对数与对数函数
【考纲要求】
1. 理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数，了解对数在简化运算中的作用
2.理解对数函数的概念；理解对数函数的单调性，掌握函数图像通过的特殊点．会画底数为2，10，
1
2
的对数函数的图象 3.体会对数函数是一类重要的函数模型；
4.了解指数函数x y a =与对数函数log a y x =互为反函数(0,1a a >≠)．
【基础再现】
1．对数的定义
如果______________，那么数b 叫做以a 为底N 的对数，记作__________，其中____叫做对数的底数，____叫做真数．
2．对数的性质与运算法则 (1)对数的性质(a >0且a ≠1)
①a log a N ＝____； ②log a 1＝____； ③log a a N ＝____； ④log a a ＝____. (2)对数的重要公式
①换底公式：log a N ＝________________(a ，c 均大于零且不等于1)；
②log a b ＝1
log b a
，推广log a b ·log b c ·log c d ＝________.
(3)对数的运算法则
如果a >0且a ≠1，M >0，N >0，那么 ①log a (MN )＝__________________； ②log a M
N ＝____________；
3对数函数的定义：函数)1,0(log ≠>=a a x y a 且称对数函数 4对数函数的图像及性质
5 指、对函数的关系
③log
a
M n＝__________(n
∈R)；
④log am M n＝
n
m log a M.
【例题选讲】
例1 ⑴27
log
9
，⑵81
log
43
，⑶()()3
2
log
3
2
-
+
，⑷625
log
34
5
例2 ⑴
=
⑵2
5
log()a
-=
⑶
3
log1= = ⑷2
(lg5)lg2lg50
+?＝. ⑸()2
151515
log5log45log3
?+
例4 ⑴已知
3
log2a
=，35
b=用a b
，表示log
⑵已知(0,0,1)ab m a b m =>>≠且log m b x =，则log m a 等于
例5 （1）已知18log 9a =，185b =，试用a 、b 表示18log 45的值；
（2）已知1414log 7log 5a b ==，，用a 、b 表示35log 28.
例6 求x 的值：①4
3log 3-=x
②3
5log 2-=x ③()()
1123log 2122
=-+-x x x
④()[]0log log log 432=x
例7 （1）方程lg lg(3)1x x ++=的解x = ；
（2）设12,x x 是方程2lg lg 0x a x b ++=的两个根，则12x x 的值是 .
例8 ①函数2)3(log +-=x y a 的图象恒过定点 ．
②函数y =log a x 在［2，+∞)上恒有│y │＞1，则a 的取值范围是 ． ③若函数)10(log )(<<=a x x f a 在区间]2,[a a 上的最大值是最小值的两倍，则a 等于 ．
④已知2log (21)log (3)0a a a a +<<，则a 的取值范围为 例9 ①三个数 60。
7、0.76、log 0。76的大小顺序是：
②比较()2
ln2,ln ln2,ln 2的大小顺序是
③比较
ln 2ln 3ln 5
,,235
的大小顺序是 ④若2
1a b a >>>，则log b b a
，log b a ，log a b 从小到大依次为
10 求下列各函数的定义域．
（1）)
23(log 13-=
x y ； （2）()f x =
11 若x 满足不等式2112
2
2(log )7log 30x x ++≤，求函数2
2()(log )(log )42
x x
f x =?的最大值与最小值．
12 已知函数2
221
()log log (1)log (),(1)1
x f x x p x p x +=+-+->-．
问：)(x f 是否存在最值？若存在，试把它求出来．
13 设0a ≠，对于函数23()log ()f x ax x a =-+，
（1）若x R ∈，求实数a 的取值范围； （2）若()f x R ∈，求实数a 的取值范围． 14 把下面不完整的命题补充完整，并使之成为真命题。
若函数x x f 2log 3)(+=的图象与)(x g 的图象关于 对称，则=)(x g 。（注：填上你认为可以成为真命题的一种情形即可，不必考虑所有可能的情形
15 已知1x 是方程3lg =?x x 的一个根，2x 是方程310=?x
x 的一个根，那么21x x ?的值是 。
16 若1x 满足2x +2x
=5, 2x 满足2x +22log (x －1)=5, 1x +2x ＝（ ） （A ）52 (B)3 (C) 7
2
(D)4
