圆压轴题八大模型题（一）
引言：与圆有关的证明与计算的综合解答题，往往位于许多省市中考题中的倒数第二题
的位置上，是试卷中综合性与难度都比较大的习题。一般都会在固定习题模型的基础上变化
与括展，本文结合近年来各省市中考题，整理了这些习题的常见的结论，破题的要点，常用技巧。把握了这些方法与技巧，就能台阶性地帮助考生解决问题。
类型 1弧中点的运用
⌒
在⊙ O 中，点 C 是 AD的中点， CE⊥ AB 于点 E.
C
D
P
F
A B
（1）在图 1 中，你会发现这些结论吗？ E O
①AP＝CP＝ FP；
②CH＝ AD；H
②AC2＝AP· AD＝ CF· CB＝ AE·AB.
（2）在图 2 中，你能找出所有与△ABC相似的三角形吗？
（图 1）
【典例】
（2018 ·湖南永州）如图，线段AB 为⊙ O 的直径，点C，E 在⊙ O 上，＝，CD⊥AB，垂足为点D，连接 BE，弦 BE 与线段 CD相交于点F．
（1）求证： CF＝BF；
（2）若 cos∠ABE＝，在AB的延长线上取一点M ，使 BM＝ 4，⊙ O 的半径为 6．求证：
直线 CM 是⊙ O 的切线．
【变式运用】
1.（2018 ·四川宜宾）如图，AB是半圆的直径，
AC是一条弦， D 是 AC的中点， DE⊥AB 于点 E
且 DE交 AC于点 F，DB交 AC于点 G，若＝，
（图 1-2）
则 ＝．
2.（ 2018 ·泸州） 如图，在平行四边形 ABCD 中， E 为 BC 边上的一点，且 AE 与 DE 分别
平分∠ BAD 和∠ ADC 。( 1) 求证： AE ⊥DE ； ( 2) 设以 AD 为直径的半圆交 AB 于 F ，连接 DF 交 AE 于 G ，已知 CD ＝ 5， AE ＝ 8，求
FG
值。
AF
A
D
G
F
B
E
C
图9
（图 1-3）
?
3. （ 2017·泸州）如图，△ ABC 内接于⊙ O ， AB 是⊙ O 的直径， C 是
AD 的中点，弦 CE ⊥ AB
于点 H ，连结 AD ，分别交 CE 、 BC 于点 P 、 Q ，连结 BD 。
(1)求证： P 是线段 AQ 的中点；
(2)若⊙ O 的半径为 5， AQ ＝
，求弦 CE 的长。
4．（ 2016?泸州）如图，四边形 ABCD 内接于⊙ O ， AB 是⊙ O 的直径， AC 和 BD 相交于点 E ，
且 DC 2
＝ CE?CA ．
（ 1）求证： BC ＝ CD ；
（ 2）分别延长 AB ， DC 交于点 P ，过点 A 作 AF ⊥ CD 交 CD 的延长线于点 F ，若 PB ＝ OB ，
CD ＝
，求 DF 的长．
5．（ 2015?泸州）如图，△ ABC 内接于⊙ O，AB＝ AC ，BD 为⊙ O 的弦，且 AB ∥ CD ，过点 A 作
⊙O 的切线 AE 与 DC 的延长线交于点 E， AD 与 BC 交于点 F ．
（1）求证：四边形 ABCE 是平行四边形；
（2）若 AE＝ 6，CD ＝ 5，求 OF 的长．
6.如图， AB是⊙ O的直径， C、P 是弧 AB上的两点， AB＝13，AC＝5.
(1)如图①，若 P 是弧 AB的中点，求 PA的长；
(2)如图②，若 P 是弧 BC的中点，求 PA的长.
7.如图，△ ABC内接于⊙ O，且 AB为⊙ O的直径．∠ ACB的平分线交⊙ O于点 D，过点 D作⊙ O 的切线 PD交 CA的延长线于点P，过点 A 作 AE⊥ CD于点 E，过点 B 作 BF⊥CD于点 F．
（1）求证：DP∥AB；
（2）若AC＝ 6，BC＝ 8，求线段PD的长．
圆压轴题八大模型题（二）
引言：与圆有关的证明与计算的综合解答题，往往位于许多省市中考题中的倒数第二题
的位置上，是试卷中综合性与难度都比较大的习题。一般都会在固定习题模型的基础上变化
与括展，本文结合近年来各省市中考题， 整理了这些习题的常见的结论，破题的要点， 常用
技巧。把握了这些方法与技巧，就能台阶性地帮助考生解决问题。 类型 2 切割线互垂
在 Rt △ABC 中，点 E 是斜边 AB 上一点，以 EB 为直径的⊙ O 与 AC 相切于点 D ，与 BC 相交于点
F.
C
C
C
D
F
D
F
D
F
A
E
O
B
A
E
O
B
A
E O
B
图(1)
图(2)
图(3)
2
(1)AD=20,AE=10, 求 r;
(3)AC=32 ， AE=10，求 r. (5)DB =BCBE;
2
(2)AB=40,BC=24, 求 r.
(4) ∠ ABD=∠ CBD.
(6)AD =AEAB.
【典例】
（2018 ·四川成都）如图，在 Rt △ABC 中，∠ C ＝90°，AD 平分∠ BAC 交 BC 于点 D ，O 为 AB 上一点，经过点 A ， D 的⊙ O 分别交 AB ， AC 于点 E ，F ，连接 OF 交 AD 于点 G.
