-----第2课时指数函数的图像与性质
教材分析:
在学习了函数概念,掌握了函数的一些性质之后,学习的指数函数和对数函数,是两个重要的基本初等函数,通过学习可以加深理解函数概念、进一步探究函数的性质,更重要的是让学生了解系统地研究一类函数的方法。
学情分析:
学生对于函数基本性质知道的比较模糊,有些可以讲出函数的性质,却不会运用。对于与二次函数、方程、不等式等内容结合的综合性题要由易到难,让学生有一个理解的过程。教学目标:
1.了解指数函数模型的实际背景。
2.理解指数函数的概念。
3.会判断指数函数的单调性以及指数函数图像通过的特殊点。
教学重点:
指数函数的概念和性质。
教学难点:用数形结合的方法从特殊到一般地探索、概括指数函数的性质。
教学过程:
一、知识梳理:
(1)指数函数的定义
一般地,函数y=a x(a>0且a≠1)叫做指数函数.
(2)指数函数的图象
底数互为倒数的两个指数函数的图象关于y 轴对称.
(3)指数函数的性质
①定义域:R.
②值域:(0,+∞).
③过点(0,1),即x=0时,y=1.
④当a>1时,在R 上是增函数;当0 二、讲解例题: 1.若a > 0,则函数11x y a -=+的图像经过定点 ( ) A.(1,2) B.(2,1) C.(0,1 1a + ) D.(2,1+a ) 2.若10.25,4m n ??< ???则m,n 的关系是 ( ) A.2n m = B.m = n C.m > n D.m < n 3.如果函数()(1)x f x a =-在R 上是减函数,那么实数a 的取值范围是___________________. 4.若函数2x y m =+的图像不经过第二象限,则 m 的取值范围是 ____________________. 5.函数112x y -=的定义域是__________. 6.指数函数()x f x a =图像过点1 (2,)16,求(0)f ,(1)f ,(2)f - 7.求函数 232 13()x x y -+= 的单调区间。 三、课后作业: 1.下列以x 为自变量的函数中,是指数函数的是( )(C) A (4)x y =- B x y π= C 4x y =- D.2,(01)x y a a a +=>≠且 2.比较大小(C) 2.531.7____1.7 , 0.10.20.8____1.25-, 0.3 3.11.7___0.9 , 4.1 3.64.5___3.7 3.右图是指数函数①y=a x ,②y=b x ,③y=c x ,④y=d x 的图象, 则a 、b 、c 、d 与1的大小关系是( )(B) A.a B.b C.1 D.a 4. 画出函数12 1x y -=-图像,并求定义域与值域。(A) 板书设计 分 数指数幂的运算 【知识要点】 1、整数指数幂运算性质 (1)=?n m a a ),(Z n m ∈ (2) =n m a a ),(Z n m ∈ (3) =n m a )( ),(Z n m ∈ (4)=?n b a )( )(Z n ∈ (5) 根式运算性质 ???=为偶数 为奇数n a n a a n n ,, 2、正数的正分数指数幂的意义 n m n m a a = (n m a ,,0>∈N *,且)1>n 注意:(1)分数指数幂是根式的另一种表示形式; (2)二是根式与分数指数幂可以进行互化. 3、对正数的负分数指数幂和0的分数指数幂作如下规定. (1)n m n m a a 1= - (n m a ,,0>∈N * ,且)1>n (2)0的正分数指数幂等于0. (3)0的负分数指数幂无意义. 4、有理指数幂的运算性质 (1)∈>=?+s r a a a a s r s r ,,0(Q ) (2) ∈>=s r a a a rs s r ,,0()(Q ) (3) ∈>=?s r a b a b a r r r ,,0()(Q ) 注意:若p a ,0>是一个无理数,则p a 表示一个确定的实数,上述有理指数幂的运算性质,对于无理数指数 幂都适用 求值:4332 13 2)81 16(,)41(,100,8- -- ,23)425(-,423 981?,63125.132?? 计算:[] .01.016 )2()8 7 ()064.0(2 175 .03 43 03 1 -++-+---- - 1.化简:(1)2 93 2 )- (2 (3) -----第2课时指数函数的图像与性质 教材分析: 在学习了函数概念,掌握了函数的一些性质之后,学习的指数函数和对数函数,是两个重要的基本初等函数,通过学习可以加深理解函数概念、进一步探究函数的性质,更重要的是让学生了解系统地研究一类函数的方法。 