高三数学查漏补缺题
2020.6
说明：
1.提供的题目并非一组试卷，小题（选、填）主要针对以前没有考到的知识点，或者在试题的呈现形式上没有用过的试题.
2.教师要根据自己学校的学生情况，有针对性地选择使用，也可以不用.
3.试题按照中心组教师的建议和一些教师的建议匆匆赶制而成，难免出错，希望老师们及时指出问题，以便及时改正.
【集合与简易逻辑】
1. 已知集合A ＝{x |ln(1)1x +≤}，B ＝{－2,－1,0,1,2}，则A ∩B ＝
A ．{0,1}
B ．{－1,0,1}
C ．{－2, －1,0,1}
D ．{－1,0,1,2}
答案：A
2. 在ABC ?中，“cos cos A B <”是“sin sin "A B >的
A ．充分而不必要条件
B ．必要而不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
答案 ：C
3.设α，β为两个平面，则α∥β的充要条件是 A ．α内有无数条直线与β平行 B ．α内有两条相交直线与β平行 C ．α，β平行于同一条直线 D ．α，β垂直于同一平面
答案 ：B
【复数】
1. 如果复数 222(32)i z a a a a =+-+-+为纯虚数，那么实数a 的值为
A. 2
B. 1
C. ?2
D. 1 或 ?2
答案：C
2.设32i z =-+，则在复平面内z 对应的点位于 A ．第一象限 B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
答案 ：C 3. 若
i
i 1i
m n +=+，则实数m =_________，实数n =_________.
答案：1,1m n =-=.
【不等式】
1.设0a b <<，则下列不等式中正确的是
A ．2a b a b +<
B ．2a b
a b +<<<
C ．2a b a b +<
D 2
a b a b +<<< 答案 ：B [解答]
（方法一）已知a b <2
a b
+<
，比较a
因为22
()0a a a b -=-<，所以a <
22()0b b b a -=->b <；作差法：022
a b b a
b +--
=>，
所以
2a b b +<，综上可得2
a b
a b +<<；故选B ． （方法二）取2a =，8b =，
4=，
52a b +=，所以2
a b
a b +<<<． 2. 设R m ∈且0m ≠，“4
+
4m m
>”的一个必要不充分条件是（ ） A ．2m ≠ B ．0m >且2m ≠ C ．2m > D ．2m ≥ 答案：A
3. 已知(0,1)m ∈，令log 2m a =，2b m =，2m c =，那么,,a b c 之间的大小关系为（ ）
A ．b c a <<
B ．b a c <<
C ．a b c <<
D ．c a b <<
答案：C
4. 设0.2log 0.3a =，2log 0.3b =，则
A ．0a b ab +<<
B ．0ab a b <+<
C ．0a b ab +<<
D ．0ab a b <<+
答案 ：B [解答]
由0.2log 0.3a =得
0.31log 0.2a =，由2log 0.3b =得0.31
log 2b
=， 所以
0.30.30.311log 0.2log 2log 0.4a b +=+=，所以1101a b <+<，得01a b
ab
+<<． 又0a >，0b <，所以0ab <，所以0ab a b <+<．故选B ．
【数列】
1. 设{}n a 是等差数列，下列结论中正确的是（ ）.
A.若120a a +>，则230a a +>
B.若130a a +<，则120a a +<
C.若120a a <<，则2a >
D.若10a <，则()()21230a a a a -->
答案：C
2. 若等差数列{}n a 满足7890a a a ++>，7100a a +<，则当n =________时，{}n a 的前n 项和最大. 答案：8
3. 已知数列{}n a ,22a =,*13,n n a a n n N ++=∈,则24681012a a a a a a +++++=______ 答案：57
[解答]
法一: 通过具体罗列各项34a = ,45a = ,57a = ,68a = ,710a = ,811a = ,913a = ,1014a = ,
1116a =,1217a =,
所以24681012a a a a a a +++++=57
法二: 由递推关系进一步可得相邻几项之间的关系
13,n n a a n ++=1233,n n a a n +++=+
两式相减可得23,
n n a a +-=
所以数列{}n a 隔项成等差数列，所以24681012,,,,,a a a a a a 是以2为首项，以3为公差，共有6项的等差数列，用求和公式得24681012a a a a a a +++++ =65
623572
??+
?=
4. 数列{}n a 是等差数列 ，{}n b 是各项均为正数的等比数列，公比1q >，且55a b =，则
A ．3746a a b b +>+
B ．3746a a b b +≥+
C ．3746a a b b +<+
D ．3746a a b b +=+ 答案：C
【平面向量】
1．设向量a,b 不平行，向量+λa b 与+2a b 平行，则实数λ= ． 答案：
12
2. 设π
02
θ<<，向量()()sin 2,cos ,cos ,1θθθ==a b ，若//a b ，则=θtan _______. 答案：
12
3. 设向量()3,3=a ，()1,1=-b ，若()()λλ+⊥-a b a b ，则实数λ=________.
