二次函数面积最大值
教学目标：
1.通过本节课学习，巩固二次函数y=2ax bx c ++（a ≠0）的图象与性质，理解顶点
与最值的关系，会求解最值问题。
2.通过观察图象，理解顶点的特殊性，会把实际问题中的最值转化为二次函数的最值问题，通过动手动脑，提高分析解决问题的能力，并体会一般与特殊的关系，了解数形结合思想、函数思想。
教学重点：
利用二次函数y=2ax bx c ++（a ≠0）的图象与性质，求面积最值问题
教学难点：
1、正确构建数学模型
2、对函数图象顶点与最值关系的理解与应用
教学过程：
一、复习旧知：
1.二次函数y=ax 2+bx+c 的图象是一条，它的对称轴是，顶点坐标是 . 当
a>0时，抛物线开口向，有最点，函数有最值，是_____；当a<0时，抛物线开口向，有最点，函数有最值，是.
2.二次函数y=2x 2-8x+9的对称轴是，顶点坐标是.当x=时，函数有最值，是.
二、创设情境：
小明的家门前有一块空地，空地外有一面长10米的围墙，为了美化生活环境，小明的爸爸准备靠墙修建一个矩形花圃，他买回了32米长的不锈钢管准备作为花圃的围栏（如图所示），花圃的宽AD 究竟应为多少米才能使花圃的面积最大？
（设计意图：寻找了学生熟悉的家门口的生活背景，从知识的角度来看，求矩形面积也较容易，我在此设计了一个条件墙长10米来限制定义域，目的在于告诉学生一个道理，数学不能脱离生活实际，估计大部分学生在求解时还会在顶点处找最值，导致错解，此时教师再提醒学生通过画函数的图象辅助观察、理解最值的实际意义，加深对知识的理解，做到数与形的完美结合，既培养了学生思维的严密性，又为今后能灵活地运用知识解决问题奠定了坚实的基础。）
三、讲解新知：
有一块三角形余料如图所示，∠A=90°，AM=30cm ，AN=40cm ，要利用这块余料截出一个矩形，怎样截取矩形的面积最大？
例：Array某建筑物的窗户如图所示,它的上半部是半圆,下半部是矩形,
制造窗框的材料总长(图中所有的黑线的长度和)为15m.当x等于
多少时,窗户通过的光线最多?此时,窗户的面积是多少?
巩固练习：
有一块三角形土地如图，他的底边BC=100米，高AD=80
米，某单位沿着BC修一座底面是矩形的大楼，当这座大楼的地基面积最大时，这个矩
形的长和宽各是多少米？A
B D C
二次函数最大面积 例1如图所示，等边△ ABC中，BC=10cm，点R, P?分别从B,A同时岀发，以1cm/s的速度沿线段BA,AC 移动，当移动时间 练习 1如图，在矩形ABCD中，AB=6cm , BC=12cm,点P从点A岀发沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，同时点Q从点B岀发沿BC边向C以2cm/s的速度移动，如果P,Q同时岀发，分别到达B、C两点就停止移动。 _ ___________________________________________ 2 (1 )设运动开始后第t秒，五边形APQCD的面积是Scm ，写岀S与t函数关系式，并指岀 t的取值范围。 (2) t为何值时，S最小？并求岀这个最小值。 A开始沿 Q B B边向点B以 A 2 如图，在△ ABC 中，/ B=9 0°, AB=22CM,BC=20CM ，点P 从点 2cm/S的速度移动，点Q从点B开始沿着BC边向点C以1cm/S的速度移动,P,Q分别从A,B 同时岀发。 2 求四边形APQC的面积y ( cm )与PQ移动时间x (s)的函数关系式, 以及自变 量x的取值范围。 C 3如图正方形ABCD的边长为4cm，点P是BC边上不与B,C重合的任意一点点P作PQ丄AP交DC于点Q,设BP的长为x cm，CQ的长为y cm。 (1)求点P在BC上的运动的过程中y的最大值。 1 (2 )当y= cm时，求x的值。 4 4如图所示，边长为 在线段 记CD (1) 过A D P B B 1的正方形OABC的顶点O为坐标原点，点A在x轴的正半轴上，动点点E, 连接O BC上移动(不与B,C重合)，连接OD，过点D作DE丄OD, 的长为 t o 1 当t=丄时，求线段DE 3 如果梯形CDEB的面积为所在直线的函数表达式 S,那么S是否 以及此时 (2) 存在最大值？若存在，请求出最大值，t的值； 若不存在，请说明理由。 2 2 (3)当OD DE的算术平方根取最小值时, (4)求点E的坐标。 二次函数最大面积交AB D B E 能力提高 例题如图所示，在梯形ABCD中，AD// BC,AB=AD=DC=2CM,BC=4C在等腰△ PQR中，/ QPR=120 ,底边QR=6CM点B,C,Q，R在同一直线 1cm/s的速度沿直线I向左匀速移动， (1) (2) t秒时梯形 I上，且C,Q两点重合，如果等腰△ PQR以 2 ABCD与等腰△ PQF重合部分的面积记为Scm 当t=4时，求S的值。 当4< t < 10时，求S与t的函数关系式, A 并求岀S的最大值。 D 1 / 2
