专题01 集合 集合间的关系 集合的运算(核心素养练习)(解析版)

专题一集合、集合的关系、集合的运算核心素养练习

一、核心素养聚焦

考点一逻辑推理-集合元素的互异性

例题8.已知集合A含有两个元素a和a2，若1∈A，求实数a的值。

【答案】a＝－1

【解析】若1∈A，则a＝1或a2＝1，即a＝±1.

当a＝1时，集合A有重复元素，

所以a≠1；

当a＝－1时，集合A含有两个元素1，－1，符合集合中元素的互异性，所以a＝－1。

考点二数学抽象-子（真子）集个数

例题9.已知集合M满足：{1,2}M?{1,2,3,4,5}，写出集合M所有的可能情况．

【解析】由题意可以确定集合M必含有元素1,2，且至少含有元素3,4,5中的一个，因此依据集合M 的元素个数分类如下：

含有3个元素：{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,5}；

含有4个元素：{1,2,3,4}，{1,2,3,5}，{1,2,4,5}；

含有5个元素：{1,2,3,4,5}．

故满足条件的集合M为{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,5}，{1,2,3,4}，{1,2,3,5}，{1,2,4,5}，{1,2,3,4,5}．考点三数学运算-集合运算

例题10、设A＝{x|x2＋ax＋12＝0}，B＝{x|x2＋3x＋2b＝0}，A∩B＝{2}，C＝{2，－3}．

(1)求a，b的值及A，B；

(2)求(A∪B)∩C.

【答案】（1）a＝－8，b＝－5，A＝{2,6}，B＝{2，－5}．(2)(A∪B)∩C＝{2}．

【解析】(1)∵A∩B＝{2}，∴4＋2a＋12＝0，即a＝－8，4＋6＋2b＝0，即b＝－5，∴A＝{x|x2－8x＋12＝0}＝{2,6}，B＝{x|x2＋3x－10＝0}＝{2，－5}．

(2)∵A∪B＝{－5,2,6}，C＝{2，－3}，∴(A∪B)∩C＝{2}．

考点四直观想象-补集

例题11.已知全集U＝{x|x≤5}，集合A＝{x|－3≤x<5}，则?U A＝________.

【答案】?U A＝{x|x<－3或x＝5}．

【解析】将集合U和集合A分别表示在数轴上，如图所示．

由补集的定义可知?U A＝{x|x<－3或x＝5}．

二、学业质量测评

一、选择题

1．（2019·全国高一单元测试）已知集合M＝{－1,0}，则满足M∪N＝{－1,0,1}的集合N的个数是()

A ．2

B ．3

C ．4

D ．8

【答案】C

【解析】

因为由M ∪N={-1，0，1}，得到集合M ?M ∪N ，且集合N ?M ∪N ，又M={0，-1}，所以元素1∈N ，则集合N 可以为{1}或{0，1}或{-1，1}或{0，-1，1}，共4个．故选C

2．（2019·全国高一单元测试）已知M ＝{x ∈R|x }，a ＝π，有下列四个式子：

(1)a ∈M ；(2){a }?M ；(3)a ?M ；(4){a }∩M ＝π.其中正确的是( )

A.(1)(2)

B.(1)(4)

C.(2)(3)

D.(1)(2)(4)

【答案】A

【解析】由题意，（1）中，根据元素与集合的关系，可知是正确的；（2）中，根据集合与集合的关系，可知是正确的； (3)是元素与集合的关系，应为a ∈M ，所以不正确；(4)应为{a}∩M ＝{π}，所以不正确，故选A ．

3．（2019·全国高一单元测试）设集合{|32}M m m =∈-<

A ．{}01，

B ．{}101-，，

C ．{}012，，

D ．{}101

2-，，， 【答案】B 【解析】依题意{}{}2,1,0,1,1,0,1,2,3,M N =--=-∴{}1,0,1M N ?=-.故选B 。

4．（2019·北京市十一学校高一单元测试）已知集合2{1,2,3},{|20}A B x Z x x ==∈--<,则

A B =（）

A ．{1}

B ．{1,2}

C ．{0,1,2,3}

D ．{1,0,1,2,3}- 【答案】C

【解析】由题可得，集合B 中的不等式()()22021012x x x x x --

答案选C

5．（2019·全国高一单元测试）设M ，P 是两个非空集合，定义M 与P 的差集M －P ＝{x |x ∈M 且x ?P }，则M －(M －P )等于( )

A ．P

B ．M

C ．M ∩P

D ．M ∪P

【答案】C 【解析】由题意，作出Venn 图，如图所示：可得M －(M －P )= M ∩P ，故选C.

6．（2017·全国高一单元测试） 设全集U 是自然数集N ，集合A ＝{x |x 2＞4，x ∈N}，B ＝{0,2,3}，则图中阴影部分所表示的集合是( )

A.{x |x ＞2，x ∈N}

B.{x |x ≤2，x ∈N}

C.{0,2}

D.{1,2}

【答案】C

【解析】 由题图可知，图中阴影部分所表示的集合是B ∩(?U A )，?U A ＝{x |x 2≤4，x ∈N}＝{x |－2≤x ≤2，x ∈N}＝{0,1,2}，∵B ＝{0,2,3}，

∴B ∩(?U A )＝{0,2}，选C.

7．（2017·全国高一单元测试）若集合A ＝{x |kx 2＋4x ＋4＝0，x ∈R}中只有一个元素，则实数k 的值为( )

A ．1

B ．0

C ．0或1

D ．以上答案都不对

【答案】C

【解析】当k ＝0时，A ＝{－1}；当k ≠0时，Δ＝16－16k ＝0，k ＝1.故k ＝0或k ＝1.选C.

二、填空题

8．（2019·北京市十一学校高一单元测试）设集合{1,2,3,4,5,6},{4,5,6,7,8}A B ==,则满足S A ?且S B φ?≠的集合S 的个数是__________个

【答案】56

【解析】集合A 的子集有:{1},{2},{3},{4},{5},{6} ,{1,2},{1,3},{1,4},{1,5},

{1,2,3,4,5,6},?,

共64个;

又,{4,5,6,7,8}S B B ?≠?=,所以S 不能为:{1},{2},{3},{1,2},{1,3},{2,3},{1,2,3},? 共8个,则满足S A ?且S B ?≠?的集合S 的个数是64856-=.

9．（2019·北京市十一学校高一单元测试）已知全集

{}{}2{2,3,23},1,2,3U U a a A a C A a =+-=+=+,则a 的值为__________

【答案】2

【解析】由补集概念及集合中元素互异性知a 应满足

()()()()

22222233(1)323|1|23(2)|1|3232

(3)232233(4)2123433a a a a a a a a A a a B a a a a a a ?+=+=+-?+=+-????+=??+-≠??+-≠??+-≠+-≠?

