数理统计
一、填空题
1、设n X X X ,,21为母体X 的一个子样，如果),,(21n X X X g ， 则称),,(21n X X X g 为统计量。不含任何未知参数
2、设母体 ),,(~2
N X 已知，则在求均值 的区间估计时，使用的随机变量为
n
X
3、设母体X 服从修正方差为1的正态分布，根据来自母体的容量为100的子样，测得子样均值为5，则X 的数学期望的置信水平为95%的置信区间为 。 025.010
1
5u
4、假设检验的统计思想是 。 小概率事件在一次试验中不会发生
5、某产品以往废品率不高于5%，今抽取一个子样检验这批产品废品率是否高于5%， 此问题的原假设为 。 0H ：05.0 p
6、某地区的年降雨量),(~2
N X ，现对其年降雨量连续进行5次观察，得数据为：
(单位：mm) 587 672 701 640 650 ，则2
的矩估计值为 。
1430.8
7、设两个相互独立的子样2121,,,X X X 与51,,Y Y 分别取自正态母体)2,1(2
N 与
)1,2(N ， 2
*2
2*1,S S 分别是两个子样的方差，令2*2222*121)(,S b a aS ，已知)4(~),20(~22
2221 ，则__________, b a 。
用
)1(~)1(22
2
* n S n
，1,5 b a
8、假设随机变量)(~n t X ，则
2
1
X 服从分布 。)1,(n F 9、假设随机变量),10(~t X 已知05.0)(2
X P ，则____ 。
用),1(~2
n F X
得),1(95.0n F
10、设子样1621,,,X X X 来自标准正态分布母体)1,0(N ，
X
为子样均值，而
01.0)( X P ， 则____
01.04)1,0(~1z N n
X
11、假设子样1621,,,X X X 来自正态母体),(2
N ，令 16
11
10
1
43
i i i i
X X
Y ，则Y 的
分布 )170,10(2
N
12、设子样1021,,,X X X 来自标准正态分布母体)1,0(N ，X 与2
S 分别是子样均值和子
样方差，令2
*2
10S X Y ，若已知01.0)( Y P ，则____ 。)9,1(01.0F
13、如果,?1 2? 都是母体未知参数 的估计量，称1? 比2? 有效，则满足 。 )?()?(2
1 D D 14、假设子样n X X X ,,,21 来自正态母体),(2
N ， 1
1
21
2
)(?n i i i X X
C
是2 的一
个无偏估计量，则_______ C 。
)
1(21
n
15、假设子样921,,,X X X 来自正态母体)81.0,( N ，测得子样均值5 x ，则 的置信度是95.0的置信区间为 。025.03
9
.05u
16、假设子样10021,,,X X X 来自正态母体),(2
N ， 与2
未知，测得子样均值
5 x ，子样方差12 s ，则 的置信度是95.0的置信区间为 。 025.0025.0025.0)99(),99(10
1
5z t t
17、假设子样n X X X ,,,21 来自正态母体),(2
N ，
与2 未知，计算得
75.1416116
1
i i X ，则原假设0H ：15 的t 检验选用的统计量为 。
答案为
n
S X *
15
二、选择题
1、③下列结论不正确的是 ( )
① 设随机变量Y X ,都服从标准正态分布，且相互独立，则)2(~2
2
2
Y X
② Y X ,独立，)5(~)15(~),10(~2
2
2
Y Y X X
③ n X X X ,,21来自母体),(~2
N X 的子样，X 是子样均值，
则
n
i i n X X 1
22
2
)(~)(
④ n X X X ,,21与n Y Y Y ,,21均来自母体),(~2
N X 的子样，并且相互独立，Y
X ,分别为子样均值，则
)1,1(~)()(1
2
1
2
n n F Y Y
X X
n
i i
n
i i
2、④设21?,? 是参数 的两个估计量，正面正确的是 ( ) ① )?()?(21 D D ，则称1? 为比2? 有效的估计量 ② )?()?(21 D D ，则称1? 为比2
? 有效的估计量 ③ 21?,? 是参数 的两个无偏估计量，)?()?(21 D D ，则称1? 为比2? 有效的估计量 ④ 21?,? 是参数 的两个无偏估计量，)?()?(21 D D ，则称1? 为比2? 有效的估计量 3、设
?是参数 的估计量，且0)?( D ，则有 （ ） ① 2
?
不是2 的无偏估计 ② 2? 是2
的无偏估计 ③ 2
?
不一定是2 的无偏估计 ④ 2? 不是2
的估计量 4、②下面不正确的是 （ ） ① u u 1 ② )()(2
2
1n n
③ )()(1n t n t ④ )
,(1
),(1n m F m n F
5、②母体均值的区间估计中，正确的是 （ ）
① 置信度 1一定时，子样容量增加，则置信区间长度变长； ② 置信度 1一定时，子样容量增加，则置信区间长度变短； ③ 置信度 1增大，则置信区间长度变短； ④ 置信度 1减少，则置信区间长度变短。
6、④对于给定的正数 ，10 ，设 u 是标准正态分布的 上侧分位数，则有（ ） ① 1)(2
u U P ② )|(|2
u U P
③ 1)(2
u U P ④ )|(|2
u U P
7、④某工厂所生产的某种细纱支数服从正态分布2
00200,),,( N 为已知，现从某日生产的一批产品中随机抽取16缕进行支数测量，求得子样均值和子样方差，要检验细纱支数的均匀度是否变劣，则应提出假设 （ ）
① 0H ：0 1H ：0 ② 0H ：0 1H ：0 ③ 0H ：202
1H ：202 ④ 0H ：202 1H ：202
8、③测定某种溶液中的水分，由它的9个测定值，计算出子样均值和子样方差%452.0 x ，
%037.0 s ，母体服从正态分布，正面提出的检验假设被接受的是 （ ） ① 在 ＝0.05下，0H ：%05.0 ②在 ＝0.05下，0H ：%03.0 ③ 在 ＝0.25下，0H ：%5.0 ④在 ＝0.25下，0H ：%03.0 9、答案为①
设子样n X X X ,,21抽自母体X ，m Y Y Y ,,21来自母体Y ，),(~2
1 N X
),(~2
2 N Y ，则
m
i i
n
i i
Y
X 12
212
1)()( 的分布为
① ),(m n F ② )1,1( m n F ③ ),(n m F ④ )1,1( n m F
10、②设n x x x ,,,21 为来自),(~2
N X 的子样观察值，2
, 未知， n
i i x n x 1
1
则2
的极大似然估计值为 （ ）
① n i i x x n 12)(1 ② n i i x x n 1)(1 ③ n i i x x n 12
)(11 ④ n i i x x n 1)(11 11、③子样n X X X ,,21来自母体)1,0(~N X ， n i i X n X 11， 2
*S n i i X X n 1
2)(11 则下列结论正确的是 （ ） ① )1,0(~N X n ② )1,0(~N X ③
n
i i
n X
1
22
)(~ ④
)1(~* n t S
X
12、①假设随机变量X 100212
,,,),2,1(~X X X N 是来自X 的子样，X 为子样均值。已
知
)1,0(~N b X a Y ，则有（ ）
①5,5 b a ②5,5 b a ③51,51 b a ④5
1,51 b a
13、设子样n X X X ,,,21 )1( n 来自标准正态分布母体)1,0(N ，X 与2
*S 分别是子样均
值和子样方差，则有（ ）
①)1,0(~N X ②)1,0(~N X n ③
)(~212n X
n
i i
④
*S
X 14、④设子样n X X X ,,,21 来自正态母体),(2
N ，X 与2
S 分别是子样均值和子样方
差，则下面结论不成立的是（ ）
①X 与2
S 相互独立 ②X 与2
)1(S n 相互独立
③X 与
n
i i
X X
1
2
2
)(1
相互独立 ④X 与
n
i i
X
1
22
)(1
相互独立
15、③子样54321,,,,X X X X X 取自正态母体),(2
N ， 已知，2
未知。则下列随机
变量中不能作为统计量的是（ ）
① X ② 221 X X ③ 5
12
2)(1
i i
X X ④ 5
1
2)(3
1
i i
X X
16、②设子样n X X X ,,,21 来自正态母体),(2
N ，X 与2
*S 分别是子样均值和子样方
差，则下面结论成立的是（ ）
① ),(~22
12 N X X ② )1,1(~)(2
*2
n F S
X n
③
)1(~22
2
n S ④
)1(~1*
n t n S
X