（1）求证： BC 是⊙ O 的切线；
A
（2）设 AB ＝ x ， AF ＝ y ，试用含 x, y 的代数式表示线段
AD 的长；
O
（ 3）若 BE ＝ 8，sinB ＝ 5
13
，求 DG 的长 .
G
E
F
B
C
D
【变式运用】
1.（2018 泸州）如图，已知 AB ，CD 是⊙ O 的直径，过点
C 作⊙ O 的切线交AB 的延长线于点P，⊙O 的弦 DE 交 AB 于点 F ，且 DF ＝ EF．
（1）求证： CO2＝ OF?OP；
（2）连接 EB 交 CD于点 G，过点 G 作 GH⊥ AB 于点 H，若 PC＝4，PB＝4，求GH的长．
2.（ 2018·云南昆明）如图， AB 是⊙ O 的直径， ED 切⊙ O 于点 C，AD 交⊙ O 于点 F，∠ AC 平分∠ BAD，连接 BF．
（1）求证： AD⊥ ED；
（2）若 CD＝4， AF＝ 2，求⊙ O 的半径．
3.（ 2018·江苏苏州）如图， AB 是⊙ O 的直径，点 C 在⊙ O 上， AD 垂直于过点 C 的切线，
垂足为 D，CE垂直 AB，垂足为 E．延长 DA 交⊙ O 于点 F，连接 FC，FC 与 AB 相交于点 G，连
接 OC．
（1）求证： CD＝ CE；
（2）若 AE＝ GE，求证：△ CEO是等腰直角三角形．
圆压轴题八大模型题（三）
引言：与圆有关的证明与计算的综合解答题，往往位于许多省市中考题中的倒数第二题
的位置上，是试卷中综合性与难度都比较大的习题。一般都会在固定习题模型的基础上变化
与括展，本文结合近年来各省市中考题，整理了这些习题的常见的结论，破题的要点，常用技巧。把握了这些方法与技巧，就能台阶性地帮助考生解决问题。
类型 3双切线组合
径在直角边——直径在直角三角形的直角边上.
Rt△PBC中，∠ ABC＝90°， Rt△PBC的直角边 PB 上有一点 A，以线段 AB 为直径的⊙ O 与斜边相切于点 D.
C C C
D D D
α
E P
A O
B P A O B P A O B
图 (1)
( 1) PB＝ 8, BC＝6, 求⊙ O 的半径( 2) PD ＝4, PB＝ 8, 求 BC 的长 . ( 3) PD ＝4, PA＝ 2, 求⊙ O 的半径
图 (2) 图 (3)
( 4) PD 2＝PA PB;
( 6) 求证 : OC∥AD（变式） . r.
＝
1
( 5) PB＝ 8， tan ，
( 7) 若 AB＝ 2, BC＝ ,
2
r.
求 PA 和 AD.
求 AD、 PD 、PA 的长 .
【典例】
（2018 ·四川乐山）如图， P 是⊙ O 外的一点， PA、 PB 是⊙ O 的两条切线， A、 B 是切点，PO 交 AB 于点 F，延长 BO 交⊙ O 于点 C，交 PA的延长交于点 Q，连结 AC．
（1）求证： AC∥ PO；
（2）设 D 为 PB 的中点， QD 交 AB 于点 E ，若⊙ O 的半径为 3，CQ ＝ 2，求
的值．
B
D
F
O
P
E
C
A
Q
【变式运用】
1.（ 2016 青海西宁）如图， D 为⊙ O 上一点，点 C 在直径 BA 的延长线上，且∠ CDA= ∠ CBD ．
（1 ）求证： CD 是⊙ O 的切线；
（2 ）过点 B 作⊙ O 的切线交 CD 的延长线于点
E ， BC=6 ， ．求 BE 的长．（ 12 分）
2.（2018 ·湖北武汉）如图， PA 是⊙ O 的切线， A 是切点， AC 是直径， AB 是弦，连接
PB 、
PC ， PC 交 AB 于点 E ，且 PA ＝ PB.
A
(1) 求证： PB 是⊙ O 的切线 .
(2) 若∠ APC ＝ 3∠ BPC ，求
PE
的值 .