?或 分两种情况进行讨论： 在A 中，由（1）得a=0依次代入（2）、（3）、（4）检验，不合②，故舍去。

在B 中，由（1）得a=－3,a=2，分别代入（2、（3）、（4）检验，a=－3不合②，故舍去，a=2能满足②③④，故a=2符合题意。

答案为：2

10．（2019·北京市十一学校高一单元测试）已知集合2{2},{|210}A B x x x a =-=++-=,且

A B B =,则满足条件的实数a 组成的集合为__________ 【答案】{}2a a >

【解析】若集合{}=2B -，将-2带入B 中，则应满足44+10a --=，1a =，反求得集合{}0,2B =-,与假设矛盾，排除1a =

若B =?，则?<0，即()=4-410a ?-<，2a >

所以满足条件的a 组成的集合为{}2a a >

11．（2018·江西高一单元测试）用列举法表示集合10|

,1M m Z m Z m ??=∈∈??+??＝________． 【答案】{－11，－6，－3，－2，0，1，4，9}. 【解析】101

Z m Z m ∈∈+，， 1m ∴+为10的因数

则11251010521m +=----，，，，，，，

014911632m ∴=----，，，，，，，

则答案为{}11

6320149----，，，，，，， 三、解答题

12．（2019·全国高一单元测试）已知A ={a ?1,2a 2+5a +1,a 2+1}, ?2∈A ,求实数a 的值.

【答案】?32

【解析】因为?2∈A ，所以有a ?1=?2,或2a 2+5a +1=?2，显然a 2+1≠?2， 当a ?1=?2时，a =?1，此时a ?1=2a 2+5a +1=?2不符合集合元素的互异性，故舍去；

当2a 2+5a +1=?2时，解得a =?32，a =?1由上可知不符合集合元素的互异性，舍去，故a =?32.

13．（2017·全国高一单元测试） 已知A ＝{x |a －4＜x ＜a ＋4}，B ＝{x |x ＜－1或x ＞5}．

(1)若a ＝1，求A ∩B ；

(2)若A ∪B ＝R ，求实数a 的取值范围．

【答案】(1) {x |－3＜x ＜－1}． (2){a |1＜a ＜3}.

【解析】(1)当a ＝1时，A ＝{x |－3＜x ＜5}，B ＝{x |x ＜－1或x ＞5}.

所以A ∩B ＝{x |－3＜x ＜－1}．

(2)因为A ＝{x |a －4＜x ＜a ＋4}，B ＝{x |x ＜－1或x ＞5}，

又A ∪B ＝R ，

所以?1＜a ＜3. 所以所求实数a 的取值范围是{a |1＜a ＜3}.

14．（2010·全国高一单元测试）设集合222{|40},{|2(1)10}A x x x B x x a x a =+==+++-=，

若A∩B=B ，求a 的取值范围．

【答案】a=1或a≤﹣1

【解析】根据题意，集合A={x|x 2+4x=0}={0，﹣4}，若A∩B=B ，则B 是A 的子集， 且B={x|x 2+2（a+1）x+a 2﹣1=0}，为方程x 2+2（a+1）x+a 2﹣1=0的解集， 分4种情况讨论：

①B=?，△=[2（a+1）]2﹣4（a 2﹣1）=8a+8＜0，即a ＜﹣1时，方程无解，满足题意； ②B={0}，即x 2+2（a+1）x+a 2﹣1=0有两个相等的实根0，

则有a+1=0且a 2﹣1=0，解可得a=﹣1，

③B={﹣4}，即x 2+2（a+1）x+a 2﹣1=0有两个相等的实根﹣4，

则有a+1=4且a 2﹣1=16，此时无解，

④B={0、﹣4}，即x2+2（a+1）x+a2﹣1=0有两个的实根0或﹣4，则有a+1=2且a2﹣1=0，解可得a=1，

综合可得：a=1或a≤﹣1．

数学核心素养之数学运算

数学运算 数学运算是指在明晰运算对象的基础上，依据运算法则解决数学问题的过程。主要包括：理解运算对象，掌握运算法则，探究运算方向，选择运算方法，设计运算程序，求得运算结果等。 数学运算是数学活动的基本形式，也是演绎推理的一种形式，是得到数学结果的重要手段。数学运算是计算机解决问题的基础。 在数学运算核心素养的形成过程中，学生能够进一步发展数学运算能力；能有效借助运算方法解决实际问题；能够通过运算促进数学思维发展，养成程序化思考问题的习惯；形成一丝不苟、严谨求实的科学精神。 高中数学运算素养在课堂培养中需要梳理和明确的有三步，即梳理数学运算常见错误，强化数学运算培养途径，形成数学运算的培养共识． 一、梳理数学运算常见错误 1、审题出错（看错） 虽然看不懂，没看全，看错字等都是造成审题出错的因素，但缺少审题的步骤和方法也是一个不容忽视的主要因素。学生通过审题解决三个疑惑：有什么？做什么？怎么做？也就是说要数学运算正确，首先要了解该题的基本情况和答题的基本方向，即首先是要有目标．这体现了数学运算蕴含目标意识． 2、计算出错（算错） 学生对计算能力的内涵缺乏科学认识，常常将计算过程中的错误原因归结到非智力因素上，认为是“马虎”、“粗心”、“不注意”才造成计算错误。但是失之毫厘，差之千里。他们总是只看重解题过程中的方法和思路，对计算的具体实施，对计算过程中的合理性、简洁性等都没有给出足够的重视．久而久之，慢慢地就造成了一算就错的尴尬境地．造成错误的主要原因虽有基础性的问题，但缺少规则（规范）意识也是一个主要原因．这体现了数学运算蕴含规则意识． 3、答案写错（写错） 虽计算等环节正确，但抄错、写错答案也是使运算出错的致命环节，造成这类错误的主要原因是身体疲劳，数字书写不规范这两个方面．对于减少第一个错误的方法就需要强身健体（平时注意身体素质的提升），对于减少第二个错误就需要规范字的书写，这就体现了数学运算需要蕴含强体质意识、写规范字的意识． 4、方向出错（弄错） 如果说前三种出错是细微是偶然，那么解题方案理解出错，是方向性错误，犹如一艘迷航的船，永远达不到目的地，这是颠覆性和毁灭性的。造成方向性出错的主要原因是一些想当然的坏习惯造成的，如三角函数的正弦函数 sin()y A x ω?=+的振幅有的理解是A ，有的理解2A ，这就体现了数学运算蕴含方向意识． 二、强化运算能力培养途径 1、理解概念夯实运算根基 概念教育的重要性不言而喻，且现行高中教学改革和教学考试考查中对于概念的理解和把握越来越引起广泛的重视．根深之树不易折，泉深之水不会涸。准确理解概念是取得数学运算成功的重要根基，而学生许多错误的原因主要是概念理解出错，或者概念理解不全。因此在课堂上就需要把概念讲清讲透，通过举一反三，强化学生对概念的理解．如在2015年浙江理高考试题第7题：存在函数()f x 满足，

