狐狸野兔问题
摘要：封闭自然环境中的狐狸和野兔存在捕食与被捕食关系，本题旨在通过对自然状态下
两物种数量变化规律的分析，推测加入人类活动（即人工捕获）时两物种数量的变化，进而得出人类活动对自然物种的影响，为人类活动提供参考，使其在自然允许的范围内，促进人与自然和谐相处。
对于问题一，首先建立微分方程，描述两物种数量随时间变化的Volterra 模型
()0,0,0,021212211>>>>??????
?+-=-=r r k k xy
r y k dt
dy xy r x k dt
dx
并用解析法求得狐狸与野兔数量的关系 ()()2211k r x
k r y
x
e
y
e
c --=
为直观反映两物种数量随时间的变化规律，选取三组有代表性的初值，利用Matlab 软件绘图。在狐狸和野兔随时间的变化图像中，大致得出其数量呈周期变化，为进一步检验周期性，再用Matlab 绘图做出狐狸与野兔数量的关系图，得到封闭曲线，因此分析结果为：狐狸和野兔的数量都呈现周期性的变化，但不在同一时刻达到峰值。
对于问题二，利用数值解法，令模型中两式皆为0，即求得狐狸和野兔数量的平衡状态。且由问题一中狐狸与野兔数量的关系图知野兔和狐狸的平衡量恰为他们在一个周期内的平均值。
对于问题三，在Volterra 模型基础上引入人工捕获系数。
只捕获野兔时，野兔的自然增长率降低，狐狸自然死亡率增加，改进后模型同问题二处理方式一样，求得平衡状态，得出结论：捕获野兔时，狐狸数量减少，野兔数量反而增加，即Volterra 原理：为了减少强者，只需捕获弱者。
只捕获狐狸时，分析方法与只捕获野兔时相同，并得出野兔狐狸数量皆增加的结论。 问题三为自然界人类捕获生物提供了新的思路，即可以在正常允许范围内，为了达到减少某一种群数量的目的，相应的捕获其食饵，或适度地捕获捕食者使捕食者与被捕食者的数量都有所增加。
关键词：Volterra 模型Matlab 软件解析法周期性
一、问题重述
在一个封闭的大草原里生长着狐狸和野兔。在大自然的和谐的坏境中，野免并没有因为有狐狸的捕食而灭绝。因为每一种动物都有它们特有的技巧来保护自己。设t 时刻它们的数量分别为()y t 和()x t ,已知满足以下微分方程组
???????-=-=xy x dt
dx y xy dt dy
02.049.0001.0 （1） 分析这两个物种的数量变化关系。
（2） 在什么情况下狐狸和野兔数量出现平衡状态？
（3） 建立另一个微分方程来分析人们对野兔进行捕猎会产生什么后果？对狐狸进行捕猎又会产生什么后果？
二、模型假设
（1） 题目所给数据真实有效，野兔有充分的食物，狐狸只以野兔为食物； （2） 自然状态下，野兔独立生存时的相对增长率为正常数； （3） 自然状态下，狐狸独立生存时的相对增长率为负常数；
（4） 野兔由于狐狸的存在使增长率降低，降低的程度与狐狸数量成正比； （5） 狐狸由于野兔为其提供食物使死亡率降低或使之增长，增长的程度与野兔
的数量成正比；
（6） 人工捕获不会影响野兔对狐狸的供养能力和狐狸对野兔的捕获能力。
三、定义与符号说明
四、问题分析
自然状态下，野兔和狐狸两物种存在被捕食与捕食关系，通过假设及各种参数的定义，建立微分方程描述两物种数量随时间变化的Volterra模型。
4.1问题（1）的分析
为了直观的反映出两物种的数量变化关系，将题中所给数据和任意取定的初值代入模型中的微分方程组，并用matlab绘制图像，由图可大致得出两物种数量呈周期性变化；为了证明野兔与狐狸数量确实是周期函数，需从模型出发，得到相轨线)
y图像为封闭曲线即可得野兔与
(x
y方程，并用matlab绘制图像，)
(x
狐狸数量呈周期性变化。为了较全面说明两物种的数量变化关系，分别取三组不同的具有代表性的初值).
200
(,
,
（
200
500）
500
,
200
,
200
(),
4.2问题（2）的分析
令模型中两式皆为零即可求得狐狸和野兔数量的平衡状态。
4.3问题（3）的分析
在Volterra模型基础上引入人工捕获系数，野兔的增长率降低，狐狸的死亡
率增加，对改进后的模型求得平衡状态，通过平衡状态分析人工捕获对两物种数量的影响。
五、模型的建立与求解
5.1模型的建立
分别以)(,(t y t x ）表示野兔和狐狸在时刻t 的数量。假定野兔有充分的食物，而狐狸是以野兔为食物的。野兔独立生存时，数量)(t x 的增长应服从马尔萨斯模型，但是有狐狸的存在，则被狐狸吃掉是野兔死亡的一个重要原因。两物种相遇（发生被吃现象）是偶然的，相遇机会与两个群体规模乘积成正比，所以在马尔萨斯模型的基础上增加一项:xy r 1-，即
xy r x k dt
dx
11-= 假定狐狸的出生率与群体规模)(t y 成正比，而真正能活下来的只是那些找到食物的（与野兔相遇部分），所以它的有效出生率与两物种规模成正比。假定它的自然死亡率也与群体规模y 成正比，即
xy r y k dt
dy
22+-= 所以在没有人类捕捞的情况下，给定野兔和狐狸的初始值)(00，
，y x ，野兔与狐狸增长规律性可用常微分方程组描述（Volterra 模型）
()0,0,0,021212211>>>>??????
?+-=-=r r k k xy
r y k dt
dy xy r x k dt
dx
（1）
5.2模型的求解
首先将式（1）的两式相除，消去dt 得到
()()
1122x k r dx
dy y k r x -=
-+ 这是可分离变量方程
2211k r k r y
dx dy x y
-+-= 两边积分得到()y x 的通解
()()2211k r x
k r y
x
e
y
e
c --= （2）
其中常数c 由初始条件确定。
式（2）的解)(),(t y t x 描述了野兔和狐狸的数量随时间的变化过程，但是得不到)(),(t y t x 的解析解，需要用数值算法求解。
5.2.1问题一的求解
将题目所给数据001.0,9.0,02.0,42211====r k r k 代入式（1）和式（2）得
??????
?+-=-=xy y dt
dy xy x dt
dx
001.09.002.04（3）
()()c e y e x y x =--002.04001.09.0
为了分析野兔和狐狸的数量随时间的变化，任取三组数据
)500,200(),200,200(),200,500(分别作为野兔和狐狸数量的初值，
用Matlab 编程求得模型的数值解并绘制野兔和狐狸数量随时间变化的图像以及狐狸和野兔的数量变化关系图像，由以上两图得出野兔和狐狸数量呈现周期性变化。Matlab 程序及得到的数值结果见附录，三组不同初值对应的()()t y t x ,及()x y 的图形分别见图1-甲——图3-乙
从以上三图可以看出，不论初始时刻野兔和狐狸数量大小关系如何变化，两物种的数量变化都有如下规律：当狐狸数量增加时，野兔数量开始减少；狐狸数量达到峰值时便开始递减，然后野兔数量回升；野兔数量达到峰值后再次减少。两种动物的数量都呈现出周期性的变化，各自达到一个峰值就会趋于平衡，但是两个峰值不在同一时刻达到，这符合捕食与被捕食的关系，是捕食与被捕食系统的振荡现象。
5.2.2问题二的求解
令式（3）中两式为0
40.0200.90.0010dx
x xy dt
dy y xy dt
?=-=???
?=-+=??因20e >，所以捕获野兔时，野兔狐狸数量皆增加 求得平衡点为()900,200，结合两物种
数量变化关系图4-甲知野兔和狐狸的 平衡量恰为他们在一个周期内的平均值。
5.2.3问题三的求解
考虑人工捕获，引入人工捕获系数1e 和2e 。 5.2.3.1只捕获野兔
设只捕获野兔的捕获系数为1e ，此时野兔的自然增长率由1k 降为11e k -，狐狸的自然死亡率由2k 增为12e k +。改进后模型为
()()111212
dx
k e x r xy dt
dy k e y r xy
dt
?=--???
?=-++?? （4） 将题目所给数据001.0,9.0,02.0,42211====r k r k 代入式（4）得
()()11
40.020.90.001dx
e x xy dt
dy e y xy
dt
?=--???
?=-++?? （5） 令式（5）中两式为0，得
()()11
40.0200.90.0010
dx
e x xy dt
dy e y xy dt
?=--=???