§6.4 二次函数的应用（2）【最大面积是多少】---( 教案) 备课时间: 主备人: 教学目标: 掌握长方形和窗户透光最大面积问题，体会数学的模型思想和数学应用价值．学会分析和表示不同背景下实际问题中的变量之间的二次函数关系，并运用二次函数的知识解决实际问题． 教学重点: 本节的重点是应用二次函数解决图形有关的最值问题，这是本书惟一的一种类型，也是二次函数综合题目中常见的一种类型．在二次函数的应用中占有重要的地位，是经常考查的题型，根据图形中的线段之间的关系，与二次函数结合，可解决此类问题． 教学难点: 由图中找到二次函数表达式是本节的难点，它常用的有三角形相似，对应线段成比例，面积公式等，应用这些等式往往可以找到二次函数的表达式． 教学方法: 教师指导学生自学法。 教学过程: 一、例题： 例1、如图,在一个直角三角形的内部作一个矩形ABCD，其中AB和AD分别在两直角边上. (1)设矩形的一边AB=xcm,那么AD边的长度如何表示？ (2)设矩形的面积为ym2,当x取何值时,y的最大值是多少? 例2、某建筑物窗户如图所示，它的上半部是半圆，下半部是矩形．制造窗框的材料总长（图中所有黑线的长度和）为15m．当x等于多少时，窗户透过的光线最多（结果精确到0．01m）？此时，窗户的面积是多少？ 二、练习 1、如图⑴，在Rt△ABC中，AC=3cm，BC=4cm，四边形CFDE为矩形，其中CF、CE在两直角 边上，设矩形的一边CF=xcm．当x取何值时，矩形ECFD的面积最大？最大是多少？
2、如图⑵，在Rt△ABC中，作一个长方形DEGF，其中FG边在斜边上，AC=3cm，BC=4cm，那么长方形OEGF的面积最大是多少？ 3、如图⑶，已知△ABC，矩形GDEF的DE边在BC边上．G、F分别在AB、AC边上，BC=5cm， S△ABC为30cm2，AH为△ABC在BC边上的高，求△ABC的内接长方形的最大面积． 三、小结:本节课我们学习了什么？ 四、作业：
二次函数与三角形周长，面积最值问题 知识点：1、二次函数线段，周长问题 2、二次函数线段和最小值线段差最大值问题 3、二次函数面积最大值问题 【新授课】 考点1：线段、周长问题 例1.(2018·)在平面直角坐标系中，已知抛物线的顶点坐标为（2，0），且经过点（4，1）， 如图，直线y=x与抛物线交于A、B两点，直线l为y=﹣1． （1）求抛物线的解析式； （2）在l上是否存在一点P，使PA+PB取得最小值？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 拓展：在l上是否存在一点P，使PB-PA取得最大值？若存在，求出点P的坐标。
练习 1、如图，已知二次函数24 =-+的图象与坐标轴交于点A（-1，0）和点B（0，-5）． y ax x c （1）求该二次函数的解析式；
（2）已知该函数图象的对称轴上存在一点P，使得△ABP的周长最小．请求出点P的坐标． 2、如图，抛物线y=ax2-5ax+4（a＜0）经过△ABC的三个顶点，已知BC ∥x轴，点A在x轴上，点C在y轴上，且AC=BC． （1）求抛物线的解析式． （2）在抛物线的对称轴上是否存在点M，使|MA-MB|最大？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
例2. (2018?莱芜)如图，抛物线y=ax2+bx+c经过A（﹣1，0），B（4，0），C （0，3）三点，D为直线BC上方抛物线上一动点，DE⊥BC于E． （1）求抛物线的函数表达式； （2）如图1，求线段DE长度的最大值； 练习 1x2+bx－2与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，且A（一1，1、如图，抛物线y= 2
二次函数面积最大值 教学目标： 1.通过本节课学习，巩固二次函数y=2ax bx c ++（a ≠0）的图象与性质，理解顶点 与最值的关系，会求解最值问题。 2.通过观察图象，理解顶点的特殊性，会把实际问题中的最值转化为二次函数的最值问题，通过动手动脑，提高分析解决问题的能力，并体会一般与特殊的关系，了解数形结合思想、函数思想。 教学重点： 利用二次函数y=2ax bx c ++（a ≠0）的图象与性质，求面积最值问题 教学难点： 1、正确构建数学模型 2、对函数图象顶点与最值关系的理解与应用 教学过程： 一、复习旧知： 1.二次函数y=ax 2+bx+c 的图象是一条，它的对称轴是，顶点坐标是 . 当 a>0时，抛物线开口向，有最点，函数有最值，是_____；当a<0时，抛物线开口向，有最点，函数有最值，是. 2.二次函数y=2x 2-8x+9的对称轴是，顶点坐标是.当x=时，函数有最值，是. 二、创设情境： 小明的家门前有一块空地，空地外有一面长10米的围墙，为了美化生活环境，小明的爸爸准备靠墙修建一个矩形花圃，他买回了32米长的不锈钢管准备作为花圃的围栏（如图所示），花圃的宽AD 究竟应为多少米才能使花圃的面积最大？ （设计意图：寻找了学生熟悉的家门口的生活背景，从知识的角度来看，求矩形面积也较容易，我在此设计了一个条件墙长10米来限制定义域，目的在于告诉学生一个道理，数学不能脱离生活实际，估计大部分学生在求解时还会在顶点处找最值，导致错解，此时教师再提醒学生通过画函数的图象辅助观察、理解最值的实际意义，加深对知识的理解，做到数与形的完美结合，既培养了学生思维的严密性，又为今后能灵活地运用知识解决问题奠定了坚实的基础。） 三、讲解新知： 有一块三角形余料如图所示，∠A=90°，AM=30cm ，AN=40cm ，要利用这块余料截出一个矩形，怎样截取矩形的面积最大？
