（一）对数
1．对数的概念：一般地，如果N a x
=)1,0(≠>a a ，那么数x 叫做以．a 为底．．N 的对数，记作：N x a log =（a — 底数，N — 真数，N a log — 对数式）
说明：○1 注意底数的限制0>a ，且1≠a ；○2 x N N a a x
=?=log ；
○
3 注意对数的书写格式．N a log 两个重要对数：○1 常用对数：以10为底的对数N lg ；
○
2 自然对数：以无理数 71828.2=e 为底的对数的对数N ln ． 指数式与对数式的互化
幂值 真数
（二）对数的运算性质
如果0>a ，且1≠a ，0>M ，0>N ，那么： ○
1 M a (log ·=)N M a log ＋N a log ； ○
2 =N
M
a log M a log －N a log ； ○
3 n a M log n =M a log )(R n ∈． 注意：换底公式a
b
b c c a log log log =
（0>a ，且1≠a ；0>c ，且1≠c ；0>b ）．
利用换底公式推导下面的结论 （1）b m
n
b a n a m log log =； （2）a b b a log 1log =．
（二）对数函数
1、对数函数的概念：函数0(log >=a x y a ，且)1≠a 叫做对数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是（0，+∞）． 注意：○1 对数函数的定义与指数函数类似，都是形式定义，注意辨别。如：x y 2log 2=，5
log 5x y = 都不是对数函数，而只能称其为对数型函数．
○
2 对数函数对底数的限制：0(>a ，且)1≠a ． 2
一.选择题
1．若3a =2,则log 38-2log 36用a 的代数式可表示为（ ） （A ）a-2 （B ）3a-(1+a)2 （C ）5a-2 （D ）3a-a 2
2.2log a (M-2N)=log a M+log a N,则N
M
的值为（ ） （A ）
4
1
（B ）4 （C ）1 （D ）4或1 3．已知x 2+y 2=1,x>0,y>0,且log a (1+x)=m,loga
y
a n x
log ,11则=-等于（ ） （A ）m+n （B ）m-n （C ）21(m+n) （D ）2
1
(m-n)
4.如果方程lg2x+(lg5+lg7)lgx+lg5·lg7=0的两根是α、β，则α·β的值是（ ） （A ）lg5·lg7 （B ）lg35 （C ）35 （D ）
35
1 5.已知log 7[log 3(log 2x)]=0，那么x 2
1-等于（ ）
（A ）
31
（B ）321 （C ）221 （D ）3
31 6．函数y=lg （
112
-+x
）的图像关于（ ） （A ）x 轴对称 （B ）y 轴对称 （C ）原点对称 （D ）直线y=x 对称 7．函数y=log (2x-1)23-x 的定义域是（ ）
（A ）（
32，1）?（1，+∞） （B ）（21
，1）?（1，+∞） （C ）（32，+∞） （D ）（2
1
，+∞）
8．函数y=log 2
1(x 2-6x+17)的值域是（ ）
（A ）R （B ）[8，+∞] （C ）（-∞，-3） （D ）[3，+∞] 9．函数y=log 2
1(2x 2-3x+1)的递减区间为（ ）
（A ）（1，+∞） （B ）（-∞，43］ （C ）（21，+∞） （D ）（-∞，2
1
］ 10．函数y=(
2
1)2x +1
+2,(x<0)的反函数为（ ） （A ）y=-)2(1log )
2(2
1
>--x x （B ）)2(1log )
2(2
1
>--x x
（C ）y=-)252(1log )
2(2
1
<<--x x （D ）y=-)252(1log )
2(2
1<<--x x
11.若log m 9 （A ）m>n>1 （B ）n>m>1 （C ）0 12.log a 13 2 <，则a 的取值范围是（ ） （A ）（0，32）?（1，+∞） （B ）（32 ，+∞） （C ）（1,32） （D ）（0，32）?（3 2 ，+∞） 13．若1 b x,c=log a x,则a,b, c 的关系是（ ） （A ）a 1(x+1)（B ）y=log 212-x （C ）y=log 2 x 1（D ）y=log 21(x 2-4x+5) 15.下列函数中，同时满足：有反函数，是奇函数，定义域和值域相同的函数是（ ） （A ）y=2x x e e -+（B ）y=lg x x +-11（C ）y=-x 3 （D ）y=x 16.已知函数y=log a (2-ax)在[0，1]上是x 的减函数，则a 的取值范围是（ ） （A ）（0，1） （B ）（1，2） （C ）（0，2） （D ）[2，+∞) 17．已知g(x)=log a 1+x (a>0且a ≠1)在（-1，0）上有g(x)>0，则f(x)=a 1 +x 是（ ） （A ）在（-∞，0）上的增函数 （B ）在（-∞，0）上的减函数 （C ）在（-∞，-1）上的增函数 （D ）在（-∞，-1）上的减函数 18．若0 （A ）M （C ）充要条件 （D ）既不充分也不必要条件 20．已知函数f(x)=x lg ,0 1．若log a 2=m,log a 3=n,a 2m+n = 。 2．函数y=log (x-1)(3-x)的定义域是 。 3．lg25+lg2lg50+(lg2)2= 。 4.函数f(x)=lg(x x -+12)是 （奇、偶）函数。 5．已知函数f(x)=log 0.5 (-x 2+4x+5),则f(3)与f （4）的大小关系为 。 6．函数y=log 2 1(x 2-5x+17)的值域为 。 7．函数y=lg(ax+1)的定义域为（-∞，1），则a= 。 8.若函数y=lg[x 2+(k+2)x+ 4 5 ]的定义域为R ，则k 的取值范围是 。 9．函数f(x)=x x 10110+的反函数是 。 10．已知函数f(x)=(2 1)x ,又定义在（-1，1）上的奇函数g(x)，当x>0时有g(x)=f -1（x ）,则当x<0时，g(x)= 。 三、解答题 1． 