?=-++=?? 求得平衡点
1111
0.990010000.001
4200500.02e x e e y e +?
==+???
-?==-??
或 0
0x y =??=?
（舍去） 因10e >，所以捕获野兔时，狐狸数量减少，野兔数量反而增加。即Volterra
原理：为了减少强者，只需捕获弱者 5.2.3.2只捕获狐狸
设只捕获狐狸的捕获系数为2e ，此时野兔的自然增长率由1k 增为12k e +，狐狸的自然死亡率由2k 增为22k e +。改进后模型为
()()121222
dx
k e x r xy dt
dy k e y r xy
dt
?=+-???
?=-++?? （6） 将题目所给数据001.0,9.0,02.0,42211====r k r k 代入式（6）得
()()22
40.020.90.001dx
e x xy dt
dy e y xy
dt
?=+-???
?=-++?? （7） 令式（7）中两式为0，得
()()22
40.0200.90.0010
dx
e x xy dt
dy e xy dt
?=+-=???
?=-++=?? 求得平衡点
2222
0.990010000.001
420050.02e x e e y e +?
==+???
+?==+??
或 0
0x y =??=?
（舍去） 因20e >，所以捕获野兔时，野兔狐狸数量皆增加。
六、模型的评价与推广
6.1模型的评价
（1）Volterra 模型给出了自然界存在捕食与被捕食关系的两物种数量变化的普遍
模型，使其易于推广，有更实用的操作性；
（2）利用MATLAB 软件编程绘图，直观清晰地反映狐狸与野兔两物种的数量变化关系；
（3）人工捕获时，模型中假设不会影响两物种相遇的机会，没有充分考虑野兔对狐狸的供养能力和狐狸对野兔的捕获能力。
6.2模型的推广
6.2.1推广一
假设人工捕获使两物种相遇的机会变小，且改变值为ε，即方程中的系数1r ，2r 均变小了ε，此时只捕获野兔的模型为
???????---=-++-=]
)()[(])()([111212y r e k x dt
dx x r e k y dt dy
εε（8） 将题目所给数据001.0,9.0,02.0,42211====r k r k 代入式（8）求的平衡状态为
???
???
?--=-+=εε
02.04001.09.011e y e x 狐狸的数量与野兔的数量的比例：
)
02.0)(9.0()001.0)(4(11εεα-+--=
=
e e x
y
在式（4）中，不同捕获系数1e 对应狐狸和野兔平衡状态的数量及狐狸与野兔数量的比例α如表1.
数量00 000 100 200 300 400 500 600 700 00 900 狐狸的
数量
2
00
1
95
1
90
1
85
1
80
1
75
1
70
1
65
1
60
15
5
1
50
α
.222
.195
.172
.154
.138
.125
.113
.103
.094
0.
0861
0.
079
1
e对应两物种平衡状态时，不考虑与考虑时，狐狸的数量与野兔的数量的比例图5
由图5知，考虑人工捕获对两物种相遇的影响后，只捕获野兔时，两物种平衡状态时的数量比变小，狐狸数量比野兔增加的快
同理，只捕获狐狸的模型改变后求得的平衡状态为
?
?
?
??
?
?
-
+
=
-
+
=
ε
ε
02
.0
4
001
.0
9.0
2
2
e
y
e
x
狐狸的数量与野兔的数量的比例：
)
9.0
)(
02
.0(
)
001
.0
)(
4(
2
2
e
e
x
y
+
-
-
+
=
=
ε
ε
α
在式（5）中，不同捕获系数
2
e对应狐狸和野兔平衡状态的数量及狐狸与野兔数量的比例α如表2.
1e
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 野兔的数量
900 1000 1100 1200 1300 1400 1500 1600 1700 1800 1900 狐狸的数量
200
205
210
215
220
225
230
235
240
245
250
α
0.222
0.205
0.190
0.179
0.169
0.160
0.153
0.146
0.141
0.
136
0.
131
不同2e 对应两物种平衡状态时，不考虑与考虑时，狐狸的数量与野兔的数量的比例图6。
由图6知，考虑人工捕获对两物种相遇的影响后，只捕获狐狸时，两物种平衡状态时的数量比变小，即狐狸数量比野兔增加的快。
6.1.2推广二
在实际生活中，人类捕获野兔和狐狸的活动大多是同时进行的，而且当对野兔和狐狸进行捕猎后，两种动物相遇的机会还会变小，即模型中的系数1r ，2r 都变小。
设1r ，2r 均变小了ε，则野兔的增长率由1k 变为(1k -1e +2e )，狐狸的死亡率由2k 变为(2k -1e -2e ),此时模型为：
???????--+-=-+---=]
)()[(])()([12112212y r e e k x dt
dx x r e e k y dt dy
εε 代入题目所给数据求得平衡状态为
???
???
?-+-=---=εε
02.04001.09.02121e e y e e x 由平衡状态知，此时野兔数量不仅与人工捕获野兔的系数有关，还与人工捕获狐狸的系数有关；狐狸数量变化亦如此。
七、参考文献
[1] 萧树铁 姜启源 张立平等，《数学实验（第二版）》，高等教育出版社，1999 [2] 李艳会 王高雄 周之路等，《常微分方程（第三版）》，高等教育出版社，2006 [3] 徐全智 杨晋浩，《数学建模（第二版）》，高等教育出版社，2008
八、附录
8.1 首先建立M-文件bushi.m
function dy=bushi(t,y)
dy=zeros(2,1);
dy(1)=0.001*y(2)*y(1)-0.9*y(1);%y(1)表示狐狸y，y(2)表示野兔x
dy(2)=4*y(2)-0.02*y(2)*y(1);
8.2 图像主程序tuxiang.m
8.2.1% 取t0=0，tf=10 本例初始值设为200 500 注意：y(1)表示狐狸y，y(2)表示野兔x [T,Y]=ode45('bushi',[0:0.05: 10],[200 500]);
subplot(1,2,1);
plot(T,Y(:,1),'-.r',T,Y(:,2),'b')
xlabel('图1-甲狐狸和兔子的数量变化图')
ylabel('狐狸或兔子的数量')
gtext('x(t)曲线'),gtext('y(t)曲线');
subplot(1,2,2)
plot(Y(:,2),Y(:,1),'-')
xlabel('图1-乙狐狸与兔子的数量变化关系图')
ylabel('y')
8.2.2% 取t0=0，tf=10 本例初始值设为200 200 注意：y(1)表示狐狸y，y(2)表示野兔x [T,Y]=ode45('bushi',[0:0.05: 10],[200 200]);
subplot(1,2,1);
plot(T,Y(:,1),'-.r',T,Y(:,2),'b')
xlabel('图1-甲狐狸和兔子的数量变化图')
ylabel('狐狸或兔子的数量')
gtext('x(t)曲线'),gtext('y(t)曲线');
subplot(1,2,2)
plot(Y(:,2),Y(:,1),'-')
xlabel('图1-乙狐狸与兔子的数量变化关系图')
ylabel('y')
8.2.3% 取t0=0，tf=10 本例初始值设为500 200 注意：y(1)表示狐狸y，y(2)表示野兔x [T,Y]=ode45('bushi',[0:0.05: 10],[500 200]);
subplot(1,2,1);
plot(T,Y(:,1),'-.r',T,Y(:,2),'b')
xlabel('图1-甲狐狸和兔子的数量变化图')
ylabel('狐狸或兔子的数量')
gtext('x(t)曲线'),gtext('y(t)曲线');
subplot(1,2,2)
plot(Y(:,2),Y(:,1),'-')
xlabel('图1-乙狐狸与兔子的数量变化关系图') ylabel('y')
8.3 三组不同初值对应的数值解
时间T 狐狸y 野兔x
始值设为500 200
1.0e+003 *
0 0.2000 0.5000
0.0005 0.1665 0.5988
0.0010 0.1534 0.9133
0.0015 0.1730 1.3674
0.0020 0.2268 1.3785
0.0025 0.2548 0.8710
0.0030 0.2290 0.5564
0.0035 0.1889 0.5097
0.0040 0.1603 0.6676
0.0045 0.1553 1.0427
0.0050 0.1864 1.4449
0.0055 0.2408 1.2527
0.0060 0.2516 0.7483
0.0065 0.2176 0.5207
0.0070 0.1790 0.5331
0.0075 0.1560 0.7506
0.0080 0.1599 1.1767
0.0085 0.2018 1.4697
0.0090 0.2504 1.1009
0.0095 0.2446 0.6526
0.0100 0.2060 0.5038
初始值设为200 200
1.0e+003 *