O
E
P
CE
C
B
3.（ 2017 泸州）如图，⊙ O 与 Rt△ABC的直角边 AC和斜边 AB 分别相切于点 C、 D，与边BC相交于点F，OA 与 CD 相交于点E，连接 FE 并延长交AC边于点 G．
（1）求证： DF∥ AO；
（2）若 AC＝ 6，AB＝ 10，求 CG的长．
圆压轴题八大模型题（二） 引言：与圆有关的证明与计算的综合解答题，往往位于许多省市中考题中的倒数第二题的位置上，是试卷中综合性与难度都比较大的习题。一般都会在固定习题模型的基础上变化与括展，本文结合近年来各省市中考题，整理了这些习题的常见的结论，破题的要点，常用技巧。把握了这些方法与技巧，就能台阶性地帮助考生解决问题。 类型2 切割线互垂 在Rt △ABC 中，点E 是斜边AB 上一点，以EB 为直径的⊙O 与AC 相切于点D ，与BC 相交于点F . 【分析】(1)在Rt △ADO 中，(10+r)2=r 2+202 ,得r=15. (2)由DO ∥BC,得 DO AO BC AB =,∴402440 r r -= 得：r=15. (3)在Rt △ADO 中， DO=r ，AO=10+r ， 由DO ∥BC ， AD AO AC AB = 得，r=15. (4)连结DO,DO=BO,∠ODB=∠OBD;由DO ∥BC 得∠CBD=∠ODB,∴∠ABD=∠CBD. (5)由Rt △BCD ∽Rt △BDE 得BD 2 =BC ?BE. (6)由△ADE ∽△ABD 得AD 2 =AE ?AB. 【分析】 (7)由∠EBD=∠FBD 得DE=DF,∴DE=DF,又∠DFC=∠DEG,∠C=∠DGE=90°得△DCF ≌△DGE. (1)AD=20,AE=10,求r; (2)AB=40,BC=24,求r. O F E D C B A (3)AC=32，AE=10，求r. (4)∠ABD=∠CBD. (5)DB 2=BC ?BE; (6)AD 2=AE ?AB. (7)△DCF ≌△DGE; (8)DF 2 =CF ?BE; (9)AG:AC=1:2,BD=10.求r. (10)DC=12,CF=6, 求r 和BF. O F E D C B A (11)DC=12,CF=6,求CO 上任意线段的长. 图(1) 图(2) 图(3) 图(4) 图(5) 图(6) A B C G E O F D
圆压轴题八大模型题（二） 引言：与圆有关的证明与计算的综合解答题， 往往位于许多省市中考题中的倒数第二题 的位置上， 是试卷中综合性与难度都比较大的习题。 一般都会在固定习题模型的基础上变化 与括展，本文结合近年来各省市中考题， 整理了这些习题的常见的结论，破题的要点， 常用 技巧。把握了这些方法与技巧，就能台阶性地帮助考生解决问题。 类型 2 切割线互垂 在 Rt △ABC 中，点 E 是斜边 AB 上一点，以 EB 为直径的⊙ O 与 AC 相切于点 D ，与 BC 相交于点 F. C C C D F D F D F A E O B A E O B A E O B 图(1) 图(2) 图(3) (1)AD=20,AE=10, 求 r; (3)AC=32 ， AE=10，求 r. (5)DB 2=BCBE; (2)AB=40,BC=24, 求 r. (4) ∠ ABD=∠ CBD. (6)AD 2=AEAB. 【分析】 (1) 在 Rt △ADO 中， (10+r) 2=r 2+202, 得 r=15. (2) 由 DO ∥BC,得 DO AO ,∴ r 40 r 得： r=15. BC AB 24 40 (3)在 Rt △ADO 中， AD= (10 r )2 r 2 ， DO=r ， AO=10+r ， 由 DO ∥ BC ， AD AO 得， r=15. AC AB (4)连结 DO,DO=BO,∠ ODB=∠ OBD;由 DO ∥ BC 得∠ CBD=∠ ODB,∴∠ ABD=∠ CBD. (5) 由 Rt △BCD ∽ Rt △ BDE 得 BD 2=BCBE. 2 (6) 由△ ADE ∽△ ABD 得 AD=AEAB. C C C D F D F D F G A E G O B A E O B A E O B 图 (4) 图(5) 图 (6) (7) △ DCF ≌△ DGE; (10)DC=12,CF=6, (11)DC=12,CF=6, 求 (8)DF 2=CFBE; 求 r 和 BF. CO 上任意线段的长 . (9)AG:AC=1:2,BD=10. 求 r. 【分析】 (7)由∠ EBD=∠ FBD 得 DE=DF,∴ DE=DF,又∠ DFC=∠ DEG,∠C=∠ DGE=90°得△ DCF ≌△ DGE.
