专题四：分类讨论思想在解题中的应用
一．知识探究：
分类讨论是一种重要的数学思想方法，当问题的对象不能进行统一研究时，就需要对研究的对象进行分类，然后对每一类分别研究，给出每一类的
结果，最终综合各类结果得到整个问题的解答。
1．有关分类讨论的数学问题需要运用分类讨论思想来解决，引起分类
讨论的原因大致可归纳为如下几种：
（1）涉及的数学概念是分类讨论的；如绝对值|a|的定义分a>0、a＝0、a<0三种情况。这种分类讨论题型可以称为概念型。
（2）运用的数学定理、公式、或运算性质、法则是分类给出的；如等
比数列的前n项和的公式，分q＝1和q≠1两种情况。这种分类讨论题型可
以称为性质型。
（3）求解的数学问题的结论有多种情况或多种可能性；
（4）数学问题中含有参变量，这些参变量的不同取值导致不同的结果的；如解不等式ax>2时分a>0、a＝0和a<0三种情况讨论。这称为含参型。
（5）较复杂或非常规的数学问题，需要采取分类讨论的解题策略来解
决的。
2．分类讨论是一种逻辑方法，在中学数学中有极广泛的应用。根据不
同标准可以有不同的分类方法，但分类必须从同一标准出发，做到不重复，不遗漏，包含各种情况，同时要有利于问题研究；
3．分类原则：（1）对所讨论的全域分类要“即不重复，也不遗漏”（2）在同一次讨论中只能按所确定的一个标准进行（3）对多级讨论，应逐级进行，不能越级；
4．分类方法：（1）概念和性质是分类的依据（2）按区域（定义域或值域）进行分类是基本方法（3）不定因素（条件或结论不唯一，数值大小的不确定，图形位置的不确定）是分类的突破口（4）二分发是分类讨论的利器（4）层次分明是分类讨论的基本要求；
5．讨论的基本步骤：（1）确定讨论的对象和讨论的范围（全域）（2）确定分类的标准，进行合理的分类（3）逐步讨论（必要时还得进行多级分类）
（4）总结概括，得出结论；
6．简化和避免分类讨论的优化策略：（1）直接回避。如运用反证法、求补法、消参法等方法有时可以避开烦琐讨论；（2）变更主元。如分离参数、变参置换，构造以讨论对象为变量的函数得便感形式解题时可避开讨论；（3）合理运算。如利用函数奇偶性、变量的对称轮换以及公式的合理选用等有时可以简化甚至避开讨论；（4）数形结合。利用函数图象、几何图形的直观性和对称特点有时可以简化甚至避开讨论。
二．命题趋势
分类讨论思想是一种重要的数学思想，它在人的思维发展中有着重要的作用，因此在近几年的高考试题中，他都被列为一种重要的思维方法来考察。
分类讨论是每年高考必考的内容，预测对本专题的考察为：将有一道中档或中档偏上的试题，其求解思路直接依赖于分类讨论，特别关注以下方面：涉及指数、对数底的讨论，含参数的一元二次不等式、等比数列求和，由n S 求n a 等。
三．例题点评
题型1：集合中分类讨论问题
1．已知集合M=｛a 2, a+1,－3｝, N=｛a －3, 2a －1, a 2+1｝, 若M ∩N=｛－3｝, 则a 的值（ ）
A ．－1
B ．0
C ．1
D ．2
2．设a R ∈，函数2()22.f x ax x a =--若()0f x >的解集为A ，{}|13,B x x A B φ=<<≠，求实数a 的取值范围。
题型2：函数、方程中分类讨论问题
3.在xoy 平面上给定曲线x y 22=。设点A 坐标为（a ，0），R a ∈。求曲线上的点到点A 距离的最小值d ，并写出)(a f d =的函数表达式。
题型3：解析几何中的分类讨论问题
4.一条直线过点（5，2），且在x轴，y轴上截距相等，求这直线方程。
5．已知直角坐标平面上点Q（2，0）和圆C：x2+y2=1，动点M到圆C的切线长与|MQ|的比等于常数λ（λ＞0）。求动点M的轨迹方程，说明它表示什么曲线。
6.设，问方程表示什么曲线？
k R k x k y k k
∈-+-=--
()()()()
8484
22
7.已知圆x2+y2=4，求经过点P（2，4），且与圆相切的直线方程。
题型4：不等式中分类讨论问题
8．解不等式()()
x a x a
a
+-
+
46
21
>0 (a为常数，a≠－
1
2
)
9．解关于的不等式：x ax a x 2110-++<()
10.解关于的不等式：x log ()a x
111->
11.解不等式542--≥x x x
。
题型5：数列中分类讨论问题
12．设{a n }是由正数组成的等比数列，S n 是前n 项和。
①. 证明： lg lg S S n n ++22
＝lg （S n +1－c ）成立？并证明结论。
13.已知等比数列的前n 项之和为n S ，前n+1项之和为1n S +，公比q>0，令
T S S n T n n n n =→∞+1
，求lim 。
14．在等差数列{}n a 中，11a =，前n 项和n S 满足条件242,1,2,1n n S n n S n +==+，（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）记(0)n a n n b a p p =>，求数列{}n b 的前n 项和n T 。
题型6：三角函数与三角形中分类讨论问题
15．?ABC A B C 中，已知，，求sin cos cos =
=12513
.