若f(x)=1+log x 3,g(x)=2log 2x ，试比较f(x)与g(x)的大小。 2． 已知函数f(x)=x x x x --+-10101010。 （1）判断f(x)的单调性； （2）求f -1(x)。 3． 已知x 满足不等式2(log 2x ）2-7log 2x+3≤0,求函数f(x)=log 24 log 22x x ?的最大值和最小值。 4． 已知函数f(x 2 -3)=lg 6 22 -x x , (1)f(x)的定义域； (2)判断f(x)的奇偶性； (3)求f(x)的反函数; (4)若f[)(x φ]=lgx,求)3(φ的值。 5． 设0 6． 已知函数f(x)=log 31 82 2+++x n x mx 的定义域为R ，值域为[0，2]，求m,n 的值。 7． 已知x>0,y ≥0,且x+2y=21 ,求g=log 2 1(8xy+4y 2+1)的最小值。 8．求函数)x |x lg(|x 4y 2 +-= 的定义域． 9．已知函数)ax 2(log y a -=在[0，1]上是减函数，求实数a 的取值范围． 10．已知)a 1x (log )x (f a -+=，求使f(x)>1的x 的值的集合． 对数与对数函数 二、填空题 1．12 2.{x 31< ? ??≠->->-110103x x x 解得1 4．奇 )(),()1lg(11lg )1lg()(222x f x f x x x x x x x f R x ∴-=-+-=-+=++=-∈且 为奇函数。 5．f(3) 设y=log 0.5u,u=-x 2+4x+5,由-x 2+4x+5>0解得-1 1单调递减，∴ y 3-≤ 7.-1 8.-2525-< <-k y=lg[x 2+(k+2)x+ 45]的定义域为R ，∴ x 2+(k+2)x+4 5 >0恒成立，则?（k+2）2-5<0,即k 2+4k-1<0,由此解得-5-2 )10(1<<-x x x y=x x 10 110+,则10x =∴-=<<∴>-,1lg ,10,01y y x y y y 又反函数为y=lg )10(1<<-x x x 10.-log 21 (-x) 已知f(x)=(21)x ,则f -1(x)=log 21x,∴当x>0时，g(x)=log 21 x,当x<0时，-x>0, ∴g(-x) =log 21(-x),又∵g(x)是奇函数，∴ g(x)=-log 2 1 (-x)(x<0) 三、解答题 1． f (x)-g(x)=log x 3x-log x 4=log x 4 3x . 当0 3 4 时，f(x)>g(x)。 2． （1）f(x)=),(,.,1 101 102122+∞-∞∈∈+-x x R x x x 设， ,且x 1 110)(110()1010(21101101101102121221 122222222++-=+--+-x x x x x x x x <0,(∵102x1<102x 2)∴f(x)为增函数。 （2）由y=1 1011022+-x x 得102x = .11y y -+ ∵102x >0, ∴-1 )1,1((11lg 21)(.11lg 211-∈-+=∴-+-x x x x f y y )。 3． 由2（log 2x ） 2 -7log 2x+3 ≤ 0解得 2 1 ≤ log 2x ≤ 3。∵ f(x)=log 2 )1(log 4 log 222-=?x x x (log 2x-2)=(log 2x-23)2-41,∴当log 2x=23时，f(x)取得最小值-41；当 log 2x=3时，f(x)取得最大值2。 4．（1）∵f(x 2 -3)=lg 3 )3(3 )3(22--+-x x ,∴f(x)=lg 33-+x x ,又由0622>-x x 得x 2-3>3,∴ f(x)的定义域为（3，+∞）。 （2）∵f(x)的定义域不关于原点对称，∴ f(x)为非奇非偶函数。 （3）由y=lg ,33-+x x 得x=110)110(3-+y y , x>3,解得y>0, ∴f -1 (x)=)0(1 10)110(3>-+x x x (4) ∵f[)3(φ]=lg 3lg 3)3(3)3(=-+φφ,∴33 )3(3 )3(=-+φφ，解得φ(3)=6。 5．∵a x x x a a lg )1lg()1(log )1(log -= +--- ) 1(log )1(log ,0)1(log )1(log ),1lg(,10)1lg(lg 1 lg )1lg(22x x a x x x x x a a x a a a +>->+--∴-<<-- =+即则 。 6．由 y=log 3 1 82 2 +++x n x mx ，得3y =1 822+-+x n x mx ，即（3y -m ）x 2-8x+3y -n=0. ∵x 64,=?∴∈R -4(3y -m)(3y -n)≥0，即32y -(m+n)·3y +mn-160≤。由02≤≤y ，得931≤≤y ，由根与系数的关系得? ???=-+=+91169 1mn n m ，解得m=n=5。 7．由已知x= 2 1 -2y>0,410<≤∴y ,由g=log 21(8xy+4y 2+1)=log 21(-12y 2+4y+1)=log 21 [-12(y-61)2+34],∴当y=61,g 的最小值为log 2 134 8．解：??????? ≠>≤≤-???? ??≠+>+≥-21x 0x 2 x 21x |x |0x |x |0x 42 ∴2x 2121x 0≤<<<或∴函数的定义域是] 221()210(，， ． 9．解：∵a 是对数的底数 ∴a>0且a≠1 ∴函数u ＝2－ax 是减函数 ∵函数)ax 2(log y a -=是减函数 ∴a>1(u log a 是增函数) ∵函数的定义域是 a 2x 0ax 2< ?>- ∴定义域是) a 2 (，-∞ ∵函数在区间[0，1]上有意义是减函数 ∴)a 2 (]10[，，-∞≠? ∴2a 1a 2 ∴1 10．解：f(x)>1即 1)a 1x (l o g a >-+ 当a>1时 ???->->??? ?>-+>-+1 a 2x 1 a x a a 1x 0a 1x ∴解为x>2a －1 当0 ? ?