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高三数学专题复习：空间向量

一、知识梳理

【高考考情解读】高考对本节知识的考查以解答题的形式为主：1.以多面体(特别是棱柱、棱锥或其组合体)为载体，考查空间中平行与垂直的证明、空间角(主要是线面角和二面角)的计算.2.以已知结论寻求成立的条件(或是否存在问题)的探索性问题，考查逻辑推理能力、空间想象能力以及探索能力，是近几年高考命题的新亮点，属中高档问题．

1．直线与平面、平面与平面的平行与垂直的向量方法

设直线l 的方向向量为a ＝(a 1，b 1，c 1)．平面α，β的法向量分别为μ＝(a 2，b 2，c 2)，v ＝(a 3，b 3，c 3)(以下相同)．

(1)线面平行：l ∥α?a ⊥μ?a ·μ＝0?a 1a 2＋b 1b 2＋c 1c 2＝0.

(2)线面垂直：l ⊥α?a ∥μ?a ＝k μ?a 1＝ka 2，b 1＝kb 2，c 1＝kc 2.

(3)面面平行：α∥β?μ∥v ?μ＝λv ?a 2＝λa 3，b 2＝λb 3，c 2＝λc 3.

(4)面面垂直：α⊥β?μ⊥v ?μ·v ＝0?a 3a 4＋b 3b 4＋c 3c 4＝0.

2．直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角计算

设直线l ，m 的方向向量分别为a ＝(a 1，b 1，c 1)，b ＝(a 2，b 2，c 2)．平面α，β的法向量分别为μ＝(a 3，b 3，c 3)，v ＝(a 4，b 4，c 4)(以下相同)．

(1)线线夹角：设l ，m 的夹角为θ(0≤θ≤π2)，则cos θ＝|a ·b ||a ||b |＝|a 1a 2＋b 1b 2＋c 1c 2|a 21＋b 21＋c 21a 22＋b 22＋c 22

. (2)线面夹角：设直线l 与平面α的夹角为θ(0≤θ≤π2)，则sin θ＝|a ·μ||a ||μ|

＝|cos 〈a ，μ〉|. (3)面面夹角：设平面α、β的夹角为θ(0≤θ<π)，则|cos θ|＝|μ·v ||μ||v |

＝|cos 〈μ，v 〉|. 提醒求二面角时，两法向量的夹角有可能是二面角的补角，要注意从图中分析．

3．求空间距离

直线到平面的距离，两平行平面的距离均可转化为点到平面的距离，点P 到平面α的距

离：d ＝|PM →·n ||n |

(其中n 为α的法向量，M 为α内任一点). 二、课前预习

1．平面α的法向量为m ，向量a 、b 是平面α之外的两条不同的直线的方向向量，给出三个论断：①a ⊥m ；②a ⊥b ；③m ∥b .以其中的两个论断作为条件，余下一个论断作为结论，

写出所有正确的命题______________________．

2.如图，直三棱柱ABC －A 1B 1C 1的底面△ABC 中，CA ＝CB ＝1，

∠BCA ＝90°，棱AA 1＝2，则cos 〈BA 1→，CB 1→〉的值为________．

3．如图所示，在空间直角坐标系中有直三棱柱ABC －A 1B 1C 1，

CA ＝CC 1＝2CB ，则直线BC 1与直线AB 1夹角的余弦值为________．

4．如图，过正方形ABCD 的顶点A ，引P A ⊥平面ABCD .若P A ＝BA ，

则平面ABP 和平面CDP 所成的锐二面角的大小是________．

三、典型例题

探究点一利用向量法求异面直线所成的角

例1 已知直三棱柱ABC —A 1B 1C 1，∠ACB ＝90°，CA ＝CB ＝CC 1，D 为B 1C 1的中点，求异面直线BD 和A 1C 所成角的余弦值．

