习题一
1.下列句子中,哪些是命题？在是命题的句子中,哪些是简单命题？哪些是真命题？哪些命题的真值现在还不知道？
（1）中国有四大发明.
答：此命题是简单命题，其真值为1.
（2）5是无理数.
答：此命题是简单命题，其真值为1.
（3）3是素数或4是素数.
答：是命题，但不是简单命题，其真值为1.
x+<
（4）235
答：不是命题.
（5）你去图书馆吗？
答：不是命题.
（6）2与3是偶数.
答：是命题，但不是简单命题，其真值为0.
（7）刘红与魏新是同学.
答：此命题是简单命题，其真值还不知道.
（8）这朵玫瑰花多美丽呀！
答：不是命题.
（9）吸烟请到吸烟室去！
答：不是命题.
（10）圆的面积等于半径的平方乘以π.
答：此命题是简单命题，其真值为1.
（11）只有6是偶数，3才能是2的倍数.
答：是命题，但不是简单命题，其真值为0.
（12）8是偶数的充分必要条件是8能被3整除.
答：是命题，但不是简单命题，其真值为0.
（13）2008年元旦下大雪.
答：此命题是简单命题，其真值还不知道.
2.将上题中是简单命题的命题符号化.
解:（1）p：中国有四大发明.
（2）p:是无理数.
（7）p:刘红与魏新是同学.
（10）p:圆的面积等于半径的平方乘以π.
（13）p:2008年元旦下大雪.
3.写出下列各命题的否定式,并将原命题及其否定式都符号化,最后指出各否定式的真值.
（1）5是有理数.
答：否定式：5是无理数.p：5是有理数.q：5是无理数.其否定式q的真值为1.
（2）25不是无理数.
答：否定式：25是有理数. p ：25不是无理数. q ：25是有理数. 其否定式q 的真值为1.
（3）2.5是自然数.
答：否定式：2.5不是自然数. p ：2.5是自然数. q ：2.5不是自然数. 其否定式q 的真值为1.
（4）ln1是整数.
答：否定式：ln1不是整数. p ：ln1是整数. q ：ln1不是整数. 其否定式q 的真值为1.
4.将下列命题符号化，并指出真值. （1）2与5都是素数
答：p ：2是素数，q ：5是素数，符号化为p q ∧，其真值为1.
（2）不但π是无理数，而且自然对数的底e 也是无理数.
答：p ：π是无理数，q ：自然对数的底e 是无理数，符号化为p q ∧，其真值为1. （3）虽然2是最小的素数，但2不是最小的自然数.
答：p ：2是最小的素数，q ：2是最小的自然数，符号化为p q ∧?，其真值为1. （4）3是偶素数.
答：p ：3是素数，q ：3是偶数，符号化为p q ∧，其真值为0. （5）4既不是素数，也不是偶数.
答：p ：4是素数，q ：4是偶数，符号化为p q ?∧?，其真值为0. 5.将下列命题符号化，并指出真值. （1）2或3是偶数. （2）2或4是偶数. （3）3或5是偶数.
（4）3不是偶数或4不是偶数. （5）3不是素数或4不是偶数.
答: p ：2是偶数，q ：3是偶数，r :3是素数，s :4是偶数, t :5是偶数 (1) 符号化: p q ∨，其真值为1. (2) 符号化：p r ∨，其真值为1. (3) 符号化：r t ∨，其真值为0. (4) 符号化：q s ?∨?，其真值为1.
(5) 符号化：r s ?∨?，其真值为0. 6.将下列命题符号化.
（1）小丽只能从筐里拿一个苹果或一个梨.
答：p ：小丽从筐里拿一个苹果，q ：小丽从筐里拿一个梨，符号化为: p q ∨. （2）这学期，刘晓月只能选学英语或日语中的一门外语课.
答：p ：刘晓月选学英语，q ：刘晓月选学日语，符号化为: ()()p q p q ?∧∨∧?. 7.设p ：王冬生于1971年，q ：王冬生于1972年，说明命题“王冬生于1971年或1972年”既可以化
答:列出两种符号化的真值表：
p q
0 0 0 0
0 1 1 1
1 0 1 1
1 1 0 1
根据真值表,可以判断出,只有当p与q同时为真时两种符号化的表示才会有不同的真值,但结合命题可以发现,p与q不可能同时为真,故上述命题有两种符号化方式.
8.将下列命题符号化,并指出真值.
（1）只要,就有；
（2）如果,则；
（3）只有,才有；
（4）除非,才有；
（5）除非,否则；
（6）仅当.
答:设p:,则:;设q:,则:.
符号化真值（1） 1
（2） 1
（3）0
（4）0
（5）0
（6） 1
9.设p：俄罗斯位于南半球,q：亚洲人口最多,将下面命题用自然语言表述,并指出其真值：（1）；
（2）；；
（3）；
（4）；
（5）；
（6）；
（7）.
答:根据题意,p为假命题,q为真命题.
自然语言真值（1）只要俄罗斯位于南半球,亚洲人口就最多 1
（2）只要亚洲人口最多,俄罗斯就位于南半球0
（3）只要俄罗斯不位于南半球,亚洲人口就最多 1
（4）只要俄罗斯位于南半球，亚洲人口就不是最多 1
（5）只要亚洲人口不是最多，俄罗斯就位于南半球 1
（6）只要俄罗斯不位于南半球，亚洲人口就不是最多0
（7）只要亚洲人口不是最多，俄罗斯就不位于南半球 1 10．设p：9是3的倍数,q：英国与土耳其相邻,将下面命题用自然语言表述,并指出真值：（1）；
（2）；
（3）；
（4）.
答:根据题意,p为真命题,q为假命题.
自然语言真值（1）9是3的倍数当且仅当英语与土耳其相邻0
（2）9是3的倍数当且仅当英语与土耳其不相邻 1
（3）9不是3的倍数当且仅当英语与土耳其相邻 1
（4）9不是3的倍数当且仅当英语与土耳其不相邻0
11．将下列命题符号化,并给出各命题的真值：
（1）若2+2=4,则地球是静止不动的；
（2）若2+2=4,则地球是运动不止的；
（3）若地球上没有树木,则人类不能生存；
（4）若地球上没有水,则是无理数.
答:
命题1 命题2 符号化真值
（1）p:2+2=4 q:地球是静止不动的0 （2）p:2+2=4 q:地球是静止不动的 1 （3）p:地球上有树木q:人类能生存 1 （4）p:地球上有树木q:人类能生存 1
12.将下列命题符号化,并给出各命题的真值：
（1）2+2=4当且仅当3+3=6；
（2）2+2=4的充要条件是3+36；
（3）2+24与3+3=6互为充要条件；
（4）若2+24,则3+36,反之亦然.
答:设p:2+2=4,q:3+3=6.
符号化真值
(1) 1
(2) 0
(3) 0
(4) 1
13.将下列命题符号化,并讨论各命题的真值：
（1）若今天是星期一,则明天是星期二；
（2）只有今天是星期一,明天才是星期二；
（3）今天是星期一当且仅当明天是星期二；
（4）若今天是星期一,则明天是星期三.
答:设p:今天是星期一,q:明天是星期二,r:明天是星期三.
符号化真值讨论
(1) 不会出现前句为真,后句为假的情况
(2) 不会出现前句为真,后句为假的情况
(3) 必然为1
(4) 若p为真,则真值为0;若p为假,则真值为1
14.将下列命题符号化：
（1）刘晓月跑得快,跳得高；
（2）老王是山东人或者河北人；
（3）因为天气冷,所以我穿了羽绒服；
（4）王欢与李乐组成一个小组；
（5）李欣与李末是兄弟；
（6）王强与刘威都学过法语；
（7）他一面吃饭,一面听音乐；
（8）如果天下大雨,他就乘班车上班；
（9）只有天下大雨,他才乘班车上班；
（10）除非天下大雨,否则他不乘班车上班；
（11）下雪路滑,他迟到了；
（12）2与4都是素数,这是不对的；
（13）“2或4是素数,这是不对的”是不对的.