二次函数面积最大问题 ： 1、如图，已知抛物线y=x2+bx+c的图象与x轴的一个交点为B（5，0），另一个交点为A，且与y轴交于点C（0，5）．（1）求直线BC与抛物线的解析式；（2）若点M是抛物线在x 轴下方图象上的一动点，过点M作MN∥y轴交直线BC于点N，求MN的最大值；（3）求三角形CBM的最大值 2、如图，对称轴为直线x=﹣1的抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴相交于A、B两点，其中点A的坐标为（﹣3，0）．（1）求点B的坐标；（2）已知a=1，C为抛物线与y轴的交点． ①若点P在抛物线上，且S △POC =4S △BOC ．求点P的坐标； ②设点Q是抛物线上一点，位于线段AC的下方，作QD⊥x轴交抛物线于点D，交AC于点P,求线段QP长度的最大值．（3）求S△ACQ的最大值，
3、如图，已知抛物线y=ax2+bx+3与x轴交于A、B两点，过点A的直线l与抛物线交于点C，其中A点的坐标是（1，0），C点坐标是（4，3）．（1）求抛物线的解析式；（2）在（1）中抛物线的对称轴上是否存在点D，使△BCD的周长最小？若存在，求出点D的坐标，若不存在，请说明理由；（3）若点E是（1）中抛物线上的一个动点，且位于直线AC的下方，试求△ACE的最大面积及E点的坐标． 4、如图，已知抛物线y=ax2+bx﹣2（a≠0）与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，直线BD交抛物线于点D，并且D（2，3），tan∠DBA=．（1）求抛物线的解析式；（2）已知点M 为抛物线上一动点，且在第三象限，顺次连接点B、M、C、A，求四边形BMCA面积的最大值；
5、如图，在直角坐标系中，点A的坐标为（﹣2，0），点B的坐标为（1，﹣），已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过三点A、B、O（O为原点）．（1）求抛物线的解析式；（2）在该抛物线的对称轴上，是否存在点C，使△BOC的周长最小？若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由；（3）如果点P是该抛物线上x轴上方的一个动点，那么△PAB是否有最大面积？若有，求出此时P点的坐标及△PAB的最大面积；若没有，请说明理由．（注意：本题中的结果均保留根号） 6、如图，已知抛物线y=ax2+bx+c经过A（﹣3，0），B（1，0），C（0，3）三点，其顶点为D，对称轴是直线l，l与x轴交于点H．（1）求该抛物线的解析式；（2）若点P是该抛物线对称轴l上的一个动点，求△PBC周长的最小值；（3）如图（2），若E是线段AD上的一个动点（E与A、D不重合），过E点作平行于y轴的直线交抛物线于点F，交x轴于点G，设点E的横坐标为m，△ADF的面积为S．①求S与m的函数关系式；②S是否存在最大值？若存在，求出最大值及此时点E的坐标；若不存在，请说明理由．
解二次函数中三角形面积最值问题 一、灵割巧补，间接转化求最值 这里的割补法分为两部分，割是指将图形分解成几部分分别求解，补是指将所求图形填上一部分然后用补后的图形面积减去所补的部分面积.两种做法的实质都是间接的求出所求图形的面积. 例1 在如图所示的直角坐标系中，有抛物线2424455 y x x =-+.连接AC ，问在直线AC 的下方，是否在抛物线上存在一点N ，使NAC V 的面积有最大值?若存在请求出此值;若不存在请说明理由. 解析 设N 点坐标为2424(,4)55 a a a -+，(0,5)a ∈，如图所示过点A 作直线平行于x 轴，过点N 作直线平行于y 轴，与x 轴交于点F ，与AC 相交于点G ，两直线相交于点D .容易求得直线 AC 的方程445y x =- +，得出G 点坐标(4(,4)5a a -+，求出NG 的长为2445 a a -+，111222 ACN ANG CGN S S S NG OF NG CF NG OC =+=?+?=?V V V 2210a a =-+，故当52a =时三角形面积有最大值252，此时N 点的坐标为5(,3)2-. 点拨 本题中将三角形割开求解的方法在应用中是较为常见的，此种方法也可视为是铅垂法，即三角形的面积等于三角形的水平宽与铅垂高的积的一半，本题中就是演示了整个的推理以及求解过程. 二、直线平移，化为切线求最值 切线法体现了数学中最为常见的数形结合思想，即通过平移直线，当直线与抛物线只有一个交点时(此时就是相切)存在长度的极值，借此来直接求出点的坐标.此法不用求出面积的解析式就可直接求解，是解题的新思路. 例2 如图所示，在平面直角坐标系中，有一抛物线2142 y x x =+-，在第三象限的抛物线上是否存在一动点M ，使ABM V 面积存在最大值?若存在，求出最值;若不存在，说明理由.