16．若函数f(x)=a+bcosx+csinx 的图象经过点(0，1)和]2
[0,x ),1,2(π∈π且时，|f(x)|≤2恒成立，求实数a 的取值范围。
题型7：实际问题中分类讨论问题
17．某城市用水收费方法是：水费=基本费+超额费+排污费，若每月水量不超过最低限量am 3时，只付基本费8元和每户每定额排污费c 元；若用水量超过am 3时，除了付给同上的基本费和排污费外，超过部分每方米付b 元的超额费．已知每户每月的排污费不超过4元，该市一家庭今年第一季度的用水量和支付费用如下表所示：
18. 某车间有10名工人，其中4人仅会车工，3人仅会钳工，另外三人车工钳工都会，现需选出6人完成一件工作，需要车工，钳工各3人，问有多少种选派方案？
分类讨论思想
第三讲分类讨论思想 [思想方法解读]分类讨论思想是一种重要的数学思想方法，其基本思路是将一个较复杂的数学问题分解(或分割)成若干个基础性问题，通过对基础性问题的解答来实现解决原问题的思想策略. 1.中学数学中可能引起分类讨论的因素： (1)由数学概念而引起的分类讨论：如绝对值的定义、不等式的定义、二次函数的定义、直线的倾斜角等. (2)由数学运算要求而引起的分类讨论：如除法运算中除数不为零，偶次方根为非负数，对数运算中真数与底数的要求，指数运算中底数的要求，不等式中两边同乘以一个正数、负数，三角函数的定义域，等比数列{a n}的前n项和公式等. (3)由性质、定理、公式的限制而引起的分类讨论：如函数的单调性、基本不等式等. (4)由图形的不确定性而引起的分类讨论：如二次函数图象、指数函数图象、对数函数图象等. (5)由参数的变化而引起的分类讨论：如某些含有参数的问题，由于参数的取值不同会导致所得的
结果不同，或者由于对不同的参数值要运用不同的求解或证明方法等. 2.进行分类讨论要遵循的原则是：分类的对象是确定的，标准是统一的，不遗漏、不重复，科学地划分，分清主次，不越级讨论.其中最重要的一条是“不重不漏”. 3.解答分类讨论问题时的基本方法和步骤是：首先要确定讨论对象以及所讨论对象的全体的范围；其次确定分类标准，正确进行合理分类，即标准统一、不重不漏、分类互斥(没有重复)；再对所分类逐步进行讨论，分级进行，获取阶段性结果；最后进行归纳小结，综合得出结论. 常考题型精析 题型一由概念、公式、法则、计算性质引起的分类讨论 例1设集合A＝{x∈R|x2＋4x＝0}，B＝{x∈R|x2＋2(a＋1)x＋a2－1＝0，a∈R}，若B?A，求实数a的取值范围.
专题四：分类讨论思想在解题中的应用 一．知识探究： 分类讨论是一种重要的数学思想方法，当问题的对象不能进行统一研究时，就需要对研究的对象进行分类，然后对每一类分别研究，给出每一类的 结果，最终综合各类结果得到整个问题的解答。 1．有关分类讨论的数学问题需要运用分类讨论思想来解决，引起分类 讨论的原因大致可归纳为如下几种： （1）涉及的数学概念是分类讨论的；如绝对值|a|的定义分a>0、a＝0、a<0三种情况。这种分类讨论题型可以称为概念型。 （2）运用的数学定理、公式、或运算性质、法则是分类给出的；如等 比数列的前n项和的公式，分q＝1和q≠1两种情况。这种分类讨论题型可 以称为性质型。 （3）求解的数学问题的结论有多种情况或多种可能性； （4）数学问题中含有参变量，这些参变量的不同取值导致不同的结果的；如解不等式ax>2时分a>0、a＝0和a<0三种情况讨论。这称为含参型。 （5）较复杂或非常规的数学问题，需要采取分类讨论的解题策略来解 决的。 2．分类讨论是一种逻辑方法，在中学数学中有极广泛的应用。根据不 同标准可以有不同的分类方法，但分类必须从同一标准出发，做到不重复，不遗漏，包含各种情况，同时要有利于问题研究； 3．分类原则：（1）对所讨论的全域分类要“即不重复，也不遗漏”（2）在同一次讨论中只能按所确定的一个标准进行（3）对多级讨论，应逐级进行，不能越级； 4．分类方法：（1）概念和性质是分类的依据（2）按区域（定义域或值域）进行分类是基本方法（3）不定因素（条件或结论不唯一，数值大小的不确定，图形位置的不确定）是分类的突破口（4）二分发是分类讨论的利器（4）层次分明是分类讨论的基本要求； 5．讨论的基本步骤：（1）确定讨论的对象和讨论的范围（全域）（2）确定分类的标准，进行合理的分类（3）逐步讨论（必要时还得进行多级分类）
分类讨论思想方法 在解答某些数学问题时，有时会遇到多种情况，需要对各种情况加以分类，并逐类求解，然后综合得解，这就是分类讨论法。分类讨论是一种逻辑方法，是一种重要的数学思想，同时也是一种重要的解题策略，它体现了化整为零、积零为整的思想与归类整理的方法。有关分类讨论思想的数学问题具有明显的逻辑性、综合性、探索性，能训练人的思维条理性和概括性，所以在高考试题中占有重要的位置。 引起分类讨论的原因主要是以下几个方面： ①问题所涉及到的数学概念是分类进行定义的。如|a|的定义分a>0、a＝0、a<0三种情况。这种分类讨论题型可以称为概念型。 ②问题中涉及到的数学定理、公式和运算性质、法则有范围或者条件限制，或者是分类给出的。如等比数列的前n项和的公式，分q＝1和q≠1两种情况。这种分类讨论题型可以称为性质型。 ③解含有参数的题目时，必须根据参数的不同取值范围进行讨论。如解不等式ax>2时分a>0、a＝0和a<0三种情况讨论。这称为含参型。 另外，某些不确定的数量、不确定的图形的形状或位置、不确定的结论等，都主要通过分类讨论，保证其完整性，使之具有确定性。 进行分类讨论时，我们要遵循的原则是：分类的对象是确定的，标准是统一的，不遗漏、不重复，科学地划分，分清主次，不越级讨论。其中最重要的一条是“不漏不重”。 解答分类讨论问题时，我们的基本方法和步骤是：首先要确定讨论对象以及所讨论对象的全体的范围；其次确定分类标准，正确进行合理分类，即标准统一、不漏不重、分类互斥（没有重复）；再对所分类逐步进行讨论，分级进行，获取阶段性结果；最后进行归纳小结，综合得出结论。 