答:
命题1 命题2 命题3 符号化
(1) p:刘晓月跑得快q:刘晓月跳得高-
(2) p:老王是山东人q:老王是河北人-
(3) p:天气冷q:我穿羽绒服-
(4) p:王欢与李乐组成
一个小组
- -
p:王欢与李乐组成一个
小组
(5) p:李辛与李末是兄
弟
- - p:李辛与李末是兄弟
(6) p:王强学过法语q:刘威学过法语-
(7) p:他吃饭q:他听音乐-
(8) p:天下大雨q:他乘车上班-
(9) p:天下大雨q:他乘车上班-
(10) p:天下大雨q:他乘车上班-
(11) p:下雪q:路滑r:他迟到了
(12) p:2是素数q:4是素数-
(13) p:2是素数q:4是素数- 15.设p：2+3=5.
q：大熊猫产在中国.
r:太阳从西方升起.
求下列符合命题的真值：
（1）
（2）
（3）
（4）
解：p真值为1，q真值为1，r真值为0.
（1）0，（2）0，（3）0，（4）1
16.当p,q的真值为0,r,s的真值为1时,求下列各命题公式的真值：
（1）
（2）
（3）
（4）
解：（1）0，（2）0，（3）0，（4）1
17.判断下面一段论述是否为真：“是无理数.并且,如果3是无理数,则也是无理数.另外,只有6能被2整除,6才能被4整除.”
解：p:是无理数q: 3是无理数r:是无理数s: 6能被2整除t：6能被4整除
符号化为:，该式为重言式，所以论述为真。
18.在什么情况下,下面一段论述是真的:“说小王不会唱歌或小李不会跳舞是正确的,而说如果小王会唱歌,小李就会跳舞是不正确的.”
解：p:小王会唱歌。q:小李会跳舞。
真值为1.真值为0.可得，p真值为1，q真值为0.
所以，小王会唱歌，小李不会跳舞。
19.用真值表判断下列公式的类型:
（1）
（2）p
（3）
（4）
（5）
（6）
（7）.
解：
（1）
p q r
0 0 0 1 0 0 1 1 0 1 0 1
0 1 1 1
1 0 0 1 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 此式为重言式
（2）
p q
（p
0 0 1
0 1 0
1 0 1
1 1 1
此式为可满足式
（3）
q r
0 0 0
0 1 0
1 0 0
1 1 0
此式为矛盾式
（4）
p q
0 0 1
0 1 1
1 0 1
1 1 1
此式为重言式
（5）
p q r
0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 1
0 1 1 1
1 0 0 1 1 0 1 0 1 1 0 1 1 1 1 0 此式为可满足式
（6）
p q r
0 0 0 1
0 0 1 1
0 1 0 1
0 1 1 1
1 0 0 1
1 0 1 1
1 1 0 1
1 1 1 1
此式为重言式
（7）
p q r s
0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 1 1 1 0 1 0 0 1
0 1 0 1 0
0 1 1 0 0
0 1 1 1 1
1 0 0 0 0
1 0 0 1 0
1 0 1 0 1
1 0 1 1 1
1 1 0 0 1
1 1 0 1 0
1 1 1 0 0
1 1 1 1 1
此式为可满足式
20.求下列公式的成真赋值：
（1）
（2）
（3）
（4）
解：
p q
0 0 0 1 1 0
0 1 1 0 1 1
1 0 1 1 1 1
1 1 1 1 0 1
由真值表得：（1）的成真赋值是01，10,11（2）的成真赋值是00，10,11 （3）的成真赋值是00，01,10 （4）的成真赋值是01，10,11
21.求下列各公式的成假赋值：
（1）
（2）
（3）
解：
p q r
0 0 0 1 1 1
0 0 1 1 1 1
0 1 0 1 0 1
0 1 1 0 1 1
1 0 0 1 1 0
1 0 1 1 1 0
1 1 0 1 0 1
1 1 1 1 1 1
由真值表得：（1）的成假赋值是011 （2）的成假赋值是010,110
（3）的成假赋值是100,101
22.已知公式是矛盾式，求公式成真和成假赋值.
解：∵是矛盾式∴也是矛盾式。
由此可得：该式无成真赋值。而成假赋值为：000,001,010,011,100,101,110,111
23.已知公式是重言式,求公式的成真和成假赋值.
解：∵是重言式，∴也是重言式。
由此可得：该式无成假赋值。而成真赋值为：000,001,010,011,100,101,110,111
24.已知是重言式，试判断公式及
的类型.
解：∵是重言式，而要使该式为重言式，其成真赋值只有11，∴都是重言式。
25.已知是矛盾式，试判断公式及
的类型.
解：∵是矛盾式，而要使该式为矛盾式，其成假赋值只有00，∴都是重言式。
26.已知是重言式，是矛盾式，试判断
及的类型.
解：是矛盾式。
是重言式。
27.设A、B都是含命题变量项p1,p2,…,p n的公式,证明:是重言式当且仅当A和B都是
重言式.
解：
A B
0 0 0
0 1 0
1 0 0
1 1 1
由真值表可得，当且仅当A和B都是重言式时，是重言式。
28. 设A、B都是含命题变量项p1,p2,…,p n的公式,已知是矛盾式,能得出A和B都是
矛盾式的结论吗?为什么?
解：
A B
0 0 0
0 1 0
1 0 0
1 1 1
同样由真值表可得，的成假赋值有00,01,10.所以无法得到A和B都是矛盾式。
29. 设A、B都是含命题变量项p1,p2,…,p n的公式,证明:是矛盾式当且仅当A和B都
是矛盾式.
解：
A B
0 0 0
0 1 1
1 0 1
1 1 1
由真值表可得，当且仅当A和B都是矛盾式时，是矛盾式。
30. 设A 、B 都是含命题变量项p 1,p 2,…,p n 的公式,已知是重言式,能得出A 和B 都是
重言式的结论吗? 解： A B
0 0 0 0 1 1 1 0 1 1
1
1
由真值表可得
的成真赋值有01,10，11.所以无法得到A 和B 都是重言式。
习 题 二
1.设公式A p q =→,B p q =∧?，用真值表验证公式A 和B 适合德摩根律： ()A B A B ?∨??∧?
p q
A
B
()A B ?∨
A B ?∧?
0 0 1 0 1 1 0 1 1 0 0 0
1 0 0 1 0 0 1 1
1
2.公式A 和B 同题（1），用真值表验证公式A 和B 适合蕴涵等值式. A B A B →??∨
p q A
B A B → A B ?∨
0 0 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0
1 0 0 1 1 1 1 1
1
3．用等值演算法判断下列公式的类型，对不是重言式的可满足式，再用真值表法求出
成真赋值.
（1）()p q q ?∧→ 答：原式=(())p q q ??∧∨ =()p q q ??∨?∨ = 0 是矛盾式.
4.用等值演算法证明下面等值式.
（1）p p q p q ?∧∨∧?（）（） 答：右式=p q q ∧∨?（）=1p ∧=p
（2）(()())(())p q p r p q r →∧→?→∧
答：右式=()p q r ?∨∧=()()p q p r ?∨∧?∨=()())p q p r →∧→=左式 （3）()()()p q p q p q ???∨∧?∧ 答：左式=()()p q p q ??∨∨?∨?