0 0.2000 0.2000
0.0005 0.1426 0.2722
0.0010 0.1109 0.5784
0.0015 0.1136 1.4497
0.0020 0.2027 2.4598
0.0025 0.3348 1.1010
0.0030 0.2901 0.3269
0.0035 0.2087 0.2001
0.0040 0.1482 0.2535
0.0045 0.1131 0.5183
0.0050 0.1101 1.3001
0.0055 0.1837 2.4466
0.0060 0.3293 1.3027
0.0065 0.3008 0.3638
0.0070 0.2181 0.1991
0.0075 0.1540 0.2337
0.0080 0.1154 0.4584
0.0085 0.1069 1.1504
0.0090 0.1658 2.3814
0.0095 0.3195 1.5395
0.0100 0.3120 0.4146
始值设为200 500
1.0e+003 *
0 0.5000 0.2000
0.0005 0.3306 0.0240
0.0010 0.2125 0.0122
0.0015 0.1364 0.0162
0.0020 0.0881 0.0397
0.0025 0.0584 0.1437
0.0030 0.0440 0.6430
0.0035 0.0603 2.9725
0.0040 0.3910 4.0707
0.0045 0.4900 0.1783
0.0050 0.3231 0.0234
0.0055 0.2077 0.0127
0.0060 0.1333 0.0175
0.0065 0.0862 0.0440
0.0070 0.0574 0.1605
0.0075 0.0441 0.7239
0.0080 0.0664 3.2713
0.0085 0.4334 3.4976
0.0090 0.4772 0.1447
0.0095 0.3130 0.0214
0.0100 0.2011 0.0126
8.4 图4 程序
[T,Y]=ode45('bushi',[0:0.05: 10],[200 500]);
[T,X]=ode45('bushi',[0:0.05: 10],[200 200]);
[T,Z]=ode45('bushi',[0:0.05: 10],[500 200]);
plot(Y(:,2),Y(:,1),X(:,2),X(:,1),Z(:,2),Z(:,1),900,200,'*k',[0:6000],200,'k',900,[0:600],'k') xlabel('图4 不同初值狐狸与兔子的数量变化关系x')
ylabel('y')
gtext('x=900'),gtext('y=200')
8.5 就平衡状态解程序
[x,y]=solve('0.001*x*y-0.9*y=0','4*x-0.02*x*y=0')
8.6 野兔和狐狸数量比例图程序
8.6.1 图5 程序
e1=0:0.02:1;
x1=(0.9+e1)/0.001;
y1=(4-e1)/0.02;
a=y1./x1;
x2=(0.9+e1)/(0.001-0.0001);
y2=(4-e1)/(0.02-0.0001);
b=y2./x2;
plot(e1,a,'*k',e1,b)
gtext('A(e1)'),gtext('B(e1)')
xlabel('图5狐狸与兔子的比例变化曲线')
8.6.2 图6 程序
e2=0:0.02:1;
x1=(0.9+e2)/0.001;
y1=(4+e2)/0.02;
a=y1./x1;
x2=(0.9+e2)/(0.001-0.0001);
y2=(4+e2)/(0.02-0.0001);
b=y2./x2;
plot(e1,a,'*k',e1,b)
gtext('C(e2)'),gtext('D(e2)')
xlabel('图6狐狸与兔子的比例变化曲线')
野兔生长问题 摘要 根据题目，野兔生长属自然范畴，若在生存条件良好，且无外力干扰的情况下，其种群数量是呈对数型增长的，从著名的斐波纳契数列解决兔子生长问题也可以看出，兔子的生长，呈递增的状态。可由题目条件可知，野兔生长并不是处于理想的情况下的，中间有递减的情况，考虑到自然的各种原因，诸如，天敌的捕杀，自然灾害，疾病，生存地的减少等。 对于这种种群生态学问题，我们可以用Logistic（逻辑斯蒂方程）模型拟和多项式拟合来模。Logistic模型是种群生态学的核心理论之一。它可以用来描述种群生长规律，利用它可以表征种群的数量动态。用多项式拟合可以大致模拟预测未来的兔子数量。 之所以选择该模型来研究野兔生长问题，是因为，该模型考虑并概括了，种群发展所遇到的各种外界条件，也就是说，它模拟了真实情况。通过建立Logistic模型，我们小组得出T=10时，野兔数量为9.84194（十万）只。该结果比较符合客观规律。 利用Logistic模型可以表征种群的数量动态；如鱼类种群的增长，收获与时间关系的确定。描述某一研究对象的增长过程如生态旅游区环境容量的确定，森林资源的管理以及耐用消费品社会拥有量的预测、国民生产总值的预测等；也可作为其它复杂模型的理论基础如Lotka-Volterra两种群竞争模型；以上的大多数的工作都是拿逻辑斯蒂模型来用，但也由此可看出逻辑斯蒂方程不管在自然科学领域还是在社会科学中都具有非常广泛的用途。 关键字：Logistic模型生态学 MATLAB程序 问题重述 野兔生长问题。首先，野兔是生长在自然环境中的。自然很复杂，存在着许多影响种群发展的因素。我们知道，假如给野兔一个理想的环境，野兔数量是呈J型增长的。现实情况中，种群一般是呈S型增长的，从题中表格看出，野兔的数量并不是单一地增长，T=3，6.90568；T=4，6.00512；T=5，5.56495；T=6，5.32807。第四年到第七年，这三年野兔的数量不增反降，说明其间有影响野兔生长的因素存在。我们探讨了其中的因素： （1），兔子内部因素，竞争，雄雌比利失去平衡，老化严重等。 （1），自然灾害，比如说草原火灾，使野兔生长环境遭到破坏；再如气候反常，使野兔的产卵，交配受影响。 （2），天敌的捕食，狼，狐狸等天敌大量地捕食使野兔生存受到威胁。 （3），疾病的侵扰，野兔种群中，蔓延并流行疾病，必然使野兔存活率下降。。（4），人类的影响，城市扩建，使其栖息地面积减少；捕杀。
----------------------------精品word 文档 值得下载 值得拥有---------------------------------------------- 试 题 说 明 1.本次数学建模周共有如下十五道题。每支队伍（2-3人/队）必须从以下题中任意选取一题，并完成一篇论文，具体要求参阅《论文格式规范》。 2.指导老师会根据题目的难度对论文最后的评分进行调整。 3.题目标注为“A ”的为有一定难度的题目，选择此题你们将更有可能得到高分。 （一）乒乓球赛问题 (A) A 、 B 两乒乓球队进行一场五局三胜制的乒乓球赛，两队各派3名选手上场，并各有3种选手的出场顺序（分别记为123,,ααα 和123,,βββ）。根据过去的比赛记录，可以预测出如果A 队以i α次 序出场而B 队以 j β次序出场，则打满5局A 队可胜ij a 局。由此得矩阵 () ij R a =如下： （1） 根据矩阵R 能看出哪一队的实力较强吗？ （2） 如果两队都采取稳妥的方案，比赛会出现什么结果？ （3） 如果你是A 队的教练，你会采取何种出场顺序？ （4） 比赛为五战三胜制，但矩阵R 中的元素却是在打满五局的情况下得到的，这样的数据处理和预测方式 有何优缺点？ （二）野兔生长问题 时野兔的数量。 （三）停车场的设计问题 在New England 的一个镇上，有一位于街角处面积100?200平方英尺的停车场，场主请你代为设计停车车位的安排方式，即设计在场地上划线的方案。 容易理解，如果将汽车按照与停车线构成直角的方向，一辆紧挨一辆地排列成行，则可以在停车场内塞进最大数量的汽车，但是对于那些缺乏经验的司机来说，按照这种方式停靠车辆是有困难的，它可能造成昂贵的保险费用支出。为了减少因停车造成意外损失的可能性，场主可能不得不雇佣一些技术熟练的司机专门停车；另一方面，如果从通道进入停车位有一个足够大的转弯半径，那么，看来大多数的司机都可以毫无困难地一次停车到位。当然通道越宽，场内所容纳的车辆数目也越少，这将使得场主减少收入。 （四）奖学金的评定 (A) 背景 A Better Class (ABC)学院的一些院级管理人员被学生成绩的评定问题所困扰。平均来说，ABC 的教员们一向打分较松（现在所给的平均分是A —）,这使得无法对好的和中等的学生加以区分.然而,某项十分丰厚的奖学金仅限于资助占总数10%的最优秀学生,因此,需要对学生排定名次. 教务长的想法是在每一课程中将每个学生与其他学生加以比较,运用由此得到的信息构造一个排名顺序.例如,某个学生在一门课程中成绩为A,而在同一课程中所有学生都得A,那么就此课而言这个学生仅仅属于“中等”。反之，如果一个学生得到了课程中唯一的A ，那么，他显然处在“中等至上”水平。综合从几门不同课程所得到的信息，使得可以把所有学院的学生按照以10%划分等级顺序（最优秀的10%，其次的10%，等等）排序。 问题 （1）假设学生成绩是按照（A+，A, A —, B+ ,…）这样的方式给出的,教务长的想法能否实现?