17、答案②设子样n X X X ,,,21 来自母体X ，则下列估计量中不是母体均值 的无偏估计量的是（ ）。
①X ②n X X X 21 ③)46(1.01n X X ④321X X X 18、②假设子样n X X X ,,,21 来自正态母体),(2
N 。母体数学期望 已知，则下列估
计量中是母体方差2
的无偏估计是（ ）
① n i i X X n 12)(1② n i i X X n 1
2
)(11③ n i i X n 12)(11 ④ n i i X n 12)(11 19、①假设母体X 的数学期望 的置信度是95.0，置信区间上下限分别为子样函数
),(1n X X b 与 ),,(1n X X a ，则该区间的意义是（ ）
① 95.0)( b a P ② 95.0)( b X a P ③ 95.0)( b X a P ④ 95.0)( b X a P
20、②假设母体X 服从区间],0[ 上的均匀分布，子样n X X X ,,,21 来自母体X 。则未
知参数 的极大似然估计量
?为（ ）② ① X 2 ② ),,max (1n X X ③ ),,m in(1n X X ④ 不存在 21、②在假设检验中，记0H 为原假设，则犯第一类错误是（ ） ① 0H 成立而接受0H ② 0H 成立而拒绝0H ③ 0H 不成立而接受0H ④ 0H 不成立而拒绝0H
22、①假设子样n X X X ,,,21 来自正态母体),(2
N ，X 为子样均值，记
21
S n i i X X n 12)(1 2
2S n i i X X n 1
2)(11 23
S n i i X n 1
2
)(1 24S n i i X n 12)(11 则服从自由度为1 n 的t 分布的随机变量是（ ）
①
11 n S X ②12 n S X ③ n S X 3 ④ n S X 4
每题前面是答案！
三、计算题 1、（1）1－
25)54
,12(~N X （2） 5)1(1 （3）1 5)5.1( 设母体)4,12(~N X ，抽取容量为5的子样，求 （1） 子样均值大于13的概率；
（2） 子样的最小值小于10的概率； （3） 子样最大值大于15的概率。
2、解：)5.0,10(~N X )11( X P 079.0
假设母体)2,10(~2
N X ，821,,,X X X 是来自X 的一个子样，
X
是子样均值，求
)11( X P 。
3、)5.0,10(~N X c X P (）05.0 16.11 c
母体)2,10(~2
N X ，821,,,X X X 是来自X 的子样，X 是子样均值，若
05.0)( c X P ，试确定c 的值。
4、由
)1,0(~210
N n
X 所以
98.0|10|98.1002.9 X P X P =0.9516 n 设n X X X ,,,21 来自正态母体)2,10(2
N ，X 是子样均值，
满足95.0)98.1002.9( X P ，试确定子样容量n 的大小。 5、
25
17
2
16
1
1,i i i i
X Y
X Y )15,140(~221N Y Y 得 18221 Y Y P 997.0
假设母体X 服从正态母体)3,20(2
N ，子样2521,,,X X X 来自母体X ,计算
18225
17161i i i i X X P
6、（1）178320?,3140?2
（2） n
i i x x n 1
22
198133)(11? 假设新生儿体重),(~2
N X ，现测得10名新生儿的体重，得数据如下： 3100 3480
2520 3700 2520 3200 2800 3800 3020 3260 （1）求参数 和2
的矩估计；
（2）求参数2
的一个无偏估计。
7、（1） 1EX 故 1? X
（2）似然函数
0);,,,(1)
(21n i x n
i e
x x x L 其他 i x n i ,2,1 0
1
)
(
n
i i x e 其他 i x min n i ,2,1 故),,,min(?21n X X X 假设随机变量X 的概率密度函数为 0
)()( x e x f
x x ，设n X X X ,,,21 来自母体
X 的一个子样，求 的矩估计和极大似然估计。
8、估计误差|| x 的置信区间为)05.0,
05.0(05.005.0u n
u n
估计误差|| x 04.9601.005.005.0
n u n
故子样容量n 最小应取97。
在测量反应时间中，一位心理学家估计的标准差是05.0秒，为了以95.0的置信度使平均反应时间的估计误差不超过01.0秒，那么测量的子样容量n 最小应取多少
9、 （1）取检验统计量X n
X
U 101
)1,0(~0
N 对05.0 的水平下， 拒绝域
62.062.0||96.1|| c X U J （2）62.01 x ，故1021,,,x x x J ，因此不能据此推断0 成立 （3）
0003.0]1)1015.1(2[115.1|| X P 0003.0
假设随机变量)1,(~ N X ，1021,,,x x x 是来自X 的10个观察值，要在01.0 的水平
下检验 0H ：0 ，1H ：0 取拒绝域
c X J || （1）? c
（2）若已知,1 x 是否可以据此推断0 成立？ )05.0(
（3）如果以
15.1|| X J 检验0H ：0 的拒绝域，试求该检验的检验水平 。
10、 0H ：2.5 ，1H ：2.5 取检验统计量n
X U 12.5 )1,0(~2
.5N
96.1|| u J 答案：可认为现在生产的金属纤维的长度仍为mm 2.5
假设按某种工艺生产的金属纤维的长度X （单位mm ）服从正态分布)16.0,2.5(N ，现在随机抽出15根纤维，测得它们的平均长度4.5 x ，如果估计方差没有变化，可否认为现在生产的金属纤维的长度仍为mm 2.5
11、置信区间公式为 )8(),8(025.0*
025.0*t n S X t n S X 得 69.30,31.29 （2）检验 0H ：5.31 ，1H ：5.31 取检验统计量)8(~5.310
*
t n
S
X T H 拒绝域
025.0||t T J 答案：不能认为该地区九月份平均气温为C 05.31 （3）对于同一 而言，在显著水平 拒绝0H ：5.31 与5.31在置信度为 1的
置信区间之外是一致的。
某地九月份气温),(~2
N X ，观察九天，得C x 030 ，C s 0
9.0 ，求
（1）此地九月份平均气温的置信区间； （置信度95%）
（2）能否据此子样认为该地区九月份平均气温为C 0
5.31（检验水平)05.0 （3）从（1）与（2）可以得到什么结论？ 30
6.2)8(025.0 t
12、检验 0H ：72 ，1H ：72 取检验统计量)9(~720
*t n
S
X T H
拒绝域
025.0||t T J 答案：可认为患者的脉搏与正常成年人的脉搏有显著差异 正常成年人的脉搏平均为72次/分，今对某种疾病患者10人，测得脉搏为 54 68 65 77 70 64 69 72 62 71，假设人的脉搏次数),(~2
N X ，试就检验水平05.0 下
检验患者脉搏与正常成年人的脉搏有无显著差异？
13、（1）0H ：22
2
1
，1H ：22
21
取检验统计量)3,4(~0
2*2
2*1F S S F H
拒绝域 )3,4()3,4(95.005.0F F F F J 或 答： 可认为1X 与2X 的方差相等 （2）0H ：21 ，1H ：21 由1X 2X 的方差相等， 取检验统计量2*21
2111S
n n X X T
)7(~0
t H ，2
)1()1(212
*2
22*112
*
n n S n S n S
拒绝域
)7(||05.0t T J 答：故可认为1X 与2X 的均值相等。 设随机变量2
2,),,(~i i i i i N X 均未知，1X 与2X 相互独立。现有5个1X 的观察值，
子样均值191 x ，子样方差为505.72
*1 s ，有4个2X 的观察值，子样均值182 x ，
子样方差为593.22
*2 s ，
（1）检验1X 与2X 的方差是否相等？59.6)4,3(,12.9)3,4(,1.005.005.0 F F （1） 在（1）的基础上检验1X 与2X 的均值是否相等。 （
1.0 ）
14、0H ：2
2
82 ，1H ：2
2
82 取检验统计量2
2
*2
82
)1(S n
02.197.222 or J
答：故可认为新工艺生产的缆绳的抗拉强度的稳定性无显著变化
假设某厂生产的缆绳，其抗拉强度X 服从正态分布)82,10600(2
N ，现在从改进工艺后生产的缆绳中随机抽取10根，测量其抗拉强度，子样方差69922
* s
。当显著水平为05
.0 时，能否据此认为新工艺生产的缆绳的抗拉强度的稳定性是否有变化？
