 负定
D 半负定
10、下列关于最常用的一维搜索试探方法——黄金分割法的叙述，错误的是D，假设要
求在区间[a，b]插入两点α1、α2，且α1<α2。
A、其缩短率为0.618
B、α1=b-λ（b-a）
C、α1=a+λ（b-a）
D、在该方法中缩短搜索区间采用的是外推法。
11、与梯度成锐角的方向为函数值A方向，与负梯度成锐角的方向为函数值B
方向，与梯度成直角的方向为函数值C方向。
A、上升
B、下降
C、不变
D、为零
12、二维目标函数的无约束极小点就是B。
A、等值线族的一个共同中心
B、梯度为0的点
C、全局最优解
D、海塞矩阵正定的点
13、最速下降法相邻两搜索方向d k和d k+1必为B 向量。
A 相切
B 正交
C 成锐角
D 共轭
14、下列关于点惩罚函数法的叙述，错误的是A。
A 可用来求解含不等式约束和等式约束的最优化问题。
B 惩罚因子是不断递减的正值
C初始点应选择一个离约束边界较远的点。
D 初始点必须在可行域
三、问答题（看讲义）
1、试述两种一维搜索方法的原理，它们之间有何区别？
2、惩罚函数法求解约束优化问题的基本原理是什么？
3、试述数值解法求最佳步长因子的基本思路。
4、试述求解无约束优化问题的最速下降法与牛顿型方法的优缺点。
5、写出用数学规划法求解优化设计问题的数值迭代公式，并说明公式中各变量的意义，并说明迭代公式的意义。
6、什么是共轭方向？满足什么关系？共轭与正交是什么关系？
四、解答题
1、试用梯度法求目标函数f(X)=1.5x 12+0.5x 22- x 1x 2-2x 1的最优解，设初始点x (0)=[-2，4]T ,选代精度ε=0.02（迭代一步）。 解：首先计算目标函数的梯度函数 ?f =[
3?x1?x2?2
x2?x1
],
计算当前迭代点的 梯度向量值 ?f(X (0))=[?3?2?4?24+2]=[?12
6
]
梯度法的搜索方向为 S （k ）=??f , 因此在迭代点x (0) 的搜索方向为[12，－6]T 在此方向上新的迭代点为：
X （k+1）=X （k ）+αS （k ）=X （0）+αS （0）
=[
?2
4
]+α[12?6]=[?2+12α4?6α]
把新的迭代点带入目标函数，目标函数将成为一个关于单变量α的函数F(α) f(X (k+1))=f ([
?2+12α
4?6α
])=1.5(?2+12α)2+0.5(4?6α)2?(?2+12α)(4?
6α)? 2(?2+12α)＝F(α) 令
dF(α)dα
=?180+612α＝0，可以求出当前搜索方向上的最优步长
α＝5
17≈0.2941
新的迭代点为X （0）+αS （0）＝ [1.5292
2.2354
]
当前梯度向量的长度‖?f ‖=√12x12+6x6=13.4164>ε, 因此继续进行迭代。 第一迭代步完成。
2、试用牛顿法求f( X )=(x 1-2)2+(x 1-2x 2)2的最优解，设初始点x (0)=[2,1]T 。 解1：（注：题目出题不当，初始点已经是最优点，解2是修改题目后解法。） 牛顿法的搜索方向为S (k)=??2(f )?1?(f),因此首先求出当前迭代点x (0) 的梯度向量、海色矩阵及其逆矩阵
?(f)＝[4?x1 ? 4?x2 ? 4
8?x2 ? 4?x1
]
?(f（x(0)）)=[0 0 ]
?2(f)＝[4?4
?48
]
?2(f)?1=1
4[21 11
]
S(k)=??2(f)?1?(f)=[0 0 ]
不用搜索，当前点就是最优点。
解2：上述解法不是典型的牛顿方法，原因在于题目的初始点选择不当。以下修改求解题目的初始点，以体现牛顿方法的典型步骤。
以非最优点x(0)=[1,2]T作为初始点，重新采用牛顿法计算
牛顿法的搜索方向为S(k)=??2(f)?1?(f),因此首先求出当前迭代点x(0)
的梯度向量、以及海色矩阵及其逆矩阵
梯度函数：
?(f)＝[4?x1 ? 4?x2 ? 4
8?x2 ? 4?x1
]
初始点梯度向量：
?(f（x(0)）)=[?8 12
]
海色矩阵：
?2(f)＝[4?4
?48
]海色矩阵逆矩阵：
?2(f)?1=1
4[21 11
]
当前步的搜索方向为：
S(k)=??2(f)?1?(f)＝? 1
4[21
11
][?8
12
]＝[?1
1
]
新的迭代点位于当前的搜索方向上：
X （k+1）=X （k ）+αS （k ）=X （0）+αS （0） ＝[12]＋α[?1
1
]＝[1?α2＋α]
把新的迭代点带入目标函数，目标函数将成为一个关于单变量α的函数F(α) f(X (k+1)
)=f ([1?α
2＋α
])=(α + 1)2 + (3α + 3)2＝F(α)
令
dF(α)dα
=20α+ 20＝0，可以求出当前搜索方向上的最优步长
α＝?1
新的迭代点为 X (1)=X （0）+αS （0）＝ [12] –[?11]＝ [2
1
]
当前梯度向量的长度‖?f ‖=√12x12+8x8=14.4222>ε, 因此继续进行迭代。 第二迭代步：
?(f )＝[
4?x1 ? 4?x2 ? 4
8?x2 ? 4?x1
]
?(f （x (1)）)=[0
0]
‖?f ‖=0<ε
因此不用继续计算，第一步迭代已经到达最优点。
这正是牛顿法的二次收敛性。对正定二次函数，牛顿法一步即可求出最优点。
