第一章统计数据的收集与整理1.1 算术平均数是怎样计算的？为什么要计算平均数？
答：算数平均数由下式计算：n y
y
n
i
i
∑
=
=1
，含义为将全部观测值相加再被观测值的个数
除，所得之商称为算术平均数。计算算数平均数的目的，是用平均数表示样本数据的集中点，或是说是样本数据的代表。
1.2 既然方差和标准差都是衡量数据变异程度的，有了方差为什么还要计算标准差？
答：标准差的单位与数据的原始单位一致，能更直观地反映数据地离散程度。
1.3 标准差是描述数据变异程度的量，变异系数也是描述数据变异程度的量，两者之间有什么不同？
答：变异系数可以说是用平均数标准化了的标准差。在比较两个平均数不同的样本时所得结果更可靠。
1.4 完整地描述一组数据需要哪几个特征数？
答：平均数、标准差、偏斜度和峭度。
1.5 下表是我国青年男子体重（kg）。由于测量精度的要求，从表面上看像是离散型数据，不要忘记，体重是通过度量得到的，属于连续型数据。根据表中所给出的数据编制频数分布表。
6669646564666865626469616168665766696665 7064586766666766666266666462626564656672 6066656161666762656561646264656265686865 6768626370656465626662636865685767666863 6466686463606469656667676765676766686467 5966656356666363666763706770626472696767 6668646571616361646467697066646564637064 6269706865636566646869656367637065686769 6665676674646965646565686765656667726567 6267716965657562696868656366666562616865 6467666460616867635965606463696271696063 5967616869666469656867646466697368606063 3862676565696567657266676461646663636666 6663656367686662636166616368656669646670 6970636465646767656662616565606365626664答：首先建立一个外部数据文件，名称和路径为：E:\data\exer1-5e.dat。所用的SAS 程序和计算结果如下：
proc format;
value hfmt
56-57='56-57' 58-59='58-59' 60-61='60-61'
62-63='62-63' 64-65='64-65' 66-67='66-67' 68-69='68-69' 70-71='70-71' 72-73='72-73' 74-75='74-75'; run;
data weight;
infile 'E:\data\exer1-5e.dat'; input bw @@; run;
proc freq; table bw;
format bw hfmt.; run;
The SAS System
Cumulative Cumulative
BW Frequency Percent Frequency Percent ----------------------------------------------------- 56-57 3 1.0 3 1.0 58-59 4 1.3 7 2.3 60-61 22 7.3 29 9.7 62-63 46 15.3 75 25.0 64-65 83 27.7 158 52.7 66-67 77 25.7 235 78.3 68-69 45 15.0 280 93.3 70-71 13 4.3 293 97.7 72-73 5 1.7 298 99.3 74-75 2 0.7 300 100.0
1.6 将上述我国男青年体重看作一个有限总体，用随机数字表从该总体中随机抽出含量为10的两个样本，分别计算它们的平均数和标准差并进行比较。它们的平均数相等吗？标准差相等吗？能够解释为什么吗？
答：用means 过程计算，两个样本分别称为1y 和2y ，结果见下表：
The SAS System
Variable N Mean Std Dev ---------------------------------------- Y1 10 64.5000000 3.5039660 Y2 10 63.9000000 3.1780497 ----------------------------------------
随机抽出的两个样本，它们的平均数和标准差都不相等。因为样本平均数和标准差都是统计量，统计量有自己的分布，很难得到平均数和标准差都相等的两个样本。
1.7 从一个有限总体中采用非放回式抽样，所得到的样本是简单的随机样本吗？为什么？本课程要求的样本都是随机样本，应当采用哪种抽样方法，才能获得一随机样本？
答：不是简单的随机样本。从一个有限总体中以非放回式抽样方法抽样，在前后两次抽样之间不是相互独立的，后一次的抽样结果与前一次抽样的结果有关联，因此不是随机样本。应采用随机抽样的方法抽取样本，具体说应当采用放回式抽样。
1.8 证明()()∑∑==±='-='-'n i n
i i i i
i
C y y y y
y y 1
12
2
,
。
其中若用
C y y i
i =
'或i
i Cy y ='编码时，前式是否仍然相等？
答：（1）令 C y y i i ±='
则 C y y ±=' 平均数特性之③。
()
()()[]()
∑∑∑===-=±-±='-'n
i i n i i n
i i
y y C y C y y y 1
2
12
12
（2） 令 C y y i
i =' 则
C y
y =
' 平均数特性之②。
()
()
2
1
2
2
112
C y y
C y C y
y y n
i i
n
i i n
i i
∑∑∑===-=
?
