●典例剖析
【例2】 一圆与ｙ轴相切，圆心在直线ｘ－３y =0上，且直线y =x 截圆所得弦长为27，求此圆的方程.
剖析： 利用圆的性质：半弦、半径和弦心距构成的直角三角形.
解:因圆与y 轴相切,且圆心在直线x －3y =0上,故设圆方程为（x －3b )2+(y －ｂ)2=9b 2. 又因为直线y =ｘ截圆得弦长为2
7，则有(
2
|
3|b b -)2＋（
7)２=9b 2,解得b =±1.故所求圆方程为
(x －3)2+（ｙ-１）2＝９或(x ＋3）2+（y +1)2=9. 夯实基础
１．方程ｘ2＋ｙ２+Dx +Ey +F ＝0(D 2+E ２
-4Ｆ>0)表示的曲线关于x ＋y =０成轴对称图形，则 Ａ.D +E ＝０B. B.Ｄ＋Ｆ=0 Ｃ.E +Ｆ=０ D. D ＋E +Ｆ=０ 解析：曲线关于x ＋ｙ=0成轴对称图形，即圆心在x +y ＝0上.答案：A
２.（2０04年全国Ⅱ，8）在坐标平面内，与点A （1,2）距离为1,且与点B （3，1）距离为2的直线共有 A ．1条 B.2条 C.3条 D ．4条 解析:分别以A 、B 为圆心，以１、2为半径作圆,两圆的公切线有两条,即为所求.答案：B
3.（２00５年黄冈市调研题)圆x 2+y 2+x －６y ＋3=０上两点P 、Q 关于直线ｋx -ｙ＋4=0对称，则k ＝____＿＿______.
解析:圆心（－
2
1
，3）在直线上，代入kx -y ＋4=0，得k =2.答案:2 4.（2０04年全国卷Ⅲ，1６)设Ｐ为圆x 2+y ２
＝1上的动点,则点P 到直线3x －4y -１0=０的 距离的最小值为＿_______＿＿__． 解析：圆心（0，0）到直线3x -4y －10=0的距离d =
5
|
10|-=2.再由d －r ＝2-1=1，知最小距离为１.答案：1 5．（2005年启东市调研题）设O 为坐标原点，曲线x ２
＋y 2+2x －6y +１＝0上有两点P 、Ｑ,满足关于直线x +my +4=0对称，又满足·＝0．（1)求m 的值;(２)求直线ＰQ 的方程.
解:(1）曲线方程为（ｘ+1）2+（ｙ－3）2＝9表示圆心为(－1,3),半径为3的圆．
∵点P 、Q 在圆上且关于直线x +my +４=０对称,∴圆心(－１,3)在直线上．代入得m =－1. (2)∵直线P Ｑ与直线y =x ＋4垂直，
∴设P (x 1，y １)、Q (x 2,y ２）,ＰQ 方程为y ＝－ｘ+b .将直线y =-ｘ+b 代入圆方程,得２ｘ2+2(4-b ）ｘ+ｂ2－６b +1＝０．
Δ=4(4-b ）2-４×2×（b 2-６b +１）>0，得
2-32<ｂ<2+32．由韦达定理得ｘ1+ｘ２=－（４－b ）,ｘ1·x ２＝2
1
62+-b b .
y １·y ２=b 2
－ｂ(x 1+x 2）+x 1·ｘ2=2
162+-b b +４ｂ.∵·=0,∴ｘ1x 2+y 1y 2=0，即ｂ2－6b +1＋４b =0.
解得b =１∈(2－３2,2＋３2).∴所求的直线方程为ｙ＝-x +1.
培养能力
7.已知实数ｘ、y 满足方程x ２
+y 2-4x +1=０.求(1）x
y
的最大值和最小值;（２)y -ｘ的最小值; （3)ｘ2+y ２
的最大值和最小值.
解:(1）如图，方程x 2＋y ２
－４x ＋1＝0表示以点(2，0)为圆心,以
3为半径的圆．
设
x y
=k ，即y =kx ,由圆心(2,0）到y =k ｘ的距离为半径时直线与圆相切，斜率取得最大、最小值.由1
|02|2+-k k =3，
解得k 2＝3.所以k ｍａx =
3,k ｍin =－3.
