2019-2020 年中考数学《二次函数》专题含解析考点分类汇编
一、选择题
1．若二次函数 y=ax2的图象经过点 P（﹣ 2， 4），则该图象必经过点（）
A．（ 2， 4）B．（﹣ 2，﹣ 4） C．（﹣ 4，2） D．（ 4，﹣ 2）
．在二次函数
y=﹣x
2+2x+1 的图象中，若 y 随 x 的增大而增大，则 x 的取值范围是（）2
A．x＜1 B．x＞1C． x＜﹣ 1 D． x＞﹣ 1
2
2x c 与 y 轴的交点为（ 0，﹣ 3），则下列说法不正确的是（）3．若抛物线 y=x ﹣+
A．抛物线开口向上
B．抛物线的对称轴是x=1
C．当 x=1 时， y 的最大值为﹣ 4
D．抛物线与 x 轴的交点为（﹣ 1，0），（ 3，0）
4．如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）过点（ 1，0）和点（ 0，﹣ 2），且顶点在第三象限，设 P=a﹣ b+c，则 P 的取值范围是（）
A．﹣ 4＜ P＜ 0 B．﹣ 4＜ P＜﹣ 2C．﹣ 2＜P＜0D．﹣ 1＜P＜0
2
bx c 的图象先向右平移 2 个单位，再向下平移 3 个单位，所得图象的函5．抛物线 y=x + +
数解析式为 y=（ x﹣ 1）2﹣4，则 b、c 的值为（）
A．b=2， c=﹣6 B．b=2， c=0 C． b=﹣6，c=8 D．b=﹣ 6， c=2
（≠）的图象与
x
轴的交点坐标为（﹣，），则抛物线2+bx 6．若一次函数 y=ax+b a 0 2 0 y=ax
的对称轴为（）
A．直线 x=1 B．直线 x=﹣2 C．直线 x=﹣1 D．直线 x=﹣4
7．将抛物线 y=（x﹣1）2+3 向左平移 1 个单位，再向下平移 3 个单位后所得抛物线的解
析式为（）
A．y=（ x﹣ 2）2 B．y=（x﹣ 2）2+6 C．y=x2+6D．y=x2
8．已知二次函数 y=ax2+bx+c（ a≠ 0）的图象如图所示，则下列结论中正确的是（）
A．ac＞ 0
B．当 x＞ 1 时， y 随 x 的增大而减小
C．b﹣2a=0
D．x=3 是关于 x 的方程 ax2+bx+c=0（a≠0）的一个根
9．对于抛物线 y=﹣（ x+1）2 +3，下列结论：
①抛物线的开口向下；
②对称轴为直线x=1；
③顶点坐标为（﹣ 1， 3）；
④x＞1 时， y 随 x 的增大而减小，
其中正确结论的个数为（）
A．1B． 2C．3D．4
．二次函数2+bx 的图象如图所示，那么一次函数y=ax+b 的图象大致是（）10 y=ax
A．B．C．D．
二、填空题
11．已知二次函数的y=ax2+bx+c（ a≠ 0）图象如图所示，有下列5 个结论：① abc＜ 0；
②b＜a+c；③ 4a+2b+c＞ 0；④ 2c＜ 3b；⑤ a+b＜ m（am+b）（ m≠1 的实数），其中正确结论的序号有．
．若关于 x 的函数
2
+2x ﹣1 与 x 轴仅有一个公共点，则实数 k 的值为． 12 y=kx
13．如图，抛物线的顶点为 P （﹣ 2， 2），与 y 轴交于点 A （0，3）．若平移该抛物线使其顶点 P 沿直线移动到点 P ′（ 2，﹣ 2），点 A 的对应点为 A ′，则抛物线上 PA 段扫过
的区域（阴影部分）的面积为
．
．二次函数 2 +1 的图象的顶点坐标是． 14 y=x
．若抛物线
2
+bx+c 与 x 轴只有一个交点，且过点
A （ m ，n ），
B （m+6，n ），则
15 y=x
n=
．
16．如图，一段抛物线： y=﹣x （x ﹣ 3）（ 0≤x ≤ 3），记为 C 1，它与 x 轴交于点 O ，A 1；