关于“核心素养”学习的梳理与思考

关于“核心素养”学习的梳理与思考 一、背景： 经过多年教育改革，素质教育成效显著，但是与立德树人的要求还存在一定差距。 构建学生发展核心素养体系是通过顶层设计，使学生发展的素养要求更加系统、更加连贯。 教育部基础教育二司司长郑富芝指出，教育部将制定中小学各学科学业质量标准和高等学校相关学科专业类教学质量国家标准，明确学生完成不同学段、不同年级、不同学科学习内容后应该达到的程度要求，指导教师准确把握教学的深度和广度。 各级各类学校要从实际情况和学生特点出发，把核心素养和学业质量要求落实到各学科教学中。 二、概念： 经济合作与发展组织（OECD）国家早在1997年，就提出了“核心素养”的概念，并将其视为基础教育的DN A、人才培养的指针。 不同国家所提出的核心素养有所不同，但也有一些共通的地方，比如强调合作与交流能力、信息与通讯技术的掌握、公民素养、创造性、批判性思维。 21世纪素养分为三大类： 学习与创新素养，包括： 批判性思考和解决问题能力、沟通与协作能力、创造与革新能力；数字化素养，包括：

信息素养、媒体素养、信息与通信技术素养（ICT素养）；职业和生活技能，包括灵活性与适应能力、主动性与自我导向、社交与跨文化交流能力、高效的生产力、责任感、领导力等。 素养与知识、能力、态度等概念不同，它强调知识、能力、态度的统整，超越了长期以来知识与能力二元对立的思维方式，凸显了情感、态度、价值观的重要，强调了人的反省思考及行动与学习。 素养是有机联系的整体，其中的态度因素特别重要。 “素养”比“能力”含义更为广泛，它与“能力”的不同点还表现为： 能力既可以是与生俱来的，也可以是后天形成的；素养则是“可教、可学”的，是经由后天学习获得的，它可以通过有意的人为教育加以规划、设计与培养，是经由课程教学引导学习者长期习得的。 素养是可以测评的，且需要长期的培养。 素质是素养的上位概念，素养的特性尤其它的可教、可学、可测的特点在素质层次结构中得到了科学的说明。 离开了对素质发展的整体把握，我们有可能对素养的可塑性作出绝对化的解释，最终走向谬误。 如果说素养是基本生活之所需的话，那么，核心素养则为优质生活之所需，它强调不同学习领域、不同情境中都不可或缺的共同底线要求，是关键的、必要的也是重要的素养，核心素养是少而精的。 日本学者恒吉宏典认为，核心素养是指学生借助学校教育所形成的解决问题的素养与能力，指“学生在学校教育的学习场所习得的、以人类文化遗产与现代文化为基轴而编制的教育内容，与生存于生活世界的学习者在学习过程中所形成的作为关键能力的内核”。 核心素1养不是先天遗传，而是经过后天教育习得的。 核心素养也不是各门学科知识的总和，它是支撑“有文化教养的健全公民”形象的心智修炼或精神支柱。

核心素养与素质教育

核心素养与素质教育、三维目标、课程改革的关系 杨向东/《人民教育》2016年第19期 是“核心素养”还是“胜任力”？ 本次深化基础教育课程改革，在我国教育历史上首次提出了“核心素养”这一概念。根据OECD的界定，素养(competence)“不只是知识与技能，它还包括个体调动和利用种种心理社会资源（包括各种技能和态度），以满足在特定情境中复杂需要的能力”。它超越了“认知能力（cognitive ability）”的范畴，也不限于传统意义上“能力（ability）”的内涵和外延，而是包含了“各种知识、技能、态度和价值观”。 OECD对核心素养的界定带有明显的社会适应倾向。随着信息化时代和创新经济模式的到来，越来越多的工作类型要求个体能够应对陌生的挑战性情境，处理复杂多变的任务。在这样一种环境中，个体要能够对复杂问题做出灵活反应，能够有效沟通和使用技术，能够在团队中工作和创新，持续性地生成新信息、知识或产品。综观欧盟、澳大利亚、美国等西方发达国家或国际组织提出的核心素养框架，无一例外都突出了这一立场。这些框架都强调在数字化、信息化和全球化环境下，在多元异质社会中创新、批判性思维、沟通交流和团队合作能力的重要性。这些素养反映了个体适应21世纪的共同要求。 鉴于上述倾向，有学者认为本次课程改革应该采用“胜任力”，而非“核心素养”这一术语；也有人认为“核心素养”更多强调了社会适应性，而对个人发展关注不够，以“核心素养”作为本次课程改革的目标不够妥当；还有人认为“核心素养”更多强调了未来社会个体应该具备的高级技能，不能全面涵盖基础教育育人目标的全部内涵。 如果用于分析和理解西方发达国家和国际组织有关核心素养的研究和相关的课程改革趋势，这些观点是有道理的。然而，如果用来评判此次以“核心素养”为设计理念的普通高中课程标准修订工作，就有失偏颇了。这是因为，本次基础教育课程改革深化并不是机械照搬西方相关概念和研究结论，而是在借鉴国际经验基础上，结合我国基础教育课程改革实际情况和现实问题，创造性地运用“核心素养”这一概念的。这种理解主要体现在如下几个方面：

集合的概念与运算练习题

集合的概念与运算训练 一、选择题 1．（07浙江）设全集U ={1，3，5，6，8}，A ={1，6}，B ={5，6，8}，则(C U A )∩B =( ) A ．｛6｝ B ．{5，8} C ．{6，8} D ．{3，5，6，8} 2．（09山东）集合{0,2,}A a =,2{1,}B a =,若{0,1,2,4,16}A B = ,则a 的值为( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．4 3．（10湖北）设集合M ={1,2,4,8}，N ={x |x 是2的倍数}，则M ∩N =( ) A ．{2,4} B ．{1,2,4} C ．{2,4,8} D ．{1,2,8} 4．（08安徽）若A 为全体正实数的集合，{2,1,1,2}B =--则下列结论中正确的是（） A ．{2,1}A B =-- B ．()(,0)R C A B =-∞ C ．(0,)A B =+∞ D ．(){2,1}R C A B =-- 5．（06陕西）已知集合P ={x ∈N |1≤x ≤10},集合Q ={x ∈R |x 2+x -6=0}, 则P ∩Q 等于( ) A ． {2} B ．{1,2} C ．{2,3} D ．{1,2,3} 6．（07安徽）若22 {|1},{|230}A x x B x x x ===--=，则A B ＝( ) A ．{3} B ．{1} C ．? D ．{1}- 7．（08辽宁）已知集合{31}M x x =-<<，{3}N x x =≤-，则M N = （） A ．? B ．{3}x x ≥- C ．{1}x x ≥ D ．{1}x x < 8．（06全国Ⅱ）已知集合2{|3},{|log 1}M x x N x x =<=>，则M N = ( ) A ．? B ．{|03}x x << C ．{|13}x x << D ．{|23}x x << 9．（09陕西）设不等式20x x -≤的解集为M ，函数()ln(1||)f x x =-的定义域为N ，则M N 为（） A ．[0，1） B ．（0，1） C ．[0，1] D ．（-1，0] 10．（07山东）已知集合11{11}| 242x M N x x +??=-=<<∈????Z ，，，，则M N = （） A ．{11}-， B ．{0} C ．{1}- D ．{10}-， 11．（11江西）已知集合{}? ?????≤-=≤+≤-=02,3121x x x B x x A ，则B A 等于（） A ．{10}x x -≤< B ．{01}x x <≤ C ．{02}x x ≤≤ D ．{01}x x ≤≤ 12．（07广东）已知集合1{10{0}1M x x N x x =+>=>-，，则M N = （） A ．{11}x x -<≤ B ．{1}x x > C ．{11}x x -<< D ．{1}x x -≥ 13．（08广东）届夏季奥林匹克运动会将于2008年8月8日在北京举行，若集合A={参加北京奥运会比赛的运动员}，集合B={参加北京奥运会比赛的男运动员}，集合C={参加北京奥运会比赛的女运动员}，则下列关系正确的是（） A. A B ? B. B C ? C. B ∪C = A D. A∩B = C 14．（09广东）已知全集U =R ，则正确表示集合M = {-1，0，1}和N = {x |x 2+x =0}关系的韦恩（Venn ） 图是（） A ． B ． C ． D ．