=(())(())p p q q p q ∨?∧∧?∨?∧ =()()p q p q ∨∧?∧
（4）()()()()p q p q p q p q ∧?∨?∧?∨∧?∧
答：左式=(())(())p p q q p q ∨?∧∧?∨?∧ =()()p q p q ∨∧?∧
5.求下列公式的主析取范式，并求成真赋值： （1）)()(p q q p ∨?→→? 答：
023
()()()()()()
()(())(()()()()p q q p p q q p p q q p p q q p p p q q p q p p p q m m m ?→→?∨=∨→?∨=?∨∨?∨=?∧?∨?∧∨?∨∧∨?=∧∨∨?∨?∧?=∨∨ 成真赋值为00,10,11. （2）r q q p ∧∧→?)(
答：()()0p q q r p q q r p q q ?→∧∧=??∨∧∧=∧?∧∧= 所以为矛盾式。
（3）(())()p q r p q r ∨∧→∨∨ 答
(())()(())()(())()(())()()()()(()(())(()())(()())(()())
()(p q r p q r p q r p q r p q r p q r p q r p q r p q p r p q r p q r r p q q r p q q r r p p q r r p p q q r p q r p ∨∧→∨∨=?∨∧∨∨∨=?∧?∧∨∨∨=?∧?∨?∨∨∨=?∧?∨?∧?∨∨∨=?∧?∧∨?∨?∧∨?∧?∨∧∨?∧∨?∨∨?∧∧∨?∨∨?∧∨?∧=?∧?∧∨?∧?01234567
)()()()()()()q r p q r p q r p q r p q r p q r p q r m m m m m m m m ∧?∨?∧∧?∨∧∧∨∧?∧∨∧∧?∨∧?∧?∨?∧∧=∨∨∨∨∨∨∨所以是重言式，真值为000,001,010,011,100,101,110,111.
6.求下列公式的主析取范式，并求成真赋值： （1）p p q ?∧?→?)(
答：()()0q p p q p p q p p ?→?∧?=??∨?∧?=∧∧?=，是矛盾式，所有赋值均为成真赋值。
（2）)()(r p q p ∨?∨∧
答：4()()()()()p q p r p p r q p r p q r M ∧∨?∨=∨?∨∧∨?∨=?∨∨=，成假赋值为100.
（3）r q p p ∨∨→))((
答：(())(())(1p p q r p p q r p p q r →∨∨=?∨∨∨=?∨∨∨=，所以为重言式。所有赋值均为成真赋值。
7.求下列公式的主析取范式，再用主析取范式求主合取范式： （1）r q p ∨∧)(
答：()(())(()())p q r p q r r p p q q r ∧∨=∧∧∨?∨∨?∧∨?∧
13567024
(())(()())
()()()()()p q r r p p q q r p q r p q r p q r p q r p q r m m m m m M M M =∧∧∨?∨∨?∧∨?∧=∧∧∨∧∧?∨∧?∧∨?∧∧∨?∧?∧=∨∨∨∨=∧∧ （2）)()(r q q p →∧→ 答：
01372456
()()()()()()()()(())(())(())()()()()
p q q r p q q r p q p r q q q r p q r r p q q r p p q r p q r p q r p q r p q r m m m m M M M M →∧→=?∨∧?∨=?∧?∨?∧∨∧?∨∧=?∧?∧∨?∨?∧∨?∧∨∨?∧∧=?∧?∧∨?∧?∧?∨?∧∧∨∧∧=∨∨∨=∨∨∨
8.求下列公式的主合取范式，再用主合取范式求主析取范式：
（1）q q p →∧)(
答：0123()()1p q q p q q p q q m m m m ∧→=?∧∨=?∨?∨==∨∨∨ 为重言式。
（2）()p q r ?→
答：()(()())(()())p q r p q p q r p q p q r ?→=?∧∨?∧?∨=?∧∧??∧?∨
06123457
(()())()()p q p q r p q r p q r M M m m m m m m =?∨?∧∨∨=?∨?∨∧∨∨=∧=∨∨∨∨∨ （3）()r p p q ?→∧∧
答：()r p p q r p p q ?→∧∧=∧?∧∧
01234567M M M M M M M M =∧∧∧∧∧∧∧ 0=
因此为矛盾式.
9.用真值表求下面的公式的主析取范式. （1）()()p q p r ∨∨?∧ 答：公式的真值表如下：
p q r
p ?
p q ∨
p r ?∧
()()p q p r ∨∨?∧
0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 1 0 1 1 0 1 0 1 1 0 1 0 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 1 0 1 1 0 1 0 1 0 1 1 1 0 0 1 0 1 1
1
1
1
1
其成真赋值为001,010,011,100,101,110,111，所以其主析取范式为
1234567m m m m m m m ∨∨∨∨∨∨
（2）()()p q p q →→?? 答：公式的真值表如下：
p q q ? p q →
p q ??
()()p q p q →→??
1
1
0 1 0 1 1 1 1 0 1 0 1 1 1
1
1
()()()(()())p q p q p q p q p q →→??=∧?∨?∨?∧∨
()()p q p q =?∧∨∧? 故其成真赋值为001，010. 所以其主析取范式为12m m ∨. 10.用真值表求下面公式的主合取范式. （1）()p q r ∧∨
答：()()()p q r p r q r ∧∨=∨∧∨ 024M M M =∧∧ （2）()()p q q r →∧→
答：()()()()p q q r p q q r →∧→=?∨∧?∨ 2456
M M M M =∧∧∧ 11.用真值表求下面公式的主析取范式和主合取范式. （1）()p q r ∨∧ （2）()p p q r →∨∨ （3）()q p p ?→?∧?
p q r
()p q r ∨∧
()p p q r →∨∨ ()q p p ?→?∧?
0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 1 1 1 0 1 0 0 0 1 0 1 0 1 1 1 0 1 1 0 0 1 0 1 1 1
1
1
答：（1）由真值表可得成真赋值为011,101,111，故主析取范式为357m m m ∨∨，主合取范式为01246M M M M M ∧∧∧∧
（2）由真值表可得无成假赋值，故主析取范式为
01234567m m m m m m m m ∨∨∨∨∨∨∨，主合取范式为1.
（3）由真值表可得无成真赋值，故主析取范式为0，主合取范式为
0123M M M M ∧∧∧.
12.已知公式A 含3个命题变项,,p q r ，并且它的成真赋值为000，011，110，求A 的主合取范式和主析取范式.
答：由题意得，A 的主主合取范式为12457M M M M M ∧∧∧∧，主析取范式
036m m m ∨∨.
13. 已知公式A 含3个命题变项,,p q r ，并且它的成真赋值为000，011，110，求A 的主合取范式和主析取范式.
答：由题意得，A 的主主合取范式为2367M M M M ∧∧∧，主析取范式
0157m m m m ∨∨∨.
14.已知公式A 含n 个命题变相12,,......,n p p p ，并且无成假赋值，求A 的主合取范式. 答：A 的主合取范式为1..
15.用主析取范式判断下列公式是否等值： （1）()p q r →→与()q p r →→ 答：()()p q r p q r →→=∧?∨
13457m m m m m =∨∨∨∨ ()q p r p q r →→=?∨?∨
0123457m m m m m m m =∨∨∨∨∨∨ 所以上述公式不等值. （2）()p q ?∧与()p q ?∨ 答：()p q p q ?∧=?∨? 012m m m =∨∨ ()p q p q ?∨=?∧? 0m =
16.用主合取范式判断下列公式是否等值. （1）()p q r →→与()p q r ?∧∨ 答：6()p q r M →→= 6()=p q r M ?∧∨
（2）()p q r →→与()p q r →→ 答：6()p q r M →→=
026
()=p q r M M M →→∧∧ 17.将下列公式化成与之等值且仅含{},,?∧∨中联结词的公式： （1）((()))p q q r ?→?∧
答：((()))((()))p q q r p q q r ?→?∧=??∨?∧
(())p q r =∧?
?∧ ((())(()))p q q r q q r =∧??∨∧∧∨?∧ （2）()p q r ∧∨?
答：()p q r ∧∨?，原式已满足题目要求. （3）()p q r ??
答：()(())(())p q r p q r r p ??=→?∧?→
((()()))((()()))p q r q r q r q r p =?∨?∨∧∨?∧??∨∧∨?∨ 18.将下列公式化成与之等值且仅含{,}?∧中联结词的公式： （1）p q r ∧?∧?
答：此公式已经符合题目要求. （2）()p r q ?∧
答：()(()())p r q p r r p q ?∧=→∧→∧ (()())p r r p q =?∨∧?∨∧ (()())p r r p q =?∧?∧?∧?∧
（3）(())p q r q →∧∨
答：(())(())p q r q p q r p →∧∨=?∨∧∨ (())p q r p =?∧?∧∨ ((()))p q r p =?∧?∧∧?