探究点二利用向量法求直线与平面所成的角

例2 如图，已知平面ABCD ⊥平面DCEF ，M ，N 分别为AB ，DF 的中点，求直线MN 与平面DCEF 所成的角的正弦值．

探究点三利用向量法求二面角

例3 如图，ABCD 是直角梯形，∠BAD ＝90°，SA ⊥平面ABCD ，SA ＝BC ＝BA ＝1，AD ＝12

，求面SCD 与面SBA 所成角的余弦值大小．

探究点四综合应用

例4 如图所示，在三棱锥A —BCD 中，侧面ABD 、ACD 是全等的直角三角形，AD 是

公共的斜边，且AD ＝3，BD ＝CD ＝1，另一个侧面ABC 是正三角形．

(1)求证：AD ⊥BC ；

(2)求二面角B －AC －D 的余弦值；

(3)在线段AC 上是否存在一点E ，使ED 与面BCD 成30°角？若存在，确定点E 的位置；若不存在，说明理由．

四、课后练习一、填空题(每小题6分，共48分)

1．在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，M 是AB 的中点，则sin 〈DB 1→，CM →〉的值等于________．

2．已知长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝BC ＝1，AA 1＝2，E 是侧棱BB 1的中点，则直线AE 与平面A 1ED 1所成的角的大小为________．

3．如图，在正四面体ABCD 中，E 、F 分别是BC 和AD 的中点，则AE 与CF 所成的角的余弦值为________．

4．(2011·南通模拟) 如图所示，在长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，已知B 1C ，C 1D 与上底面

A 1

B 1

C 1

D 1所成的角分别为60°和45°，则异面直线B 1C 和C 1D 所成的余弦值为________．

5．P 是二面角α—AB —β棱上的一点，分别在α、β平面上引射线PM 、PN ，如果∠BPM

＝∠BPN ＝45°，∠MPN ＝60°，那么二面角α—AB —β的大小为________．

6．(2011·无锡模拟)已知正四棱锥P —ABCD 的棱长都相等，侧棱PB 、PD 的中点分别为M 、N ，则截面AMN 与底面ABCD 所成的二面角的余弦值是________．

7．如图，P A⊥平面ABC，∠ACB＝90°且P A＝AC＝BC＝a，则异面直线PB与AC所成角的正切值等于________．

8．如图，已知正三棱柱ABC—A1B1C1的所有棱长都相等，D是A1C1的中点，则直线AD 与平面B1DC所成的角的正弦值为________．

二、解答题(共42分)

9．(14分) 如图所示，AF、DE分别是⊙O、⊙O1的直径，AD与两圆所在的平面均垂直，AD＝8.BC是⊙O的直径，AB＝AC＝6，OE∥AD.

(1)求二面角B－AD－F的大小；

(2)求直线BD与EF所成的角的余弦值．

10．(14分)(2011·大纲全国，19)如图，四棱锥S－ABCD中，AB∥CD，BC⊥CD，侧面SAB为等边三角形，AB＝BC＝2，CD＝SD＝1.