Ⅰ、再现性题组： 1．集合A＝{x||x|≤4,x∈R}，B＝{x||x－3|≤a，x∈R}，若A?B，那么a的范围是_____。 A. 0≤a≤1 B. a≤1 C. a<1 D. 0 参加宁陕县第二届语文教学活动的心得体会 蒲河九年制学校龚德强通过一个周的观摩、学习和上课，我对五环四步教学模式有了一定的认识，了解，研究，并运用这种教学模式上课，觉得课堂有了一定的改观，感受到这种教学法的精髓在于激发学生的学习兴趣，培养学生的问题意识、探究能力、创新精神及自主学习的能力，并通过合作讨论、展示交流反馈课堂教学效果。通过学习使我倍受启发，从学习中得到了一定的心得体会。 一、创设情境，激发兴趣。这一环节在教学中是把课前交流和导课有机结合。课前交流有利于师生有利于师生之间的相互了解，建立一种民主平等的师生关系，也可以让学生迅速的回到学习状态、课堂状态，学习的热情得到激发。课前交流的内容看似与课堂无关，实则为教学埋下伏笔，交流的话题选择学生熟知的，但又有激励性、唤醒意识的内容。如在执教《记金华的双龙洞》一文时通过多媒体展示上课学校的照片、上课县城的照片、再到西湖、庐山、长城，让学生说一说，背一背相关的古诗，因为从学生熟悉的景物开始，学生自然地投入到交流活动中来。最后出示一幅双龙洞的图片，导入到叶圣陶《记金华的双龙洞》，学生就能快速投入到学习活动中来。 二、阅读探究 这个环节的第一步初读感悟，我要求学生走进文章，读准字音，读顺语句。通过出示字词检查反馈，指导识写，在出示重点句子检查朗读，这样的句子有检查字词的作用，也有牵引出文章某一部分重点 线索的用，可以是事情的起因、经过、结果中的句子，也可以是某一部分人物、景物、事、理的关键句子，以此为导火索，拓展到第二步再读文本，梳理结构。在《晏子使楚》一课中，出示“楚王想乘机侮辱晏子”这个句子，检查侮辱的认读，概括出事情的起因是侮辱，经过和结果呢？读文概括。 第三步：品读句段，探究文意。承接第二步楚王是如何侮辱，晏子是如何反驳的？学生选一个故事读一读，说一说，从而明白了这是一个用巧妙的语言进行反驳的语言艺术的故事。 第四步:细读语句，品味文意。晏子的反驳妙在何处呢？深入到第二个故事，通过直话直说“楚王，您不能侮辱我晏子无能，更不能侮辱齐国没有人才”后果会怎么样和文中晏子委婉曲折的表达比较感受到晏子直话曲说的妙用。再通过分角色朗读，体会到晏子以退为进、将计就计、步步引诱的语言艺术。顺势而导：晏子为什么要反驳？他是一个怎样的人?这样环环相扣，深入字里行间，品悟出了文章的情意、情境。 这四步的探究是从字词入手，到文章的整体，再到文章的局部，在回归全文感悟的一个层层推进的过程，体现了阅读教学的一般规律，又便于操作，老师在执教时线索清晰，结构明了。 三、当堂练习，展示交流。 这两环节的关键在于围绕教学目标进行达标训练，以达到运用知识培养能力的目的。通过对五环四步教学法的不断学习，我觉得这一个环节很重要，是检测本节课学生掌握情况的重要依据，所以教师 对数学教学中分类讨论思想的感悟 博兴一小王晓红 分类讨论思想是中学数学中的一种极其重要的数学思想方法，它是依据数学研究对象本质属性的相同点和差异点，将数学对象分为不同种类，然后对划分的每一类分别进行研究和求解。它在数学概念的确立，数学事实的发现，数学理论的推导学知识的运用中，能让学生了解数学知识形成的过程，对培养学生思维的创造性，发散性与灵活性以及整体文化素质产生深刻而持久的影响。 数学教学大纲指出：“数学教学中，发展思维能力是培养能力的核心。”因此，要发展学生的思维，培养数学能力，提高文化素质，就应该重视数学思想的方法教学。如果能让学生理解并掌握分类讨论的思想方法，抓住问题的本质，在解题中进行正确、合理、严谨的分类，这既有利于把复杂的问题转化为几个较为简单的问题来处理，同时也可以培养学生的综合分析能力和发展他们思维的条理性、严谨性和完整性。 下面针对数学教学中渗透分类讨论思想谈一下我自己粗浅的认识： （一）在概念教学中渗透分类讨论思想 由于数学中的许多概念的定义是分类给出的或是不少概念都有一定的限制，如实数的分类，一元二次方程的概念中对二次项系数的限定，平方根中对于被开方数的限定等，完全平方式的意义，绝对值中a的三种情况的分类给出等。涉及到这些概念是就必须按照给出的概念的分类形式进行讨论。 在概念教学中，我总能注重揭示概念的产生的过程，帮助学生明确概念存在的前提，清楚地理解概念中的关键字，词，尤其对容易出现偏差的、相似的、相近的概念进行比较教学，对含有补充和规定的概念注意强调，必要时，借助于形与数，进行直观、准确地概念理解。 如对于一元二次方程一般式中涉及a≠0的规定，教学时，我让学生理解当a=0与a≠0时，方程会有怎样的变化，在此基础上，让学生说明关于x的一元二次方程mx2-(m-1)x-2(3m-1)=0中m的限制条件，随后进行了概念的变式，将“一元二次”四字隐去，提出这是个怎样的方程，并如何求解。学生经历了对概念中关键字词及补充条件的理解后，很清晰地就a=0与a≠0两种情况作分类讨论。 （二）在法则、定理、公式导出过程中运用分类讨论思想 有些数学性质、公式或定理在不同条件下有不同的结论，或是结论在一定限制条件下才成立，这就要在教学的过程中逐步体现分类讨论思想。例如对于正比例函数图像的递减（增）性要取决于k小于0还是大于0，不等式的运算性质，要按不等式的两边同乘以或同除以同一个正、负数不同而决定不等号方向是否改变等来进行分类讨论。 又如初中九年级课本证明圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。 