2019年考研数学试题（数学一）
一、选择题
1、 曲线()()()()4
3
2
4321----=x x x x y 的拐点是（ ）
（A ）（1，0） （B ）（2，0） （C ）（3，0） （D ）（4，0）
【答案】C 【考点分析】本题考查拐点的判断。直接利用判断拐点的必要条件和第二充分条件即可。
【解析】由()()()()4
3
2
4321----=x x x x y 可知1,2,3,4分别是
()()()()234
12340y x x x x =----=的一、二、三、四重根，故由导数与原函数之间的
关系可知(1)0y '≠，(2)(3)(4)0y y y '''===
(2)0y ''≠，(3)(4)0y y ''''==，(3)0,(4)0y y ''''''≠=，故（3，0）是一拐点。
2、 设数列{}n a 单调减少，0lim =∞
→n n a ，()∑===
n
k k n n a S 1
2,1 无界，则幂级数
()
1
1n
n n a x ∞
=-∑的收敛域为（ ） （A ） (-1，1] （B ） [-1，1) （C ） [0，2) （D ）
(0，2]
【答案】C 【考点分析】本题考查幂级数的收敛域。主要涉及到收敛半径的计算和常数项级数收敛性的一些结论，综合性较强。 【解析】()∑===
n k k n n a S 12,1 无界，说明幂级数()1
1n
n n a x ∞
=-∑的收敛半径1R ≤；
{}n a 单调减少，0lim =∞
→n
n a ，说明级数()1
1n
n n a ∞
=-∑收敛，可知幂级数()1
1n
n n a x ∞
=-∑的收敛
半径1R ≥。 因此，幂级数
()1
1n
n n a x ∞
=-∑的收敛半径1R =，收敛区间为()0,2。又由于0x =时幂级数
收敛，2x =时幂级数发散。可知收敛域为[)0,2。
3、 设 函数)(x f 具有二阶连续导数，且0)(>x f ，0)0(='f ，则函数)(ln )(y f x f z = 在点(0,0)处取得极小值的一个充分条件是（ ）
（A ） 0)0(1)0(>''>f f ， (B) 0)0(1)0(<''>f f ， (C) 0)0(1)0(>'' 【答案】C 【考点分析】本题考查二元函数取极值的条件，直接套用二元函数取极值的充分条件即可。 【解析】由)(ln )(y f x f z =知()()ln (),()()x y f x z f x f y z f y f y ''''== ，() ()() xy f x z f y f y ''''= ()ln ()xx z f x f y ''''=，2 2()()(()) () () yy f y f y f y z f x f y '''-''= 所以00 (0) (0)0(0) xy x y f z f f ==''' '= =，00 (0)ln (0)xx x y z f f ==''''=， 2 2 00 (0)(0)((0))(0)(0)(0) yy x y f f f z f f f =='''-'' ''== 要使得函数)(ln )(y f x f z =在点(0,0)处取得极小值，仅需 (0)ln (0)0f f ''>，(0)ln (0)(0)0f f f ''''?> 所以有0)0(1 )0(>''>f f ， 4、设4440 ln sin ,ln cot ,ln cos I xdx J xdx K xdx π π π = ==? ??，则,,I J K 的大小关系是( ) （A ）I J K << （B ）I K J << （C ）J I K << （D ）K J I << 【答案】B 【考点分析】本题考查定积分的性质，直接将比较定积分的大小转化为比较对应的被积函数的大小即可。 【解析】(0, )4 x π ∈ 时，0sin cos cot x x x << <<，因此lnsin lncos lncot x x x << 4 4 4 ln sin ln cos ln cot xdx xdx xdx π π π < < ? ? ? ，故选（B ） 5. 设A 为3阶矩阵，将A 的第二列加到第一列得矩阵B ，再交换B 的第二行与第一行得单 位矩阵.记1100110001P ????=??????,2100001010P ?? ??=?? ???? ,则 A =( ) （A ）12P P （B ）112P P - （C ）21P P （D ）1 21P P - 【答案】D 【考点分析】本题考查初等矩阵与初等变换的关系。直接应用相关定理的结论即可。 【解析】由初等矩阵与初等变换的关系知1AP B =，2P B E =，所以 111112121A BP P P P P ----===，故选（D ） 6、设()4321,,,ααααA =是4阶矩阵，*A 为A 的伴随矩阵，若()T 0,1,0,1是方程组0 =x A 的一个基础解系，则0=* x A 基础解系可为（ ） (A) 31αα， (B) 21αα， (C) 321ααα，， (D) 432ααα，， 【答案】D 【考点分析】本题考查齐次线性方程组的基础解系，需要综合应用秩，伴随矩阵等方面的知识，有一定的灵活性。 【解析】由0=x A 的基础解系只有一个知()3r A =，所以()1r A * =，又由0 A A A E * ==知，1234,,,αααα都是0=*x A 的解，且0=* x A 的极大线生无关组就是其基础解系，又 ()1234131100 ,,,01100A αααααα???? ? ? ? ?==+= ? ? ? ????? ，所以13,αα线性相关，故124ααα，，或432ααα，，为极大无关组，故应选（D ） 7、设()()12,F x F x 为两个分布函数，其相应的概率密度()()12,f x f x 是连续函数，则必为概率密度的是( ) （A ）()()12f x f x （B ）()()212f x F x （C ）()()12f x F x （D ）()()()()1221f x F x f x F x + 【答案】D 【考点分析】本题考查连续型随机变量概率密度的性质。 【解析】检验概率密度的性质：()()()()12210f x F x f x F x +≥； ()()()()()()1221121f x F x f x F x dx F x F x +∞ +∞ -∞-∞ +==? 。可知()()()()1221f x F x f x F x +为概率密度，故选（D ）。 8、设随机变量X 与Y 相互独立，且EX 与EY 存在，记{}y x U ,m ax =,{}y x V ,m in =，则=)(UV E （ ） (A) V U E E (B) EXEY (C) EY E U (D) V EXE 【答案】B 【考点分析】本题考查随机变量数字特征的运算性质。计算时需要先对随机变量UV 进行处理，有一定的灵活性。 【解析】由于max{,}min{,}UV X Y X Y XY == 可知()(max{,}min{,})()()()E UV E X Y X Y E XY E X E Y === 故应选（B ） 二、填空题 9、曲线? ??? ? ? ≤≤= x x tdt y 0 40tan π的弧长s = 【答案】14 π - 【考点分析】本题考查曲线弧长的计算，直接代公式即可。 【解析】() 2 4 4 4 '2 2 40 tan sec 1tan 14 s y dx xdx x dx x x π π π π π = = = -=-=-? ? ? 10、微分方程x e y y x cos -=+'满足条件0)0(=y 的解为=y 【答案】sin x y xe -= 【考点分析】本题考查一阶线性微分方程的求解。先按一阶线性微分方程的求解步骤求出其通解，再根据定解条件，确定通解中的任意常数。 【解析】原方程的通解为 11[cos ][cos ][sin ]dx dx x x x y e e x e dx C e xdx C e x C ----??=?+=+=+?? 由0)0(=y ，得0C =，故所求解为sin x y xe -= 11、设函数()? += xy dt t t y x F 0 21sin ,，则=??