初四数学二次函数中的最大面积专题练习题 1．如图，在直角坐标系中有一直角三角形AOB ，O 为坐标原点，OA=1，tan ∠BAO=3，将此三角形绕原点O 逆时针旋转90°，得到△DOC ．抛物线y=ax 2+bx+c 经过点A 、B 、 C ． （1）求抛物线的解析式． （2）若点P 是第二象限内抛物线上的动点，其横坐标为t ． ①设抛物线对称轴l 与x 轴交于一点E ，连接PE ，交CD 于F ，求出当△CEF 与△COD 相似时点P 的坐标． ②是否存在一点P ，使△PCD 的面积最大？若存在，求出△PCD 面积的最大值；若不存在，请说明理由． 2．如图，已知抛物线c x ax y +- =2 32与x 轴相交于A ，B 两点，并与直线221-=x y 交于B ，C 两点，其中点C 是直线221-=x y 与y 轴的交点，连接AC ． （1）求抛物线的解析式； （2）证明：△ABC 为直角三角形； （3）△ABC 内部能否截出面积最大的矩形DEFG ？（顶点D 、E 、F 、G 在△ABC 各边上）若能，求出最大面积；若不能，请说明理由． 3．某基地计划新建一个矩形的生物园地，一边靠旧墙（墙足够长），另外三边用总长54米的不锈钢栅栏围成，与墙平行的一边留一个宽为2米的出入口，如图所示，如何设计才能使园地的而积最大？下面是两位学生争议的情境：请根据上面的信息，解决问题：
（1）设AB=x 米（x ＞0），试用含x 的代数式表示BC 的长； （2）请你判断谁的说法正确，为什么？ 4．如图，已知抛物线c bx ax y ++=2 过点A （6，0），B （－2，0），C （0，－3）． （1）求此抛物线的解析式； （2）若点H 是该抛物线第四象限的任意一点，求四边形OCHA 的最大面积； （3）若点Q 在y 轴上，点G 为该抛物线的顶点，且∠QGA=45o，求点Q 的坐标． 5．如图，抛物线y=-x 2-2x+3 的图象与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左边），与y 轴交于点C ，点D 为抛物线的顶点． （1）求A 、B 、C 的坐标； （2）设点H 是第二象限内抛物线上的一点，且△HAB 的面积是6，求点H 的坐标； （3）点M 为线段AB 上一点（点M 不与点A 、B 重合），过点M 作x 轴的垂线，与直线AC 交于点E ，与抛物线交于点P ，过点P 作PQ ∥AB 交抛物线于点Q ，过点Q 作QN ⊥x 轴于点N ．若点P 在点Q 左边，当矩形PQMN 的周长最大时，求△AEM 的面积． 6．如图，△ABC 中，∠C=90°，BC=7cm ，AC=5，点P 从B 点出发，沿BC 方向以2m/s 的速度移动，点Q 从C 出发，沿CA 方向以1m/s 的速度移动．
知识点：1、二次函数线段，周长问题 2、二次函数线段和最小值线段差最大值问题 3、二次函数面积最大值问题 【新授课】 考点1：线段、周长问题 例1.(2018·宜宾)在平面直角坐标系中，已知抛物线的顶点坐标为（2，0），且经过点（4，1）， 如图，直线y=x与抛物线交于A、B两点，直线l为y=﹣1． （1）求抛物线的解析式； （2）在l上是否存在一点P，使PA+PB取得最小值？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 拓展：在l上是否存在一点P，使PB-PA取得最大值？若存在，求出点P的坐标。 练习 1、如图，已知二次函数24 y ax x c =-+的图象与坐标轴交于点A（-1， 0）和点B（0，-5）．（1）求该二次函数的解析式； （2）已知该函数图象的对称轴上存在一点P，使得△ABP的周长最小．请求出点P的坐
标． 2、如图，抛物线y =ax 2-5ax +4（a ＜0）经过△ABC 的三个顶点，已知BC ∥x 轴，点A 在x 轴上，点C 在y 轴上，且AC =BC ． （1）求抛物线的解析式． （2）在抛物线的对称轴上是否存在点M ，使|MA -MB |最大？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由． 例2. (2018?莱芜)如图，抛物线y=ax 2+bx+c 经过A （﹣1，0），B （4，0），C （0， 3）三点，D 为直线BC 上方抛物线上一动点，DE ⊥BC 于E ． （1）求抛物线的函数表达式； （2）如图1，求线段DE 长度的最大值；
练习 1、如图，抛物线y =2 1x 2+bx －2与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于C 点，且A （一1，0）． ⑴求抛物线的解析式及顶点D 的坐标； ⑵判断△ABC 的形状，证明你的结论； ⑶点M (m ，0)是x 轴上的一个动点，当CM +DM 的值最小时，求m 的值． （4）过点F 作FG 垂直X 轴，并与直线BC 交于点H ，求FH 的最大值。 2、 如图，在平面直角坐标系中，直线3342y x = -与抛物线214 y x bx c =-++交于A 、B 两点，点A 在x 轴上，点B 的横坐标为-8． （1）求该抛物线的解析式； （2）点P 是直线AB 上方的抛物线上一动点（不与点A 、B 重合），过点P 作x 轴的垂线，垂足为C ，交直线AB 于点D ，作PE ⊥AB 于点E ．设△PDE 的周长为l ，点P 的横坐标为x ，求l 关于x 的函数关系式，并求出l 的最大值．
一、教学过程 AB 和AD 分别在两直角边上，1、如图。在一个直角三角形的内部画一个矩形ABCD，其中 AN=40m， AM=30m （1）设矩形的一边AB= xm，那么 AD 边的长度如何表示？ （2）设矩形的面积为ym2，当x 取何值时，y 的最大值是多少？ （二）变式探究 【探究一】在上一个问题中，如果把矩形改成如图所示的位置，其顶点 A 和顶点 D 分别在两直角边上， BC 在斜边上，其他条件不变，那么矩形的最大面积是什么？ 【探究二】如图，已知△ABC是一等腰三角形铁板余料，AB=AC=20cm， BC=24cm，若在 △ABC 上，截出一零件 DEFG，使得 EF在 BC上，点 D、G 分别在边 AB、AC上，问矩形 DEFG 的最大面积是多少？