（2)设y -x =b ，则y =x ＋b ，仅当直线ｙ=x +b 与圆切于第四象限时,纵轴截距b 取最小值.由点到直线的距离公式,得2
|
02|b +-=
3，即b =
－２±
6，故（y -ｘ）min =-２－6.
（3)ｘ2+ｙ２
是圆上点与原点距离之平方,故连结OC ，与圆交于B 点，并延长交圆于C ′，则(x ２
+y 2)ma ｘ=|OC ′|=２+3,（ｘ2＋y 2）min ＝|OB ｜=
２－
3．
8.(文)求过两点A （１，４）、B （３,2),且圆心在直线y =0上的圆的标准方程.并判断点M １（2，3）,M 2(２，4)与圆的位置关系．
解：根据圆的标准方程，只要求得圆心坐标和圆的半径即可． 因为圆过A 、B 两点，所以圆心在线段A Ｂ的垂直平分线上.由k ＡB =
3
12
4--=－１,AB 的中点为(2，3）, 故A Ｂ的垂直平分线的方程为y －3=x -2，即x -ｙ+1＝0.又圆心在直线y =0上,因此圆心坐标是方程组 x -y +1＝０，
y ＝０ 半径r =
22)40()11(-+--=20，所以得所求圆的标准方程为(ｘ+1）2+y 2=20.
因为M 1到圆心C （-1，0）的距离为22)03()12(-++=18,|Ｍ１C |＜ｒ，所以M 1在圆C 内；而点M 2到圆心Ｃ的距离|Ｍ２C ｜
=22)04()12(-++=25>20,所以Ｍ２在圆C 外.
的解，即圆心坐标为（－1，0）.
“求经过两圆04622
=-++x y x
和028622=-++y y x 的交点，并且圆心在直线04=--y x 上的圆的方程。”同学们普遍使用下
面两种方法求解：
方法—：先求出两已知圆交点()()2,6,3,121---A A ，再设圆心坐标为),4(b b B +,根据r B A B A ==21,可求出圆心坐标及半径r ，
于是可得所求圆方程。
方法二:先求出两已知圆交点
()()2,6,3,121---A A ,再设所求圆的方程为:022=++++F Ey Dx y x ，其圆心为()22,E
D --，代入
04=--y x ，再将A 1,Ａ2两点坐标代入所设圆的方程,可得三个关于D,E,F 的三元一次方程组,求出D,Ｅ,Ｆ的值，这样便可得所求圆的方程。 但是如果我们利用“过两已知圆交点的圆系”的方法求解，可以更加方便。
经过两已知圆的交点的圆系
设圆C 1与C 2的方程为: C １:
011122=++++F y E x D y x
C 2:
022222=++++F y E x D y x .
并且两圆相交于两点。引进一个参数λ,并令：
11122F y E x D y x +++++λ(22222F y E x D y x ++++)＝０ ——①
其中λ
≠－1。
引进两个参数1λ和2λ，并令:
1λ（11122F y E x D y x ++++)＋2λ（22222F y E x D y x ++++）=0 ——② 其中1λ＋2λ≠０
不论参数取何值，方程①与②中的x 2项和y ２
项的系数相等,方程没有xy 项，而且两已知圆的两个交点的坐标适合方程①与②,所以①与②都是经过两已知圆的交点的圆系，但是①与②稍有不同:
⑴ 当λ＝0时，方程①的曲线就是圆Ｃ1;不论λ为何值,方程①的曲线都不会是圆Ｃ2。所以方程①表示经过两已知圆的交点的一切圆，包括圆Ｃ1在内，但不包括圆C 2。
⑵ 当1λ=0时,方程②的曲线就是圆C 2；当2λ=0时,方程②的曲线就是圆 C 1。所以方程②表示经过两已知圆的交点的一切圆，包括圆Ｃ1和圆C ２在内。
下面应用圆系来解本文前面的问题：
设经过已知两圆的交点的圆的方程为：
0)286(462222=-+++-++y y x x y x λ. （λ≠-1）则其圆心坐标为)13,13(λ
λλ+-+-
∵ 所求圆的圆心在直线04=--
y x 上∴ λ+-
13＋λ
λ+13-4＝0, 解得λ＝-7 ∴ 所求圆的方程为:4622-++x y x -70)286(22=-++y y x 即:03272