==2 02 2y x x F 【答案】4 【考点分析】本题考查偏导数的计算。 【解析】()() 2223 2222222cos 12sin sin ,11y xy x y xy xy F y xy F x x y x x y +-??==?+?+。故220 2 4x y F x ==?=?。 12、设L 是柱面方程22 1x y +=与平面z x y =+的交线，从z 轴正向往z 轴负向看去为逆时针方向，则曲线积分2 2 L y xzdx xdy dz ++=? 【答案】π 【考点分析】本题考查第二类曲线积分的计算。首先将曲线写成参数方程的形式，再代入相应的计算公式计算即可。 【解析】曲线L 的参数方程为cos sin cos sin x t y t z t t =?? =??=+? ，其中t 从0到2π。因此 2 220 23222 2 sin cos (cos sin )(sin )cos cos (cos sin )2sin cos sin sin cos cos 22L y xzdx xdy dz t t t t t t t t t dt t t t t t t dt π π π ++=+-++-=--+-=? ?? 13、若二次曲面的方程为222 32224x y z axy xz yz +++++=，经正交变换化为 221144y z +=，则a = 【答案】1- 【考点分析】本题考查二次型在正交变换下的标准型的相关知识。题目中的条件相当于告诉了二次型的特征值，通过特征值的相关性质可以解出a 。 【解析】本题等价于将二次型222 (,,)3222f x y z x y z axy xz yz =+++++经正交变换后 化为了22 114f y z =+。由正交变换的特点可知，该二次型的特征值为1,4,0。 该二次型的矩阵为1131111a A a ?? ?= ? ??? ，可知2 210A a a =---=，因此1a =-。 14、设二维随机变量(,)X Y 服从2 2 (,;,;0)N μμσσ，则2 ()E XY = 【答案】32 μμσ+ 【考点分析】：本题考查二维正态分布的性质。 【解析】：由于0ρ=，由二维正态分布的性质可知随机变量,X Y 独立。因此 22()E XY EX EY =?。 由于(,)X Y 服从2 2 (,;,;0)N μμσσ，可知()2 222 ,EX EY DY EY μμσ==+=+，则 ()22232()E XY μμσμμσ=+=+。 三、解答题 15、（本题满分10分）求极限1 1 0ln(1)lim x e x x x -→+?? ??? 【答案】1 2 e - 【考点分析】：本题考查极限的计算，属于1∞ 形式的极限。计算时先按1∞ 未定式的计算方法将极限式变形，再综合利用等价无穷小替换、洛必达法则等方法进行计算。 【 解 析 】 ： 1 1 1 1 00ln(1)ln(1)lim lim 1x x e e x x x x x x x --→→++-????=+ ? ????? 2 001 11 ln(1)ln(1)1lim lim lim 1 2x x x x x x x x x x e x x e e e →→→-+-+-+-=== 01lim 2(1) 2 x x x x e e →-- +== 16、（本题满分9分）设(,())z f xy yg x =，其中函数f 具有二阶连续偏导数，函数()g x 可 导，且在1x =处取得极值(1)1g =，求21,1 z x y x y ?==?? 【答案】' ' 1,11,2(1,1)(1,1)f f + 【考点分析】：本题综合考查偏导数的计算和二元函数取极值的条件，主要考查考生的计算能力，计算量较大。 【解析】： ''' 12(,())(,())()z f xy yg x y f xy yg x yg x x ?=+? 2'' '1,11,21''''''2,12,22(,())(,())()(,())(,())()(,())()()(,())() z f xy yg x xy f xy yg x yg x f xy yg x x x y f xy y g x xyg x f xy yg x yg x g x f xy yg x g x ?=++??+++ 由于()g x 在1x =处取得极值(1)1g =，可知' (1)0g =。 故 2'' '1,11,21''''''2,12,22''1,11,2(1,(1))(1,(1))(1)(1,(1)) 1,1 (1,(1))(1)(1,(1))(1)(1)(1,(1))(1)(1,1)(1,1) z f g f g g f g x y x y f g g f g g g f g g f f ?=++==??+++=+ 17、（本题满分10分）求方程arctan 0k x x -=不同实根的个数，其中k 为参数 【答案】1k ≤时，方程arctan 0k x x -=只有一个实根 1k >时，方程arctan 0k x x -=有两个实根 【考点分析】：本题考查方程组根的讨论，主要用到函数单调性以及闭区间上连续函数的性质。解题时，首先通过求导数得到函数的单调区间，再在每个单调区间上检验是否满足零点存在定理的条件。 【解析】：令()arctan f x k x x =-，则(0)0f =，2 22 1()111k k x f x x x --'=-=++， （1） 当1k <时，()0f x '<，()f x 在(,)-∞+∞单调递减，故此时()f x 的图像与x 轴与只有一个交点，也即方程arctan 0k x x -=只有一个实根 （2） 1k =时，在(,0)-∞和(0,)+∞上都有()0f x '<，所以()f x 在(,0)-∞和(0,) +∞是严格的单调递减，又(0)0f =，故()f x 的图像在(,0)-∞和(0,)+∞与x 轴均无交点 （3） 1k > 时，x <<()0f x '>，()f x 在(上单调 增加，又(0)0f =知，()f x 在(上只有一个实根，又()f x (,-∞ 或)+∞都有()0f x '<，()f x 在(,-∞ 或)+∞ 都单调减，又 (0,lim ()x f f x →-∞ <=+∞ ，0,lim ()x f f x →+∞ >=-∞，所以()f x 在 (,-∞与x 轴无交点，在)+∞上与x 轴有一个交点 综上所述：1k ≤时，方程arctan 0k x x -=只有一个实根 1k >时，方程arctan 0k x x -=有两个实根 18、（本题满分10分）证明：（1）对任意正整数n ，都有111 ln(1)1n n n <+<+ （2）设1 1 1ln (1,2,)2 n a n n n =+ ++ -=，证明数列{}n a 收敛 【考点分析】：本题考查不等式的证明和数列收敛性的证明，难度较大。（1）要证明该不等式，可以将其转化为函数不等式，再利用单调性进行证明；（2）证明收敛性时要用到单调有界收敛定理，注意应用（1）的结论。 【解析】：（1）令 1x n =，则原不等式可化为ln(1),01 x x x x x <+<>+。 先证明ln(1),0x x x +<>： 令()ln(1)f x x x =-+。由于' 1 ()10,01f x x x =- >>+， 可知()f x 在[)0,+∞上单调递增。又由于(0)0f =，因此当0x >时，()(0)0f x f >=。也即ln(1),0x x x +<>。 再证明 ln(1),01 x x x x <+>+： 令()ln(1)1 x g x x x =+- +。由于' 2 11()0,01(1)g x x x x =->>++，可知()g x 在[)0,+∞上单调递增。由于(0)0g =，因此当0x >时，()(0)0g x g >=。也即ln(1),01 x x x x <+>+。 因此，我们证明了 ln(1),01 x x x x x <+<>+。再令由于，即可得到所需证明的不等式。 （2）111 ln(1)1n n a a n n +-=-++，由不等式 11ln(1)1n n <++可知：数列{}n a 单调递减。 