（三）课下作业 1、如图，在一面靠墙的空地上用长为24 米的篱笆，围成中间隔有两道篱笆的长方形花圃， 设花圃的宽AB 为 x 米，面积S 平方米 (1)求 S 与 x 的函数关系式及自变量的取值范围； (2)当 x 取何值时所围成的花圃面积最大，最大值是多少？ (3)若墙的最大利用长度为8 米,求此时围成花圃的最大面积和最小面积分别是多少? 2、如图， AD 是△ ABC的高， BC=60cm，AD=40cm，点 P,Q 是 BC边上的点，点 S 在 AB 边上，点 R 在 AC 边上，四边形 SPQR是矩形，求矩形 SPQR面积最大值 BC、 CD 上的两个动点，当M 点在BC 上运动时，3、正方形ABCD边长为 4， M 、N 分别是 保持 AM和MN垂直 （1）证明： RT△ ABM∽ RT△ MCN （2）设 BM=x，梯形 ABCN 的面积为y，求y与x之间的函数关系式：当 M 点运动到什么位 置时， （3）四边形ABCN 面积最大，并求出最大面积
如何求解二次函数中的面积最值问题 从近几年的各地中考试卷来看，求面积的最值问题在压轴题中比较常见，而且通常与二次函数相结合．使解题具有一定难度，本文以一道中考题为例，介绍几种不同的解题方法，供同学们在解决这类问题时参考． 题目（重庆市江津区） 如图1，抛物线y＝－x2＋bx＋c与x轴交于A(1，0)，B(－3， 0)两点． (1)求该抛物线的解析式； (2)设(1)中的抛物线交y轴于C点，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得△QAC的周长最小？若存在，求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由； (3)如图2，在(1)中的抛物线上的第二象限上是否存在一点P，使△PBC的面积最大？若存在，求出点P的坐标及△PBC的面积最大值；若没有，请说明理由．
解答 (1)抛物线解析式为 y＝－x2－2x＋3； (2)Q(－1，2)； 下面着重探讨求第(3)小题中面积最大值的几种方法． 一、补形、割形法 几何图形中常见的处理方式有分割、补形等，通过对图形的这些直观处理，一般能辅助解题，使解题过程简捷、明快．此类方法的要点在于把所求图形的面积进行适当的补或割，变成有利于表示面积的图形．方法一 如图3，设P点（x，－x2－2x＋3）(－3 方法二如图4，设P点(x，－x2－2x＋3)(－3 二次函数中三角形面积 最大值综合题 Revised by Petrel at 2021 2017中考数学全国试题汇编------二次函数中三角形面积最大值综合题 28．（2017甘肃白银）如图，已知二次函数24y ax bx =++的图象与x 轴交于点 ()2,0B -，点()8,0C ，与y 轴交于点A ． （1）求二次函数24y ax bx =++的表达式； （2）连接,AC AB ，若点N 在线段BC 上运动（不与点,B C 重合），过点N 作 //NM AC ，交AB 于点M ，当AMN ?面积最大时，求N 点的坐标； （3）连接OM ，在（2）的结论下，求OM 与A C 的数量关系． 解：（1）将点B ，点C 的坐标分别代入24y ax bx =++， 得：4240 64840 a b a b -+=?? ++=?，1分 解得：14a =-，32 b =． ∴该二次函数的表达式为21 344 2 y x x =-++．3分 （2）设点N 的坐标为（n ，0）（-2＜n ＜8）， 则2BN n =+，8CN n =-． ∵B （-2，0）,C （8，0）, ∴BC =10. 令0x =，解得：4y =， ∴点A （0，4），OA =4， ∵MN ∥AC ， ∴ 810 AM NC n AB BC -== ．4分 ∵OA =4，BC =10， ∴11 4102022 ABC S BC OA =?=??=．5分 ∴2811 (8)(2)(3)510 55 AMN ABN n S S n n n -= =-+=--+．6分 ∴当n =3时，即N （3，0）时，△AMN 的面积最大．7分 （3）当N （3，0）时，N 为BC 边中点. ∴M 为AB 边中点，∴1 2 OM AB.=8分 ∵2241625AB OB OA =+=+=， 22641645AC OC OA =+=+=， ∴12AB AC,=9分 ∴1 4 OM AC =．10分 24（2017海南）.抛物线23y ax bx =++经过点()1,0A 和点()5,0B 。 （1）求该抛物线所对应的函数解析式； （2）该抛物线与直线3 35 y x = +相交于C D 、两点，点P 是抛物线上的动点且位于x 轴下方。直线//PM y 轴，分别与x 轴和直线CD 交与点M N 、。 ①连结PC PD 、，如图12-1，在点P 运动过程中，PCD ?的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，说明理由； ②连结PB ，过点C 作CQ PM ⊥，垂足为点Q ，如图12-2。是否存在点P ，使得CNQ ?与PBM ?相似？若存在，求出满足条件的点P 的坐标；若不存在，说明理由。 【分析】（1）由A 、B 两点的坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式； （2）①可设出P 点坐标，则可表示出M 、N 的坐标，联立直线与抛物线解析式可求得C 、D 的坐标，过C 、D 作PN 的垂线，可用t 表示出△PCD 的面积，利用二次函数的性质可求得其最大值； ②当△CNQ 与△PBM 相似时有 = 或 = 两种情况，利用P 点坐标，可 分别表示出线段的长，可得到关于P 点坐标的方程，可求得P 点坐标． 