为什么要根据 圆心相对于圆周角的位置分成三种情况（如右图） 去证， B C A A C D C 高三数学第二轮专题复习：分类讨论思想 高考要求 分类讨论思想就是根据所研究对象的性质差异，分各种不同的情况予以分析解决分类讨论题覆盖知识点较多，利于考查学生的知识面、分类思想和技巧；同时方式多样，具有较高的逻辑性及很强的综合性，树立分类讨论思想，应注重理解和掌握分类的原则、方法与技巧、做到“确定对象的全体，明确分类的标准，分层别类不重复、不遗漏的分析讨论” 重难点归纳 分类讨论思想就是依据一定的标准，对问题分类、求解，要特别注意分类必须满足互斥、无漏、最简的原则分类讨论常见的依据是 1由概念内涵分类如绝对值、直线的斜率、指数对数函数、直线与平面的夹角等定义包含了分类 2由公式条件分类如等比数列的前n项和公式、极限的计算、圆锥曲线的统一定义中图形的分类等 3由实际意义分类如排列、组合、概率中较常见，但不明显、有些应用问题也需分类讨论 在学习中也要注意优化策略，有时利用转化策略，如反证法、补集法、变更多元法、数形结合法等简化甚至避开讨论 典型题例示范讲解 例1已知{a n }是首项为2，公比为2 1的等比数列，S n 为它的前n 项和 （1）用S n 表示S n +1; （2）是否存在自然数c 和k ，使得21>--+c S c S k k 成立 命题意图 本题主要考查等比数列、不等式知识以及探索和论证存在性问题的能力 知识依托 解决本题依据不等式的分析法转化，放缩、解简单的分式不等式；数列的基本性质 错解分析 第2问中不等式的等价转化为学生的易错点，不能确定出k k S c S <<-223 技巧与方法 本题属于探索性题型，是高考试题的热点题型 在探讨第2问的解法时，采取优化结论的策略，并灵活运用分类讨论的思想 即对双参数k ,c 轮流分类讨论，从而获得答案 解 （1）由S n =4(1–n 21），得221)2 11(411+=-=++n n n S S ，(n ∈N *) （2）要使21>--+c S c S k k ，只要0)223(<---k k S c S c 因为4)211(4<-=k k S 所以0212)223(>-=--k k k S S S ，(k ∈N *)故只要23S k –2＜c ＜S k ，（k ∈N *） 因为S k +1＞S k ，(k ∈N *) ① 所以23S k –2≥2 3S 1–2=1 又S k ＜4，故要使①成立，c 只能取2或3 当c =2时，因为S 1=2，所以当k =1时，c ＜S k 不成立，从而①不 分类讨论思想 在数学中,如果一个命题的条件或结论不唯一确定,有多种可能情况,难以统一解答,就需要按可能出现的各种情况分门别类的加以讨论,最后综合归纳出问题的正确答案,这种解题方法叫做分类讨论。 在分类讨论的问题中有三个重要的注意事项。 1. 什么样的题会出现分类讨论思想--往往是在题目中的基本步骤中出现了“条件不确定，无法进行下一步”(如几何中，画图的不确定；代数中，出现字母系数等)。 2. 分类讨论需要注意什么----关键是“不重、不漏”，特别要注意分类标准的统一性。 3. 分类讨论中最容易错的是什么--总是有双重易错点“讨论有重漏，讨论之后不检验是否合题意”。 【例1】解方程：|x-1|=2 【例2】试比较1+a与1-a的大小。 。 【例3】已知线段AB长度为6cm，点C在直线AB上，且AC=2cm，求BC的长度。 【例4】一张桌子有四个角，砍掉一只角后，还剩几个角？ 【例5】已知△ABC周长为20cm，AB=AC，其中一边边长是另一边边长的2倍，BC长多少？ 【例6】 富城书店推出售书优惠方案：①一次性购书不超过100元，不享受优惠；②一次性购书超过100元，但不超过200元，一律打九折；③一次性购书超过200元，一律打八折。如果小明一次性购书 付款162元，那么小明所购书的价格为多少。 练习题 1.解方程：（1）|x+4|=3 （2）22)3(-=a 2.|a|+a 的值的情况讨论。 3. 如果a 、b 、c 是非零有理数，求c c b b a a -+的值 5.数轴上有A 、B 两点,若A 点对应的数是-2,且A 、B 两点的距离为3,则点B 对应的数为多少（画图表示）。 6.平面内有四点，经过两点可画多少条直线。 7.平面内有三条直线,它们可能有几个交点? 五步教学法心得体会 课堂教学是实施创新教学的主阵地。教师应优化课堂教学结构、运用课堂教学模式，优化教法，把教学的立足点转到指导学生、点拨学生上，让学生发挥潜能，敢于动手，有所发现、有所创新，使课堂教学真正成为促进学生创新学习的主渠道。我们在教学中应用创新学习五步教学法，即导--学--议--赛--结，就是坚持教师为主导、学生为主体，始终把学生良好的行为习惯、学习习惯的培养，创新思维的培养，动手、动脑、灵活运用知识能力的培养放在教学的首位，使教师在课堂教学中的主导作用能真正得以体现。 一、设疑导入 读书无疑者，须教有疑；有疑者，却是无疑。到这里方是进步。作为教师，在课堂教学中，让学生自学是体现学生主体地位和培养学生独立学习能力的必要方法之一。教师在课前应精心设计导入，在新课导入中可采用讲故事、演示实验、实物、图表、投影片等导入；也可采用一句话、一道题等导入。充分激发学生的学习兴趣，让学生带着迫切想遨游知识大海的心情去自学、去质疑、去探索，其学习的主动性将被大大激发，学生的创新学习能力将进一步得到培养。教师对学生提出的各种疑问要充分肯定，并让学生板演到黑板上，保护其积极性。 二、带着问题去学 学生在自学预习的基础上会提出五花八门的甚至教师意想不到的问题。教师应从学生板演到黑板上的问题中找到突破口，和学生一起共同归纳、综合，筛选出带有共性、最符合教材要求、最富有求异创新价值的问题来进行探讨。捕捉稍纵即逝的智慧火花，激励他们的学习兴趣，启迪他们的思维，才能达到开发潜能的目的。如果这一步处理得当，学生学习的主动性就会得到充分调动，新知识和重点、难点也能较好得到解决。 三、在合作交流中议与赛 在教学中教师要采用符合学生认识特点的教学方法引导学生学习，借助各种教学手段不断激发他们的求知欲。其中很重要的一点是要给学生留有查找资料、思考、小组讨论、交流时间。人思如涌泉，浚之愈新。把学生置于发现者和探索者的位置上，通过让学生带着自己渴求解答的问题去 分类讨论思想 一、含义 分类讨论思想就是当问题所给的对象不能进行统一研究时，需要把研究对象按某个标准分类，然后对每一类分别研究得出结论，最后综合各类结果得到整个问题的解答。