15、（1）0H ：2
2
005.0 ，1H ：2
2
005.0 取检验统计量2
2
*2
005.0)1(S n
5.1718.22
2 or J 答：故可认为新生产的一批导线的稳定性有显著变化
（2）2
的置信区间为（ )
1()1(,
)1()1(2975.02
*2025.02
* n S n n S n ）＝（ 0.0003 ,0.00023）
某种导线的电阻)005.0,(~2
N X ，现从新生产的一批导线中抽取9根，得 009.0s 。
（1）对于05.0 ，能否据此认为新生产的一批导线的稳定性无变化？ （2）求母体方差2
的95%的置信区间
16、母体均值 的置信区间为n
s t x *025
.0 答： ( 99.05 , 100.91 )
某厂用自动包装机包装糖，每包糖的重量),(~2
N X ，某日开工后，测得9包糖的重量如下：99.3 98.7 100.5 101.2 98.3 99.7 102.1 100.5 99.5 (单位：千克) 试求母体均值 的置信区间，给定置信水平为95.0。 17、21 的的置信区间为
2
)1()1(,11)2(212
*2
22*112*21*
212
n n S n S n S n n S
n n t Y X （ -0.88 , 2.04 ）
设有甲、乙两种安眠药，现在比较它们的治疗效果，X 表示失眠患者服用甲药后睡眠时间的延长时数，Y 表示失眠患者服用乙药后睡眠时间的延长时数，随机地选取20人，10人服用甲药，10人服用乙药，经计算得9.2,75.1;9.1,33.22
22
1 s y s x ，设
),,(~21 N X ),(~22 N Y ；求21 的置信度为95%的置信区间。
18、22
21 的置信区间为
)12,17(,)12,17(05.02
*22*195.02*22*1F S S F S S ( 0.45 , 2.79 ) 研究由机器A 和B 生产的钢管的内径，随机地抽取机器A 生产的管子18根，测得子样方差
34.021 s ，抽取机器B 生产的管子13根，测得子样方差29.02
2 s ，设两子样独立，且由
机器A 和B 生产的钢管的内径服从正态分布),(),,(22
221
1 N N ，试求母体方差比22
21 的
置信度为90%的置信区间。
19、2
的置信区间（ )
1()1(,)1()1(2
95.02
*2
05.02
* n S n n S n ） 2
的置信区间 ( 0.0575 , 0.1713 ) 的置信区间 ( 0.2398 , 0.4139 )
设某种材料的强度),(~2
N X ，2
, 未知，现从中抽取20件进行强度测试，以kg/cm
2
为强度单位，由20件子样得子样方差0912.02
* s ，求2 和 的置信度为90%的置信区
间。
20、p 的置信区间为
)1(12n m n m n u n m （ 0.504 , 0.696 ） 也可用中心极限定理作近似计算，所得答案为 ( 0.50 , 0.69 )
设自一大批产品中随机抽取100个样品，得一级品50个，求这批产品的一级中率p 的置信度为95%的置信区间。 21、 的置信区间为,025
.0n
u x
，65.275001800000
025
.0 n n
u
即这家广告公司应取28个商店作子样
一家广告公司想估计某类商店去年所花的平均广告费有多少。经验表明，母体方差约为1800000，如果置信度为95%，并要使估计值处在母体均值附近500元的范围内，这家广告公司应取多大的子样？ 22、似然函数
n
i i
x n
e
L 1
1
)1
()(
的极大似然估计量X
? 设电视机的首次故障时间X 服从指数分布，EX ，试导出 的极大似然估计量和矩估
计。
23、21 的置信区间为 2
)1()1(,11)2(212
*222*1
12*21*
212
21 n n s n s n S n n s
n n t x x (-10.2 , -2.4 ) 为了比较两位银行职员为新顾客办理个人结算账目的平均时间长度，分别给两位银行职员随
机地安排了10个顾客，并记录下为每位顾客办理账单所需的时间（单位：分钟）相应的子样均值和方差为：92.18,63.16;5.28,2.222
*22
*121 s s x x 。假设每位职员为顾客办
理账单所需的时间服从正态分布，且方差相等，求母体平均值差的置信度为95%的区间估计。
24、21p p 的置信区间为
)1(1)1(12
22221111122211n m n m
n n m n m n u n m n m ，18.011 n m ，14.022 n m
所以21p p 的置信区间为 ( 0.0079 , 0.0721 )
某饮料公司对其所做的报纸广告在两个城市的效果进行了比较，他们从两个城市中分别随机
地调查了1000个成年人，其中看过该广告的比例分别为0.18和0.14，试求两个城市成年人中看过该广告的比例之差的置信度为95%的置信区间。
25、0H ：1200 1H ：1200 取检验统计量100
300
1200
X U
拒绝域 u u J 答案：不能认为该厂的显像管质量大大高于规定标准
电视机显像管批量生产的质量标准为平均寿命1200小时，标准差为300小时。某电视机厂宣称其生产的显像管质量大大超过规定标准。为了进行验证，随机抽取100件为子样，测得其平均寿命为1245小时。能否据此认为该厂的显像管质量大大高于规定标准？ 26、0H ：5 1H ：5 取检验统计量n
S
X T *
5
拒绝域
)1(2
n t t J 计算得16.3103
.05
3.5
t （1）)9(05.0025.0t t ，所以在0.05的显著水平下不能认为机器性能良好 （2）)9(01.005.0t t ，所以在0.01的显著水平下可认为机器性能良好
某机器制造出的肥皂厚度为cm 5，今欲了解机器性能是否良好，随机抽取10块为子样，测得其平均厚度为cm 3.5，标准差为cm 3.0，试分别以0.05和0.01的显著水平检验机器性能是否良好？（假设肥皂厚度服从正态分布） 27、检验0H ：21 1H ：21 2
22
1
21
2
1n n X X U
拒绝域
2
||
u u J
计算得故可拒绝0H ，认为两种方法生产的产品的平均抗拉强度是有显著差别
有两种方法可用于制造某种以抗拉强度为重要特征的产品。根据以往的资料得知，第一种方法生产的产品的抗拉强度的标准差为8kg ，第二种方法生产的产品的抗拉强度的标准差为10kg 。从两种方法生产的产品各抽取一个子样，子样容量分别为32和40，测得
kg x kg x 44,5021 。问这两种方法生产的产品的平均抗拉强度是否有显著差别
96.1,05.0025.0 z
28、检验0H ：21 1H ：21 检验统计量2
1*
2111n n S X X T
拒绝域 t t J 经计算得不能认为用第二种工艺组
装产品所需的时间比用第一种工艺组装产品所需的时间短。
一个车间研究用两种不同的工艺组装产品所用的时间是否相同，让一个组的10名工人用第一种工艺组装产品，平均所需的时间为26.1分钟，子样标准差为12分钟；另一组的8名工人用第二种工艺组装产品，平均所需的时间为17.6分钟，子样标准差为10.5分钟，已知用两种工艺组装产品所需的时间服从正态分布，且方差相等，问能否认为用第二种工艺组装产品所需的时间比用第一种工艺组装产品所需的时间短？
7459.1)16(,05.005.0 t
29、0H ：250 1H ：250 取检验统计量25
30
250
X U
拒绝域 u u J 计算得拒绝0H ，可认这种化肥是否使小麦明显增产
某地区小麦的一般生产水平为亩产250kg ，其标准差为30kg 。现用一种化肥进行试验，从25个小区抽样结果为平均产量为270kg 。问这种化肥是否使小麦明显增产？ 05.0 30、0H ：05.0 p 1H ：05.0 p
n
n m n m n m
U )1(05.0
接受0H ：05.0 p ，批食品能否出厂
某种大量生产的袋装食品，按规定不得少于250kg 。今从一批该食品中任意抽取50袋，发
现有6袋低于250kg 。若规定不符合标准的比例超过5%就不得出厂，该批食品能否出厂？ 05.0
31、0H ：225 1H ：225 取检验统计量n
S
X T *
225
拒绝域 )1( n t t J ， 不能拒绝0H ，不能认为元件的平均寿命大于225小时。
某种电子元件的寿命服从正态分布。现测得16只元件的寿命如下：159 280 101 212 224 379 179 264 222 362 168 250 149 260 485 170，问是否有理由认为元件的平均寿命大于225小时。 7531.1)15(,05.005.0 t
32、（1）0.998407 （2）x y
1603.1708.26652? （3）0.996817 （4）
n
i i
x x
t 1
2)(??