学情分析: 学生对于函数基本性质知道的比较模糊,有些可以讲出函数的性质,却不会运用。对于与二次函数、方程、不等式等内容结合的综合性题要由易到难,让学生有一个理解的过程。教学目标: 1.了解指数函数模型的实际背景。 2.理解指数函数的概念。 3.会判断指数函数的单调性以及指数函数图像通过的特殊点。 教学重点: 指数函数的概念和性质。 教学难点:用数形结合的方法从特殊到一般地探索、概括指数函数的性质。 教学过程: 一、知识梳理: (1)指数函数的定义 一般地,函数y=a x(a>0且a≠1)叫做指数函数. (2)指数函数的图象 底数互为倒数的两个指数函数的图象关于y 轴对称. (3)指数函数的性质 ①定义域:R. ②值域:(0,+∞). ③过点(0,1),即x=0时,y=1. ④当a>1时,在R 上是增函数;当0 0,则函数11x y a -=+的图像经过定点 ( ) A.(1,2) B.(2,1) C.(0,1 1a + ) D.(2,1+a ) 2.若10.25,4m n ??< ???则m,n 的关系是 ( ) A.2n m = B.m = n C.m > n D.m < n 3.如果函数()(1)x f x a =-在R 上是减函数,那么实数a 的取值范围是___________________. 4.若函数2x y m =+的图像不经过第二象限,则 m 的取值范围是 ____________________. 5.函数112x y -=的定义域是__________. 6.指数函数()x f x a =图像过点1 (2,)16,求(0)f ,(1)f ,(2)f - §3.指数函数图像和性质 一、教材分析 教材的地位和作用 函数是高中数学学习的重点和难点,函数的思想贯穿于整个高中数学之中。本节课是学生在已掌握了函数的一般性质和简单的指数运算的基础上,进一步研究指数函数,以及指数函数的图象与性质。一方面可以进一步深化学生对函数概念的理解与认识,使学生得到较系统的函数知识和研究函数的方法,同时也为今后进一步熟悉函数的性质和作用,研究对数函数以及等比数列的性质打下坚实的基础。因此,本节课的内容十分重要,它对知识起到了承上启下的作用。 重难点分析 教学重点:指数函数的图像、性质及其简单运用 教学难点:指数函数图象和性质的发现过程,及指数函数图像与底的关系。 二、教学目标分析 知识目标:理解指数函数的定义,掌握指数函数的图像、性质及其简单应用能力目标:通过教学培养学生观察、分析、归纳等思维能力,体会数形结合和分类讨论思想以及从特殊到一般等学习数学的方法,增强识图用图的能力情感目标:通过学习,使学生学会认识事物的特殊性与一般性之间的关系,构建和谐的课堂氛围,培养学生勇于提问,善于探索的思维品质。 三、教法学法分析 教法分析 采用梳理—探究—训练的教学方法,充分利用多媒体辅助教学,通过学生的互动探究,教师点拨,启发学生主动观察、主动思考、动手操作、自主探究来达到对知识的发现和接受 学法分析 学生思维活跃,求知欲强,但在思维习惯上还有待教师引导;从学生原有知识和能力出发,在教师的带领下创设疑问,通过合作交流,共同探索,逐步解决问题。 四、教学过程分析 1.创设情景,形成概念 2.发现问题,探究新知 3.深入探究,加深理解 4.强化训练,巩固双基 5.小结归纳,拓展深化 6.布置作业,升华提高 2018《高三第一轮复习课:指数与指数函数》 咸丰一中数学组:青华 高考要求: (1)通过具体实例(如细胞的分裂,考古中所用的14C 的衰减,药物在人体内残留量的变化等),了解指数函数模型的实际背景; (2)理解有理指数幂的含义,通过具体实例了解实数指数幂的意义,掌握幂的运算。 (3)理解指数函数的概念和意义,能借助计算器或计算机画出具体指数函数的图象,探索并理解指数函数的单调性与特殊点; (4)在解决简单实际问题的过程中,体会指数函数是一类重要的函数模型。 重点难点: 对分数指数幂含义的理解,学会根式与分数指数幂的互化掌握有理指数幂的运算性质; 指数函数的性质的理解与应用,能将讨论复杂函数的单调性、奇偶性问题转化为讨论比较 简单的函数的有关问题. 知识梳理 1.根式的概念 (1)根式 如果一个数的n 次方等于a ( n >1且n ∈N *),那么这个数叫做a 的n 次方根.也就是, 若x n =a ,则x 叫做___________,其中n >1且n ∈N *.