博弈论的基础知识与应用(转)
1 基础知识
博弈论是一种独特的处于各学科之间的研究人类行为的方法。与博弈论有关的学科包括数学、经济学以及其他社会科学和行为科学。博弈论（如同计算科学理论和许多其他的贡献一样）是由约翰.冯.诺伊曼（John von Neumann）创立的。博弈论领域第一本重要著作是诺伊曼与另一个伟大的数理经济学家奥斯卡.摩根斯坦（Oskar Morgenstern）共同写成的《博弈论与经济行为》（The Theory of Games and Economic Behavior）。当然，摩根斯坦把新古典经济学的思想带入了合作中，但是诺伊曼也同样意识到那些思想并对新古典经济学做出了其他的贡献。
■一个科学的隐喻
由于诺伊曼的工作，在更广阔的人类行为互动的范围内，“博弈”成为了一个科学的隐喻。在人类的互动行为中，结局依赖于两个或更多的人们所采取的交互式的战略，这些人们具有相反的动机或者最好的组合动机（mixed motives）。在博弈论中常常讨论的问题包括：
1）当结局依赖于其他人所选择的战略以及信息是完全的时候，“理性地”选择战略意味着什么？
2）在允许共同得益或者共同损失的“博弈”中，寻求合作以实现共同得益（或避免共同损失）是否“理性”？或者，采取侵略
性的行动以寻求私人利益而不顾共同得益或共同损失，这是否是
博弈论的基础知识与应用(转)
1 基础知识
博弈论是一种独特的处于各学科之间的研究人类行为的方法。与博弈论有关的学科包括数学、经济学以及其他社会科学和行为科学。博弈论（如同计算科学理论和许多其他的贡献一样）是由约翰.冯.诺伊曼（John von Neumann）创立的。博弈论领域第一本重要著作是诺伊曼与另一个伟大的数理经济学家奥斯卡.摩根斯坦（Oskar Morgenstern）共同写成的《博弈论与经济行为》（The Theory of Games and Economic Behavior）。当然，摩根斯坦把新古典经济学的思想带入了合作中，但是诺伊曼也同样意识到那些思想并对新古典经济学做出了其他的贡献。
■一个科学的隐喻
由于诺伊曼的工作，在更广阔的人类行为互动的范围内，“博弈”成为了一个科学的隐喻。在人类的互动行为中，结局依赖于两个或更多的人们所采取的交互式的战略，这些人们具有相反的动机或者最好的组合动机（mixed motives）。在博弈论中常常讨论的问题包括：
1）当结局依赖于其他人所选择的战略以及信息是完全的时候，“理性地”选择战略意味着什么？
2）在允许共同得益或者共同损失的“博弈”中，寻求合作以
实现共同得益（或避免共同损失）是否“理性”？或者，采取侵略性的行动以寻求私人利益而不顾共同得益或共同损失，这是否是“理性”的？
3）如果对2）的回答是“有时候是”，那么在什么样的环境下侵略是理性的，在什么样的情况下合作是理性的？
4）在特定情况下，正在持续的关系与单方退出这种关系是不同的吗？
5）在理性的自我主义者的行为互动中，合作的道德规则可以自然而然地出现吗？
6）在这些情况下，真正的人类行为与“理性”行为是否相符？
7）如果不符，在那些方面不符？相对于“理性”，人们更倾向于合作？或者更倾向于侵略？抑或二者皆是？
因而，博弈论研究的“博弈”包括：
破产
门口的野蛮人（Barbarians at the Gate）
网络战（Battle of the Networks）
货物出门，概不退换（Caveat Emptor）
征召（Conscription）
协调（Coordination）
逃避（Escape and Evasion）
青蛙呼叫配偶（Frogs Call for Mates）
鹰鸽博弈（Hawk versus Dove）
Mutually Assured Destruction
多数决定原则（Majority Rule）
Market Niche
共同防卫（Mutual Defense）
囚徒困境（Prisoner’s Dilemma）
补贴小商业Subsidized Small Business
公共地悲剧Tragedy of the Commons
最后通牒Ultimatum
视频系统协调Video System Coordination
■理性
新古典经济学与博弈论之间的关键链接就是理性。新古典经济学建基于这样一个假设之上，即人类在其经济选择行为中是绝对理性的。确切地说，这个假设意味着每个人在其所面临的环境中都会最大化自身的报酬——利润、收入或主观利益。在资源配置研究中，上述假说服务于两个目的：一是稍稍缩小可能发生事物的范围；二是提供了一个衡量经济体制效率的标准。如果经济体制导致部分人的报酬减少，而又没有对其他人产生更多的报偿（宽泛地讲就是成本大于收益），那么在某些方面就产生了失误。污染、渔业资源的过度开发、不恰当的资源用于研究（inadequate resources committed to research）都是这类问题的例子。
在新古典经济学中，理性的个人面临特定的体制或制度，包括
产权、货币和高度竞争的市场。这些是个人纳入最大化报酬计算的许多
“情况”之一。财产权利、货币经济以及理想化的竞争市场的隐含意义是经济个体不需要考虑自己与其他经济个体的行为互动。他或她只需要考虑自己的境况和“市场条件”。但这导致了两个问题：一是理论的范围受到局限。只要竞争受到限制（但没有垄断）或者产权没有完全界定，众望所归的新古典经济学理论就不适用了，并且新古典经济学也从未产生可接受的理论扩展以覆盖上述情况。对于新古典经学来说，决策是在货币经济之外做出的，这也是有问题的。
博弈论正好面对上述问题：提供一个关于人们直接（而不是“通过市场”）互动的经济和战略行为的理论。在博弈论中，“博弈”始终是针对人类社会严肃的互动行为的一个隐喻。博弈论也许是关于纸牌游戏或者棒球运动的理论，但却不是关于象棋的理论，它是关于这样一些严肃的互动行为比如市场竞争、军备竞赛和环境污染的理论。只不过博弈论涉及这些问题的时候使用的是博弈的隐喻意义：在这些严肃的互动行为中，就象在游戏中一样，个体的选择实质上是战略选择，行为互动的结局依赖于每个参与人所选择的战略。通过这样的阐释，研究“博弈”可以真正告诉我们关于严肃的互动行为的一些事情。但是，究竟会告诉我们多少？
在新古典经济学理论中，理性地进行选择就是要最大化自身的收益。在某种观点看来，这是一个数学问题：在给定环境条件下选
择最大化报酬的行动。因而我们可以把理性的经济选择当作一个数学问题的“解”。在博弈论中，情况就更复杂了。既然结局不仅依赖于自身的战略和
“市场”条件，也直接依赖于其他人所选择的战略，但我们仍然可以把理性的战略选择当作一个数学问题——最大化行为互动中的决策制定者群体的报酬——从而我们再次称理性的结果是博弈的“解”。
2 囚徒的困境
博弈论近来的发展，特别是1994年诺贝尔纪念奖授予给三位博弈论理论家以及89岁高龄的塔克（A. W. Tucker）在1995年1月的去世，唤起了人们对博弈论创立时的回忆。尽管博弈论可以追索到更早的时代，但其兴起的关键时期是20世纪40年代。当然，《博弈论与经济行为》的出版是一个特别重要的台阶。但是，在某种程度上，塔克发明的“囚徒困境”例子更为重要。这个可以在一页纸上求解出来的例子在20世纪下半叶的社会科学中可能是最具影响的一页。
这个杰出的创见并不是出自研究论文，而出自于课堂。正如S. J. Hagenmayer在《费城调查者（Philadelphia Inquirer）》(“Albert W. Tucker, 89, Famed Mathematician,“ Thursday, Feb. 2, 1995, p.. B7)中写到：“在1950年，作为访问教授，塔克在斯坦福大学向由心理学家组成的听众发表演说的时候，创造了‘囚徒困境’来说明分析某些类型博弈的困难。塔克的简单解释导致了后来大量的文献。这些文
献来自不同的领域，比如哲学、伦理学、生物学、社会学、政治科学、经济学，当然还有博弈论。”
■囚徒困境博弈
塔克是从这样一个小故事开始的：两个夜贼，鲍伯(Bob)和艾尔(Al)，在行窃现场附近被抓获并被警方隔离拷问。每个夜贼都必须选择是否坦白和揭发对方。如果两个贼都不坦白，他们都将被判刑一年。如果每个贼都坦白并揭发对方，他们都将在监狱中度过10年。但是，如果一个贼坦白并揭发对方，而另一个贼不坦白，那么与警方合作的贼将被释放而另一个贼将在监狱中度过20年。