实质上，分类讨论是“化整为零，各个击破，再积零为整”的解题策略。 二、常见类型 有关分类讨论的数学问题需要运用分类讨论思想来解决，引起分类讨论的原因大致可归纳为如下几种： 1.由数学概念引起的分类讨论：有的概念本身是分类的，如绝对值、直线斜率、指数函数、对数函数等。 2.由性质、定理、公式的限制引起的分类讨论：有的数学定理、公式、性质是分类给出的，在不同的条件下结论不一致，如等比数列的前n项和公式、函数的单调性等。 3.由数学运算要求引起的分类讨论：如除法运算中除数不为零，偶次方根被开方数为非负，对数真数与底数的要求，指数运算中底数的要求，不等式两边同乘以一个正数、负数，三角函数的定义域等。 4.由图形的不确定性引起的分类讨论：有的图形类型、位置需要分类，如角的终边所在的象限，点、线、面的位置关系等。 5.由参数的变化引起的分类讨论：某些含有参数的问题，如含参数的方程、不等式，由于参数的取值不同会导致所得结果不同，或对于不同的参数值要运用不同的求解或证明方法。 6.由实际意义引起的讨论：此类问题常常出现在应用题中。 三、高中数学中相关的知识点 1.绝对值的定义； 1.二次函数对称轴的变化； 2.函数问题中区间的变化； 3.函数图像形状的变化； 4.直线由斜率引起的位置变化； 5.圆锥曲线由焦点引起的位置变化或由离心率引起的形状变化； 6.立体几何中点、线、面的位置变化等。 七、4步解决由概念、法则、公式引起的分类讨论问题 第一步：确定需分类的目标与对象。即确定需要分类的目标，一般把需要用到公式、定理解决问题的对象作为分类目标。 第二步：根据公式、定理确定分类标准。运用公式、定理对分类对象进行区分。 第三步：分类解决“分目标”问题。对分类出来的“分目标”分别进行处理。 第四步：汇总“分目标”。将“分目标”问题进行汇总，并作进一步处理。 专题三 5大数学思想方法 第一节 分类讨论思想 类型一 由概念内涵分类 (2018·山东潍坊中考)如图1，抛物线y 1＝ax 2 －12x ＋c 与x 轴交于点A 和点B(1，0)，与y 轴交于 点C(0，3 4)，抛物线y 1的顶点为G ，GM⊥x 轴于点M.将抛物线y 1平移后得到顶点为B 且对称轴为直线l 的 抛物线y 2. (1)求抛物线y 2的表达式； (2)如图2，在直线l 上是否存在点T ，使△TAC 是等腰三角形？若存在，请求出所有点T 的坐标；若不存在，请说明理由； (3)点P 为抛物线y 1上一动点，过点P 作y 轴的平行线交抛物线y 2于点Q ，点Q 关于直线l 的对称点为R.若以P ，Q ，R 为顶点的三角形与△AMG 全等，求直线PR 的表达式． 【分析】(1)应用待定系数法求表达式； (2)设出点T 坐标，表示出△TAC 三边，进行分类讨论； (3)设出点P 坐标，表示出Q ，R 坐标及PQ ，QR ，根据以P ，Q ，R 为顶点的三角形与△AMG 全等，分类讨论对应边相等的可能性即可． 【自主解答】 此类题型与概念的条件有关，如等腰三角形有两条边相等(没有明确哪两条边相等)、直角三角形有一个角是直角(没有明确哪个角是直角)等，解决这类问题的关键是对概念内涵的理解，而且在分类讨论后还要判断是否符合概念本身的要求(如能否组成三角形)． 1．(2018·安徽中考改编)若一个数的绝对值是8，则这个数是( ) A ．－8 B ．8 C ．±8 D ．－18 类型二 由公式条件分类 (2018·浙江嘉兴中考)我们定义：如果一个三角形一条边上的高等于这条边，那么这个三角形叫 分类讨论的思想方法 慕泽刚 (重庆市龙坡区渝西中学 401326) 一、知识要点概述 1.分类讨论的思想方法的原理及作用：在研究与解决数学问题时，如果问题不能以统一的同一种方法处理或同一种形式表述、概括，可根据数学对象的本质属性的相同和不同点，按照一定的原则或某一确定的标准，在比较的基础上，将数学对象划分为若干既有联系又有区别的部分，然后逐类进行讨论，再把这几类的结论汇总，从而得出问题的答案，这种研究解决问题的思想方法就是分类讨论的思想方法.分类讨论的思想方法是中学数学的基本方法之一，在近几年的高考试题中都把分类讨论思想方法列为重要的思想方法来考查，体现出其重要的位置.分类讨论的思想方法不仅具有明显的逻辑性、题型覆盖知识点较多、综合性强等特点，而且还有利于对学生知识面的考查、需要学生有一定的分析能力、一定分类技巧，对学生能力的考查有着重要的作用.分类讨论的思想的实质就是把数学问题中的各种限制条件的制约及变动因素的影响而采取的化整为零、各个突破的解题手段. 2.引入分类讨论的主要原因 (1)由数学概念引起的分类讨论：如绝对值的定义、直线与平面所成的角、定比分点坐标公式等； (2)由数学运算要求引起的分类讨论：如除法运算中除数不为零、对数中真数与底数的要求等； (3)由函数的性质、定理、公式的限制引起的分类讨论； (4)由图形的不确定引起的分类讨论； (5)由参数的变化引起的分类讨论； (6)按实际问题的情况而分类讨论. 二、解题方法指导 1.分类讨论的思想方法的步骤：(1)确定标准；(2)合理分类；(3)逐类讨论；(4)归纳总结. 2.简化分类讨论的策略：(1)消去参数；(2)整体换元；(3)变更主元；(4)考虑反面；(5)整体变形； (6)数形结合；(7)缩小范围等. 3.解题时把好“四关” (1)要深刻理解基本知识与基本原理，把好“基础关”； (2)要找准划分标准，把好“分类关”； (3)要保证条理分明，层次清晰，把好“逻辑关”； (4)要注意对照题中的限制条件或隐含信息，合理取舍，把好“检验关”. 三、范例剖析 例1解关于x 的不等式：a(x-1)x-2 ＞1（a ≠1） 解析：原不等式等价于：(a-1)x-(a-2)x-2＞0，即(a ﹣1)(x ﹣a-2a-1 )(x ﹣2)＞0 ① 若a>1，则①等价于(x ﹣a-2a-1 )(x ﹣2)＞0. 