语文关键能力、核心素养与高考、教学、备考(修订稿)

语文关键能力、核心素养与高考、教学、备考 关键词：高考评价体系、关键能力、核心素养、有效教学与备考 一、解读“一体、四层、四翼”的高考评价体系 考试中心权威发布：“一体四层四翼”从顶层设计上回答高考“为什么考”“考什么”“怎么考” （一）“一体”——即高考评价体系，通过确立“立德树人、服务选拔、导向教学”这一高考核心立场，回答了“为什么考”的问题。 解读： 1.高考再怎么重要，也是教育的一环，都必须服从于我国教育“立德树人”这一根本目标。 2.高考是选拔性考试，是为了给高等学校尤其是高水平大学挑选合适人才，试题必须有难度，能将不同水平的考生区分开来。不能认为高考要改革了、上大学容易了，命题难度就会下降。 3.“导向教学”其实就是说“高考=教学的指挥棒”，不论是高中教学还是初中、小学教学，都要紧盯这根指挥棒。 （二）“四层”——通过明确“必备知识、关键能力、学科素养、核心价值”四层考查目标，回答了高考“考什么”的问题。 （1）第一圈层“必备知识”——强调考查学生长期学习的知识储备中的基础性、通用性知识，是学生今后进入大学学习以及终身学习所必须掌握的。 【解读】高考尽管是选拔性考试，但也至少有60%的基础题。这些题目考查的就是基础性、通用性知识。这些知识绝大部分都在教材上有明确体现，考生们在一轮复习期间，首先就是要对照考纲，把每科考点涉及的这些基础性、通用性知识记熟、掌握。 ( 2 )第二圈层“关键能力”重点考查学生所学知识的运用能力，强调独立思考、分析问题和解决问题、交流与合作等学生适应未来不断变化发展社会的至关重要的能力。 ( 3 )第三圈层“学科素养”：知识和能力在特定情境和环境下的交流、学习、表现、运用。要求学生能够在不同情境下综合利用所学知识和技能处理复杂任务，具有扎实的学科观念和

核心素养学心得体会-教学中的核心素养与基本技能

教学中的核心素养与基本技能 以4C's为代表的21世纪信息时代的核心素养，与农业和工业时代以读写算（即传统3R's)为代表的基本技能，是什么关系？这是理解核心素养内涵、构建信息时代教育的又一问题。首先‘“基本技能”与“基本知识”（所谓“双基”）不是凝固不变、普遍有效的，而是随时代变迁不断发展、变化的。传统读写算等技能和学科知识，大多诞生于18世纪以后且与工业时代相适应。当人类迈入信息时代以后，数字素养、批判性思维、创造性、交往、协作等“核心素养”或“21世纪技能”日益成为“基本技能”。一些新兴的学科知识如信息科技也正在成为“基本知识”。 其次，核心素养与传统“双基”是一种包含、融合和超越的关系，而非简单叠加。核心素养并不排斥传统“双基”。我们从世界著名核心素养框架来看，均未排斥传统“双基”。如美国“21世纪学习框架”专门列出了“核心学科”，OECD 框架和欧盟框架均关注阅读、数学、科学等学科素养。这里需要作出的改变“不是将常规认知技能（如基本算术运算）的学习从课程中剔除。恰恰相反，根本变化是不再把简单技能的熟练视为为工作和生活准备的终结目标，而是将这些常规技能用作掌握未来职场所珍视的复杂心智操作的基底。”0即是说核心素养包含并超越了传统“双基”，将之视为构成要素。 再次，“双基”的学习方式需根据核心素养的要求而发生根本改变。核心素养本质上是解决复杂问题的能力。这只能通过让学生置身真实问题情境，亲历复杂的问题解决过程而培养。这里有没有“双基”的掌握与熟练?当然有。但这是学生在解决问题的过程中间接获得的。这里再一次验证了杜威在100年以前说过的名言：知识的学习是探究活动的“副产品”。当“双基”的学习成为间接过程和解决复杂问题的“副产品”的时候‘双基”的熟练与核心素养的发展就成正比关系。当“双基”的学习脱离探究与实践而直接进行（通过直接教学而“内化’“双基”）的时候“双基”的熟练就与核心素养的发展成反比。素养本位的课程改革并不反对知识技能的熟练，反对的是这种“熟练”以泯灭学生的个性和创造性等核心素养为代价。 核心素养作为一种高级能力和人性能力，其本质是“道德创造性”。而崇尚“道德创造性”是儒家智慧传统的根本特征。因此，核心素养这一观念有可能沟通中国文化传统与信息时代，从而为我国构建信息时代的课程体系创造美好愿景。

高三一轮复习1.1集合的概念与运算教案

§集合的概念与运算 【2014高考会这样考】 1.考查集合中元素的互异性，以集合中含参数的元素为背景，探求参数的值；2.求几个集合的交、并、补集；3.通过集合中的新定义问题考查创新能力． 【复习备考要这样做】 1.注意分类讨论，重视空集的特殊性；2.会利用Venn图、数轴等工具对集合进行运算；3.重视对集合中新定义问题的理解． 1．集合与元素 (1)集合元素的三个特征：确定性、互异性、无序性． (2)元素与集合的关系是属于或不属于关系，用符号∈或?表示． (3)集合的表示法：列举法、描述法、图示法． (4)常见数集的记法 2. (1)子集：对任意的x∈A，都有x∈B，则A?B(或B?A)． (2)真子集：若A?B，且A≠B，则A?B(或B?A)． (3)空集：空集是任意一个集合的子集，是任何非空集合的真子集．即??A，??B(B≠?)． (4)若A含有n个元素，则A的子集有2n个，A的非空子集有2n－1个． (5)集合相等：若A?B，且B?A，则A＝B. 3．集合的运算 4. 并集的性质：A∪?＝A；A∪A＝A；A∪B＝B∪A；A∪B＝A?B?A. 交集的性质：A∩?＝?；A∩A＝A；A∩B＝B∩A；A∩B＝A?A?B. 补集的性质：A∪(?U A)＝U；A∩(?U A)＝?；?U(?U A)＝A. [难点正本疑点清源] 1．正确理解集合的概念 正确理解集合的有关概念，特别是集合中元素的三个特征，尤其是“确定性和互异性”在解题中要注意运用．在解决含参数问题时，要注意检验，否则很可能会因为不满足“互异性”而导致结论错误． 2．注意空集的特殊性