第１题企业评价 选定20个评价者对某一企业的市场营销效果进行评价，将评价等级分为五等，如表一所示，评价等级的数字表示人数，如“资产负债率”一栏表示有6个人认为很好，9个人认为较好等等，采用适当的方法对该企业属于哪一等级作出评价。 表一企业市场营销效果评价情况 第2题强烈的碰撞 美国国家航空和航天局（NASA）从过去某个时间以来一直在考虑一颗大的小行星撞击地球会产生的后果。 作为这种努力的组成部分，要求你们队来考虑这种撞击的后果，加入小行星撞击到了南极洲的话。人们关心的是撞到南极洲比撞到地球的其它地方可能会有很不同的后果。 假设小行星的直径大约为1000米，还假设它正好在南极与南极洲大陆相撞。 要求你们对这样一颗小行星的撞击提供评估。特别是，NASA希望有一个关于这种撞击下可能的人类人员伤亡的数量和所在地区的估计，对南半球海洋的食物生产的破坏的估计，以及由于南极洲极地冰岩的大量融化造成的可能的沿海岸地区的洪水的估计。
第3题灌溉问题 下图是一个农田图，边表示田埂，周围是灌溉渠，问至少要挖开多少个田埂才能使每一块地都能灌上水？给出挖开田埂的一个方案。 第４题路线设计 现在有8个城市，已知两个城市之间的路费如下表，现在有一个人从A城市出发旅行，应该选择怎样的路线才能刚好每个城市都到达一次又回到A城市，其总路费最少？ A B C D E F G H A B C D E F G 56 35 21 51 60 43 39 21 57 78 70 64 49 36 68 --- 70 60 51 61 65 26 13 45 62 53 26 50 第5题水质评价 按照《中华人民共和国地下水质量标准》，地下水水质共分六个等级（如表一）。现经过抽样得到三个地区的水质状况（如表二），对照标准，试评价他们各属哪一级。 Ⅰ类Ⅱ类Ⅲ类Ⅳ类Ⅴ类
摘要： 在我国的内蒙古大草原，由于各种人为因素对自然生态系统的破坏(如过度放牧、大量消灭草原上的狼群等)，造成草原鼠患问题严重，并由此引发了严重的生态问题。由生物知识知道，鼠患的主要原因是由于人为对自然环境的损坏使得生态失去了平衡，至使老鼠的视线得到了很好的扩充，在加上天敌数量的减少，使得老鼠数目得不到有效控制。为了更好的对其进行有效、合理的控制，并对其各种方案进行有效性分析，本文主要通过对老鼠和天敌数目之间的关系利用微分等数学方法对模型进行了建立，并在最后给出了自己的最好的方案，但本文存在一定的缺点，对数据的要求较高，需要对大量数据进行统计，使得模型过于复杂。 关键字：微分方程、几何型曲线、生态平衡、鼠患 一、问题重述 在我国的内蒙古大草原，由于各种人为因素对自然生态系统的破坏(如过度放牧、大量消灭草原上的狼群等)，造成草原鼠患问题严重，并由此引发了严重的生态问题。 老鼠在草原上是家族式掘洞群居。它们食量巨大，繁殖力强。由于挖掘造成的环境损失远远大于单纯的食草所造成的危害。所有鼠害发生的地方水土流失严重。有的甚至形成了大面积寸草不生的“鼠荒地”。 更糟糕的是至今我们尚未找到能有效控制进而消灭草原老鼠的办法。也就是说，至少以目前的技术力量，我们还不能用人工种草的办法永久地恢复自然植被。因为不当的灭治方法，鼠害日益泛滥，而且越灭越多，因而也就不得不继续灭下去了。但是，能否最终将老鼠赶出草原，目前尚难以作出定论。 控制草原鼠患，现在人们通常采用的有下面几种方法: (1) 灭鼠药现在所用的灭鼠药在杀死老鼠的同时，也杀死了老鼠的天敌。因此，实际的情况是，撒灭鼠药后老鼠的数量反而以几何级数增长。改进的方法是，可以研制无公害的灭鼠药，但这需要一定的时间和大量资金的投入。 (2) 引入老鼠的天敌通过人工喂养和驯化老鼠的天敌，如鹰、狐狸、狼等，将一定数量的老鼠的天敌引入鼠患严重的草原，利用它们控制老鼠的数量。这种方法在短期内有效，但也有一定的问题：一是费用比较高，例如，喂养和驯化一只银狐的费用要上千元；二是引入的数量难以确定，数量太小，难以控制鼠患，数量太多就会引起新的生态问题。 (3) 人工种植牧草鼠类是一种需要开阔视野的生物种，只要有茂密的牧草生长，它们就无法生存。它们的视线之内如果毫无遮拦，便会肆意横行。在草场植被密集的地方，老鼠并不容易打洞，而且在这样的环境中，老鼠遇到天敌追捕时也难以及时躲避，所以数量不会激增。但是，据有关资料显示，青藏高原上几乎所有的人工种草都会在一定时间内自行退化。 问题1、建立恰当数学模型，对上述灭鼠方法的效果进行评估分析，要考虑到短期和长期的效果以及资金投入的问题；
数学建模实验指导书 数学建模实验项目一 初等数学方法建模 1.养老基金问题 一、 实验目的与意义： 1、练习初等问题的建模过程； 2、练习Matlab 基本编程命令； 二、 实验要求： 3、较能熟练应用Matlab 基本命令和函数； 4、注重问题分析与模型建立，了解建模小论文的写作过程； 5、提高Matlab 的编程应用技能。 三、 实验学时数：3学时 四、 实验类别：综合性 五、 实验内容与步骤： 1.某大学青年教师从31岁开始建立自己的养老基金，他把已有的积蓄10000元也一次性地存入，已知月利率为0.001（以复利计），每月存入700元，试问当他60岁退休时，他的退休基金有多少？又若，他退休后每月要从银行提取1000元，试问多少年后他的基金将用完？ 2. 梯子问题 一幢楼房的后面是一个很大的花园。在花园中紧靠着楼房建有一个温室，温室高10英尺，延伸进花园7英尺。清洁工要打扫温室上方的楼房的窗户。他只有借助于梯子，一头放在花园中，一头靠在楼房的墙上，攀援上去进行工作。他只有一架20英尺长的梯子，你认为他能否成功？能满足要求的梯子的最小长度是多少？ 步骤： 1．先进行问题分析，明确问题； 2．建立模型，并运用Matlab 函数求解； 3．对结果进行分析说明； 4．设计程序画出图形，对问题进行直观的分析和了解（主要用画线函数plot ，line ） 5．写一篇建模小论文。 注：也可自己设计题目如：.贷款助学问题。 贷款购房问题 。自己调查具体情况，设计最优方案。 数学建模实验项目二 数学规划 一、实验目的与意义： 1、认识数学规划的建模过程； 2、认识数学规划的各种形式和解法。 二、实验要求： 1、熟练应用Matlab 、lindo 、lingo 求解工具箱求解数学规划； 2、掌握建立数学规划的方法和步骤； 3、提高Matlab 、lindo 、lingo 的编程应用技能。 三、实验学时数：4学时 四、实验类别：综合性 五、实验内容与步骤： 1、市场上有n 种资产 i s （i=1,2……n ）可以选择，现用数额为M 的相当大的资金作一个时期的投资。这n 种 资产在这一时期内购买i s 的平均收益率为i r ，风险损失率为i q ，投资越分散，总的风险越小，总体风险可用投资的 i s 中最大的一个风险来度量。购买i s 时要付交易费，(费率i p )，当购买额不超过给定值i u 时，交易 费按购买 i u 计算。另外，假定同期银行存款利率是0r ，既无交易费又无风险。 （0r =5%） 已知n=4