将 C 1 绕点 A 1 旋转 180°得 C 2，交 x 轴于点 A 2； 将 C 2 绕点 A 2 旋转 180°得 C 3，交 x 轴于点 A 3；
如此进行下去，直至得 C 13．若 P （37， m ）在第 13 段抛物线 C 13 上，则 m=
．
．抛物线2+1 的最小值是．
17 y=x
18．如图，以扇形 OAB的顶点 O 为原点，半径 OB 所在的直线为 x 轴，建立平面直角坐标系，点 B 的坐标为（ 2，0），若抛物线 y= x2+k 与扇形 OAB 的边界总有两个公共点，
则实数 k 的取值范围是．
19．请写出一个开口向上，并且与y 轴交于点（ 0， 1）的抛物线的解析式， y=．
三、解答题
20．如图，抛物线y=a（x﹣1）2+4 与 x 轴交于点 A，B，与 y 轴交于点 C，过点 C 作 CD ∥x 轴交抛物线的对称轴于点 D，连接 BD，已知点 A 的坐标为（﹣ 1，0）
（ 1）求该抛物线的解析式；
（ 2）求梯形 COBD的面积．
21．如图，抛物线与 x 轴交于 A、 B 两点，与 y 轴交 C 点，点 A 的坐标为（ 2，0），点 C 的坐标为（ 0， 3）它的对称轴是直线 x= ．
（1）求抛物线的解析式；
（2）M 是线段 AB 上的任意一点，当△ MBC 为等腰三角形时，求 M 点的坐标．
二次函数
参考答案与试题解析
一、选择题
1．若二次函数y=ax2的图象经过点P（﹣ 2， 4），则该图象必经过点（）
A．（ 2， 4）B．（﹣ 2，﹣ 4）C．（﹣ 4，2）D．（ 4，﹣ 2）
【考点】二次函数图象上点的坐标特征．
【分析】先确定出二次函数图象的对称轴为 y 轴，再根据二次函数的对称性解
答．【解答】解：∵二次函数 y=ax2的对称轴为 y 轴，
∴若图象经过点P（﹣ 2，4），
则该图象必经过点（ 2，4）．
故选： A．
【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，主要利用了二次函数图象的对称性，
确定出函数图象的对称轴为y 轴是解题的关键．
2 2x 1 的图象中，若 y 随 x 的增大而增大，则 x 的取值范围是（）2．在二次函数 y=﹣x + +
A．x＜1B．x＞1C． x＜﹣ 1D． x＞﹣ 1
【考点】二次函数的性质．
【专题】压轴题．
【分析】抛物线 y=﹣x2+2x+1 中的对称轴是直线x=1，开口向下， x＜1 时，y 随 x 的增大而增大．
【解答】解：∵ a=﹣1＜0，
∴二次函数图象开口向下，
又对称轴是直线x=1，
∴当 x＜1 时，函数图象在对称轴的左边，y 随 x 的增大增大．
故选 A．
【点评】本题考查了二次函数y=ax2+bx+c（a≠ 0）的性质：当 a＜ 0，抛物线开口向下，对称轴为直线 x=﹣，在对称轴左边，y随x的增大而增大．
3．若抛物线
y=x 2﹣2x+c 与
y 轴的交点为（
0，﹣ 3），则下列说法不正确的是（
）
A ．抛物线开口向上
B ．抛物线的对称轴是 x=1
C ．当 x=1 时， y 的最大值为﹣ 4
D ．抛物线与 x 轴的交点为（﹣ 1，0），（ 3，0）
【考点】二次函数的性质．
【分析】 A 根据二次函数二次项的系数的正负确定抛物线的开口方向．
B 利用 x=﹣ 可以求出抛物线的对称轴．
C 利用顶点坐标和抛物线的开口方向确定抛物线的最大值或最小值．
D 当 y=0 时求出抛物线与 x 轴的交点坐标．【解答】解：∵抛物线过点（ 0，﹣ 3），∴抛物线的解析式为： y=x 2﹣2x ﹣3．
A 、抛物线的二次项系数为 1＞ 0，抛物线的开口向上，正确．
B 、根据抛物线的对称轴 x=﹣
=﹣
=1，正确．