对数函数练习题(有答案) 1．函数y ＝log (2x －1)(3x －2)的定义域是( ) A ．????12，＋∞ B ．????23，＋∞ C ．????23，1∪(1，＋∞) D ．??? ?12，1∪(1，＋∞) 2．若集合A ＝{ x |log 2x ＝2－x }，且 x ∈A ，则有( ) A ．1＞x 2＞x B ．x 2＞x ＞1 C ．x 2＞1＞x D ．x ＞1＞x 2 3．若log a 3＞log b 3＞0，则 a 、b 、1的大小关系为( ) A ．1＜a ＜b B ．1 ＜b ＜a C ．0 ＜a ＜b ＜1 D ．0 ＜b ＜a ＜1 4．若log a 45＜1，则实数a 的取值范围为( ) A ．a ＞1 B ．0＜a ＜45 C ．45＜a D ．0＜a ＜45 或a ＞1 5．已知函数f (x )＝log a (x －1)(a ＞0且 a ≠1)在x ∈(1，2)时，f (x )＜0，则f (x )是 " A ．增函数 B ．减函数 C ．先减后增 D ．先增后减 6．如图所示，已知0＜a ＜1，则在同一直角坐标系中，函数y ＝a －x 和y ＝log a (－x )的图象只可能为( ) 7．函数y ＝f (2x )的定义域为[1，2]，则函数y ＝f (log 2x )的定义域为 ( ) A ．[0，1] B ．[1，2] C ．[2，4] D ．[4，16] 8．若函数f (x )＝log 12 ()x 3－ax 上单调递减，则实数a 的取值范围是 ( ) A ．[9，12] B ．[4，12] C ．[4，27] D ．[9，27] 9．函数y ＝a x －3＋3(a ＞0，且a ≠1)恒过定点__________． 10．不等式????1310－3x ＜3－2x 的解集是_________________________． | 11．(1)将函数f (x )＝2x 的图象向______平移________个单位，就可以得到函数g (x )＝2x －x 的图象．(2)函数 f (x )＝????12|x －1| ，使f (x )是增区间是_________． 12．设 f (log 2x )＝2x (x ＞0)．则f (3)的值为 ． 13．已知集合A ＝{x |2≤x ≤π，x ∈R}．定义在集合A 上的函数f (x )＝log a x (0＜a ＜1)的最大值比最小值大1，则底数a 为__________．
第6讲对数与对数函数 一、选择题 1.(2015·四川卷)设a，b为正实数，则“a>b>1”是“log2a>log2b>0”的() A.充分必要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 解析因为y＝log2x在(0，＋∞)上单调递增，所以当a>b>1时，有log2a>log2b>log21＝0； 当log2a>log2b>0＝log21时，有a>b>1. 答案 A 2.(2017·石家庄模拟)已知a＝log23＋log23，b＝log29－log23，c＝log32，则a，b，c的大小关系是() A.a＝b
解析 由题意y ＝log a x (a >0，且a ≠1)的图象过(3，1)点，可解得a ＝3.选项A 中，y ＝3－x ＝? ? ? ??13x ，显然图象错误；选项B 中，y ＝x 3，由幂函数图象可知正确；选项C 中，y ＝(－x )3＝－x 3，显然与所画图象不符；选项D 中，y ＝log 3(－x )的图象与y ＝log 3x 的图象关于y 轴对称，显然不符.故选B. 答案 B 4.已知函数f (x )＝???log 2x ，x >0，3－x ＋1，x ≤0， 则f (f (1))＋f ? ????log 312的值是( ) A.5 B.3 C.－1 D.7 2 解析 由题意可知f (1)＝log 21＝0， f (f (1))＝f (0)＝30＋1＝2， f ? ? ? ??log 312＝3－log 312＋1＝3log 32＋1＝2＋1＝3， 所以f (f (1))＋f ? ? ? ??log 312＝5. 答案 A 5.(2016·浙江卷)已知a ，b >0且a ≠1，b ≠1，若log a b >1，则( ) A.(a －1)(b －1)<0 B.(a －1)(a －b )>0 C.(b －1)(b －a )<0 D.(b －1)(b －a )>0 解析 ∵a >0，b >0且a ≠1，b ≠1.
高中数学教学设计大赛 获奖作品汇编 4、对数函数及其性质（1） 一、教材分析 本小节主要内容是学习对数函数的定义、图象、性质及初步应用。对数函数是继指数函数之后的又一个重要初等函数，无论从知识或思想方法的角度对数函数与指数函数都有许多类似之处。与指数函数相比，对数函数所涉及的知识更丰富、方法更灵活，能力要求也更高。学习对数函数是对指数函数知识和方法的巩固、深化和提高，也为解决函数综合问题及其在实际上的应用奠定良好的基础。虽然这个内容十分熟悉，但新教材做了一定的改动，如何设计能够符合新课标理念，是人们十分关注的，正因如此，本人选择这课题立求某些方面有所突破。 二、学生学习情况分析 刚从初中升入高一的学生，仍保留着初中生许多学习特点，能力发展正处于形象思维向抽象思维转折阶段，但更注重形象思维。由于函数概念十分抽象，又以对数运算为基础，同时，初中函数教学要求降低，初中生运算能力有所下降，这双重问题增加了对数函数教学的难度。教师必须认识到这一点，教学中要控制要求的拔高，关注学习过程。 三、设计理念 本节课以建构主义基本理论为指导，以新课标基本理念为依据进行设计的，针对学生的学习背景，对数函数的教学首先要挖掘其知识背景贴近学生实际，其次，激发学生的学习热情，把学习的主动权交给学生，为他们提供自主探究、合作交流的机会，确实改变学生的学习方式。 四、教学目标 1．通过具体实例，直观了解对数函数模型所刻画的数量关系，初步理解对数函数的概念，体会对数函数是一类重要的函数模型； 2．能借助计算器或计算机画出具体对数函数的图象，探索并了解对数函数的单调性与特殊点； 3．通过比较、对照的方法，引导学生结合图象类比指数函数，探索研究对数函数的性质，培养学生运用函数的观点解决实际问题。 五、教学重点与难点 重点是掌握对数函数的图象和性质，难点是底数对对数函数值变化的影响． 六、教学过程设计