狐狸野兔问题 摘要：封闭自然环境中的狐狸和野兔存在捕食与被捕食关系，本题旨在通过对自然状态下 两物种数量变化规律的分析，推测加入人类活动（即人工捕获）时两物种数量的变化，进而得出人类活动对自然物种的影响，为人类活动提供参考，使其在自然允许的范围内，促进人与自然和谐相处。 对于问题一，首先建立微分方程，描述两物种数量随时间变化的Volterra 模型 ()0,0,0,021212211>>>>?????? ?+-=-=r r k k xy r y k dt dy xy r x k dt dx 并用解析法求得狐狸与野兔数量的关系 ()()2211k r x k r y x e y e c --= 为直观反映两物种数量随时间的变化规律，选取三组有代表性的初值，利用Matlab 软件绘图。在狐狸和野兔随时间的变化图像中，大致得出其数量呈周期变化，为进一步检验周期性，再用Matlab 绘图做出狐狸与野兔数量的关系图，得到封闭曲线，因此分析结果为：狐狸和野兔的数量都呈现周期性的变化，但不在同一时刻达到峰值。 对于问题二，利用数值解法，令模型中两式皆为0，即求得狐狸和野兔数量的平衡状态。且由问题一中狐狸与野兔数量的关系图知野兔和狐狸的平衡量恰为他们在一个周期内的平均值。 对于问题三，在Volterra 模型基础上引入人工捕获系数。 只捕获野兔时，野兔的自然增长率降低，狐狸自然死亡率增加，改进后模型同问题二处理方式一样，求得平衡状态，得出结论：捕获野兔时，狐狸数量减少，野兔数量反而增加，即Volterra 原理：为了减少强者，只需捕获弱者。 只捕获狐狸时，分析方法与只捕获野兔时相同，并得出野兔狐狸数量皆增加的结论。 问题三为自然界人类捕获生物提供了新的思路，即可以在正常允许范围内，为了达到减少某一种群数量的目的，相应的捕获其食饵，或适度地捕获捕食者使捕食者与被捕食者的数量都有所增加。 关键词：Volterra 模型Matlab 软件解析法周期性
狼追兔子的问题 摘要： 数学建模可以使抽象的问题用数学符号和语言清楚的表达出来。针对此题是高阶常微分方程问题。此例问题虽然问法多样，但解法基本一致，这道题狼和兔子在运动过程中属微分方程模型与一阶常微分方程。 狼追兔子问题来源很久，早在几百年前就有人在研究他，由于数学的发展水平不是很高和软件的局限，所以没有研究透彻。如今随着数学学科的发展和应用软件的飞速发展，对于这个的研究已进入新阶段。 由于狼要盯着兔子追，所以狼行走的是一条曲线，且在同一时刻，曲线上狼的位置与兔子的位置的连线为曲线上该点处的切线。建立二者的运动微分方程，计算它们的运动轨迹，用软件MATLAB求解微分方程模型。计算出兔子是否安全回到自己的巢穴。 1.1.1 问题的来源及意义： (一) 问题重述与分析: 现有一只兔子，一只狼，兔子位于狼的正西100米处。 假设兔子与狼同时发现对方并一起起跑，兔子往正北60米处的巢穴跑，而狼在追兔子，已知兔子、狼是匀速跑且狼的速度是兔子的两倍。问题是兔子能否安全回到巢穴 （二）题起源于导弹跟踪问题，与狼追兔子问题在解决方法上是大致一样的。 导弹跟踪的研究对于再军事上有很重要的意义。将导弹跟踪问题能简化为狼追兔子问题，都是高阶常微分方程模型，要涉及常微分方程，学会在实际问题中运用数学方法建模和求解。 1.1.2问题的分析： 饿狼追兔问题一阶微分方程初值问题数值解。 兔子它的洞在距离它现在吃草处正北方的60米处,在兔子的正东面100米处有一头饿狼正潜伏着观察兔子多时了兔子发现了狼的存在.兔子拼命的沿直线向洞逃跑,兔子知道不赶快进洞命休已,狼和兔子同时启动并且死死盯着兔子扑去.兔子跑的虽然快,但狼的速度是兔子速度的2倍.假如兔子和狼都匀速运动. 为了研究狼是否能够追上兔
数学建模 1 辽宁工程技术大学 数学建模课程成绩评定表 学期2014-2015学年1 学期姓名高显利 李浩申 李金胜 专业工程管理班级14-工中职一班课程名称数学建模 论文题目航空机票超订票问题 评定标准 评定指标分值得分 知识创新性20 理论正确性20 内容难易性15 结合实际性10 知识掌握程度15 书写规范性10 工作量10 总成绩100 评语: 任课教师林清水时间2015年11月15日备注
高显利李浩申李金胜：种群的繁殖与稳定收获 摘要 当需要从定量的角度分析和研究一个实际问题时，人们就要在深入调查研究、了解对象信息、作出简化假设、分析内在规律等工作的基础上，用数学的符号和语言，把它表述为数学式子，也就是数学模型，然后用通过计算得到的模型结果来解释实际问题，并接受实际的检验。这个建立数学模型的全过程就称为数学建模。 关键词 种群繁殖野兔数学建模稳定收获异常现象 Logistic模型生态学 MATLAB程序
数学建模 根据题目：在某地区野兔数量在连续十年统计数量(单位十万)如下： 分析该数据，得出野兔的生长规律。并指出在哪些年内野兔的增长有异常现象。对于这种种群生态学问题，我们可以用Logistic（逻辑斯蒂方程）模型来模拟。Logistic 模型是种群生态学的核心理论之一。它可以用来描述种群生长规律，利用它可以表征种群的数量动态。 之所以选择该模型来研究野兔生长问题，是因为，该模型考虑并概括了，种群发展所遇到的各种外界条件，也就是说，它模拟了真实情况。通过建立Logistic模型，我们小组得出T=10时，野兔数量为9.84194（十万）只。该结果比较符合客观规律。 利用Logistic模型可以表征种群的数量动态；如鱼类种群的增长，收获与时间关系的确定。
数学建模一周论文 论文题目：野兔生长问题 姓名1：李宝川学号：09023320 姓名2：彭亚学号：09023308 姓名3：刘新斌学号：09023304 专业：勘查技术与工程 班级：090233 指导教师：虞先玉老师 2010年1月1日、
摘要 参照题目，野兔生长属自然范畴，在生存条件良好，且无外力干扰的情况下，其种群数量是呈对数型增长的。题中可读，野兔生长并不是处于理想的情况下的，考虑到自然的各种原因，诸如，天地的捕杀，自然灾害，疾病等。 对于这种种群生态学问题，我们可以用Logistic（逻辑斯蒂方程）模型来模拟。Logistic模型是种群生态学的核心理论之一。它可以用来描述种群生长规律，利用它可以表征种群的数量动态。 之所以选择该模型来研究野兔生长问题，是因为，该模型考虑并概括了，种群发展所遇到的各种外界条件，也就是说，它模拟了真实情况。通过建立Logistic模型，我们小组得出T=10时，野兔数量为9.84194（十万）只。该结果比较符合客观规律。 利用Logistic模型可以表征种群的数量动态；如鱼类种群的增长，收获与时间关系的确定。描述某一研究对象的增长过程如生态旅游区环境容量的确定，森林资源的管理以及耐用消费品社会拥有量的预测、国民生产总值的预测等；也可作为其它复杂模型的理论基础如Lotka-Volterra两种群竞争模型；以上的大多数的工作都是拿逻辑斯蒂模型来用，但也由此可看出逻辑斯蒂方程不管在自然科学领域还是在社会科学中都具有非常广泛的用途。 关键字：Logistic模型生态学 MATLAB程序
问题重述 野兔生长问题。首先，野兔是生长在自然环境中的。自然很复杂，存在着许多影响种群发展的因素。我们知道，假如给野兔一个理想的环境，野兔数量是呈J型增长的。现实情况中，种群一般是呈S型增长的，从题中表格看出，野兔的数量并不是单一地增长，T=3，6.90568；T=4，6.00512；T=5，5.56495；T=6，5.32807。第四年到第七年，这三年野兔的数量不增反降，说明其间有影响野兔生长的因素存在。我们探讨了其中的因素： （1），兔子内部因素，竞争，雄雌比利失去平衡，老化严重等。 （1），自然灾害，比如说草原火灾，使野兔生长环境遭到破坏；再如气候反常，使野兔的产卵，交配受影响。 （2），天敌的捕食，狼，狐狸等天敌大量地捕食使野兔生存受到威胁。 （3），疾病的侵扰，野兔种群中，蔓延并流行疾病，必然使野兔存活率下降。。（4），人类的影响，城市扩建，使其栖息地面积减少；捕杀。 考虑到上述因素，野兔的生长就不能完全用一个Logistic模型来模拟 模型假设 上述，野兔生长问题，我们假设 （1）,假设它使处于自然的情况（没有人的作用）,人类活动对其生存不产生影响。 （2），假设各个环境因素对野兔生长的影响是互不影响的。 （3），假设兔子的内部因素对其生存率的影响不大。 （4），假设野兔在各年龄段中的分布率不变，即年龄结构不变，并采用各种措施维持这一结构； 那它是可以用Logistic模型来模拟的。 分析与建立模型 对于生物模型，首先考虑的是logistic模型，考虑到logistic模型的增长曲线是单调的，而题目所给的数据中有一段是下降的，这是反常的情况，而正常情况应当是单调上升的。考虑到可能在这段时间内有使野兔减少的因素。不能在整个时间段进行拟合，我们应当在每个单调区间上进行拟合。
