郭硕鸿《电动力学》课后答案
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电动力学答案
第一章 电磁现象的普遍规律
1. 根据算符?的微分性与向量性，推导下列公式：
B A B A A B A B B A )()()()()(??+???+??+???=?? A A A A )()(2
2
1??-?=???A 解：（1）)()()(c
c A B B A B A ??+??=??
B A B A A B A B )()()()(??+???+??+???=c
c c c B A B A A B A B )()()()(??+???+??+???=
（2）在（1）中令B A =得：
A
A A A A A )(2)(2)(??+???=??，
所以 A A A A A A )()()(2
1
??-??=??? 即 A A A A )()(2
2
1??-?=???A
2. 设u 是空间坐标z y x ,,的函数，证明：
u u f u f ?=?d d )( ， u u u d d )(A A ??=??， u
u u d d )(A
A ?
?=?? 证明： （1）
z y x z u f y u f x u f u f e e e ??+??+??=
?)()()()(z
y x z
u
u f y u u f x u u f e e e ??+??+??=d d d d d d
u u
f z u y u x u u f z y x ?=??+??+??=d d )(d d e e e
（2）
z u A y u A x u A u z y x ??+
??+??=??)()()()(A z
u
u A y u u A x u u A z y x ??+??+??=d d d d d d
u z u y u x u u A u A u A z y x z z y y x x d
d
)()d d d d d d (e e e e e e ??=??+??+???++=
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（3）
u A u A u A z
u y u x u u
u z y x z
y x d /d d /d d /d ///d d ??????=??e e e A
z
x y y z x x y z y u u A x u u A x u u A z u u A z u
u A y u u A e e e )d d d d ()d d d d ()d d d d (
??-??+??-??+??-??=
z
x y y z x x y z y
u A x u A x u A z u A z u A y u A e e e ])()([])()([])
()([
??-??+??-??+??-??=
)
(u A ??=
3. 设2
2
2
)'()'()'(z z y y x x r -+-+-=为源点'x 到场点x 的
距离，r 的方向规定为从源点指向场点。 （1）证明下列结果，并体会对源变量求微商与对场变量求微商的关系：
r r r /'r =-?=? ； 3
/)/1(')/1(r r r r -=-?=? ；
0)/(3
=??r r ；
0)/(')/(3
3
=?-?=??r r r r ， )0(≠r 。 （2）求r ?? ，r ?? ，r a )(?? ，)(r a ?? ，)]sin([0
r k E ???及
)]sin([0
r k E ??? ，其中a 、k 及0
E 均为常向量。 （1）证明：2
22)'()'()'(z z y y x x r -+-+-=
○
1 r z z y y x'x r r z
y x /])'()'()()[/1(r e e e =-+-+-=? r z z y y x'x r r z
y x /])'()'()()[/1('r e e e -=------=? 可见 r r '-?=? ○2 3
211d d 1r
r r r r r r r
-=?-=???
? ??=??? ??? 3
2'1'1d d 1'r r r r r r r r =?-=???
?
??=??? ???
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可见
()()
r r /1'/1-?=?
○3 r r r r ??+??=??=??)/1()/1(])/1[()/(3333r r r r 0301d d 43=?-=+????? ??=
r r
r r
r r r r
○
4 r
r r r ??+??=??=??33331
)/1(])/1[()/(r
r r r
3334=+?-=r
r r r r
，
)
0(≠r
（2）解：
○
13])'()'()'[()(
=-+-+-???
+??+??=??z y x z y x z z y y x x z
y x e e e e e e r
○2 0
'
''
///=---??????=??z z y y x x z y x z
y x e e e r
○
3
])'()'()')[(()(z y x z y x
z z y y x x z
a y a x a e e e r a -+-+-??
+??+??=??
a
e e e =++=z z y y x x a a a
○
4 r a r a a r a r r a )()()()()(??+???+??+???=?? 因为，a 为常向量，所以，0=??a ，
)(=??a r ，
又0=??r ，a r a r a =??=??∴)()( ○
5 )]sin([)sin()()]sin([000r k E r k E r k E ???+???=??? 0
E 为常向量，00
=??E ，而
k r k r k r k r k )cos()()cos()sin(?=???=??，
所以 )cos()]sin([0
r k E k r k E ??=???
