高中数学数列压轴题练习（江苏）及详解
1.已知数列是公差为正数的等差数列,其前n项和为,且?
,
(Ⅰ)求数列的通项公式;
(Ⅱ)数列满足,
①求数列的通项公式;
②是否存在正整数m,,使得,,成等差数列?若存在,求出m,n的值;若不存在,请说明理由.
解:(I)设数列的公差为d,则
由?,,得,
计算得出或(舍去).
;
(Ⅱ)①,,
,
,
即,,,
,
累加得:,
也符合上式.
故,.
②假设存在正整数m、,使得,,成等差数列,
则
又,,,
,即,
化简得:
当,即时,,(舍去);
当,即时,,符合题意.
存在正整数,,使得,,成等差数列.
解析
(Ⅰ)直接由已知列关于首项和公差的方程组,求解方程组得首项和公差,代入等差数列的通项公式得答案;
(Ⅱ)①把数列的通项公式代入,然后裂项,累加后即可求得数列的通项公式;
②假设存在正整数m、,使得,,成等差数列,则
.由此列关于m的方程,求计算得出答案.
2.在数列中,已知,
(1)求证:数列为等比数列;
(2)记,且数列的前n项和为,若为数列中的最小项,求的取值范围.
解:(1)证明:,
又,
,,
故,
是以3为首项,公比为3的等比数列
(2)由(1)知道,,
若为数列中的最小项,则对有
恒成立,
即对恒成立
当时,有;
当时,有?;
当时,恒成立,
对恒成立.
令,则
对恒成立,
在时为单调递增数列.
,即
综上,
解析
(1)由,整理得:.由,
,可以知道是以3为首项,公比为3的等比数列; (2)由(1)求得数列通项公式及前n项和为,由为数列中的最小项,则对有恒成立,分类分别求得
当时和当的取值范围,
当时,,利用做差法,根据函数的单调性,即可求得的取值范围.
3.在数列中,已知,,,设
为的前n项和.
(1)求证:数列是等差数列;
(2)求;
(3)是否存在正整数p,q,,使,,成等差数列?若存在,求出p,q,r的值;若不存在,说明理由.
(1)证明:由,,
得到,
则
又,
,
数列是以1为首项,以-2为公差的等差数列;
(2)由(1)可以推知:,
所以,,
所以,①
,②
①-②,得
,
,
,
所以
(3)假设存在正整数p,q,,使,,成等差数列.则,
即
因为当时,,
所以数列单调递减.
又,
所以且q至少为2,
所以,
①当时,,
又,
所以,等式不成立.
②当时,,
所以
所以,
所以,(数列单调递减,解唯一确定).
综上可以知道,p,q,r的值分别是1,2,3.
解析
(1)把给出的数列递推式,,变形后得到新数列
,该数列是以1为首项,以-2为公差的等差数列;
(2)由(1)推出的通项公式,利用错位相减法从而求得求;
(3)根据等差数列的性质得到,从而推知p,q,r的值.
4.已知n为正整数,数列满足,,设数列满足
(1)求证:数列为等比数列;
(2)若数列是等差数列,求实数t的值;
(3)若数列是等差数列,前n项和为,对任意的,均存
在,使得成立,求满足条件的所有整数的值.
(1)证明:数列满足,,
?,?,
数列为等比数列,其首项为,公比为2;
(2)解:由(1)可得:?,
,
数列是等差数列,,
,
计算得出或12.
时,,是关于n的一次函数,因此数列是等差数列.
时,,,不是关于n的一次函数,
因此数列不是等差数列.
综上可得;
(3)解:由(2)得,
对任意的,均存在,使得成立,
即有??,
化简可得,
当,,,对任意的,符合题意;
当,,当时,
,
对任意的,不符合题意.
综上可得,当,,对任意的,均存在,
使得成立.
解析
(1)根据题意整理可得,?,再由等比数列的定义即可得证;
(2)运用等比数列的通项公式和等差数列中项的性质,可得,解方程可得t,对t的值,检验即可得到所求值;
(3)由(2)可得,对任意的,均存在,使得
成立,即有??,讨论为偶数和奇数,化简整理,即可得到所求值.
5.已知常数,数列满足,
(1)若,,
①求的值;
②求数列的前n项和;
(2)若数列中存在三项,,依次成等差数列,求的取值范围.
解:(1)①,
,
,
,
②,,
当时,,
当时,,即从第二项起,数列是以1为首项,以3为公比的等比数列,
数列的前n项和,,
显然当时,上式也成立,
;
(2),
,即单调递增.
(i)当时,有,于是,
,
若数列中存在三项,,依次成等差数列,
则有,
即
,.因此不成立.因此此
时数列中不存在三项,,依次成等差数列.
当时,有.此时
于是当时,.从而
若数列中存在三项,,依次成等差数列,
则有,
同(i)可以知道:.于是有,
,是整数,.于是,即.
与矛盾.
故此时数列中不存在三项,,依次成等差数列.
当时,有
于是
此时数列中存在三项,,依次成等差数列.
综上可得:
解析
(1)①,可得,同理可得,
②,,当时,,当时,
,即从第二项起,数列是以1为首项,以3为公比的等比数列,利用等比数列的求和公式即可得出
(2),可得,即单调递增.
(i)当时,有,于是,可得,.利用反证法即可得出不存在.
当时,有.此时.于是当时,
.从而.假设存在,同(i)可以知道:.得出
矛盾,因此不存在.