19.将下列公式化成与之等值且仅含{},?∨中联结词的公式. （1）()p q r ?∨?∧
答：()(())p q r p q r ?∨?∧=???∨?∨? （2）(())p q p q r →∧?∧∧
答：(())((()))p q p q r p q p q r →∧?∧∧=???∨??∨∨?∨?
（3）p q r ∧∧?
答：()p q r p q r ∧∧?=??∨?∨
20．将下列公式化成与之等值且仅含{→?，}中联结词的公式： （1）r q p ∨∧)(（2）r q p ∧?→)(（3）r q p ?∧)(
答：()()()()p q r p q r p q r p q r ∧∨???∨?∨??→?∨?→?→ (2)()p q r →?∧
答：()(())(())p q r p q r p q r →?∧???→?∨???→?→? (3)()p q r ∧?
答：()(())(())p q r p q r r p q ∧????∨?→∧→??∨?
((())(()))p q r r p q ?????∨?→∨?→??∨? ((())(()))p q r r p q ???→?→→?→?→?
21．证明：
（1）).()()()(p q q p p q q p ↓?↓↑?↑，
（2）).)(())(())(())((r q p r q p r q p r q p ↓↓?↓↓↑↑?↑↑，
第四章部分课后习题参考答案 3. 在一阶逻辑中将下面将下面命题符号化,并分别讨论个体域限制为(a),(b)条件时命题的真值: (1) 对于任意x,均有2=(x+)(x). (2) 存在x,使得x+5=9. 其中(a)个体域为自然数集合. (b)个体域为实数集合. 解： F(x): 2=(x+)(x). G(x): x+5=9. (1)在两个个体域中都解释为) ?，在（a）中为假命题，在(b)中为真命题。 (x xF (2)在两个个体域中都解释为) xG ?，在（a）(b)中均为真命题。 (x 4. 在一阶逻辑中将下列命题符号化: (1) 没有不能表示成分数的有理数. (2) 在北京卖菜的人不全是外地人. 解: (1)F(x): x能表示成分数 H(x): x是有理数 命题符号化为: )) F x∧ ?? x ? ( ) ( (x H (2)F(x): x是北京卖菜的人 H(x): x是外地人 命题符号化为: )) F ?? x x→ (x ( H ) ( 5. 在一阶逻辑将下列命题符号化: (1) 火车都比轮船快. (3) 不存在比所有火车都快的汽车. 解: (1)F(x): x是火车; G(x): x是轮船; H(x,y): x比y快 命题符号化为: )) F y x G ? y ? ∧ x→ , ( )) ( H ) x ((y ( (2) (1)F(x): x是火车; G(x): x是汽车; H(x,y): x比y快
命题符号化为: ))),()(()((y x H x F x y G y →?∧?? 9.给定解释I 如下: (a) 个体域D 为实数集合R. (b) D 中特定元素=0. (c) 特定函数(x,y)=xy,x,y D ∈. (d) 特定谓词(x,y):x=y,(x,y):x 《离散数学》考试题库及答案 一、 填空 10% （每小题 2分） 1、 若P ，Q 为二命题，Q P ?真值为1，当且仅当 。 2、 对公式),()),(),((y x xR z x zQ y x yP ?∨?∧?中自由变元进行代入的 公 式 为 。 3、 )) (()(x xG x xF ??∧?的 前 束 范 式为 。 4、 设x 是谓词合式公式A 的一个客体变元，A 的论域为D ，A （x ）关于y 的自由的， 则 被称为全称量词消去规则，记为US 。 5、 与非门的逻辑网络为 。 二、 选择 30% （每小题 3分） 1、 下列各符号串，不是合式公式的有（ ）。 A 、R Q P ?∧∧)(； B 、)()((S R Q P ∧→→； C 、R Q P ∧∨∨； D 、S R Q P ∨∧∨?))((。 2、 下列语句是命题的有（ ）。 A 、2是素数； B 、x+5 > 6； C 、地球外的星球上也有人； D 、这朵花多好看呀！。 3、 下列公式是重言式的有（ ）。 A 、)(Q P ??； B 、Q Q P →∧)(； C 、P P Q ∧→?)(； D 、P Q P ?→)( 4、 下列问题成立的有（ ）。 A 、 若C B C A ∨?∨，则B A ?； B 、若C B C A ∧?∧，则B A ?； C 、若B A ???，则B A ?； D 、若B A ?，则B A ???。 5、 命题逻辑演绎的CP 规则为（ ）。 A 、 在推演过程中可随便使用前提； B 、在推演过程中可随便使用前面演绎出的某些公式的逻辑结果； C 、如果要演绎出的公式为C B →形式，那么将B 作为前提，设法演绎出C ； 习题 1. 下列句子中，哪些是命题哪些不是命题如果是命题，指出它的真值。 ⑴中国有四大发明。 ⑵计算机有空吗 ⑶不存在最大素数。 ⑷21+3＜5。 ⑸老王是山东人或河北人。 ⑹2与3都是偶数。 ⑺小李在宿舍里。 ⑻这朵玫瑰花多美丽呀! ⑼请勿随地吐痰! ⑽圆的面积等于半径的平方乘以。 ⑾只有6是偶数，3才能是2的倍数。 ⑿雪是黑色的当且仅当太阳从东方升起。 ⒀如果天下大雨，他就乘班车上班。 解：⑴⑶⑷⑸⑹⑺⑽⑾⑿⒀是命题，其中⑴⑶⑽⑾是真命题，⑷⑹⑿是假命题，⑸⑺⒀的真值目前无法确定；⑵⑻⑼不是命题。 2. 将下列复合命题分成若干原子命题。 ⑴李辛与李末是兄弟。 ⑵因为天气冷，所以我穿了羽绒服。 ⑶天正在下雨或湿度很高。 ⑷刘英与李进上山。 ⑸王强与刘威都学过法语。 ⑹如果你不看电影，那么我也不看电影。 ⑺我既不看电视也不外出，我在睡觉。 ⑻除非天下大雨，否则他不乘班车上班。 解：⑴本命题为原子命题； ⑵p：天气冷；q：我穿羽绒服； ⑶p：天在下雨；q：湿度很高； ⑷p：刘英上山；q：李进上山； ⑸p：王强学过法语；q：刘威学过法语； ⑹p：你看电影；q：我看电影； ⑺p：我看电视；q：我外出；r：我睡觉； ⑻p：天下大雨；q：他乘班车上班。 3. 将下列命题符号化。 ⑴他一面吃饭，一面听音乐。 ⑵3是素数或2是素数。 ⑶若地球上没有树木，则人类不能生存。 ⑷8是偶数的充分必要条件是8能被3整除。 ⑸停机的原因在于语法错误或程序错误。 ⑹四边形ABCD是平行四边形当且仅当它的对边平行。 ⑺如果a和b是偶数，则a+b是偶数。 解：⑴p：他吃饭；q：他听音乐；原命题符号化为：p∧q ⑵p：3是素数；q：2是素数；原命题符号化为：p∨q ⑶p：地球上有树木；q：人类能生存；原命题符号化为：p→q ⑷p：8是偶数；q：8能被3整除；原命题符号化为：pq ⑸p：停机；q：语法错误；r：程序错误；原命题符号化为：q∨r→p ⑹p：四边形ABCD是平行四边形；q：四边形ABCD的对边平行；原命题符号化为：pq。 ⑺p：a是偶数；q：b是偶数；r：a+b是偶数；原命题符号化为：p∧q→r 4. 将下列命题符号化，并指出各复合命题的真值。 ⑴如果3+3=6，则雪是白的。 ⑵如果3+3≠6，则雪是白的。 ⑶如果3+3=6，则雪不是白的。 ⑷如果3+3≠6，则雪不是白的。 ⑸3是无理数当且仅当加拿大位于亚洲。 ⑹2+3=5的充要条件是3是无理数。(假定是10进制) ⑺若两圆O1，O2的面积相等，则它们的半径相等，反之亦然。 ⑻当王小红心情愉快时，她就唱歌，反之，当她唱歌时，一定心情愉快。 解：设p：3＋3＝6。q：雪是白的。 ⑴原命题符号化为：p→q；该命题是真命题。 ⑵原命题符号化为：p→q；该命题是真命题。 ⑶原命题符号化为：p→q；该命题是假命题。 ⑷原命题符号化为：p→q；该命题是真命题。 ⑸p：3是无理数；q：加拿大位于亚洲；原命题符号化为：pq；该命题是假命题。 ⑹p：2+3＝5；q：3是无理数；原命题符号化为：pq；该命题是真命题。 ⑺p：两圆O1,O2的面积相等；q：两圆O1,O2的半径相等；原命题符号化为：pq；该命题是真命题。 ⑻p：王小红心情愉快；q：王小红唱歌；原命题符号化为：pq；该命题是真命题。 习题 离散数学试题及答案 Company number【1089WT-1898YT-1W8CB-9UUT-92108】 一、填空题 1设集合A,B，其中A＝{1,2,3},B={1,2},则A-B＝____________________; (A)-(B)＝__________________________. 2.设有限集合A,|A|=n,则|(A×A)|=__________________________. 3.设集合A={a,b},B={1,2},则从A到B的所有映射是 _______________________________________,其中双射的是 __________________________. 4.已知命题公式G＝(PQ)∧R，则G的主析取范式是 _______________________________ __________________________________________________________. 6设A、B为两个集合,A={1,2,4},B={3,4},则从AB＝ _________________________;AB＝_________________________;A－B＝_____________________. 7.设R是集合A上的等价关系，则R所具有的关系的三个特性是 ______________________,________________________,__________________ _____________. 8.设命题公式G＝(P(QR))，则使公式G为真的解释有 __________________________， _____________________________,__________________________. 9.设集合A＝{1,2,3,4},A上的关系 R 1={(1,4),(2,3),(3,2)},R 2 ={(2,1),(3,2),(4,3)},则 第一章习题 1.1判断下列语句是否为命题，若是命题请指出是简单命题还是复合命题。（1）2是无理数。 （2）5能被2整除。 （3）现在开会吗？ （4）x+5>0 （5）这朵花真是好看！ （6）2是素数当且仅当三角形有三条边。 （7）雪是黑色的当且仅当太阳是从东方升起。 （8）2000年10月1日天气晴好。 （9）太阳系以外的星球上有生物。 （10）小李在宿舍里。 （11）全体起立。 （12）4是2的倍数或是3的倍数。 （13）4是偶数且是奇数。 （14）李明和王华是同学。 （15）蓝色和黄色可以调配成绿色。 1..2 将上题中的命题符号化，并讨论他们的真值。 1.3判断下列各命题的真值。 （1）若2+2=4，则3+3=6； （2）若2+2=4，则3+3≠6； （3）若2+2≠=4，则3+3=6； （4）若2+2≠=4，则3+3≠=6； （5）2+2=4，当且仅当3+3=6； （6）2+2=4，当且仅当3+3≠6； （7）2+2≠4，当且仅当3+3=6； （8）2+2≠4，当且仅当3+3≠6； 1.4将下列命题符号化，并讨论其真值。 （1）如果今天是1号，则明天是2号； （2）如果今天是1号，则明天是3号； 1.5将下列命题符号化。 （1）2是偶数不是素数； （2）小王不但聪明而且用功； （3）虽然天气冷。老王还是来了； （4）他一边吃饭，一边看电视； （5）如果天下大雨，他就乘公交汽车来； （6）只有天下大雨，他才乘公交汽车来； （7）除非天下大雨，否则他不乘公交汽车来； （8）不经一事，不长一智； 1.5设p,q的真值为0 ，r,s的真值为1，求下列命题公式的真值。（1）p∨(q∧r); 第二章命题逻辑 §2.2 主要解题方法 2.2.1 证明命题公式恒真或恒假 主要有如下方法： 方法一.真值表方法。即列出公式的真值表，若表中对应公式所在列的每一取值全为1，这说明该公式在它的所有解释下都是真，因此是恒真的；若表中对应公式所在列的每 一取值全为0，这说明该公式在它的所有解释下都为假，因此是恒假的。 真值表法比较烦琐，但只要认真仔细，不会出错。 例2.2.1 说明G= (P∧Q→R)∧(P→Q)→(P→R)是恒真、恒假还是可满足。 解：该公式的真值表如下： 表2.2.1 由于表2.2.1中对应公式G所在列的每一取值全为1，故 G恒真。 方法二.以基本等价式为基础，通过反复对一个公式的等价代换，使之最后转化为一个恒真式或恒假式，从而实现公式恒真或恒假的证明。 例2.2.2 说明G= ((P→R) ∨? R)→ (? (Q→P) ∧ P)是恒真、恒假还是可满足。 解：由(P→R) ∨? R=?P∨ R∨? R=1，以及 ? (Q→P) ∧ P= ?（?Q∨ P）∧ P = Q∧? P∧ P=0 知，((P→R) ∨? R)→ (? (Q→P) ∧ P)=0，故G恒假。 方法三.设命题公式G含n个原子，若求得G的主析取范式包含所有2n个极小项，则G是恒真的；若求得G的主合取范式包含所有2n个极大项，则G是恒假的。 方法四. 对任给要判定的命题公式G，设其中有原子P1，P2，…，P n，令P1取1值，求G的真值，或为1，或为0，或成为新公式G1且其中只有原子P2，…，P n，再令P1取0值，求G真值，如此继续，到最终只含0或1为止，若最终结果全为1，则公式G恒真，若最终结果全为0，则公式G 常熟理工学院20 ～20 学年第学期 《离散数学》考试试卷（试卷库01卷） 试题总分： 100 分考试时限：120 分钟 题号一二三四五总分阅卷人得分 一、单项选择题（每题2分，共20分） 1.下列表达式正确的有( ) （A）（B）（C）（D） 2.设P：2×2=5，Q：雪是黑的，R：2×4=8，S：太阳从东方升起，下列( )命题的真值为 真。 （A）（B）（C）（D） 3.集合A={1,2,…,10}上的关系R={ 1．n个命题变元组成的命题公式共有种不同的等价公式。 2．设〈L，≤〉为有界格，a为L中任意元素，如果存在元素b∈L,使，则称b是a 的补元。 3．设*，Δ是定义在集合A上的两个可交换二元运算，如果对于任意的x,y∈A,都有 ,则称运算*和运算Δ满足吸收律。 4．设T是一棵树，则T是一个连通且的图。 5．一个公式的等价式称作该公式的主合取范式是指它仅由组成。 6．量词否定等价式? ("x)P(x) ?，? ($x)P(x) ?。 7．二叉树有5个度为2的结点，则它的叶子结点数为。 8．设 第一章 定律证明: (1) A?B=B?A (交换律) 证?x x∈A?B ? x∈A 或x∈B, 自然有x∈B 或x∈A ? x∈B?A 得证A?B?B?A. 同理可证B?A?A?B. (2) A?(B?C)=(A?B)?(A?C) (分配律) 证?x x∈A?(B?C) ? x∈A或(x∈B且x∈C ) ?(x∈A或x∈B)且(x∈A或x∈C) ?x∈(A?B)?(A?C) 得证A?(B?C)?(A?B)?(A?C). 类似可证(A?B)?(A?C)?A?(B?C). (3) A?E=E (零律) 证根据并的定义, 有E?A?E. 根据全集的定义, 又有A? E?E. (4) A?E=A (同一律) 证根据交的定义, 有A?E?A. 又, ?x x∈A, 根据全集E的定义, x∈E, 从而x∈A且x∈E, ?x∈A?E 得证A?A?E. 例4 证明A?(A?B)=A（吸收律） 证利用例3证明的4条等式证明 A?(A?B) = (A?E)?(A?B) (同一律) = A?