又由不等式11 ln(1)n n +< 可知： 1 111 1ln ln(11)ln(1)...ln(1)ln ln(1)ln 02 2n a n n n n n n =++ +->++++++-=+->。 因此数列{}n a 是有界的。故由单调有界收敛定理可知：数列{}n a 收敛。 19、（本题满分11分）已知函数(,)f x y 具有二阶连续偏导数，且(1,)0,(,1)0f y f x ==， (,)D f x y dxdy a =??，其中{(,)|01,01}D x y x y =≤≤≤≤，计算二重积分 (,)xy D I xyf x y dxdy ''= ?? 【答案】：a 【考点分析】：本题考查二重积分的计算。计算中主要利用分部积分法将需要计算的积分式化为已知的积分式，出题形式较为新颖，有一定的难度。 【解析】：将二重积分 (,)xy D xyf x y dxdy ''?? 转化为累次积分可得 1 1 (,)(,)xy xy D xyf x y dxdy dy xyf x y dx ''''= ?? ?? 首先考虑 1 (,)xy xyf x y dx ''? ，注意这是是把变量y 看做常数的，故有 1 1 1 1 1 (,)(,)(,)(,)(1,)(,)xy y y y y y xyf x y dx y xdf x y xyf x y yf x y dx yf y yf x y dx '''''''==-=-???? 由(1,)(,1)0f y f x ==易知'' (1,)(,1)0y x f y f x ==。 故 1 1 (,)(,)xy y xyf x y dx yf x y dx '''=- ? ?。 1111 (,)(,)(,)xy xy y D xyf x y dxdy dy xyf x y dx dy yf x y dx '''''==-?????? 对该积分交换积分次序可得：11 11 (,)(,)y y dy yf x y dx dx yf x y dy ''- =- ?? ?? 再考虑积分 1 (,)y yf x y dy '?，注意这里是把变量x 看做常数的，故有 1 11 1 1 (,)(,)(,)(,)(,)y yf x y dy ydf x y yf x y f x y dy f x y dy '= =-=- ? ?? ? 因此 1111 (,)(,)(,)(,)xy y D D xyf x y dxdy dx yf x y dy dx f x y dy f x y dxdy a '''=-== =?????? ?? 20、（本题满分11分）()()()1231,0,1,0,1,1,1,3,5T T T ααα===不能由 ()()()1231,,1,1,2,3,1,3,5T T T a βββ===线性表出。①求a ；②将123,,βββ由123 ,,ααα线性表出。 【答案】：①5a =；②()32 1 βββ()???? ? ??--=201102451232 1ααα 【考点分析】：本题考查向量的线性表出，需要用到秩以及线性方程组的相关概念，解题时注意把线性表出与线性方程组的解结合起来。 【解析】：① 由于321,,ααα不能由321,,βββ表示 可知053142 13 11321=-==a a βββ，解得5=a ②本题等价于求三阶矩阵C 使得()()123123,,,,C βββααα= 可知()()1 1123123101113,,,,013124115135C αααβββ--???? ? ? == ? ? ? ????? 计算可得2154210102C ?? ? = ? ?--?? 因此()32 1 βββ()???? ? ??--=201102451232 1ααα 21、（本题满分11分）A 为三阶实矩阵，()2R A =，且111100001111A -???? ? ? = ? ? ? ?-???? （1）求A 的特征值与特征向量（2）求A 【答案】：（1）A 的特征值分别为1，-1，0，对应的特征向量分别为????? ??101，????? ??101-，??? ?? ??010 （2）001000100A ???? =?????? 【考点分析】：实对称矩阵的特征值与特征向量，解题时注意应用实对称矩阵的特殊性质。 【解析】：（1）????? ??=?? ??? ??101--101-A ???? ? ??=????? ??101101A 可知：1，-1均为A 的特征值，????? ??=1011ξ与??? ? ? ??=101-2ξ分别为它们的特征向量 2)(=A r ，可知0也是A 的特征值 而0的特征向量与1ξ，2ξ正交 设????? ??=3213x x x ξ为0的特征向量 有???=+-=+00 3131x x x x 得? ??? ? ??=0103k ξ A 的特征值分别为1，-1，0 对应的特征向量分别为????? ??101，????? ??101-，??? ? ? ??010 （2）-1 PΛP A = 其中??????????-=011Λ，?? ????????-=011100011P 故1 110111000110011100110A ---????????????=-?????? ???????????? ??????? ? ?????? ??-??????????-??????????-=01 12102 12102 1 011011100011 ???? ? ?????=001000100 22. （本题满分11分） ()221P X Y == 求：（1）(),X Y 的分布； （2）Z XY =的分布； （3）XY ρ. 【 （2） （3）0XY ρ= 【考点分析】：本题考查二维离散型分布的分布律及相关数字特征的计算。其中，最主要的是第一问联合分布的计算。 【解析】：（1）由于() 221P X Y ==，因此() 220P X Y ≠=。 故()0,10P X Y ===，因此 ()()()()1,11,10,111/3P X Y P X Y P X Y P Y =====+===== 再由()1,00P X Y ===可知 ()()()()0,01,00,001/3P X Y P X Y P X Y P Y =====+===== 同样，由()0,10P X Y ==-=可知 ()()()()0,11,10,111/3P X Y P X Y P X Y P Y ==-===-+==-==-= 这样，我们就可以写出(),X Y 的联合分布如下： （2）可能的取值有，， 其中(1)(1,1)1/3P Z P X Y =-== =-=，(1)(1,1)1/3P Z P X Y =====， 则有(0)1/3P Z ==。 因此，Z XY =的分布律为 （3）2/3EX =，0EY =，0,cov(,)0EXY X Y EXY EXEY ==-= 故0XY ρ= = 23、（本题满分11分）设12,, ,n x x x 为来自正态总体20(,)N μσ的简单随机样本，其中0 μ已知，20σ>未知，x 和2S 分别表示样本均值和样本方差， （1）求参数2 σ的最大似然估计^ 2σ （2）计算^ 2 ()E σ和^ 2 ()D σ 【答案】：（1）2^2 01 ()n i i X n μσ=-= ∑ （2）4^^ 222 2(),()E D n σσσσ== 【考点分析】：本题考查参数估计和随机变量数字特征的计算，有一定的难度。在求2 σ的最大似然估计时，最重要的是要将2 σ看作一个整体。在求^ 2 σ的数学期望和方差时，则需要综合应用数字特征的各种运算性质和公式，难度较大。 【解析】： （ 1 ） 似然函数 ( )222 00122221 1 ()()1 ,, ,,exp 222n n i i n n n i i x x L x x x μμσ σσπσ==?? ??--=-=- ? ? ???? ?∑ 则222 0022 1 1 ()()1ln ln 2ln ln 2ln 2 2222 n n i i i i x x n n n L n μμπσπσσσ==--=---=---∑ ∑ ()2 02 2221 ()ln 1 22 n i i x L n μσσσ=-?