<-+>-+1a 2x 1 a x a a 1x 0a 1x ∵a －1<2a －1 ∴解为a －1 1．函数f (x )＝lg(x －1)＋4－x 的定义域为( ) A ．(1,4] B ．(1,4) C ．[1,4] D ．[1,4) 解析：选A.????? x －1>04－x ≥0 ，解得1 2.3对数函数 重难点：理解并掌握对数的概念以及对数式和指数式的相互转化，能应用对数运算性质及换底公式灵活地求值、化简；理解对数函数的定义、图象和性质，能利用对数函数单调性比较同底对数大小，了解对数函数的特性以及函数的通性在解决有关问题中的灵活应用． 考纲要求：①理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数；了解对数在简化运算中的作用； ②理解对数函数的概念；理解对数函数的单调性，掌握函数图像通过的特殊点； ③知道对数函数是一类重要的函数模型； ④了解指数函数与对数函数互为反函数． 经典例题：已知f（logax）=，其中a＞0，且a≠1． （1）求f（x）；（2）求证：f（x）是奇函数；（3）求证：f（x）在R上为增函数． 当堂练习： 1．若,则（） A．B．C．D． 2．设表示的小数部分，则的值是（） A．B．C．0 D． 3．函数的值域是（） A．B．[0,1] C．[0,D．{0} 4．设函数的取值范围为（） A．（－1，1）B．（－1，+∞）C．D． 5．已知函数，其反函数为，则是（） A．奇函数且在（0，＋∞）上单调递减B．偶函数且在（0，＋∞）上单调递增C．奇函数且在（-∞，0）上单调递减D．偶函数且在（-∞，0）上单调递增 6．计算= ． 7．若2.5x=1000,0.25y=1000,求． 8．函数f(x)的定义域为[0,1],则函数的定义域为． 9．已知y=loga(2－ax)在［0，1］上是x的减函数，则a的取值范围是． 10．函数图象恒过定点，若存在反函数，则的图象必过定点． 11．若集合{x，xy，lgxy}＝{0，|x|，y}，则log8（x2＋y2）的值为多少． 12．(1) 求函数在区间上的最值． (2)已知求函数的值域． 13．已知函数的图象关于原点对称．(1)求m的值； (2)判断f(x) 在上的单调性,并根据定义证明． 14．已知函数f(x)=x2－1(x≥1)的图象是C1，函数y=g(x)的图象C2与C1关于直线y=x对称． (1)求函数y=g(x)的解析式及定义域M； (2)对于函数y=h(x)，如果存在一个正的常数a，使得定义域A内的任意两个不等的值x1，x2都有|h(x1)－h(x2)|≤a|x1－x2|成立，则称函数y=h(x)为A的利普希茨Ⅰ类函数．试证明：y=g(x)是M上的利普希茨Ⅰ类函数． 参考答案： 一、指数的性质 （一）整数指数幂 1．整数指数幂概念： a n n a a a a 个???= )(* ∈N n ()010a a =≠ ()1 0,n n a a n N a -*= ≠∈ 2．整数指数幂的运算性质：（1）(),m n m n a a a m n Z +?=∈ （2）()(),n m mn a a m n Z =∈ （3）()()n n n ab a b n Z =?∈ 其中m n m n m n a a a a a --÷=?=， ()1n n n n n n a a a b a b b b --??=?=?= ??? ． 3．a 的n 次方根的概念 一般地，如果一个数的n 次方等于a ( )* ∈>N n n ,1，那么这个数叫做a 的n 次方根， 即： 若a x n =，则x 叫做a 的n 次方根， ()* ∈>N n n ,1 例如：27的3次方根3273=， 27-的3次方根3273-=-， 32的5次方根2325=， 32-的5次方根2325-=-． 说明：①若n 是奇数，则a 的n 次方根记作n a ； 若0>a 则0>n a ，若o a <则0 ⑤式子n a 叫根式，n 叫根指数，a 叫被开方数。 ∴ n a =． ． 4．a 的n 次方根的性质 一般地，若n 是奇数，则a a n n =； 若n 是偶数，则?? ?<-≥==0 0a a a a a a n n ． 5．例题分析： 例1．求下列各式的值： （1）() 338- （2） ()210- （3）()44 3π- （4） ()()b a b a >-2解：略。 例2．已知,0<N n n ,1， 化简：()()n n n n b a b a ++-． 解：当n 是奇数时，原式a b a b a 2)()(=++-= 当n 是偶数时，原式a b a a b b a b a 2)()(||||-=--+-=++-= 所以，()()n n n n b a b a ++-22a n a n ?=? -?为奇数 为偶数 ． 例3．计算：407407-++ 解：407407-++52)25()25(22=-++= 例4．求值： 54 925-+． 解：549 25-+4 25254 5 49252 ）（-+=-+= 452622525+=-+= 2 1 54152 += +=）（ （二）分数指数幂 1．分数指数幂： ()10 2 5 0a a a ==> ()124 3 0a a a ==> 即当根式的被开方数能被根指数整除时，根式可以写成分数指数幂的形式； 如果幂的运算性质（2）() n k kn a a =对分数指数幂也适用， 例如：若0a >，则3 223233a a a ???== ??? ，4 554544a a a ???== ???， 23a = 4 5 a =． 即当根式的被开方数不能被根指数整除时，根式也可以写成分数指数幂的形式。 规定：（1）正数的正分数指数幂的意义是)0,,,1m n a a m n N n *=>∈>； （2）正数的负分数指数幂的意义是)10,,,1m n m n a a m n N n a -* == >∈>． 2．