(E?B) (分配律) = A?(B?E) (交换律) = A?E (零律) = A (同一律) 例5 证明(A-B)-C=(A-C)-(B-C) 证(A-C)-(B-C) = (A ?~C) ? ~(B ? ~C) (补交转换律) = (A ?~C) ? (~B ? ~~C) (德摩根律) = (A ?~C) ? (~B ? C) (双重否定律) = (A ?~C? ~B)?(A ?~C? C) (分配律) = (A ?~C? ~B)?(A ??) (矛盾律) = A ?~C? ~B (零律,同一律) = (A ?~B) ? ~C (交换律,结合律) 离散数学 2^m*n 一、选择题（2*10） 1．令P：今天下雨了，Q：我没带伞，则命题“虽然今天下雨了，但是我没带伞”可符号化为（）。 （A）P→?Q （B）P∨?Q （C）P∧Q （D）P∧?Q 2．下列命题公式为永真蕴含式的是（）。 （A）Q→（P∧Q）（B）P→（P∧Q） （C）（P∧Q）→P （D）（P∨Q）→Q 3、命题“存在一些人是大学生”的否定是(A)，而命题“所有的人都是要死的”的否定 是（）。 （A）所有人都不是大学生，有些人不会死 （B）所有人不都是大学生，所有人都不会死 （C）存在一些人不是大学生，有些人不会死 （D）所有人都不是大学生，所有人都不会死 4、永真式的否定是（）。 （A）永真式（B）永假式（C）可满足式（D）以上均有可能 5、以下选项中正确的是（）。 （A）0= ? （B）0 ? （C）0∈? （D）0?? 6、以下哪个不是集合A上的等价关系的性质？（） ）。 （A）2 （B）4 （C）3 （D）5 10．连通图G是一棵树，当且仅当G中（）。 （A）有些边不是割边（B）每条边都是割边 （C）无割边集（D）每条边都不是割边 二、填空题（2*10） 1、命题“2是偶数或-3是负数”的否定是________。 2、设全体域D是正整数集合，则命题?x?y(xy=y)的真值是______。 3、令R(x):x是实数，Q(x):x是有理数。则命题“并非每个实数都是有理数”的符号化表示为 4 5 6、设 7 8 (1)若A去，则C和D中要去1个人； (2)B和C不能都去； (3)若C去，则D留下 五、（15分）设A={1,2,3},写出下列图示关系的关系矩阵，并讨论它们的性质： 数理逻辑部分 选择、填空及判断 ?下列语句不就是命题的( A )。 (A) 您打算考硕士研究生不？ (B) 太阳系以外的星球上有生物。 (C) 离散数学就是计算机系的一门必修课。 (D) 雪就是黑色的。 ?命题公式P→(P∨?P)的类型就是( A ) (A) 永真式(B) 矛盾式 (C) 非永真式的可满足式(D) 析取范式 ?A就是重言式,那么A的否定式就是( A ) A、矛盾式 B、重言式 C、可满足式 D、不能确定 ?以下命题公式中,为永假式的就是( C ) A、p→(p∨q∨r) B、(p→┐p)→┐p C、┐(q→q)∧p D、┐(q∨┐p)→(p∧┐p) ?命题公式P→Q的成假赋值就是( D ) A、 00,11 B、 00,01,11 C、10,11 D、 10 ?谓词公式) x xP∧ ?中,变元x就是 ( B ) R , ( x ) (y A、自由变元 B、既就是自由变元也就是约束变元 C、约束变元 D、既不就是自由变元也不就是约束变元 ?命题公式P→(Q∨?Q)的类型就是( A )。 (A) 永真式 (B) 矛盾式 (C) 非永真式的可满足式 (D) 析取范式 ?设B不含变元x,) x x→ ?等值于( A ) A ) ( (B A、B (D、B x xA→ x ?) ( ( ?C、B x∧ A ?) (B、) ?) xA→ x ) ( A x (B x∨ ?下列语句中就是真命题的就是( D )。 A.您就是杰克不？ B.凡石头都可练成金。 C.如果2+2=4,那么雪就是黑的。 D.如果1+2=4,那么雪就是黑的。 ?从集合分类的角度瞧,命题公式可分为( B ) A、永真式、矛盾式 B、永真式、可满足式、矛盾式 C、可满足式、矛盾式 D、永真式、可满足式 ?命题公式﹁p∨﹁q等价于( D )。 A、﹁p∨q B、﹁(p∨q) C、﹁p∧q D、 p→﹁q ?一个公式在等价意义下,下面写法唯一的就是( D )。 (A) 范式 (B) 析取范式 (C) 合取范式 (D) 主析取范式 ?下列含有命题p,q,r的公式中,就是主析取范式的就是( D )。 离散数学试题一（A 卷答案） 一、（10分）证明(A ∨B )(P ∨Q )，P ，(B A )∨P A 。 二、（10分）甲、乙、丙、丁4个人有且仅有2个人参加围棋优胜比赛。关于谁参加竞赛，下列4 种判断都是正确的： (1)甲和乙只有一人参加； (2)丙参加，丁必参加； (3)乙或丁至多参加一人； (4)丁不参加，甲也不会参加。 请推出哪两个人参加了围棋比赛。 三、（10分）指出下列推理中，在哪些步骤上有错误为什么给出正确的推理形式。 (1)x (P (x ) Q (x )) P (2)P (y )Q (y ) T (1)，US (3)xP (x ) P (4)P (y ) T (3)，ES (5)Q (y ) T (2)(4)，I (6)xQ (x ) T (5)，EG 四、（10分）设A ＝{a ，b ，c}，试给出A 上的一个二元关系R ，使其同时不满足自反性、反自反性、 五、（15分）设函数g ：A →B ，f ：B →C ， (1)若f o g 是满射，则f 是满射。 (2)若f o g 是单射，则g 是单射。 六、（15分）设R 是集合A 上的一个具有传递和自反性质的关系，T 是A 上的关系，使得T R 且R ，证明T 是一个等价关系。 七、（15分）若 326《离散数学》期末考试题(B ) 一、填空题(每小题3分，共15分) 1.设,,},,{{b a b a A =?}，则-A ? = ( )，-A {?} = ( )，)(A P 中的元素个数 =|)(|A P ( ). 2.设集合A 中有3个元素，则A 上的二元关系有( )个，其中有( )个是A 到A 的函数. 3.谓词公式))()(())()((y P y Q y x Q x P x ?∧?∧→?中量词x ?的辖域为( ), 量词 y ?的辖域为( ). 4.设}24,12,8,6,4,3,2,1{24=D ，对于其上的整除关系“|”，元素( )不存在补元. 5.当n ( )时，n 阶完全无向图n K 是平面图，当当n 为( )时，n K 是欧拉图. 二．1. 若n B m A ==||,||，则=?||B A ( )，A 到B 的2元关系共有( )个，A 上的2元关系共有( )个. 2. 设A = {1, 2, 3}, f = {(1,1), (2,1), (3, 1)}, g = {(1, 1), (2, 3), (3, 2)}和h = {(1, 3), (2, 1), (3, 1)}，则( )是单射，( )是满射，( )是双射. 3. 下列5个命题公式中，是永真式的有( )(选择正确答案的番号). (1)q q p p →→∧)(； (2))(q p p ∨→； (3))(q p p ∧→； (4)q q p p →∨∧?)(； (5)q q p →→)(. 4. 设D 24是24的所有正因数组成的集合，“|”是其上的整除关系，则3的补元( )，4的补元( )，6的补元( ). 5. 设G 是(7, 15)简单平面图，则G 一定是( )图，且其每个面恰由( )条边围成，G 的面数为( ). 离散数学课后习题答案(左孝凌版) 1-1，1-2解： a)是命题，真值为T。 b)不是命题。 c)是命题，真值要根据具体情况确定。 d)不是命题。 e)是命题，真值为T。 f)是命题，真值为T。 g)是命题，真值为F。 