答案：±3
4. 设a ，b 均为单位向量，则“33-=+a b a b ”是“a ⊥b ”的
A ．充分而不必要条件
B ．必要而不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
答案：C [解答]
∵33-=+a b a b ，∴22
(3)(3)-=+a b a b ，∴2269-?+=a a b b 2296+?+a a b b ，又||||1==a b ，∴0?=a b ，∴⊥a b ；反之也成立，故选C ．
【三角函数】
1.若角α的终边过点(1,2)-，则sin 2_____α=
答案：4
5
- [解答]
1,2,x y r ==-==
sin αα∴==
4
sin 22sin cos 2(5ααα∴==?=-
2. 函数()()cos f x x ω?=+的部分图象如图所示，则()f x 的单调递减区间为
A ．13,44k k ?
?
π-
π+ ???，k ∈Z B ．132,244k k ?
?
π-
π+ ??
?
，k ∈Z C ．13,44k k ?
?-+ ??
?，k ∈Z
D ．132,244k k ??
-+ ???
，k ∈Z 答案：D
3.函数()sin f x x =的图象向左平移
3
π
个单位得到函数()g x 的图象，则下列关于函数()()y f x g x =+的结论：
①一条对称轴方程为76x π=
; ②点5,06π??
???
是对称中心; ③在区间0,
3π??
?
??
上为单调增函数; ④最大值为32. 其中所有正确的结论为__________.（写出正确结论的序号）
答案：②③ 4. 设函数
()f x =sin （5
x ωπ+）(ω＞0)，已知()f x 在[]0,2π有且仅有5个零点，下述四
个结论： ①()f x 在（0,2π）有且仅有3个极大值点; ②()f x 在（0,2π）有且仅有2个极小值点 ③
()f x 在（0,
10
π
）单调递增
④ω的取值范围是[
1229510
，) 其中所有正确结论的编号是
A ． ①④
B ． ②③
C ． ①②③
D ． ①③④ 答案：D [解答]
当[0,2]x ∈π时，,2555x ωωπππ??+
∈π+????
， 因为()f x 在[0,2]π有且仅有5个零点，所以5265
ωπ
ππ+<π…， 所以
1229510
ω<…，故④正确， 因此由选项可知只需判断③是否正确即可得到答案， 下面判断③是否正确， 当(0,
)10x π
∈时，(2),5510x ωωππ+π??+∈????，
若()f x 在0,10π??
???
单调递增， 则
(2)102ω+ππ<，即3ω<，因为1229
510
ω<…，故③正确． 5.已知函数()(1tan )sin 2f x x x =-?． （Ⅰ）求()f x 的定义域及单调递减区间；
（Ⅰ）比较()16f π，3()16f π，9()16
f π
的大小，并说明理由.
[解答]
（Ⅰ）函数()f x 的定义域为{|,}2
x x k k π
≠π+∈Z
sin ()(1)2sin cos cos x
f x x x x
=-
? 22sin cos 2sin x x x =- sin 2cos21x x =+-
)14
x π
=
+-，
()f x 的单调递减区间为5[,),(,),8228
k k k k k ππππ
π+
π+π+π+∈Z
（Ⅰ）()16f π=3()016f π>,9()016f π< 所以()16f π=3()16f π9()16
f π
>
5. 已知函数()sin 23cos f x a x x =-的一条对称轴为π
6
x =-
，12()()0f x f x +=，且函数()f x 在12(,)x x 上具有单调性，则12||x x +的最小值为
A.
π6
B.
π3
C.
2π3
D.
4π3
答案：C
【解三角形】
1.在△ABC 中，3
A π
∠=
, 2BC =，则2AB =是△ABC 的面积为3的 A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
答案：C
2. 在平面直角坐标系xOy 中，锐角α的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边与单位圆交于(,)M x y 11，将α的终边按逆时针方向旋转
π
3
，交单位圆于(,)N x y 22，记()f y y α=+12.