=-+?∑ 令2 ln 0L σ?=?可得2σ的最大似然估计值2 ^ 201 ()n i i x n μσ=-=∑ ，最大似然估计量2 ^ 2 01 ()n i i X n μσ=-= ∑ （2）由随机变量数字特征的计算公式可得 2^2 2220010111 2^2220 0102 11()1()()()()11()()()n n i i i i n n i i i i X E E E X E X DX n n X D D D X D X n n n μσμμσμσμμ====??-== -=-==????????-==-=-?????? ∑∑ ∑∑ 由于()210 0,X N μσ-，由正态分布的性质可知 ()10 0,1X N μσ -。因此 ()2 2101X μχσ-?? ??? ，由2χ的性质可知2 102X D μσ-?? = ??? ，因此2410()2D X μσ-=，故 4 ^2 2()D n σσ=。 2018考研数学一真题及答案 一、选择题 1—8小题．每小题4分，共32分． １．若函数1cos 0(),0x x f x b x ?->? =?≤? 在0x =处连续，则 （A ）12ab = （B ）1 2 ab =-（C ）0ab =（D ）2ab = 【详解】0001112lim ()lim lim 2x x x x x f x ax ax a +++→→→-=== ，0lim ()(0)x f x b f - →==，要使函数在0x =处连续，必须满足11 22 b ab a =?=．所以应该选（A ） 2．设函数()f x 是可导函数，且满足()()0f x f x '>，则 （A ）(1)(1)f f >- （B ）11()()f f <- （C ）11()()f f >- （D ）11()()f f <- 【详解】设2 ()(())g x f x =，则()2()()0g x f x f x ''=>，也就是()2 ()f x 是单调增加函数．也 就得到()()22 (1)(1)(1)(1)f f f f >-?>-，所以应该选（C ） 3．函数2 2 (,,)f x y z x y z =+在点(1,2,0)处沿向量(1,2,2)n =的方向导数为 （A ）12 （B ）6 (C ）4 （D ）2 【详解】 22,,2f f f xy x z x y z ???===???，所以函数在点(1,2,0)处的梯度为()4,1,0gradf =，所以2 2 (,,)f x y z x y z =+在点(1,2,0)处沿向量(1,2,2)n =的方向导数为 ()01 4,1,0(1,2,2)23f gradf n n ?=?=?=?应该选（D ） ４．甲、乙两人赛跑，计时开始时，甲在乙前方10（单位：米）处，如图中，实线表示甲的速度曲线1()v v t =（单位：米/秒），虚线表示乙的速度曲线2()v v t =（单位：米/秒），三块阴影部分的面积分别为10,20,3，计时开始后乙追上甲的时刻为0t ，则（ ） （A ）010t = （B ）01520t << 2019年考研数学试题（数学一） 一、选择题 1、 曲线()()()()4 3 2 4321----=x x x x y 的拐点是（ ） （A ）（1，0） （B ）（2，0） （C ）（3，0） （D ）（4，0） 【答案】C 【考点分析】本题考查拐点的判断。直接利用判断拐点的必要条件和第二充分条件即可。 【解析】由()()()()4 3 2 4321----=x x x x y 可知1,2,3,4分别是 ()()()()234 12340y x x x x =----=的一、二、三、四重根，故由导数与原函数之间的 关系可知(1)0y '≠，(2)(3)(4)0y y y '''=== (2)0y ''≠，(3)(4)0y y ''''==，(3)0,(4)0y y ''''''≠=，故（3，0）是一拐点。 2、 设数列{}n a 单调减少，0lim =∞ →n n a ，()∑=== n k k n n a S 1 2,1 无界，则幂级数 () 1 1n n n a x ∞ =-∑的收敛域为（ ） （A ） (-1，1] （B ） [-1，1) （C ） [0，2) （D ） (0，2] 【答案】C 【考点分析】本题考查幂级数的收敛域。主要涉及到收敛半径的计算和常数项级数收敛性的一些结论，综合性较强。 【解析】()∑=== n k k n n a S 12,1 无界，说明幂级数()1 1n n n a x ∞ =-∑的收敛半径1R ≤； {}n a 单调减少，0lim =∞ →n n a ，说明级数()1 1n n n a ∞ =-∑收敛，可知幂级数()1 1n n n a x ∞ =-∑的收敛 半径1R ≥。 因此，幂级数 ()1 1n n n a x ∞ =-∑的收敛半径1R =，收敛区间为()0,2。又由于0x =时幂级数 收敛，2x =时幂级数发散。可知收敛域为[)0,2。 3、 设 函数)(x f 具有二阶连续导数，且0)(>x f ，0)0(='f ，则函数)(ln )(y f x f z = 在点(0,0)处取得极小值的一个充分条件是（ ） 2012年考研数学一高等数学考试大纲 一、函数、极限、连续 考试内容 函数的概念及表示法函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性复合函数、反函数、分段函数和隐函数基本初等函数的性质及其图形初等函数函数关系的建立 数列极限与函数极限的定义及其性质函数的左极限与右极限无穷小量和无穷大量的概念及其关系无穷小量的性质及无穷小量的比较极限的四则运算极限存在的两个准则：单调有界准则和夹逼准则两个重要极限: 函数连续的概念函数间断点的类型初等函数的连续性闭区间上连续函数的性质 考试要求 1．理解函数的概念，掌握函数的表示法，会建立应用问题的函数关系. 2．了解函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性． 3．理解复合函数及分段函数的概念，了解反函数及隐函数的概念．4．掌握基本初等函数的性质及其图形，了解初等函数的概念. 5．理解极限的概念，理解函数左极限与右极限的概念以及函数极限存在与左、右极限之间的关系． 6．掌握极限的性质及四则运算法则. 7．掌握极限存在的两个准则，并会利用它们求极限，掌握利用两个重要极限求极限的方法． 8．理解无穷小量、无穷大量的概念，掌握无穷小量的比较方法，会用等价无穷小量求极限． 9．理解函数连续性的概念（含左连续与右连续），会判别函数间断点的类型． 10．了解连续函数的性质和初等函数的连续性，理解闭区间上连续函数的性质（有界性、最大值和最小值定理、介值定理），并会应用这些性质． 二、一元函数微分学 考试内容 导数和微分的概念导数的几何意义和物理意义函数的可导性与连续性之间的关系平面曲线的切线和法线导数和微分的四则运算基本初等函数的导数复合函数、反函数、隐函数以及参数方程所确定的函数的微分法高阶导数一阶微分形式的不变性微分中值定理洛必达（L’Hospital）法则函数单调性的判别函数的极值函数图形的凹凸性、拐点及渐近线函数图形的描绘函数的最大值和最小值弧微分曲率的概念曲率圆与曲率半径 考试要求 1.理解导数和微分的概念，理解导数与微分的关系，理解导数的几何意义，会求平面曲线的切线方程和法线方程，了解导数的物理意义，会用导数描述一些物理量，理解函数的可导性与连续性之间的关系． 2017年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题 一、选择题：1~8小题，每小题4分，共32分，下列每题给出的四个选项中，只有一个选 项是符合题目要求的 （1 ）若函数0(),0x f x b x >=?≤? 