对作业题目的说明 1. 本次数学建模周一共提供十五道题目供大家选择。每支队伍（2-3人/队）必须从以下题目中任意选取一题（只须选择一道），并完成一篇论文，对论文的具体要求参阅《论文格式规范》。 2. 题目标注为“A ”的为有一定难度的题目，指导老师会根据题目的难度对论文最后的评分进行调整。 （一）乒乓球赛问题 (A) A 、 B 两乒乓球队进行一场五局三胜制的乒乓球赛，两队各派3名选手上场，并各有3种选手的出场顺序（分别记为123,,ααα 和123,,βββ）。根据过去的比赛记录，可以预测出如果A 队以i α次序出场而B 队以j β次序出场，则打满5局A 队可胜 ij a 局。由此得矩阵()ij R a =如下： 12 3 1232 140345 3 1R βββααα?? = ? ? ??? （1） 根据矩阵R 能看出哪一队的实力较强吗？ （2） 如果两队都采取稳妥的方案，比赛会出现什么结果？ （3） 如果你是A 队的教练，你会采取何种出场顺序？ （4） 比赛为五战三胜制，但矩阵R 中的元素却是在打满五局的情况下得到 的，这样的数据处理和预测方式有何优缺点？ （二）野兔生长问题 在某地区野兔的数量在连续十年的统计数量(单位十万)如下： 分析该数据，得出野兔的生长规律。 并指出在哪些年内野兔的增长有异常现象，
预测T=10 时野兔的数量。 （三）停车场的设计问题 在New England的一个镇上，有一位于街角处面积100 200平方英尺的停车场，场主请你代为设计停车车位的安排方式，即设计在场地上划线的方案。 容易理解，如果将汽车按照与停车线构成直角的方向，一辆紧挨一辆地排列成行，则可以在停车场内塞进最大数量的汽车，但是对于那些缺乏经验的司机来说，按照这种方式停靠车辆是有困难的，它可能造成昂贵的保险费用支出。为了减少因停车造成意外损失的可能性，场主可能不得不雇佣一些技术熟练的司机专门停车；另一方面，如果从通道进入停车位有一个足够大的转弯半径，那么，看来大多数的司机都可以毫无困难地一次停车到位。当然通道越宽，场内所容纳的车辆数目也越少，这将使得场主减少收入。 请你通过建模的计算结果，来给出一个合理的设计方案。 （四）奖学金的评定(A) 背景 A Better Class (ABC)学院的一些院级管理人员被学生成绩的评定问题所困 ）,这使得扰。平均来说，ABC的教员们一向打分较松（现在所给的平均分是A — 无法对好的和中等的学生加以区分。然而,某项十分丰厚的奖学金仅限于资助占总数10%的最优秀学生,因此,需要对学生排定名次。 教务长的想法是在每一课程中将每个学生与其他学生加以比较,运用由此得到的信息构造一个排名顺序。例如,某个学生在一门课程中成绩为A,而在同一课程中所有学生都得A,那么就此课而言这个学生仅仅属于“中等”。反之，如果一个学生得到了课程中唯一的A，那么，他显然处在“中等至上”水平。综合从几门不同课程所得到的信息，使得可以把所有学院的学生按照以10%划分等级顺序（最优秀的10%，其次的10%，等等）排序。 问题 , B+ ,…）这样的方式给出的,教务（1）假设学生成绩是按照（A+，A, A — 长的想法能否实现?
数学建模实验项目一梯子问题 一、实验目的与意义： 1、进一步熟悉数学建模步骤； 2、练习Matlab优化工具箱函数； 3、进一步熟悉最优化模型的求解过程。 二、实验要求： 1、较能熟练应用Matlab工具箱去求解常规的最优化模型； 2、注重问题分析与模型建立，熟悉建模小论文的写作过程； 3、提高Matlab的编程应用技能。 三、实验学时数： 2学时 四、实验类别： 综合性 五、实验内容与步骤： 一幢楼房的后面是一个很大的花园。在花园中紧靠着楼房建有一个温室，温室高10英尺，延伸进花园7英尺。 清洁工要打扫温室上方的楼房的窗户。他只有借助于梯子，一头放在花园中，一头靠在楼房的墙上，攀援上去进行工作。他只有一架20米长的梯子，你认为他能否成功？能满足要求的梯子的最小长度是多少？步骤： 1．先进行问题分析，明确问题； 2．建立模型，并运用Matlab函数求解； 3．对结果进行分析说明； 4．设计程序画出图形，对问题进行直观的分析和了解（主要用画线函数plot，line）5．写一篇建模小论文。 数学建模实验项目二养老基金问题 一、实验目的与意义： 1、练习初等问题的建模过程； 2、练习Matlab基本编程命令； 二、实验要求： 3、较能熟练应用Matlab基本命令和函数； 4、注重问题分析与模型建立，了解建模小论文的写作过程； 5、提高Matlab的编程应用技能。 三、实验学时数： 1学时 四、实验类别： 综合性 五、实验内容与步骤： 某大学青年教师从31岁开始建立自己的养老基金，他把已有的积蓄10000元也一次性地存入，已知月利率为0.001（以复利计），每月存入700元，试问当他60岁退休时，他的退休基金有多少？又若，他退休后每月要从银行提取1000元，试问多少年后他的基金将用完？ 微分方程实验项目一狐狸与野兔问题
野兔生长问题 摘要 本文根据已知的野兔连续十年的统计情况，探讨野兔的合理的存活率并推测当前的发展趋势，针对不同情况给出方法推算出野兔数量的走向的目的。 首先，充分利用给出的前两年来野兔的数量变化，分析近两年来的野兔群落的情况，建立一个线性方程组的数学模型，通过求解方程组得出不同年份野兔的数量的数学关系，并且求出了平均增长率为：1.718%；所以通过一些比例之间的关系得到这个野兔群落的T＝10的数量（见表1）。 然后，建立一个种群增长的差分方程模型，求出的野兔生长规律。求解当前野兔对应的Leslie矩阵的特征根，发现该特征根大于1，根据Leslie矩阵的稳定性理论知道：如果不进行避孕注射该野兔种群将无限增长（如果环境允许）；据此，利用Leslie矩阵稳定的充要条件求出应该保持多大的繁殖率才能使种群保持稳定，求解的主要思路是：特征根取为1、把繁殖率当成未知数，将此时的各年龄段的存活率代入方程⑥即可。 最后，只需将野兔的存活率代入那个以繁殖率为未知数的方程（方程⑥），求出在哪些年内野兔的增长有异常现象，。考虑到求解的数据比较多，采取计算机模拟的方法来确定移走野兔后所需要进行避孕的母兔头数 为了检验计算机模拟的正确性，用理论去验证。
问题重述 位于某国的国家公园中栖息着近10000头野兔。管理者要求有一个健康自由的环境以便观察这个10000头野兔的数量变化情况。管理者逐年统计了野兔的数量，发现在过去的10年中，野兔的生长变化并不稳定，呈现波浪式起伏，根据这些信息我们需要解决以下问题： 1. 探讨年龄在1岁到10岁之间的野兔的合理的存活率的模型，推测这个野兔 群落的当前的年龄结构。 2. 知道哪些环境和内部因素对野兔生长数量的影响，并测算出各个影响的程度 如何。 3. 探求偶然突发事件对野兔生长数量的巨大影响和它的规律性。 4. 根据野兔的生长变化，对野兔的生长特点进行分析。 问题假设 1、假设野兔的性别比近似认为1：1，并且采用措施维持这个性别比； 2、假设母兔可以怀孕的年龄为1岁—6岁、最高年龄为10岁，10岁的死亡率为100%，并且6—10岁的野兔的只数呈线性递减； 3、假设野兔在各年龄段中的分布率不变，即年龄结构不变，并采用各种措施维持这一结构； 4、假设兔子的内部因素对其生存率的影响不大 5、假设0岁野兔能够活到1岁的比例为75%； 6、假设各个环境因素对野兔生长的影响是互不影响的。 符号说明 X ： 表示一年中野兔的头数（i=0表示0岁野兔的头数，i=1表示1--10岁大 象头数，i=2表示1—10岁野兔的头数）； p ： 表示存活率（0p 表示0岁野兔的存活率，1p 表示1—60岁野兔的存活率，