（Ⅰ）求函数()f α的值域；
（Ⅰ）在△ABC 中，若(),,sin sin f C c A B ==+=133
37，求△ABC 的面积. [解答]
（Ⅰ）sin ,sin ,y y παα?
?==+ ??
?123
()sin sin sin f y y ππαααα???
?∴=+=++=+ ? ????
?12336
,π
π
π
παα<<
∴
<+
<
202
6
6
3
Q ∴sin πα?
?<+≤ ???33326，函数()f α的值域是,?? ? ?33. （Ⅰ）()sin f C C π??=+= ???336,sin C π?
?+= ??
?16
,C C π
π
π
π<<∴
<+
<
706
6
6
Q
C π
π
∴+
=
6
2
,C π
=
3
,
由
sin sin sin a b c A B C ===7
sin sin A B +得a b +=13
由余弦定理()cos c a b ab C a b ab =+-=+-2
22223，得ab =40，
sin ABC a S b C ∴==1
2
V
3.在△ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，其中=2b ，从①1cos 3A =，②1cos -3
A =，③=3a ，④3
=2
a 四个条件中选出两个条件，使得该三角形能够唯一确定. 求边c ，sin B 及三角形面积 [解答] 选①③
由余弦定理2222cos a b c bc A =+- 解得3c =
由1
cos 3
A =
得sin 3A =
由正弦定理
sin sin b a
B A
=
得sin B 9= 1
=sin 2
ABC S bc A V
=
选②③
由余弦定理2222cos a b c bc A =+- 解得53
c =
由1
cos 3
A =-
得sin 3A =
由正弦定理
sin sin b a
B A
=
得sin B =1
=sin 2
ABC S bc A V
=9. 【二项式定理】
1. 若52345012345(12)x a a x a x a x a x a x -=+++++，则3a =________（用数字作答） 答案： -80
2.
在二项式9
)x 的展开式中，常数项是________，系数为有理数的项的个数是_______.
答案： 5
【概率统计】
1．对某商店一个月内每天的顾客人数进行了统计，得到样本的茎叶图（如图所示），则该样
本的中位数、众数、极差分别是
A ．46，45，56
B ．46，45，53
C ．47，45，56
D ．45，47，53 答案：A [解答]
由概念知中位数是中间两数的平均数，即众数是45，极差为68-12=56. 所以选A.
2.为了解本市居民的生活成本，甲、乙、丙三名同学利用假期分别对三个社区进行了“家庭每月日常消费额”的调查.他们将调查所得到的数据分别绘制成频率分布直方图（如图所示），记甲、乙、丙所调查数据的标准差分别为1s ，2s ，3s ，则它们的大小关系为 . （用“>”连接）
答案：1s ＞2s ＞3s
6 1
7 8
5 0 0 1 1 4 7 94 5 5 5 7 7 8 8 93 1 2 4 4 8 9
2 0 2
3 3
1 2 5
45+47
=462
，
乙
丙
甲
3. 第24届冬季奥林匹克运动会，将于2022年2月在北京市和张家口市联合举行.某校寒假期间组织部分滑雪爱好者参加冬令营集训.训练期间，冬令营的同学们都参加了“单板滑雪”这个项目相同次数的训练测试，成绩分别为E D C B A ,,,,五个等级，分别对应的分数为1,2,3,4,5.
甲乙两位同学在这个项目的测试成绩统计结果如图所示.
（Ⅰ）根据上图判断，甲乙两位同学哪位同学的单板滑雪成绩更稳定？（结论不需要证明） （Ⅰ）求甲单板滑雪项目各次测试分数的众数和平均数；
（Ⅰ）若甲、乙再同时参加两次测试，设甲的成绩为4分并且乙的成绩为3分或4分的次数
为X ，求X 的分布列.（频率当作概率使用） [解答]
（Ⅰ）乙比甲的单板滑雪成绩更稳定；
（Ⅰ）因为甲单板滑雪项目测试中4分和5分成绩的频率之和为325.0，
3分成绩的频率为375.0，所以甲单板滑雪项目各次测试分数的众数为3分； 测试成绩为2分的频率为1.0075.0250.0375.0200.01=----， 所以甲单板滑雪项目各次测试分数的平均数为
（Ⅰ）由题意可知，在每次测试中，
甲的成绩为4分并且乙的成绩为3分或4分的概率为16
3)375.0375.0(25.0=
+?. X 的取值可能为2,1,0.