分数指数幂的运算性质：整数指数幂的运算性质对于分数指数幂也同样适用 高一数学 对数与对数函数 一、 知识要点 1、 对数的概念 （1）、对数的概念： 一般地，如果 ()1,0≠>a a a 的b 次幂等于N, 就是 N a b =，那么数 b 叫做 以a 为底 N 的对数，记作 b N a =log ，a 叫做对数的底数，N 叫做真数 （2）、对数的运算性质： 如果 a > 0，a ≠ 1，M > 0， N > 0 有： ) ()() (3R)M(n nlog M log 2N log M log N M log 1N log M log (MN)log a n a a a a a a a ∈=-=+= （3）、重要的公式 ①、负数与零没有对数； ②、01log =a ，1log =a a ③、对数恒等式N a N a =log （4）、对数的换底公式及推论： I 、对数换底公式： a N N m m a log log log = ( a > 0 ,a ≠ 1 ，m > 0 ,m ≠ 1,N>0) II 、两个常用的推论: ①、1log log =?a b b a ， 1log log log =??a c b c b a ② 、b m n b a n a m log log =（ a, b > 0且均不为1） 佛山学习前线教育培训中心 2、 对数函数 （1）、对数函数的定义 函数x y a log =)10(≠>a a 且叫做对数函数； 它是指数函数x a y = )10(≠>a a 且的反函数对数函数x y a log = )10(≠>a a 且的定义域为),0(+∞，值域为),(+∞-∞ （2）、对数函数的图像与性质 log (01)a y x a a =>≠且的图象和性质 高中数学对数函数教案 数学对数函数教案【教学目标】 1.掌握对数函数的概念，图象和性质，且在掌握性质的基础上能进行初步的应用. (1)能在指数函数及反函数的概念的基础上理解对数函数的定义，了解对底数的要求，及对定义域的要求，能利用互为反函数的两个 函数图象间的关系正确描绘对数函数的图象. (2)能把握指数函数与对数函数的实质去研究认识对数函数的性质，初步学会用对数函数的性质解决简单的问题. 2.通过对数函数概念的学习，树立相互联系相互转化的观点，通过对数函数图象和性质的学习，渗透数形结合，分类讨论等思想， 注重培养学生的观察，分析，归纳等逻辑思维能力. 3.通过指数函数与对数函数在图象与性质上的对比，对学生进行对称美，简洁美等审美教育，调动学生学习数学的积极性. 数学对数函数教案【教学建议】 教材分析 (1)对数函数又是函数中一类重要的基本初等函数，它是在学生 已经学过对数与常用对数，反函数以及指数函数的基础上引入的.故 是对上述知识的应用，也是对函数这一重要数学思想的进一步认识 与理解.对数函数的概念，图象与性质的学习使学生的知识体系更加 完整，系统，同时又是对数和函数知识的拓展与延伸.它是解决有关 自然科学领域中实际问题的重要工具，是学生今后学习对数方程， 对数不等式的基础. (2)本节的教学重点是理解对数函数的定义，掌握对数函数的图 象性质.难点是利用指数函数的图象和性质得到对数函数的图象和性质.由于对数函数的概念是一个抽象的形式，学生不易理解，而且又 是建立在指数与对数关系和反函数概念的基础上，故应成为教学的 重点. (3)本节课的主线是对数函数是指数函数的反函数，所有的问题 都应围绕着这条主线展开.而通过互为反函数的两个函数的关系由已 知函数研究未知函数的性质，这种方法是第一次使用，学生不适应，把握不住关键，所以应是本节课的难点. 教法建议 (1)对数函数在引入时，就应从学生熟悉的指数问题出发，通过 对指数函数的认识逐步转化为对对数函数的认识，而且画对数函数 图象时，既要考虑到对底数的分类讨论而且对每一类问题也可以多 选几个不同的底，画在同一个坐标系内，便于观察图象的特征，找 出共性，归纳性质. (2)在本节课中结合对数函数教学的特点，一定要让学生动手做，动脑想，大胆猜，要以学生的研究为主，教师只是不断地反函数这 条主线引导学生思考的方向.这样既增强了学生的参与意识又教给他 们思考问题的方法，获取知识的途径，使学生学有所思，思有所得，练有所获，，从而提高学习兴趣. 数学对数函数教案【教学设计示例】 一.引入新课 一.对数函数的概念 1.定义：函数的反函数叫做对数函数. 由于定义就是从反函数角度给出的，所以下面我们的研究就从这个角度出发.如从定义中你能了解对数函数的什么性质吗?最初步的 认识是什么? 教师可提示学生从反函数的三定与三反去认识，从而找出对数函数的定义域为，对数函数的值域为，且底数就是指数函数中的，故 有着相同的限制条件. 在此基础上，我们将一起来研究对数函数的图像与性质. 专题：对数函数知识点总结 1.对数函数的定义： 一般地，函数 x y a log =( )叫做对数函数 .定义域是 2. 对数函数的性质为 思考：函数log a y x =与函数x y a =)10(≠>a a 且的定义域、值域之间有什么关系？ ___________________________________________________________________________ 对数函数的图象与指数函数的图象关于_______________对称。 一般的,函数y=a x 与y=log a x (a>0且a ≠1)互称相对应的反函数,它们的图象关于直线y=x 对称 y=f(x)存在反函数,一般将反函数记作y=f -1 (x) 如:f(x)=2x ,则f -1 (x)=log 2x,二者的定义域与值域对调,且图象关 于直线y=x 对称 函数与其反函数的定义域与值域对调,且它们的图象关于直线y=x 对称 专题应用练习 一、求下列函数的定义域 （1）0.2log (4);y x =-； （2）log 1a y x =- (0,1).a a >≠； （3）2(21)log (23)x y x x -=-++ （4）2log (43)y x =- (5) y=lg 1 1 -x (6) y=x 3log =log(5x-1)(7x-2)的定义域是________________ = )8lg(2x - 的定义域是_______________ 3.求函数2log (21)y x =+的定义域___________ 4.函数y=13 log (21)x -的定义域是 5.函数y ＝log 2(32－4x )的定义域是 ，值域是 . 6.函数5log (23)x y x -=-的定义域____________ 7.