在这个例子中的战略是：坦白与不坦白。赢利（payoff）（实际上是处罚）是判刑。我们可以用“赢利表（payoff table）”简洁地表达上述信息，这类赢利表已经成为博弈论中很好的标准表达式。以下是囚徒困境博弈的赢利表。
表2-1
艾尔
坦白不坦白
鲍伯坦白10，100，20
不坦白20，01，1
这个表的读法是这样的：每个囚犯从两个战略中选择一个。即，艾尔选择一列，鲍伯选择一行。每个单元格的两个数字告诉两个囚犯相应的战略被选择后的结果。逗号左边的数字表示选择行的人（鲍伯）的赢利，逗号右边的数字表示选择列的人（艾尔）的赢
利。因此（先阅读第一列），如果他们都选择坦白，每人将判刑10年，但是如果艾尔坦白而鲍伯不坦白，鲍伯被判20年而艾尔将被释放。
那么：怎样求解这个博弈？如果双方都想使自己呆在监狱的时间最短，他们选择什么战略是“理性的”？艾尔可能会做这样的推理：“两种事件可能发生：鲍伯要么坦白要么保持沉默。假定鲍伯坦白，我不坦白的话将被判20年，我也坦白的话则判10年。另一方面，如果鲍伯不坦白，我不坦白我被判刑1年，但在这种情况下，如果我坦白我可以被释放。无论怎样，我选择坦白都是最好的。因此，我将坦白。”
但是鲍伯能够而且大概也将做同样的推理——因此他们都将坦白并且都在监狱呆10年。然而，如果他们“不理性”地行动，都保持沉默，他们都可以在1年后被释放。
■占优战略（Dominant Strategies）
这里发生的情况是，两个囚犯陷入了“占优战略均衡”。
定义：占优战略——让博弈的参与人单独地评估他面临的战略组合中的每一个战略，并且，对于每一个组合，他从自己的所有战略中选择一个使他赢利最多的战略。如果对于参与人面临的每一个不同的战略组合，参与人都选择同一个战略，这个被选择的战略就叫该参与人在博弈中的“占优战略”。
定义：占优战略均衡——在一个博弈中，如果每个参与人都有一个占优战略，且每个参与人都采取占优战略，那么（占优）战略
组合及其相应的赢利被认为是构成了博弈的占优战略均衡。
在囚犯困境博弈中，坦白是占优战略，当两个囚犯都选择坦白时，那就是占优战略均衡。
■囚犯困境中需要考虑的问题
这个不同寻常的结果——两个囚犯出于自利的个体理性行动导致双方情况变得更糟糕——在现代社会科学中产生了广泛的影响。因为在现代世界里有大量的行为互动与此极其相似，从军备竞赛到道路拥挤，以及渔业资源贫化污染和地下水资源的过度开发等，莫不如此。这些行为互动在细节上有很大差异，但却如我们想象的一样，个体理性给每个人带来了更差的结果，囚犯困境暗示了它们的发展方向。这就是“囚犯困境”的威力所在。
当然，我们也必须坦白地承认，囚犯困境对于上述行为互动来说是只一个非常简明扼要的概括——如果你愿意，也可说它“不切实际”。囚犯困境也孕育了许多对其进行批评的论点，这些论点构成了许多学术文献的基础：
囚犯困境是二人博弈，但是这一思想的许多应用场合是真正的多人行为互动。
我们假定两个囚犯之间没有进行过沟通。如果他们能够相互沟通并谋求协调战略，我们有可能得到不同的结局。
在囚犯困境中，两个囚犯仅博弈一次。重复的博弈行为可以导致大相径庭的结果。
导致占优战略均衡的推理也许是强制进行的，但它并不是推导
出问题的唯一方式。也许它根本就不是最理性的答案。
3 一个信息技术的例子
博弈论提供了一个很有发展前途的方法去理解各类战略问题，囚犯困境及其他类似例子的简明和威力使它们有了一个自然而然的起点。但是在更为复杂和现实的应用中，常常有一些我们必须考虑的冲突。怎样从一个简化的博弈转移到更现实的博弈模型？现在让我们来看一个真实世界的战略思考的例子：选择信息系统。
这个例子中，参与人是：一个正在考虑选择新的内部电邮系统（internal e-mail system）或内部互联网系统（intranet system）的公司，以及一个正在考虑制造它们的供应商。两个选择是：建立技术先进的系统，或者建立一个功能简单的一般系统。我们假定更先进的系统真的能够提供更多的功能，因此两个参与人的赢利，用户支付给供应商的净额如表3-1所示。
表3-1
用户
先进一般
供应商先进20，200，0
一般0，05，5
我们发现，如果建立先进系统，两个参与者的净收入都将更好。（我们不是宣称现实永远如此！我们仅仅是假设在这个特定的决策下是如此）。可能发生的最糟糕的情况是一个参与者确定先进
系统而另一个参与者却坚持一般系统。在这样的情况下将没有交易，大家也就没有赢利。为了在一起工作，供应商和用户必须具有一个相容的标准，既然标准的选择即战略选择，那么他们的战略必须相互吻合。
尽管第一眼看上去这很象囚犯困境博弈，但它实际上是更复杂的博弈。我们将逐一探讨几个复杂的方面：
仔细看一看，我们发现这个博弈没有占优战略。每个参与人的最优战略依赖于对方所采取的战略。因而，我们需要一个新的可以容纳这种复杂性的博弈均衡概念。当没有占优战略时，我们通常用一个叫做“纳什均衡”（Nash Equilibrium）的概念来称呼均衡。纳什均衡是根据诺贝尔奖得主纳什来命名得。纳什均衡是一个非常美妙简单的思想：给定其他参与人所选择的战略，每个参与人都选择最优战略，我们将得到纳什均衡。例如，如果用户选择先进系统，那么供应商最好也选择先进系统。于是（先进，先进）就是一个纳什均衡。但是，请留意，如果用户选择一般系统，那么供应商最好也选择一般系统。这里存在两个纳什均衡！究竟哪一个会被选择呢？看起来选择先进系统是更好的，因此它可能更容易出现，但是如果每个参与人都认为对方陷在一般系统——恰如陷入泥土中的手杖之一段——那么双方选择一般系统将是最好的。假定对方是一根陷入泥土的手杖，双方都会正确选择的。这是一类非常危险的经典博弈，叫做“协调博弈”（coordination game）。我们已经学习到的是，相容标准选择是协调博弈。
我们假定赢利是确定而且大家都知道的。在现实世界，每一个战略决策都有风险——针对先进系统的决策可能比针对一般系统的决策具有更大的风险。因而，要使例子完全现实化，我们还需要考虑参与人对风险的主观态度，考虑他们的
“风险规避”（risk adversion）。在这个例子中我们不做这样的尝试，但是我们必须把这些记在脑海里。
在例子中我们假定赢利是以货币计量的。因而，我们不仅不考虑风险规避，而且没有考虑无法用货币来计量的主观收益或损失。经济学家有办法用货币项目来测度主观收益——有时候他们确实这样做——不过，我们将跨过这个问题并假定所有的报酬或惩罚都已经货币计量化，并且在用户与供应商之间可以进行转移，反之亦然。
现实中，信息系统的选择可能包括两个以上的参与人，至少在长期是如此——用户可能在几个供应商之间选择，而供应商也可以有很多客户。这使得协调问题更难以解决。例如，假设“beta”是先进系统而“VH S”是一般系统，假设90%的市场使用“VHS”。那么尽管“beta”是更好的系统，但仍将被“VHS”接管。许多经济学家，博弈理论家和其他人相信，这是某种技术标准获得支配地位的原因。（Macintosh机正在谱写这样的篇章。你是否能想到其他的象beta与VHS的例子？）
另外，例子中用户和供应商不能坐下来等待并观察对方采取什么行动——他们可以坐下来商量，并达成协议。事实上，他们的确
这样做，因为用户支付给供应商的金额——在此之前我们忽略了这个战略决策——也必须达成协议。换句话说，与囚犯困境不同，这是一个合作博弈（cooperative games）,而不是非合作博弈（noncoorperative game）。在一方面，这将使协调标准的问题变得容易，至少在短期如此；在另一面，合作博弈需要不同的方法去求解。
4 零和博弈
从塔克发明“囚犯困境”开始，博弈论业已受到广泛关注。但是绝大多数早期的工作主要聚焦在一种特殊的博弈上：零和博弈（Zero-sum Gmes）。
在早期的工作中，诺伊曼做出了一个惊人的发现。他发现，如果玩纸牌的人最大化其报酬，他们采取欺骗来达到目的。并且，更一般地，在很多博弈中支付是不可预知的。当然，这在本质上并无新意——棒球投掷手早在诺伊曼写出混合战略前就知道投掷角度变换的球了。但是诺伊曼发现的更多。他发现了一个明确而又独特的问题：在这类没有市场、价格、产权和其他制度的博弈中，我如何最大化自己的收益？这个问题是对新古典经济学绝对理性概念的一个主要扩展。不过诺伊曼为他的发现付出了代价。代价就是极端简化的假定：诺伊曼的发现仅能用于零和博弈。
例如，考虑一个叫“赌便士”（matching pennies）的小孩游戏。在这个博弈中，两个参与人同意一个是“Even(偶数)”一个是“Odd（奇数）”。每个人同时出示一个便士，每个参与人可以展