2561691631)0(2
=??? ??
-==X P ； 256
781631163)1(12
=??? ??
-??? ??==C X P ； 2569163)2(2
=??
?
??==X P . 则的分布列如下表所示：
X
0 1 2 )(X P
256
169
169
9
25678
3．某汽车品牌为了了解客户对于其旗下的五种型号汽车的满意情况，随机抽取了一些客户进行回访，调查结果如下表：
满意率是指：某种型号汽车的回访客户中，满意人数与总人数的比值.
假设客户是否满意互相独立，且每种型号汽车客户对于此型号汽车满意的概率与表格中该型号汽车的满意率相等.
(Ⅰ)从所有的回访客户中随机抽取1人，求这个客户满意的概率；
(Ⅰ)从I 型号和V 型号汽车的所有客户中各随机抽取1人，设其中满意的人数为ξ，求ξ的分布列和期望；
(Ⅰ)用 “11η=”, “21η=”, “31η=”, “41η=”, “51η=”分别表示I, II, III, IV, V 型号汽车让客户
满意， “10η=”, “20η=”, “30η=”, “40η=”, “50η=” 分别表示I, II, III, IV, V 型号汽车让客户不满意.写出方差12345,,,,D D D D D ηηηηη的大小关系. [解答]
（Ⅰ）由题意知，样本中的回访客户的总数是2501002007003501600++++=，
满意的客户人数2500.51000.32000.67000.33500.2555?+?+?+?+?=， 故所求概率为555111
1600320
=
． （Ⅰ）0,1,2ξ=.
设事件A 为“从I 型号汽车所有客户中随机抽取的人满意”，
事件B 为“从V 型号汽车所有客户中随机抽取的人满意”，且A 、B 为独立事件. 根据题意，()P A 估计为0.5，()P B 估计为0.2 . 则(0)()(1())(1())0.50.80.4P P AB P A P B ξ===--=?=;
(1)()()()()(1())(1())()P P AB AB P AB P AB P A P B P A P B ξ==+=+=-+-
0.50.80.50.20.5=?+?=; (2)()()()0.50.20.1P P AB P A P B ξ====?= .
ξ的分布列为
ξ
0 1 2
P
0.4 0.5 0.1
ξ的期望()00.410.520.10.7E ξ=?+?+?= .
（Ⅰ）13245D D D D D ηηηηη>>=>．
【立体几何】
1. 如图，在四棱锥P –ABCD 中，PA ⊥平面ABCD ，AD ⊥CD ，AD ∥BC ，PA =AD =CD =2，
BC =3．E 为PD 的中点，点F 在PC 上，且1
3
PF PC =．
（Ⅰ）求证：CD ⊥平面PAD ； （Ⅱ）求二面角F –AE –P 的余弦值； （Ⅲ）设点G 在PB 上，且
2
3
PG PB =． 求证：点G 在平面AEF 内．
[解答]
（I ）因为PA ⊥平面ABCD ，所以PA CD ⊥.
又因为AD ⊥CD ，且PA AD A =I 所以CD ⊥平面PAD .
（II ）过A 作AD 的垂线交BC 于点M ，因为PA ⊥平面ABCD ，所以,PA AM ⊥PA AD ⊥，
如图建立空间直角坐标系A -xyz ，则A （0，0，0），B （2，-1，0），C （2，2，0）， D （0，2，0），P （0，0，2），因为E 为PD 的中点，所以E （0，1，1）.
所以()0,1,1AE =uu u r ，()2,2,2PC =-uu u r , ()0,0,2AP =uu u r
. 所以1222,,3333PF PC ??==- ???uu u r uu u r ，224,,333AF AP PF ??=+= ???
uu u r uu u r uu u r
设平面AEF 的法向量为(),,x y z =n ，则
00AE AF ??=???=??uu u v uu u v n n ，即0224
03
33y z x y z +=???++=??. 令z =1,则y =-1,x =-1.于是()1,1,1=--n .
又因为平面PAD 的法向量为()1,0,0=p
，所以
cos 3
?=
=-
?n p
为锐角，所以其余弦值为
3
（III ）直线AG 在平面AEF 内，因为点G 在PB 上，且2,3
PG PB =()2,1,2,PB =--uu r
所以2424,,3333PG PB ??==-- ???uu u r uu r ，422,,333AG AP PG ??=+=- ???
uuu r uu u r uuu r .