又∵2﹣a-2a-1＝﹣1a-1﹣1＜0，∴a-2a-1 ＜2 ∴原不等式的解集为；(﹣∞，a-2a-1 )∪（2,＋∞）； 若a<1时，则①等价于(x ﹣a-2a-1)(x ﹣2)＜0.由于2﹣a-2a-1＝a a-1， 当0 “五步工作法”学习心得体会 “五步工作法”是孙志刚书记在去年年底全省经济工作会、全省脱贫攻坚表彰及秋季攻势总结电视电话会等多个场合提出并强调要在全省推行的科学有效的工作方法，实际上的孙书记在任省长时总结提炼的成果。3月19日开始，省教育厅委托国家干部教育培训基地一浙江大学举办全省所有市(州)、县(市、区)教育局局长“五步工作法”专题培训班。 省教育厅高度重视此次培训，邹联克厅长对培训班举办的内容、方式、参训人员等进行布置安排，并为培训班作了《用好“五步工作法”，推进贵州教育事业改革与发展》专题讲座。“五步工作法”即政策设计、工作部署、干部培训、监督检查、追责问责。 根据自身工作和学校实际，对“五步工作法”有如下了解： 一是在“政策设计”上，要对照“教育优先”新战略、十九大新部署、教育发展新任务、对照教育脱贫新要求和对照“三看教育”新方法绘好“设计图”。要上接中央和国家政策的“线”，下接本地区本行业工作部门的“地气”，以中央和国家政策为指导，结合实际工作拟定工作思路、目标任务和具体措施。所以学校工作中的各个方面也必须以上级政策为导向，认真安排部署学校工作，在教育教学、安全教育等工作中要切实以学校实际出发，制定科学合理的工作计划，一步一个脚印走下去。 二是在“工作部署”上，要善于用行政的、经济的、法治的、辩证的方法下好“开工令”；要周密细致，要清单化，要项目化，可操作性要强，不能大而化之。在拟定好学校工作思路后，将总体工作进行安排部署，然后分解到各个部门去具体履行落实，全面推行清单式，项目化，精细化管理。所以在学校工作中必须将所有工作层层分解落实，责任到人，做到无论什么工作都人人抓，人人管。 三是在“干部培训”上，要坚持需求导向、坚持分类分级、坚持改革创新练好“施工队”；要确保每项政策出台都要及时让每位干部职工都弄明白、理解好，提升执行力。对干部进行理论培训、实践操作培训，做到不走过场，要严格落实执行，实实在在为民服务。在培训方面，要制定好培训计划，做到大会有培训，小会有教育，把不懂的变成会操作、会使用。特别今年来上级针对乡村教师培训的力度逐年增大，教师外出培训、网络培训的机会都很多，所以作为学校一定要制定好规范可行的培训选派方案和计划，让教师都充分享有培训的机会，并将培训所得带回学校，进行二次培训，让更多的教师分享每次培训精髓，做到经费保障，不浪费任何的培训机会。 四是在“监督检查”上，要完善机制、丰富手段、抓住关键、把握重点、树立权威用好“监理员”；还要盯住关键，夯实各级抓落实的责任，政策执行力不仅靠干部自觉，更要通过制度规范，让便民政策落地生根发芽；监督在学校工作中相当重要，通过有效监督会让学校工作变得更加的规范和有序，及时发现问题，及时整改到位，避免 初中数学论文：分类讨论思想在初中数学中运用的一些思考摘要：分类讨论是重要的数学思想方法，但初中学生常常分类讨论的意识不强，不知道哪些问题需要分类及如何合理的分类。 关键词：初中数学；分类讨论 分类讨论是重要的数学思想方法，但初中学生常常分类讨论的意识不强，不知道哪些问题需要分类及如何合理的分类。这就需要教师在教学中结合教材，创设情境，予以强化，需要区分种种情况进行讨论的问题，启发诱导，揭示分类讨论思想的本质，从而培养学生自觉应用分类讨论的意识。笔者从以下三个方面谈谈本人对于分类讨论思想的一些思考。 一、为什么分 由于数学研究对象的属性不同,影响了研究问题的结果,从而对不同属性的对象进行研究的思想；或者由于在研究问题过程中出现了不同情况,从而对不同情况进行分类研究的思想,我们称之为分类讨论思想,其实质是一种逻辑划分的 思想。 二、要分谁 需要运用分类讨论思想解决的数学问题，可大致归纳为：①数学概念的分类定义②运用的数学定理、公式或运算性质、法则是分类给出的；③求解的数学问题的结论有多种 情况或多种可能；④数学问题中含有参变量，这些参变量的取值会导致不同结果的。应用分类讨论，往往能使复杂的问题简单化。 三、怎样分 分类讨论必须遵循一定的原则,才能使分类科学、严谨,从而正确、合理地解题,分类讨论原则有同一性、互斥性、层次性、简言之即为不遗漏，不重复，要分清主次。 1.不遗漏 同一性原则简言之即“不遗漏”,可以通过集合的思想来解释,如果把研究对象看作全集i,ai（i=1…n）是i的子集,并以此分类,且a1∪a2∪…an=i,则称这种分类 （a1,a2…an）符合同一性原则。比如,我们若把实数r分成正实数r+与负实数r-,那这种分类不符合同一性原则,因为r=r+∪r-∪{0},则这种分类方法遗漏了零。在下面的例子中来讨论同一性原则的应用： 例1.右图中有多少个正方形？ 分析：如果一个一个地数难免会重复或遗漏，所以应该设法分类计数。设图中每个小方格的边长为1个单位，则图中包含边长分别为1、2、3的三类正方形，算出这三类正方形的总个即为所求。9＋4＋1＝14，这样运用分类思想方法让初看无法着手的问题变化为简单的三个小问题，让我们的 四步教学法心得体会 四步教学法心得体会一：四步教学法”学习及实施之心得体会 我学习了营山县教学质量工程相关文件，对文件中提出的“四步教学法”也进行认真的反思，并在教学实践中进行了初步尝试，把近期学习和实践之心得记录如下： 一、出示教学目标 教授同年级段学科的教师，共同就教学目标、教材处理、教学程序与方式等问题进行讨论，合作设计，达成共识，师师互动，利用教师间知识差异，通过相互切磋，达到互补累积，形成最佳教学方案，设计每堂课的教学目标，九年级所有教学班在学科课堂上所出示的目标基本做到一致。 学生是学习的主体，课堂目标帮助学生了解本节课的知识结构与重难点，学生通过自主学习可以在教材上找到这些问题的答案，个别有疑问的地方可以通过随后的课堂交流与教师总结得到解决。 二、活动探究 交流包括生生互动交流和师生互动交流。