C 、由 A 知抛物线的开口向上，二次函数有最小值，当 x=1 时， y 的最小值为﹣ 4，而不
是最大值．故本选项错误．
2
﹣ 2x ﹣3=0，解得：x ﹣ ，
，抛物线与 x 轴的交点坐标为（﹣ ，
D 、当 y=0 时，有 x
1= 1 x 2=3
1 0），（ 3， 0）．正确． 故选 C ．
【点评】本题考查的是二次函数的性质，根据
a 的正负确定抛物线的开口方向，利用顶
点坐标公式求出抛物线的对称轴和顶点坐标，确定抛物线的最大值或最小值，当 y=0 时
求出抛物线与 x 轴的交点坐标．
4．如图，抛物线 y=ax 2+bx+c （a ≠0）过点（ 1，0）和点（ 0，﹣ 2），且顶点在第三象
限，设 P=a ﹣ b+c ，则 P 的取值范围是（ ）
A．﹣ 4＜ P＜ 0 B．﹣ 4＜ P＜﹣ 2C．﹣ 2＜P＜0D．﹣ 1＜P＜0
【考点】二次函数图象与系数的关系．
【专题】压轴题．
【分析】求出a＞0，b＞0，把 x=1 代入求出 a=2﹣b， b=2﹣ a，把 x=﹣1 代入得出 y=a ﹣b+c=2a﹣ 4，求出 2a﹣4 的范围即
可．【解答】解：∵二次函数的图象开口向
上，∴ a＞0，
∵对称轴在 y 轴的左边，
∴﹣＜0，
∴b＞0，
∵图象与 y 轴的交点坐标是（ 0，﹣ 2），过（ 1，0）点，
代入得： a+b﹣ 2=0，
∴a=2﹣ b， b=2﹣a，
∴y=ax2+（2﹣a）x﹣2，
当x=﹣1 时， y=a﹣b+c=a﹣（ 2﹣a）﹣ 2=2a﹣4，
∵ b＞0，
∴ b=2﹣ a＞ 0，
∴a＜2，
∵ a＞0，
∴0＜a＜2，
∴0＜2a＜4，
∴﹣ 4＜ 2a﹣4＜0，
∵ y=a﹣ b+c=a﹣（ 2﹣a）﹣ 2=2a﹣ 4，
∴﹣ 4＜ a﹣ b+c＜0，
即﹣ 4＜ P＜ 0．
故选： A．
【点评】本题考查了二次函数的图象与系数的关系：二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象为抛物线，当a＞ 0，抛物线开口向上；对称轴为直线x=﹣；抛物线与y轴的交点坐标为（ 0，c）．
5．抛物线y=x2+bx+c 的图象先向右平移 2 个单位，再向下平移 3 个单位，所得图象的函数解析式为y=（ x﹣ 1）2﹣4，则b、c 的值为（）
A．b=2， c=﹣6 B．b=2， c=0 C． b=﹣6，c=8 D．b=﹣ 6， c=2
【考点】二次函数图象与几何变换．
【分析】先确定出平移后的抛物线的顶点坐标，然后根据向右平移横坐标加，向下平移
纵坐标减求出平移前的抛物线的顶点坐标，然后写出平移前的抛物线的顶点式形式，然
后整理成一般形式，即可得到b、 c 的值．
【解答】解：函数y=（ x﹣1）2﹣4 的顶点坐标为（ 1，﹣ 4），
∵是向右平移 2 个单位，再向下平移 3 个单位得到，
∴1﹣2=﹣1，﹣ 4+3=﹣1，
∴平移前的抛物线的顶点坐标为（﹣1，﹣ 1），
∴平移前的抛物线为y=（x+1）2﹣ 1，
即y=x2+2x，
∴ b=2， c=0．
故选： B．
【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换，熟练掌握平移的规律：左加右减，上加
下减，利用顶点的变化确定函数解析式可以使计算更加简便．
6．若一次函数 y=ax+b（ a≠0）的图象与 x 轴的交点坐标为（﹣ 2，0），则抛物线 y=ax2+bx 的对称轴为（）
A．直线 x=1B．直线 x=﹣2 C．直线 x=﹣1 D．直线 x=﹣4
【考点】二次函数的性质；一次函数图象上点的坐标特征．
【分析】先将（﹣ 2， 0）代入一次函数解析式y=ax+b，得到﹣ 2a+b=0，即 b=2a，再根