由（II ）知，平面AEF 的法向量为()1,1,1=--n ，
所以422
0333
AG ?++=uuu r n =-，所以直线AG 在平面AEF 内.
所以点G 在平面AEF 内.
2. 如图，2AC ED =，//AC 平面EDB ，AC ⊥平面BCD ，平面ACDE ⊥平面ABC . （Ⅰ）求证：//AC ED ； （Ⅰ）求证：DC BC ⊥；
（Ⅰ）当1BC CD DE ===时，求二面角A BE D --的余弦
值；
（Ⅰ）在棱AB 上是否存在点P 满足//EP 平面BDC ； （Ⅰ）设
CD
k DE
=，
是否存在k 满足平面ABE ⊥平面CBE ？若存在求出k 值，若不存在说明理由. [解答]
（Ⅰ）因为//AC 平面EDB ，平面ACDE I 平面EDB =ED ，且AC ?平面ACDE ，
所以//AC ED .
（Ⅰ）法1：因为AC ⊥平面BCD ，所以AC ⊥CD ，
因为平面ACDE ⊥平面ABC ，且平面ACDE I 平面=ABC AC ，CD ?平面ACDE ， 所以CD ⊥平面ABC ，
A
C
D
E
y
B
所以CD CB ⊥.
（Ⅰ）法2：因为AC ⊥平面BCD ，所以AC ⊥CD ，AC ⊥CB ， 因为平面ACDE I 平面=ABC AC ， 所以DCB ∠为二面角D AC B --的平面角， 又因为平面ACDE ⊥平面ABC ， 所以90DCB ∠=o ，即CD CB ⊥.
（Ⅰ）由（Ⅰ）证明可知AC ⊥CD ，AC ⊥CB ，CD CB ⊥,
所以如图建立空间直角坐标系，因为1BC CD DE ===， 所以(2,0,0),(0,1,0),(0,0,1),(1,0,1)A B D E ，
所以(1,0,0),(0,1,1),(1,0,1),(2,1,0)DE BD AE AB ==-=-=-u u u r u u u r u u u r u u u r
设平面BDE 的法向量为
(,,)x y z =m ，则
由0,0,
DE BD ??=???=??m m u u u r u u u r 可得(0,1,1)=m . 设平面ABE 的法向量为(',',')x y z =n ，则 由0,0,
AE AB ??=???=??n n u u u r u u u r 可得(1,2,1)=n .
所以cos ,|?<>=
=
=
?m n
m n |m |n |
所以，依据题意可得二面角A BE D --
的余弦值为 （Ⅰ）法1：取AC 中点F ，连接EF ，过点F 作//FP BC 交AB 于点P ，
所以P 为AB 中点.
因为2,//AC ED AC ED =，所以//ED FC ，所以//EF CD . 又EF FP F =I ，所以平面//EFP 平面BCD ， 所以//EP 平面BCD .
法2：设AP AB λ=u u u r u u u r ，则(12,,1)EP EA AP λλ=+=--u u u r u u u r u u u r
，
由（Ⅰ）证明可知平面BCD 的一个法向量为(1,0,0)=k ， 由0EP ?=u u u r k 可得1=2
λ，
所以当P 为AB 中点时，EP 与平面BCD 成角为0o ，
所以当P 为AB 中点时，//EP 平面BCD . （Ⅰ）设2AC a =，则(2,0,0),(,0,),(0,,0)A a E a ka B b ，则
(,0,),(2,,0)AE a ka AB a b =-=-u u u r u u u r
，
设平面CBE 的法向量为111(,,)x y z =m'， 由0,0,
CE CB ??=???=??m'm'u u u r u u u r 可得一个法向量(,0,1)k =-m'， 设平面ABE 的法向量222(,,)x y z =n'， 由0,0,
AE AB ??=???=??n n u u u r u u u r
可得一个法向量2(,,1)ak k b =n'， 由0?=m'n'可得1k =.
所以当1k =时，平面ABE ⊥平面CBE .
【函数与导数】
1. 设函数?