对数函数 （一）对数 1．对数的概念：一般地，如果N a x =)1,0(≠>a a ，那么数x 叫做以．a 为底．．N 的对数，记作：N x a log =（a — 底数，N — 真数，N a log — 对数式） 说明：○1 注意底数的限制0>a ，且1≠a ； ○2 x N N a a x =?=log ； ○3 注意对数的书写格式． 两个重要对数： ○ 1 常用对数：以10为底的对数N lg ； ○ 2 自然对数：以无理数 71828.2=e 为底的对数的对数N ln ． （二）对数的运算性质 如果0>a ，且1≠a ，0>M ，0>N ，那么： ○ 1 M a (log ·=)N M a log ＋N a log ； ○ 2 =N M a log M a log －N a log ； ○ 3 n a M log n =M a log )(R n ∈． 注意：换底公式 a b b c c a log log log = （0>a ，且1≠a ；0>c ，且1≠c ；0>b ）． 利用换底公式推导下面的结论 （1）b m n b a n a m log log = ； （2）a b b a log 1log =． （二）对数函数 1、对数函数的概念：函数0(log >=a x y a ，且)1≠a 叫做对数函 数，其中x 是自变量，函数的定义域是（0，+∞）． 注意：○1 对数函数的定义与指数函数类似，都是形式定义，注意辨别。如：x y 2log 2=，5 log 5x y = 都不是对数函数，而只能称 其为对数型函数． ○ 2 对数函数对底数的限制：0(>a ，且)1≠a ． 对数函数·例题解析 例1．求下列函数的定义域： （1）2log x y a =； （2）)4(log x y a -=； （3）)9(log 2 x y a -=．
知识图谱 -对数函数-指对数比较大小对数函数的概念与对数函数有关的三要素问题与对数函数有关的单调性问题与对数函数有关的奇偶性问题指对数比较大小指对数比较大小的运用第04讲_对数函数 错题回顾 对数函数 知识精讲 一．对数函数的定义 （）叫做对数函数，它的定义域为，值域是．注意以下几个方面： 1．定义域：因为对数函数由指数函数变化而来，对数函数的自变量恰好是指数函数的函数值的取值范围，所以对数函数的定义域是； 2．对数函数的底数：对数函数的底数且； 3．形式上的严格性：在对数函数的定义表达式中的表达式中， 前面的系数必须是，自变量在真数的位置上，否则不是对数函数； 二．对数函数的图像与性质
过定点，图像都在一、四象限 对于相同的，函数与的图象关于轴对称． 当时， 当时， 在上是增函数当时，；当时， 在上是减函数 三．对数函数与指数函数的关系 1．定义：一般的，设函数的值域是，若找得到一个函数 在每一处都等于，这样的函数叫做函数的反函数，记作．反函数的定义域、值域分别是函数的值域、定义域． 2．对数函数与指数函数图像关于直线对称．互为反函数．3．指数方程和对数方程主要有以下几种类型： （定义法） （转化法） （取对数法） 三点剖析 一．方法点拨 1．利用对数函数的单调性比较大小
（1）如果两对数的底数相同，由对数函数的单调性（底数为增函数，为减函数）比较大小； （2）如果两对数的底数和真数均不相同，通常引入中间值进行比较；（3）如果两对数的底数不同而真数相同，如与的比较（） ①当时，曲线比的图像（在第一象限内）上升得慢， 即当时，；当时，，即在第一象限内， 越大图像越靠近轴； ②当时，曲线比的图像（在第一象限内）下降得快， 即当时，；当时，，即在第四象限内，越 小图像越靠近轴． 题模精讲 题模一对数函数的概念 例1.1、 下列函数是对数函数的是（） A、B、 C、D、 例1.2、
1．函数f (x )＝lg(x －1)＋4－x 的定义域为( ) A ．(1,4] B ．(1,4) C ．[1,4] D ．[1,4) 解析：选A.????? x －1>04－x ≥0 ，解得1
第6讲 对数与对数函数 基础巩固题组 (建议用时：40分钟) 一、填空题 1．如果 ，那么x ，y,1的大小关系是________． 解析 ∵ 是(0，＋∞)上的减函数，∴x ＞y ＞1. 答案 1＜y ＜x 2．(2014·深圳调研)设f (x )为定义在R 上的奇函数，当x ＞0时，f (x )＝log 3(1＋x )，则f (－2)＝________. 解析 f (－2)＝－f (2)＝－log 33＝－1. 答案 －1 3．函数y ＝log 12 (3x －a )的定义域是? ????23，＋∞，则a ＝______. 解析 要使函数有意义，则3x －a ＞0，即x ＞a 3， ∴a 3＝23，∴a ＝2. 答案 2 4．已知f (x )＝??? 2a 2，x ＜2，log a (x 2－1)，x ≥2，且f (2)＝1，则f (1)＝________. 解析 ∵f (2)＝log a (22－1)＝log a 3＝1， ∴a ＝3，∴f (1)＝2×32＝18. 答案 18 5．函数y ＝log a (x －1)＋2(a ＞0，a ≠1)的图象恒过一定点是________． 解析 当x ＝2时y ＝2. 答案 (2,2) 6．(2012·重庆卷改编)已知a ＝log 23＋log 23，b ＝log 29－log 23，c ＝log 32，则a ，b ，c 的大小关系是________．