＝35.39138＞1.7531线性关系和回归系数显著
某电器经销公司在6个城市设有经销处，公司发现彩电销售量与该城市居民户数多少有很大关系，并希望通过居民户数多少来预测其彩电销售量。下表是有关彩电销售量与城市居民户
要求：(1)计算彩电销售量与城市居民户数之间的线性相关系数；
（2）拟合彩电销售量对城居民户数的回归直线；
(3)计算判定系数2
R
(4)对回归方程的线性关系和回归系数进行显著性检验 (05.0 )，并对结果作简要分析。 33、)/()1/(l n S l S F e A
计算得5.410
/384
/4.68 F ＞3.48
检验温度对该化工产品的得率是否有显著影响。
34、(1) 589.364565.0? x y
(2) 0:0 b H 检验统计量 xx l b
t
??14.9>306.2)8(025.0 t 故儿子身高关于父亲身高的回归直线方程显著成立
(3) 499.68977.35704646.0?7000 y
x 区间预测为2222020432.0]?[2
1?,)(11?? xx
yy xx l b l n l x x n t y 故0y 的区间预测为 ( 67.656 , 69.345 )
测量9对做父子的身高，所得数据如下(单位：英
(1) 试建立了儿子身高关于父亲身高的回归直线方程
(2) 检验儿子身高关于父亲身高的回归直线方程是否显著成立？306.2)8(025.0 t （3）父亲身高为70，试对儿子身高进行置信度为95%的区间预测
35、)16,3(31.1105.0F F ,即不同的方式推销商品的效果有显著差异
某商店采用四种不同的方式推销商品。为检验不同的方式推销商品的效果是否有显著差异随机抽取子样，得到如下数据：（24.3)16,3(,05.005.0 F ）
计算F 统计量，并以05.0 的显著水平作出统计决策。
四、证明题
1、设n X X X ,,,21 )2( n 来自正态母体X ，母体X 的数学期望 及方差2
均存在，
求证：4321?,?,?,?
均是母体X 的数学期望 的无偏估计。其中
)(2
1?,?1211n X X X X X X X 43213?),32(6
1
?
2、假设随机变量X 服从分布),(n n F 时，求证： 5.01)1( X P X P
3、设n X X X ,,,21 )2( n 来自正态母体X ，母体X 的方差2
存在，2*S 为子样方差，
求证：2
*S
为2
的无偏估计。
4、假设母体X 的数学期望 和方差2
均存在，n
X X X ,,,21 来自母体X ，求证：X
与W 都是母体期望 的无偏估计，且DW X D 。其中 n
i i X n X 11，
)1(,1
1
n
i i n
i i i a X a W
5、已知)(~n t T ，证明),1(~2
n F T
6、设母体X 的k 阶矩)(k
i k X E 存在，n
X X X ,,,21 来自母体X ,证明子样k 阶矩
n i k
i k X n A 1
1为母体的k 阶矩)(k i k X E 的无偏估计。
7、设母体X 的密度函数为
01)(1x e
x f
00 x x 试证X 是 的无偏估计，而X 1不是
1的无偏估计。
8、设母体),0(~ U X ，证明),,,max(1
?,2?212
1n X X X n n
X 均是 的无偏估计 （n X X X ,,,21 来自母体X 的子样）
数理统计 一、填空题 1、设n X X X ,,21为母体X 的一个子样，如果),,(21n X X X g ， 则称),,(21n X X X g 为统计量。不含任何未知参数 2、设母体 ),,(~2 N X 已知，则在求均值 的区间估计时，使用的随机变量为 n X 3、设母体X 服从修正方差为1的正态分布，根据来自母体的容量为100的子样，测得子样均值为5，则X 的数学期望的置信水平为95%的置信区间为 。 025.010 1 5u 4、假设检验的统计思想是 。 小概率事件在一次试验中不会发生 5、某产品以往废品率不高于5%，今抽取一个子样检验这批产品废品率是否高于5%， 此问题的原假设为 。 0H ：05.0 p 6、某地区的年降雨量),(~2 N X ，现对其年降雨量连续进行5次观察，得数据为： (单位：mm) 587 672 701 640 650 ，则2 的矩估计值为 。 1430.8 7、设两个相互独立的子样2121,,,X X X 与51,,Y Y 分别取自正态母体)2,1(2 N 与 )1,2(N ， 2 *2 2*1,S S 分别是两个子样的方差，令2*2222*121)(,S b a aS ，已知)4(~),20(~22 2221 ，则__________, b a 。 用 )1(~)1(22 2 * n S n ，1,5 b a 8、假设随机变量)(~n t X ，则 2 1 X 服从分布 。)1,(n F 9、假设随机变量),10(~t X 已知05.0)(2 X P ，则____ 。 用),1(~2 n F X 得),1(95.0n F
第三章 假设检验 课后作业参考答案 某电器元件平均电阻值一直保持Ω，今测得采用新工艺生产36个元件的平均电阻值为Ω。假设在正常条件下，电阻值服从正态分布，而且新工艺不改变电阻值的标准偏差。已知改变工艺前的标准差为Ω，问新工艺对产品的电阻值是否有显著影响(01.0=α) 解：(1)提出假设64.2:64.2:10≠=μμH H ， (2)构造统计量36 /06.064 .261.2/u 00 -=-= -= n X σμ (3)否定域???? ??>=???? ??>?? ??? ??<=--21212 αααu u u u u u V (4)给定显著性水平01.0=α时，临界值575.2575.22 12 =-=- α αu u ， (5) 2 αu u <，落入否定域，故拒绝原假设，认为新工艺对电阻值有显著性影响。 一种元件,要求其使用寿命不低于1000（小时）,现在从一批这种元件中随机抽取25件,测 得其寿命平均值为950（小时）。已知这种元件寿命服从标准差100σ=（小时）的正态分布， 试在显著水平下确定这批元件是否合格。 解：
{}01001:1000, H :1000 X 950 100 n=25 10002.5 V=u 0.05H x u αμμσμα-≥<====->=提出假设：构造统计量：此问题情形属于u 检验，故用统计量：此题中：代入上式得： 拒绝域： 本题中：0.950.950 u 1.64u 0.0u H =>∴即，拒绝原假设认为在置信水平5下这批元件不合格。 某厂生产的某种钢索的断裂强度服从正态分布( )2 ,σ μN ，其中()2 /40cm kg =σ。现从一 批这种钢索的容量为9的一个子样测得断裂强度平均值为X ，与以往正常生产时的μ相比， X 较μ大20(2/cm kg )。设总体方差不变，问在01.0=α下能否认为这批钢索质量显著提 高 解： (1)提出假设0100::μμμμ>=H H ， (2)构造统计量5.13 /4020 /u 00 == -= n X σμ (3)否定域{}α->=1u u V (4)给定显著性水平01.0=α时，临界值33.21=-αu (5) α-<1u u ，在否定域之外，故接受原假设，认为这批钢索质量没有显著提高。 某批矿砂的五个样品中镍含量经测定为（%）： 设测定值服从正态分布，问在0.01α=下能否接受假设，这批矿砂的镍含量为
数理统计考试试卷 一、填空题(本题15分,每题3分) 1、总体得容量分别为10,15得两独立样本均值差________; 2、设为取自总体得一个样本,若已知,则=________; 3、设总体,若与均未知,为样本容量,总体均值得置信水平为得置信区间为,则得值为________; 4、设为取自总体得一个样本,对于给定得显著性水平,已知关于检验得拒绝域为2≤,则相应得 备择假设为________; 5、设总体,已知,在显著性水平0、05下,检验假设,,拒绝域就是________。 1、; 2、0、01; 3、; 4、; 5、。 二、选择题(本题15分,每题3分) 1、设就是取自总体得一个样本,就是未知参数,以下函数就是统计量得为( )。 (A) (B) (C) (D) 2、设为取自总体得样本,为样本均值,,则服从自由度为得分布得统计量为( )。 (A) (B) (C) (D) 3、设就是来自总体得样本,存在, , 则( )。 (A)就是得矩估计(B)就是得极大似然估计 (C)就是得无偏估计与相合估计(D)作为得估计其优良性与分布有关 4、设总体相互独立,样本容量分别为,样本方差分别为,在显著性水平下,检验得拒绝域为( )。 (A) (B) (C) (D) 5、设总体,已知,未知,就是来自总体得样本观察值,已知得置信水平为0、95得置信区间为(4、71,5、69),则取显著性水平时,检验假设得结果就是( )。 (A)不能确定(B)接受(C)拒绝(D)条件不足无法检验 1、B; 2、D; 3、C; 4、A; 5、B、 三、(本题14分) 设随机变量X得概率密度为:,其中未知 参数,就是来自得样本,求(1)得矩估计;(2)得极大似然估计。 解:(1) , 令,得为参数得矩估计量。 (2)似然函数为:, 而就是得单调减少函数,所以得极大似然估计量为。 四、(本题14分)设总体,且就是样本观察值,样本方差,