1. 如图，对称轴为直线x=-1的抛物线y=ax 2+bx+c （a ≠0）与x 轴相交于A 、B 两点，其中点A 的坐标为（-3，0）． （1）求点B 的坐标；（2）若a=1，C 为抛物线与y 轴的交点．①若点P 在抛物线上，且S △POC =4S △BOC ．求点P 的坐标；②设点Q 是线段AC 上的动点，作QD ⊥x 轴交抛物线于 点D ，求线段QD 长度的最大值． 2．如图，二次函数y=ax 2-32 x+c （a ≠0）的图象与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于C 点，已知点A （-1，0），点C （0，-2）．（1）求抛物线的函数解析式；（2）若点M 是线段BC 下方的抛 物线上的一个动点，求△MBC 面积的最大值以及此时点M 的坐标． 3．如图，二次函数y=ax 2 +bx 的图象与一次函数y=x+2的图象交于A 、B 两点，点A 的横坐标是-1，点B 的横坐标是2．（1）求二次函数的表达式；（2）设点C 在二次函数图象的OB 段上，求四边形OABC 面积的最大值． 4．如图，已知抛物线y=ax2+bx+3与x轴交于A、B两点，过点A的直线l与抛物线交于点C，其中A点的坐标是（1，0），C点坐标是（4，3）． （1）求抛物线的解析式； （2）在（1）中抛物线的对称轴上是否存在点D，使△BCD的周长最小？若存在，求出点D的坐标，若不存在，请说明理由； （3）若点E是（1）中抛物线上的一个动点，且位于直线AC的下方，试求△ACE的最大面积及E点的坐标． 5.如图，已知抛物线y=ax2+bx+c经过A（-3，0），B（1，0），C（0，3）三点，其顶点为D，对称轴与x轴交于点H． （1）求该抛物线的解析式； （2）若点P是该抛物线对称轴上的一个动点，求△PBC周长的最小值； （3）如图（2），若E是线段AD上的一个动点（ E与A、D不重合），过E点作平行于y轴的直线交抛物线于点F，交x轴于点G，设点E的横坐标为m，△ADF的面积为S．求S与m的函数关系式。S是否存在最大值？若存在，求出最大值及此时点E的坐标；若不存在，请说明理由． 因材教育二次函数中的面积最值问题 从近几年的各地中考试卷来看，求面积的最值问题在压轴题中比较常见，而且通常与二次函数相结合．使解题具有一定难度，本文以一道中考题为例，介绍几种不同的解题方法，供同学们在解决这类问题时参考． 如图1，抛物线y＝－x2＋bx＋c与x轴交于A(1，0)，B(－3，0)两点． (1)求该抛物线的解析式； (2)设(1)中的抛物线交y轴于C点，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得△QAC 的周长最小？若存在，求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由； (3)如图2，在(1)中的抛物线上的第二象限上是否存在一点P，使△PBC的面积最大？若存在，求出点P的坐标及△PBC的面积最大值；若没有，请说明理由． 解答(1)抛物线解析式为 y＝－x2－2x＋3； (2)Q(－1，2)； 下面着重探讨求第(3)小题中面积最大值的几种方法． 一、补形、割形法 几何图形中常见的处理方式有分割、补形等，通过对图形的这些直观处理，一般能辅助解题，使解题过程简捷、明快．此类方法的要点在于把所求图形的面积进行适当的补或割，变成有利于表示面积的图形． 方法一 如图3，设P点（x，－x2－2x＋3）(－3 方法二如图4，设P 点(x ，－x 2－2x ＋3)(－3 二次函数应用（面积最值） 1、某广告公司设计一幅周长为20 m的矩形广告牌，设矩形的一边长为x m，广告牌的面积为S m2． (1)写出广告牌的面积S与边长x的函数关系式； (2)画出这个函数的大致图象(其中0≤x≤10)； (3)根据图象观察当边长x为何值时，广告牌面积S最大？ 2、用48米长的竹篱笆围建一矩形养鸡场,养鸡场一面用砖砌成,另三面 用竹篱笆围成,并且在与砖墙相对的一面开2米宽的门(不用篱笆),问养 鸡场的边长为多少米时,养鸡场占地面积最大?最大面积是多少? 3如图，有长为24 m的篱笆，一面利用墙(墙的最大可用长度a为10 m)， 围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃．设花圃的宽AB为x m，面积为S m2． (1)求S与x的函数关系式； (2)如果要围成面积为45 m2的花圃，AB的长是多少米？ (3)能围成面积比45 m2更大的花圃吗？如果能，请求出最大面积，并说明围法；如果不能，请说明理由． 4、 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝4，AC＝8，点D在斜边AB 上，分别作DE⊥AC，DF⊥BC，垂足分别为E、F，得四边形DECF，设DE＝x，DF＝y． (1)用含y的代数式表示AE； (2)求y与x之间的函数关系式，并求出x的取值范围； (3)设四边形DECF的面积为S，求S与x之间的函数关系，并求出S的最大值 5、 如图所示，在生产中，为了节约原材料，加工零件时常用一些边角余料，△ABC为锐角三角形废料．其中BC＝12 cm，BC边上高AD＝8 cm，在△ABC上截取矩形PQMN，与BC边重合，画出草图说明P，N两点落在什么位置上，才能使它的面积最大？最大面积是多少？并求出这时矩形的长和宽． 6、 如图所示，E，F分别是边长为4的正方形ABCD的边BC，CD上的点，CE＝1，CF＝ ，直线EF交AB的延长线于G，过线段FG上一个动点H作HM⊥AG，HN⊥AD，垂足分别为M，N．设HM＝x，矩形AMHN的面积为y． (1)求y与x之间的函数关系； (2)当x为何值时，矩形AMHN的面积最大？最大面积是多少？ 