在0x =处连续，则 (A)12ab = (B)1 2 ab =- (C)0ab = (D)2ab = （2）设函数()f x 可导，且()()0f x f x '>则 (A)()()11f f >- (B) ()()11f f <- (C)()()11f f >- (D)()()11f f <- （3）函数()22,,f x y z x y z =+在点()1,2,0处沿向量()1,2,2n 的方向导数为（） (A)12 (B)6 (C)4 (D)2 （4）甲乙两人赛跑，计时开始时，甲在乙前方10（单位:m ）处,如下图中，实线表示甲的速度曲线()1v v t = （单位:m/s ）虚线表示乙的速度曲线()2v v t =，三块阴影部分面积的数值依次为10，20，3，计时开始后乙追上甲的时刻记为0t （单位:s ）,则 (A)010t = (B)01520t << (C)025t = (D)025t > () s （5）设α为n 维单位列向量，E 为n 阶单位矩阵，则 (A) T E αα-不可逆 (B) T E αα+不可逆 (C) 2T E αα+不可逆 (D)2T E αα-不可逆 （6）已知矩阵200021001A ????=?????? 210020001B ????=??????100020002C ????=?????? ，则 (A) A 与C 相似，B 与C 相似 (B) A 与C 相似，B 与C 不相似 (C) A 与C 不相似，B 与C 相似 (D) A 与C 不相似，B 与C 不相似 （7）设,A B 为随机事件，若0()1,0()1P A P B <<<<,则() () P A B P A B >的充分必要条件是（） A.() () P B A P B A > B () () P B A P B A < C. () ( ) P P B A B A > D. () ( ) P P B A B A < （8）设12,......(2)n X X X n ≥来自总体 (,1)N μ的简单随机样本，记1 1n i i X X n ==∑ 则下列结论中不正确的是： (A) 2 ()i X μ∑-服从2 χ分布 (B) 2 12()n X X -服从2 χ分布 (C) 21 ()n i i X X =-∑服从2χ分布 (D) 2 ()n X μ- 服从2 χ分布 二、填空题：9~14小题，每小题4分，共24分。 （9） 已知函数 21 ()1f x x = + ,则(3) (0)f =__________ （10）微分方程230y y y '''++=的通解为y =__________ （11）若曲线积分 22dy 1L xdx ay x y -+-?在区域(){} 2 2D ,1x y x y =+<内与路径无关，则a = （12）幂级数 () 1 11 1n n n nx ∞ --=-∑在区间（-1,1）内的和函数()S x = （13）设矩阵101112011A ?? ??=?????? ，123,,ααα为线性无关的3维列向量组，则向量组 5 2019年考研数学二真题 一、选择题 1—8小题．每小题4分，共32分． 1．当0x →时，若tan x x -与k x 是同阶无穷小，则k =（ ） （A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4 2．曲线3sin 2cos ()2 2 y x x x x π π =+- << 的拐点是（ ） （A ）(0,2) （B ）(,2)π- （C ）(,)22ππ - （D ）33(,)22 ππ - 3．下列反常积分发散的是 （ ） （A ） x xe dx +∞ -? （B ）2 x xe dx +∞ -? (C ）20 arctan 1x dx x +∞ +? （D ）201x dx x +∞+? 4．已知微分方程x y ay by ce '''++=的通解为12()x x y C C x e e -=++，则,,a b c 依次为（ ） （A ）1,0,1 （B ）1,0,2 (C ）2,1,3 （D ）2,1,4 5．已知平面区域{(,)|}2 D x y x y π =+≤ ， 记1D I = ，2D I =?? ， 3(1D I dxdy =-?? ，则 （ ） （A ）321I I I << （B ）213I I I << （C ）123I I I << （D ）231I I I << 6．设函数(),()f x g x 的二阶导函数在x a =处连续，则2 ()() lim 0() x a f x g x x a →-=-是两条曲线()y f x =，()y g x =在x a =对应的点处相切及曲率相等的 （ ） （A ）充分不必要条件 （B ）充分必要条件 （C ）必要不充分条件 （D ）既不充分也不必要条件 7． 设A 是四阶矩阵，*A 为其伴随矩阵，若线性方程组0Ax =的基础解系中只有两个向量，则(*)r A =（ ） （A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）3 8．设A 是三阶实对称矩阵，E 是三阶单位矩阵，若2 2A A E +=，且4A =，则二次型T x Ax 的规范形是 （ ） （A ）222123y y y ++ （B ）222123y y y +- （C ）222123y y y -- （D ）222 123y y y --- 二、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上） 9．( ) 20 lim 2 x x x x →+= ． 2019年数学一考试大纲（最新版） 考试科目：高等数学、线性代数、概率论与数理统计 考试形式和试卷结构 一、试卷满分及考试时间 试卷满分为150分，考试时间为180分钟． 二、答题方式 答题方式为闭卷、笔试． 三、试卷内容结构 高等数学 约56% 线性代数 约22% 概率论与数理统计 约22% 四、试卷题型结构 单选题 8小题，每小题4分，共32分 填空题 6小题，每小题4分，共24分 解答题（包括证明题） 9小题，共94分 高等数学 一、函数、极限、连续 考试内容 函数的概念及表示法 函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性 复合函数、反函数、分段函数和隐函数 基本初等函数的性质及其图形 初等函数 函数关系的建立 数列极限与函数极限的定义及其性质 函数的左极限和右极限 无穷小量和无穷大量的概念及其关系 无穷小量的性质及无穷小量的比较 极限的四则运算 极限存在的两个准则：单调有界准则和夹逼准则 两个重要极限： 0sin lim 1x x x →= 1lim 1x x e x →∞??+= ??? 函数连续的概念 函数间断点的类型 初等函数的连续性 闭区间上连续函数的性质 考试要求 1．理解函数的概念，掌握函数的表示法，会建立应用问题的函数关系． 2．了解函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性． 3．理解复合函数及分段函数的概念，了解反函数及隐函数的概念． 4．掌握基本初等函数的性质及其图形，了解初等函数的概念． 5．理解极限的概念，理解函数左极限与右极限的概念以及函数极限存在与左极限、右极限之间的关系． 6．掌握极限的性质及四则运算法则． 7．掌握极限存在的两个准则，并会利用它们求极限，掌握利用两个重要极限求极限的方法． 8．理解无穷小量、无穷大量的概念，掌握无穷小量的比较方法，会用等价无穷小量求极限． 9．理解函数连续性的概念（含左连续与右连续），会判别函数间断点的类型． 10．了解连续函数的性质和初等函数的连续性，理解闭区间上连续函数的性质（有界性、 2019 年考研数学选择题拿分的8 个方法 直推法即直接分析推导法。直推法是由条件出发，使用相关知识，直接分析、推导或计算出结果，从而作出准确的判断和选择。计算类选择题一般都用这种方法，其它题也常用这种方法，这是最基本、最常用、最重要的方法。 方法2：反推法 反推法即反向推导或反向代入法。反推法是由选项（即选择题的各个选项）反推条件，与条件相矛盾的选项则排除，相吻合的则是准确选项，或者将某个或某几个选项依次代入题设条件实行验证分析，与题设条件相吻合的就是准确的选项。 