解析 a ＝log 23＋log 23＝log 233>log 22＝1，b ＝log 29－log 23＝log 233＝a >1，c ＝log 32
对数函数知识点及典型例题讲解 1．对数： (1) 定义：如果，那么称为，记作，其中称为对数的底，N称为真数. ①以10为底的对数称为常用对数，记作___________． ②以无理数为底的对数称为自然对数，记作_________． (2) 基本性质： ①真数N为 (负数和零无对数)；②；③； ④对数恒等式：． (3) 运算性质： ① log a(MN)＝___________________________； ② log a＝____________________________； ③ log a M n＝ (n∈R). ④换底公式：log a N＝ (a>0，a≠1，m>0，m≠1，N>0) ⑤ . 2．对数函数： ①定义：函数称为对数函数，1) 函数的定义域为( ；2) 函数的值域为； 3) 当______时，函数为减函数，当______时为增函数； 4) 函数与函数互为反函数. ② 1) 图象经过点( )，图象在；2) 对数函数以为渐近线(当时，图象向上无限接近y轴；当时，图象向下无限接近y轴)； 4) 函数y＝log a x与的图象关于x轴对称． ③函数值的变化特征： ①②③①②③ 例1 计算：（1） （2）2(lg)2+lg·lg5+; （3）lg-lg+lg. 解：（1）方法一利用对数定义求值设=x,则(2+)x=2-==（2+）-1,∴x=-1.方法二利用对数的运算性质求解 = =(2+)-1=-1.
（2）原式=lg（2lg+lg5）+=lg(lg2+lg5)+|lg-1| =lg+(1-lg)=1. （3）原式=（lg32-lg49）-lg8+lg245 = (5lg2-2lg7)-×+ (2lg7+lg5) =lg2-lg7-2lg2+lg7+lg5=lg2+lg5 =lg(2×5)= lg10=. 变式训练1：化简求值. （1）log2+log212-log242-1; （2）(lg2)2+lg2·lg50+lg25; （3）(log32+log92)·(log43+log83). 解：(1)原式=log2+log212-log2-log22=log2 （2）原式=lg2(lg2+lg50)+lg25=2lg2+lg25=lg100=2. （3）原式=( 例2 比较下列各组数的大小. （1）log3与log5;（2）log1.10.7与（3）已知logb＜loga＜logc,比较2b,2a,2c的大小关系.解：（1）∵log3＜log31=0,而log5＞log51=0,∴log3＜log5. (2)方法一∵0＜＜1,＜,∴0＞, ∴, 即由换底公式可得log1.10.7＜方法二作出y=与y=的图象. 如图所示两图象与x=相交可知log1.10.7＜为减函数，且, ∴b＞a＞c,而y=2x是增函数，∴2b＞2a＞2c. 变式训练2：已知0＜a＜1,b＞1,ab＞1，则log a的大小关系是（） B. C. D. 解： C 例3已知函数f(x)=log a x(a＞0,a≠1)，如果对于任意x∈［3，+∞）都有|f(x)|≥1成立，试求a的取值范围. 解：当a＞1时，对于任意x∈［3，+∞），都有f(x)＞0. 所以，|f(x)|=f(x),而f(x)=log a x在［3，+∞）上为增函数， ∴对于任意x∈［3，+∞），有f(x)≥log a3. 因此，要使|f(x)|≥1对于任意x∈［3，+∞）都成立. 只要log a3≥1=log a a即可，∴1＜a≤3. 当0＜a＜1时，对于x∈［3，+∞），有f(x)＜0, ∴|f(x)|=-f(x). ∵f（x）=log a x在［3，+∞）上为减函数， ∴-f（x）在［3，+∞）上为增函数. ∴对于任意x∈［3，+∞）都有
经典例题透析 类型一、指数式与对数式互化及其应用 1．将下列指数式与对数式互化： (1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6). 思路点拨：运用对数的定义进行互化. 解：(1)；(2)；(3)；(4)；(5)； (6). 总结升华：对数的定义是对数形式和指数形式互化的依据，而对数形式和指数形式的互化又是解决问题的重要手段. 举一反三： 【变式1】求下列各式中x的值： (1)(2)(3)lg100=x (4) 思路点拨：将对数式化为指数式，再利用指数幂的运算性质求出x. 解：(1)； (2)； (3)10x=100=102，于是x=2； (4)由. 类型二、利用对数恒等式化简求值 2．求值：解：. 总结升华：对数恒等式中要注意格式：①它们是同底的；②指数中含有对数形式；③其值为真数.举一反三： 【变式1】求的值(a，b，c∈R+，且不等于1，N>0) 思路点拨：将幂指数中的乘积关系转化为幂的幂，再进行运算. 解：. 类型三、积、商、幂的对数 3．已知lg2=a，lg3=b，用a、b表示下列各式. (1)lg9 (2)lg64 (3)lg6 (4)lg12 (5)lg5 (6) lg15 解：(1)原式=lg32=2lg3=2b(2)原式=lg26=6lg2=6a (3)原式=lg2+lg3=a+b(4)原式=lg22+lg3=2a+b (5)原式=1-lg2=1-a(6)原式=lg3+lg5=lg3+1-lg2=1+b-a