据抛物线 y=ax2+bx 的对称轴为直线 x=﹣即可求解．
【解答】解：∵一次函数y=ax+b（a≠0）的图象与 x 轴的交点坐标为（﹣ 2，0），
∴﹣ 2a+b=0，即 b=2a，
∴抛物线 y=ax2+bx 的对称轴为直线 x=﹣=﹣=﹣1．
故选： C．
【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征及二次函数的性质，难度适中．用到
的知识点：
点在函数的图象上，则点的坐标满足函数的解析式；
二次函数 y=ax2+bx+c 的对称轴为直线x=﹣．
7．将抛物线 y=（x﹣1）2+3 向左平移 1 个单位，再向下平移 3 个单位后所得抛物线的解
析式为（）
A．y=（ x﹣ 2）2 B．y=（x﹣ 2）2+6 C．y=x2+6D．y=x2
【考点】二次函数图象与几何变换．
【分析】根据“左加右减、上加下减”的原则进行解答即可．
【解答】解：将抛物线 y=（x﹣1）2+3 向左平移 1 个单位所得直线解析式为： y=（x﹣1+1）2+3，即 y=x2+3；
再向下平移 3 个单位为： y=x2+3﹣ 3，即 y=x2．
故选 D．
【点评】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移的法则是解答此
题的关键．
8．已知二次函数y=ax2+bx+c（ a≠ 0）的图象如图所示，则下列结论中正确的是（）
A．ac＞ 0
B．当 x＞ 1 时， y 随 x 的增大而减小
C．b﹣2a=0
D．x=3 是关于 x 的方程 ax2+bx+c=0（a≠0）的一个根
【考点】二次函数图象与系数的关系；二次函数的性质．
【专题】压轴题．
【分析】由函数图象可得抛物线开口向上，得到 a 大于 0，又抛物线与y 轴的交点在 y 轴负半轴，得到 c 小于 0，进而得到 a 与 c 异号，根据两数相乘积为负得到ac 小于 0，选项 A 错误；
由抛物线开口向上，对称轴为直线 x=1，得到对称轴右边 y 随 x 的增大而增大，选项 B 错误；
由抛物线的对称轴为x=1，利用对称轴公式得到2a+b=0，选项 C 错误；
由抛物线与 x 轴的交点为（﹣ 1，0）及对称轴为 x=1，利用对称性得到抛物线与 x 轴另一个交点为（ 3，0），进而得到方程 ax2+bx+c=0 的有一个根为 3，选项 D 正确．
【解答】解：由二次函数y=ax2+bx+c 的图象可得：抛物线开口向上，即a＞0，
抛物线与 y 轴的交点在 y 轴负半轴，即 c＜ 0，
∴ ac＜0，选项 A 错误；
由函数图象可得：当 x＜1 时， y 随 x 的增大而减小；
当 x＞ 1 时， y 随 x 的增大而增大，选项 B 错误；
∵对称轴为直线x=1，∴﹣=1，即 2a+b=0，选项 C 错误；
由图象可得抛物线与x 轴的一个交点为（﹣ 1，0），又对称轴为直线x=1，
∴抛物线与 x 轴的另一个交点为（ 3， 0），
则x=3 是方程 ax2+bx+c=0 的一个根，选项 D 正
确．故选 D．
【点评】此题考查了二次函数图象与系数的关系，以及抛物线与 x 轴的交点，难度适中．二次函数 y=ax2+bx+c=0（a≠0），a 的符合由抛物线的开口方向决定， c 的符合由抛物线与
y 轴交点的位置确定， b 的符号由 a 及对称轴的位置决定，抛物线的增减性由对称轴决定，当抛物线开口向上时，对称轴左边y 随x 的增大而减小，对称轴右边y 随x 的增大而增大；当抛物线开口向下时，对称轴左边y 随x 的增大而增大，对称轴右边y 随x 的
增大而减小．此外抛物线解析式中y=0 得到一元二次方程的解即为抛物线与x 轴交点的横坐标．
9．对于抛物线 y=﹣（ x+1）2 +3，下列结论：