空集是不含任何元素的集合，空集是任何集合的子集．在解题时，若未明确说明集合非空时，要考虑到集合为空集的可能性．例如：A ?B ，则需考虑A ＝?和A≠?两种可能的情况． 3． 正确区分?，{0}，{?} ?是不含任何元素的集合，即空集．{0}是含有一个元素0的集合，它不是空集，因为它有一个元素，这个元素是0.{?}是含有一个元素?的集合．??{0}，??{?}，?∈{?}，{0}∩{?}＝?. 题型一 集合的基本概念 例1 (1)下列集合中表示同一集合的是 ( B ) A ．M ＝{(3,2)}，N ＝{(2,3)} B ．M ＝{2,3}，N ＝{3,2} C ．M ＝{(x ，y)|x ＋y ＝1}，N ＝{y|x ＋y ＝1} D ．M ＝{2,3}，N ＝{(2,3)} 例如： (2)设a ，b∈R ，集合{1，a ＋b ，a}＝? ????? 0，b a ，b ，则b －a ＝___2_. 思维启迪：解决集合问题首先要考虑集合的“三性”：确定性、互异性、无序性，理解集合中元素的特征． 解析 (1)选项A 中的集合M 表示由点(3,2)所组成的单点集，集合N 表示由点(2,3)所组成的单点集，故集合M 与N 不是同一个集合．选项C 中的集合M 表示由直线x ＋y ＝1上的所有的点组成的集合，集合N 表示由直线x ＋y ＝1上的所有的点的纵坐标组成的集合，即N ＝{y|x ＋y ＝1}＝R ，故集合M 与N 不是同一个集合．选项D 中的集合M 有两个元素，而集合N 只含有一个元素，故集合M 与N 不是同一个集合．对选项B ，由集合元素的无序性，可知M ，N 表示同一个集合． (2)因为{1，a ＋b ，a}＝ ? ????? 0，b a ，b ，a≠0， 所以a ＋b ＝0，得b a ＝－1， 所以a ＝－1，b ＝1.所以b －a ＝2. 探究提高 (1)用描述法表示集合时要把握元素的特征，分清点集、数集；(2)要特别注意集合中元素的互异性，在解题过程中最容易被忽视，因此要对计算结果进行检验，防止所得结果违背集合中元素的互异性． 若集合A ＝{x|ax 2 －3x ＋2＝0}的子集只有两个，则实数a ＝ 0或98_. 解析 ∵集合A 的子集只有两个，∴A 中只有一个元素． 当a ＝0时，x ＝2 3 符合要求． 当a≠0时，Δ＝(－3)2 －4a×2＝0，∴a＝98.故a ＝0或98. 题型二 集合间的基本关系 例2 已知集合A ＝{x|－2≤x≤7}，B ＝{x|m ＋1

集合的概念与运算例题及答案

1 集合的概念与运算（一） 目标： 1.理解集合、子集的概念，能利用集合中元素的性质解决问题 2.理解交集、并集、全集、补集的概念，掌握集合的运算性质， 3.能利用数轴或文氏图进行集合的运算,掌握集合问题的常规处理方法． 重点： 1.集合中元素的3个性质，集合的3种表示方法，集合语言、集合思想的运用; 2.交集、并集、补集的求法，集合语言、集合思想的运用． 基本知识点： 知识点1、集合的概念 （1）集合：某些指定的对象集在一起就形成一个集合（简称集） （2）元素：集合中每个对象叫做这个集合的元素 知识点2、常用数集及记法 （1）非负整数集（自然数集）：全体非负整数的集合记作N ，{}Λ,2,1,0=N （2）正整数集：非负整数集内排除0的集记作N * 或N + {}Λ,3,2,1*=N （3）整数集：全体整数的集合记作Z , {}Λ，，，210±±=Z （4）有理数集：全体有理数的集合记作Q , {} 整数与分数=Q （5）实数集：全体实数的集合记作R {} 数数轴上所有点所对应的=R 注：（1）自然数集与非负整数集是相同的，也就是说，自然数集包括数0 （2）非负整数集内排除0的集记作N * 或N + Q 、Z 、R 等其它数集内排除0的集，也是这样表示，例如，整数集内排除0的集，表示成Z * 知识点3、元素与集合关系（隶属） （1）属于：如果a 是集合A 的元素，就说a 属于A ，记作a ∈A （2）不属于：如果a 不是集合A 的元素，就说a 不属于A ，记作A a ? 注意：“∈”的开口方向，不能把a ∈A 颠倒过来写 知识点4、集合中元素的特性 （1）确定性：按照明确的判断标准给定一个元素或者在这个集合里， 或者不在，不能模棱两可 （2）互异性：集合中的元素没有重复 （3）无序性：集合中的元素没有一定的顺序（通常用正常的顺序写出）

聚焦“核心素养”

聚焦“核心素养” 专版要目 ●“核心素养”的内涵与意蕴 ●“核心素养”的“核心”在哪里？ ●“核心素养”如何转化为学生素质？ ●国外学生“核心素养”框架有哪些？ 二○一六年第六期 编者按： 年初，教育部公布了《中国学生发展核心素养（征求意见稿）》，提出学生发展核心素养应综合表现为九大方面：即社会责任、国家认同、国际理解；人文底蕴、科学精神、审美情趣；身心健康、学会学习、实践创新。可见，21世纪核心技能强调不同于传统知识系统的评估体系，转向了更为深层、复杂、创新与合作的思维方式和工作方式的培养。“核心素养”迅速成为了基础教育领域关注的热点。不少教育专家及工作者都进入了讨论此话题的行列。本期小编就来梳理一下专家及教育工作者对“核心素养”的讨论。 “核心素养”的内涵与意蕴 余文森 从知识教育走向能力教育、素养教育，是当今世界教育

改革发展的共同趋势。素养与知识、能力究竟有何联系和区别？知识、能力、素养三者都是人所具有的，同时也是可以转化的，知识、能力可以转化为素养，素养也可以生发出知识和能力，这就是三者相互联系的一面。但是，就像能力不同于知识一样，素养也不同于知识、能力。这种不同突出表现在以下三个方面。 第一，就结构而言，知识在人的外层，能力在人的中层，素养在人的内层。也就是说，素养跟人的关系最紧密。知识、能力一般只停留在人的认识领域和范围，而素养还进入人的情意、精神，乃至于血液、神经，它和人的整个生命融为一体，变成人的天性、习惯、气质、性格，所以它会在一切场合、一切活动中自然流露、表现出来，这是素养最本质的特点。 第二，就成分而言，素养具有综合性、包容性。一般而言，能力包含知识，而素养包含知识和能力，但值得强调的是，不是所有的知识和能力都能转化为素养，只有当知识由公共知识真正转化为个体知识、能力，由只在特殊情境中表现出来的能力转化为具有广泛的迁移性的能力时，知识和能力才会成为人的一种素养。反过来说，最有价值的知识和能力就是可以转化为人的素养的知识和能力。 第三，就内容而言，素养具有广泛性。素养包括和涵盖除了知识、能力之外的其他非常广泛的东西，是人的整体生