举一反三： 【变式1】求值 (1)(2)lg2·lg50+(lg5)2 (3)lg25+lg2·lg50+(lg2)2 解： (1) (2)原式=lg2(1+lg5)+(lg5)2=lg2+lg2lg5+(lg5)2=lg2+lg5(lg2+lg5)=lg2+lg5=1 (3)原式=2lg5+lg2(1+lg5)+(lg2)2 =2lg5+lg2+lg2lg5+(lg2)2=1+lg5+lg2(lg5+lg2)=1+lg5+lg2=2. 【变式2】已知3a=5b=c，，求c的值. 解：由3a=c得： 同理可得 . 【变式3】设a、b、c为正数，且满足a2+b2=c2.求证：. 证明： . 【变式4】已知：a2+b2=7ab，a>0，b>0. 求证：. 证明：∵a2+b2=7ab，∴a2+2ab+b2=9ab，即(a+b)2=9ab，∴lg(a+b)2=lg(9ab)，∵a>0，b>0，∴2lg(a+b)=lg9+lga+lgb ∴2[lg(a+b)-lg3]=lga+lgb 即. 类型四、换底公式的运用 4．(1)已知log x y=a，用a表示； (2)已知log a x=m，log b x=n，log c x=p，求log abc x.
对数函数知识点 1 ?对数函数的概念 形如y =log a x(a . 0且a = 1)的函数叫做对数函数. 说明：(1) 一个函数为对数函数的条件是： ①系数为1 ； ②底数为大于0且不等于1的正常数； ③自变量为真数? 对数型函数的定义域： 特别应注意的是：真数大于零、底数大于零且不等于1。 2、由对数的定义容易知道对数函数y二log a x(a ? 0,a = 1)是指数函数y=a x(a .0,a=1)的反函数。 反函数及其性质 ①互为反函数的两个函数的图象关于直线y=x对称。 ②若函数y = f(x)上有一点(a,b)，则(b,a)必在其反函数图象上，反之若(b, a)在反函数图象上，则(a,b)必在原函数图象上。 ③利用反函数的性质，由指数函数y二a x(a .0,a")的定义域x R，值域y?0, 容易得到对数函数y"og a x(a .0,a=1)的定义域为x 0，值域为R，利用上节学过的 对数概念，也可得出这一点。 3 4
要牢记y = 2X, y =（1）x, y = 10x, y = （￡）x的反函数 y =log2X, y =log! x, y =lg x, y =log ! x的图象，并由此归纳出表中结论。 2 10 5、比较大小 比较对数的大小，一般遵循以下几条原则： ①如果两对数的底数相同，则由对数函数的单调性（底数a -1为增；0 ：：：a ：：：1为减）比较。 ②如果两对数的底数和真数均不相同，通常引入中间变量进行比较。 ③如果两对数的底数不同而真数相同，女口y = log ai x与y = log a2x的比较（a 0,印=1, a2 0,a2 = 1）. 当a, a2 ? 1时，曲线y1比y的图象（在第一象限内）上升得慢，即当x 1时，m；当0：：：x”：1时，y1 y2.而在第一象限内，图象越靠近x轴对数函数的底数越大（同［考题2］的含义）当0 ::: a? ：：? <1时，曲线y比月2的图象（在第四象限内）下降得快，即当x 1时， y ■■■ y ;当0 ”：x ::: 1时，y1 y即在第四象限内，图象越靠近x轴的对数函数的底数越小。 6、求参数范围 凡是涉及对数的底含参数的问题，要注意对对数的底数的分析，需要分类讨论时，一定 要分类讨论。
对数函数 教学目标 1．掌握对数函数的概念，图象和性质，且在掌握性质的基础上能实行初步的应用． (1) 能在指数函数及反函数的概念的基础上理解对数函数的定义，了解对底数的要求，及对定义域的要求，能利用互为反函数的两个函数图象间的关系准确描绘对数函数的图象． (2) 能把握指数函数与对数函数的实质去研究理解对数函数的性质，初步学会用对数函数的性质解决简单的问题． 2．通过对数函数概念的学习，树立相互联系相互转化的观点，通过对数函数图象和性质的学习，渗透数形结合，分类讨论等思想，注重培养学生的观察，分析，归纳等逻辑思维水平． 3．通过指数函数与对数函数在图象与性质上的对比，对学生实行对称美，简洁美等审美教育，调动学生学习数学的积极性． 教学建议 教材分析 (1) 对数函数又是函数中一类重要的基本初等函数，它是在学生已经学过对数与常用对数，反函数以及指数函数的基础上引入的．故是对上述知识的应用，也是对函数这个重要数学思想的进一步理解与理解．对数函数的概念，图象与性质的学习使学生的知识体系更加完整，系统，同时又是对数和函数知识的拓展与延伸．它是解决相关自然科学领域中实际问题的重要工具，是学生今后学习对数方程，对数不等式的基础． (2) 本节的教学重点是理解对数函数的定义，掌握对数函数的图象性质．难点是利用指数函数的图象和性质得到对数函数的图象和性质．因为对数函数的概念是一个抽象的形式，学生不易理解，而且又是建立在指数与对数关系和反函数概念的基础上，故应成为教学的重点． (3) 本节课的主线是对数函数是指数函数的反函数，所有的问题都应围绕着这条主线展开．而通过互为反函数的两个函数的关系由已知函数研究未知函数的性质，这种方法是第一次使用，学生不适合，把握不住关键，所以应是本节课的难点． 教法建议 (1) 对数函数在引入时，就应从学生熟悉的指数问题出发，通过对指数函数的理解逐步转化为对对数函数的理解，而且画对数函数图象时，既要考虑到对底数的分类讨论而且对每一类问题也能够多选几个不同的底，画在同一个坐标系内，便于观察图象的特征，找出共性，归纳性质． (2) 在本节课中结合对数函数教学的特点，一定要让学生动手做，动脑想，大胆猜，要以学生的研究为主，教师仅仅持续地反函数这条主线引导学生思考的方