①抛物线的开口向下；
②对称轴为直线x=1；
③顶点坐标为（﹣ 1， 3）；
④x＞1 时， y 随 x 的增大而减小，
其中正确结论的个数为（）
A．1B． 2C．3D．4
【考点】二次函数的性质．
【分析】根据二次函数的性质对各小题分析判断即可得解．
【解答】解：①∵ a=﹣＜ 0，
∴抛物线的开口向下，正确；
②对称轴为直线x=﹣1，故本小题错误；
③顶点坐标为（﹣ 1， 3），正确；
④∵ x＞﹣ 1 时， y 随 x 的增大而减小，
∴x＞1 时， y 随 x 的增大而减小一定正确；
综上所述，结论正确的个数是①③④共 3 个．故
选： C．
【点评】本题考查了二次函数的性质，主要利用了抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐
标，以及二次函数的增减性．
10．二次函数 y=ax2+bx 的图象如图所示，那么一次函数y=ax+b 的图象大致是（）A．B．C．D．
【考点】二次函数的图象；一次函数的图象．
【专题】数形结合．
【分析】根据二次函数图象的开口方向向下确定出a＜0，再根据对称轴确定出b＞ 0，然后根据一次函数图象解答即可．
【解答】解：∵二次函数图象开口方向向下，
∴a＜0，
∵对称轴为直线x=﹣＞0，
∴ b＞0，
∴一次函数y=ax b 的图象经过第二四象限，且与y 轴的正半轴相交，+
C 选项图象符合．
故选： C．
【点评】本题考查了二次函数的图象，一次函数的图象，根据图形确定出a、 b 的正负情况是解题的关键．
二、填空题
11．已知二次函数的y=ax2+bx+c（ a≠ 0）图象如图所示，有下列 5 个结论：① abc＜ 0；
②b＜a+c；③ 4a+2b+c＞ 0；④ 2c＜ 3b；⑤ a+b＜ m（am+b）（ m≠1 的实数），其中
正确结论的序号有①③④ ．
【考点】二次函数图象与系数的关系．
【专题】压轴题．
【分析】由抛物线的开口方向判断 a 的符号，由抛物线与 y 轴的交点判断 c 的符号，然后
根据对称轴及抛物线与 x 轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．【解答】解：①
由图象可知： a＜0，b＞0，c＞0，abc＜0，故此选项正确；
②当 x=﹣ 1 时， y=a﹣b+c＜ 0，即 b＞a+c，错误；
③由对称知，当x=2 时，函数值大于 0，即 y=4a+2b+c＞0，故此选项正确；
④当 x=3 时函数值小于 0， y=9a+3b+c＜ 0，且 x=﹣=1，
即 a=﹣，代入得9（﹣）+3b+c＜0，得2c＜3b，故此选项正确；
⑤当 x=1 时， y 的值最大．此时， y=a+b+c，
而当 x=m 时， y=am2+bm+c，
所以 a+b+c＞ am2+bm+c，
故a+b＞am2+bm，即 a+b＞m（am+b），故此选项错
误．故①③④正确．
故答案为：①③④．
【点评】此题主要考查了图象与二次函数系数之间的关系，二次函数y=ax2+bx+c 系数符号由抛物线开口方向、对称轴和抛物线与y 轴的交点、抛物线与x 轴交点的个数确定．
2 2x﹣1 与 x 轴仅有一个公共点，则实数 k 的值为0 或﹣ 1 ．12．若关于 x 的函数 y=kx +
【考点】抛物线与x 轴的交点．
【分析】令y=0，则关于x 的方程kx2+2x﹣1=0 只有一个根，所以k=0 或根的判别式△=0，借助于方程可以求得实数 k 的值．
【解答】解：令 y=0，则 kx2+2x﹣1=0．
∵关于 x 的函数 y=kx2+2x﹣ 1 与 x 轴仅有一个公共点，
∴关于 x 的方程 kx2+2x﹣1=0 只有一个根．