示便士的正面或反面。如果两人展示出同一面，Even将赢得Odd的便士，反之如果他们展示出不同的币面，则Odd将赢得Even的硬币。下面是该博弈的赢利表（表4-1）。
表4-1
Odd
正面反面
Even正面1，-1-1，1
反面-1，11，-1
如果我们加总每单元格的赢利，我们会得到1-1=0。这就是“零和博弈”。
定义：零和博弈——如果我们加总博弈的赢得和亏损，把亏损记为负数，我们发现每一个选定战略的组合之支付加总之和为0，这个博弈就是“零和博弈”。
用非正式的语言讲，一个零和博弈即一方所得为另一方所失的博弈。注意定义中要求每个战略组合的支付总和为0。如果有一个战略组合的支付加总不为0，这个博弈就不是零和博弈。
■另一个例子
这里有另外一个零和博弈的例子。它是一个非常简单的价格竞争模型。象奥古斯汀•古诺（Augustin Cournot，1840）那样，我们考虑两个卖矿泉水的公司。每个公司在每一时期有$5000的固定成本，不管他们是否销售。我们随机地称这两个公司为毕雷矿泉水和阿波里罗矿泉饮料。
这两个公司在同一个市场竞争，并且每个企业必须选择高价格（每瓶$2）或者低价格（每瓶$1）。以下是博弈规则：
1) 在$2的价格上，可以出售5000瓶获得总收益$10000。
2) 在$1的价格上，可以出售10000瓶获得总收益$10000。
3) 如果两个公司选择同样的价格，它们平分销售额。
4) 如果一个公司选择更高的价格，那么价格较低的公司得到全部的销售量而价格高的公司一瓶也售不出去。
5) 赢利即利润——收益减去$5000的固定成本。
以下是两个公司的赢利表（表4-2）。
表4-2
毕雷矿泉水
$1$2
阿波里罗$10，05000，-5000
$2-5000，50000，0
（自己检查一下，这是一个零和博弈）。对于二人零和博弈，存在一个清楚的解的概念。博弈的解就是最大化准则——即，每个参与人选择最大化其最小赢利的战略。在这个博弈中，阿波里罗在价格$1下的最小赢利为0，在价格$2下最小赢利为-5000，因此$1最大化其最小赢利。同样的推理适用于毕雷矿泉水，因此它们都将选择$1的价格。以下是最大化解背后的推理：阿波里罗知道任何情况下它所会失去的就是毕雷所得到的；所以无论她采取何种战略，毕雷将选择使行中支付最小化的战略。反过来，毕雷刚好进行相反
的推理。
解：最大化准则——对于二人零和博弈，选择最大化其最小赢利的战略对于每一个参与者来说都是理性的，双方最大化其最小赢利的战略对子和赢利对子就是
“博弈的解”。
■混合战略（Mixed Strategy）
现在让我们回顾一下“赌便士”博弈。这个博弈似乎没有确定的解。最小的赢利在两个战略下是相同的：-1。但是这不是全部的故事。这个博弈可以有超过两个的战略。作为正面、反面两个明显战略的补充，参与人可以一定的概率随机选择提供正面或反面，使其战略“随机化”。这样的随机战略叫做“混合战略”。两个显战略，正面或背面，叫做“纯战略（pure strategies）”
古老的堆物博弈有一种很有意思的游戏不知道你玩儿过没有，就是有物体若干堆，可以是火柴棍或是围棋子等等均可。两个人轮流从堆中取物体若干，规定最后取光物体者取胜。这是我国民间很古老的一个游戏，别看这游戏极其简单，却蕴含着深刻的数学原理。下面我们来分析一下要如何才能够取胜。（一）巴什博奕（Bash Game）：只有一堆n个物品，两个人轮流从这堆物品中取物，规定每次至少取一个，最多取m个。最后取光者得胜。显然，如果n=m+1，那么由于一次最多只能取m个，所以，无论先取者拿
走多少个，后取者都能够一次拿走剩余的物品，后者取胜。因此我们发现了如何取胜的法则：如果n=（m+1）r+s，（r为任意自然数，s≤m),那么先取者要拿走s个物品，如果后取者拿走k（≤m)个，那么先取者再拿走m+1-k个，结果剩下（m+1）（r-1）个，以后保持这样的取法，那么先取者肯定获胜。总之，要保持给对手留下（
m+1）的倍数，就能最后获胜。这个游戏还可以有一种变相的玩法：两个人轮流报数，每次至少报一个，最多报十个，谁能报到100者胜。（二）威佐夫博奕（Wythoff Game）：有两堆各若干个物品，两个人轮流从某一堆或同时从两堆中取同样多的物品，规定每次至少取一个，多者不限，最后取光者得胜。这种情况下是颇为复杂的。我们用（ak，bk）（ak ≤bk ,k=0，1，2，...,n)表示两堆物品的数量并称其为局势，如果甲面对（0，0），那么甲已经输了，这种局势我们称为奇异局势。前几个奇异局势是：（0，0）、（1，2）、（3，5）、（4，7）、（6，10）、（8，13）、（9，15）、（11，18）、（12，20）。可以看出,a0=b0=0,ak是未在前面出现过的最小自然数,而 bk= ak + k，奇异局势有如下三条性质：1。任何自然数都包含在一个且仅有一个奇异局势中。由于ak是未在前面出现过的最小自然数，所以有ak > ak-1 ，而 bk= ak + k > ak-1 + k-1 = bk-1 > ak-1 。所以性质1。成立。2。任意操作都可将奇异局势变为非奇异局势。事实上，若只改变奇异局势（ak，bk）的某一个分量，那么另一个分量不可能在其他奇异局势中，所以必然是非奇异局
势。如果使（ak，bk）的两个分量同时减少，则由于其差不变，且不可能是其他奇异局势的差，因此也是非奇异局势。3。采用适当的方法，可以将非奇异局势变为奇异局势。假设面对的局势是（a,b），若 b = a，则同时从两堆中取走 a 个物体，就变为了奇异局势（0，0）；如果a = ak ，b > bk，那么，取走b - bk个物体，即变为奇异局势；如果 a = ak
，b < bk ,则同时从两堆中拿走ak - ab - ak个物体,变为奇异局势（ ab - ak , ab - ak+ b - ak）；如果a > ak ，b= ak + k,则从第一堆中拿走多余的数量a - ak 即可；如果a < ak ，b= ak + k,分两种情况，第一种，a=aj （j < k）,从第二堆里面拿走b - bj 即可；第二种，a=bj （j < k）,从第二堆里面拿走 b - aj 即可。从如上性质可知，两个人如果都采用正确操作，那么面对非奇异局势，先拿者必胜；反之，则后拿者取胜。那么任给一个局势（a，b），怎样判断它是不是奇异局势呢？我们有如下公式：ak =[k（1+√5）/2]，bk= ak + k （k=0，1，2，...,n 方括号表示取整函数)奇妙的是其中出现了黄金分割数（1+√5）/2 = 1。618...,因此,由ak，bk组成的矩形近似为黄金矩形，由于2/（1+√5）=（√5-1）/2，可以先求出j=[a（√5-1）/2]，若a=[j（1+√5）/2]，那么a = aj，bj = aj + j，若不等于，那么a = aj+1，bj+1 = aj+1 + j + 1，若都不是，那么就不是奇异局势。然后再按照上述法则进行，一定会遇到奇异局势。（三）尼姆博奕（Nimm Game）：有三堆各若干个物品，两个人轮流从某一堆取任意多的物品，规定每次至少取一个，多者不限，最后取光者得胜。这种情况
最有意思，它与二进制有密切关系，我们用（a，b，c）表示某种局势，首先（0，0，0）显然是奇异局势，无论谁面对奇异局势，都必然失败。第二种奇异局势是（0，n，n），只要与对手拿走一样多的物品，最后都将导致（0，0，0）。仔细分析一下，（1，2，3）也是奇异局势，无论对手如何拿，接下来都可以变为（0，n，n）的情形。计算机算法里面有一种叫做按位模2加，也叫做异或的运算，我们用符号（
+）表示这种运算，先看（1，2，3）的按位模2加的结果：1 =二进制01
2 =二进制10
3 =二进制11 （+）
———————
0 =二进制00 （注意不进位）
对于奇异局势（0，n，n）也一样，结果也是0。任何奇异局势（a，b，c）都有a（+）b（+）c =0。如果我们面对的是一个非奇异局势（a，b，c），要如何变为奇异局势呢？假设 a < b < c,我们只要将c 变为a（+）b,即可,因为有如下的运算结果: a（+）b（+）(a （+）b)=(a（+）a)（+）(b（+）b)=0（+）0=0。要将c 变为a（+）b，只要从c中减去c-（a（+）b）即可。例1。（14，21，39），14（+）21=27，39-27=12，所以从39中拿走12个物体即可达到奇异局势（14，21，27）。例2。（55，81，121），55（+）81=102，121-102=19，所以从121中拿走19个物品就形成了奇异局