狼追兔子的问题 1.1 摘要： 数学建模可以使抽象的问题用数学符号和语言清楚的表达出来。针对此题是高阶常微分方程问题。此例问题虽然问法多样，但解法基本一致，这道题狼和兔子在运动过程中属微分方程模型与一阶常微分方程。 狼追兔子问题来源很久，早在几百年前就有人在研究他，由于数学的发展水平不是很高和软件的局限，所以没有研究透彻。如今随着数学学科的发展和应用软件的飞速发展，对于这个的研究已进入新阶段。 由于狼要盯着兔子追，所以狼行走的是一条曲线，且在同一时刻，曲线上狼的位置与兔子的位置的连线为曲线上该点处的切线。建立二者的运动微分方程，计算它们的运动轨迹，用软件MATLAB求解微分方程模型。计算出兔子是否安全回到自己的巢穴。 1.1.1 问题的来源及意义： (一) 问题重述与分析: 现有一只兔子，一只狼，兔子位于狼的正西100米处。 假设兔子与狼同时发现对方并一起起跑，兔子往正北60米处的巢穴跑，而狼在追兔子，已知兔子、狼是匀速跑且狼的速度是兔子的两倍。问题是兔子能否安全回到巢穴？ （二）题起源于导弹跟踪问题，与狼追兔子问题在解决方法上是大致一样的。 导弹跟踪的研究对于再军事上有很重要的意义。将导弹跟踪问题能简化为狼追兔子问题，都是高阶常微分方程模型，要涉及常微分方程，学会在实际问题中运用数学方法建模和求解。 1.1.2问题的分析： 饿狼追兔问题一阶微分方程初值问题数值解。 兔子它的洞在距离它现在吃草处正北方的60米处,在兔子的正东面100米处有一头饿狼正潜伏着观察兔子多时了兔子发现了狼的存在.兔子拼命的沿直线向洞逃跑,兔子知道不赶快进洞命休已,狼和兔子同时启动并且死死盯着兔子扑去.兔子跑的虽然快,但狼的速度是兔子速度的2倍.假如兔子和狼都匀速运动. 为了研究狼是否能够追上兔
数学建模一周论文 野兔生长问题 姓名1：学号： 姓名2：学号： 姓名3：学号： 专业： 班级： 指导教师： 2009年1月4日
摘要： 通过观察表格中野兔在连续九年的数量，利用所学数学知识分析得出野兔的生长规律，从而预测出第十年野兔的数量。 分析了野兔种群数量的统计结果，假设野兔在十年内生长环境变化稳定，但是数据显示这是不可能的，因为在两个数据点处出现了异常的增长现象。在异常的自然条件下野兔的生长状况是不符合正常的生长律的。因此我们先排除这两个异点，并试图揭示剩下的几组数据兔种群数量变化的规律。 模型里所给出的主要微分方程中有两个参数需要给出。在给参数的过程中我们发现某些量值之间存在着线性函数关系式，利用计算机我求出了线性比例因子从而确定了所给出的参数。 在模型求解过程中，我们发现，对 logistic 模型赋予不同的参数会导模型的解在一定程度上的变化。于是我们想知道参数在一定范围内的改变到底对解函数产生多大的影响？这个问题的探讨实际上是对解的可靠性的探讨，对题本身有较强的实践意义。我们最终把这个问题归结为含参数的初值问题的微方程对初值的依赖性与对参数的依赖性问题。在对问题的探讨中，我们避免了纯粹的数学理论，而是利用计算机给出模型的解函数在不同的初值条件下、不同参数下的表现，并利用Matlab绘制成图像，直观且清晰地反映出模型的解函数对参数与初值不同选取的表现。 在解决这个问题的途中，我们还利用到了计算方法课程所学到的知识，通过观察数据，利用插值法描出图像，近似得出函数，再得出第十年的野兔数量。 野兔生长模型 1、问题重述 这是一个关于野兔生长状态的模型。我们知道研究一定空间内某一生物物种的种群数量随时间变化的规律是很有实践意义的。通过发现规律，我们可以更有效的了解一个种群发展变化的趋势、种群对自然世界的依赖程度和种群自身的成长结构，对人类了解并掌握自然规律，利用与控制生物资源有较大意义。
课程设计报告课程设计题目:野兔生长问题
目录 摘要.............................................０3 问题重述.......................................０5 模型假设.......................................０6 建立模型.......................................0７模型求解.......................................0９模型误差分析 (13)
摘要 假设野兔生长的条件是在无外界干扰的完美条件下(即不考虑外界因素对野兔繁殖的影响),该种群的成长曲线应该为对数型增长。但依题意可知，野兔增长先是成对数增长后来趋于平缓,变化幅度不断降低,这说明野兔生长并不是处于理想的情况下的,考虑到自然的各种原因，诸如,环境条件因为兔群激增而变得恶劣,天气的变化，天敌的增多等等。 对于这种种群生态学问题,我们可以用Logｉstiｃ(逻辑斯蒂方程)模型来模拟。Loｇｉsｔiｃ模型是种群生态学的核心理论之一,它可以很好的表示生物种群的生长规律,动态的表示生物种群的增减情况,例如兔子。 由于野兔生长问题相对简单,其涉及的内容和有求也相对较少,并且该问题概过了种群在生态中生长问题。根据逻辑斯蒂方程,以及建立一只双曲线右支可以预测出在T=10时，野兔数量为10。8156十万只。 在此，我们结合过去九年野兔数量的历史数据,建立了逻辑斯谛增长模型,得到野兔的生长规律如下:野兔初始于该地方生存时，野兔的生长繁殖有充分的保障,数量增多.随着野兔的不断繁殖,其有限生存空间日趋减小，其数量趋向于某一极值。而当野兔数量超过环境容纳量时,野兔种群的增长受到抑制,数量下降。当野兔种群数量降低到环境容纳量以下时，野兔种群的出生率上升，死亡率下降,自然资源与食物资源较为充裕，种内与种间竞争有所缓解，从而野兔种群增长
数学建模实验项目八 狐狸与野兔问题 一、实验目的： 1、认识微分方程的建模过程； 2、认识微分方程的数值解法。 二、实验要求： 1、熟练应用Matlab 的符号求解工具箱求解常微分方程； 2、掌握机理分析建立微分方程的方法和步骤； 3、提高Matlab 的编程应用技能。 三、实验内容及要求 （狐狸与野兔问题）在一个封闭的大草原里生长着狐狸和野兔，设t 时刻它们的数量分别为y(t)和x(t)，已知满足以下微分方程组 0.0010.940.02dy xy y dt dx x xy dt =-=- （1）建立上述微分方程的轨线方程； （2）在什么情况下狐狸和野兔数量出现平衡状态？ （3） 建立另一个微分方程来分析人们对野兔进行捕猎会产生什么后果？对狐狸进行捕猎又会产生什么后果？ 四、实验步骤及过程 1.建立一个名为“0*级计算第08次作业*******”（********表示自己的学号）的文件夹。 2. 打开Matlab 软件，练习实验指定的内容。 3. 将所得结果保存到文件夹中，并上存到天空教室。 莆田学院期末考试试卷 2011 ——2012 学年第 2学期 课程名称： 数学建模 适用年级/专业： 09数学 试卷类别 开卷（√ ）闭卷（ ） 学历层次 本科 考试用时 《考生注意：答案要全部抄到答题纸上，做在试卷上不给分》．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 答题正文要求： （1）写清建模分析过程、建立的模型、模型求解及其结果、并对结果给予简单的分析； （2）要求每人独立完成一份； （3）试卷打印格式参照教务处有关规定执行； （4）在下列二题中选做一题。 一、借贷问题 某地银行对个人住房25年贷款期限的贷款条件通常为：年利率为0.12，而且是月均等额还款。小叶夫妇要买房还缺6万元，正在考虑到银行去错6万元。 正在这时，小叶夫妇看到一个借贷公司的针对银行贷款条件的广告，说他们可以在年利率0.12的前提下，帮你提前三年还清借款，但是， （1） 每半个月还一次款 （2） 由于每半个月就要开一张收据，文书工作多了，要求顾客预付三个月的还款。 小叶夫妇很为这则广告吸引，因为提前三年可节省2万多元，而预付三个月的还款只不过1896元，多合算！但他们还是有点疑惑，难道这家借贷公司是个慈善机构，他们不想赚钱了？他们去请教他们的朋友，学金融数学的小金。小金说，我们一起来分析一下该借贷公司的两个“但是条例”分别能提前多少时间还清借款。请你们告诉我，这时已知的是什么，要求的是什么？小叶夫妇不太明白，但小金坚持他们必须弄明白，才能提高分析能力。在小金的耐心帮助下，小叶夫妇终于明白了。试问小叶夫妇明白了什么？ 二、交通管理中亮黄灯的时间问题 在十字路口的交通管理中，亮红灯之前要亮一段时间黄灯，这是为了让那些行驶在十字路口或距十字路口太近以致无法停下来的车辆通过路口。那么，黄灯应该亮多长时间才能使这些车辆安全顺利地通过路口呢？