方法3：反证法 在选择题的 4 个选项中，若假设某个选项不准确（或准确）能够推出矛盾，则说明该选项是准确选项（或不准确选项）。选择先从哪个选项着手证明，须根据题目条件具体分析和判断，有时可能需要一些直觉。 方法4：反例法 如果某个选项是一个命题，要排除该选项或说明该命题是错误的，有时只要举一个反例即可。举反例通常是用一些常用的、比较简单但又能说明问题的例子。如果大家在平时复习或做题时适当注意积累一下与各个知识点相关的不同反例，则在考试中可能会派上用场。 方法5：特例法（特值法） 如果题目是一个带有普遍性的命题，则能够尝试采取一种或几种特殊情况、特殊值去验证哪些选项是准确的、哪些是错误的，或者哪 些极有可能是准确的或错误的，从而做出准确的选择。 特例法用于以下几种情况时特别有效：(1) 条件和结论带有一定的普遍性时，通过取特例来确定或排除某些选项;(2) 对于不成立或极有可能不成立的结论需用举反例的方法证明其是错误时;(3) 对于一些难以作出判断的题，假设在特殊情况下来考察其准确与否。 方法6：数形结合法 根据条件画出相对应的几何图形，结合数学表达式和图形实行分析，从而做出准确的判断和选择。这种方法常用于与几何图形相关的选择题，如：定积分的几何意义，二重积分的计算，曲线和曲面积分等。 方法7：排除法 如果能够通过一种或几种方法排除 4 个选项中的 3 个，则剩下的那个当然就是准确的选项，或者先排除 4 个选项中的2个，然后再对其余的 2 个实行判断和选择。 方法8：直觉法 如果采用以上各种方法仍无法作出选择，那就凭直觉或第一印象作选择。虽然直觉法不是很可靠，但能够作为一种参考，况且人的直觉或第一印象有时还是有一定效果的。 在以上方法中，基本的方法是直推法，就是使用数学基本知识和方法实行分析判断，从四个选项中找出符合要求的那个选项; 排除法是对所有考试中做选择题都适用的方法，是一种普遍性的方法; 反例法是针对以数学命题作为选项的题目很有用和有效的一种方法，使用得当能够很快找出答案; 2019年考研数学一真题解析 一、选择题 1—8小题．每小题4分，共32分． 1．当0x →时，若tan x x -与k x 是同阶无穷小，则k =（ ） （A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4 【答案】（C ） 【详解】当0x →时，331tan ()3x x x o x =++，所以331 tan ()3 x x x o x -=-+，所以3k =． 2．设函数,0()ln ,0 x x x f x x x x ?≤? =? >??，则0x =是()f x 的（ ） （A ）可导点，极值点 （B ）不可导的点，极值点 （C ）可导点，非极值点 （D ）不可导点，非极值点 【答案】（B ） 【详解】（1）0 1 ln (00)lim ln lim 0,(00)lim 0,(0)01 x x x x f x x f x x f x ++ - →→→-+===-===，所以函数在0x =处连续；（2）0ln (0)lim x x x f x + +→'==-∞，所以函数在0x =处不可导； （3）当0x <时，2(),()20f x x f x x '=-=->，函数单调递增；当1 0x e <<时，()1ln 0f x x '=+<，函数单调减少，所 以函数在0x =取得极大值． 3．设{}n u 是单调增加的有界数列，则下列级数中收敛的是（ ） （A ）1n n u n ∞ =∑ （B ）11(1)n n n u ∞=-∑ (C ）111n n n u u ∞=+??- ?? ?∑ （D ）22 11()n n n u u ∞+=-∑ 【答案】（D ） 【详解】设{}n u 是单调增加的有界数列，由单调有界定理知lim n n u →∞ 存在，记为lim n n u u →∞ =；又设n ?，满足 n u M ≤，则221111()()2()n n n n n n n n u u u u u u M u u ++++-=+-≤-，且22 10n n u u +-≥，则对于正项对于级数 2 211 ()n n n u u ∞ +=-∑，前n 项和： 2 21 11111 1 ()2()2()22n n n k k k k n n k k S u u M u u M u u Mu Mu ++++===-≤-=-≤→∑∑ 也就是 2211 ()n n n u u ∞ +=-∑收敛． 2019年考研数学（二）真题及完全解析（Word 版） 一、选择题:1～8小题，每小题4分，共32分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题 目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. 1、当0x →时，若tan x x -与 k x 是 同阶无穷小量，则k =（ ） A 、 1. B 、2. C 、 3. D 、 4. 【答案】C . 【解析】因为 3tan ~3 x x x --，所以3k =，选 C . 2、曲线3sin 2cos y x x x x π π??=+<< ??? － ２２的拐点是（ ） A 、, ππ?? ??? ２２ . B 、()0,2 . C 、(),2π- . D 、33,ππ?? ??? ２２. 【答案】C . 【解析】cos sin y x x x '= - ，sin y x x ''=-，令 sin 0y x x ''=-=，解得0x =或x π=。 当x π>时，0y ''>；当x π<时，0y ''<，所以(),2π- 是拐点。故选 C . 3、下列反常积分发散的是（ ） A 、0 x xe dx +∞ -? . B 、 2 x xe dx +∞ -? . C 、 20 tan 1arx x dx x +∞ +? . D 、201x dx x +∞+?. 【答案】D . 【解析】A 、 1x x x x xe dx xde xe e dx +∞ +∞ +∞ +∞ ----=-=-+=? ??，收敛； B 、2 220011 22 x x xe dx e dx +∞ +∞--==??，收敛； C 、22 200 tan 1arctan 128 arx x dx x x π+∞ +∞==+? ，收敛； D 、22 220 00 111(1)ln(1)1212x dx d x x x x +∞ +∞ +∞=+=+=+∞++? ?，发散，故选D 。 密 封 线 内 不 要 答 题 ………………………………………………………………………………………………………………………………………………… 全国硕士研究生入学统一考试数学（三） 模拟试卷 一、选择题（1～8小题，每小题4分，共32分．） （1）已知当0→x 时，1)2 31(31 2 -+x 与1cos -x 是 （ ） （A ）等价无穷小 （B ）低阶无穷小 （C ）高价无穷小 （D ）同阶但非等价无穷小 （2）设()f x 满足()(1cos )()()sin f x x f x xf x x '''+-+=，且(0)2f =，0)0(='f 则（ ） （A ）0x =是函数()f x 的极小值点 （B ）0x =是函数()f x 的极大值点 （C ）存在0δ>，使得曲线()y f x =在点(0,)δ内是凹的 （D ）存在0δ>，使得曲线()y f x =在点(0,)δ内是凸的 （3）设有两个数列{}{},n n a b ,若lim 0n n a →∞ =,则正确的是 （ ） （A ）当 1n n b ∞ =∑收敛时, 1n n n a b ∞ =∑收敛. （B ）当 1n n b ∞ =∑发散时, 1n n n a b ∞ =∑发散. （C ）当 1 n n b ∞ =∑收敛时, 221 n n n a b ∞ =∑收敛. （D ）当 1 n n b ∞ =∑发散时, 221 n n n a b ∞ =∑发散. （4）设2 2 (,)xy z f x y e =-，其中(,)f u v 具有连续二阶偏导数，则z z y x x y ??