习题五 1 试检验不同日期生产的钢锭的平均重量有无显著差异？（=0.05） 解 根据问题，因素A 表示日期，试验指标为钢锭重量，水平为5. 假设样本观测值(1,2,3,4)ij y j =来源于正态总体2 ~(,),1,2,...,5i i Y N i μσ= . 检验的问题：01251:,:i H H μμμμ===不全相等 . 计算结果： 表5.1 单因素方差分析表 ‘*’ . 查表0.95(4,15) 3.06F =，因为0.953.9496(4,15)F F =>，或p = 0.02199<0.05， 所以拒绝0H ，认为不同日期生产的钢锭的平均重量有显著差异. 2 考察四种不同催化剂对某一化工产品的得率的影响，在四种不同催化剂下分别做试验 试检验在四种不同催化剂下平均得率有无显著差异？（=0.05） 解 根据问题，设因素A 表示催化剂，试验指标为化工产品的得率，水平为4 . 假设样本观测值(1,2,...,)ij i y j n =来源于正态总体2 ~(,),1,2,...,5i i Y N i μσ= .其中
样本容量不等，i n 分别取值为6，5，3，4 . 检验的问题：012341:,:i H H μμμμμ===不全相等 . 计算结果： 表5.2 单因素方差分析表 查表0.95(3,14) 3.34F =，因为0.952.4264(3,14)F F =<，或p = 0.1089 > 0.05， 所以接受0H ，认为在四种不同催化剂下平均得率无显著差异 . 3 试验某种钢的冲击值（kg ×m/cm2），影响该指标的因素有两个，一是含铜量A ， 试检验含铜量和试验温度是否会对钢的冲击值产生显著差异？（=0.05） 解 根据问题，这是一个双因素无重复试验的问题，不考虑交互作用. 设因素,A B 分别表示为含铜量和温度，试验指标为钢的冲击力，水平为12. 假设样本观测值(1,2,3,1,2,3,4)ij y i j ==来源于正态总体2 ~(,),1,2,3,ij ij Y N i μσ= 1,2,3,4j = .记i α?为对应于i A 的主效应；记j β?为对应于j B 的主效应； 检验的问题：（1）10:i H α?全部等于零，11 :i H α?不全等于零； （2）20:j H β?全部等于零，21:j H β?不全等于零； 计算结果： 表5.3 双因素无重复试验的方差分析表 查表0.95(2,6) 5.143F =，0.95(3,6) 4.757F =，显然计算值,A B F F 分别大于查表值， 或p = 0.0005，0.0009 均显著小于0.05，所以拒绝1020,H H ，认为含铜量和试验温度都会对钢的冲击值产生显著影响作用. 4 下面记录了三位操作工分别在四台不同的机器上操作三天的日产量：
学习好资料 第一套试卷及参考答案 一、选择题 ( 40 分) 1、根据某医院对急性白血病患者构成调查所获得的资料应绘制 ( B ) A 条图B 百分 条图或圆图C 线图D 直方图 2、均数和标准差可全面描述D 资料的特征 A 所有分布形式E负偏态分布C正偏态分布D正态分布和近似正态分布 3、要评价某市一名5岁男孩的身高是否偏高或偏矮，其统计方法是( A ) A 用该市五岁男孩的身高的95%或99%正常值范围来评价 B 用身高差别的假设检 验来评价 C 用身高均数的95%或99%的可信区间来评价 D 不能作评价 4、比较身高与体重两组数据变异大小宜采用( A ) A 变异系数 B 方差 C 标准差 D 四分位间距 5、产生均数有抽样误差的根本原因是( A ) A. 个体差异 B. 群体差异 C. 样本均数不同 D. 总体均数不同 6、男性吸烟率是女性的10 倍，该指标为( A ) (A)相对比(B)构成比(C)定基比(D )率 7、统计推断的内容为( D ) A.用样本指标估计相应的总体指标 B.检验统计上的“检验假设” C. A和B均不是 D. A和B均是 8、两样本均数比较用t 检验，其目的是检验( C ) A两样本均数是否不同B两总体均数是否不同 C 两个总体均数是否相同 D 两个样本均数是否相同 9、有两个独立随机的样本，样本含量分别为n i和住，在进行成组设计资料的t 检 验时，自由度是( D ) (A) n i+ n2 (B) n i+ n2 - C) n1+ n2 +1 D) n1+ n2 -2 10、标准误反映( A ) A 抽样误差的大小 B 总体参数的波动大小 C 重复实验准确度的高低 D 数据的离散程度 11、最小二乘法是指各实测点到回归直线的(C) A垂直距离的平方和最小E垂直距离最小 C纵向距离的平方和最小D纵向距离最小 12、对含有两个随机变量的同一批资料, 既作直线回归分析, 又作直线相关分析。 令对相关系数检验的t值为t r，对回归系数检验的t值为t b, 二者之间具有什么关系？( C) A t r >t b B t r ） 数理统计 一、填空题 1、设n X X X ,,21为母体X 的一个子样，如果),,(21n X X X g ， 则称),,(21n X X X g 为统计量。不含任何未知参数 2、设母体σσμ),,(~2 N X 已知，则在求均值μ的区间估计时，使用的随机变量为 n X σ μ - 3、设母体X 服从修正方差为1的正态分布，根据来自母体的容量为100的子样，测得子样均值为5，则X 的数学期望的置信水平为95%的置信区间为 。 025.010 1 5u ?± ; 4、假设检验的统计思想是 。 小概率事件在一次试验中不会发生 5、某产品以往废品率不高于5%，今抽取一个子样检验这批产品废品率是否高于5%， 此问题的原假设为 。 0H ：05.0≤p 6、某地区的年降雨量),(~2 σμN X ，现对其年降雨量连续进行5次观察，得数据为： (单位：mm) 587 672 701 640 650 ，则2 σ的矩估计值为 。 ~ 7、设两个相互独立的子样2121,,,X X X 与51,,Y Y 分别取自正态母体)2,1(2 N 与 )1,2(N ， 2 *2 2*1,S S 分别是两个子样的方差，令2*2222*121)(,S b a aS +==χχ，已知)4(~),20(~22 2221χχχχ，则__________,==b a 。 用 )1(~)1(22 2 *--n S n χσ，1,5-==b a 8、假设随机变量)(~n t X ，则 21 X 服从分布 。)1,(n F 9、假设随机变量),10(~t X 已知05.0)(2 =≤λX P ，则____=λ 。 用),1(~2 n F X 得),1(95.0n F =λ 10、设子样1621,,,X X X 来自标准正态分布母体)1,0(N ， X 为子样均值，而 01.0)(=>λX P ， 则____=λ 01.04)1,0(~1z N n X =?λ 11、假设子样1621,,,X X X 来自正态母体),(2 σμN ，令∑∑==-=16 11 10 1 43i i i i X X Y ，则Y 的 分布 )170,10(2 σμN % 12、设子样1021,,,X X X 来自标准正态分布母体)1,0(N ，X 与2 S 分别是子样均值和子 样方差，令2*2 10S X Y =，若已知01.0)(=≥λY P ，则____=λ 。)9,1(01.0F =λ 13、如果,?1θ2?θ都是母体未知参数θ的估计量，称1?θ比2?θ有效，则满足 。 )?()?(2 1θθD D < 14、假设子样n X X X ,,,21 来自正态母体),(2σμN ，∑-=+-=1 1 2 12 )(?n i i i X X C σ 是2σ的一个无偏估计量，则_______=C 。 ) 1(21 -n 15、假设子样921,,,X X X 来自正态母体)81.0,(μN ，测得子样均值5=x ，则μ的置信度是95.0的置信区间为 。025.03 9 .05u ?± 16、假设子样10021,,,X X X 来自正态母体),(2 σμN ，μ与2 σ未知，测得子样均值 5=x ，子样方差12=s ，则μ的置信度是95.0的置信区间为 。 025.0025.0025.0)99(),99(10 1 5z t t ≈?± 17、假设子样n X X X ,,,21 来自正态母体),(2 σμN ， μ与2σ未知，计算得 习题1 1.1 解：由题意95.01=? ?? ???<--u x p 可得： 95.0=??? ???????????<-σσn n u x p 而 ()1,0~N u x n σ ??? ??-- 这可通过查N(0,1)分布表，975.0)95.01(2195.0=-+=??? ? ??????????