势（55，81，102）。例3。（29，45，58），29（+）45=48，58-48=10，从58中拿走10个，变为（29，45，48）。例4。我们来实际进行一盘比赛看看：甲:(7,8,9)->(1,8,9)奇异局势乙:(1,8,9)->(1,8,4)甲:(1,8,4)->(1,5,4)奇异局势乙:(1,5,4)->(1,4,4)甲:(1,4,4)->(0,4,4)奇异局势乙:(0,4,4)->(0,4,2)甲:(0.4,2)->(0,2,2)奇异局势乙:(0,2,2)->(0,2,1)甲:(0,2,1)->(0,1,1)奇异局势乙:(0,1,1)->(0,1,0)甲:(0,1,0)->(0,0,0)奇异局势甲胜。
不会用博弈论害死了关羽
有人认为当时蜀国与魏、吴结怨很深，而荆州位于魏和吴夹击之中，必然失守，诸葛亮应该认识到这一点，但还是让关羽留守荆州，因此关羽之死诸葛亮应负一部分责任。笔者持不同的看法，从博弈论的角度论证关羽之死责任不在诸葛亮，而在于关羽自己不会用博弈论。
正因为荆州位于魏和吴的夹击之中，时时处于不稳定之中，才有刘备不远千里去攻取西川，争取一个稳固的根据地。因此说守卫荆州确实是一件难事，但并不是说肯定失守。我们可以建立一个博弈模型来进行考虑。
当时的实力分析：
（1）魏、吴单独和关羽交锋。魏、吴单独和关羽比处于下风或至少势均力敌（从关羽和曹操的交战中可以看出这一点），任何一
博弈论练习题2答案
111111111111111111 博弈论练习题（四） 一、什么是子博弈精炼纳什均衡？ 答：将纳什均衡中包含的不可置信的威胁策略剔除出去。它要求参与者的决策在任何时点上都是最优的。由于剔除了不可置信的威胁，在许多情况下，精炼纳什均衡也就缩小了纳什均衡的个数。只有当参与人的策略在每一个子博弈中都构成纳什均衡叫做精炼纳什均衡。或者说，组成精炼纳什均衡的策略必须在每一个子博弈中都是最优的。 二、参与人的理性问题对动态博弈分析的影响是否比静态博弈的影响更大？为什么？ 答：正确，博弈论要求个体具有始终追求自身利益最大化的理性意识和理性能力的“自我”个体理性，这是静态博弈的范畴。除此之外，还要求相关的参与者具有层次较高的“交互理性”，要求不同个体之间在理性和行为方面具有一种“默契”。即，人们的自身利益的最大化不仅取决于自己的选择，还取决于与之相关的其他人的选择与行为，那么为了实现自己的最大利益，个体的理性决策就必须考虑他人的理性选择与行为。作
为博弈论的基础，交互理性是其基本的理性要求。博弈论还要求有关博弈的结构、各个博弈参与者的得益函数以及各个博弈参与者的理性等“知识”是所有博弈参与者之间的“共同知识”。也就是，每个博弈参与者不仅要首先明确自己和其他参与者所有可选的策略，还需知晓各种情况下自己最终的收益或其概率分布，并且每个博弈参与者都知道各个参与者掌握这些信息；更为重要的是，每个博弈参与者都知道所有参与者都是理性的，都知道其他博弈参与者知道所有参与者都是理性的，都知道其他博弈参与者知道其他博弈参与者知道所有博弈参与者都是理性的------。理性的共同知识假设是非合作博弈理论的一个非常重要和关键的假设，是实现交互理性和理性主义的纳什均衡的基本前提，这些，都是动态博弈的范畴。因此说，参与者理性问题对动态博弈的分析影响更大。 三、纳什均衡和精炼纳什均衡存在哪些问题？答：纳什均衡存在的问题： (1)不是所有博弈都存在纳什均衡如纯策略就不存在混合策略则一定会存在纳什均衡，它是通
博弈论基础作业 一、名词解释 纳什均衡占优战略均衡纯战略混合战略子博弈精炼纳什均衡 贝叶斯纳什均衡精炼贝叶斯纳什均衡共同知识 见PPT 二、问答题 1.举出囚徒困境和智猪博弈的现实例子并进行分析。 囚徒困境的例子：军备竞赛；中小学生减负；几个大企业之间的争相杀价等等； 以中小学生减负为例：在当前的高考制度下，给定其他学校对学生进行减负，一个学校最好不减负，因为这样做，可以带来比其他学校更高的升学率。给定其他学校不减负，这个学校的最佳应对也是不减负。否则自己的升学率就比其他学校低。因此，不论其他学校如何选择，这个学校的最佳选择都是不减负。每个学校都这样想，所以每个学校的最佳选择都是不减负，因此学生的负担越来越重。 请用同样的方法分析其他例子。 智猪博弈的例子：大企业开发新产品；小企业模仿；股市中，大户搜集分析信息，散户跟随大户的操作策略 以股市为例：给定散户搜集资料进行分析，大户的最佳选择是跟随。而给定散户跟随，大户的最佳选择是自己搜集资料进行分析。但是不论大户是选择分析还是跟随，散户的最佳选择都是跟随。因此如果大户和散户是聪明的，并且大户知道散户也是聪明的，那么大户就会预见到散户会跟随，而给定散户跟随，大户只有自己分析。 请用同样的方法分析其他例子。 2.请用博弈论来说明“破釜沉舟”和“穷寇勿追”的道理。 破釜沉舟是一个承诺行动。目的是要断绝自己的退路，让自己无路可退，让自己决一死战变得可以置信。也就是说与敌人对决时，只有决一死战，这样才可以取得胜利。否则，如果不破釜沉舟，那么遇到困难时，就很有可能退却，也就无法取得胜利。穷寇勿追就是要给对方一个退路，由于有退路，对方就不会殊死抵抗。否则，对方退无可退，只有坚决抵抗一条路，因而必然决一死战。自己也会付出更大的代价。
博弈论基础作业及答案Last revision on 21 December 2020
博弈论基础作业 一、名词解释 纳什均衡占优战略均衡纯战略混合战略子博弈精炼纳什均衡 贝叶斯纳什均衡精炼贝叶斯纳什均衡共同知识 见PPT 二、问答题 1.举出囚徒困境和智猪博弈的现实例子并进行分析。 囚徒困境的例子：军备竞赛；中小学生减负；几个大企业之间的争相杀价等等； 以中小学生减负为例：在当前的高考制度下，给定其他学校对学生进行减负，一个学校最好不减负，因为这样做，可以带来比其他学校更高的升学率。给定其他学校不减负，这个学校的最佳应对也是不减负。否则自己的升学率就比其他学校低。因此，不论其他学校如何选择，这个学校的最佳选择都是不减负。每个学校都这样想，所以每个学校的最佳选择都是不减负，因此学生的负担越来越重。 请用同样的方法分析其他例子。 智猪博弈的例子：大企业开发新产品；小企业模仿；股市中，大户搜集分析信息，散户跟随大户的操作策略 以股市为例：给定散户搜集资料进行分析，大户的最佳选择是跟随。而给定散户跟随，大户的最佳选择是自己搜集资料进行分析。但是不论大户是选择分析还是跟随，散户的最佳选择都是跟随。因此如果大户和散户是聪明的，并且大户知道散户也是聪明的，那么大户就会预见到散户会跟随，而给定散户跟随，大户只有自己分析。 请用同样的方法分析其他例子。 2.请用博弈论来说明“破釜沉舟”和“穷寇勿追”的道理。 破釜沉舟是一个承诺行动。目的是要断绝自己的退路，让自己无路可退，让自己决一死战变得可以置信。也就是说与敌人对决时，只有决一死战，这样才可以取得胜利。否则，如果不破釜沉舟，那么遇到困难时，就很有可能退却，也就无法取得胜利。穷寇勿追就是要给对方一个退路，由于有退路，对方就不会殊死抵抗。否则，对方退无可退，只有坚决抵抗一条路，因而必然决一死战。自己也会付出更大的代价。
《博弈论基础》主要知识点 一、名词解释（5×2＝10分） 策略型博弈它是由三个部分组成，即局中人、策略和各种策略组合中所得到的利益。 纳什均衡指参与博弈的每一局中人在给定其他局中人策略的条件下选择上策所构成的一种策略组合。 混合策略局中人的混合策略是其纯策略空间上的一种概率分布，表示局中人实际博弈时根据这种概率分布在纯策略中随机选择加以实施。 扩展型博弈博弈存在着局中人行动的先后次序，是对具有动态结构的决策形式进行研究的规范分析工具。 博弈树对于任何一种双人完备博弈，都可以用一个博弈树来描述，并通过博弈树搜索策略寻找最佳解。博弈树类似于状态图和问题求解搜索中使用的搜索树。 完美信息博弈是指一次只有一个局中人在行动，而且他在行动时知道博弈的所有以往行动历史的一类特殊博弈。 子博弈指由原扩展型博弈中的一个决策节点与它的所有后续节点组成的博弈。行为策略是指每一个参与人在每一个信息集上随机的选择行动。 逆向归纳法逆向归纳法是求解子博弈精炼纳什均衡的最简便方法。在求解子博弈精炼纳什均衡时，从最后一个子博弈开始逆推上。 冷酷策略又称触发策略。指参与人在开始时选择合作,在接下来的博弈中,如果对方合作则继续合作,而如果对方一旦背叛,则永远选择背叛,永不合作。 类型 :一般地，将一个参与人所拥有的所有私人信息称为他的类型。 信号博弈是研究具有信息传递作用的信号机制的一般博弈模型，其基本特征是两个博弈方，分别称为信号发出方和信号接收方。 分离均衡信号博弈中的完美贝叶斯均衡之一，这种均衡中不同类型的发送者以概率1选择不同的信号，接收者完全可以通过信号来准确判断出发送者的类型。 混同均衡信号博弈中的完美贝叶斯均衡之一，这种均衡中不同类型的发送者选择了相同的信号，接收者无法从信号中得到新的信息，无法对先验信念进行修正。 特征函数特征函数型博弈对每一种可能联盟给出相应的联盟总和收益，也就是给出了一种集合函数，称为特征函数。 联盟