对数运算与对数函数复习 例1．求下列函数的定义域： （1）2log x y a =； （2）)4(log x y a -=； （3）)9(log 2x y a -=． 例2．比较下列各组数中两个值的大小： （1）2log 3.4，2log 8.5； （2）0.3log 1.8，0.3log 2.7； （3）log 5.1a ，log 5.9a . （4）0.91.1， 1.1log 0.9，0.7log 0.8； 例3．求下列函数的值域： （1）2log (3)y x =+；（2）22log (3)y x =-；（3）2log (47) a y x x =-+（0a >且1a ≠）．
例4．（1）已知：36log ,518,9log 3018求==b a 值. 例5．判断函数2()log )f x x =的奇偶性。
对数运算与对数函数复习练习 一、选择题 1．3 log 9log 28的值是( ) A ．32 B ．1 C ．2 3 D ．2 2．函数)2(x f y =的定义域为[1，2]，则函数)(log 2x f y =的定义域为（ ） A ．[0，1] B ．[1，2] C ．[2，4] D ．[4，16] 3．函数2x log y 5+=(x ≥1)的值域是( ) A ．R B ．[2，＋∞] C ．[3，＋∞] D ．(－∞，2) 4．如果0
第6节 对数与对数函数 最新考纲 1.理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数；了解对数在简化运算中的作用；2.理解对数函数的概念及其单调性，掌握对数函数图象通过的特殊点，会画底数为2，10，1 2的对数函数的图象；3.体会对数函数是一类重 要的函数模型；4.了解指数函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)与对数函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)互为反函数. 知 识 梳 理 1.对数的概念 如果a x ＝N (a >0，且a ≠1)，那么x 叫做以a 为底N 的对数，记作x ＝log a N ，其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数. 2.对数的性质、换底公式与运算性质 (1)对数的性质：①a log a N ＝N ；②log a a b ＝b (a >0，且a ≠1). (2)对数的运算法则 如果a >0且a ≠1，M >0，N >0，那么 ①log a (MN )＝log a M ＋log a N ； ②log a M N ＝log a M －log a N ； ③log a M n ＝n log a M (n ∈R )； ④log a m M n ＝n m log a M (m ，n ∈R ，且m ≠0). (3)换底公式：log b N ＝log a N log a b (a ，b 均大于零且不等于1). 3.对数函数及其性质 (1)概念：函数y ＝log a x (a ＞0，且a ≠1)叫做对数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是(0，＋∞). (2)对数函数的图象与性质 a >1 0 对数函数及其性质 Prepared on 22 November 2020 对数函数及其性质（一） 教学目标 （一） 教学知识点 1．对数函数的概念； 2．对数函数的图象与性质． （二） 能力训练要求 1．理解对数函数的概念； 2．掌握对数函数的图象、性质； 3．培养学生数形结合的意识． （三）德育渗透目标 1．认识事物之间的普遍联系与相互转化； 2．用联系的观点看问题； 3．了解对数函数在生产生活中的简单应用． 教学重点 对数函数的图象、性质． 教学难点 对数函数的图象与指数函数的关系． 教学过程 一、复习引入： 1、指对数互化关系： b N N a a b =?=log 2、 )10(≠>=a a a y x 且的图象和性质． 3、 我们研究指数函数时，曾经讨论过细胞分裂问题，某种细胞分裂时，得到的细胞的个 数y 是分裂次数x 的函数，这个函数可以用指数函数y =x 2表示． 现在，我们来研究相反的问题，如果要求这种细胞经过多少次分裂，大约可以得到1万个，10万个……细胞，那么，分裂次数x 就是要得到的细胞个数y 的函数．根据对数的定义，这个函数可以写成对数的形式就是y x 2log =. 如果用x 表示自变量，y 表示函数，这个函数就是x y 2log =. 引出新课--对数函数． 二、新授内容： 1．对数函数的定义： 函数x y a log =)10(≠>a a 且叫做对数函数，定义域为),0(+∞，值域为 ),(+∞-∞． 例1． 求下列函数的定义域： （1）2log x y a =； （2）)4(log x y a -=； （3）)9(log 2 x y a -=． 分析：此题主要利用对数函数x y a log =的定义域（0，+∞）求解． 解：（1）由2 x >0得0≠x ,∴函数2log x y a =的定义域是{}0|≠x x ； （2）由04>-x 得4 对数函数知识点 1．