?? ??-='-'
用第二种编码方式编码结果，两式不再相等。
1.9 有一个样本：n y y y ,,,21 ，设B 为其中任意一个数值。证明只有当y B =时，
()∑=-n
i B y 12
最小。这是平均数的一个重要特性，在后面讲到一元线型回归时还会用到
该特性。
答：令 ()∑-=2B y p ， 为求使p 达最小之B ，令()
02
=?-?∑B B y
则 ()y n y B B y ===-∑∑02 。
1.10 检测菌肥的功效，在施有菌肥的土壤中种植小麦，成苗后测量苗高，共100株，数据如下[1]
：
10.0 9.3 7.2
9.1 8.5 8.0 10.5 10.6 9.6 10.1 7.0 6.7 9.5 7.
8 10.5 7.9 8.1 9.6 7.6 9.4 10.0 7.5 7.2 5.
0 7.3 8.7 7.1 6.1 5.2 6.8 10.0
9.9
7.5 4.
7.6
7.0
9.7
6.2
8.0
6.9
5
4.97.08.38.47.87.5 8.38.610.0 4.
8
8.511.09.7 6.610.0 5.0 6.610.0 6.59.
5
6.58.
8.
4
8.
3
7.
4
7.
4
8.
1
7.
7
7.
5
7.1
7.87.
6
8.
6
6.
7.
6.
4
6.
7
6.
3
6.
4
11.0
10.57.
8
5.
8.
7.
7.
4
5.
2
6.
7
9.
8.6
4.6 6.
9
3.
5
6.
2
9.
7
6.
4
5.
8
6.
4
9.
3
6.4
编制苗高的频数分布表，绘制频数分布图，并计算出该样本的四个特征数。
答：首先建立一个外部数据文件，名称和路径为：E:\data\exr1-10e.dat。SAS程序及
结果如下：
options nodate;
proc format;
value hfmt
3.5-
4.4='3.5-4.4' 4.5-
5.4='4.5-5.4' 5.5-
6.4='5.5-6.4'
6.5-
7.4='6.5-7.4' 7.5-
8.4='7.5-8.4' 8.5-
9.4='8.5-9.4'
9.5-10.4='9.5-10.4' 10.5-11.4='10.5-11.4';
run;
data wheat;
infile 'E:\data\exr1-10e.dat';
input height @@;
run;
proc freq;
table height;
format height hfmt.;
run;
proc capability graphics noprint;
var height;
histogram/vscale=count;
inset mean var skewness kurtosis;
run;
The SAS System
The FREQ Procedure
Cumulative Cumulative
height Frequency Percent Frequency Percent
-------------------------------------------------------------------
--
3.5-
4.4 1 1.00 1 1.00
4.5-
5.4 9 9.00 10 10.00
5.5-
6.4 11 11.00 21 21.00
6.5-
7.4 23 23.00 44 44.00
7.5-8.4 24 24.00 68 68.00
8.5-9.4 11 11.00 79 79.00
9.5-10.4 15 15.00 94 94.00
10.5-11.4 6 6.00 100 100.00
1.11 北太平洋宽吻海豚羟丁酸脱氢酶（HDBH）数据的接收范围频数表[2]如下：（略作调整）
HDBH数据的接收范围
频数
/(U·L-1)
<2141
<245.909 13
<277.818 211
<309.727 319
<341.636 426
<373.545 522
<405.454 511
<437.363 613
<469.272 76
<501.181 83
<533.090 92
根据上表中的数据作出直方图。
答：以表中第一列所给出的数值为组界，直方图如下：
1.12 灵长类手掌和脚掌可以握物一侧的皮肤表面都有突起的皮肤纹嵴。纹嵴有许多特征，这些特征在胚胎形成之后是终生不变的。人类手指尖的纹型，大致可以分为弓、箕和斗三种类型。在手指第一节的基部可以找到一个点，从该点纹嵴向三个方向辐射，这个点称为三叉点。弓形纹没有三叉点，箕形纹有一个三叉点，斗形纹有两个三叉点，记录从三叉点到箕或斗中心的纹嵴数目称为纹嵴数（finger ridge count, FRC）。将双手十个指尖的全部箕形纹的纹嵴数和/或斗形纹两个纹嵴数中较大者相加，称为总纹嵴数（total finger ridge count, TFRC）。下表给出了大理白族人群总纹嵴数的频数分布[3]：
TFRC分组中值频数
11~30202
31~50401
51~70608
71~908029
91~11010054
111~13012063
131~15014068
151~17016051
171~19018018
191~2102006
首先判断数据的类型，然后绘出样本频数分布图，计算样本的四个特征数并描述样本分布形态。
答：总纹脊数属计数数据。