生生互动交流是学生以小组为单位就教师所设计的问题展开活动，互帮互学，共同提高。师生互动交流是教师向全班学生进行授课演示等时，主要是单项交流方式，即师→生，它有利于教师对信息进行整体控制，并将信息同时传递给尽量多的人。在课堂交流这个环节中以生生互动为主。在具体的课堂交流环节中教师要注意以下几点： 1、教师应该采取先进的教学方式。 强调师生间、生生间的交流与合作。倡导学生主动参与、勇于探究、勤于动手。教师在课堂上由“演讲者、表演者”，转变为“引导者、导演者”。让每一个学生都有机会当“小老师”。给每一个学生都有展现自己、锻炼自己的平台。在教师的指导下，通过学生自主学习、相互讨论，打破老师“给水喝”的局面，使学生学会“找水源”进行喝水。这样，师生就有可能实现良好的交流。 2、设计好师生交流的有效对话。 师生交流必须有话可谈，即必须有共同的“话题”，也就是不断向对方质疑问难。设置有效的对话主题，提出有效的问题是师生能够较好交流的前提。否则，师生就无法正常交流。于是，教师备课时一定要设计好对话，切不可“没话找话”地设计一些“对不对”、“是不是”这样的无疑而问。 3、教师要找准位置。 《新课程标准》强调：教师是学生学习的合作者、引导者和参与者，教学过程是师生交往、共同发展的互动过程。课堂中的师生交流是建立在师生间平等、尊重、理解的基础上的，要实现师生的相互交流，教师要彻底摒弃“师者为尊”的传统意识，给学生以心理安全感，给学生充分尊重，让尊重走进课堂。 4、激励是师生交流的助推器。 课堂是师生交流的主要场所，教师必须激励学生，用教师情感的推动、激发学生的自动力，切实做到把“要我学”变为“我要学”。课堂中，教师真诚的赞美、恰当的评价会让学生如沐春风，保持旺盛的学习热情，从而调动自己内在的学习需要，参与到课堂中来。从而师生双方在教学过程中借助同对方的交流而不断地自我发展、自我完善。 三、课堂小结 浅谈分类讨论思想及其应用 杨凌高新中学 王旭 2010-1-12 分类讨论思想方法是研究与解决数学问题的重要思想之一,在中学数学应用中十分广泛,本文从分类讨论的原则、分类讨论的步骤及应用环境出发,辅以一定例题,着重分析讨论了分类讨论思想在中学数学中应用的一般原则、方法、技巧及应用环境. 一、 分类讨论思想的概念 由于数学研究对象的属性不同,影响了研究问题的结果,从而对不同属性的对象进行研究的思想；或者由于在研究问题过程中出现了不同情况,从而对不同情况进行分类研究的思想,我们称之为分类讨论思想,其实质是一种逻辑划分的思想.从思维策略上看,它是把要解决的数学问题,分解成可能的各个部分,从而使复杂问题简单化,使“大”问题转化为“小”问题,便于求解.通过正确的分类可以使复杂的问题得到清晰、完整、严密的解答,做到正确的分类,必须遵循一定的原则,以保证分类科学、统一,不重复、不遗漏,并力求最简. 二、 分类讨论的原则 从某种意义上讲,分类讨论是不得已而为之的事情,通过协调、缓和“矛盾”,达到运用知识合理解决问题的思想方法.那如何进行分类讨论呢？分类讨论必须要遵循一定的原则,才能使分类科学、严谨,从而正确、合理地解题,分类讨论原则有同一性原则、互斥性原则、层次性原则. 1.同一性原则 同一性原则简言之即“不遗漏”,可以通过集合的思想来解释,如果把研究对象看作全集I ,()n i A i 1=是I 的子集,并以此分类,且A 1∪A 2∪…A n =I ,则称这种分类（A 1,A 2…A n ）符合同一性原则.比如,我们若把实数R 分成正实数R +与负实数R ﹣,那这种分类不符合同一性原则,因为R= R +∪R ﹣∪﹛0﹜,则这种分类方法遗漏了零.在下面的例子中来讨论同一性原则的应用： 例1：已知直线l :01sin 4=+-θy x ，求它的斜率及斜率的取值范围、倾斜角的取值范围. 分析：直线l 的方程中y 的系数是θsin ，而θsin 的值域是[]1,1-，θsin 值可取零，但θsin =0时斜率不存在，故视θsin 为研究对象I []1,1-=，{}01=A ，[)(]1,00,12 -=A ， A 1, A 2都是I 的子集，且A 1∪A 2=I ,满足同一性原则,作如下分类讨论： 学习四清教学法的心得体会 “四清”是提高教学质量的法宝 今天在卫辉一中实验学校第一次接触了四清教学法，对自己这个初入教育行业的新人有了很大的触动，使自己有了很深的体会。运用“先学后教，当堂训练”的教学模式，教师指导学生在课堂上像考试一样紧张地学习，当堂完成教学任务，保证人人不欠账，这就为全面提高教学质量奠定了坚实的基础。但是，知识是有连续性、系统性的，记忆也是要遵循一定规律的，由知识转化为能力更需要有一个过程。要想形成知识体系，真正把所学的各科知识记得牢、理解运用巩固得好，就必须优化这一过程的管理，必须有一套科学的办法与“先学后教，当堂训练”课堂模式相配套。现在实行的“四清”管理，就是与之相配套的一种科学的、过硬的管理办法。实践证明，“四清”是提高教学质量的法宝。 1、什么叫“四清”？其实质和重点是什么？ “四清”就是堂堂人人清、日日人人清、周周人人清、月月人人清。所谓“堂堂清”，就是要学生在课堂上像考试一样紧张地学习，当堂能理解、记忆所学的知识，当堂能独立完成作业，力求不把问题留到课后。所谓“日日清”，就是今日事今日毕。当天学的各科知识，该读的都会读，该背的都会背，该运用的都会运用，做错了的都能更正。“周周清”就是普查本周所学的知识，知识点一一过关，学生人人过关。“月月清”就是指月月调查知识质量，查漏补缺，形成知识体系和能力。“四清”的实质就是课本上所学的知识达到人人过关。“四清”面对的是全体学生，重点是后进生。“四清”管理等于给学生的学习建立四道防线。通过这四道防线，让优秀生越学越好，让后进生能逐步赶上来，直至消灭差生。 2、“四清”的核心和相互之间的关系是怎样的？ “四清”的核心是周周人人清。堂堂人人清、日日人人清是周周人人清的基础和前提。周周人人清的内容主要是学科要求背诵的篇目、《基础训练》上的习题。这些内容该读的烂熟于心，该背的滚瓜烂熟，该默写的一字不差，该运用的熟练运用。