圆压轴题八大模型题（一） 引言：与圆有关的证明与计算的综合解答题，往往位于许多省市中考题中的倒数第二题 的位置上，是试卷中综合性与难度都比较大的习题。一般都会在固定习题模型的基础上变化 与括展，本文结合近年来各省市中考题，整理了这些习题的常见的结论，破题的要点，常用技巧。把握了这些方法与技巧，就能台阶性地帮助考生解决问题。 类型 1弧中点的运用 ⌒ 在⊙ O 中，点 C 是 AD的中点， CE⊥ AB 于点 E. C D P F A B （1）在图 1 中，你会发现这些结论吗？ E O ①AP＝CP＝ FP； ②CH＝ AD；H ②AC2＝AP· AD＝ CF· CB＝ AE·AB. （2）在图 2 中，你能找出所有与△ABC相似的三角形吗？ （图 1） 【典例】 （2018 ·湖南永州）如图，线段AB 为⊙ O 的直径，点C，E 在⊙ O 上，＝，CD⊥AB，垂足为点D，连接 BE，弦 BE 与线段 CD相交于点F． （1）求证： CF＝BF； （2）若 cos∠ABE＝，在AB的延长线上取一点M ，使 BM＝ 4，⊙ O 的半径为 6．求证： 直线 CM 是⊙ O 的切线． 【变式运用】 1.（2018 ·四川宜宾）如图，AB是半圆的直径， AC是一条弦， D 是 AC的中点， DE⊥AB 于点 E 且 DE交 AC于点 F，DB交 AC于点 G，若＝， （图 1-2）
则 ＝． 2.（ 2018 ·泸州） 如图，在平行四边形 ABCD 中， E 为 BC 边上的一点，且 AE 与 DE 分别 平分∠ BAD 和∠ ADC 。( 1) 求证： AE ⊥DE ； ( 2) 设以 AD 为直径的半圆交 AB 于 F ，连接 DF 交 AE 于 G ，已知 CD ＝ 5， AE ＝ 8，求 FG 值。 AF A D G F B E C 图9 （图 1-3） ? 3. （ 2017·泸州）如图，△ ABC 内接于⊙ O ， AB 是⊙ O 的直径， C 是 AD 的中点，弦 CE ⊥ AB 于点 H ，连结 AD ，分别交 CE 、 BC 于点 P 、 Q ，连结 BD 。 (1)求证： P 是线段 AQ 的中点； (2)若⊙ O 的半径为 5， AQ ＝ ，求弦 CE 的长。 4．（ 2016?泸州）如图，四边形 ABCD 内接于⊙ O ， AB 是⊙ O 的直径， AC 和 BD 相交于点 E ， 且 DC 2 ＝ CE?CA ． （ 1）求证： BC ＝ CD ； （ 2）分别延长 AB ， DC 交于点 P ，过点 A 作 AF ⊥ CD 交 CD 的延长线于点 F ，若 PB ＝ OB ， CD ＝ ，求 DF 的长．
圆压轴题八大模型题（四） 泸州市七中佳德学校 易建洪 引言：与圆有关的证明与计算的综合解答题，往往位于许多省市中考题中的倒数第二题 的位置上，是试卷中综合性与难度都比较大的习题。一般都是在固定习题模型的基础上变化与括展，本文结合近年来各省市中考题，整理了这些习题的常见的结论，破题的要点，常用技巧。把握了这些方法与技巧，就能台阶性帮助考生解决问题。 类型4 圆内接等边三角形 如图，点P 为等边△ABC 外接圆劣弧BC 上一点. (1) 求证：PA ＝PB ＋PC ； (2) 设PA 、BC 交于点M ， ① 若BP ＝4，PC ＝2，求CM 的长度. ② 若AB ＝4，PC ＝2，求CM 的长度. 【分析】 (1) 证明：连结CD ．在PA 上截取PD=PC ， 证得△ACD ≌△BCP ，∴AD=PB ，又DP=PC ， 因此PA=PB +PC. (2)①⊙O 中△ABM ∽△CPM, 12PC MC AB MA == ∴1 2 PC MC AB MA == 设MC=x ，则AM=2x,MN=2-x ，又 在Rt △AMN 中，由勾股定理得 . (2)②过点C 作CE ⊥AP 于E ，过点A 作AN ⊥BC 于点N.由（1）可得AP=BP+CP=4+2=6,Rt △PCE 中 ，则 因此 由（2）②可得 . 【典例】 （2018·湖南常德）如图，已知⊙O 是等边三角形ABC 的外接圆，点D 在圆上，在CD 的延 图1 图（1） 图（2） 图（3）
长线上有一点F ，使DF ＝DA ，AE ∥BC 交CF 于E ． （1）求证：EA 是⊙O 的切线； （2）求证：BD ＝CF ． 【分析】（1）连结OA 后，由∠OAC ＝30°，BC ∥AE 得∠CAE ＝∠BCA ＝60°，因此∠OAE ＝90°证得AE 是⊙O 的切线.（2）∠ADF ＝∠ABC ＝60°，且DF ＝DA 得等边△ADF ，且△ABC 也是等边三角形，可得△ADB ≌△AFC ，因此BD ＝CF . 【解答】证明：（1）连接OD ， ∵⊙O 是等边三角形ABC 的外接圆， ∴∠OAC ＝30°，∠BCA ＝60°， ∵AE ∥BC ，∴∠EAC ＝∠BCA ＝60°， ∴∠OAE ＝∠OAC ＋∠EAC ＝30°＋60°＝90°， ∴AE 是⊙O 的切线； （2）∵△ABC 是等边三角形，∴AB ＝AC ，∠BAC ＝∠ABC ＝60°， ∵A 、B 、C 、D 四点共圆，∴∠ADF ＝∠ABC ＝60°， ∵AD ＝DF ，∴△ADF 是等边三角形，∴AD ＝AF ，∠DAF ＝60°， ∴∠BAC ＋∠CAD ＝∠DAF ＋∠CAD ，即∠BAF ＝∠CAF ， 在△BAD 和△CAF 中， ∵ ，∴△BAD ≌△CAF ， ∴BD ＝CF ． 【点拨】 等边三角形的边等角等易构造三角形全等和相似，圆上一点与圆内接等边三角形三顶点的连线之间的关系探究，可以运用延长法与截短法；含60°角三角形，知两边求第三边；借相交弦或平行线得三角形相似，作等边三角形的高，借比例线段和勾股定理建方程求线段是关键。 【变式运用】 1.（2011·泸州）如图，点P 为等边△ABC 外接圆劣弧BC 上一点． 图 4-1 图a