课题：二次函数中面积最值问题（复习课） 教学目标：利用二次函数的最值求面积最值问题 教学重点：利用二次函数的顶点公式或者配方法求解面积的最值 教学难点：利用二次函数的性质和自变量取值范围求面积的最值 教学过程：复习巩固：小题热身:1.二次函数 142--=x x y 的顶点是_________ 2.当x= 时, y=3（x-5）2+6 有最___值为________ . 3.当x= 时,y=-2x2+8x-7有最___值为_______ . 引入： 王爷爷要用60米长的竹篱笆围矩形养鸡场,养鸡场一面用砖砌成,另三面用竹篱笆围成, 如何围才能使养鸡场的面积最大?最大面积是多少? 变一变 王爷爷要用60米长的竹篱笆围矩形养鸡场,养鸡场一面用砖砌成,（墙长10米）另三面用竹篱笆围成, 如何围才能使养鸡场的面积最大?最大面积是多少? 巩固：（2016?绍兴） 课本中有一个例题： 有一个窗户形状如图1，上部是一个半圆，下部是一个矩形，如果制作窗框的材料总长为6m ，如何设计这个窗户，使透光面积最大？ 1.这个例题的答案是：当窗户半圆的半径约为0.35m 时，透光面积最大值约为1.05m2． 2.我们如果改变这个窗户的形状，上部改为由两个正方形组成的矩形，如图2，材料总长仍为6m ，利用图3，解答下列问题： （1）若AB 为1m ，求此时窗户的透光面积？ （2）与课本中的例题比较，改变窗户形状后，窗户透光面积的最大值有没有变大？ 请通过计算说明． 归纳总结：运用二次函数求几何图形面积最值一般步骤 1.审题 2.引入自变量 3.用含自变量的代数式分别表示与所求几何图形相关的量 4.根据几何图形的特征，列出其面积的计算公式，并且用函数表示这个面积，并求得自变量的取值范围. 5.根据函数关系式，求出最值及取得最值时自变量的值. 6.检验结果的合理性 二次函数最值问题 例1、小磊要制作一个三角形的钢架模型，在这个三角形中，长度为x(单位：cm)的边与这 条边上的高之和为40 cm ，这个三角形的面积S(单位：cm 2)随x(单位：cm)的变化而变化． (1)请直接写出S 与x 之间的函数关系式(不要求写出自变量x 的取值范围)； (2)当x 是多少时，这个三角形面积S 最大?最大面积是多少?21世纪教育网 解：（1）x 02x 21 2+-=S （2）∵a=21 -<0 ∴S 有最大值 ∴022120 2a 2b x =-?-=-=） （ ∴ S 的最大值为2002002202 1 2=?+?-=S ∴当x 为20cm 时，三角形面积最大，最大面积是200cm 2。 2.如图，矩形ABCD 的两边长AB =18cm ，AD =4cm ，点P 、Q 分别从A 、B 同时出发，P 在边AB 上沿AB 方向以每秒2cm 的速度匀速运动，Q 在边BC 上沿BC 方向以每秒1cm 的速度匀速运动．设运动时间为x 秒，△PBQ 的面积为y （cm 2）. （1）求y 关于x 的函数关系式，并写出x 的取值范围； （2）求△PBQ 的面积的最大值. 解：（1）∵S △PBQ =2 1 PB ·BQ, PB=AB －AP=18－2x ，BQ=x ， ∴y=2 1 （18－2x ）x ，即y=－x 2+9x （0 题型二：面积最值问题 例1、（2012·哈尔滨）小磊要制作一个三角形的钢架模型，在这个三角形中，长度为x(单 位：cm)的边与这条边上的高之和为40 cm ，这个三角形的面积S(单位：cm 2)随x(单位： cm)的变化而变化． (1)请直接写出S 与x 之间的函数关系式(不要求写出自变量x 的取值范围)； (2)当x 是多少时，这个三角形面积S 最大最大面积是多少世纪教育网 解：（1）x 02x 212S （2）∵a=21- <0 ∴S 有最大值∴022 1202a 2b x ）（∴ S 的最大值为200 20022021 2S ∴当x 为20cm 时，三角形面积最大，最大面积是200cm 2 。练习： 1．(2012山东日照，22，9分)如图，矩形ABCD 的两边长AB =18cm ，AD =4cm ，点P 、Q 分别从A 、B 同时出发，P 在边AB 上沿AB 方向以每秒2cm 的速度匀速运动，Q 在边BC 上沿BC 方向以每秒1cm 的速度匀速运动．设运动时间为 x 秒，△PBQ 的面积为y （cm 2 ）. （1）求y 关于x 的函数关系式，并写出 x 的取值范围；（2）求△PBQ 的面积的最大值. 解：（1）∵S △PBQ =PB ·BQ, PB=AB －AP=18－2x ，BQ=x ， ∴y=（18－2x ）x ， 即y=－x 2+9x （0 绝密★启用前 参考答案与试题解析 一．选择题（共4小题） 7．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A（1，0），B（﹣3，0）两点．（1）求该抛物线的解析式； （2）设（1）中的抛物线交y轴与C点，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得△QAC的周长最小？若存在，求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由； （3）在（1）中的抛物线上的第二象限上是否存在一点P，使△PBC的面积最大？ 若存在，求出点P的坐标及△PBC的面积最大值；若没有，请说明理由． 【分析】（1）根据题意可知，将点A、B代入函数解析式，列得方程组即可求得b、c的值，求得函数解析式； （2）根据题意可知，边AC的长是定值，要想△QAC的周长最小，即是AQ+CQ最小，所以此题的关键是确定点Q的位置，找到点A的对称点B，求得直线BC的解析式，求得与对称轴的交点即是所求； （3）存在，设点P的坐标，将△BCP的面积表示成二次函数，根据二次函数最值的方法即可求得点P的坐标． 【解答】解：（1）将A（1，0），B（﹣3，0）代y＝﹣x2+bx+c中得 ， ∴． ∴抛物线解析式为：y＝﹣x2﹣2x+3； （2）存在． 