①当 k=0 时， 2x﹣ 1=0，即 x= ，∴原方程只有一个根，∴ k=0 符合题意；
②当 k≠0 时，△ =4+4k=0，
解得， k=﹣ 1．
综上所述， k=0 或﹣ 1．
故答案为： 0 或﹣ 1．
【点评】本题考查了抛物线与x 轴的交点．解题时，需要对函数y=kx2 2x﹣1 进行分类
+
讨论：一次函数和二次函数时，满足条件的k 的值．
13．如图，抛物线的顶点为 P（﹣ 2， 2），与 y 轴交于点 A（0，3）．若平移该抛物线使其顶点 P 沿直线移动到点 P′（ 2，﹣ 2），点 A 的对应点为 A′，则抛物线上 PA 段扫过的区域（阴影部分）的面积为12．
【考点】二次函数图象与几何变换．
【分析】根据平移的性质得出四边形APP′A是′平行四边形，进而得出AD，PP′的长，求出面积即可．
【解答】解：连接AP， A′P，′过点 A 作 AD⊥ PP′于点 D，
由题意可得出： AP∥A′P，′AP=A′P，′
∴四边形 APP′A是′平行四边形，
∵抛物线的顶点为P（﹣ 2，2），与 y 轴交于点 A（0，3），平移该抛物线使其顶点P 沿直线移动到点P′（2，﹣ 2），
∴ PO==2，∠ AOP=45°，
又∵ AD⊥ OP，
∴△ ADO 是等腰直角三角形，
∴PP′=2 ×2=4 ，
∴AD=DO=sin45°?OA= ×3=，
∴抛物线上 PA 段扫过的区域（阴影部分）的面积为：4×=12．
故答案为： 12．
【点评】此题主要考查了二次函数图象与几何变换以及平行四边形面积求法和勾股定理
等知识，根据已知得出 AD， PP′是解题关键．
14．二次函数 y=x2 +1 的图象的顶点坐标是（0，1）．
【考点】二次函数的性质．
【分析】根据顶点式解析式写出顶点坐标即可．
【解答】解：二次函数y=x2+1 的图象的顶点坐标是（ 0， 1）．
故答案为：（ 0，1）．
【点评】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握顶点式解析式是解题的关键．
15．若抛物线y=x2+bx+c 与x 轴只有一个交点，且过点A（ m，n）， B（m +6，n），则n= 9．
【考点】抛物线与x 轴的交点．
【分析】首先，由“抛物线 y=x2+bx+c 与 x 轴只有一个交点”推知 x=﹣时， y=0．且 b2﹣
4c=0，即 b2=4c；其次，根据抛物线对称轴的定义知点 A、B 关于对称轴对称，则 A（﹣
﹣ 3，n），B（﹣+3，n）；最后，根据二次函数图象上点的坐标特征知n=（﹣﹣3）2+b（﹣﹣3）+c=﹣ b2+c+9，所以把 b2=4c 代入即可求得 n 的
值．【解答】解：∵抛物线 y=x2+bx+c 与 x 轴只有一个交点，∴当 x=
﹣时， y=0．且 b2﹣ 4c=0，即 b2=4c．
又∵点 A（ m，n）， B（m+6，n），
∴点 A、B 关于直线 x=﹣对称，
∴ A（﹣﹣3，n），B（﹣+3， n）
将 A 点坐标代入抛物线解析式，得：n=（﹣﹣3）2+b（﹣﹣3）+c=﹣
b2+c+9
∵b2=4c，
∴n=﹣×4c+c+9=9．
故答案是： 9．
【点评】本题考查了抛物线与 x 轴的交点．二次函数 y=ax2+bx+c（ a， b， c 是常数， a≠0）的交点与一元二次方程 ax2+bx+c=0 根之间的关系．
△=b2﹣ 4ac 决定抛物线与 x 轴的交点个数．
△=b2﹣ 4ac＞ 0 时，抛物线与 x 轴有 2 个交点；
△=b2﹣ 4ac=0时，抛物线与 x 轴有 1 个交点；
△ =b2﹣ 4ac＜ 0 时，抛物线与 x 轴没有交点．