第四章谈判与协调 1.帕累托占优均衡和纳什均衡的关系是什么? 纳什均衡的基本思想是：每一个局中人选择一个策略，由所有局中人的策略构成了一个策略组合；在其它局中人选定策略不变的情况下，若某一个局中人单独地违背自己已选的策略，那么他的收益只会下降（或收益不会增加）。这样的策略组合构成一个均衡局势，并命名为纳什均衡。纳什均衡有纯策略的纳什均衡和混合策略的纳什均衡。一个博弈中有不止一个纳什均衡时，就构成一个多重纳什均衡问题。在多重纳什均衡下给出一些选择标准就得到一些特定的纳什均衡。其中帕累托占有纳什均衡是根据这样的选择标准选择的均衡。在博弈 中，若均为G 的其纳什均衡，若满足[,{},{}]i i G N S P =12,,,m s s s ????0 i s ?，0()()i i i j P s P s ?? >1,2,,,1,2,,i n j m ==??则称为博弈G 的帕累托占优纳什均衡。可见帕累托占有纳什均衡是纳什均衡中收益最大 0i s ? 的一种均衡。 2.分别找出具有下列性质的2人博弈的例子。 (1)不存在纯策略纳什均衡； (2)至少有两个纳什均衡，并且其中之一是帕累托占优均衡。 （1 ）不存在纯策略的纳什均衡：该博弈不存在纯策略的纳什均衡 （2） 该博弈有三个纳什均衡：（战争，战争）、（和平，和平）和一个混合策略纳什均 衡。很显然，（和平，和平）是一个帕累托占优纳什均衡。 2525((,),(,77773.假设在某一产品市场上有两个寡头垄断企业，它们的成本函数分别为： TC 1=0.1q +20q 1+100000TC 2=0.4q +32q 2+20000 2122这两个企业生产一同质产品，其市场需求函数为：Q=4000-10p 。试分别基于古诺模型和纳什谈判模型求解两企业的利润。 解：由和400010Q p =?12 Q q q =+得124000.1() p q q =?+战争 和平国 家 1战争-5，-58，-10和平-10，810，10
第1次作业 1、考虑一个工作申请的博弈。两个学生同时向两家企业申请工作，每家企业只有一个工作岗位。工作申请规则如下：每个学生只能向其中一家企业申请工作；如果一家企业只有一个学生申请，该学生获得工作；如果一家企业有两个学生申请，则每个学生获得工作的概率为1/2。现在假定每家企业的工资满足：W1/2 张维迎《博弈论与信息经济学》部分习题答案 如果图片不显示，用打印预览就可以了。 P127 第一题：领悟精神就可以了，而且每本书上都有这些例题，不找了。 第二题： UMD 为参与人1的战略，LMR 为参与人2的战略。前面的数字代表参与人1的得益，后面的代表参与人2的得益。 参与人2的R 战略严格优于M 战略，剔除参与人2的M 战略，参与人1的U 战略优于M 战略，剔除参与人1的M 战略，参与人1的U 战略优于D 战略，剔除参与人1的D 战略，参与人2的L 战略优于R 战略，剔除参与人2的R 战略。最后均衡为U ，L （4，3）。这样可能看不清，按照步骤一步步画出图就好多了。 第三题：恩爱型 厌恶型 用划线法解出，恩爱的都活着或者都死，厌恶的或者受罪，死了对方另一个人开心的不得了。 第四题：没有人会选择比原来少的钱，战略空间为{原来的钱，比原来多的钱}。支付为{0，原来的钱，比原来多的钱}。纳什均衡为选择原来的钱。要画图自己画画。 第五题：n 个企业，其中的一个方程：π1＝q 1（a －（q 1＋q 2＋q 3……q n ）－c ），其他的类似就可以了，然后求导数，结果为每个值都相等，q 1= q 2=……q n =(a-c)/(n+1)。或者先求出2个企业的然后3个企业的推一下就好了。 第六题：在静态的情况下，没有一个企业愿意冒险将定价高于自己的单位成本C ，最终P=C ，利润为0。因为每个参与人都能预测到万一自己的定价高于C ，其他人定价为C 那么自己的利益就是负的（考虑到生产的成本无法回收）。就算两个企业之间有交流也是不可信的，最终将趋于P=C 。现实情况下一般寡头不会进入价格竞争，一定会取得一个P 1=P 2=P 均衡。此时利润不为零，双方将不在进行价格竞争。 第七题：设企业的成本相同为C ，企业1的价格为P 1，企业2的价格为P 2。 π1=(P 1-C)(a-P 1+P 2)，π2=(P 2-C)(a-P 2+P 1)。一阶最优：a-2P 1+C+P 2=0，a-2P 2+C+P 1=0。 解得：P 1=P 2=a+C ，π1=π2=a 2。 第八题：不会！ 到纳什均衡为(A,A,A),(A,B,A),(B,B,B),(A,C,C),(C,C,C)。 第十题： 无纯战略纳什均衡，设参与人1为P 1～P 4，参与人2为Q 1～Q 4。 得到：-Q 2+Q 4=Q 1-Q 3=Q 2-Q 4=-Q 1+Q 3，推出：Q 1=Q 2=Q 3=Q 4=1/4。同理P 1=P 2=P 3=P 4=1/4。以上述的概率在杆子，老虎，鸡，虫子中选择一个。 囚徒困境说明个人的理性选择不一定是集体的理性选择。（√） 子博弈精炼纳什均衡不是一个纳什均衡。（×） 若一个博弈出现了皆大欢喜的结局，说明该博弈是一个合作的正和博弈。（ ) 博弈中知道越多的一方越有利。( ×） 纳什均衡一定是上策均衡。(×） 上策均衡一定是纳什均衡。（√） 在一个博弈中只可能存在一个纳什均衡。（×) 在一个博弈中博弈方可以有很多个。(√） 在一个博弈中如果存在多个纳什均衡则不存在上策均衡。 (√ ) 在博弈中纳什均衡是博弈双方能获得的最好结果。(×) 在博弈中如果某博弈方改变策略后得益增加则另一博弈方得益减少。（×）上策均衡是帕累托最优的均衡。 (×） 因为零和博弈中博弈方之间关系都是竞争性的、对立的，因此零和博弈就是非合作博弈。 （×) 在动态博弈中，因为后行动的博弈方可以先观察对方行为后再选择行为，因此总是有利的。（×） 在博弈中存在着先动优势和后动优势，所以后行动的人不一定总有利，例如:在斯塔克伯格模型中，企业就可能具有先动优势。 囚徒的困境博弈中两个囚徒之所以会处于困境，无法得到较理想的结果,是因为两囚徒都不在乎坐牢时间长短本身,只在乎不能比对方坐牢的时间更长。 (×) 纳什均衡即任一博弈方单独改变策略都只能得到更小利益的策略组合。（√ ) 不存在纯战略纳什均衡和存在惟一的纯战略纳什均衡,作为原博弈构成的有限次重复博弈，共同特点是重复博弈本质上不过是原博弈的简单重复,重复博弈的子博弈完美纳什均衡就是每次重复采用原博弈的纳什均衡。(√ ) 多个纯战略纳什均衡博弈的有限次重复博弈子博弈完美纳什均衡路径：两阶段都采用原博弈同一个纯战略纳什均衡,或者轮流采用不同纯战略纳什均衡，或者两次都采用混合战略纳什均衡，或者混合战略和纯战略轮流采用。（√) 如果阶段博弈G={Ａ1, A2,…,An; u1, ｕ2,…,un)具有多重Nash均衡，那么可能(但不必)存在重复博弈Ｇ(T)的子博弈完美均衡结局，其中对于任意的t 博弈论的基础知识与应用(转) 1 基础知识 博弈论是一种独特的处于各学科之间的研究人类行为的方法。与博弈论有关的学科包括数学、经济学以及其他社会科学和行为科学。博弈论（如同计算科学理论和许多其他的贡献一样）是由约翰.冯.诺伊曼（John von Neumann）创立的。博弈论领域第一本重要著作是诺伊曼与另一个伟大的数理经济学家奥斯卡.摩根斯坦（Oskar Morgenstern）共同写成的《博弈论与经济行为》（The Theory of Games and Economic Behavior）。当然，摩根斯坦把新古典经济学的思想带入了合作中，但是诺伊曼也同样意识到那些思想并对新古典经济学做出了其他的贡献。 ■一个科学的隐喻 由于诺伊曼的工作，在更广阔的人类行为互动的范围内，“博弈”成为了一个科学的隐喻。