核心素养

通过创新小学英语课堂教学发展学生核心素养 陈庆林 摘要：小学教育应该坚持以学生为中心，促进学生的全面发展，这就是小学英语核心素养培养的本质要求。由此小学英语核心素养培养成为一个十分重要的方面。目前新课改和素质教育都对此提出了明确的要求。根据目前小学英语核心素养培养的实际情况，小学英语课堂教学过程中要加强各方面的创新工作，以此来坚持以学生为中心，促进小学英语听说读写能力的不断提升。本文主要对目前小学英语课堂教学方面存在的问题进行分析，然后提出相应的解决策略，主要就如何创新课堂教学发展学生的核心素养进行分析。 关键词：小学英语创新课堂教学问题对策 一、概述 “核心素养”教育发展的产物，也是我国为了适应国内外形势的变化而对教育理念的积极调整。针对目前的新形势，传统的教育已经不适合现阶段的发展需要，由此国家坚持与时俱进，从国家长远发展以及学生个体全面发展方面进行的有益创新。从核心素养的本质要求出发，学生的学习不仅仅学习知识和技能，还要强化学生自身的全面发展。根据2016年《中国学生发展核心素养》总体框架，中国学生发展核心素养，以科学性、时代性和民族性为基本原则，以培养“全面发展的人”为核心，分为文化基础、自主发展、社会参与三个方面。综合表现为人文底蕴、科学精神、学会学习、健康生活、责任担当、实践创新六大素养，具体细化为国家认同等十八个基本要点。从以上论述我们不难看出，核心素养是一个综合的概念，主要是为了促进学生的全面发展和长远发展。 核心素养的提出，既是我国教育发展到一定阶段的产物，也是我国积极创新教育理念和教育方式的直接提现，具有广泛而深刻的意义。对于国家来讲，现阶段对人才的需求是多方面的，只有具备综合素质的人才才能为国家的发展提供坚持的人才基础，这样才能适应新形势下多方面竞争的要求。对于学生个人来讲，核心素养培养能够促进学生的全面发展，即可以促进其学习成绩的提高，也可以促进学生个体的发展，能够在激烈的竞争中脱颖而出。核心素养培养不仅仅是强化知识和技能，而且对于学生的其他各方面发展都有广泛的关注，这样才能保障学生的实际能力和道德水平的提高。对于我国的教育事业也是一个很大的推进，反映了我国在正确的方针政策引导下不断创新教育教学的重要举措。对于小学英语课堂来讲，核心素养的提出可以明确小学生在英语全面发展方面的要求，能够促进小学生在英语方面的全面发展，对于小学英语课堂的创新和教学的实际效果大有裨益。 二、小学英语课堂培养核心素养存在的问题 首先是教师的观念以及重视程度的问题。核心素养培养是一个新鲜的事物，提出的时间尚短，所以说要想搞好小学英语核心素养的培养，教师必须根据核心素养培养的要求创新教育理念和教育手段，但是从现有许多教师的做法来看，还存在很多的问题。许多教师依然沿袭传统的教育理念和教育手段，缺乏对核心素养培养重要性的理解。观念上的认识不足导致实际上重视程度不足，许多教师不能积极学习和贯彻落实核心素养的要求，这样核心素养的培养遭遇很大的阻碍。 其次是核心素养的培养方式和方法比较单一，而且缺乏创新精神。核心素养培养与原有的以成绩为指挥棒的培养方式存在很大的差别，新的理念需要有新的手段的支持，而且手段要坚持以学生为中心，在分析学生学习情况的基础上加以创新和丰富，但是目前许多教师在教学手段和方式上存在很大的问题。突出表现就是教育手段和方式落后，还是原油的传统教育手段和方式；教育手段和方式比较单一，不能符合学生全面发展的要求；教育手段和方式的创新性不足，许多教师在创新性方面的积极性和主动性很差。 第三是评价手段不能满足核心素养培养的要求。核心素养重点在于促进学生的全面发展，从这个角度出发，要想实现对核心素养的多方面评价，就必须建立多元化的评价体系，

第01讲 集合的概念与运算(原卷版)

第 1 讲：集合的概念与运算 一、课程标准 1、通过实例，了解集合的含义，体会元素与集合的“属于”关系． 2、.理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集．了解全集与空集的含义． 3、.理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集． 4、.理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集． 二、基础知识回顾 1、元素与集合 (1)集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性。 (2)元素与集合的关系是属于或不属于，表示符号分别为∈和?。 2、集合间的基本关系 (1)子集：若对任意x∈A，都有x∈B，则A?B或B?A。 (2)真子集：若A?B，且集合B中至少有一个元素不属于集合A，则A B或B A。 (3)相等：若A?B，且B?A，则A＝B。 (4)空集的性质：?是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。 3、集合的基本运算 (1)交集：一般地，由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合，称为A与B的交集，记作A∩B，即A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}． (2)并集：一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合，称为A与B的并集，记作A∪B，即A∪B＝{x|x∈A，或x∈B}． (3)补集：对于一个集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集，简称为集合A的补集，记作?U A，即?U A＝{x|x∈U，且x?A}． 4、集合的运算性质 (1)A∩A＝A，A∩?＝?，A∩B＝B∩A。 (2)A∪A＝A，A∪?＝A，A∪B＝B∪A。A?B?A∩B＝A?A∪B＝B??U A??U B (3)A∩(?U A)＝?，A∪(?U A)＝U，?U(?U A)＝A。 （4）?U(A∩B)＝(?U A)∪(?U B)，?U(A∪B)＝(?U A)∩(?U B)。