h)不是命题。 i)不是命题。 （2）解： 原子命题：我爱北京天安门。 复合命题：如果不是练健美操，我就出外旅游拉。 （3）解： a)(┓P ∧R)→Q b)Q→R c)┓P d)P→┓Q （4）解： a)设Q:我将去参加舞会。R:我有时间。P:天下雨。 Q (R∧┓P):我将去参加舞会当且仅当我有时间和天不下雨。 b)设R:我在看电视。Q:我在吃苹果。 R∧Q:我在看电视边吃苹果。 c) 设Q:一个数是奇数。R:一个数不能被2除。 （Q→R）∧(R→Q):一个数是奇数，则它不能被2整除并且一个数不能被2整除，则它是奇数。 (5) 解： a)设P：王强身体很好。Q：王强成绩很好。P∧Q b)设P：小李看书。Q：小李听音乐。P∧Q c)设P：气候很好。Q：气候很热。P∨Q d)设P： a和b是偶数。Q：a+b是偶数。P→Q e)设P：四边形ABCD是平行四边形。Q ：四边形ABCD的对边平行。P Q f)设P：语法错误。Q：程序错误。R：停机。（P∨ Q）→ R (6) 解： a)P:天气炎热。Q:正在下雨。 P∧Q b)P:天气炎热。R:湿度较低。 P∧R c)R:天正在下雨。S:湿度很高。 R∨S d)A:刘英上山。B:李进上山。 A∧B e)M:老王是革新者。N:小李是革新者。 M∨N f)L:你看电影。M:我看电影。┓L→┓M g)P:我不看电视。Q:我不外出。 R:我在睡觉。 P∧Q∧R h)P:控制台打字机作输入设备。Q:控制台打字机作输出设备。P∧Q 1-3 （1）解： 离散数学试题 一、单项选择题 在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。 1.设P：天下大雨,Q：他在室内运动,命题“如果天下大雨，他就．在室内运动”可符合化为 （B） A. P∧Q B. P→Q C. Q→P D. P∨Q 2.设G=(V , E)为任意一图（无向或有向的），顶点个数为n，边的条数为m， 则各顶点的度数之和等于（ D ）。 A.n B. m C. 2n D. 2m 3.下列命题为假．命题的是（A） A.如果2是偶数，那么一个公式的析取范式惟一 B.如果2是偶数，那么一个公式的析取范式不惟一 C.如果2是奇数，那么一个公式的析取范式惟一 D.如果2是奇数，那么一个公式的析取范式不惟一 4.谓词公式(?x(P(x)∨?yR(y))→Q(x) 中变元x是（D） A.自由变元 B.约束变元 C.既不是自由变元也不是约束变元 D.既是自由变元也是约束变元 5.若个体域为整数域，下列公式中值为真的是（A） A.?x?y(x+y=0) B.?y?x(x+y=0) C.?x?y(x+y=0) D.??x?y(x+y=0) 6.下列命题中不．正确的是（D） A.x∈{x}-{{x}} B.{x}?{x}-{{x}} C.A={x}∪x,则x∈A且x?A D.A-B=??A=B 7.设P={x|(x+1)2≤4}，Q={x|x2+16≥5x},则下列选项正确的是（C） A.P?Q B.P?Q C.Q?P D.Q=P 8.下列表达式中不．成立的是（A） A.A∪(B⊕C)=(A∪B) ⊕ (A∪C) B.A∩(B⊕C)=(A∩B) ⊕ (A∩C) C.(A⊕B)×C=(A×C) ⊕ (B×C) D.(A-B) ×C=(A×C)-(B×C) 9.半群、群及独异点的关系是（A） A.{群}?{独异点}?{半群} B.{独异点}?{半群}?{群} 《离散数学》题库答案 一、选择或填空 （数理逻辑部分） 1、下列哪些公式为永真蕴含式？( ) (1)?Q=>Q →P (2)?Q=>P →Q (3)P=>P →Q (4)?P ∧(P ∨Q)=>?P 答：（1），（4） 2、下列公式中哪些是永真式？( ) (1)(┐P ∧Q)→(Q →?R) (2)P →(Q →Q) (3)(P ∧Q)→P (4)P →(P ∨Q) 答：（2），（3），（4） 3、设有下列公式，请问哪几个是永真蕴涵式?( ) (1)P=>P ∧Q (2) P ∧Q=>P (3) P ∧Q=>P ∨Q (4)P ∧(P →Q)=>Q (5) ?(P →Q)=>P (6) ?P ∧(P ∨Q)=>?P 答：（2），（3），（4），（5），（6） 4、公式 x((A(x) B(y ，x)) z C(y ，z))D(x)中，自由变元是( )，约束变元是( )。 答：x,y, x,z 5、判断下列语句是不是命题。若是，给出命题的真值。( ) (1) 北京是中华人民共和国的首都。 (2) 陕西师大是一座工厂。 (3) 你喜欢唱歌吗？ (4) 若7+8＞18，则三角形有4条边。 (5) 前进！ (6) 给我一杯水吧！ 答：（1） 是，T （2） 是，F （3） 不是 （4） 是，T （5） 不是 （6） 不是 6、命题“存在一些人是大学生”的否定是( )，而命题“所有的人都是要死的”的否定是( )。 答：所有人都不是大学生，有些人不会死 7、设P ：我生病，Q ：我去学校，则下列命题可符号化为( )。 (1) 只有在生病时，我才不去学校 (2) 若我生病，则我不去学校 (3) 当且仅当我生病时，我才不去学校(4) 若我不生病，则我一定去学校 答：（1） P Q →? （2） Q P ?→ （3） Q P ?? （4）Q P →? 8、设个体域为整数集，则下列公式的意义是( )。 (1) x y(x+y=0) (2) y x(x+y=0) 答：（1）对任一整数x 存在整数 y 满足x+y=0（2）存在整数y 对任一整数x 满足x+y=0 9、设全体域D 是正整数集合，确定下列命题的真值： (1) x y (xy=y) ( ) (2) x y(x+y=y) ( ) (3) x y(x+y=x) ( ) (4) x y(y=2x) ( ) 答：（1） F （2） F （3）F （4）T 10、设谓词P(x)：x 是奇数，Q(x)：x 是偶数，谓词公式 x(P(x)Q(x))在哪个个体域中为真?( ) (1) 自然数 (2) 实数 (3) 复数 (4) (1)--(3)均成立 答：（1） 11、命题“2是偶数或-3是负数”的否定是（ ）。 答：2不是偶数且-3不是负数。 12、永真式的否定是（ ） (1) 永真式 (2) 永假式 (3) 可满足式 (4) (1)--(3)均有可能 答：（2） 13、公式(?P ∧Q)∨(?P ∧?Q)化简为（ ），公式 Q →(P ∨(P ∧Q))可化简为（ ）。 答：?P ，Q →P 试卷二试题与参考答案 一、填空 1、 P ：你努力，Q ：你失败。 2、 “除非你努力，否则你将失败”符号化为 ； “虽然你努力了，但还是失败了”符号化为 。 2、论域D={1，2}，指定谓词P 则公式x ??真值为 。 3设A={2，3，4，5，6}上的二元关系}|,{是质数x y x y x R ∨<><=，则 R= （列举法）。 R 的关系矩阵M R = 。 4、设A={1，2，3}，则A 上既不是对称的又不是反对称的关系 R= ；A 上既是对称的又是反对称的关系R= 。 5、设代数系统，其中A={a ，b ，c}, 则幺元是 ；是否有幂等 性 ；是否有对称性 。 6、4阶群必是 群或 群。 7、下面偏序格是分配格的是 。 8、n 个结点的无向完全图K n 的边数为 ，欧拉图的充要条件是 。 二、选择 1、在下述公式中是重言式为（ ） A ．)()(Q P Q P ∨→∧； B ．))()(()(P Q Q P Q P →∧→??； C ．Q Q P ∧→?)(； D ．)(Q P P ∨→。 2、命题公式 )()(P Q Q P ∨?→→? 中极小项的个数为（ ），成真赋值的个数为（ ）。 A ．0； B ．1； C ．2； D ．3 。 3、设}}2,1{},1{,{Φ=S ，则 S 2 有（ ）个元素。 