式子n a 叫做_______,这里n 叫做_________,a 叫做__________. (2)根式的性质 ①当n 为奇数时,正数的n 次方根是一个正数,负数的n 次方根是一个负数,这时,a 的n 次方根用符号________表示. ②当n 为偶数时,正数的n 次方根有两个,它们互为相反数,这时,正数的正的n 次方根用符号________表示,负的n 次方根用符号________表示.正负两个n 次方根可以合写成________(a >0).负数没有偶次方根 ______(_____(0) ||(_____(0)n n n a a a n a ??=≥??=??? 为奇数)为偶数) ;)n n a =__________(a n a . 00n = 2.有理数指数幂 (1)幂的有关概念 ①正整数指数幂:∈???=n a a a a n (ΛN *). n 个 ②零指数幂:)0(10 ≠=a a ③负整数指数幂:∈= -p a a p p (1 Q a ≠0,). §3.1 《指数函数的图像和性质》教学设计 一、教学指导思想与理论依据 通过学习新课标和新的教育理念,我深深感受到:在中学数学的教学过程中,不仅要重视让学生掌握知识,更应重视让学生经历数学知识的形成与应用过程;重视学习过程中的情感体验;重视培养学生自主探究,合作交流,勇于创新的意识和能力。以往那种教师说的多,强调的多,学生未必会记住;教师讲得精彩,学生未必能理解;学生做题多,未必正确率高。同时教学中应采用多种教学形式,多种教学手段进行,在适当的时候,合理的运用多媒体,能有益的辅助教学,提高课堂效率,丰富教学内容。 新课标的教育宗旨是:人人学有价值的数学;人人都能获得必需的数学;不同的人在数学上得到不同的发展。这就要求在课程的设计中,要联系生活实际,联系学生已有的知识经验,学习内容要有层次。 二、教材分析: 本节课是北师大版高中《数学》必修1第三章第三节《指数函数》的内容。我将从以下两个方面对教材进行分析。 (一)教学内容的地位和作用分析: 《指数函数》是函数中的一个重要基本初等函数,是后续知识——对数函数(指数函数的反函数)的准备知识。而指数函数的图像和性质是学习指数函数的重要内容。通过这部分知识的学习进一步深化学生对函数概念的理解与认识,使学生得到较系统的函数知识并体会研究函数较为完整的思维方法,特别是通过这部分的学习,对于学生进行数形结合、几何直观等重要的数学思想方法的渗透,有很大的促进作用,这些数学思想方法对于进一步探究对数函数、三角函数等有很强的引领作用。 (二)教材分析和教材处理: 教材在安排这一节内容时,共安排了三个课时,《指数函数的概念及指数函数x y 2=与 x y ?? ? ??=21的图象和性质》 、《指数函数的图像和性质(1)》、《指数函数的图像和性质(2)》第一课时侧重指数函数概念的理解以及两个具体的指数函数图像的认识,第二课时在第一课时基础上探究指数函数的性质及性质,第三课时侧重性质的应用。 我对教材内容进行了重新的整合与处理,这部分内容的重点在于学生根据图像研究指数函数的性质,难点在于性质的运用。性质的研究必须以具体的指数函数图像为载体,而列 讲 义 教材与考点分析: 本节课学习的内容是了解指数函数的图像及性质,函数是数学研究的主要对象,也是考试必然会涉及的知识点,我们必须从简单的函数出发,学好每一类基本初等函数。 考点1:分数指数幂 我们规定分数指数幂的意义: 负分数指数幂的意义: 0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义 考点2:有理数指数幂的运算性质 ),,0,0())(3(,))(2(, )1(Q s r b a b a ab a a a a a r r r rs s r s r s r ∈>>===?+ 考点3:指数函数及其性质 a>1 00时,y>1;x<0时,0 A.()()()f xy f x f y = B.()()()f xy f x f y =+ C.()()()f x y f x f y += D.()()()f x y f x f y +=+ 第2题. 若11()()23 x x <,则x 满足( ) A.0x > B.0x < C.0x ≤ D.0x ≥ 第3题. 函数()x f x a =(0a >,且1a ≠)对于任意的实数x ,y 都有( ) A.()()()f xy f x f y = B.()()()f xy f x f y =+ C.()()()f x y f x f y += D.()()()f x y f x f y +=+ 第4题. 某工区绿化面积每年平均比上一年增长10.4%,经过x 年后的绿化面积成原绿化面积之比为y ,则()y f x =的图象大致为( ) 第5题. 