求函数2 log ()(0,1)a y x x a a =->≠的定义域和值域。 8.求下列函数的定义域、值域： （1）2log (3)y x =+； （2）2 2log (3)y x =-； （3）2log (47)a y x x =-+（0a >且1a ≠）． 9.函数f （x ）=x 1 ln （432322+--++-x x x x ）定义域 10.设f(x)=lg x x -+22,则f )2 ()2(x f x +的定义域为 11.函数f(x)=)1(lo g 1 |2|2---x x 的定义域为 12.函数f(x)= 2 29)2(1x x x g --的定义域为 ； 13.函数f （x ）= x 1 ln （432322+--++-x x x x ）的定义域为 14 2 2 2 log log log y x =的定义域是 1. 设f (x )＝lg(ax 2 －2x ＋a ), (1) 如果f (x )的定义域是(－∞, ＋∞)，求a 的取值围； (2) 如果f (x )的值域是(－∞, ＋∞)，求a 的取值围． 15.已知函数)32(log )(22 1+-=ax x x f （1）若函数的定义域为R ，数a 的取值围 （2）若函数的值域为R ，数a 的取值围 漯河体校师生共用教学案【43】 高一必修一 科目：数学 执笔：张亚丽 审核：数学组 内容:第二章 基本初等函数 课型：复习 学法：议展点练 时间：2014-12-1 教学目标： 1．全面认识和理解指数函数、对数函数的概念与基本性质，了解五种幂函数；并且能够清晰明辨三类函数，弄清它们的区别与联系； 教学重难点： 1．会运用三种函数解决一些相关的实际问题以及较简单综合问题； 2．会利用方程函数、数形结合、转化等数学思想方法解决与三类初等函数有关的问题； 3．在解题过程中引导学生探究、提问，促使学生形成良好的学习习惯，养成积极向上的学习精神；通过对相关知识的简介，使学生了解数学问题的实际背景，从而增强学生学习数学的兴趣。 教学过程： 一、知识梳理： 二、指数的性质 （一）整数指数幂 1．整数指数幂概念： 43 421Λa n n a a a a 个???= )(* ∈N n ()010a a =≠ ()10,n n a a n N a -*= ≠∈ 2．整数指数幂的运算性质：（1）(),m n m n a a a m n Z +?=∈ （2）() (),n m mn a a m n Z =∈ （3）()()n n n ab a b n Z =?∈ 其中m n m n m n a a a a a --÷=?=， ()1n n n n n n a a a b a b b b --??=?=?= ??? ． 3．a 的n 次方根的概念 一般地，如果一个数的n 次方等于a ( )* ∈>N n n ,1，那么这个数叫做a 的n 次方根， 即： 若a x n =，则x 叫做a 的n 次方根， ()* ∈>N n n ,1 说明：①若n 是奇数，则a 的n 次方根记作n a ； 若0>a 则0>n a ，若o a <则0 高一数学对数函数经典练习题 一、选择题：（本题共12小题，每小题4分，共48分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1、已知32a =，那么33log 82log 6-用a 表示是（ ） A 、2a - B 、52a - C 、2 3(1)a a -+ D 、 2 3a a - 答案A 。 ∵3a =2→∴a=log 32 则: log 38-2log 36=log 323 -2log 3(2*3) =3log 32-2[log 32+log 33] =3a-2(a+1) =a-2 2、2log (2)log log a a a M N M N -=+，则 N M 的值为（ ） A 、41 B 、4 C 、1 D 、4或1 答案B 。 ∵2log a (M-2N ）=log a M+log a N ， ∴log a (M-2N)2=log a (MN ），∴（M-2N)2 =MN ， ∴M 2-4MN+4N 2=MN ，→m 2-5mn+4n 2=0（两边同除n 2）→(n m )2 -5n m +4=0,设x=n m →x 2-5x+4=0→(x 2 ???==1x x 又∵2log (2)log log a a a M N M N -=+，看出M-2N>0 M>0 N>0 ∴n m =1答案为：4 3、已知2 2 1,0,0x y x y +=>>，且1 log (1),log ,log 1y a a a x m n x +==-则等于（ ） A 、m n + B 、m n - C 、()12m n + D 、()1 2 m n - 答案D 。 ∵loga(1+x)=m loga [1/(1-x)]=n ，loga(1-x)=-n 两式相加得：→ loga [(1+x)(1-x)]=m-n →loga(1-x 2)=m-n →∵ x 2+y 2=1，x>0，y>0, → y 2=1- x 2→loga(y 2)=m-n 对数与对数函数 1.对数 （1）对数的定义： 如果a b =N （a ＞0，a ≠1），那么b 叫做以a 为底N 的对数，记作log a N =b . （2）指数式与对数式的关系：a b =N log a N =b （a ＞0，a ≠1，N ＞0）.两个式子表示的a 、b 、N 三个数之间的关系是一样的，并且可以互化. （3）对数运算性质: ①log a （MN ）=log a M +log a N . ②log a N M =log a M －log a N . ③log a M n =n log a M .（M ＞0，N ＞0，a ＞0，a ≠1） ④对数换底公式：log b N =b N a a log log （a ＞0，a ≠1， b ＞0，b ≠1，N ＞0）. 2.对数函数 （1）对数函数的定义 函数y =log a x （a ＞0，a ≠1）叫做对数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是（0，+∞）. 注意：真数式子没根号那就只要求真数式大于零,如果有根号,要求真数大于零还要保证根号里的式子大于零，底数则要大于0且不为1 对数函数的底数为什么要大于0且不为1呢？ 