对数函数的概念 形如 y log a x( a 0且 a 1) 的函数叫做对数函数 . 说明：（ 1）一个函数为对数函数的条件是： ①系数为 1； ②底数为大于 0 且不等于 1 的正常数； ③自变量为真数 . 对数型函数的定义域： 特别应注意的是：真数大于零、底数大于零且不等于 1。 2 、 由 对 数 的 定 义 容 易 知 道 对 数 函 数 y log a x (a 0, a 1) 是指数函数 y a x (a 0, a 1) 的反函数。 反函数及其性质 ①互为反函数的两个函数的图象关于直线 y x 对称。 ②若函数 y f ( x) 上有一点 (a, b ) ，则 (b, a) 必在其反函数图象上， 反之若 (b, a) 在反函 数图象上，则 ( a, b) 必在原函数图象上。 ③利用反函数的性质，由指数函数 y a x (a 0, a 1) 的定义域 x R ，值域 y 0 ， 容易得到对数函数 y log a x(a 0, a 1) 的定义域为 x 0 ，值域为 R ，利用上节学过的 对数概念，也可得出这一点。 3、．对数函数的图象和性质 定义 y log a x (a 0且 a 1) 底数 a 1 0 a 1 图象 定义域 (0, ) 值域 R 单调性 增函数 减函数 共点性 图象过点 (1,0) ，即 log a 1 函数值x (0,1) y ( ,0); x [1, ) x (0,1) y (0, ); x [1, ) 特征 y [0, ) y ( ,0] 对称性 函数 y log a x 与 y log 1 x 的图象关于 x 轴对称 a 4．对数函数与指数函数的比较 名称 指数函数 对数函数 一般形式 y a x (a 0, a 1) y log a x (a 0, a 1) 指数函数及对数函数相关知识点 一．图像的画法。（三点：单调性；定点；图像的渐近线） 1. 画出函数2x y =的图像； 2.画出函数12 x y =（）的图像； 3.画出函数2log y x =的图像； 4.画出函数12 log y x =的图像。 二．指数和对数的计算。 5.计算下面各式的值或者化简。 （1 （2 （3）11 23 3312(2)2 x x x - -- （4）2log 16 （5）lg2+lg5 （6）83log 27log 2? （7）2lg5+lg4 （8）lg0.1 （1011 2 03 81()()274e π- ??+-+ ??? 三．指对数比较大小。 6.比较下面各数的大小 （1）2-41.7 1.7-和 （2） 1.1 1.20.90.9和 （3）-2-30.9 1.1和 （4）22log 3log 5和 （5）0.90.9log 0.6log 0.7和 （6）123 log 2log 3和 四．过定点问题。（要点：0,0log 10,x a a ==让指数为；让真数为1） 7.函数1y=3x a ++2必定过点________________________________________； 8.函数3log (2)4a y x =-+必定过点___________________________________________。 五．指数型和对数型不等式。 9.求下面不等式中x 的范围， （1）3 22x > （2） x 182 >（） （3）1x e < （2）22log log 8x ≥ （3）3log 0x ≥ （4）3log 20x -≥ 10.求下列函数的定义域。 （1）21 2x y += （2 ）y = （3）10.7x y = （4）2log (1)y x =- （5）21 log y x = （6 ）y = 对数函数及其性质 1．对数函数的概念 (1)定义：一般地，我们把函数y ＝log a x (a ＞0，且a ≠1)叫做对数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是(0，＋∞)． (2)对数函数的特征： 特征???? ? log a x 的系数：1log a x 的底数：常数，且是不等于1的正实数 log a x 的真数：仅是自变量x 判断一个函数是否为对数函数，只需看此函数是否具备了对数函数的特征． 比如函数y ＝log 7x 是对数函数，而函数y ＝－3log 4x 和y ＝log x 2均不是对数函数，其原因 是不符合对数函数解析式的特点． 【例1－1】函数f (x )＝(a 2 －a ＋1)log (a ＋1)x 是对数函数，则实数a ＝__________． 解析：由a 2 －a ＋1＝1，解得a ＝0,1．又a ＋1＞0，且a ＋1≠1，∴a ＝1．答案：1 【例1－2】下列函数中是对数函数的为__________． (1)y ＝log (a ＞0，且a ≠1)；(2)y ＝log 2x ＋2； (3)y ＝8log 2(x ＋1)；(4)y ＝log x 6(x ＞0，且x ≠1)； (5)y ＝log 6x ． 解析： 2．对数函数y ＝log a x (a ＞0，且a ≠1)的图象与性质 (1)图象与性质 谈重点对对数函数图象与性质的理解对数函数的图象恒在y轴右侧，其单调性取决于底数．a＞1时，函数单调递增；0＜a＜1时，函数单调递减．理解和掌握对数函数的图象和性质的关键是会画对数函数的图象，在掌握图象的基础上性质就容易理解了．我们要注意数形结合思想的应用． (2)指数函数与对数函数的性质比较 (3)底数a对对数函数的图象的影响 ①底数a与1的大小关系决定了对数函数图象的“升降”：当a＞1时，对数函数的图象“上 第6讲 对数与对数函数 1．