当0a >且1a ≠时,函数2()3x f x a -=-必过定点 . 第6题. 函数()y f x =的图象与2x y =的图象关于x 轴对称,则()f x 的表达式为 . 第7题. 当0x >时,函数()()21x f x a =-的值总大于1,则实数a 的取值范围是 . 第8题. 求不等式2741(0x x a a a -->>,1)a ≠且中x 的取值范围. §4.2.1指数函数及其图像与性质 授课人: 教学目标: (1)知识与能力: 1.了解指数函数模型的实际背景;理解指数函数的概念,能根据定义判断一个函数是否为指数函数; 2.理解指数函数的图像和性质,能根据图像归纳出指数函数的性质; 3.掌握指数函数性质的简单应用。 (2)过程与方法: 1.通过探讨指数函数的概念,感知数学概念的严谨性和科学性,培养学生观察、分析、抽象、概括能力; 2.引导学生进一步体会数形结合的思想,培养学生的识图能力和分析、归纳、总结的技巧; 3.通过学生自己画图提炼函数性质,培养了学生的动手能力、归纳总结等系统的逻辑思维能力和简约直观的思维方法和良好的思维品质。 (3)情感态度与价值观: 1.通过实例引入,让学生深切感受到生活中处处有数学,激发学习的兴趣和动力; 2.学习过程中经历了通过图像探究函数性质的过程,使学生体会到认识事物的特殊性与一般性之间的关系; 3.通过主动探究、合作学习、相互交流,感受探索的乐趣与成功的喜悦,体会数学的理性与严谨,养成实事求是的科学态度和锲而不舍的钻研精神; 4.通过作图,教师有意识地向学生渗透抽象与具体、联系与转化、特殊与一般、个性与共性等辩证唯物主义的观点和方法,培养学生的自尊、自强、自信、自主等良好的心理潜能、主人翁意识和集体主义精神。 教学重点与难点: 重点:理解指数函数的概念,掌握指数函数的图象和性质; 难点:(1)指数函数的概念中对底数a的规定; (2)用数形结合的方法,从具体到一般的探索、概括指数函数的性质。 教学方法: 发现法、探究法、讨论法. 教学过程: 故事引入: 一个叫杰米的百万富翁,一天,碰上一件奇怪的事,一个叫韦伯的人对他说,我想和你定个合同,我将在整整一个月中每天给你10万元,而你第一天只需给我一分钱,而后每一天给我的钱是前一天的两倍。杰米说:“真的?!你说话算数?”合同开始生效了,杰米欣喜若狂。第一天杰米支出一分钱,收入10万元;第二天,杰米支出2分钱,收入10万元;第三天,杰米支出4分钱,收入10万元;...... 第5讲指数与指数函数 [考纲] 1.了解指数函数模型的实际背景. 2.理解有理数指数幂的含义,了解实数指数幂的意义,掌握幂的运算. 3.理解指数函数的概念及其单调性,掌握指数函数图象通过的特殊点,会画底 数为2,3,10,1 2, 1 3的指数函数的图象. 4.体会指数函数是一类重要的函数模型. 知识梳理1.根式 (1)根式的概念 ①n a n= ?? ? ??a,n为奇数, |a|= ? ? ?a,a≥0, -a,a<0, n为偶数. ②(n a)n=a. 2.有理数指数幂 (1)幂的有关概念 ①零指数幂:a0=1(a≠0). ②负整数指数幂:a-p=1 a p(a≠0,p∈N *); ③正分数指数幂:a n m=n a m(a>0,m,n∈N*,且n>1); ④负分数指数幂:a n m -= a n m 1 = 1n a m (a >0,m ,n ∈N *,且n >1); ⑤0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂无意义. (2)有理数指数幂的性质 ①a r a s =a r +s (a >0,r ,s ∈Q ); ②(a r )s =a rs (a >0,r ,s ∈Q ); ③(ab )r =a r b r (a >0,b >0,r ∈Q ). 3.指数函数的图象与性质 辨 析 感 悟 1.指数幂的应用辨析 (1)(4 -2)4=-2.( ) (2)(教材探究改编)(n a n )=a .( ) 2.对指数函数的理解 (3)函数y =3·2x 是指数函数.( ) (4)y =? ?? ?? 1a x 是R 上的减函数.( ) (5)指数函数在同一直角坐标系中的图象的相对位置与底数的大小关系如图, 第10讲 指数函数的图像及性质 一、学习目标 1.理解指数函数的概念和意义,能借助计算器或计算机画出具体指数函数的图像,探索并理解指数函数的单调性与特殊点,掌握指数函数的性质 2.在解决简单实际问题的过程中,体会指数函数是一类重要的函数模型. 掌握指数函数的性质及应用. 3. 逐步渗透数形结合的数学思想方法 二、重点难点 1.