<--σσn n u x p 那么 96.1=σ n ∴2296.1σ=n 1.2 解：(1)至800小时，没有一个元件失效，则说明所有元件的寿命>800小时。 {}2.10015.0800 0015.00800 | e 0015.0800--∞ +-=∞ +-==>?e e dx x p x x 那么有6个元件，则所求的概率() 2.76 2 .1--==e e p (2)至300小时，所有元件失效，则说明所有元件的寿命<3000小时 {}5.430000 0015.03000 0015.001|e 0015.03000----=-== 因为~()i X P λ,所以 112233{,,}P X x X x X x ≤≤≤ 112233{}{}{}P X x P X x P X x =≤≤≤1233123!!! x x x e x x x ++-λ λ= 其中,0,1,2, ,1,2,3k x k == (2) 123{(,,)|0;1,2,3}k x x x x k χ=≥= 因为~()i X Exp λ,其概率密度为,0 ()0,0 x e x f x x -λ?λ≥=? ? 所以,1233 1 (,,)() f x x x b a = -,其中;1,2,3k a x b k ≤≤= (4) 123{(,,)|;1,2,3}k x x x x k χ=-∞<<+∞= 因为~(,1)i X N μ, 其概率密度为(2(),()x f x x 2 -μ) -=-∞<<+∞ 所以,3 1 1 (212332 1 (,,)(2)k k x f x x x e π2=- -μ)∑=,其中;1,2,3k x k -∞<<+∞= 解：由题意可得：()?? ???∞ <<=--，其它00,21)(i 2ln i i 2 2 i x e x x f u x σσπ 则∏ == n i x f x x f 1 i n i )(),...(＝??? ????=∞<<∏=∑--=，其它0,...1,0,1 n )2()(ln 212n 1 2 i 2 i x x e i n i i u x n i σπσ 一、填空题（本大题共有10个小题，每小题3分,共30分） 1．设C B A 、、是3个随机事件，则“三个事件中至少有两个事件发生” 用C B A 、、 表示为 BC AC AB ； 2．设P (A )=0.3，P (B )=0.6，若A 与B 独立，则)(B A P = 0.82 ； 3．设X 的概率分布为C k k X P k 212)(，4,3,2,1 k ，则 C 1637 ； 4 567 89 10二、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分） 1.若A 与B 互为对立事件，则下式成立的是 （ D ） A.P （A B ）= B.P （AB ）=P （A ）P （B ） C. P （AB ）= D. P （A ）=1-P （B ） 2.已知一射手在两次独立射击中至少命中目标一次的概率为0.96，则该射手每次射击的命中率为 ( C ) B.0.2 C.0.8 3.设A ，B 为两事件，已知P （A ）=31，P （A|B ）=32，5 3)A |B (P ，则P （B ）=（ A ） A. 5 1 B. 5 2 C. 5 3 D. 5 4 4. 随机变量X )3(~E ,则 )(X D ( B ) A. 31 B. 91 C. 271 D. 81 1 5. 设随机变量X ～N (2,32)， (x )为标准正态分布函数，则P { 2 习题三 1 正常情况下，某炼铁炉的铁水含碳量2 (4.55,0.108)X N :.现在测试了5炉铁水，其含碳量分别为4.28，4.40，4.42，4.35，4.37. 如果方差没有改变，问总体的均值有无显著变化？如果总体均值没有改变，问总体方差是否有显著变化（0.05α=）？ 解 由题意知 2~(4.55,0.108),5,0.05X N n α==，1/20.975 1.96u u α-==，设立统计原假设 0010:,:H H μμμμ=≠ 拒绝域为 {}00K x c μ=->，临界值 1/2 1.960.108/0.0947c u α-==?=， 由于 0 4.364 4.550.186x c μ-=-=>，所以拒绝0H ，总体的均值有显著性变化. 设立统计原假设 2222 0010:,:H H σσσσ=≠ 由于0μμ=，所以当0.05α=时 22220.0250.9751 1()0.03694,(5)0.83,(5)12.83,n i i S X n μχχ==-===∑% 2210.02520.975(5)/50.166,(5)/5 2.567c c χχ==== 拒绝域为 {} 222200201//K s c s c σσ=><%%或 由于22 0/ 3.167 2.567S σ=>%，所以拒绝0H ，总体的方差有显著性变化. 2 一种电子元件，要求其寿命不得低于1000h .现抽测25件，得其均值为x =950h .已知该种元件寿命2(100,)X N σ:，问这批元件是否合格（0.05α=）？ 解 由题意知 2(100,)X N σ:，设立统计原假设 0010:,:,100.0.05.H H μμμμσα≥<== 拒绝域为 {}00K x c μ=-> 临界值为 0.050.0532.9c u u =?=?=- 由于 050x c μ-=-<，所以拒绝0H ，元件不合格. 3 某食品厂用自动装罐机装罐头食品，每罐标准重量为500g ，现从某天生产的罐头中随机抽测9罐，其重量分别为510，505，498，503，492，502，497，506，495（g ），假定罐头重量服从正态分布. 问 (1)机器工作是否正常（0.05α=）？ 2）能 第一章:统计量及其分布 19.设母体ξ服从正态分布N (),,2 σμξ 和2 n S 分别为子样均值和子样方差,又设 ()21,~σμξN n +且与n ξξξ,,,21 独立, 试求统计量 1 1 1+--+n n S n n ξ ξ的抽样分布. 解: 因为ξξ-+1n 服从??? ??+21, 0σn n N 分布. 所以 ()1,0~12 1N n n n σξ ξ+-+ 而 ()1~22 2 -n nS n χσ 且2 n S 与ξξ-+1n 独立,, 所以 ()1~1111--÷+--+n t S n n n n S n n n σ ξ ξ分布. 即 1 1 1+--+n n S n n ε ε服从()1-n t 分布. 20. (),,,1,,n i i i =ηξ是取自二元正态分布 N () ρσσ μμ2 2212 1 ,,,的子样,设 ()∑∑∑===-===n i i i n i n i i n S n n 12 111, 1,1ξξηηξξξ 2 ,()2 1 21∑=-=n i i n S ηηη和 ()() () ()∑∑∑===----= n i i n i i i n i i r 1 2 21 1 ηηξξ ηηξξ 试求统计量 () 122 2 21--+---n S rS S S η ξηξμμηξ的分布. 解: 由于() .21μμηξ-=-E ()() = -+=-ηξηξηξ,c o v 2D D D n n n n 2 12 22 12σσρ σσ-+ . 所以 ()() n 2 12 22 121 2σρσσσμμ ηξ-+---服从()1,0N 分布 . () ()()()() ()()[] 2 1 1 2 1 2 1 212 22 122ηξηξ ηηξξηηξξ---=----+-=-+∑ ∑∑∑====i i n i i i n i i n i i n i S rS S S n 习题五 1 某钢厂检查一月上旬内的五天中生产的钢锭重量，结果如下：(单位：k g) 日期重旦量 1 5500 5800 5740 5710 2 5440 5680 5240 5600 4 5400 5410 5430 5400 9 5640 5700 5660 5700 10 5610 5700 5610 5400 试检验不同日期生产的钢锭的平均重量有无显著差异？ ( =0.05) 解根据问题，因素A表示日期，试验指标为钢锭重量，水平为 5. 2 假设样本观测值y j(j 123,4)来源于正态总体Y~N(i, ),i 1,2,...,5 检验的问题：H。：i 2 L 5, H i : i不全相等. 计算结果： 注释当=0.001表示非常显著，标记为*** '类似地，=0.01，0.05，分别标记为 查表F0.95(4,15) 3.06，因为F 3.9496 F0.95(4,15)，或p = 0.02199<0.05 ，所 以拒绝H。，认为不同日期生产的钢锭的平均重量有显著差异 2 考察四种不同催化剂对某一化工产品的得率的影响，在四种不同催化剂下分别做试验 解 根据问题，设因素A表示催化剂，试验指标为化工产品的得率，水平为 4 . 