2=-+-+y x y x
下面再举两例说明圆系的应用 例1． 求经过两已知圆:06422
=--+x y x
和06422=--+y y x 的交点且圆心的横坐标为３的圆的方程。
解： 设经过两已知圆交点的圆系的方程为：
0)64(642222=--++--+y y x x y x λ （λ≠－１)
其圆心的横坐标为:λ+=12x ,令 λ+12=3 得 3
1
-=λ
∴ 所求圆的方程为：0)64(3
1642
222=--+---+y y x x y x 即 062622=-+-+y x y x
例２． 设圆方程为:
016448)4012()42()4()4(22=--+++++++λλλλλy x y x 其中λ≠－4
求证: 不论λ为何值,所给圆必经过两个定点。 证明： 把所给方程写为：
0)48122()4110(42222=-++++-+++y x y x y x y x λ
这是经过以下两个圆的交点的圆系的方程：
481220
41102222=-+++=-+++y x y x y x y x
所以,不论λ为何值,所给圆必经过这两个圆的两个交点
直线与圆的位置关系
二、例题选析
例1：求由下列条件所决定圆422
=+y x 的圆的切线方程；
(１）经过点)1,3(P ，(2)经过点)0,3(Q ,(3）斜率为1-
解:（1) 41)3(22=+ ∴点)1,3(P 在圆上，故所求切线方程为43=+y x 。
(2）403
22
>+ ∴点Q 在圆外。
设切线方程为)3(-=x k y 即03=--k y kx 直线与圆相切,∴圆心到直线的距离等于半径，∴
2132
=+-k k ,∴55
2±
=k ∴所求切线方程为
)3(55
2
-±
=x y 。 (3)设圆的切线方程为b x y +-=，代入圆的方程。整理得，04222
2=-+-b bx x ,∵直线与圆相切
∴0)4(24)2(22=-?--=?
b b ,解得22±=b 。
∴所求切线方程为022=±+
y x 。
小结:利用圆心到切线的距离等于半径是解决圆的切线问题的常用方法。判别式法求切线方程适用圆锥曲线，当然对于圆也适用。 例2：已知点),(00y x P 在圆022
=++++F Ey Dx y x
的外部,过P 作圆的切线,切点为M ,求证
F Ey Dx y x PM ++++=002
020。
证明:如图7－53-1,圆心)2
,2(E
D C --,
半径
F E D CM 421
22-+=, 2020)2
()2(E
y D x CP +++=
由勾股定理得
2
2
CM
CP PM -=
4
4)2()2(222020F
E D E y D x -+-
+++=
F
Ey Dx y x ++++=002
020
小结:(1）此题的证明，给出了切线长公式，即将圆外一点的坐标代入圆的一般方程左端，再取算术平方根即为切线长。 （2)以
CP 为直径的圆与圆C 相交于M 、N 两点，则M 、N 为切点。若圆C 的方程为222r y x =+,则两切点连线所在的直线方程为
200r y y x x =+。
例3：从圆外一点),(b a P 向圆222
r y x
=+引割线,交该圆于A 、B 两点,求弦AB 的中点轨迹方程。
解：如图7-53-2，设AB 的中点),(y x M ，
连接OM ，),(y x =，),(b y a x --=，
∵PM ⊥,∴0=?OM ,
即0),)(,(=--b y a x y x ∴0)()(=-+-b y y a x x
∴022
=--+by ax y x ，)(r x r <<-
小结:此题用向量法求得轨迹方程，显得简明快捷。读者可用一般方法求轨迹方程,即设出割线方程，和圆联立方程组,由韦达定理建立中点坐标的参数方程,继而求得普通方程。还可用两直线垂直的充要条件，但必须讨论斜率存在与不存在两种情况。都比向量法要麻烦。
备选例题：
例4*
:已知对于圆1)1(22
=-+y x
上任意一点),(y x P ，不等式0≥++m y x 恒成立,求实数m 的取值范围。