教学重点:利用函数的单调性求最值 2.教学难点:函数在给定区间上的最大(小)值 第一部分 知识梳理 讨论:12()2x x y y ==与的图象关于y 轴对称,所以这两个函数是偶函数,对吗? ②利用电脑软件画出11 5,3,(),()35x x x x y y y y ====的函数图 象. 864 2 -2 -4 -6 -8-5510 问题:1:从画出的图象中,你能发现函数的图象与底数间有什么样的规律. 8 6 4 2 -2-4 -6 -8-5 510 从图上看x y a =(a >1)与x y a =(0<a <1)两函数图象的特征. 问题2:根据函数的图象研究函数的定义域、值域、特殊点、单调性、最大(小)值、奇偶性. 3x y = 5x y = 13x y ??= ??? 15x y ?? = ??? 0 问题3:指数函数x y a =(a >0且a ≠1),当底数越大时,函数图象间有什么样的关系 图象特征 函数性质 a >1 0<a <1 a >1 0<a <1 向x 轴正负方向无限延伸 函数的定义域为R 图象关于原点和y 轴不对称 非奇非偶函数 函数图象都在x 轴上方 函数的值域为R + 函数图象都过定点(0,1) 0a =1 自左向右, 图象逐渐上升 自左向右, 图象逐渐下降 增函数 减函数 在第一象限内的图 象纵坐标都大于1 在第一象限内的图 象纵坐标都小于1 x >0,x a >1 x >0,x a <1 在第二象限内的图 象纵坐标都小于1 在第二象限内的图 象纵坐标都大于1 x <0,x a <1 x <0,x a >1 5.利用函数的单调性,结合图象还可以看出: (1)在[,]x a b f x a 上,()=(a >0且a ≠1)值域是[(),()][(),()];f a f b f b f a 或 (2)若0,x f x f x x ≠≠∈则()1;()取遍所有正数当且仅当R; (3)对于指数函数()x f x a =(a >0且a ≠1),总有(1);f a = (4)当a >1时,若1x <2x ,则1()f x <2()f x ; 例1:(P 66例7)比较下列各题中的个值的大小 (1)1.72.5 与 1.7 3 ( 2 )0.10.8-与0.20.8 - ( 3 ) 1.70.3 与 0.9 3.1 1、已知0.70.90.8 0.8,0.8, 1.2,a b c ===按大小顺序排列,,a b c . 2. 比较1 132a a 与的大小(a >0且a ≠0). x y d =的图象,判断,,,a b c d 与1的大小关系; 分数指数幂的运算 【知识要点】 1、整数指数幂运算性质 (1)=?n m a a ),(Z n m ∈ (2) =n m a a ),(Z n m ∈ (3) =n m a )( ),(Z n m ∈ (4)=?n b a )( )(Z n ∈ (5) 根式运算性质 ???=为偶数 为奇数n a n a a n n ,, 2、正数的正分数指数幂的意义 n m n m a a = (n m a ,,0>∈N *,且)1>n 注意:(1)分数指数幂是根式的另一种表示形式; (2)二是根式与分数指数幂可以进行互化. 3、对正数的负分数指数幂和0的分数指数幂作如下规定. (1)n m n m a a 1= - (n m a ,,0>∈N * ,且)1>n (2)0的正分数指数幂等于0. (3)0的负分数指数幂无意义. 4、有理指数幂的运算性质 (1)∈>=?+s r a a a a s r s r ,,0(Q ) (2) ∈>=s r a a a rs s r ,,0()(Q ) (3) ∈>=?s r a b a b a r r r ,,0()(Q ) 注意:若p a ,0>是一个无理数,则p a 表示一个确定的实数,上述有理指数幂的运算性质,对于无理数指数幂都适用 求值:4332 13 2)81 16(,)41(,100,8- -- ,23)425(-,423 981?,63125.132?? 计算:[] .01.016 )2()8 7 ()064.0(2 175 .03 43 03 1 -++-+---- - 1.化简:(1)2 93 2 )- (2 (3) 2.计算求值() ()( ) .322 510002.08330 1 2 13 2-+--+? ? ? ??--- - 3.÷--)8)(3(312 12 13 2b a b a )6(6 561b a - 4.化简代数式 .21 12 2112112----------+---+-b a b a b a b b a a 5.