数学建模--野兔
数学建模 2 辽宁工程技术大学 数学建模课程成绩评定表 学期2014-2015学年1 学期姓名高显利 李浩申 李金胜 专业工程管理班级14-工中职一班课程名称数学建模 论文题目航空机票超订票问题 评定标准 评定指标分值得分 知识创新性20 理论正确性20 内容难易性15 结合实际性10 知识掌握程度15 书写规范性10 工作量10 总成绩100 评语: 任课教师林清水时间2015年11月15日备注
摘要 当需要从定量的角度分析和研究一个实际问题时，人们就要在深入调查研究、了解对象信息、作出简化假设、分析内在规律等工作的基础上，用数学的符号和语言，把它表述为数学式子，也就是数学模型，然后用通过计算得到的模型结果来解释实际问题，并接受实际的检验。这个建立数学模型的全过程就称为数学建模。 关键词 种群繁殖野兔数学建模稳定收获异常现象 Logistic模型生态学 MATLAB程序
根据题目：在某地区野兔数量在连续十年统计数量(单位十万)如下： 分析该数据，得出野兔的生长规律。并指出在哪些年内野兔的增长有异常现象。对于这种种群生态学问题，我们可以用Logistic（逻辑斯蒂方程）模型来模拟。Logistic 模型是种群生态学的核心理论之一。它可以用来描述种群生长规律，利用它可以表征种群的数量动态。 之所以选择该模型来研究野兔生长问题，是因为，该模型考虑并概括了，种群发展所遇到的各种外界条件，也就是说，它模拟了真实情况。通过建立Logistic模型，我们小组得出T=10时，野兔数量为9.84194（十万）只。该结果比较符合客观规律。 利用Logistic模型可以表征种群的数量动态；如鱼类种群的增长，收获与时间关系的确定。
野兔的养殖技术及前景分析 我国养殖野兔具有得天独厚的条件：草资源丰富，气候条件适宜，绝大部分地区都具备养殖野兔的条件；野兔抗逆性、适应性强，饲养生长发育快、成本低、收益大，一般饲养3 个月即可上市出售，且国内的饲养量稀少，不及市场需求的1 % , 产品供不应求。欧洲国家每人每年消费兔肉5～6 千克，由于本国供应不足，大量从我国进口。另外旧本、韩国、俄罗斯及港、澳、台地区也频频向内地要货，需求量激增，特别是我国加人世界贸易组织后，出口范围将更加扩大，销售渠道将更加宽广，市场潜力巨大，这就为我国养兔业创造了极好的发展空间。因此，野兔养殖若能形成规模生产，必将取得明显的经济效益，前景十分看好。 野兔是一种皮、毛、肉兼用的特种野生草食性经济动物，主食各种野草、青菜、树叶等。经过多年驯化的野兔，改变了其胆小、怕惊及家兔的一些不良习性，同时保持了野生野兔的抵抗力强、体型较大、耐寒力强、适应性广（在我国南、北方都可以健康生长）等特点，平均产肉率却增加了一倍。目前，兔肉市场消费旺盛，从而也就保证了养殖效益。 随着我国人民生活水平的不断提高，美味、营养的绿色保健食品成为人们追求的新目标。消费者的食物消费模式从以消费粮食为主过渡到消费较高比例的肉、蛋、奶等动物蛋白质模式。动物蛋白的食物中，以消费猪、禽肉为主过渡到消费更多有益健康的牛、羊、兔肉。野兔肉质鲜嫩香醇、野味浓郁，是纯天然的绿色滋补保健食品，市场供应十分紧俏。随着野兔供求市场的日趋火爆，其巨大的市场潜力成了众多投资者的投资新热点，一批捷足先登者已取得了巨大的成功。 野兔、肉兔以及肉鸡的饲养在20 世纪40～50 年代就是世界各国快速、经济地发展动物蛋白质的重要手段，直到现在，欧盟地区仍在不断提高肉兔的生产能力，兔肉消费仍呈增长趋势，而肉鸡生产正逐步萎缩，有专家预测，到21 世纪初，人类摄取动物蛋白营养的1 / 3 将来源于兔肉。 随着人们对绿色食品和天然保健食品的追求，天然野味食品越来越受到人们的青睐。野兔肉以其特有的清香，让人百吃不腻。养殖野兔已成为调整农村产业结构中的优先发展项目。 我国有40-60亿亩草坡和草原，资源丰富，还有广阔的山地以及农作物秸秆，而野兔是草食性、节粮型小家畜。野兔是一种皮、毛、肉兼用的特种野生经济动物，主食各种野草、青菜、树叶等，无污染，因而肉质鲜美爽口。由于九十年代以来，猪、鸡、鸭、鱼等畜禽大量使用 含添加剂、催长素的配合饲料，肉质大大下降，甚至还有副作用，不利人体的健康，致使人们偏爱草食型畜禽。野兔可红烧、白煮、油炸等做成许多美味的佳肴，在冬季更是各大小酒楼、饭馆少不了的火锅料。
数学模型在生态系统的应用研究 蔡卫 中国矿业大学，江苏徐州（221008） E-mail ：caiwei3594967@https://www.doczj.com/doc/0e17731873.html, 摘 要: 本文研究的是种群在一定的生态系统中数量消长的问题，考虑到种群的增长只受环 境承载能力的影响；受种群间相互竞争、相互依存、竞争合作以及捕食等方面的制约。因此，本文建立了种群间互动关系的Logistic 模型、相互竞争模型、共生模型、竞争合作模型和捕 食模型, 并且对这些模型进行初步的生态学分析。 关键词：种群，数学模型，生态环境，竞争合作 中图分类号：Q148 1. 引言 随着我国经济的发展，环境受到人类的破坏越来越严重，人们逐渐意识到环境的重要性。 野生动物的生长受到环境的制约，特别人们生活对环境的干预加大。近年来，许多生态学专 家研究一些野生动物的生长规律，取得了很好的成就，为人类对野生动物的保护打下了坚实 的理论基础。本文利用生态学知识，将自然界种群间的关系定义为：相互竞争、相互依存、竞争合作以及捕食等关系，然后建立数学模型，量化生物种群增长受环境制约的关系，为研 究种群长期的生存和发展提供了理论依据。 2. 种群数学模型的构建和分析 2.1 种群增长的Logistic 模型 假设种群的生长只受环境承载能力的影响，与其他因素无关；种群是在有限的环境中生 长的；种群该地区的空间范围是封闭的,即在所研究的时间范围内不存在迁移的现象。用 ()t N 代表种群在时间t 的数量，则假设种群()t N 只是时间t 的函数，且()t N 是连续和充分光滑的。那么它的导数dt dN （?N ）给出了这个种群的增长率。而N N ? 则给出了种群个体的平均增长率。记()N r 为个体的平均增长率，K 为种群在此环境中总的饱和水平，r 为种群个 体的内禀增长率[1]，则()N r 应该是种群大小的一个减函数，为了简单起见，假设()N r 为N 的线性减函数，则()N r =?? ???? ?K N r 1，并且存在一个饱和水平0>K ，使()0=K r 。 于是可以得到如下种群增长的模型： N K N r dt dN )1(?= （1）利用分离变量法和分项分式，得到方程（1）的解析解为： rt ce K t N ?+=1)(，00N N K c ?= 其中c —— 0 0N N K c ?=，0N ——（0=t ）时种群的个体数量 Logistic [1]模型种群数量随时间增长曲线如图所示：