当时,有.于是.即可得出结论. 6.已知两个无穷数列和的前n项和分别
为,,,,对任意的,都
有
(1)求数列的通项公式;
(2)若为等差数列,对任意的,都有.证明:;
(3)若为等比数列,,,求满足的n值.
解:(1)由,得,
即,所以
由,,可以知道
所以数列是以1为首项,2为公差的等差数列.
故的通项公式为,
(2)证法一:设数列的公差为d,
则,
由(1)知,
因为,所以,
即恒成立,
所以,即,
又由,得,
所以
所以,得证.
证法二:设的公差为d,假设存在自然数,使得,
则,即,
因为,所以
所以,
因为,所以存在,当时,恒成立.这与“对任意的,都有”矛盾!
所以,得证.
(3)由(1)知,.因为为等比数列,
且,,
所以是以1为首项,3为公比的等比数列.
所以,
则,
因为,所以,所以
而,所以,即
当,2时,式成立;
当时,设,
则
,
所以,
故满足条件的n的值为1和2.
解析
(1)运用数列的递推式和等差数列的定义和通项公式,即可得到所求;
(2)方法一、设数列的公差为d,求出,.由恒成立思想可得,求出,判断符号即可得证;
方法二、运用反证法证明,设的公差为d,假设存在自然数,使得,推理可得,作差,推出大于0,即可得证;
(3)运用等差数列和等比数列的求和公式,求得,,化简,推出小于3,结合等差数列的通项公式和数列的单调性,即可得到所求值.
7.已知数列,都是单调递增数列,若将这两个数列的项按由小到
大的顺序排成一列(相同的项视为一项),则得到一个新数列
(1)设数列,分别为等差、等比数列,
若,,,求;
(2)设的首项为1,各项为正整数,,若新数列是等差数列,求数列的前n项和;
(3)设是不小于2的正整数),,是否存在等差数列,使得对任意的,在与之间数列的项数总是若存在,请给出一个满足题意的等差数列;若不存在,请说明理由.
解:(1)设等差数列的公差为d,等比数列的公比为q,
根据题意得,,计算得出或3,因数列,单调递增,
所以,,
所以,,
所以,
因为,,,
(2)设等差数列的公差为d,又,且,
所以,所以
因为是中的项,所以设,即
当时,计算得出,不满足各项为正整数;
当时,,此时,只需取,而等比数列的项都是等差数列,中的项,所以;
当时,,此时,只需取,
由,得,是奇数,是正偶数,m有正整数解,
所以等比数列的项都是等差数列中的项,所以
综上所述,数列的前n项和,或
(3)存在等差数列,只需首项,公差
下证与之间数列的项数为.即证对任意正整数n,都有
,
即成立.
由,
所以首项,公差的等差数列符合题意
解析
(1)设等差数列的公差为d,等比数列的公比为q,根据题意得,
,计算得出或3,因数列,单调递增,, ,可得,,利用通项公式即可得出.
(2)设等差数列的公差为d,又,且,所以,所以
.因为是中的项,所以设,即
.当时,计算得出,不满足各项为正整数当
时,当时,即可得出.
(3)存在等差数列,只需首项,公差.下证与
之间数列的项数为.即证对任意正整数n,都有
,作差利用通项公式即可得出.
8.对于数列,称
(其中,为数列的前k项“波动均值”.若对任意的, ,都有,则称数列为“趋稳数列”.
(1)若数列1,x,2为“趋稳数列”,求x的取值范围;
(2)若各项均为正数的等比数列的公比,求证:是“趋稳数列”;
(3)已知数列的首项为1,各项均为整数,前k项的和为.且对任意
,,都有,试计算:
.
解:(1)根据题意可得,
即,两边平方可得,
计算得出;
(2)证明:由已知,设,
因且,
故对任意的,,都有,
,,
因,
,,,,,
,
,
,
即对任意的,,都有,故是“趋稳数列”;
(3)当时,
当时,,
同理,,
因,
,
即,
所以或
所以或
因为,且,所以,从而,
所以
,
.
解析
(1)由新定义可得,解不等式可得x的范围;
(2)运用等比数列的通项公式和求和公式,结合新定义,运用不等式的性质即可得证;
(3)由任意,,都有,可得
,由等比数列的通项公式,可得
,结合新定义和二项式定理,化简整理即可得到所求值.
9.已知首项为1的正项数列{a n}满足+＜a n+1a n，n∈N*.
（1）若a2=，a3=x，a4=4，求x的取值范围；
（2）设数列{a n}是公比为q的等比数列，S n为数列{a n}前n项的和，若S n ＜S n+1＜2S n，n∈N*，求q的取值范围；
（3）若a1，a2，…，a k（k≥3）成等差数列，且a1+a2+…+a k=120，求正整数k 的最小值，以及k取最小值时相应数列a1，a2，…，a k（k≥3）的公差.
解：（1）由题意，a n＜a n+1＜2a n，
∴＜x＜3,
＜x＜2x，
∴x∈（2，3）.
（2）∵a n＜a n+1＜2a n，且数列{a n}是公比为q的等比数列，a1=1，
∴q n-1＜q n＜2q n-1，
∴q n-1(q-)＞0，q n-1(q-2)＜0，
∴q∈（，1）.
∵S n＜S n+1＜2S n，当q=1时，S2=2S1，不满足题意，
当q≠1时，＜＜2?，
∴①当q∈（，1）时，