化简计算:(1))2(4121y x -)2(4121y x + (2)42 34 32 1)(k n m - 6.已知22 12 1=+- a a ,求下列各式的值。 (1);1 -+a a (2);2 2 -+a a 7.已知32x a b --=+, . 对数函数 一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的,请把正确答案的代号填在题后的括号内. 1.对数式b a a =--)5(log 2中,实数a 的取值范围是 ( ) A .)5,(-∞ B .(2,5) C .),2(+∞ D . )5,3()3,2(Y 2.如果lgx =lga +3lgb -5lgc ,那么 ( ) A .x =a +3b -c B .c ab x 53= C .53 c ab x = D .x =a +b 3-c 3 3.设函数y =lg(x 2-5x )的定义域为M ,函数y =lg(x -5)+lg x 的定义域为N ,则 ( ) A .M ∪N=R B .M=N C .M ?N D .M ?N 4.若函数log 2(kx 2+4kx +3)的定义域为R ,则k 的取值范围是 ( ) A .??? ? ?43,0 B .??????43,0 C .??? ???4 3,0 D .?? ? ??+∞-∞,43 ]0,(Y 5.下列函数图象正确的是 ( ) A B C D 6.已知函数) (1 )()(x f x f x g - =,其中log 2f (x )=2x ,x ∈R ,则g(x ) ( ) A .是奇函数又是减函数 B .是偶函数又是增函数 C .是奇函数又是增函数 D .是偶函数又是减函数 8.如果y=log 2a -1x 在(0,+∞)内是减函数,则a 的取值范围是 ( ) A .|a |>1 B .|a |<2 C .a 2-< D .21< 指数与指数函数 [考试要求] 1.理解有理指数幂的含义,了解实数指数幂的意义,掌握幂的运算. 2.了解指数函数模型的实际背景,理解指数函数的概念及其单调性,掌握指数函数图象通过的特殊点,会画底数为2,3,10,12,1 3 的指数函数的图象. 3.体会指数函数是一类重要的函数模型. 1.根式 (1)n 次方根的概念 ①若x n =a ,则x 叫做a 的n 次方根,其中n >1且n ∈N *.式子n a 叫做根式,这里n 叫做根指数,a 叫做被开方数. ②a 的n 次方根的表示: x n =a ??? ? x =n a ,当n 为奇数且n ∈N * ,n >1时, x =±n a ,当n 为偶数且n ∈N * 时. (2)根式的性质 ①(n a )n =a (n ∈N *,n >1). ②n a n =??? a ,n 为奇数,|a |=? ?? ?? a ,a ≥0, -a ,a <0,n 为偶数. 2.有理数指数幂 (1)幂的有关概念 ①正分数指数幂:a m n =n a m (a >0,m ,n ∈N *,且n >1); ②负分数指数幂:a -m n = = (a >0,m ,n ∈N *,且n >1); ③0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义. (2)有理数指数幂的运算性质 ①a r a s =a r + s (a >0,r ,s ∈Q ); ②(a r )s =a rs (a >0,r ,s ∈Q ); ③(ab )r =a r b r (a >0,b >0,r ∈Q ). 提醒:有理数指数幂的运算性质中,要求底数都大于0,否则不能用性质来运算. 3.指数函数的概念 函数y =a x (a >0,且a ≠1)叫做指数函数,其中指数x 是自变量,a 是底数,指数函数的定义域为R . 提醒:形如y =ka x ,y =a x +k (k ∈R ,且k ≠0;a >0且a ≠1)的函数叫做指数型函数,不是指数函数. 4.指数函数的图象与性质 y =a x a >1 0<a <1 图象 定义域 R 值域 (0,+∞) 过定点(0,1) 性质 当x >0时,y >1; 当x <0时,0<y <1 当x >0时,0<y <1; 当x <0时,y >1 在R 上是增函数 在R 上是减函数 [常用结论] 1.指数函数图象的画法 画指数函数y =a x (a >0,且a ≠1)的图象,应抓住三个关键点:(1,a ),(0,1),????-1,1a . 2.