??>-≤=-1,log 11
,2)(21x x x x f x ，则满足2)(≤x f 的x 的取值范围是
A ．1[-，2]
B ．[0，2]
C ．[1，+∞）
D ．[0，+∞）
答案：D
2. 给出下列四个函数：①sin y x x =?；②cos y x x =?；③cos y x x =?；④2x y x =?.这四个函数的部分图象如下，但顺序被打乱，则按照从左到右的顺序将图象对应的函数序号安排正确的一组是
A. ①④②③
B. ①④③②
C. ④①②③
D. ③④②①
答案：A 3．已知函数2ln 0,()210.
x
x f x x x x ?>?=?
+-≤??若()f x 的图象与直线1y ax =-
有且只有三个公共
点，则实数a 的取值范围是______. 答案 (0,2)
4. 设函数321
()()3
f x ax bx cx a b c =++<<，其图象在点(1,(1)),(,())A f B m f m 处的切线的斜率分别为0,a -． （Ⅰ）求证：01b
a
<≤
； （Ⅰ）若函数()f x 的递增区间为[,]s t ，求||s t -的取值范围． [解答]
（Ⅰ）证明：2()2f x ax bx c '=++，由题意及导数的几何意义得
(1)20f a b c '=++=， （1）
2()2f m am bm c a '=++=-， （2）
又a b c <<，可得424a a b c c <++<，即404a c <<，故0,0,a c <> 由（1）得2c a b =--，代入a b c <<，再由0a <，得
113b
a
-<<， （3） 将2c a b =--代入（2）得2220am bm b +-=，即方程2220ax bx b +-=有实根． 故其判别式2480b ab ?=+≥得 2b a -≤，或b
a
≥0， （4） 由（3），（4）得01b
a
<≤
； （Ⅰ）由2()2f x ax bx c '=++的判别式2440b ac '?=->，
知方程2()20()f x ax bx c '=++=*有两个不等实根，设为12,x x ，
又由(1)20f a b c '=++=知，11x =为方程（*）的一个实根，则由根与系数的关系得
122122,10b b
x x x x a a
+=-
=--<<， 当2x x <或1x x >时，()0f x '<，当21x x x <<时，()0f x '>， 故函数()f x 的递增区间为21[,]x x ，由题设知21[,][,]x x s t =， 因此122||||2b s t x x a -=-=+
，由（Ⅰ）知01b
a
<≤得
||s t -的取值范围为[2,4).
5.已知函数()(1)e x f x x a =--：
（Ⅰ）若函数的最小值为-1，求实数a 的值；
（Ⅰ）若12x x >，且有12+2x x a =，求证：12()()f x f x >.
[解答]
（Ⅰ）定义域为 R ，
因为'()()e x f x x a =-，令()0='x f ，得a x = 当x 变化时，()x f '，()x f 变化如下表：
所以a x =是函数()x f 极小值点，也是最小值点， 所以()e 1a f a =-=-，解得0=a ； （Ⅰ）由题可知a x >1，并且有122x a x -=，
1
1
21211e ()()(1)e (1)e a
x x f x f x x a a x -=-----，
记2e ()(1)e (1)e
a
x
x g x x a a x =-----?,a x >，
2e '()()(e )e
a
x
x g x x a =--，
当a x >时，2e e e
a
x
x >，即()0>'x g ，
所以()x g 在区间()∞+，a 上单调递增，()()0=>a g x g . 所以有()()21x f x f >，结论成立.
【解析几何】
1. 直线023cos =++y x α的倾斜角的取值范围是 . 答案:50,
,66πππ????
????????
U 2. 已知直线与直线平行，则的值为（ ）
A.0或3或
B.0或3
C.3或
D.0或
答案：D
3. 已知直线420mx y +-=与250x y n -+=互相垂直，垂足为()1,P p ，则m n p -+的
值是（ ）
A ．24
B ．20
C ．0
D ．－4
答案：B
4.已知点()0,2A ,()2,0B . 若点C 在函数2y x =的图象上，则使得ABC △的面积为2的点C 的个数为 答案；4
5. 已知直线1l ：0mx y m -+=与直线2l ：10x my +-=的交点为Q ，椭圆2
214
x y +=的焦点为1F , 2F ，则12QF QF +的取值范围是 A ．[2,)+∞
B
．)+∞ C ．[2,4]
D
．4]
答案 ：D
6. 直线10x y --=与圆C :222(1)(1)x y r -+-=相交于两点M 、N ，
若||MN =，
则圆C 的半径=r ________. 答案 ：1
7.已知直线()021:=+++y a ax l 与圆22:16C x y +=相交于A ，B 两点，则AB 的取值
范围是________.