圆压轴题八大模型题（三） 泸州市七中佳德学校 易建洪 引言： 与圆有关的证明与计算的综合解答题， 往往位于许多省市中考题中的倒数第二题 的位置上， 是试卷中综合性与难度都比较大的习题。 一般都会在固定习题模型的基础上变化 与括展，本文结合近年来各省市中考题， 整理了这些习题的常见的结论，破题的要点， 常用 技巧。把握了这些方法与技巧，就能台阶性地帮助考生解决问题。 类型 3 双切线组合 径在直角边——直径在直角三角形的直角边上 . Rt △PBC 中，∠ ABC ＝90°，Rt △PBC 的直角边 PB 上有一点 A ，以线段 AB 为直径的⊙ O 与斜 边相切于点 D. 【分析】 (1) 由 PC= 62 82 10 ,△ POD ∽△ PCB 得 DO PO ，∴ r 8 r ，∴ r=3. BC PC 6 10 2 2 2 (2) 设 BC=CD=，x 在 Rt △ PBC 中， 82+x 2=(4+x) 2, 得 BC=x=6. (3) 在 Rt △PDO 中， 42+r 2=(2+r) 2,解得 r=3. 2 (4) 由△ PDA ∽△ PBD 得： PD=PAPB. PD PA AD 1 (5) 由△ PDA ∽△ PBD 得 tan ， PB=8, PB PD DB 2 ∴PD=4,PA=2,AB=6. 设 AD=x,DB=2x, 65 在 Rt △ ADB 中， x 2+(2x) 2=62, ∴AD=x= 6 5 . 5 (6) 由∠ DEC=∠ADB=90°得 OC ∥ AD. (7) 由 AB=2,则 OB=1,又 BC= 2OC= 1 ( 2)2 3, 在 Rt △OBC 中，BE ⊥OC ，得 OE= 33 ,由中 3 PA AD 1 位线定理得： AD=2OE=2 3 .DB=2 6 ,由△ PDA ∽△ PBD 得： ,设PA=x 则, PD= 2x, ( 2) PD ＝4, PB ＝8, 求 BC 的长 . ( 3) PD ＝4, PA ＝2, 求 ⊙O 的半径 r. 1 ( 5) PB ＝8，tan ＝ ， (7)若 AB ＝2, BC ＝ , 求 PA 和 AD. 求 AD 、 PD 、PA 的长 . C C
圆压轴题八大模型题（六） 泸州市七中佳德学校 易建洪 引言：与圆有关的证明与计算的综合解答题，往往位于许多省市中考题中的倒数第二题 的位置上，是试卷中综合性与难度都比较大的习题。一般都会在固定习题模型的基础上变化与括展，本文结合近年来各省市中考题，整理了这些习题的常见的结论，破题的要点，常用技巧。把握了这些方法与技巧，就能台阶性地帮助考生解决问题。 类型5 圆外一点引圆的切线和直径的垂线 如图， 点P 是⊙O 外的一点，过点P 作PA 与⊙O 相切于点A ，PO ⊥BO 于点O ，交AB 于点C. (1)求证：CP ＝AP ； (2)延长BO 交⊙O 于点D ，连结AD ，过点P 作PE ⊥AB 于点E ，找出与△BOC 相似的三角形. (3)若⊙O ，OC ＝1，求PA 的长. 【分析】(1)如图3连接OA 得OA ＝OB ,∴∠OAB ＝∠B ,由等角的余角相等得∠PCA ＝∠PAC ,∴PC ＝P A. (2)由∠APE ＝∠CPE ＝∠B 得：△BOC ∽△BAD ∽△PCE ≌△PAE . (3)在Rt △OPA 中，设PC ＝PA ＝x ，则有（x ＋1）2＝1＋x 2 .解得PA ＝x ＝2. 基本图形及其变式图 1. 如图1~6，PA 与圆O 相切于点A ，PD ⊥BO （或BO 的延长线）于点D ，直线AB 与PD 相交于点C ，求证：PA ＝P C. O P C B A P E P A O C B 图1 图(1) 图3 图(2) 图(3) 图2 E A B C P O
【典例】 （2018 湖北随州）如图，AB 是⊙O 的直径，点C 为⊙O 上一点，CN 为⊙ O 的切线，OM ⊥AB 于点O ，分别交AC 、CN 于D 、M 两点． （1）求证： MD ＝MC ； （2）若⊙O 的半径为5，AC ＝4，求MC 的长． 【分析】（1）连接OC ，利用切线的性质证明即可； （2）根据相似三角形的判定和性质以及勾股定理解答即可． 解：（1）连接OC ，∵CN 为⊙O 的切线， ∴OC ⊥CM ，∠OCA ＋∠ACM ＝90°， ∵OM ⊥AB ，∴∠OAC ＋∠ODA ＝90°， ∵OA ＝OC ，∴∠OAC ＝∠OCA ， ∴∠ACM ＝∠ODA ＝∠CDM ， ∴MD ＝MC ； （2）由题意可知AB ＝5×2＝10，AC ＝4， ∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ACB ＝90°， ∴BC ＝ ， ∵∠AOD ＝∠ACB ，∠A ＝∠A ，∴△AOD ∽△ACB ， ∴ ，即 ，可得：OD ＝2.5， 设MC ＝MD ＝x ，在Rt △OCM 中，由勾股定理得：（x ＋2.5）2 ＝x 2 ＋52 ， 解得：x ＝， 即MC ＝ ． C (D ) 图(4) 图(5) 图(6) 图6-1 图a