3、设有函数 f(X)=x 12+2x 22-2x 1x 2-4x 1，试利用极值条件求其极值点和极值。 解：首先利用极值必要条件
?(f )=[0
0]找出可能的极值点：
令
?(f )＝[2?x1 ? 2?x2 ? 4
4?x2 ? 2?x1
]＝[00]
求得[
x1
x2]=[42
],是可能的极值点。 再利用充分条件?2(f )正定（或负定）确认极值点。 ?2(f )＝[2?2
?24
]
|2|＝2>0
|2?2?24
|＝8?4＝4>0 因此?2(f )正定, X ?=[x1
x2]=[42]是极小点，极值为f(X *)=-8
4、求目标函数f( X )=x 12+x 1x 2+2x 22 +4x 1+6x 2+10的极值和极值点。 解法同上
5、试证明函数 f( X )=2x 12+5x 22 +x 32+2x 3x 2+2x 3x 1-6x 2+3在点[1，1，-2]T 处具有极小值。 解： 必要条件：
?(f )＝[ 4?x1 + 2?x3
10?x2 + 2?x3 ? 62?x1 + 2?x2 + 2?x3
]
将点[1，1，-2]T 带入上式，可得
?(f )＝[ 0
00
]
充分条件
?2(
f )＝[4
020
1022
22
] |4|＝4>0
|40
010
|＝40>0
|402
010222
2
|＝80?40?16＝24>0 ?2(f )正定。
因此函数在点[1，1，-2]T 处具有极小值
6、给定约束优化问题
min f(X)=(x 1-3)2+(x 2-2)2 s.t. g 1(X)=－x 12－x 22＋5≥0 g 2(X)=－x 1－2x 2＋4≥0 g 3(X)= x 1≥0 g 4(X)=x 2≥0
验证在点T X ]2[，１
=Kuhn-Tucker 条件成立。 解：首先，找出在点T X ]2[，１
=起作用约束： g 1(X) ＝0 g 2(X) ＝0 g 3(X) ＝2 g 4(X) ＝1
因此起作用约束为g 1(X)、g 2(X)。
然后，计算目标函数、起作用约束函数的梯度，检查目标函数梯度是否可以表示
为起作用约束函数梯度的非负线性组合。
?(f )＝[2?x1 ? 6 2?x2 ? 4]＝[?2
?2
]
?(g1)＝[ ?2?x1 ?2?x2]＝[?4?2], ?(g2)＝[?1
?2]
求解线性组合系数 ?(f )=λ1?(g1)+λ2?(g2) [
?2?2]=λ1[?4?2]+λ2[?1 ?2
] 得到 λ1＝1
3,λ2=2
3, 均大于0
因此在点T X ]2[，１
=Kuhn-Tucker 条件成立
7、设非线性规划问题
1)(0
)(0
)(..)2()(min
2
2213221122
21≥+-=≥=≥=+-=x x X g x X g x X g t s x x X f
用K-T 条件验证[]T
X 0,1*=为其约束最优点。
解法同上
8、已知目标函数为f(X)= x1+x2，受约束于：
g1(X)=-x12+x2≥0
g2(X)=x1≥0
写出点罚函数。
解：
点罚函数的一般公式为
其中：r(1)>r(2) >r(3)… >r(k) … >0 是一个递减的正值数列
r(k)＝Cr(k-1)，0＜C＜1
因此罚函数为：
?(X,r(k))=x1+x2+r(k)(1
2
+
1
)
9、已知目标函数为f(X)=( x1-1)2+(x2+2)2
受约束于：g1(X)=-x2-x1-1≥0
g2(X)=2-x1-x2≥0
g3(X)=x1≥0
g4(X)=x2≥0
试写出点罚函数。
解法同上
10、如图，有一块边长为6m的正方形铝板，四角截去相等的边长为x的方块并折转，造一个无盖的箱子，问如何截法（x取何值）才能获得最大容器的箱子。试写出这一优化问题的数学模型以及用MATLAB软件求解的程序。
11、某厂生产一个容积为8000cm3的平底无盖的圆柱形容器，要求设计此容器消耗原材料最少，试写出这一优化问题的数学模型以及用MATLAB软件求解的程序。
12、一根长l的铅丝截成两段，一段弯成圆圈，另一段弯折成方形，问应以怎样的比例截断铅丝，才能使圆和方形的面积之和为最大，试写出这一优化设计问题的数学模型以及用MATLAB软件求解的程序。
13、求表面积为300m2的体积最大的圆柱体体积。试写出这一优化设计问题的数学模型以及用MATLAB软件求解的程序。
14、薄铁板宽20cm，折成梯形槽，求梯形侧边多长及底角多大，才会使槽的断面积最大。写出这一优化设计问题的数学模型，并用matlab软件的优化工具箱求解（写出M文件和求解命令）。
15、已知梯形截面管道的参数是：底边长度为c，高度为h，面积A=64516mm2，斜边与底边的夹角为θ，见图1。管道液体的流速与管道截面的周长s的倒数成比例关系（s 只包括底边和两侧边，不计顶边）。试按照使液体流速最大确定该管道的参数。写出这一优化设计问题的数学模型。并用matlab软件的优化工具箱求解（写出M文件和求解命令）。
16、某电线电缆车间生产力缆和话缆两种产品。力缆每米需用材料9kg，3个工时，消耗电能4kW·h，可得利润60元；话缆每米需用材料4kg，10个工时，消耗电能5kW·h，可得利润120元。若每天材料可供应360kg，有300个工时消耗电能200kW·h可利用。如要获得最大利润，每天应生产力缆、话缆各多少米？写出该优化问题的数学模型以及用MATLAB软件求解的程序。