计数数据的频数分布图为柱状图，频数分布图如下：
样本特征数（以TFRC的中值计算）SAS程序：
options nodate;
data tfrc;
do i=1 to 10; input y @@;
input n @@;
do j=1 to n;
output;
end;
end;
cards;
20 2
40 1
60 8
80 29
100 54
120 63
140 68
160 51
180 18
200 6
;
run;
proc means mean std skewness kurtosis;
var y;
run;
结果见下表：
The SAS System
Analysis Variable : Y
Mean Std Dev Skewness Kurtosis
------------------------------------------------------
126.5333333 32.8366112 -0.2056527 -0.0325058
------------------------------------------------------从频数分布图可以看出，该分布的众数在第七组，即总纹脊数的中值为140的那一组。分布不对称，平均数略小于众数，有些负偏。偏斜度为-0.2056527，偏斜的程度不是很明显，基本上还可以认为是对称的，峭度几乎为零。
1.13 海南粗榧叶长度的频数分布[4]：
叶长度/mm中值频数
2.0~2.2 2.1390
2.2~2.4 2.3 1 434
2.4~2.6 2.5 2 643
2.6~2.8 2.7 3 546
2.8~
3.0 2.9 5 692
3.0~3.2 3.1 5 187
3.2~3.4 3.3 4 333
3.4~3.6 3.5 2 767
3.6~3.8 3.7 1 677
3.8~
4.0 3.9 1 137
nag
4.0~4.2 4.1667
4.2~4.4 4.3346
4.4~4.6 4.5181
绘出频数分布图，并计算偏斜度和峭度。
答：表中第一列所给出的数值为组限，下图为海南粗榧叶长度的频数分布图。
计算偏斜度和峭度的SAS程序和计算结果如下：
options nodate;
data length;
do i=1 to 13; input y @@;
input n @@;
do j=1 to n;
output;
end;
end;
cards;
2.1 390
2.3 1434
2.5 2643
2.7 3546
2.9 5692
3.1 5187
3.3 4333
3.5 2767
3.7 1677
3.9 1137
4.1 667
4.3 346
4.5 181
;
run;
proc means n skewness kurtosis;
var y;
run;
The SAS System
Analysis Variable : Y
n Skewness Kurtosis
---------------------------------
30000 0.4106458 0.0587006
---------------------------------
样本含量n＝30000，是一个很大的样本，样本的偏斜度和峭度都已经很可靠了。偏斜度为0.41，有一个明显的正偏。
1.14 马边河贝氏高原鳅繁殖群体体重分布如下[5]：
体质量/g中值雌鱼雄鱼
2.00~
3.00 2.5014
3.00~
4.00 3.5067
4.00~
5.00 4.501311
5.00~
6.00 5.503025
6.00~
7.00 6.502525
7.00~8.007.501623
8.00~9.008.502117
9.00~10.009.501816
10.00~11.0010.50124
11.00~12.0011.503
12.00~13.0012.502
首先判断数据的类型，然后分别绘制雌鱼和雄鱼的频数分布图，计算样本平均数、标准差、偏斜度和峭度并比较两者的变异程度。
答：鱼的体重为度量数据，表中第一列所给出的数值为组限。在下面的分布图中雌鱼和雄鱼的分布绘在了同一张图上，以不同的颜色表示。
计算统计量的SAS程序与前面的例题类似，这里不再给出，只给出结果。
雌鱼：
The SAS System
Analysis Variable : Y
N Mean Std Dev Skewness Kurtosis
-----------------------------------------------------------
147 7.2414966 2.1456820 0.2318337 -0.6758677
-----------------------------------------------------------
雄鱼：
The SAS System
Analysis Variable : Y
N Mean Std Dev Skewness Kurtosis
-----------------------------------------------------------
132 6.7803030 1.9233971 -0.1322816 -0.5510332
-----------------------------------------------------------