在人类的互动行为中，结局依赖于两个或更多的人们所采取的交互式的战略，这些人们具有相反的动机或者最好的组合动机（mixed motives）。在博弈论中常常讨论的问题包括：1）当结局依赖于其他人所选择的战略以及信息是完全的时候，“理性地”选择战略意味着什么？ 2）在允许共同得益或者共同损失的“博弈”中，寻求合作以实现共同得益（或避免共同损失）是否“理性”？或者，采取侵略性的行动以寻求私人利益而不顾共同得益或共同损失，这是否是“理性”的？ 3）如果对2）的回答是“有时候是”，那么在什么样的环境下侵略是理性的，在什么样的情况下合作是理性的？ 4）在特定情况下，正在持续的关系与单方退出这种关系是不同的吗？ 5）在理性的自我主义者的行为互动中，合作的道德规则可以自然而然地出现吗？ 6）在这些情况下，真正的人类行为与“理性”行为是否相符？ 7）如果不符，在那些方面不符？相对于“理性”，人们更倾向于合作？或者更倾向于侵略？抑或二者皆是？ 因而，博弈论研究的“博弈”包括： 破产 门口的野蛮人（Barbarians at the Gate） 网络战（Battle of the Networks） 货物出门，概不退换（Caveat Emptor） 征召（Conscription） 协调（Coordination） 逃避（Escape and Evasion） 青蛙呼叫配偶（Frogs Call for Mates） 鹰鸽博弈（Hawk versus Dove） Mutually Assured Destruction 多数决定原则（Majority Rule） Market Niche 共同防卫（Mutual Defense） 囚徒困境（Prisoner’s Dilemma） 补贴小商业Subsidized Small Business 公共地悲剧Tragedy of the Commons 最后通牒Ultimatum 《博弈论》习题 一、单项选择题1.博弈论中，局中人从一个博弈中得到的结果常被称为（）。 A. 效用 B. 支付 C. 决策 D. 利润 2.博弈中通常包括下面的内容，除了（）。 A.局中人 B.占优战略均衡 C.策略 D.支付 3.在具有占优战略均衡的囚徒困境博弈中（）。 A.只有一个囚徒会坦白 B.两个囚徒都没有坦白 C.两个囚徒都会坦白 D.任何坦白都被法庭否决了 4.在多次重复的双头博弈中，每一个博弈者努力（）。 A.使行业的总利润达到最大 B.使另一个博弈者的利润最小 C.使其市场份额最大 D.使其利润最大 5.一个博弈中，直接决定局中人支付的因素是（）。 A. 策略组合 B. 策略 C. 信息 D. 行动 6.对博弈中的每一个博弈者而言，无论对手作何选择，其总是拥有惟一最佳行为，此时的博弈具有（）。 A.囚徒困境式的均衡 B.一报还一报的均衡 C.占优策略均衡 D.激发战略均衡 7.如果另一个博弈者在前一期合作，博弈者就在现期合作；但如果另一个博弈者在前一期违约，博弈者在现期也违约的策略称为（）。 A.一报还一报的策略 B.激发策略 C.双头策略 D.主导企业策略 8.在囚徒困境的博弈中，合作策略会导致（）。 博弈双方都失败 B.博弈双方都获胜A. C.使得先采取行动者获胜 D.使得后采取行动者获胜 9.在什么时候，囚徒困境式博弈均衡最可能实现（）。 A. 当一个垄断竞争行业是由一个主导企业控制时 B.当一个寡头行业面对的是重复博弈时 C.当一个垄断行业被迫重复地与一个寡头行业博弈时 D. 当一个寡头行业进行一次博弈时 10.一个企业采取的行为与另一个企业在前一阶段采取的行为一致，这种策略是一种（）。 A.主导策略 B.激发策略 C.一报还一报策略 D.主导策略 11.关于策略式博弈，正确的说法是（）。 A. 策略式博弈无法刻划动态博弈 R R M 4.1.a 标准式 1↖2 L ’ R ’ 4，1 0，0 3，0 0，1 2，2 2，2 纯战略纳什均衡：( L, L ’ ) ( R, R ’ ) 子博弈精炼纳什均衡：( L, L ’ ) ( R, R ’ ) 精炼贝叶斯纳什均衡：( L, L ’ ) 4.1.b 标准式 1↖2 L ’ M ’ R ’ 1, 3 1, 2 4, 0 4, 0 0, 2 3, 3 2, 4 2, 4 2, 4 纯战略纳什均衡：( R, M ’ ) 子博弈精炼纳什均衡：( R, M ’ ) 精炼贝叶斯均衡: 没有 4.2 标准式 1↖2 L ’ R ’ 2，2 2，2 3，0 0，1 0，1 3，0 六种纯战略组合，每种组合中都至少有一方存在偏离的动机，因此不存在纯战略纳什均衡，因此也就不存在纯战略精炼贝叶斯均衡。 求混合战略精炼贝叶斯均衡： 设参与者1选择L 、M 、R 的概率分别为1,2,12(1)p p p p ?? 参与者2选择L ’和R ’的概率分别为,(1)q q ? 在给定参与者1的战略下，参与者2选择L ’和R ’的收益无差异，则： 1212 120*1*1*0*p p p p p p +=+?= 给定参与者2的战略，参与者1选择L 、M 、R 的收益无差异，则： 121212 12[3*0*(1)][0*3*(1)]2*(1) 41:**,*112 p q q p q q p p p p p p q +?=+?=??=== =又 联立得 所以 L L M L L M L R L 4.3答案（见4.5） 4.4 表示方法 第一个括号，逗号左边为type 1发送者信号，逗号右边为type 1发送者信号； 第二个括号，逗号左边为接收到L 信号的反应，逗号右边为接收到R 信号的反应； P 为信号接收者对type 1发送L 的推断，q 为信号接收者对type 1发送R 的推断 （a ） [(,),(,),1/2] [(,),(,),1/2] [(,),((1),),1/2][(,),(,),1,0] R R u u p R R d u p R R d u u p L R u d p q αα><+?=== （b ） [(,),(,),1/2,2/3] [(,),(,),1,0][(,),(,),0,1] L L u u p q L R d u p q R L u d p q =<==== 中文版习题4.5答案 （a ） [(,),(,),1/3,1/2]R R u d p q >= （b ） 12121212[(,,),(,),1/3,1/2] [(,,),(,),1/2,0] L L L u u p p q q L L R u d p p q q ==+<==+= 《博弈论》习题 一、单项选择题 1.博弈论中，局中人从一个博弈中得到的结果常被称为（）。 A. 效用 B. 支付 C. 决策 D. 利润 2.博弈中通常包括下面的内容，除了（）。 A.局中人 B.占优战略均衡 C.策略 D.支付 3.在具有占优战略均衡的囚徒困境博弈中（）。 A.只有一个囚徒会坦白 B.两个囚徒都没有坦白 C.两个囚徒都会坦白 D.任何坦白都被法庭否决了 4.在多次重复的双头博弈中，每一个博弈者努力（）。 A.使行业的总利润达到最大 B.使另一个博弈者的利润最小 C.使其市场份额最大 D.使其利润最大 5.一个博弈中，直接决定局中人支付的因素是（）。 A. 策略组合 B. 策略 C. 信息 D. 行动 6.对博弈中的每一个博弈者而言，无论对手作何选择，其总是拥有惟一最佳行为，此时 的博弈具有（）。 A.囚徒困境式的均衡 B.一报还一报的均衡 C.占优策略均衡 D.激发战略均衡 7.如果另一个博弈者在前一期合作，博弈者就在现期合作；但如果另一个博弈者在前一期违约，博弈者在现期也违约的策略称为（）。 A.一报还一报的策略 B.激发策略 C.双头策略 D.主导企业策略 8.在囚徒困境的博弈中，合作策略会导致（）。 A.博弈双方都获胜 B.博弈双方都失败 C.使得先采取行动者获胜 D.使得后采取行动者获胜 9.在什么时候，囚徒困境式博弈均衡最可能实现（）。 A. 当一个垄断竞争行业是由一个主导企业控制时 B.当一个寡头行业面对的是重复博弈时 C.当一个垄断行业被迫重复地与一个寡头行业博弈时 D. 当一个寡头行业进行一次博弈时 10.一个企业采取的行为与另一个企业在前一阶段采取的行为一致，这种策略是一种（）。 A.主导策略 B.激发策略 C.一报还一报策略 D.主导策略 11.关于策略式博弈，正确的说法是（）。 A. 策略式博弈无法刻划动态博弈 B. 策略式博弈无法表明行动顺序 C. 策略式博弈更容易求解 D. 