(1)证明：SD⊥平面SAB；

(2)求AB与平面SBC所成角的正弦值．

11．(14分)(2011·湖北，18)如图，已知正三棱柱ABC－A1B1C1各棱长都是4，E是BC的

中点，动点F在侧棱CC1上，且不与点C重合．

(1)当CF＝1时，求证：EF⊥A1C；

(2)设二面角C－AF－E的大小为θ，求tan θ的最小值．

2014年高三数学选择题专题训练(12套)有答案

高三数学选择题专题训练（一） 1．已知集合{}1),(≤+=y x y x P ，{ }1),(22≤+=y x y x Q ，则有（） A ．Q P ?≠ B ．Q P = C ．P Q P = D ．Q Q P = 2．函数11)(+-=x x e e x f 的反函数是（） A ．)11( 11)(1<<-+-=-x x x Ln x f B ．)11(11)(1-<>+-=-x x x x Ln x f 或 C ．)11( 11)(1 <<--+=-x x x Ln x f D ．)11(11)(1-<>-+=-x x x x Ln x f 或 3．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，369-=S ，10413-=S ，等比数列{}n b 中，55a b =，77a b =，则6b 的值（） A ．24 B ．24- C ．24± D ．无法确定 4．若α、β是两个不重合的平面，、m 是两条不重合的直线，则α∥β的一个充分而非必要条件是（） A ． αα??m 且 ∥β m ∥β B ．βα??m 且 ∥m C ．βα⊥⊥m 且 ∥m D ． ∥α m ∥β 且 ∥m 5．已知n n n x a x a a x x x +++=++++++ 102)1()1()1(，若n a a a n -=+++-509121，则n 的值（） A ．7 B ．8 C ．9 D ．10 6．已知O ，A ，M ，B 为平面上四点，则)1(λλ-+=，)2,1(∈λ，则（） A ．点M 在线段A B 上 B ．点B 在线段AM 上 C ．点A 在线段BM 上 D ．O ，A ，M ，B 四点共线 7．若A 为抛物线24 1x y = 的顶点，过抛物线焦点的直线交抛物线于B 、C 两点，则AC AB ?等于（） A ．31- B ．3- C ．3 D ．43- 8．用四种不同颜色给正方体1111D C B A ABCD -的六个面涂色，要求相邻两个面涂不同的颜色，则共有涂色方法（） A ．24种 B ．72种 C ．96种 D ．48种 9．若函数x x a y 2cos 2sin -=的图象关于直线π8 7=x 对称，那么a 的值（） A ．2 B ．2- C ．1 D ．1-

高考——空间向量与立体几何(理科)

第14讲空间向量与立体几何知识要点? 一.空间向量 1. 空间向量的概念:在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量。注:(1）向量一般用有向线段表示同向等长的有向线段表示同一或相等的向量。（2）向量具有平移不变性 2．空间向量的运算。定义:与平面向量运算一样，空间向量的加法、减法与数乘运算如下(如图)。 +=+=; b a OB OA BA -=-=; 运算律：⑴加法交换律：a b b a +=+ ⑵加法结合律：)()(c b a c b a ++=++ ⑶数乘分配律：b a b a λλλ+=+)( 运算法则:三角形法则、平行四边形法则、平行六面体法则 3. 共线向量。（1)如果表示空间向量的有向线段所在的直线平行或重合,那么这些向量也叫做共线向量或平行向量，a 平行于b ,记作 b a //。（２)共线向量定理:空间任意两个向量a 、b (b ≠0 ),a //b 存在实数λ，使a =λb 。 (3)三点共线：A 、B 、C 三点共线＜＝> AC AB λ= <＝>y x += （1=+y x 其中）（4）与共线的单位向量为a a ± ４．共面向量 (1）定义：一般地，能平移到同一平面内的向量叫做共面向量。说明:空间任意的两向量都是共面的。

（2)共面向量定理：如果两个向量,a b 不共线，p 与向量,a b 共面的条件是存在实数 ,x y 使 p xa yb =+。 (３）四点共面：若A 、Ｂ、C 、P 四点共面<=＞y x += <=＞ )1(=++++=z y x OC z OB y OA x OP 其中 5. 空间向量基本定理：如果三个向量,,a b c 不共面，那么对空间任一向量p ，存在一个唯一的有序实数组,,x y z ,使p xa yb zc =++。若三向量 ,,a b c 不共面,我们把{,,}a b c 叫做空间的一个基底，,,a b c 叫做基向量，空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底。推论：设,,,O A B C 是不共面的四点，则对空间任一点P ，都存在唯一的三个有序实数,,x y z , 使z y x ++= 。 6. 空间向量的直角坐标系: （1)空间直角坐标系中的坐标: 在空间直角坐标系O xyz - 中,对空间任一点A ,存在唯一的有序实数组 (,,)x y z ,zk yi xi OA ++=，有序实数组(,,)x y z 叫作向量A 在空间直角坐标系O xyz -中的坐标，记作(,,)A x y z ,x 叫横坐标,y 叫纵坐标，z 叫竖坐标。注：①点A （x,y,z ）关于x 轴的的对称点为(x ，－y,-ｚ),关于ｘoy 平面的对称点为(x,y,－z)．即点关于什么轴/平面对称,什么坐标不变,其余的分坐标均相反。②在y 轴上的点设为(0，ｙ,０)，在平面yO ｚ中的点设为(0，y,z) （2)若空间的一个基底的三个基向量互相垂直,且长为1,这个基底叫单位正交基底，用 {,,}i j k 表示。空间中任一向量 k z j y i x a ++=＝（x ，y,ｚ) （3）空间向量的直角坐标运算律: ①若123(,,)a a a a =,123(,,)b b b b =,则112233(,,)a b a b a b a b +=+++,