圆压轴题八大模型题（一） 引言：与圆有关的证明与计算的综合解答题，往往位于许多省市中考题中的倒数第二题的位置上，是试卷中综合性与难度都比较大的习题。一般都会在固定习题模型的基础上变化与括展，本文结合近年来各省市中考题，整理了这些习题的常见的结论，破题的要点，常用技巧。把握了这些方法与技巧，就能台阶性地帮助考生解决问题。 类型1 弧中点的运用 在⊙O 中，点C 是⌒ AD 的中点，CE ⊥AB 于点E . （1）在图1中，你会发现这些结论吗？ ①AP ＝CP ＝FP ； ②CH ＝AD ； ②AC 2＝AP ·AD ＝CF ·CB ＝AE ·A B . （2）在图2中，你能找出所有与△ABC 相似的三角形吗？ 【分析】 (1)①由等弧所对的圆周角相等及同角或等角的余角相等得：∠CAD ＝∠B ＝∠ACE ;∠PCF ＝∠PFC ,所以AP ＝CP ＝FP . (1)②由垂径定理和弧中点的性质得，⌒ DC ＝⌒ AC ＝⌒ AH ,再由弧叠加得：⌒ CH ＝⌒ AD ,所以CH ＝A D . (1)③由共边角相似易证：△ACE ∽△ABC ,△ACP ∽△ADC ,△ACF ∽△BCA ,进而得AC 2＝AE ?AB ;AC 2＝AP ?AD ;AC 2＝CF ?CB ; (2)垂径定理的推论得：C 0⊥AD ,易证：Rt △ABC ∽Rt △ACE ∽Rt △CBE ∽Rt △ACF ∽Rt △BDF ∽ Rt △ACG ∽Rt △CGF . 此外还有Rt △APE ∽Rt △AOG ∽Rt △ABD ∽Rt △CPG .运用这些相似三角形可以解决相关的计算与证明题. 建议：将下列所有例题与习题转化到图1或图2上观察、比较、思考和总结。 【典例】 （2018·湖南永州）如图，线段AB 为⊙O 的直径，点C ，E 在⊙O 上，＝ ，CD ⊥AB ， 垂足为点D ，连接BE ，弦BE 与线段CD 相交于点F ． （1）求证：CF ＝BF ； （2）若cos ∠ABE ＝，在AB 的延长线上取一点M ，使BM ＝4，⊙O 的半径为6．求证：直线CM 是⊙O 的切线． B B （图1） （图2）
圆压轴题八大模型题（三） 引言：与圆有关的证明与计算的综合解答题，往往位于许多省市中考题中的倒数第二题的位置上，是试卷中综合性与难度都比较大的习题。一般都会在固定习题模型的基础上变化与括展，本文结合近年来各省市中考题，整理了这些习题的常见的结论，破题的要点，常用技巧。把握了这些方法与技巧，就能台阶性地帮助考生解决问题。 类型3双切线组合 径在直角边——直径在直角三角形的直角边上. Rt△PBC中，∠ABC＝90°，Rt△PBC的直角边PB上有一点A，以线段AB为直径的⊙O与斜边相切于点D. 【分析】(1)由PC=22 6810 +=,△POD∽△PCB得DO PO BC PC =，∴ 8 610 r r - =，∴r=3. (2)设BC=CD=x，在Rt△PBC中，82+x2=(4+x)2,得BC=x=6. (3)在Rt△PDO中，42+r2=(2+r)2,解得r=3. (4)由△PDA∽△PBD得：PD2=PA?PB. (5)由△PDA∽△PBD得 1 tan 2 PD PA AD PB PD DB α ====，PB=8, ∴PD=4,PA=2,AB=6.设AD=x,DB=2x, 在Rt△ADB中，x2+(2x)2=62,∴AD=x=65 . (6)由∠DEC=∠ADB=90°得OC∥AD. (7)由AB=2,则OB=1,又BC=2OC=2 1(2)3 +=,在Rt△OBC中，BE⊥OC，得OE=3 ,由中 位线定理得：AD=2OE=23 .DB= 26 ,由△PDA∽△PBD得： 2 PA AD PD DB ==,设PA=x,则PD=2x, 在Rt△PDO中，(2x)2+1=(x+1)2得x=2,∴PA=2,PD=22. (8)由AD∥OC得 2 1 PA PD AO DC ==,设AO=DO=BO=m，O P D C B A (4)PD2＝P A?PB; (5)PB＝8，tanα＝ 1 2 ， 求P A和A D. A B C D P O α (6)求证:OC∥AD（变式）. (7)若AB＝2,BC＝, 求AD、PD、PA的长. 图(1) 图(2) 图(3) (1)PB＝8,BC＝6,求⊙O的半径r. (2)PD＝4,PB＝8,求BC的长. (3)PD＝4,P A＝2,求⊙O的半径r. D O E C B A P D O E C B A P
圆压轴八大模型题(1)-弧中点的运用
圆压轴题八大模型题（一） 泸州市七中佳德学校 易建洪 引言：与圆有关的证明与计算的综合解答题，往往位于许多省市中考题中的倒数第二题的位置上，是试卷中综合性与难度都比较大的习题。一般都会在固定习题模型的基础上变化与括展，本文结合近年来各省市中考题，整理了这些习题的常见的结论，破题的要点，常用技巧。把握了这些方法与技巧，就能台阶性地帮助考生解决问题。 类型1 弧中点的运用 在⊙O 中，点C 是⌒ AD 的中点，CE ⊥AB 于点E . （1）在图1中，你会发现这些结论吗？ ①AP ＝CP ＝FP ； ②CH ＝AD ； ②AC 2＝AP ·AD ＝CF ·CB ＝AE ·A B. （2）在图2中，你能找出所有与△ABC 相似的 三角形吗？ O H P F E D C B B （图1）
【分析】 (1)①由 等弧所对 的圆周角 相等及同 角或等角 的余角相 等得：∠ CAD＝∠B ＝∠ACE; ∠PCF＝ ∠PFC,所 以AP＝ CP＝FP. (1)②由 （图2）垂径定理 和弧中点 的性质 得，⌒DC＝ AC＝⌒AH, ⌒ 再由弧叠 加得：⌒CH