对数 指数函数y ＝a x 与对数函数y ＝log a x 互为反函数，它们的图象关于直线y ＝x 对称． 判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若MN >0，则log a (MN )＝log a M ＋log a N .( ) (2)log a x ·log a y ＝log a (x ＋y )．( ) (3)函数y ＝log 2x 及y ＝log 13 3x 都是对数函数．( ) (4)对数函数y ＝log a x (a >0且a ≠1)在(0，＋∞)上是增函数．( ) (5)对数函数y ＝log a x (a >0且a ≠1)的图象过定点(1，0)且过点(a ，1)，????1 a ，－1，函数图象只在第一、四象限．( ) 答案：(1)× (2)× (3)× (4)× (5)√ 函数y ＝x ln(1－x )的定义域为( ) A ．(0，1) B ．[0，1) C ．(0，1] D ．[0，1] 解析：选B .因为y ＝x ln(1－x )，所以? ????x ≥0， 1－x >0，解得0≤x <1. 函数f (x )＝log 12 (x 2－4)的单调递增区间为( ) A ．(0，＋∞) B ．(－∞，0) C ．(2，＋∞) D ．(－∞，－2) 解析：选D.设t ＝x 2－4，因为y ＝log 12 t 在定义域上是减函数，所以求原函数的单调递增区间，即求函数t ＝x 2－4的单调递减区间，结合函数的定义域，可知所求区间为(－∞，－2)． lg 5 2 ＋2lg 2－????12－1＝________． 解析：lg 52＋2lg 2－????12－1＝lg 5－lg 2＋2lg 2－2 ＝(lg 5＋lg 2)－2＝1－2＝－1. 答案：－1 (教材习题改编)函数y ＝log a (4－x )＋1(a ＞0，且a ≠1)的图象恒过点________． 解析：当4－x ＝1即x ＝3时，y ＝log a 1＋1＝1. 所以函数的图象恒过点(3，1)． 答案：(3，1) 对数式的化简与求值 [典例引领] 计算下列各式： 专题：对数函数知识点总结 1.对数函数的定义： 一般地，函数 x y a log =( )叫做对数函数 .定义域是 2. 对数函数的性质为 思考：函数log a y x =与函数x y a =)10(≠>a a 且的定义域、值域之间有什么关系？ ___________________________________________________________________________ 对数函数的图象与指数函数的图象关于_______________对称。 一般的,函数y=a x 与y=log a x (a>0且a ≠1)互称相对应的反函数,它们的图象关于直线y=x 对称 y=f(x)存在反函数,一般将反函数记作y=f -1 (x) 如:f(x)=2x ,则f -1 (x)=log 2x,二者的定义域与值域对调,且图象关 于直线y=x 对称 函数与其反函数的定义域与值域对调,且它们的图象关于直线y=x 对称 专题应用练习 一、求下列函数的定义域 （1）0.2log (4);y x =-； （2）log 1a y x =- (0,1).a a >≠； （3）2(21)log (23)x y x x -=-++ （4）2log (43)y x =- (5) y=lg 1 1 -x (6) y=x 3log =log(5x-1)(7x-2)的定义域是________________ = )8lg(2x - 的定义域是_______________ 3.求函数2log (21)y x =+的定义域___________ 4.函数y=13 log (21)x -的定义域是 5.函数y ＝log 2(32－4x )的定义域是 ，值域是 . 6.函数5log (23)x y x -=-的定义域____________ 7.求函数2 log ()(0,1)a y x x a a =->≠的定义域和值域。 8.求下列函数的定义域、值域： （1）2log (3)y x =+； （2）2 2log (3)y x =-； （3）2log (47)a y x x =-+（0a >且1a ≠）． 9.函数f （x ）=x 1 ln （432322+--++-x x x x ）定义域 10.设f(x)=lg x x -+22,则f )2 ()2(x f x +的定义域为 11.函数f(x)=)1(lo g 1 |2|2---x x 的定义域为 12.函数f(x)= 2 29)2(1x x x g --的定义域为 ； 13.函数f （x ）= x 1 ln （432322+--++-x x x x ）的定义域为 14 2 2 2 log log log y x =的定义域是 1. 设f (x )＝lg(ax 2 －2x ＋a ), (1) 如果f (x )的定义域是(－∞, ＋∞)，求a 的取值围； (2) 如果f (x )的值域是(－∞, ＋∞)，求a 的取值围． 15.已知函数)32(log )(22 1+-=ax x x f （1）若函数的定义域为R ，数a 的取值围 （2）若函数的值域为R ，数a 的取值围对数函数及其性质
对数函数知识点
指数函数及对数函数相关知识点
对数函数性质及练习(有答案)
6 第6讲 对数与对数函数
专题：对数函数知识点总结及类型题归纳
相关主题
文本预览