平面向量及空间向量高考数学专题训练

平面向量及空间向量高考数学专题训练（四）一、选择题（本大题共12小题，每小题分6，共72分） 1．设-=1(a cos α,3), (=b sin )3,α,且a ∥b ，则锐角α为（） A. 6π B. 4π C. 3 π D. 125π 2．已知点)0,2(-A 、)0,3(B ，动点2),(x y x P =?满足，则点P 的轨迹是（） A. 圆 B. 椭圆 C. 双曲线 D. 抛物线 3．已知向量值是相互垂直，则与且k b a b a k b a -+-==2),2,0,1(),0,1,1(（） A. 1 B. 51 C. 53 D. 5 7 4．已知b a ,是非零向量且满足的夹角是与则b a b a b a b a ,)2(,)2(⊥-⊥-（） A. 6π B. 3 π C. 32π D. 65π 5．将函数y=sinx 的图像上各点按向量=a （2,3 π ）平移，再将所得图像上各点的横坐标变为原来的2倍，则所得图像的解析式可以写成（） A.y=sin(2x+ 3π)+2 B.y=sin(2x －3 π )－2 C.y=(321π+x )－2 D.y=sin(321π-x )+2 6．若A,B 两点的坐标是A(3φcos ,3φsin ,1),B(2,cos θ2,sin θ1),||的取值范围是( ) A. [0,5] B. [1,5] C. (1,5) D. [1,25] 7．从点A(2,－1,7)沿向量)12,9,8(-=a 方向取线段长|AB|=34,则点B 的坐标为（） A.(-9,-7,7) B. (-9,-7,7) 或(9,7,-7) C. (18,17,-17) D. (18,17,-17)或(-18,-17,17) 8．平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知两点A(3, 1)， B(-1, 3)，若点C 满足 =OB OA βα+, 其中α、β∈R 且α+β=1, 则点C 的轨迹方程为 ( ) A.01123=-+y x B.5)2()1(2 2 =-+-y x C. 02=-y x D. 052=-+y x 9．已知空间四边形ABCD 的每条边和对角线的长都等于m ，点E ，F 分别是BC ，AD 的中点，则?的值为（） A.2 m B. 212m C. 4 1 2m D. 432m 10．O 为空间中一定点，动点P 在A,B,C 三点确定的平面内且满足)()(-?-=0,

高中数学：空间向量

空间向量一、向量的基本概念与运算 1.定义：在空间内，把具有大小和方向的量叫空间向量，可用有向线段来表示．用同向且等长的有向线段表示同一向量或相等的向量． 2.零向量：起点与终点重合的向量叫做零向量，记为0或0． 3.书写：在手写向量时，在字母上方加上箭头，如a ，AB ． 4.模：表示向量a 的有向线段的长度叫做向量的长度或模，记作||a 5.方向：有向线段的方向表示向量的方向． 6.基线：有向线段所在的直线叫做向量的基线． 7.平行向量：如果空间中一些向量的基线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量．a 平行于b 记为a b ∥． 8.向量运算：与平面向量类似；二、空间向量的基本定理 1.共线向量定理：对空间两个向量a ，b （0b ≠），a b ∥的充要条件是存在实数x ，使a xb =． 2.共面向量：通常我们把平行于同一平面的向量，叫做共面向量． 3.共面向量定理：如果两个向量a ，b 不共线，则向量c 与向量a ，b 共面的充要条件是，存在唯一的一对实数x ，y ，使c xa yb =+． 4.空间向量分解定理：如果三个向量a ，b ，c 不共面，那么对空间任一向量p ，存在一个唯一的有序实数组x ，y ，z ，使p xa yb zc =++．表达式xa yb zc ++，叫做向量a ，b ，c 的线性表示式或线性组合．