策略式博弈就是一个支付矩阵 12.下列关于策略的叙述哪个是错误的（）： A. 策略是局中人选择的一套行动计划； B. 参与博弈的每一个局中人都有若干个策略； C. 一个局中人在原博弈中的策略和在子博弈中的策略是相同的； D. 策略与行动是两个不同的概念，策略是行动的规则，而不是行动本身。 13. 囚徒困境说明（）： A. 双方都独立依照自己的利益行事，则双方不能得到最好的结果； B. 如果没有某种约束，局中人也可在（抵赖，抵赖）的基础上达到均衡； C. 双方都依照自己的利益行事，结果一方赢，一方输； D、每个局中人在做决策时，不需考虑对手的反应 14. 一个博弈中，直接决定局中人损益的因素是（）： A. 策略组合 B. 策略 C. 信息 D. 行动 15. 动态博弈参与者在关于博弈过程的信息方面是（） A 不对称的 B 对称的 C 不确定的 D 无序的 博弈论课后习题答案 第四部分课后习题答案 1. 参考答案: 括号中的第一个数字代表乙的得益，第二个数字代表甲的得益，所以a表示乙 的得益，而b表示甲的得益。 在第三阶段，如果，则乙会选择不打官司。这时逆推回第二阶段，甲会选择 a,0 不分，因为分的得益2小于不分的得益4。再逆推回第一阶段，乙肯定会选择 不借，因为借的最终得益0比不借的最终得益1小。 在第三阶段，如果，则乙轮到选择的时候会选择打官司，此时双方得益是 (a,b)。a,0 逆推回第二阶段，如果，则甲在第二阶段仍然选择不分，这时双方得益为 (a,b)。b,2 在这种情况下再逆推回第一阶段，那么当时乙会选择不借，双方得益(1，0)， 当a,1 时乙肯定会选择借，最后双方得益为(a,b)。在第二阶段如果，则甲会选择 a,1b,2分，此时双方得益为(2，2)。再逆推回第一阶段，乙肯定会选择借，因为 借的得益2大于不借的得益1，最后双方的得益(2，2)。 根据上述分析我们可以看出，该博弈比较明确可以预测的结果有这样几种情况: (1)，此时本博弈的结果是乙在第一阶段不愿意借给对方，结束博弈，双方a,0 得益 (1，0)，不管这时候b的值是多少;(2)，此时博弈的结果仍然012,,,ab且 是乙在第一阶段选择不借，结束博弈，双方得益(1，0);(3)，此时博ab,,12 且弈的结果是乙在第一阶段选择借，甲在第二阶段选择不分，乙在第三阶段选择打，最后结果是双方得益 (a,b);(4)，此时乙在第一阶段会选择借，甲在第二阶段会选择分，ab,,02且双方得益(2，2)。 要本博弈的“威胁”，即“打”是可信的，条件是。要本博弈的“承诺”，即a,0 “分”是可信的，条件是且。 a,0b,2 注意上面的讨论中没有考虑a=0、a=1、b=2的几种情况，因为这些时候博弈方的选择很难用理论方法确定和预测。不过最终的结果并不会超出上面给出的范围。 2. 参考答案: 静态贝叶斯博弈中博弈方的一个策略是他们针对自己各种可能的类型如何作相应的完整计划。或者换句话说，静态贝叶斯博弈中博弈方的策略就是类型空间到行为空间的一个函数，可以是线性函数，也可以是非线性函数，当博弈方的类型只有有限几种时是离散函数，当博弈方的类型空间是连续区间或空间时则是连续函数。只有一种类型的博弈方的策略仍然是一种行为选择，但我们同样可以认为是其类型的函数。 静态贝叶斯博弈中博弈方的策略之所以必须是针对自己所有可能类型的函数，原因是博弈方相互会认为其他博弈方可能属于每种类型，因此会考虑其他博弈方所有可能类型下的行为选择，并以此作为自己行为选择的根据。因此各个博弈方必须设定自己在所有各种可能类型下的最优行为，而不仅仅只考虑针对真实类型的行为选择。 3. 参考答案: ECON 40050 Game Theory Exam 1- Answer Key Instructions: 1) You may use a pen or pencil, a hand-held nonprogrammable calculator, and a ruler. No other materials may be at or near your desk. Books, coats, backpacks, etc... must be placed against the wall. No electronic communication devices may be used. 2) As soon as the instruction to begin the test is given, please check that you have 10 numbered pages. 3) Be sure to show all of your work. Answers without supporting calculations will receive zero credit. You will receive credit only for the answers and supporting calculations that appear in this test packet. 4) All exams must be turned in by 1:45 pm. No extensions will be granted. 5) Be sure to read each question in its entirety before beginning your analysis. 6) The time estimates at the beginning of each question are only suggestions to help you manage your time. NAME ____________________________________________ Question 1 (10 minutes)_______ (15 points) Question 2 (10 minutes)_______ (15 points) Question 3 (10 minutes)_______ (15 points) Question 4 (15 minutes)_______ (15 points) Question 5 (20 minutes)_______ (20 points) Total: (65 minutes)_______ (80 points) 博弈论基础作业及答案 Company number：【0089WT-8898YT-W8CCB-BUUT-202108】 博弈论基础作业 一、名词解释 纳什均衡占优战略均衡纯战略混合战略子博弈精炼纳什均衡 贝叶斯纳什均衡精炼贝叶斯纳什均衡共同知识 见PPT 二、问答题 1.举出囚徒困境和智猪博弈的现实例子并进行分析。 囚徒困境的例子：军备竞赛；中小学生减负；几个大企业之间的争相杀价等等； 以中小学生减负为例：在当前的高考制度下，给定其他学校对学生进行减负，一个学校最好不减负，因为这样做，可以带来比其他学校更高的升学率。给定其他学校不减负，这个学校的最佳应对也是不减负。否则自己的升学率就比其他学校低。因此，不论其他学校如何选择，这个学校的最佳选择都是不减负。每个学校都这样想，所以每个学校的最佳选择都是不减负，因此学生的负担越来越重。 请用同样的方法分析其他例子。 智猪博弈的例子：大企业开发新产品；小企业模仿；股市中，大户搜集分析信息，散户跟随大户的操作策略 以股市为例：给定散户搜集资料进行分析，大户的最佳选择是跟随。而给定散户跟随，大户的最佳选择是自己搜集资料进行分析。但是不论大户是选择分析还是跟随，散户的最佳选择都是跟随。因此如果大户和散户是聪明的，并且大户知道散户也是聪明的，那么大户就会预见到散户会跟随，而给定散户跟随，大户只有自己分析。 请用同样的方法分析其他例子。 2.请用博弈论来说明“破釜沉舟”和“穷寇勿追”的道理。 破釜沉舟是一个承诺行动。目的是要断绝自己的退路，让自己无路可退，让自己决一死战变得可以置信。也就是说与敌人对决时，只有决一死战，这样才可以取得胜利。否则，如果不破釜沉舟，那么遇到困难时，就很有可能退却，也就无法取得胜利。穷寇勿追就是要给对方一个退路，由于有退路，对方就不会殊死抵抗。否则，对方退无可退，只有坚决抵抗一条路，因而必然决一死战。自己也会付出更大的代价。 博弈论 博弈论（Game Theory），亦名“对策论”、“赛局理论”，属应用数学的一个分支，博弈论已经成为经济学的标准分析工具之一。