2 假设样本观测值y j(j 1,2,..., nJ来源于正态总体Y~N(i, ), i 1,2,...,5 .其中样本容量不等，n分别取值为6，5，3，4 . 日产量 操作工 查表 F O .95（3,14） 3.34，因为 F 2.4264 F °.95（3,14），或 p = 0.1089 > 0.05， 所以接受H 。，认为在四种不同催化剂下平均得率无显著差异 3 试验某种钢的冲击值（kg Xm/cm2 ）,影响该指标的因素有两个，一是含铜量 A ,另 一个是温度 试检验含铜量和试验温度是否会对钢的冲击值产生显著差异？ （ =0.05 ） 解 根据问题，这是一个双因素无重复试验的问题，不考虑交互作用 设因素A,B 分别表示为含铜量和温度，试验指标为钢的冲击力，水平为 12. 2 假设样本观测值y j （i 1,2,3, j 1,2,3,4）来源于正态总体 Y j ~N （j , ）,i 1,2,3, j 1,2,3,4 .记i 为对应于A 的主效应；记 j 为对应于B j 的主效应； 检验的问题：（1） H i 。： i 全部等于零，H i — i 不全等于零； （2） H 20 : j 全部等于零，H 21： j 不全等于零； 计算结果： 查表F 0.95（2,6） 5.143 ,局.95（3,6） 4.757 ,显然计算值F A , F B 分别大于查表值, 或p = 0.0005 , 0.0009均显著小于0.05，所以拒绝H i°,H 20，认为含铜量和试验温度 都会对钢的冲击值产生显著影响作用 . 4 下面记录了三位操作工分别在四台不同的机器上操作三天的日产量: 检验的问题：H 0： 1 计算结果： H i : i 不全相等 习题解答 1. 将一枚均匀的硬币抛两次，事件C B A ,,分别表示“第一次出现正面”，“两次出现同一面”，“至少有一次出现正面”。试写出样本空间及事件C B A ,,中的样本点。 解：{=Ω(正，正)，（正，反），（反，正），（反，反）} {=A (正，正)，（正，反）}；{=B （正，正），（反，反）} {=C (正，正)，（正，反），（反，正）} 2. 在掷两颗骰子的试验中，事件D C B A ,,,分别表示“点数之和为偶数”，“点 数之和小于5”，“点数相等”，“至少有一颗骰子的点数为3”。试写出样本空间及事件D C B A BC C A B A AB ---+,,,,中的样本点。 解：{})6,6(,),2,6(),1,6(,),6,2(,),2,2(),1,2(),6,1(,),2,1(),1,1(ΛΛΛΛ=Ω； {})1,3(),2,2(),3,1(),1,1(=AB ； {})1,2(),2,1(),6,6(),4,6(),2,6(,),5,1(),3,1(),1,1(Λ=+B A ； Φ=C A ；{})2,2(),1,1(=BC ； {})4,6(),2,6(),1,5(),6,4(),2,4(),6,2(),4,2(),5,1(=---D C B A 3. 以C B A ,,分别表示某城市居民订阅日报、晚报和体育报。试用C B A ,,表示以下 事件： （1）只订阅日报； （2）只订日报和晚报； （3）只订一种报； （4）正好订两种报； （5）至少订阅一种报； （6）不订阅任何报； （7）至多订阅一种报； （8）三种报纸都订阅； （9）三种报纸不全订阅。 解：（1）C B A ； （2）C AB ； （3）C B A C B A C B A ++； （4）BC A C B A C AB ++; （5）C B A ++； （6）C B A ； （7）C B A C B A C B A C B A +++或C B C A B A ++ （8）ABC ； （9）C B A ++ 4. 甲、乙、丙三人各射击一次，事件321,,A A A 分别表示甲、乙、丙射中。试说明下列事件所表示的结果：2A , 32A A +, 21A A , 21A A +, 321A A A , 313221A A A A A A ++. 解：甲未击中；乙和丙至少一人击中；甲和乙至多有一人击中或甲和乙至少有一人未击中；甲和乙都未击中；甲和乙击中而丙未击中；甲、乙、丙三人至少有两人击中。 5. 设事件C B A ,,满足Φ≠ABC ，试把下列事件表示为一些互不相容的事件的和：C B A ++，C AB +，AC B -. 解：如图： 应用数理统计答案 学号： 姓名： 班级： 目录 第一章数理统计的基本概念 (2) 第二章参数估计 (14) 第三章假设检验 (24) 第四章方差分析与正交试验设计 (29) 第五章回归分析 (32) 第六章统计决策与贝叶斯推断 (35) 对应书目：《应用数理统计》施雨著西安交通大学出版社 第一章 数理统计的基本概念 1.1 解：∵ 2 (,)X N μσ ∴ 2 (,)n X N σμ ∴ (0,1)N 分布 ∴(1)0.95P X P μ-<=<= 又∵ 查表可得0.025 1.96u = ∴ 2 2 1.96n σ= 1.2 解：(1) ∵ (0.0015)X Exp ∴ 每个元件至800个小时没有失效的概率为： 800 0.00150 1.2 (800)1(800) 10.0015x P X P X e dx e -->==-<=-=? ∴ 6个元件都没失效的概率为： 1.267.2 ()P e e --== (2) ∵ (0.0015)X Exp ∴ 每个元件至3000个小时失效的概率为： 3000 0.00150 4.5 (3000)0.00151x P X e dx e --<===-? ∴ 6个元件没失效的概率为： 4.56 (1)P e -=- 1.4 解： i n i n x n x e x x x P n i i 1 2 2 )(ln 2121)2(),.....,(1 22 =-- ∏∑ = =πσμσ 1.5证： 2 1 1 2 2)(na a x n x a x n i n i i i +-=-∑∑== ∑∑∑===-+-=+-+-=n i i n i i n i i a x n x x na a x n x x x x 1 2 2 2 2 11) ()(222 a) 证： ) (1111 1+=+++=∑n n i i n x x n x ) (1 1 )(1 1 11n n n n n x x n x x x n n -++=++=++ 习题一 1 设总体X 的样本容量5=n ，写出在下列４种情况下样本的联合概率分布。 1）),1(~p B X ; 2）)(~λP X ； ３）],[~b a U X ； 4）)1,(~μN X 。 解 设总体的样本为12345,,,,X X X X X ， 1）对总体~(1,)X B p , 11223344555 11 1 55(1) (,,,,)()(1)(1)i i n x x i i i i x x P X x X x X x X x X x P X x p p p p -==-========-=-∏∏ 其中：5 1 15i i x x ==∑ 2）对总体~()X P λ 11223344555 1 1 555 1 (,,,,)()! ! i x n i i i i i x i i P X x X x X x X x X x P X x e x e x λ λ λλ-==-========== ∏∏ ∏ 其中：5 1 15i i x x ==∑ 3）对总体~(,)X U a b 55 1151 1 ,,1,...,5 (, ,)()0i i i i a x b i f x x f x b a ==?≤≤=?==-??? ∏∏ ，其他 ４）对总体~(,1) X N μ ()() ()2 55 55/2 22 1511 1 1 (, ,)()=2exp 2i x i i i i i f x x f x x μπμ-- -===??==-- ??? ∑∏ 2 为了研究玻璃产品在集装箱托运过程中的损坏情况,现随机抽取20个集装箱检查其产品损坏的件数，记录结果为:1,1,1,1，２，0，0，1,3，1，0，0,2,4,0,3,1,4，0,２,写出样本频率分布、经验分布函数并画出图形. 解 设(=0,1,2,3,4)i i 代表各箱检查中抽到的产品损坏件数，由题意可统计出如下的样本频率分布表１。１： 经验分布函数的定义式为： ()()() (1)10,(),,=1,2, ,1,1,n k k k x x k F x x x x k n n x x + ·1· 习 题 一 1．写出下列随机试验的样本空间及下列事件中的样本点： （1）掷一颗骰子，记录出现的点数. A =‘出现奇数点’； （2）将一颗骰子掷两次，记录出现点数. A =‘两次点数之和为10’，B =‘第一次的点数，比第二次的点数大2’； （3）一个口袋中有5只外形完全相同的球，编号分别为1,2,3,4,5；从中同时取出3只球，观察其结果，A =‘球的最小号码为1’； （4）将,a b 两个球，随机地放入到甲、乙、丙三个盒子中去，观察放球情况，A =‘甲盒中至少有一球’； （5）记录在一段时间内，通过某桥的汽车流量，A =‘通过汽车不足5台’，B =‘通过的汽车不少于3台’。 