注：上述定理中，a ，b ，c 叫做空间的一个基底，记作{}a b c ，，，其中a b c ，，都叫做基向量．由此定理知，空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底．三、向量的数量积 1.两个向量的夹角已知两个非零向量a b ，，在空间任取一点O ，作OA a =，OB b =，则AOB ∠叫做向量a 与b 的夹角，记作a b ??，．通常规定0πa b ??≤，≤．在这个规定下，两个向量的夹角就被唯一确定了，并且a b b a ??=??，，．如果90a b ??=，°，则称a 与b 互相垂直，记作a b ⊥． 2.两个向量的数量积已知空间两个向量a ，b ，定义它们的数量积（或内积）为：||||cos a b a b a b ?=??，空间两个向量的数量积具有如下性质： 1）||cos a e a a e ?=??，；（2）0a b a b ??=；（3）2||a a a =?；（4）a b a b ?||≤||||．空间两个向量的数量积满足如下运算律： 1）()()a b a b λλ?=?；（2）a b b a ?=?；（3）()a b c a c b c +?=?+?．四、空间向量的直角坐标运算前提：建立空间直角坐标系Oxyz ，分别沿x 轴，y 轴，z 轴的正方向引单位向量i j k ，，，这三个互相垂直的单位向量构成空间向量的一个基底{}i j k ，，，这个基底叫做单位正交基底．空间直角坐标系Oxyz ，也常说成空间直角坐标系[]O i j k ；，，． 1.坐标在空间直角坐标系中，已知任一向量a ，根据空间向量分解定理，存在唯一数组123()a a a ，，，使123a a i a j a k =++，1a i ，2a j ，3a k 分别叫做向量a 在i j k ，，方向上的分量，有序实数组123()a a a ，，叫做向量a 在此直角坐标系中的坐标．上式可以简记作123()a a a a =，，．若123()a a a a =，，，123()b b b b =，，，则：112233()a b a b a b a b +=+++，，；112233()a b a b a b a b -=---，，；

高考数学空间向量与立体几何总复习

空间向量与立体几何总复习一、知识网络构建二、课标及考纲要求

三、知识要点及考点精析（一）空间向量及其运算 1．空间向量的概念在空间，我们把具有大小和方向的量叫做空间向量，向量的大小叫做向量的长度或模．还需要掌握的几个相关的概念包括相等向量、零向量、共线向量等． 2．空间向量的线性运算（1）空间向量的加法、减法和数乘运算平面向量中的三角形法则和平行四边形法则同样适用于空间向量的加（减）法运算．加法运算对于有限个向量求和，交换相加向量的顺序其和不变．三个不共面的向量的和等于以这三个向量为邻边的平行六面体的对角线所表示的向量．加法和数乘运算满足运算律： ①交换律，即a +b =b +a ； ②结合律，即()()+=+a +b c a b+c ； ③分配律，即()λμλμ+a =a +a 及()λλλ=+a +b a b （其中λμ，均为实数）．（2）空间向量的基本定理 ① 共线向量定理：对空间向量，a b (0)≠，b a b ∥的充要条件是存在实数λ，使 λa =b ． ② 共面向量定理：如果空间向量，a b 不共线，则向量c 与向量a,b 共面的充要条件是，存在惟一的一对实数x y ，，使c =x y a +b ． ③ 空间向量基本定理：如果三个向量a , b , c 不共面，那么对空间任一向量p ，存在有序实数组x ，y ，z ，使x y z p =a+b+c ．其中{}，，a b c 是空间的一个基底，a , b , c 都叫做基向量，该定理可简述为：空间任一向量p 都可以用一个基底{}，，a b c 惟一线性表示（线性组合）．（3）两个向量的数量积两个向量的数量积是a ?b= |a||b|cos，数量积有如下性质： a , b , c