16．如图，一段抛物线： y=﹣x（x﹣ 3）（ 0≤x≤ 3），记为 C1，它与 x 轴交于点 O，A1；将C 1绕点 A1旋转 180°得 C2，交 x 轴于点 A2；
将C2绕点 A2旋转 180°得 C3，交 x 轴于点 A3；
如此进行下去，直至得C13．若 P（37， m）在第 13 段抛物线 C13上，则 m= 2．
【考点】二次函数图象与几何变换．
【专题】压轴题．
【分析】根据图象的旋转变化规律以及二次函数的平移规律得出平移后解析式，进而求出 m 的值．
【解答】解：∵一段抛物线：y=﹣ x（ x﹣ 3）（ 0≤x≤ 3），
∴图象与 x 轴交点坐标为：（ 0，0），（ 3， 0），
∵将 C1绕点 A1旋转 180°得 C2，交 x 轴于点 A2；
将C2绕点 A2旋转 180°得 C3，交 x 轴于点 A3；
如此进行下去，直至得 C13．
∴ C13的解析式与 x 轴的交点坐标为（ 36，0），（ 39，0），且图象在 x 轴上方，∴C13的解析式为： y13=﹣（ x﹣36）（ x﹣ 39），
当 x=37 时， y=﹣（ 37﹣36）×（ 37﹣ 39）=2．
故答案为： 2．
【点评】此题主要考查了二次函数的平移规律，根据已知得出二次函数旋转后解析式是解题关键．
．抛物线2+1 的最小值是 1 ．
17 y=x
【考点】二次函数的最值．
【分析】根据二次函数的最值问题解答即可．
【解答】解：抛物线y=x2+1 的最小值是 1．
故答案为： 1．
【点评】本题考查了二次函数的最值问题，是基础题，熟练掌握利用顶点式解析式求最
大（或最小）值是解题的关键．
18．如图，以扇形 OAB的顶点 O 为原点，半径 OB 所在的直线为 x 轴，建立平面直角坐标系，点 B 的坐标为（ 2，0），若抛物线 y= x2+k 与扇形 OAB 的边界总有两个公共点，则实数 k 的取值范围是﹣2＜k＜．
【考点】二次函数的性质．
【专题】压轴题．
【分析】根据∠ AOB=45°求出直线 OA 的解析式，然后与抛物线解析式联立求出有一个公共点时的 k 值，即为一个交点时的最大值，再求出抛物线经过点 B 时的 k 的值，即为一个交点时的最小值，然后写出 k 的取值范围即可．【解答】解：由图可知，∠ AOB=45°，∴直线OA 的解析式为y=x，
联立消掉 y 得，
x2﹣ 2x+2k=0，
△=b2﹣ 4ac=（﹣ 2）2﹣4×1×2k=0，
即 k= 时，抛物线与 OA 有一个交点，
此交点的横坐标为1，
∵点 B 的坐标为（ 2， 0），
∴OA=2，
∴点 A 的坐标为（，），
∴交点在线段 AO 上；
当抛物线经过点B（ 2， 0）时，× 4+k=0，
解得 k=﹣ 2，
∴要使抛物线 y= x2+k 与扇形 OAB的边界总有两个公共点，实数 k 的取值范围是﹣ 2＜k ＜．
故答案为：﹣ 2＜k＜．
【点评】本题考查了二次函数的性质，主要利用了联立两函数解析式确定交点个数的方
法，根据图形求出有一个交点时的最大值与最小值是解题的关键．
19．请写出一个开口向上，并且与 y 轴交于点（，）的抛物线的解析式，2+1（答
0 1 y= x
案不唯一）．
【考点】二次函数的性质．
【专题】开放型．
【分析】根据二次函数的性质，开口向上，要求 a 值大于 0 即可．
【解答】解：抛物线y=x2+1 开口向上，且与y 轴的交点为（ 0，1）．
【点评】本题考查了二次函数的性质，开放型题目，答案不唯一，所写抛物线的a 值必须大于 0．
三、解答题
20．如图，抛物线y=a（x﹣1）2+4 与 x 轴交于点 A，B，与 y 轴交于点 C，过点 C 作 CD ∥x 轴交抛物线的对称轴于点 D，连接 BD，已知点 A 的坐标为（﹣ 1，0）
（ 1）求该抛物线的解析式；
（ 2）求梯形 COBD的面积．