在一个普通对数式里 a<0,或=1 的时候是会有相应b 的值的。但是，根据对数定义: log a a=1；如果a=1或=0那么log a a 就可以等于一切实 数（比如log 1 1也可以等于2，3，4，5，等等）第二，根据定义运算公式：log a M^n = nlog a M 如果a<0,那么这个等式两边就不会成立 （比如，log (-2) 4^(-2) 就不等于(-2)*log (-2) 4；一个等于1/16，另一个等于-1/16） （2）对数函数的图象 x y > O x y 《指数函数与对数函数》练习 一、选择题 1、函数x x a a x f 2211)(-+=（0>a 且1≠a ），则函数)(x f 是（ ） A ．奇函数 B ．偶函数 C ．非奇非偶函数 D ．既是奇函数又是偶函数 2、设p =2log 8，q =5log 8，用p 、q 表示5lg 式子是（ ） A ．pq B ． q p q + C ．q p pq ++1 D ．pq pq +1 3.下列运算错误的是( ) A.1 (0)n n a a a -=≠ B.()n n n ab a b = C.()m n mn a a = D.01a = 4、若()[]1log log log 222=x ，则x =（ ） A ．0 B ．2 C ．8 D ．16 5、已知1>a ，1-≤=) 0(log )0(3)(2x x x x f x ，那么)]41 ([f f 的值为 ( ) A.9 B.91 C.9- D.91 - 9.函数2()(1)x f x a =-在R 上是减函数，则a 的取值范围是（ ） A.1>a B.a > C.a < D.1a << 10.若2lg(2)lg lg x y x y -=+,则2 log x y 的值为( ) 一．指数函数与对数函数 1．求下列函数的定义域、值域： （1）1218 x y -= （2）y =（3）2x 2x 3y -= 2．设a 是实数，2()()21 x f x a x R =- ∈+， （1）试证明：对于任意,()a f x 在R 为增函数； （2）试确定a 的值，使()f x 为奇函数。 3．函数f (x )＝x 21-的定义域是（ ） A ．(－∞，0] B ．[0，＋∞) C ．（－∞，0） D ．（－∞，＋∞） 4．函数y ＝－e x 的图象（ ） （A ）与y ＝e x 的图象关于y 轴对称 (B)与y ＝e x 的图象关于坐标原点对称 （C ）与y ＝e －x 的图象关于y 轴对称 (D)与y ＝e －x 的图象关于坐标原点对称 5．函数x a y =在]1,0[上的最大值与最小值这和为3，则a ＝（ ） （A ） 21 （B ）2 （C ）4 （D ）41 6．方程0224=-+x x 的解是__________． 7．设2()lg()1f x a x =+-是奇函数，则使()0f x <的x 的取值范围是（ ） A ．(1,0)- B ．(0,1) C ．(,0)-∞ D ．(,0)(1,)-∞+∞ 8．下面不等式成立的是( ) A ．322log 2log 3log 5<< B ．3log 5log 2log 223<< C ．5log 2log 3log 232<< D ．2log 5log 3log 322<< 9．函数2log (4)(0)y x x =+>的反函数是（ ） A ．24(2)x y x =+> B ．24(0)x y x =+> C ．24(2)x y x =-> D ．24(0)x y x =-> 10．函数212log (56)y x x =-+的单调增区间为（ ） A ．52??+∞ ???， B ．(3)+∞， C ．52??-∞ ???， D ．(2)-∞， 对数函数的图象及性质例题解析 题型一 判断对数函数 【例1】函数f (x )＝(a 2－a ＋1)log (a ＋1)x 是对数函数，则实数a ＝__________． 解析：由a 2－a ＋1＝1，解得a ＝0,1． 又a ＋1＞0，且a ＋1≠1，∴a ＝1． 【例1－1】下列函数中是对数函数的为__________． （1）y ＝log a ＞0，且a ≠1)；(2)y ＝log 2x ＋2；(3)y ＝8log 2(x ＋1)； (4)y ＝log x 6(x ＞0，且x ≠1)；(5)y ＝log 6x ． 解析： 题型二 【例2】如图所示的曲线是对数函数y ＝log a x 的图象．已知a ， 43，35，110 中取值，则相应曲线C 1，C 2，C 3，C 4的a 值依次为( ) A 43，35，110 B ，43，110，35 C ．43，35，110 D ．43110，35 解析：由底数对对数函数图象的影响这一性质可知，C 4的底数＜C 3的底数＜C 2的底数＜C 1 的底数．故相应于曲线C 1，C 2，C 3，C 443，35，110 ．答案：A 点技巧 作直线y ＝1，它与各曲线的交点的横坐标就是各对数的底数，由此判断各底数的大小． 题型三 对数型函数的定义域的求解 (1)对数函数的定义域为(0，＋∞)． (2)在求对数型函数的定义域时，要考虑到真数大于0，底数大于0，且不等于1． 若底数和真数中都含有变量，或式子中含有分式、根式等，在解答问题时需要保证各个方面都有意义． (3)求函数的定义域应满足以下原则： ①分式中分母不等于零； ②偶次根式中被开方数大于或等于零； ③指数为零的幂的底数不等于零； ④对数的底数大于零且不等于1； 对数函数 典例分析 题型一 对数函数的基本性质 【例1】 下面结论中，不正确的是 A.若a ＞1，则x y a =与log a y x =在定义域内均为增函数 B.函数3x y =与3log y x =图象关于直线y x =对称 C.2log a y x =与2log a y x =表示同一函数 D.