＝⌒AD,所 以CH＝ A D. (1)③由共边角相似易证：△ACE∽△ABC,△ACP ∽△ADC,△ACF∽△BCA,进而得AC2＝AE?AB;AC2＝AP?AD;AC2＝CF?CB; (2)垂径定理的推论得：C0⊥AD,易证：Rt△ABC ∽Rt△ACE∽Rt△CBE∽Rt△ACF∽Rt△BDF∽ Rt △ACG∽Rt△CGF. 此外还有Rt△APE∽Rt△AOG∽Rt△ABD∽Rt △CPG.运用这些相似三角形可以解决相关的计算与证明题. 建议：将下列所有例题与习题转化到图1或图2上观察、比较、思考和总结。 【典例】 （2018·湖南永州）如图，线段AB为⊙O的直径，点C，E在⊙O上，＝，CD⊥AB，垂足为点D，连接BE，弦BE与线段CD相交于点F．（1）求证：CF＝BF； （2）若cos∠ABE＝，在AB的延长线上取一点M，使BM＝4，⊙O的半径为6．求证：直线CM 是⊙O的切线．
圆压轴题八大模型题（五） 泸州市七中佳德学校 易建洪 引言：与圆有关的证明与计算的综合解答题，往往位于许多省市中考题中的倒数第二题的位置上，是试卷中综合性与难度都比较大的习题。一般都会在固定习题模型的基础上变化与括展，本文结合近年来各省市中考题，整理了这些习题的常见的结论，破题的要点，常用技巧。把握了这些方法与技巧，就能台阶性地帮助考生解决问题。 类型5 三切线组合 直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠B ＝90°，以AB 为直径的半圆⊙O 与CD 相切于点E . 【分析】(1)法一：如图(a )过点D 作DF ⊥BC ,AB ＝DF 12. 法二：如图 (b )由△OBC ∽△DAO , 或△COE ∽△ODE 得： r 2＝4×9＝36,r ＝6, AB ＝12. (2) 由△OBC ∽△DAO ,或 △COE ∽△ODE 得：r 2＝AD ?BC ,( 2 AB )2 ＝AD ?BC , ∴4AD ·BC ＝AB 2 (3)由Rt △CBO ∽Rt △COD 得：CO 2＝CB ?C D . (4)∠CFE ＝∠COG ＝∠EGD ＝90°,CO ∥AE , DO ∥BE . O E D C B A D G (3)求证：CO 2 ＝CB ·CD ； 图(1) 图(2) 图(3) (1)AD ＝4，BC ＝9，求AB ； (2)求证：4AD ·BC ＝AB 2. (4)求证：CO ∥AE , DO ∥BE . (a ) O A D E C B (b ) G F O A D E C B
【分析】(5)由CB∥EF∥DA,CB＝CE,DA＝DE得EP CP BP FP DA CA BD DA ===,∴EP＝FP. (6)由CB＝CE,∠CBE＝∠CEB＝∠DEG;CB∥DA得∠CBE＝∠D,∴∠DEG＝∠D.∴DG ＝EG,又EG＝GA,∴DG＝AG. (7)EF∥DA,得EP BP FP DG BG GA ==, 又DG＝GA,得EP＝FP. (8)由AB2＝4AD?BC得：（ 2＝4×2BC,∴BC＝2.5,CF＝BC＝2.5,BF＝5. 在Rt△ABF中，AF .由AD∥BF得 4 5 AE AD EF CF ==, ∴EF＝5 9 AF＝ 5 9 × 【典例】 （2018·湖南娄底）如图，已知半圆O与四边形ABCD的边AD、AB、BC都相切，切点分别为D、E、C，半径OC＝1，则AE·BE___________. 【分析】连接OE，由切线长定理可得∠AOE＝1 2 ∠DOE， ∠BOE＝1 2 ∠EOC，再根据∠DOE＋∠EOC＝180°，可 得∠AOB＝90°，继而可证△AEO∽△OEB，根据相似三角形对应边成比例即可得. 解：如图，连接OE，∵AD、AB与半圆O相切， ∴OE⊥AB，OA平分∠DOE， ∴∠AOE＝1 2 ∠DOE，同理∠BOE＝ 1 2 ∠EOC， ∵∠DOE＋∠EOC＝180°，∴∠AOE＋∠BOE＝90°，即∠AOB＝90°，∴∠ABO＋∠BAO＝90°， ∵∠BAO＋∠AOE＝90°，∴∠ABO＝∠AOE，B C D E O A B C D E O A (5)求证：EP=FP. (6)求证：DG=AG. (7)求证：EP=FP. (8)若AB=25，AD=2，求BC和EF的长. 图(4) 图(5) 图(6) 图5-1 图a
圆压轴题八大模型题（五） 泸州市七中佳德学校易建洪 引言：与圆有关的证明与计算的综合解答题，往往位于许多省市中考题中的倒数第二题的位置上，是试卷中综合性与难度都比较大的习题。一般都会在固定习题模型的基础上变化与括展，本文结合近年来各省市中考题，整理了这些习题的常见的结论，破题的要点，常用技巧。把握了这些方法与技巧，就能台阶性地帮助考生解决问题。 类型5三切线组合 直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，以AB为直径的半圆⊙O与CD相切于点E. C C E E D D C E D B O A B O A B F O G A 图(1) (1)AD＝4，BC＝9，求AB； 图(2) (3)求证：CO2＝CB·CD； 图(3) (4)求证：CO∥AE,DO∥BE. (2)求证：4AD·BC＝AB2. 【分析】(1)法一：如图(a)过点D作DF⊥BC,AB＝DF＝(9+4)2-(9-4)2＝12.法二：如图(b)由△OBC∽△DAO,C C 或△COE∽△ODE得： r2＝4×9＝36,r＝6,AB＝12.F E D E D B O A B O A (2)由△OBC∽△DAO,或 (a)(b) △COE∽△ODE得：r2＝AD?BC,(AB 2 )2＝AD?BC, ∴4AD·BC＝AB2 (3)由△Rt CBO∽△Rt COD得：CO2＝CB?CD. (4)∠CFE＝∠COG＝∠EGD＝90°,CO∥AE,DO∥BE. C E P D C E D G P O A D E B O F A B O F A B C F