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○
6 )]cos()]sin([)]sin([000r k E k E r k r k E ??=???=??? 4. 应用高斯定理证明f S f ?=????S V
V d d ，应用斯托克斯（Stokes ）定理证明??=??L
S
??l S d d 证明：（I ）设c 为任意非零常矢量，则
?????=???V
V
V V )]([d d f c f c
根
据矢量分析
公式
)()()(B A B A B A ???-???=???， 令其中f A =，c B =，便得
c
f c f c f c f ???=???-???=???)()()()(
所
以
??????=???=???V
V
V
V V V )(d )]([d d c f f c f c ???=S c f d )(
f
S c f S c ????=??=d )d (
因为c 是任意非零常向量，所以
???=??f S f d d V
V
（II ）设a 为任意非零常向量，令a F ?=，代入斯托克斯公式，得
???=???l F S F S
d d
（1） （1）式
左
边
为：
????+??=???S
S
S a a S a d ][d )(???
?????-=???=S S
S
a S a d d ??
?????=???-=S
S ??S a S a d d ????=S
?S a d
（2）
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（1）式右边为：???=?l a l a d d ?? （3）
所以 ???=???l a S a d d ??S
（4）
因为a 为任意非零常向量，所以
??=??l S d d ??S
5. 已知一个电荷系统的偶极矩定义为
'd '),'()(V t t V
x x p ?=ρ，利用电荷守恒定律0
=??+??t
ρ
J 证明p 的变化率为：?
=V
V t t d ),'(d d x J p
证明：方法（I ）
????
==V V
V t t V t t t '
d ]),(['d ),(d d d d x'x'x'x'p ρρ??
??-=??=V V V V t
t '
d )'('d )
,(x'J x'x'ρ
????-=???-=?V V V 'x V t
'
d )'('d )'(d d 1111J
e 'x J e p
'
d ])'()('[11V 'x 'x V
J J ??+?-?=?
??+?-=V
x S
V J 'x '
d 'd 1S J 1
因为封闭曲面S 为电荷系统的边界，
所以电流不能流出这边界，故
0'd 1=??S
'x S J ， ?=?V
x V J t
'd d d 1
1
e p
同理 ?=?V x V J t
'
d d d 22
e p
，
?=?V x V J t
'
d d d 33
e p
所以
?=V
V t 'd d d J p
方法（II ）
????
==V V
V t t V t t t '
d ]),(['d ),(d d d d x'x'x'x'p ρρ
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??
??-=??=V V V V t
t '
d )'('d )
,(x'J x'x'ρ
根据并矢的散度公式g
f g f fg )()()(??+??=??得：
J
x J x J x J Jx +??=??+??=??')(')(')()'(
??+??-=V V V V t
'd 'd )('d d J Jx'p
??+?-=V V 'd )'(d J Jx S ?=V V '
d J
6. 若m 是常向量，证明除0=R 点以外，向量
3
/R ）（R m A ?=的旋度等于标量3
/R R m ?=?的梯度的负值，即?-?=??A ，其中R 为坐标原点到场点的距离，方向由原点指向场点。 证明：3
/)/1r r r -=?（
])1
[()]1([)(3
m m r m A ????=???-?=???=??∴r
r r m
m m m ])1
[()]1([1)(1)(???-???-???+???=r r r r
m
m ]1
[1)(2r
r ?-???=
其中
)/1(2=?r ， （0≠r ） r
1
)(???=??∴m A ， （0≠r ） 又
)]1
([)(
3r
r ??-?=??=?m r m ?
m
m m m ])1
[()1)(()()1()]1([???-???-????-????-=r r r r
)
1
)((r
???-=m
所以，当0≠r 时，?-?=??A
7. 有一内外半径分别为1
r 和2
r 的空心介质球，介
质的电容率为ε，使介质球内均匀带静止自由电荷f
ρ，求：（1）空间各点的电场；（2）