若01,01a m n <<<<<，则一定有log log 0a a m n >> 【例2】 图中的曲线是log a y x =的图象，已知a 的值为2， 43，310，1 5 ，则相应曲线1234,,,C C C C 的a 依次为（ ）. A. 2， 43，15，310 B. 2，43，310，1 5 C. 15，310，43，2 D. 43，2，310，1 5 【例3】 当01a <<时,在同一坐标系中,函数log x a y a y x -==与的图象是（ ）. A B C D 【例4】 设1a >，函数()log a f x x =在区间[]2a a ， 上的最大值与最小值之差为1 2 ，则a =（ ）. A.2 B. 2 C. 22 D. 4 0 x C 1 C 2 C 4 C 3 1 y x y 1 1 o x y o 1 1 o y x 1 1 o y x 1 1 【例5】 若23 log 1a <，则a 的取值范围是 A.2 03a << B.23 a > C.2 13 a << D.2 03 a << 或a ＞1 【例6】 比较两个对数值的大小：ln7 ln12 ； 0.5log 0.7 0.5log 0.8. 【例7】 若log 9log 90m n <<，那么,m n 满足的条件是（ ）. A. 1m n >> B. 1n m >> C. 01n m <<< D. 01m n <<< 【例8】 已知1112 2 2 log log log b a c <<，则（） A.222b a c >> B.222a b c >> C.222c b a >> D.222c a b >> 【例9】 下列各式错误的是（ ）. A. 0.80.733> B. 0.10.10.750.75-< C. 0..50..5log 0.4log 0.6> D. lg1.6lg1.4>. 【例10】 下列大小关系正确的是（ ）. A. 30.440.43log 0.3<< B. 30.440.4log 0.33<< C. 30.44log 0.30.43<< D. 0.434log 0.330.4<< 【例11】 a 、b 、c 是图中三个对数函数的底数，它们的大小关系是 A.c ＞a ＞b B.c ＞b ＞a C.a ＞b ＞c D.b ＞a ＞c 【例12】 指数函数(0,1)x y a a a =>≠的图象与对数函数log (0,1)a y x a a =>≠的图象有 何关系？ 高中数学学习材料 金戈铁骑整理制作 高一数学 对数与对数函数练习题 一、选择题 1．若1)(log log 23=x ，则x 等于（ ） A ．2 B ． 8 1 C ．8 D ． 2 1 2．方程4 1 2 3lo g = x 的解是（ ） A ．91= x B ．3 3= x C ．3=x D ．9=x 3．已知n m a a ==3log ,2log ，则n m a +2＝（ ） A ．5 B ．7 C ．10 D ．12 4．化简：3 1 log 43log 4)3(log 2 22 2++-，得（ ） A ．2 B ．3log 222- C ．－2 D ．23log 22- 5．计算：81log 16log 89?的值为（ ） A ．18 B ．18 1 C ．3 8 D ．8 3 6．函数x x x f -+-=4)1lg()(的定义域为（ ） A ．]4,1( B ．（1,4） C ．［1,4］ D ．)4,1[ 7．在同一坐标系中，函数x y 3log =与x y 3 1log =的图象之间的关系是（ ） A ．关于y 轴对称 B ．关于x 轴对称 C ．关于原点对称 D ．关于直线x y =对称 8．函数|log |2x y =的图象是图中的（ ） 9．若函数)(log )(b x x f a +=的图象如图，其中b a ,为常数，则函数b a x g x +=)(的图象大致是（ ） 10．若集合}2 1 log |{2 1≥=x x A ，则A C R 等于（ ） A ．),2 2 ( ]0,(+∞-∞ B ．),22 ( +∞ C ．),2 2 []0,(+∞-∞ D ．),2 2 [ +∞ 11．设2log ,3log ,log 323===c b a π，则（ ） A ．c b a >> B ．b c a >> C ．c a b >> D ．a c b >> 12．函数)11lg( )(2 x x x f ++=的奇偶性是（ ） A ．奇函数 B ．偶函数 C ．即奇又偶函数 D ．非奇非偶函数 13．函数)124(log 23 1++-=x x y 的单调递减区间是（ ） A ．)2,(-∞ B ．),2(+∞ C ．（－2,2） D ．（－2,6） 14．设14log ,10log ,6log 753===c b a ，则（ ） A ．a b c >> B ．a c b >> C ．b c a >> D ．c b a >> 15．已知函数)(x f 是定义在R 上的偶函数，且在区间),0[+∞上单调递增，若实数a 满足)1(2)(log )(log 2 12f a f a f ≤+，则a 的取值范围是（ ） A ．]2,1[ B ．]2 1 ,0( C ．]2,2 1[ D ．]2,0( 16．化简)2log 2)(log 3log 3(log 9384++＝ . 17．若b a ==3lg ,2lg ，则12log 5等于 . 18．设函数 )10(log )(≠>=a a x x f a 且，若 8)(2 1421=???x x x f ，则 )()()(2 2014 2221x f x f x f +???++的值等于 . 19．已知定义域为R 的偶函数)(x f 在),0[+∞上是增函数，且0)2 1 (=f ，则不等 式0)(log 4 分数指数幂 1、用根式的形式表示下列各式)0(>a （1）5 1a = （2）32 a - = 2、用分数指数幂的形式表示下列各式： （1）3 4y x = （2）)0(2>=m m m 3、求下列各式的值 （1）2 325= （2）32 254- ?? ??? = 4、解下列方程 （1）13 1 8 x - = （2）151243 =-x 分数指数幂（第 9份）答案 1 2、33 2 22 ,x y m 3、（1）125 （2） 8125 4、（1）512 （2）16 指数函数（第 10份） 1、下列函数是指数函数的是 （ 填序号） （1）x y 4= （2）4 x y = （3）x y )4(-= （4）2 4x y =。 2、函数)1,0(12≠>=-a a a y x 的图象必过定点 。 