A ．3； B ．6； C ．7； D ．8 。 4、设} 3 ,2 ,1 {=S ，定义S S ?上的等价关系 },,,, | ,,,{c b d a S S d c S S b a d c b a R +=+?>∈∈<><><<=则由 R 产 生 的S S ?上一个划分共有（ ）个分块。 A ．4； B ．5； C ．6； D ．9 。 5、设} 3 ,2 ,1 {=S ，S 上关系R 的关系图为 则R 具有（ ）性质。 A ．自反性、对称性、传递性； B ．反自反性、反对称性； C ．反自反性、反对称性、传递性； D ．自反性 。 《离散数学》练习题和参考答案 一、选择或填空（数理逻辑部分) １、下列哪些公式为永真蕴含式？( ) (1)?Q=>Q→P （2)?Ｑ=>P→Q (３)P=>P→Q (４)?P∧(P∨Q)=>?P 答:（1)，（4) 2、下列公式中哪些是永真式?( ) (1）(┐P∧Q)→（Ｑ→?R) (2)P→(Q→Q） (3)(P∧Ｑ)→P (4)Ｐ→(P∨Q) 答：（２),（3),(4） 3、设有下列公式，请问哪几个是永真蕴涵式？（） （1）P=>P∧Q （2) Ｐ∧Q＝＞P (3) Ｐ∧Ｑ=>P∨Q (４)P∧（P→Q)=>Q （5) ?(P→Q）=>P （６) ?Ｐ∧（Ｐ∨Q)=>?Ｐ答：（2）,（3),（４)，（５)，（６） ４、公式?x（（A(x)→B（y,x))∧?ｚＣ(y,z))→D(x)中,自由变元是（），约束变元是( )。答:ｘ,ｙ, x,z 5、判断下列语句是不是命题。若是,给出命题的真值。( ) 北京是中华人民共和国的首都。 (2) 陕西师大是一座工厂。 (3) 你喜欢唱歌吗？（4) 若7＋８>1８,则三角形有4条边。 (５) 前进！(6) 给我一杯水吧！ 答:（1) 是,T （2) 是,F （3) 不是 (4) 是,T （5) 不是 (6）不是 6、命题“存在一些人是大学生”的否定是（），而命题“所有的人都是要死的”的否定是（ )。 答：所有人都不是大学生，有些人不会死 7、设P：我生病,Q:我去学校,则下列命题可符号化为( )。 (1）只有在生病时，我才不去学校 (2) 若我生病,则我不去学校 (3) 当且仅当我生病时，我才不去学校（4）若我不生病,则我一定去学校 答：(1) P Q→ ? (2）Q P? →（３）Q P? ?（4)Q P→ ? ８、设个体域为整数集，则下列公式的意义是（）。 (１) ?ｘ?y（x+ｙ=0) （２）?y?x（x+y=0) 答:（1）对任一整数x存在整数y满足ｘ+y=0(2)存在整数ｙ对任一整数x满足x+y=０ 9、设全体域D是正整数集合,确定下列命题的真值： (１) ?x?y (ｘy＝y) ( ) (2) ?x?y（x＋y=y) ( ) (3) ?x?y(x+ｙ=x）( ） (４）?x?y(y＝2x) ( )答:（１） F (2） F （3)F (４)T 10、设谓词P（ｘ）:x是奇数，Q（x)：x是偶数，谓词公式?ｘ(P(x)∨Q(x))在哪个个体域中为真？( ) （1）自然数 (2) 实数 (3) 复数(４) (1）－－(3)均成立答:(1) 11、命题“2是偶数或-3是负数”的否定是（）。答:2不是偶数且-３不是负数。 12、永真式的否定是（） (1) 永真式 (2) 永假式(3) 可满足式 (４）(1)--(3)均有可能答:(２) 离散数学 1.在自然推理系统P 中构造下面推理的证明： 前提：,,p q r q r s ?∨∨?→ 结论：p s →. 3设一阶逻辑公式 ((,)(()()))G x yP x y zQ z R x =???→?→ 试将G 化成与其等价的前束范式。 4.判断下面推理是否正确，并证明你的结论。 如果小王今天家里有事，则他不会来开会。 如果小张今天看到小王，则小王今天来开会了。 小张今天看到小王。所以小王今天家里没事。 5、构造下面推理的证明 前提： ))()(()),()()((x R x F x x H x G x F x ∧?∧→? 结论: ))()()((x G x R x F x ∧∧? 6用等值演算法和真值表法判断公式)())()((Q P P Q Q P A ??→∧→=的类型。 7分别用真值表法和公式法求(P →(Q ∨R ))∧(?P ∨(Q ?R ))的主析取范式 ，并写出其相应的成真赋值和成假赋值。 8用逻辑推理证明： 所有的舞蹈者都很有风度，王华是个学生且是个舞蹈者。因此有些学生很有风度。 9、设A ＝{?，1，{1}}，B ＝{0，{0}}，求P (A )、P (B )－{0}、P (B )⊕B 。 10、设X ＝{1，2，3，4}，R 是X 上的二元关系，R ＝{<1，1>，<3，1>，<1，3>，<3，3>，<3，2>，<4，3>，<4，1>，<4，2>，<1，2>} (1)画出R 的关系图。 (2)写出R 的关系矩阵。 (3)说明R 是否是自反、反自反、对称、传递的。 11、集合X={<1,2>, <3,4>, <5,6>,… }，R={< 1-1，1-2 （1）解： a)是命题，真值为T。 b)不是命题。 c)是命题，真值要根据具体情况确定。 d)不是命题。 e)是命题，真值为T。 f)是命题，真值为T。 g)是命题，真值为F。 h)不是命题。 i)不是命题。 （2）解： 原子命题：我爱北京天安门。 复合命题：如果不是练健美操，我就出外旅游拉。 （3）解： a)(┓P ∧R)→Q b)Q→R c)┓P d)P→┓Q （4）解： a)设Q:我将去参加舞会。R:我有时间。P:天下雨。 Q (R∧┓P):我将去参加舞会当且仅当我有时间和天不下雨。 b)设R:我在看电视。Q:我在吃苹果。 R∧Q:我在看电视边吃苹果。 c) 设Q:一个数是奇数。R:一个数不能被2除。 （Q→R）∧(R→Q):一个数是奇数，则它不能被2整除并且一个数不能被2整除，则它是奇数。 (5) 解： a)设P：王强身体很好。Q：王强成绩很好。P∧Q b)设P：小李看书。Q：小李听音乐。P∧Q c)设P：气候很好。Q：气候很热。P∨Q d)设P：a和b是偶数。Q：a+b是偶数。P→Q e)设P：四边形ABCD是平行四边形。Q ：四边形ABCD的对边平行。P Q f)设P：语法错误。Q：程序错误。R：停机。（P∨Q）→R (6) 解： a)P:天气炎热。Q:正在下雨。P∧Q b)P:天气炎热。R:湿度较低。P∧R c)R:天正在下雨。S:湿度很高。R∨S d)A:刘英上山。B:李进上山。A∧B e)M:老王是革新者。N:小李是革新者。M∨N f)L:你看电影。M:我看电影。┓L→┓M g)P:我不看电视。Q:我不外出。R:我在睡觉。P∧Q∧R h)P:控制台打字机作输入设备。Q:控制台打字机作输出设备。P∧Q 1-3 （1）解： a)不是合式公式，没有规定运算符次序（若规定运算符次序后亦可作为合式公式） b)是合式公式 c)不是合式公式（括弧不配对） d)不是合式公式（R和S之间缺少联结词） e)是合式公式。 （2）解： a）A是合式公式，(A∨B)是合式公式，(A→(A∨B))是合式公式。这个过程可以简记为：A；(A∨B)；(A→(A∨B)) 同理可记 b）A；┓A ；(┓A∧B) ；((┓A∧B)∧A) c）A；┓A ；B；(┓A→B) ；(B→A) ；((┓A→B)→(B→A)) d）A；B；(A→B) ；(B→A) ；((A→B)∨(B→A)) （3）解： a）((((A→C)→((B∧C)→A))→((B∧C)→A))→(A→C)) b）((B→A)∨(A→B))。 （4）解： a) 是由c) 式进行代换得到，在c) 中用Q代换P, (P→P)代换Q.《离散数学》考试题库及答案(三)
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