+=?? （ ） （A ）( ) v xy f e y x '+2 2 (B) v xy u f xye f xy '+'24 (C) ( ) u xy f e y x '+2 2 (D) v xy f xye '2 （5）设四阶方阵()1234,,,,A αααα=其中12,αα线性无关，若1232αααβ+-=， 1234ααααβ+++=，1234232ααααβ+++=，则Ax β=的通解为（ ） （A ） 123112213111012k k k ?????? ? ? ? ? ? ?++ ? ? ?- ? ? ??????? （B ）12012123201112k k ?????? ? ? ? ? ? ?++ ? ? ?- ? ? ?-?????? （C ）12112213111012k k ?????? ? ? ? ? ? ?++ ? ? ?- ? ? ??????? （D ）1230111121120211121k k k ???????? ? ? ? ? ? ? ? ?+++ ? ? ? ?- ? ? ? ?-???????? （6） 设A 为4阶实对称矩阵,且2 A A O +=,若A 的秩为3,则A 相似于 ( ) (A ) 1110?? ? ? ? ???. (B ) 1110?? ? ? ?- ? ?? . (C ) 1110?? ?- ? ?- ???. (D ) 1110-?? ? - ? ?- ? ?? (7)设随机变量X 与Y 相互独立，且分别服从参数为1与参数为4的指数分布，则 {}P X Y <=( ) （8）设12,,,n X X X L 为来自指数总体()E λ的简单随机样本，X 和2 S 分别是样本均值和样本方差．若2 2 2 1 ()E kX S λ -= ，则k = （ ） （A ）1 (B) 2 (C) 1n n + (D) 21 n n + 二、填空题（9～14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上） （9）设1 lim )(212+++=-∞→n n n x b ax x x f 为连续函数，求=a ___，=b 。 2019全国硕士研究生考研数学一真题及答案解析(官方） 一、选择题，1~8小题，每小题4分，共32分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的. 1.当0→x 时，若x x tan -与k x 是同阶无穷小，则=k A.1. B. 2. C. 3. D.4. 2.设函数?? ?>≤=, 0,ln , 0,)(x x x x x x x f 则0=x 是)(x f 的 A.可导点，极值点. B.不可导点，极值点. C.可导点，非极值点. D.不可导点，非极值点. 3.设{}n u 是单调增加的有界数列，则下列级数中收敛的是 A..1∑∞ =n n n u B. n n n u 1) 1(1∑∞ =-. C.∑∞ =+??? ? ??-111n n n u u . D. () ∑∞ =+-1 22 1n n n u u . 4.设函数2 ),(y x y x Q = ，如果对上半平面（0>y ）内的任意有向光滑封闭曲线C 都有?=+C dy y x Q dx y x P 0),(),(，那么函数),(y x P 可取为 A.32 y x y -. B.321y x y -. C. y x 11-. D.y x 1- . 5.设A 是3阶实对称矩阵，E 是3阶单位矩阵.若E A A 22 =+，且4=A ，则二次型 Ax x T 的规范形为 A.232221y y y ++. B.232221y y y -+. C.232221y y y --. D.2 32221y y y ---. 6.如图所示，有3张平面两两相交，交线相互平行，它们的方程 )3,2,1(321==++i d z a y a x a i i i i 组成的线性方程组的系数矩阵和增广矩阵分别记为A A ,，则 A..3)(,2)(==A r A r B..2)(,2)(==A r A r C..2)(,1)(==A r A r D..1)(,1)(==A r A r 7.设B A ,为随机事件，则)()(B P A P =的充分必要条件是 A.).()()(B P A P B A P +=Y B.).()()(B P A P AB P = C.).()(A B P B A P = D.).()(B A P AB P = 8.设随机变量X 与Y 相互独立，且都服从正态分布),(2 σμN ，则{} 1<-Y X P A.与μ无关，而与2σ有关. B.与μ有关，而与2σ无关. C.与2 ,σμ都有关. D.与2,σμ都无关. 二、填空题：9~14小题，每小题4分，共24分. 9. 设函数)(u f 可导，,)sin (sin xy x y f z +-=则 y z cosy x z cosx ???+???11= . 10. 微分方程02'22 =--y y y 满足条件1)0(=y 的特解=y . 11. 幂级数n n n x n ∑∞ =-0)! 2()1(在)0∞+，（内的和函数=)(x S . 1 2019 年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷 一、选择题：1~8 小题，每小题 4 分，共32 分，下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求 的 （1）当x → 0 时，若x - tan x 与x k 是同阶无穷小，则k =（） (A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4 ≤ 0 ，则x = 0 是f (x) 的（） (A)可导点，极值点(B) 不可导点，极值点 (C)可导点，非极值点(D) 不可导点，非极值点 （2）设{u n}是单调增加的有界数列，则下列级数中收敛的是（） （3）设函数Q(x, y) = x . 如果对上半平面( y > 0) 内的任意有向光滑封闭曲线 C 都有y2 ?C P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0,那么函数P(x,y)可取为（） x2 (A)y -(B) y3 1 x2 1 -(C) y y3 x -(D) x - 1 y y （4）设A是3阶实对称矩阵，E是3阶单位矩阵，若A2 +A = 2E, 且A = 4，则二次型x T Ax 的规范为（） (A) y2 +y2 +y2(B)y2 +y2 -y2 1 2 3 1 2 3 (C)y2 -y2 -y2(D)-y2 -y2 -y2 1 2 3 1 2 3 （5）如图所示，有 3 张平面两两相交，交线相互平行，它们的方程a i1 x +a i 2 y +a i3 z =d i (i =1,2,3)组成的 线性方程组的系数矩阵和增广矩阵分别记为A, A, 则（） (A) r( A) = 2, r( A) = 3 (B) r( A) = 2, r( A) = 2 ? u 1 2019 年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷 一、选择题：1~8 小题，每小题 4 分，共 32 分，下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求 的 （1） 当 x → 0 时，若 x - tan x 与 x k 是同阶无穷小，则 k =（ ） (A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4 ? x x , （2） 设函数 f (x ) = x ≤ 0 ，则 x = 0 是 f (x ) 的（ ） ? x ln x , x > 0 (A)可导点，极值点 (B) 不可导点，极值点 (C)可导点，非极值点 (D) 不可导点，非极值点 （3） 设 {u n }是单调增加的有界数列，则下列级数中收敛的是（ ） ∞ u n ∞?1 (A) ∑ n =1 (B) ∑(-1) n =1 n ∞ u n ∞ 2 2 (C) ∑(1- n =1 ) n +1 (D) ∑(u n +1 - u n ) n =1 （4） 设函数Q (x , y ) = x . 