解 （1）123456{,,,,,}S e e e e e e =其中i e =‘出现i 点’ 1,2,,6i = ， 135{,,}A e e e =。 （2）{(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6)S = (2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6) (3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6) (4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6) (5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6) (6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)}； {(4,6),(5,5),(6,4)}A =； {(3,1),(4,2),(5,3),(6,4)}B =。 （ 3 ） {(1,2,3),(2,3,4),(3,4,5),(1,3,4),(1,4,5),(1,2,4),(1,2,5) S = (2,3,5),(2,4,5),(1,3,5)} {(1,2,3),(1,2,4),(1,2,5),(1,3,4),(1,3,5),(1,4,5)}A = （ 4 ） {(,,),(,,),(,,),(,,),(,,),(,,), S ab ab ab a b a b b a =--------- (,,),(,,,),(,,)}b a a b b a ---，其中‘-’表示空盒； {(,,),(,,),(,,),(,,),(,,)}A ab a b a b b a b a =------。 （5）{0,1,2,},{0,1,2,3,4},{3,4,}S A B === 。 2．设,,A B C 是随机试验E 的三个事件，试用,,A B C 表示 下列事件： 概率论与数理统计习题7参考答案 习题7参考答案 7.1解：因为: 是抽自二项分布B （m ，p ）的样本，所以总体的期望为 mp X E =)(，用样本均值X 代替总体均值()E X ，得p 的矩估计为m X p =?。 似然函数为 1 1 11 () ()(1) (1) ()(1)m m i i m m i i x m x x m x x m x p p p m m m m L p C p p C p p C p p ==---∑ ∑=--=-L ， 对它们两边求对数可得1 1 ln(())ln()ln ()ln(1),m m p m i i i i L p m C x p m x p ===+ +--∑∑对p 求导 并令其为0得 11 ln(())/()/(1)0m m i i i i L p x p m x p p ==?=---=?∑∑，得p 的极大似然估计为1 ?n i i x X m p m m ===∑ 7.2解：0 1 ()x E X xdx e λλλ +∞ -= ?= ? ，令()X E X =，则λ的矩估计为 λ ?11 ()E x X == 由概率密度函数可知似然函数为： e e e x x x L n λ λ λ λλλλ---????=21)(e n i i x n ∑==-1 λ λ 对它们两边求对数可得 ∑ -=∑==-=n i i n x e n x L n i i 1 ln )ln())(ln(1 λλλλ λ 对λ求导并令其为0得 0))(ln(1=∑-=??=n i i x n L λλλ 即可得λ的似然估计值为x n n i i x 111?1 =∑==λ 第 三 章 作 业 参 考 答 案 2、解：计算矩估计：2 1)1(1 ++= +?= ? αααα dx x x EX ， 令 X EX =++= 2 1αα ，解得 1 2-1?1-=X X α ； 计算极大似然估计：α α αα α)()1()1()()(1 1 1 ∏∏∏ ===+=+= = n i i n n i i n i i x x x f L )ln()1ln()(ln 1 ∏=++=?n i i x n L ααα0 )ln(1 )(ln 1 =++= ??? ∏=n i i x n L αα α 解得 ) ) ln(1(?1 2∏=+-=n i i x n α ； 将样本观测值代入，得到估计值分别为0.3077?1=α ，0.2112?2=α。 6、 解：（1）由例3.2.3可知，μ的极大似然估计分别为 X =μ ?， 05.0)(1)(=-Φ-=>μA A X P )645.1(95.0)(Φ==-Φ?μA 645 .1+=?μA ，由46页上极大似然估计的不变性可知645.1??+=μA ； （2）由例3.2.3可知，2 σμ，的极大似然估计分别为 ∑=-= =n i i X X n X 1 2 2 ) (1 ??σ μ，， 05.0)( 1)(=-Φ-=>σ μ A A X P )645.1(95.0)( Φ==-Φ?σ μ A σ μ645.1+=?A ，由46页上极大似然估计的不变性可知σμ?645.1??+=A 。 8、解：计算2 2 2 2222)()()(σσ μC n S CE X E CS X E -+ =-=-，由题意则有 2 2 2 2 μσ σ μ=-+ C n ，解得n C 1= 。 4-45. 自动车床加工中轴，从成品中抽取11根，并测得它们的直径（mm ）如下： 10.52，10.41，10.32，10.18，10.64，10.77，10.82，10.67，10.59，10.38，10.49 试用W 检验法检验这批零件的直径是否服从正态分布？（显著性水平05.0=α） （参考数据：） 4-45. 解：数据的顺序统计量为： 10.18，10.32，10.38，10.41，10.49，10.52，10.59，10.64，10.67，10.77，10.82 所以 6131 .0][)()1(5 1 ) (=-= -+=∑k k n k k x x a L ， 又 5264.10=x ， 得 38197 .0)(11 1 2 =-∑=i i x x 故 984.0) (11 1 2 2 =-= ∑=i i x x L W ， 又 当n = 11 时，85.005.0=W 即有 105.0< 第一章3. 解：因为 i i x a y c -= 所以 i i x a cy =+ 1 1n i i x x n ==∑ ()1 111n i i n i i a cy n na cy n ===+??=+ ??? ∑∑ 1n i i c a y n a c y ==+=+∑ 所以 x a c y =+ 成立 因为 ()2 2 1 1n x i i s x x n ==-∑ () ( ) () 2 2 12 21 11n i i i n i i n i i a cy a c y n cy c y n c y y n ====+--=-=-∑∑∑ 又因为 ()2 2 1 1n y i i s y y n ==-∑ 所以 2 22 x y s c s = 成立 6. 解：变换 ()1027i i y x =- 1 1l i i i y m y n ==∑ ()1 3529312434101.5 =-?-?+?+=- 2710 y x = += () 2 21 1l y i i i s m y y n ==-∑ ()()()()2222 1235 1.539 1.5412 1.534 1.510440.25 ?= ?-++?-++?+++???= 22 1 4.4025100 x y s s = = 7解： *1 1l i i i x m x n ==∑ ()1 156101601416426172121682817681802100166= ?+?+?+?+?+?+?= ()2 2 *1 1l i i i s m x x n ==-∑ ()()()()()()()2222 222 110156166141601662616416628168166100 121721668176166218016633.44 = ?-+?-+?-+?-??? +?-+?-+?-? = 8解：将子样值重新排列（由小到大） -4，，，，，0，0，，，，，， ()()()()()17218120 3.2147.211.2 e n n e n M X X R X X M X X +?? ??? ??+ ??? ====-=--==== 9解：数理统计课后答案
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