指数函数的图象与底数大小的比较 如图是指数函数(1)y =a x ,(2)y =b x ,(3)y =c x ,(4)y =d x 的图象,底数a ,b ,c ,d 与1之间的大小关系为c >d >1>a >b >0.由此我们可得到以下规律:在第一象限内,指数函数y =a x (a >0,a ≠1)的图象越高,底数越大. 指数与指数函数图像及性质 【知识要点】 1.根式 (1)如果a x n =,那么x 叫做a 的n 次方根.其中1>n ,且* ∈N n 。 (2)如果a x n =,当n 为奇数时,n a x =;当n 为偶数时,n a x ±=()0>a .其中n a 叫做根式,n 叫做根指数,a 叫做被开方数. 其中1>n ,且* ∈N n 。 (3)() () *∈>==N n n a a n n n ,1, 00。 (4) ,||,a n a n ?=? ?为奇数 为偶数 其中1>n ,且*∈N n 。 2. 分数指数幂 (1)正分数指数幂的定义: n m n m a a =()1,,,0>∈>*n N n m a (2)负分数指数幂的定义: n m n m a a 1=- () 1,,,0>∈>* n N n m a (3) 要注意四点: ①分数指数幂是根式的另一种表示形式; ②根式与分数指数幂可以进行互化; ③0的正分数指数幂等于0; ④0的负分数指数幂无意义。 (4)有理数指数幂的运算性质: ①s r s r a a a +=?()Q s r a ∈>,,0; ② () rs s r a a =()Q s r a ∈>,,0; ③()r r r b a ab =()Q r b a ∈>>,,0,0. 3.无理数指数幂 (1)无理数指数幂的值可以用有理数指数幂的值去逼近; (2)有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂。 4.指数函数的概念: 一般地,函数()0,1x y a a a =>≠且叫做指数函数,其中x 是自变量,函数的定义域是R 。 5.指数函数的图像与性质 第一课时 【典例精讲】 题型一 根式、指数幂的化简与求值 一轮复习: 指数与指数函数 [最新考纲] 1.了解指数函数模型的实际背景. 2.理解有理数指数幂的含义,了解实数指数幂的意义,掌握幂的运算. 3.理解指数函数的概念及其单调性,掌握指数函数图象通过的特殊点,会画底数为2,3,10,12,1 3的指数函数的图象. 4.体会指数函数是一类重要的函数模型. 知 识 梳 理 1.根式 (1)根式的概念 ①n a n =? ???? a ,n 为奇数, |a |=??? ?? a ,a ≥0,-a ,a <0, n 为偶数. ②( n a )n =a . 2.有理数指数幂 (1)幂的有关概念 ①零指数幂:a 0=1(a ≠0). ②负整数指数幂:a -p = 1 a p (a ≠0,p ∈N *); ③正分数指数幂:a n m =n a m (a >0,m ,n ∈ N *,且n >1); ④负分数指数幂:a n m -= a n m 1 = 1 n a m (a >0,m ,n ∈N *,且n >1); ⑤0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂无意义. (2)有理数指数幂的性质 ①a r a s =a r +s (a >0,r ,s ∈Q ); ②(a r )s =a rs (a >0,r ,s ∈Q ); ③(ab)r=a r b r(a>0,b>0,r∈Q).3.指数函数的图象与性质 1.指数幂的应用辨析 (1)(4 -2)4=-2.(×) (2)(教材探究改编)(n a n)=a.(×) 2.对指数函数的理解 (3)函数y =3·2x 是指数函数.(×) (4)y =? ?? ?? ?1a x 是R 上的减函数.(×) (5)指数函数在同一直角坐标系中的图象的相对位置与底数的大小关系如图, 无论在y 轴的左侧还是右侧图象从上到下相应的底数由大变小.(×) (6)(2013·调研改编)已知函数f (x )=4+a x -1(a >0且a ≠1)的图象恒过定点P ,则点P 的坐标是(1,5).(√) [感悟·提升] 1.“ n a n ”与“? ?? ??n a n ”的区别 当n 为奇数时,或当n 为偶数且a ≥0时,n a n =a ,当n 为偶数,且a <0时, n a n =-a ,而(n a )n =a 恒成立.如(1)中 4 -2 不成立,(2)中6 -22=3 2≠3 -2. 2.