高中数学核心素养之数学运算能力的培养

高中数学核心素养之数学运算能力的培养 数学核心素养是指具有数学基本特征的，适应个人终身发展和社会发展的人的关键能力和思维品质。高中数学核心素养主要指：数学抽象、逻辑推理、数学建模、数学运算、直观想象、数据分析这六个方面。其中，涉及高中数学运算素养在课堂培养中需要梳理和明确的有三步，即梳理数学运算常见错误，强化数学运算培养途径，形成数学运算的培养共识。 一、梳理数学运算常见错误 1. 审题出错（看错） 虽然看不懂，没看全，看错字等都是造成审题出错的因素，但缺少审题的步骤和方法也是不容忽视的主要因素。学生通过审题解决三个疑惑：有什么？做什么？怎么做？也就是说要数学运算正确，首先要了解该题的基本情况和答题的基本方向，即首先是要有目标。这体现了数学运算蕴含目标意识。 2. 计算出错（算错） 不少学生对计算能力的内涵缺乏科学认识，常常将计算过程中的错误原因归结到非智力因素上，认为是“马虎”“粗心”“不注意”才造成计算错误。但是失之毫厘，差之千里。他们总是只看重解题过程中的方法和思路，对计算的具体实施，对计算过程中的合理性、简洁性等都没有给出足够的重视。久而久之，慢慢地就造成了一算就错的尴尬境地。造成错误的主要原因虽有基础性的问题，但缺少规则（规范）意识也是一个主要原因。这体现了数学运算蕴含规则意识。 3. 答案写错（写错） 虽计算等环节正确，但抄错、写错答案也是使运算出错的致命环节，造成这类错误的主要原因是身体疲劳，数字书写不规范这两个方面。对于减少第一个错误的方法就需要强身健体（平时注意身体素质的提升），对于减少第二个错误的方法就需要规范字的书写，这就体现了数学运算需要蕴含强体质意识、写规范字的意识。 4. 方向出错（弄错） 如果说前三种出错是细微是偶然，那么解题方案理解出错是方向性错误，犹如一艘迷航的船，永远达不到目的地，这是颠覆性和毁灭性的。造成方向性出错的主要原因是一些想当然的坏习惯造成的，如三角函数的正弦函数y=Asin（xω+φ）的振幅，有的理解是A，有的理解2A，这就体现了数学运算蕴含方向意识。 二、强化运算能力培养途径 1. 理解概念夯实运算根基 概念教育的重要性不言而喻，并且现行高中教学改革和教学考试考查中对于概念的理解和把握越来越引起广泛的重视。根深之树不易折，泉深之水不会涸。准确理解概念是取得数学运算成功的重要根基，而学生许多错误的原因主要是概念理解出错，或者概念理解不全。因此，在课堂上就需要把概念讲清讲透，通过举一反三，强化学生对概念的理解。如在2015年浙江理高考试题第7题：存在函数f（x）满足，对任意x∈R都有（） A. f（sin2x）=sin（x） B. f（sin2x）=x2+x C. f（x2+1）=|x+1| D. f（x2+2x）=|x+1| 这个试题的考查就是需要在课堂上落实函数概念教学，这样的考查应该说使考试更具有公平性，给教师和学生一个公平的机会，如果课堂上能准确落实概念教学的教师，那么学生就多了一份可能和胜算。 2. 错错得正巩固运算经验 数学运算中有“负负得正”的运算律，对于学生运算发生错误，教师也要有这样的一种心态，要给学生产生错误的机会，让学生知道出错了，也能知道发生错误的原因，实践出真知，通过一次次的出错，让学生慢慢得出正确的运算方法和?\算结论。正如陆游的一首教子诗：

核心素养的“核心”在哪里

核心素养的“核心”在哪里 ——核心素养研究的构图 过核心素养这一重要问题。没有核心素养，改革就缺了灵魂。核心素养是怎么出来的？研究者是借助怎样的框架来界定核心素养的？本文讲了支撑核心素养的三大研究，以期回答这些问题。——编者 在新一轮基础教育课程改革中，迎接课堂转型的挑战，难以绕过“核心素养”这一重要问题。因为学校教育是面向未来的事业，国民核心素养的培育是至高无上的课题，核心素养指导、引领着中小学课程教学改革实践。没有核心素养，改革就缺了灵魂。 核心素养的概念不是凭空捏造的，那么，它又是怎么出来的呢？核心素养研究是一种持续的多学科、多领域协同研究的集成，历来受到国际教育界的关注。从其发展趋势看，大体涉及“人格构成及其发展”、“学力模型”和“学校愿景”研究三大领域，而这三大领域，也启发了我们对核心素养的认识。 人格构成及发展研究 发现人格发展的法则 基础教育的使命是奠定每一个儿童学力发展的基础和人格发展的基础，而人格发展的研究是首要的。

人格结构说主张，人格由四层要素组成，形成金字塔结构：第一层是志向，包括冲动、愿望、兴趣、能力倾向、理想、世界观和信念等；第二层是经验，包括知识、技能、熟练和习惯等；第三层是反映，包括情绪、感觉、思考、体悟、感情、意志和记忆等；第四层是气质，包括性别特质、年龄特质、病理学变化和身体变化等。也有把世界观、思想和道德的基本信念视为人格核心的人格学说。众多的人格学说可以为我们思考基础教育实践的指针，提供思想资料。我们期待于学校教育的是，从儿童人格成长的角度，不是局限于一门学科的知识，而是有长远的展望，寻求课程与教学的改进，思考学习方式的变革。 人格的结构与发展研究所引出的发展法则，为界定“核心素养”提供了基本视点：人格并不是个体心理机能与要素的简单总和，而是相互关联的内在条件的总体，这些要素交互作用，使得人格不断形成新的品质；人格并非单从个人自身之中就能求得诸要素之依据，它是受自然的、社会的条件和具体的、历史的条件所制约的一种存在；人格并不是仅受周遭外在条件所制约的，而是能动地作用于自然与社会乃至个人自身，从而展开创造性变革的一种存在；人格并不是脱离社会集体的个体存在，唯有介入社会、集体的关系之中，才能作为社会地、集体地行动的个人而存在。 人格的发展过程，是受种种社会条件所规定、所制约的。在思考儿童的人格发展之际，重要的是要认识到，人格的发展不是先天预成的，也不是凭借适应主义、个人主义所能决定的。人格是儿童周遭的

第一章 1.1集合的概念与运算

§1.1集合的概念与运算

1．集合与元素 (1)集合元素的三个特征：确定性、互异性、无序性． (2)元素与集合的关系有属于或不属于两种，用符号∈或?表示． (3)集合的表示法：列举法、描述法、图示法． (4)常见数集的记法 A B(或 B A) 3. (1)若有限集A中有n个元素，则A的子集个数为2n个，非空子集个数为2n－1个，真子集有2n－1个． (2)A?B?A∩B＝A?A∪B＝B.

【思考辨析】 判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1){x|y＝x2＋1}＝{y|y＝x2＋1}＝{(x，y)|y＝x2＋1}．(×) (2)若{x2,1}＝{0,1}，则x＝0,1.(×) (3)对于任意两个集合A，B，关系(A∩B)?(A∪B)恒成立．(√) (4)若A∩B＝A∩C，则B＝C.(×) (5)已知集合M＝{1,2,3,4}，N＝{2,3}，则M∩N＝N.(√) (6)若全集U＝{－1,0,1,2}，P＝{x∈Z|x2<4}，则?U P＝{2}．(√) 1．(2014·课标全国Ⅰ)已知集合A＝{x|x2－2x－3≥0}，B＝{x|－2≤x<2}，则A∩B等于() A．[－2，－1]B．[－1,2) C．[－1,1]D．[1,2) 答案 A 解析∵A＝{x|x≥3或x≤－1}，B＝{x|－2≤x<2}， ∴A∩B＝{x|－2≤x≤－1}＝[－2，－1]，故选A. 2．(2014·四川)已知集合A＝{x|x2－x－2≤0}，集合B为整数集，则A∩B等于() A．{－1,0,1,2} B．{－2，－1,0,1} C．{0,1} D．{－1,0} 答案 A 解析因为A＝{x|x2－x－2≤0}＝{x|－1≤x≤2}，又因为集合B为整数集，所以集合A∩B ＝{－1,0,1,2}，故选A. 3．(2013·山东)已知集合A＝{0,1,2}，则集合B＝{x－y|x∈A，y∈A}中元素的个数是() A．1 B．3 C．5 D．9 答案 C

高三一轮复习1.1集合的概念与运算教案(教师版)电子教案

§1.1集合的概念与运算 【2014高考会这样考】 1.考查集合中元素的互异性，以集合中含参数的元素为背景，探求参数的值；2.求几个集合的交、并、补集；3.通过集合中的新定义问题考查创新能力． 【复习备考要这样做】 1.注意分类讨论，重视空集的特殊性；2.会利用Venn图、数轴等工具对集合进行运算；3.重视对集合中新定义问题的理解．

1．集合与元素 (1)集合元素的三个特征：确定性、互异性、无序性． (2)元素与集合的关系是属于或不属于关系，用符号∈或?表示． (3)集合的表示法：列举法、描述法、图示法． (4)常见数集的记法 2. (1)子集：对任意的x∈A，都有x∈B，则A?B(或B?A)． (2)真子集：若A?B，且A≠B，则A?B(或B?A)． (3)空集：空集是任意一个集合的子集，是任何非空集合的真子集．即??A，??B(B≠?)． (4)若A含有n个元素，则A的子集有2n个，A的非空子集有2n－1个． (5)集合相等：若A?B，且B?A，则A＝B. 3．集合的运算 4. 并集的性质：A∪?＝A；A∪A＝A；A∪B＝B∪A；A∪B＝A?B?A.