这里突出“熟”、“准”、“活”三个字，熟能生巧，准确无误，灵活运用，举一反三，融会贯通。凡是当堂没有完成教学任务，没有独立完成课堂作业的学生，教师要记下这些学生的名字，作为“日日清”的重点对象。“日日清”的内容是当天所学的知识，日日清的对象是全体学生，重点是未达到堂堂清的学生。日日清的时间是利用每天的自习和辅导。当堂考，当堂评改。如果教师不用自习时间就能完成“堂堂清”、“日日清”、“周周清”，说明这个教师课堂效率高，但这样的教师实在是少之又少，还是要有一定的时间作保证。从现在的学生素质考虑，我们还必须认认真真抓好“四清”，否则，教学质量的提高就无从谈起。 3、周周清的方法和操作程序 周周清是一种学习方式，变教师讲为学生主动地学。教师的负担减轻了，可以把主要精力用在指导和训练上。教师从无指导到有指导，再到有效指导，还要科学求实，更要抓落实，使人人过关。不放过一个不“清”的学生。 周周清到底怎样操作呢？周周清不是周周出试卷考试，主要是口答。教师要求学生把本周所学的知识全弄熟了，会读、会背、会理解、分析和表达。不用考卷，就节省了大量的财力和人力，减轻了教师负担，既便于安排，又便于教师辅导学生，还可以培养学生认真读课本的习惯，针对性强。 周周清是从堂堂清、日日清开始的，没有堂堂清，就不能保证日日清；没有日日清，周周清就会积重难返。每周的周周清工作一般从星期四下午开始，到星 高中数学专题练习：分类讨论思想 [思想方法解读]分类讨论思想是一种重要的数学思想方法，其基本思路是将一个较复杂的数学问题分解(或分割)成若干个基础性问题，通过对基础性问题的解答来实现解决原问题的思想策略. 1.中学数学中可能引起分类讨论的因素： (1)由数学概念而引起的分类讨论：如绝对值的定义、不等式的定义、二次函数的定义、直线的倾斜角等. (2)由数学运算要求而引起的分类讨论：如除法运算中除数不为零，偶次方根为非负数，对数运算中真数与底数的要求，指数运算中底数的要求，不等式中两边同乘以一个正数、负数，三角函数的定义域，等比数列{a n}的前n项和公式等. (3)由性质、定理、公式的限制而引起的分类讨论：如函数的单调性、基本不等式等. (4)由图形的不确定性而引起的分类讨论：如二次函数图象、指数函数图象、对数函数图象等. (5)由参数的变化而引起的分类讨论：如某些含有参数的问题，由于参数的取值不同会导致所得的结果不同，或者由于对不同的参数值要运用不同的求解或证明方法等. 2.进行分类讨论要遵循的原则是：分类的对象是确定的，标准是统一的，不遗漏、不重复，科学地划分，分清主次，不越级讨论.其中最重要的一条是“不重不漏”. 3.解答分类讨论问题时的基本方法和步骤是：首先要确定讨论对象以及所讨论对象的全体的范围;其次确定分类标准，正确进行合理分类，即标准统一、不重不漏、分类互斥(没有重复);再对所分类逐步进行讨论，分级进行，获取阶段性结果;最后进行归纳小结，综合得出结论. 常考题型精析 题型一由概念、公式、法则、计算性质引起的分类讨论 例1设集合A＝{x∈R|x2＋4x＝0}，B＝{x∈R|x2＋2(a＋1)x＋a2－1＝0，a∈R}，若B?A，求实数a的取值范围. ---------------------------------------------------------------最新资料推荐------------------------------------------------------ 小学数学思想方法的梳理(七)分类讨论思想小学数学思想方法的梳理（七）分类讨论思想七、分类讨论思想 1. 分类讨论思想的概念。 人们面对比较复杂的问题，有时无法通过统一研究或者整体研究解决，需要把研究的对象按照一定的标准进行分类并逐类进行讨论，再把每一类的结论综合，使问题得到解决，这种解决问题的思想方法就是分类讨论的思想方法。 其实质是把问题分而治之、各个击破、综合归纳。 其分类规则和解题步骤是： （1）根据研究的需要确定同一分类标准；（2）恰当地对研究对象进行分类，分类后的所有子项之间既不能交叉也不能从属，而且所有子项的外延之和必须与被分类的对象的外延相等，通俗地说就是要做到既不重复又不遗漏；（3）逐类逐级进行讨论；（4）综合概括、归纳得出最后结论。 分类讨论既是解决问题的一般的思想方法，适应于各种科学的研究；同时也是数学领域解决问题较常用的思想方法。 2. 分类讨论思想的重要意义。 课程标准在总目标中要求学生能够有条理地思考，这种有条理性的思考就是一种有顺序的、有层次的、全面的、有逻辑性的思考，分类讨论就是具有这些特性的思考方法。 因此，分类讨论思想是培养学生有条理地思考和良好数学思维 1 / 6 品质的一种重要而有效的方法。 无论是解决纯数学问题，还是解决联系实际的问题，都要注意数学原理、公式和方法在一般条件下的适用性和特殊情况下的不适用性，注意分类讨论，从而做到全面地思考和解决问题。 从知识的角度而言，把知识从宏观到微观不断地分类学习，既可以把握全局、又能够由表及里、细致入微，有利于形成比较系统的数学知识结构和构建良好的认知结构。 分类讨论思想与集合思想也有比较密切的联系，知识的分类无时不渗透着集合的思想。 另外，分类讨论思想还是概率与统计知识的重要基础。 3. 分类讨论思想的具体应用。 分类讨论思想在小学数学的学习中有很多应用，例如从宏观的方面而言，小学数学可以分为数与代数、空间与图形、统计与概率和实践与综合应用四大领域。 从比较具体的知识来说，几大领域的知识又有很多分支，例如小学数学中负数成为必学的内容以后，小学数学数的认识范围实际上是在有理数范围内，有理数可以分为整数和分数，整数又可以分为正整数、零和负整数，整数根据它的整除性又可以分为偶数和奇数。 正整数又可以分为 1、素数和合数。 小学数学中分类讨论思想的应用如下表。 思想方法知识点应用举例分类讨论思想分类一年级上册q D.当a>1时，p>q；当0
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