目前在生物学、经济学、国际关系、计算机科学、政治学、军事战略和其他很多学科都有广泛的应用。博弈论主要研究公式化了的激励结构间的相互作用。是研究具有斗争或竞争性质现象的数学理论和方法。也是运筹学的一个重要学科。博弈论考虑游戏中的个体的预测行为和实际行为，并研究它们的优化策略。生物学家使用博弈理论来理解和预测进化论的某些结果。参见：行为生态学（behavioral ecology）。 约翰·冯·诺依曼 博弈论是二人在平等的对局中各自利用对方的策略变换自己的对抗策略，达到取胜的目的。博弈论思想古已有之，中国古代的《孙子兵法》就不仅是一部军事著作，而且算是最早的一部博弈论著作。博弈论最初主要研究象棋、桥牌、赌博中的胜负问题，人们对博弈局势的把握只停留在经验上，没有向理论化发展。 博弈论考虑游戏中的个体的预测行为和实际行为，并研究它们的优化策略。 近代对于博弈论的研究，开始于策墨洛（Zermelo），波雷尔（Borel）及冯·诺伊曼（von Neumann）。 1928年，冯·诺依曼证明了博弈论的基本原理，从而宣告了博弈论的正式诞生。1944年，冯·诺依曼和摩根斯坦共著的划时代巨著《博弈论与经济行为》将二人博弈推广到n人博弈结构并将博弈论系统的应用于经济领域，从而奠定了这一学科的基础和理论体系。 1950～1951年，约翰·福布斯·纳什（John Forbes Nash Jr）利用不动点定理证明了均衡点的存在，为博弈论的一般化奠定了坚实的 策墨洛（Zermelo) 基础。纳什的开创性论文《n人博弈的均衡点》（1950），《非合作博弈》（1951）等等，给出 第一章 5. n 个企业，其中的一个方程：π1＝q 1（a －（q 1＋q 2＋q 3……q n ）－c ），其他的类似就可以了，然后求导数，结果为每个值都相等，q 1= q 2=……q n=(a-c)/(n+1)。或者先求出2个企业的然后3个企业的推一下就好了。 6.假定消费者从价格低的厂商购买产品，如果两企业价格相同，就平分市场，如果企业i 的价格高于另一企业，则企业i 的需求量为0，反之，其它企业的需求量为0。因此，企业i 的需求函数由下式给出： i i i i i i i i p pi p p p p 0)/2Q(p ) Q(p q --->=c 那么每家企业的利润02 i i j i p c q ππ-== >，因此，企业i 只要将其价格略微低于其它企业就将获得整个市场的需求，而且利润也会上升至()()22 i i i i p c p c Q p Q p εε---->，()0ε→。同样， 其它企业也会采取相同的策略，如果此下去，直到每家厂商都不会选择降价策略，此时的均衡结果只可能是p i ＝p j ＝c 。此时，企业i 的需求函数为2 i a c q -= 。 在静态的情况下，没有一个企业愿意冒险将定价高于自己的单位成本C ，最终P=C ，利润为0。因为每个参与人都能预测到万一自己的定价高于C ，其他人定价为C 那么自己的利益就是负的（考虑到生产的成本无法回收）。就算两个企业之间有交流也是不可信的，最终将趋于P=C 。现实情况下一般寡头不会进入价格竞争，一定会取得一个P 1=P 2=P 均衡。此时利润不为零，双方将不在进行价格竞争。 7.设企业的成本相同为C ，企业1的价格为P 1，企业2的价格为P 2。 博弈论复习题及答案 HEN system office room 【HEN16H-HENS2AHENS8Q8-HENH1688】 一、名词解释（每题7分，共28分） 1、逆向选择：逆向选择源于事前的信息不对称，经典例子就是“柠檬市场”——二手车市场，它使得市场资源逐渐流向低质量的产品或要素，最后形成劣货驱逐良货的局面，这种现象称之为“逆向选择”。 2、策略互动：所谓策略互动，就是参与人之间的策略相互影响、相互作用和相互制约。用策略性思维来分析问题，从中找出合理策略，实现目标最优。 3、纳什均衡：对于博弈方而言，互为最优的策略选择就是纳什均衡。 4、信号发送：是指信息优势方不断发出信息的行为，就叫信号发送。 5、博弈论：研究人们如何进行决策，以及这种决策如何达到均衡（合理策略）的问题。每个博弈者在决定采取何种行动时，不但要根据自身的利益和目的行事，还必须考虑到他的决策行为对其他人的可能影响，以及其他人的反应行为的可能后果，通过选择最佳行动计划，来寻求收益或效用的最大化。 二、简要回答问题（每题10分，共40分） 1、博弈的基本要素有哪些?基本特点是什么？ 答：博弈的基本要素有：参与人、策略、行动顺序、信息、收益等五个要素。博弈的基本特点则是需尽可能考虑到博弈对方的决策选择以及对自身的影响，并从中选择出对自身最有利的方案决策，从而达到收益和效用最大化。 2、什么是性别战博弈？请求出其中的纳什均衡？ 答：性别战博弈是不可调和的博弈，双方只有一方选择满足另外一方的要求才能达成均衡，也就是混合策略纳什均衡；故性别战博弈的纳什均衡会有两种情况，分别是：男生陪女生看电影以及女生陪男生看足球的两种选择。 3、猎鹿博弈反映的基本思想是什么？ 答：反应的基本思想是需要沟通和互相协调，因为只有合作才能猎到所需猎物。 4、什么是道德风险？有什么办法可以解决道德风险问题？ 名词解释（每题7 分，共 2 8 分） 1、逆向选择：逆向选择源于事前的信息不对称，经典例子就是“柠檬市场”——二手车市场，它使得市场资源逐渐流向低质量的产品或要素，最后形成劣货驱逐良货的局面，这种现象称之为“逆向选择”。 2、策略互动：所谓策略互动，就是参与人之间的策略相互影响、相互作用和相互制约。用策略性思维来分析问题，从中找出合理策略，实现目标最优。 3、纳什均衡：对于博弈方而言，互为最优的策略选择就是纳什均衡。 4、信号发送：是指信息优势方不断发出信息的行为，就叫信号发送。 5、博弈论：研究人们如何进行决策，以及这种决策如何达到均衡（合理策略）的问题。每个博弈者在决定采取何种行动时，不但要根据自身的利益和目的行事，还必须考虑到他的决策行为对其他人的可能影响，以及其他人的反应行为的可能后果，通过选择最佳行动计划，来寻求收益或效用的最大化。 二、简要回答问题（每题10 分，共40 分） 1、博弈的基本要素有哪些? 基本特点是什么？ 答：博弈的基本要素有：参与人、策略、行动顺序、信息、收益等五个要素。博弈的基本特点则是需尽可能考虑到博弈对方的决策选择以及对自身的影响，并从中选择出对自身最有利的方案决策，从而达到收益和效用最大化。 2、什么是性别战博弈？请求出其中的纳什均衡？答：性别战博弈是不可调和的博弈，双方只有一方选择满足另外一方的要求才能达成均衡，也就是混合策略纳什均衡；故性别战博弈的纳什均衡会有两种情况，分别是：男生陪女生看电影以及女生陪男生看足球的两种选择。 3、猎鹿博弈反映的基本思想是什么? 答：反应的基本思想是需要沟通和互相协调，因为只有合作才能 猎到所 需猎物。 4、什么是道德风险？有什么办法可以解决道德风险问题？ 答：道德风险是指委托-代理框架中，由于委托人无法直接观察代 理人行 动，造成信息不对称，从而出现代理人选择不利于委托人的行 为的一种现 象；解决道德风险的方法可以用签订合同、派人监督，以 及采用激励等方式来进行解决，约束和激励机制。 三、计算题（16分） 1、求解下列博弈中的纳什均衡（包括混合策略纳什均衡）。 H B i 答：根据上方的矩阵图， 我们可得出其博弈中存在两种策略的纳 什均衡：分别是 H 选择F1和N 选择F2，以及H 选择B1和N 选择 B2 2、A 、B 两者博弈：A 首先行动，可以选择“左”或者“右”的行动；B 后行动，有“L ”和R ”的行动，其收益如下：当 A 选左，B 选L 时，A 的收益为2，B 的收益为3 ;当A 选左，B 选R 时，A 的收益为1 ， B 的收益为4;当A 选右，B 选L 时，A 的收益为3 ，B 的收益为1 ； 当A 选右，B 选R 时，A 的收益为0，B 的收益为2。请画出该博弈 的博弈树，并求出该博弈的均衡解。 四、论述题（16分） 1、请结合你的工作或生活，谈谈对行动的可信性的理解，有什么方 法可以建立可信的策略行动。 答：每一种策略性行动都面临着可信性的问题， 人们不一定相信 策略性行动的提出者会实施其行动。 因此提出者必须做一些辅助工作 F 2 B 2张维迎《博弈论与信息经济学》部分答案
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