交集的性质：A∩?＝?；A∩A＝A；A∩B＝B∩A；A∩B＝A?A?B. 补集的性质：A∪(?U A)＝U；A∩(?U A)＝?；?U(?U A)＝A. [难点正本疑点清源] 1．正确理解集合的概念 正确理解集合的有关概念，特别是集合中元素的三个特征，尤其是“确定性和互异性”在解题中要注意运用．在解决含参数问题时，要注意检验，否则很可能会因为不满足“互异性”而导致结论错误． 2．注意空集的特殊性 空集是不含任何元素的集合，空集是任何集合的子集．在解题时，若未明确说明集合非空时，要考虑到集合为空集的可能性．例如：A?B，则需考虑A＝?和A≠?两种可能的情况． 3．正确区分?，{0}，{?} ?是不含任何元素的集合，即空集．{0}是含有一个元素0的集合，它不是空集，因为它有一个元素，这个元素是0.{?}是含有一个元素?的集合．??{0}，??{?}，?∈{?}，{0}∩{?}＝?. 题型一集合的基本概念 例1(1)下列集合中表示同一集合的是(B)

数学核心素养之运算能力

运算能力 《课程标准（2011年版）》中，对各学段的运算提出了明确的要求。其中第三学段：体验从具体情境中抽象出数学符号的过程，理解有理数、实数、代数式、方程、不等式、函数；掌握必要的运算（包括估算）技能；探索具体问题中的数量关系和变化规律，掌握用代数式、方程、不等式、函数进行表述的方法。 运算不仅是数学课程中“数与代数”的重要内容，“图形与几何”“统计与概率”“综合与实践”也都与运算有着密切的联系。 一、对运算能力的认识 根据一定的数学概念、法则和定理，由一些已知量通过计算得出确定结果的过程，称为运算。 能按照一定的程序与步骤进行运算，称为运算技能。 不仅会根据法则、公式等正确的进行运算，而且理解运算的算理，能根据题目条件寻求正确的运算途径，称为运算能力。 运算能力并非一种单一的、孤立的数学能力，而是运算技能与逻辑思维等的有机整合。在实施运算分析和解决问题的过程中，要力求做到善于分析运算条件，探究运算方向，选择运算方法，设计运算程序，使运算符合算理，合理简洁。换言之，运算能力不仅是一种数学的操作能力，更是一种数学的思维能力。 二、运算能力的特征 运算能力的主要特征——正确、灵活、合理、简洁。 首先，要保证运算的正确，为此必须要正确理解相关的概念、法则、公式和定理等数学知识，明确意识到实施运算的依据， 然后，在适度训练、逐步熟悉的基础上，清楚的意识到实施运算中的算理。不断总结正反两方面的经验和教训，逐步减少在实施运算中思考概念、法则、公式等的时间和精力，提高运算的熟练程度，以求运算顺畅，立力求避免错误。 多题一解和一题多解在运算中十分普遍，即一般性与特殊性往往同时出现在实施运算的过程中，多题一解体现了运算的普适性，一题多解体现了运算的灵

中国学生六大核心素养

中国学生发展核心素养 学生发展核心素养，主要指学生应具备的，能够适应终身发展和社会发展需要的必备品格和关键能力。 研究学生发展核心素养是落实立德树人根本任务的一项重要举措，也是适应世界教育改革发展趋势、提升我国教育国际竞争力的迫切需要。 六大核心素养敲定，看看到底是哪些？总体框架 中国学生发展核心素养，以科学性、时代性和民族性为基本原则，以培养“全 面发展的人”为核心，分为文化基础、自主发展、社会参与三个方面。 综合表现为人文底蕴、科学精神、学会学习、健康生活、责任担当、实践创 新六大素养，具体细化为国家认同等十八个基本要点。根据这一总体框架，可针对学生年龄特点进一步提出各学段学生的具体表现要求。 基本内涵 核心素养课题组历时三年集中攻关，并经教育部基础教育课程教材专家工作 委员会审议，最终形成研究成果，确立了以下六大学生核心素养。 （一）文化基础 文化是人存在的根和魂。文化基础，重在强调能习得人文、科学等各领域的 知识和技能，掌握和运用人类优秀智慧成果，涵养内在精神，追求真善美的统一，发展成为有宽厚文化基础、有更高精神追求的人。 1.人文底蕴。主要是学生在学习、理解、运用人文领域知识和技能等方面所 形成的基本能力、情感态度和价值取向。具体包括人文积淀、人文情怀和审美情趣等基本要点。 2.科学精神。主要是学生在学习、理解、运用科学知识和技能等方面所形成 的价值标准、思维方式和行为表现。具体包括理性思维、批判质疑、勇于探究等基本要点。（二）自主发展 自主性是人作为主体的根本属性。自主发展，重在强调能有效管理自己的学 习和生活，认识和发现自我价值，发掘自身潜力，有效应对复杂多变的环境，成就出彩人生，发展成为有明确人生方向、有生活品质的人。 3.学会学习。主要是学生在学习意识形成、学习方式方法选择、学习进程评 估调控等方面的综合表现。具体包括乐学善学、勤于反思、信息意识等基本要点。 4.健康生活。主要是学生在认识自我、发展身心、规划人生等方面的综合表 现。具体包括珍爱生命、健全人格、自我管理等基本要点。 （三）社会参与 社会性是人的本质属性。社会参与，重在强调能处理好自我与社会的关系， 养成现代公民所必须遵守和履行的道德准则和行为规范，增强社会责任感，提升创新精神和实践能力，促进个人价值实现，推动社会发展进步，发展成为有理想信念、敢于担当的人。 5.责任担当。主要是学生在处理与社会、国家、国际等关系方面所形成的情 感态度、价值取向和行为方式。具体包括社会责任、国家认同、国际理解等基本要点。 6.实践创新。主要是学生在日常活动、问题解决、适应挑战等方面所形成的 实践能力、创新意识和行为表现。具体包括劳动意识、问题解决、技术应用等基本要点。主要表现 那么，人文底蕴、科学精神、学会学习、健康生活、责任担当、实践创新六大核心素养具