3、若指数函数x a y )12(+=在R 上是增函数，求实数a 的取值范围 。 4、如果指数函数x a x f )1()(-=是R 上的单调减函数，那么a 取值范围是 （ ） A 、2a C 、21< 5、下列关系中，正确的是 （ ） A 、51 31 )21()21(> B 、2.01.022> C 、2 .01.022--> D 、11 5311()()22 - - > 6、比较下列各组数大小： （1）0.5 3.1 2.3 3.1 （2）0.3 23-?? ? ?? 0.24 23-?? ? ?? （3） 2.52.3- 0.10.2- 7、函数x x f 10)(=在区间[1-，2]上的最大值为 ，最小值为 。 函数x x f 1.0)(=在区间[1-，2]上的最大值为 ，最小值为 。 8、求满足下列条件的实数x 的范围： （1）82>x （2）2.05 对数及对数函数 1、对数的基本概念 （1）一般地，如果a （1,0≠>a a ）的b 次幂等于N ，就是N a b =，那么数b 叫做以a 为底N 的对 数， 记作b N a =log ，其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数，式子N a log 叫做对数式 （2）常用对数：N 10log ，记作N lg ； 自然对数N e log （e =2.71828…），记作N ln . （3）指数式与对数式的关系：log x a a N x N =?=（0>a ，且1≠a ，0N >） （4）对数恒等式： 2、对数的性质 （1）负数和零没有对数，即0>N ； （2）1的对数是零，即01log =a ； （3）底的对数等于1，即1log =a a 3、对数的运算性质 （1）如果a ＞0，a ≠1，M ＞0，N ＞0，那么 ①N M MN a a a log log )(log +=； ②N M N M a a a log log log -=； ③M n M a n a log log = （2）换底公式： 推论：① b N N b log 1log = ； ② ； ③ 1log log =?a b b a 4、对数函数的定义： 函数 叫做对数函数，其中x 是自变量 （1）研究对数函数的图象与性质： 由于对数函数 与指数函数 互为反函数，所以 的图像和 的图像关于直线 对称。 （2）复习)10(≠>=a a a y x 且的图象和性质 ()010log >≠>=N a a N a N a ，且b N N a a b log log log = b m n b a n a m log log =a y log x =(a 0a 1)>≠且a y log x =x y a =a y log x =x y a =y x = 对数函数练习题 1、下列图像正确的是（ ） A B C D 2、若1()log (01),(2)1,()a f x x a a f f x -=>≠<且且则的图像是（ ） A B C D 3、函数y =)12(log 2 1-x 的定义域为（ ） A ．(21，＋∞) B ．［1，＋∞) C ．( 2 1，1] D ．(－∞，1) 4、已知函数y =log 21 (ax 2＋2x ＋1)的值域为R ，则实数a 的取值范围是（ ） A ．a ＞ 1 B ．0≤a ＜ 1 C ．0＜a ＜1 D ．0≤a ≤1 5、lg(53++53-)的值为( ) A.1 B. 21 C.2 D.2 6、函数)2(x f y =的定义域为[1，2]，则函数)(log 2x f y =的定义域为 A ．[0，1] B ．[1，2] C ．[2，4] D ．[4，16] 7、若22log ()y x ax a =---在区间(,13)-∞-上是增函数，则a 的取值范围是（ ）A ．[23,2]- B ．)223,2?-? C ．(223,2?-? D ．()223,2- 8、若函数f （x ）=log a x （0 10、 已知函数2log ()3 x x f x ?=? ?(0)(0)x x >≤，则1[()]4f f 的值是 （ ） A ．9 B ．19 C ．－9 D ．－19 11、函数),1(,11ln +∞∈-+=x x x y 的反函数为 （ ） A.),0(,11+∞∈+-=x e e y x x B. ),0(,11+∞∈-+=x e e y x x C ．)0,(,11-∞∈+-=x e e y x x D. )0,(,11-∞∈-+=x e e y x x 12、计算：log 2.56.25＋lg 100 1＋ln e ＋3log 122+= 13、满足等式lg （x －1）+lg （x －2）=lg2的x 集合为______ ______ 14、若)10(15 3log ≠>--+=a a x x x f a a 且的奇偶性 17、若1)1(log )1(<-+k k ，则实数k 的取值范围是 18、函数y =(log 41x )2－log 4 1x 2＋5 在 2≤x ≤4时的值域为 19、求函数213 2log (32)y x x =-+的单调区间。 20、若函数22log ()y x ax a =--- 在区间(,1-∞-上是增函数，a 的取值范围。 21 、判断函数2()log )f x x =的奇偶性。 22、已知函数f (x )=lg[(a 2－1)x 2＋(a ＋1)x ＋1]，若f (x )的定义域为R ，求实数a 的取值范 围.对数函数及其性质练习题及答案解析
(完整word)高中数学必修一对数函数
《指数函数和对数函数》知识点汇总及习题详解)
(完整版)高一对数函数知识点总复习
高中数学对数函数教案
专题：对数函数知识点总结及类型题归纳
指数函数和对数函数复习
高一数学对数函数经典题及详细答案
对数与对数函数知识点及例题讲解
高中数学必修一 第四章指数对数函数练习题
经典高一数学_函数_指数和对数函数_强化练习题
对数函数图象及其性质知识点及例题解析
必修一对数函数
人教B版高中数学必修一高一 对数与对数函数练习题
高一数学指数函数对数函数幂函数练习含答案
对数及对数函数知识点总结及题型分析
最新高一数学必修一对数函数练习题
相关主题
文本预览