两点注意 一是指数函数的单调性是底数a 的大小决定的,因此解题时通常对底数a 按0<a <1和a >1进行分类讨论,如(4); 二是指数函数在同一直角坐标系中的图象与底数的大小关系,在y 轴右侧,图象从上到下相应的底数由大变小,在y 轴左侧,图象从上到下相应的底数由小变大.如(5). 学生用书 第22页 指数与指数函数 一、知识梳理: 1、分数指数幂与无理指数幂 (1)、如果,那么x就叫做a的n次方根,其中n>1,且;当n是正奇数时,正数的n次方根是一个正数,负数的n次方根是一个负数,当n是偶数时,正数的n次方根有两个,这两个是互为相反数,负数没有偶次方程,0的任何次方根都是0 (2)、叫根式,n叫根指数,a叫被方数。 在有意义的前提下,=,当n为奇数时,=a ;当n是偶数时, =| a | (3)、规定正数的正分数指数幂的意义是= (a>0,m,n1),正数的负分数指数幂的意义为= (a>0,m,n1),0的正分数指数幂是0,0的负分数指数幂没有意义。 (4)、一般地,无理数指数幂(a>0,k是无理数),是一个确定的实数。 2、指数幂的运算性质 = (a>0,r,s) = = 3、指数数函数及性质 (1)指数函数的定义: (2)、指数函数的图象及性质 图象的性质主要指①定义域②值域③单调性④奇偶性⑤周期性⑥特殊点⑦特殊线 图象分a1 与a<1两种情况。 指数函数不具有奇偶性与周期性,从而,指数函数最为重要的性质是单调性,对单调性的考查,一方面是利用自变量的大小比较函数值的大小,反映在题目上就上比较大小,另一方面是利用函数值的大小比较自变量的大小,反映在题目上就是解不等式。 二、题型探究 [探究一]、根式、指数幂的运算 例1:计算: (1).4 0.062 5+ 25 4 -(π)0- 327 8 ; (2).a1.5·a-1.5·(a-5)0.5·(a0.5)3(a>0). 解析:(1)原式=0.5+5 2 -1- 3 2 = 1 2 . (2)原式=a1.5-1.5-2.5+1.5=a-1=1 a . 指数函数的图象及其性质 一、教学内容分析 本节课是《普通高中课程标准实验教科书·数学(1)》(人教A版)第二章第一节第二课(2.1.2)《指数函数及其性质》。根据我所任教的学生的实际情况,我将《指数函数及其性质》划分为两节课(探究图象及其性质,指数函数及其性质的应用),这是第一节课“探究图象及其性质”。指数函数是重要的基本初等函数之一,作为常见函数,它不仅是今后学习对数函数和幂函数的基础,同时在生活及生产实际中有着广泛的应用,所以指数函数应重点研究。 二、学生学习况情分析 指数函数是在学生系统学习了函数概念,基本掌握了函数的性质的基础上进行研究的,是学生对函数概念及性质的第一次应用。教材在之前的学习中给出了两个实际例子(GDP的增长问题和炭14的衰减问题),已经让学生感受到指数函数的实际背景,但这两个例子背景对于学生来说有些陌生。本节课先设计一个看似简单的问题,通过超出想象的结果来激发学生学习新知的兴趣和欲望。 三、教学目标 知识与技能:了解指数函数的模型的实际背景,理解指数函数的概念和意义,理解指数函数的单调性与特殊点。 过程与方法:能借助计算器或计算机画出具体指数函数的图像,探索指数函数的单调性与特殊点。 情感、态度与价值观:通过画指数函数的图像,体会指数函数的图像的重要性,同时体现图形的对称美,激发学习兴趣,努力探索问题。 四、教学重点与难点 教学重点:指数函数的概念、图象和性质。 教学难点:对底数的分类,如何由图象、解析式归纳指数函数的性质。 五、教学过程: (一)创设游戏情境,设疑激趣(约3分钟) 学生分成小组,动手折纸 , 观察对折次数与所得纸的层数的关系。得出折一次为 2 层纸,折两次为 22层纸 , 折三次为 23层纸 ...那么,如何用x来表示y呢? 老师引导学生共同探究 X=0,y=20=1 X=1,y=21=2高三指数函数与对数函数第一轮复习
高三第一轮复习:指数函数的图像与性质
指数函数图像与性质的教案
2018年指数与指数函数高三第一轮复习讲义
3.1《指数函数的图像和性质》教学设计
指数函数的图像及性质
中职-指数函数及其图像与性质公开课-教案
高考数学(人教A版,理)一轮复习配套讲义:第2篇 第5讲 指数与指数函数
指数函数的图像及性质知识要点
高三指数函数与对数函数第一轮复习.
高三一轮复习对数和指数函数试题与答案
2022届高考数学统考一轮复习第2章函数第6节指数与指数函数教师用书教案理新人教版.doc
指数与指数函数图像及性质(教师版)
一轮复习:指数与指数函数
高三数学第一轮复习 指数与指数函数教案 文
指数函数的图象及其性质
2019届高考数学一轮复习第二章函数考点规范练8指数与指数函数文新人教B版201803282104