正余弦定理的综合应用
1.【河北省唐山一中2018届二练】在ABC ?中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且
()()3,cos sin sin cos 0b A B c A A C =+-+=． （1）求角B 的大小；（2）若ABC ?的面积为
3
2
，求sin sin A C +的值． 2.【北京市海淀区2018届高三第一学期期末】如图，在ABC ?中，点D 在AC 边上，且
3AD DC =，7AB =，3
ADB π
∠=，6
C π
∠=
.
（Ⅰ）求DC 的值； （Ⅱ）求tan ABC ∠的值.
【解决法宝】对解平面图形中边角问题，若在同一个三角形，直接利用正弦定理与余弦定理求解，若图形中条件与结论不在一个三角形内，思路1：要将不同的三角形中的边角关系利用中间量集中到一个三角形内列出在利用正余弦定理列出方程求解；思路2：根据图像分析条件和结论所在的三角形，分析由条件可计算出的边角和由结论需要计算的边角，逐步建立未知与已知的联系.
3.【海南省2018届二模】已知在ABC ?中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，且
3cos sin cos b A a A C +sin cos 0c A A +=.
（1）求角A 的大小； （2）若3a =，12
B π
=
，求ABC ?的面积.
4.【湖北省天门等三市2018届联考】在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知cos cos cos 3sin cos C A B A B +=．
（Ⅰ）求cos B 的值；（Ⅱ）若1a c +=，求b 的取值范围． 5.【山东省淄博市2018届高三3月模拟】在
中，角
对边分别为
，已知
．
（1）求角的大小；（2）若
，求
的面积． 6.【福建省南平市2018届第一次质检】在中,
分别为角
的对边，且
.
（1）若，求及；
（2）若
在线段
上，且
，求的长.
7.【山东省实验中学2017届高三第一次诊，16】在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，
C 的对边，
cos 2cos C a c
B b
-=，且2a c +=．
（1）求角B ；（2）求边长b 的最小值．
8.【河北衡水中学2017届上学期一调，17】（本小题满分12分） 在ABC ?中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 所对的边，且cos 2cos 3cos a b c
A B C
==
． （1）求角A 的大小；
（2）若ABC ?的面积为3，求a 的值．
正余弦定理的综合应用答案
1【分析】（1）先根据两角和正弦公式，三角形内角关系及诱导公式得sin cos C c B =，再根
据正弦定理得cos 3B =，即
tan 3,3B B π==
（2）由ABC ?的面积为32，得2ac =，再根据余弦定理得
()
()2
2
2
222232cos 3b a c ac B a c ac a c ac
=
=+-=+-=+-，解得3a c +=，
因此结合正弦定理得
()sin 3sin sin 2B A C a c b +=
+=
2.【解析】（Ⅰ）如图所示，3
6
6
DBC ADB C π
π
π
∠=∠-∠=-
=
，
故DBC C ∠=∠，DB DC = 设DC x =，则DB x =，3DA x =. 在ADB ?中，由余弦定理
2222cos AB DA DB DA DB ADB =+-??∠,
即()2
221
732372
x x x x x =+-???
=，解得1x =，1DC =. （Ⅱ）在ADB ?中，由AD AB >，得60ABD ADB ∠>∠=?，故
3
6
2
ABC ABD DBC π
π
π
∠=∠+∠=
+
=
，在ABC ?中，由正弦定理
sin sin AC AB
ABC ACB
=
∠∠，即471sin 2
ABC =∠， 故sin 7ABC ∠=
，由,2ABC ππ??
∠∈ ???，得3cos 7ABC ∠=-，
2
tan 333
ABC ∠=-
=-.
3.【解析】（1）由3cos sin cos b A a A C +sin cos 0c A A +=及正弦定理得，
()sin sin cos cos sin A A C A C +3sin cos B A =-， 即()sin sin A A C +3sin cos B A =-，
又(
)sin
sin 0A C B +=>，所以tan 3A =-，又()0,A π∈，所以23
A π
=. （2）由（1）知23A π=
，又12B π=，易求得4
C π=， 在ABC ?中，由正弦定理得
3
sin
sin 12
3
b π
π=
，所以62b -=. 所以ABC ?的面积为1
sin 2
S ab C =
16223332224--=??
?=. 4【解析】（Ⅰ）由已知得()cos cos cos 3sin cos 0A B A B A B -++-=， 即有sin sin 3sin cos 0A B A B -=因为sin 0A ≠，∴sin 3cos 0B B -=． 又cos 0B ≠，∴tan 3B =．又0B π<<，∴3
B π
=
，∴1
cos 2
B =
（Ⅱ）由余弦定理，有2222cos b a c a B =+-．因为11cos 2a c B +==，，有2
211324b a ?
?=-+ ??
?
又01a <<，于是有
2114b ≤<，即有1
12
b ≤< 由余弦定理，得
，
所以
，又
，故
；
（2）由（1）知，由正弦定理，得，
所以
或（舍去）从而
，所以的面积为
． 6【解析】（Ⅰ）∵
，
，
，在△ABC 中，由正弦定理
，
∴，又，所以，则C 为锐角，所以，
则，
所以
7【解析】（I ）由已知
cos 2sin sin ,cos sin C A C
B B
-=即()cos sin 2sin sin cos ,C B A C B =- ()sin 2sin cos ,B C A B +=sin 2sin cos ,A A B =△ABC 中，sin 0A ≠，
故1cos ,.23
B B π
==
（Ⅱ）由（I ）,3
B π
=
因此222222cos b a c ac B a c ac =+-=+- 由已知()2
2343b a c ac ac =+-=-2
434312a c +??
≥-=-= ???
故b 的最小值为1.
8【解析】（1）cos 2cos 3cos a b c A B C ==Q ，sin sin sin cos 2cos 3cos A B C
A B C
∴==， 即tan tan tan 23
B C A =
=，则tan 2tan B A =，tan 3tan C A =． 又在ABC ?中，()tan tan tan tan 1tan tan B C
A B C B C
+=-+=--．
则2
2tan 3tan tan 16tan A A
A A
+=
-，解得2tan 1A =，tan 1A ∴=-或tan 1A =， 当tan 1A =-时，tan 2B =-，则A ，B 均为钝角，与πA B C ++= 矛盾，故舍去，故tan 1A =，则π4
A =
．