答案：)
??
8. 卵圆是常见的一类曲线，已知一个卵圆C 的方程为：22124
x y x +=+，O 为坐标原点，点
(1,0)A ，点P 为卵圆上任意一点，则下列说法中不正确的是
A ．卵圆C 关于x 轴对称
B ．卵圆上不存在两点关于直线12
x =
对 062
=++y a x 023)2(=++-a ay x a a 1-1-1-
C ．线段PO 长度的取值范围是[1,2]
D ．OAP ?的面积最大值为1 答案 ：B [解答]
卵圆C 与y 轴交点为(0,2)-、(0,2)，与x 轴交点为(1,0)-、(2,0)（恰好关于12
x =
对称）（选项B 错误，也可通过方程求解，设点(,)P m n （12m -≤≤），则22
124
m n m +=+.
若存在卵圆C 上点Q 与(,)P m n 关于1
2
x =
对称，则(1,)Q m n -在卵圆C 上，满足方程，22(1)1124m n m -+=-+,22222
||4(1
m PO m n m m =+=+-数求最值.
1||2OAP
S n ?==12m -≤≤）9. 已知椭圆C 的标准方程为2
214
x y +=，
梯形（Ⅰ）已知梯形ABCD 的两腰AC=BD ，且两个底边AB 和DC 与坐标轴平行或在坐标轴上.若梯形一底边AB =2，求梯形ABCD 的面积；
(Ⅰ)若梯形ABCD 的两底AB 和DC 与坐标轴不平行且不在坐标轴上，判断该梯形是否可以为等腰梯形并说明理由. [解答]
（Ⅰ）若两底AB 和DC 与y 轴平行，由椭圆方程得A ，B 为该椭圆的上下顶点，不妨设DC
在y 轴右侧，设)C y ，)D y -，代入椭圆方程解得1
)2C ，1)2
D -，
所以梯形另外一底1CD =，因此面积2
S =
； 若两底AB 和DC 与x 轴平行，因为AB =2，不妨设AB 在x 轴上方，且(1,
(1,)22
A B -，(1,C ，(1,D -，但此时四边形ABCD 为矩形，故舍去.
(Ⅰ)该梯形不可能为等腰梯形，理由如下：
由题意可知梯形两底所在直线的斜率存在且不为零，设直线AB 方程为1,y kx m =+直线CD 方程为2,y kx m =+其中120,,k m m ≠≠
联立方程22
1
14,x y y kx m ?+=???=+?，，整理得222
11(14)8440k x km x m +++-=，
0)44)(41(4)8(2
1221>-+-=?m k km 整理得0142
22>+-m k ①
设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则,4122)(,41821
1
21212121k m m x x k y y k km x x +=++=++-=+
故AB 中点M 坐标为)41,414(2
1
21k
m k km M ++-
； 同理可得CD 中点N 坐标为)41,414(2
2
22k
m k km N ++-； 若梯形ABCD 为等腰梯形，则有AB ⊥MN ，即1-=?MN k k ，
但k k k
km k km k m k m k MN 1414144144141212221
22-≠-=+++-+-+=
，所以梯形ABCD 不可能为等腰梯形. 10.已知椭圆W ：22
221x y a b
+=(0)a b >>的上下顶点分别为,A B ，且点B
(0,1)-．12,F F 分别为椭圆W 的左、右焦点，且12120F BF ∠=o
．
（Ⅰ）求椭圆W 的标准方程；
（Ⅰ）点M 是椭圆上异于A ，B 的任意一点，过点M 作MN y ⊥轴于N ，E 为线段
MN 的中点．直线AE 与直线1y =-交于点C ，G 为线段BC 的中点，O 为坐标
原点．求OEG ∠的大小． [解答]
(Ⅰ)依题意，得1b =．又12120F BF ∠=?，
在1Rt BF O ?中，160F BO ∠=?，所以2a =．
所以椭圆W 的标准方程为2
214
x y +=． (Ⅰ)设M 00(,)x y ，00x ≠，则N 0(0,)y ，E 0
0(
,)2
x y ． 因为点M 在椭圆W 上，所以2
20014
x y +=．即220044x y =-． 又A (0,1)，所以直线AE 的方程为00
2(1)
1y y x x --=
．