(7)EF ∥DA ,得 EP EF CF 5 , ∴EF ＝ AF ＝ ×3 5 ＝ 5 图(4) 图(5) 图(6) (5)求证：EP=FP. (6)求证：DG=AG. (7)求证：EP=FP. (8)若 AB=2 5 ，AD=2，求 BC 和 EF 的长. 【分析】(5)由 CB ∥EF ∥DA ,CB ＝CE ,DA ＝DE 得 EP CP BP FP = = = DA CA BD DA ,∴EP ＝FP . (6)由 CB ＝CE ,∠CBE ＝∠CEB ＝∠DEG ;CB ∥DA 得∠CBE ＝∠D ,∴∠DEG ＝∠D .∴DG ＝EG ,又 EG ＝GA ,∴DG ＝AG . BP FP = = DG BG GA , 又 DG ＝GA ,得 EP ＝FP . (8)由 AB 2＝4AD ?BC 得：（2 5 ）2＝4×2BC ,∴BC ＝2.5,CF ＝BC ＝2.5,BF ＝5. 在 △Rt ABF 中，AF ＝ (2 5) 2 + 52 ＝3 5 .由 AD ∥BF 得 AE AD 4 = = 5 5 5 9 9 3 【典例】 （2018·湖南娄底）如图，已知半圆 O 与四边形 ABCD 的边 AD 、AB 、BC 都相切，切点分 别为 D 、E 、C ，半径 OC ＝1，则 AE ·BE ___________. A D E 1 【分析】连接 OE ，由切线长定理可得∠AOE ＝ ∠DOE ， 2 1 ∠BOE ＝ ∠EOC ，再根据∠ D OE ＋∠EOC ＝180°，可 2 B O C 得∠AOB ＝△90°，继而可证 AEO ∽△OEB ，根据相似三 角形对应边成比例即可得. 解：如图，连接 OE ，∵AD 、AB 与半圆 O 相切， 图 5-1 A D ∴ OE ⊥AB ，OA 平分∠DOE ， E 1 1 ∴∠AOE ＝ ∠DOE ，同理∠BOE ＝ ∠EOC ， 2 2 ∵∠DOE ＋∠EOC ＝180°，∴∠AOE ＋∠BOE ＝90°， B O C 图 a 即∠AOB ＝90°，∴∠ABO ＋∠BAO ＝90°， ∵∠BAO ＋∠AOE ＝90°，∴∠ABO ＝∠AOE ，
-圆压轴八大模型题-三切线组合 （五）泸州市七中佳德学校易建洪引言：与圆有关的证明与计算的综合解答题，往往位于许多省市中考题中的倒数第二题的位置上，是试卷中综合性与难度都比较大的习题。一般都会在固定习题模型的基础上变化与括展，本文结合近年来各省市中考题，整理了这些习题的常见的结论，破题的要点，常用技巧。把握了这些方法与技巧，就能台阶性地帮助考生解决问题。类型5 三切线组合直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90，以AB为直径的半圆⊙O与CD相切于点E、图(2)图(3)图(1)(4)求证：CO∥AE, DO∥BE、(3)求证：CO2＝CBCD；(1)AD＝4，BC＝9，求AB；(2)求证：4ADBC＝AB 2、 【分析】 (1)法一：如图(a)过点D作DF⊥BC,AB＝DF＝＝ 12、法二：如图(b)由△OBC∽△DAO,或△COE∽△ODE得：r2＝49＝36,r＝6,AB＝ 12、(a)(b)(2) 由△OBC∽△DAO,或△COE∽△ODE得：r2＝ADBC,( )2＝ADBC,∴4ADBC＝AB2(3)由Rt△CBO∽Rt△COD得：CO2＝CBC
D、(4)∠CFE＝∠COG＝∠EGD＝90,CO∥AE,DO∥B E、图(6)图 (5)图(4)(6)求证：DG=AG、(7)求证：EP=FP、(5)求证：EP=FP、(8)若AB=2，AD=2，求BC和EF的长、 【分析】 (5)由CB∥EF∥DA,CB＝CE,DA＝DE得,∴EP＝FP、(6)由CB＝CE,∠CBE＝∠CEB＝∠DEG;CB∥DA得∠CBE＝∠D,∴∠DEG＝∠ D、∴DG＝EG,又EG＝GA,∴DG＝AG、(7)EF∥DA,得, 又DG＝GA,得EP＝FP、(8)由AB2＝4ADBC得：（2）2＝42BC,∴BC＝ 2、5,CF＝BC＝ 2、5,BF＝ 5、在Rt△ABF中，AF＝＝ 3、由AD∥BF得,∴EF＝AF＝3＝ 【典例】 （xx湖南娄底）如图，已知半圆O与四边形ABCD的边A D、A B、BC都相切，切点分别为 D、E、C，半径OC＝1，则AEBE___________、图a图5-1 【分析】 连接 OE，由切线长定理可得∠AOE＝∠DOE，∠BOE＝∠EOC，再根据∠DOE＋∠EOC＝180，可得∠AOB＝90，继而可证 △AEO∽△OEB，根据相似三角形对应边成比例即可得、解：如图，连接 OE，∵A