理由如下：由题知A、B两点关于抛物线的对称轴x＝﹣1对称， ∴直线BC与x＝﹣1的交点即为Q点，此时△AQC周长最小， ∵y＝﹣x2﹣2x+3， ∴C的坐标为：（0，3）， 1 直线BC解析式为：y＝x+3， Q 点坐标即为， 解得， ∴Q（﹣1，2）； （3）存在． 理由如下：设P点（x，﹣x2﹣2x+3）（﹣3＜x＜0）， ∵S△BPC＝S四边形BPCO﹣S△BOC＝S四边形BPCO ﹣， 若S四边形BPCO有最大值，则S△BPC就最大， ∴S四边形BPCO＝S△BPE+S直角梯形PEOC， ＝BE?PE +OE（PE+OC） ＝（x+3）（﹣x2﹣2x+3）+（﹣x）（﹣x2﹣2x+3+3） ＝， 当x ＝﹣时，S四边形BPCO 最大值＝， ∴S△BPC 最大＝， 当x ＝﹣时，﹣x2﹣2x+3＝， ∴点P 坐标为（﹣，）． 或（1）∵抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A（1，0），B（﹣3，0）两点，∴y＝﹣（x﹣1）（x+3），即y＝﹣x2﹣2x+3； （2）存在． ∵y＝﹣x2﹣2x+3， ∴对称轴为直线x＝﹣1，C的坐标为：（0，3）， ∵A、B两点关于抛物线的对称轴x＝﹣1对称， ∴直线BC与x＝﹣1的交点即为Q点， ∴直线BC解析式为：y＝x+3， ∴Q（﹣1，2）； （3）存在． 2 二次函数与面积最值问题 三维目标： 1、知识与技能： 通过实际问题与二次函数关系的探究，让学生掌握利用顶点坐标解决最大值（或最小值）问题的方法。 2、过程与方法 进一步认识如何利用二次函数的有关知识解决实际问题。渗透转化及分类的数学思想方法。 3、情感态度价值观 （1）通过巧妙的教学设计，激发学生的学习兴趣，让学生感受数学的美感。 （2）渗透转化及分类的数学思想方法。教学重点 探究利用二次函数的最大值（或最小值）解决实际问题的方法 教学难点 如何将实际问题转化为二次函数的问题 教学过程： 一：复习引入 最值求法： 1.利用配方法变成顶点式，求得顶点坐标（h,k）,当x=h时函数有最 大值（或最小值）y=k 2. 利用顶点公式(－b 2a， 4ac－b2 4a)] 当x=－b 2a 时，二次函数有最大值（或最小值）y=4ac －b 24a 练习： y=-2x^2+4x-1求出其最大值（或最小值） 分析：目的让学生熟悉求最大值和最小值的方法 （由学生板书，教师纠正） 提示：法1：可用配方法 法2：可用公式代入求之 今天我们一起来讨论利用二次函数讨论关于面积的最值问题，大家一起来看问题1： 问题1：直角三角形两直角边的和为10，该直角三角形的最大面积为多少： 分析：通过三角形面积的探究，激发学生的学习兴趣。 解：设直角三角形的面积为S ，其中一条直角边的长为X ，则另一条直角边的长为（10-X ） 依题意： S=)10(2 1 X X - =X X 5212+=5.12)5(2 12+--X 因为a=021<- 所以当三角形边长都为5时有最大的面积为12..5 （可由学生思考后板书，教师指导） 此题可适当变式： 如：1。已知菱形的对角线之和为10 ，求菱形的最大面积 2.四边形的两条对角线AC 和BD 互相垂直，且AC+BD=10， 二次函数中的面积最大问题 成都市棕北中学(桐梓林) 刁祖德 一、教学内容分析 抛物线与面积相结合的题目是近年来中考数学中常见的问题,并且大部分题目是作为压轴题出现的，题型常考常新，它是代数与几何有机结合的一个考点。这部分内容渗透的数学思想多，解题方法多，学生掌握有一定的困难。 二、学生状况分析 九年级学生看问题抽象逻辑思维能力提高，独立判断性明显发展，记忆力逐步发展到以理解记忆为主，但易片面，急于下结论。本班学生数学兴趣浓厚，思维较活跃，乐于探索。 三、教学目标 1.掌握特殊位置三角形的特征，并能快速准确求出其面积。 2.能够根据二次函数中不同图形的特点选择恰当的方法求图形面积。 3.通过观察、分析、概括、总结等方法了解二次函数面积问题的基本类型，并掌握二次 函数中面积问题的相关计算，从而体会数形结合思想和转化思想在二次函数中的应用。 四、教学重点、难点 教学重点：选择恰当的方法求图形面积。 教学难点：如何割补图形求面积。 五、教学过程 教师引导： 思考：这几个图形求面积有何共同点？（三角形 边特殊吗？） 定义：有一边在坐标轴上或平行于坐标轴的三角 教师引导：非特殊位置三角形的面积求法：________________________ 变式一：已知抛物线 （1）教师几何画板演示由动点 而引起△BCM 位置对面积的影响。 自选与面积最大问题相关题目四道 六、板书设计 七、教学设计说明 二次函数中的面积最大问题是中考中的热点问题，也是学生学习的难点。二次函数这一章知识点较多，为更好地突破学生在本章学习中的畏难情绪，特意将本知识点作为专题学习的内容，专项练习。本节课根据九年级学生的身心特征，从简单的特殊位置三角形面积开始，让学生感受到当三角形位置特殊时面积很易得到，从而遇到非特殊位置时知道可以用转化的数学思想解决问题。题目设置由易到难，由特殊点到一般点，从学生的生活经验出发，以学生的学习基础为载体，循序渐进，逐步突破重难点。 本节课在设计时注意了以下几点： 1.重视并体现了学生的主体地位。 本堂课经验的获得和积累都由学生总结得到，学生充分展示自己的思考过程，呈现自己的学习结果，在个人反思中得到进步和成长，而教师起到主导的作用。 2.重视学生创新思维的培养。 本堂课设置的题目都可以一题多解，解法不固定，更不局限于某种方法。学生根据对题目的理解，作出数学的思考，只要想法合理，都给予及时的肯定。学生在多种解法中归纳、提炼、总结，开拓了思维。二次函数中三角形面积最大值综合题
二次函数线段、周长、面积最值问题
二次函数中的面积最值问题最佳处理方法
二次函数应用(面积最值)
二次函数中面积最值问题
中考二次函数面积最值问题(含答案)
中考二次函数面积最值问题含答案
2020二次函数与面积最大值
二次函数与面积最值问题
二次函数中的面积最大问题
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