如果对上半平面( y > 0) 内的任意有向光滑封闭曲线 C 都有 y 2 ? C P (x , y )dx + Q (x , y )dy =0, 那么函数 P (x , y ) 可取为（ ） x 2 (A) y - (B) y 3 1 x 2 1 - (C) y y 3 x - (D) x - 1 y y （5） 设A 是3阶实对称矩阵，E 是3阶单位矩阵，若A 2 + A = 2E , 且 A = 4，则二次型x T Ax 的规范为 （ ） (A) y 2 + y 2 + y 2 (B) y 2 + y 2 - y 2 1 2 3 1 2 3 (C) y 2 - y 2 - y 2 (D) - y 2 - y 2 - y 2 1 2 3 1 2 3 （6） 如图所示，有 3 张平面两两相交，交线相互平行，它们的方程 a i 1 x + a i 2 y + a i 3 z = d i (i = 1,2,3)组成的 线性方程组的系数矩阵和增广矩阵分别记为 A , A , 则（ ） (A) r ( A ) = 2, r ( A ) = 3 (B) r ( A ) = 2, r ( A ) = 2 u n 2019年考研数学一 一、选择题，1~8小题，每小题4分，共32分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的. 1.当0→x 时，若x x tan -与k x 是同阶无穷小，则k= A.1. B. 2. C. 3. D. 4. 2.设函数?? ?>≤=, 0,ln ,0,)(x x x x x x x f 则0=x 是 )(x f 的 A.可导点，极值点. B.不可导点，极值点. C.可导点，非极值点. D.不可导点，非极值点. 3.设{u n }是单调增加的有界数列，则下列级数中收敛的是 A..1∑∞ =n n n u B.n n n u 1)1(1∑∞=-. C.∑∞=+???? ??-111n n n u u . D.() ∑∞ =+-12 21n n n u u . 4.设函数Q(x ,y )=x/y 2，如果对上半平面（y >0）内的任意有向光滑封闭曲线C 都有(,)(,)0C P x y dx Q x y dy +=??， 那么函数P(x ,y )可取为 A.32y x y -. B.321y x y -. C.y x 11-. D.y x 1 -. 5.设A 是3阶实对称矩阵，E 是3阶单位矩阵.若E A A 22=+，且4=A ，则二次型Ax x T 的规范形为 A.232221y y y ++. B.232221y y y -+. C.232221y y y --. D.2 32221y y y ---. 6.如图所示，有3张平面两两相交，交线相互平行，它们的方程)3,2,1(321==++i d z a y a x a i i i i 组成的线性方程组的系数矩阵和增广矩阵分别记为A,A ，则 A.r (A)=2,() 3.r A = B. r (A)=2,() 2.r A = C. r (A)=1,() 2.r A = D. r (A)=1,() 1.r A = 7.设A,B 为随机事件，则P(A)= P(B)的充分必要条件是 A.P(A ∪B)=P(A)+P(B) B. P(AB)=P(A)P(B) C. P(A B )=P(B A ) D. P(A B)=P(A B ) 8.设随机变量X 与Y 相互独立，且都服从正态分布),(2σμN ，则{}1<-Y X P A.与μ无关，而与σ2有关. B.与μ有关，而与σ2无关. C.与μ, σ2都有关. D.与μ, σ2都无关. 二、填空题：9~14小题，每小题4分，共24分. 9. 设函数)(u f 可导，,)sin (sin xy x y f z +-=则 y z cosy x z cosx ???+???11= . 10. 微分方程02'22 =--y y y 满足条件1)0(=y 的特解=y . 11. 幂级数n n n x n ∑∞ =-0 )!2()1(在)0∞+，（内的和函数=)(x S . 12. 设∑为曲面)0(442 22≥=++z z y x 的上侧，则 dxdy z x z ?? --2244= . 2019年研究生统一入学考试数学（一） 一、选择题：1~8 小题，每小题 4 分，共 32 分。下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的。 1.当 时，若 与 是同阶无穷小，则 等于（ C ） A B C D 2.设函数 ，则 是 的（ B ） A 可导点，极值点 B 不可导点，极值点 C 可导点，非极值点 D 不可导点，非极值点 3.设 是单调增加的有解数列，则下列级数中收敛的是（ D ） A B C D 4. 设函数 。如果对上半平面（ ）内的任意有向光滑封闭曲线 都有 ，那么函数 可取为（ D ） A B C D 5. 设是阶实对称矩阵， 是阶单位矩阵。若 ，且 ，则二次型 规范形为（C ） A B C D 6.如图所示，有张平面两两相交，交线相互平行，它们的方程组成的线性方程组的系数矩阵和增广矩阵分别记为，则（A ） A B C D 7.设为随机事件，则充分必要条件是（C ） A B C D 8.设随机变量和相互独立，且都服从正态分布，则（A ） A 与无关，而与有关 B 与有关，而与无关 C 与，都有关 D 与，都无关 二、填空题：9-14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上。 9. 设函数可导，，则。 10.微分方程满足条件的特解。 11. 幂级数在内的和函数。 12. 设为曲面的上侧，则。 13. 设为阶矩阵，若，线性无关，且，则线性方程组的通解为 。 14.设随机变量的概率密度为，为的分布函数，为的数学期望，则 。 三、解答题：15—23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 2019年考研数学三真题解析 一、选择题 1—8小题．每小题4分，共32分． 1．当0x →时，若tan x x -与k x 是同阶无穷小，则k =（ ） （A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4 【答案】（C ） 【详解】当0x →时，331tan ()3x x x o x =++，所以331 tan ()3 x x x o x -=-+，所以3k =． 2．已知方程550x x k -+=有三个不同的实根，则k 的取值范围是（ ） （A ）(,4)-∞- （B ）(4,)+∞ （C ）(4,0)- （D ）(4,4)- 【答案】（D ） 【详解】设 5()5f x x x k =-+，则42(),(),()555(1)(1)(1),f f f x x x x x '-∞=-∞+∞=+∞=-=++- 令()0f x '=得 121,1x x =-=且 (1)20,(1)20f f ''''-=-=，也就是函数在 11x =-处取得极大值 (1)4f k -=+，在2 1x =处取得极小值(1)4f k =-； 由于方程有三个不同实根，必须满足(1)40 (1)20f k f k -=+>?? =-
2018-2019年考研数学一真题及答案
2019年考研数学真题(数学一)共15页word资料
2019年考研数学一高等数学考试大纲附录10页
2017-2019年(近三年)3套考研数学一真题
2019年考研数学二真题
2019年数学一考试大纲(最新版)
2019年考研数学选择题拿分的8个方法
2019年考研数学一真题与解析
2019年考研数学二真题及全面解析
2019年考研数学3模拟模拟卷
2019全国硕士研究生考研数学一真题及答案解析
2019年考研数学一真题
2020考研数学一真题参考2019年
2019考研数学一真题及答案解析参考
2019年考研数学一真题及答案解析
2019年考研数学三真题与解析
相关主题
文本预览