摘要
本次课程设计主要核心为利用迪杰斯特拉算法和Floyd算法实现无向图的最短路径的计算和求解。要求理解算法的具体实现流程、学会正确使用该算法求解实际问题。本次课程设计具体内容是：通过对两个算法的理解与应用来比较两个算法的优缺点。本程序要求结合最短路算法以及相应的数据结构的定义和使用，实现一个最短路径算法的简单应用。本课程设计是对书本知识的简单应用，以此培养大家用书本知识解决实际问题的能力；培养实际工作所需要的动手能力；培养以科学理论和工程上能力的技术，规范地开发大型、复杂、高质量的应用软件和系统软件。
关键字：迪杰斯特拉算法，Floyd算法，最短路径，算法设计，数据结构
目录
摘要 --------------------------------------------------------------- 1
一、Dijkstra算法--------------------------------------------------- 3
1.1定义概览 ---------------------------------------------------- 3
1.2算法描述 ---------------------------------------------------- 3
1.2.1算法思想：--------------------------------------------- 3
1.1.2算法步骤----------------------------------------------- 3
1.3算法代码实现 ------------------------------------------------ 4
1.4算法实例 ---------------------------------------------------- 5
二、Floyd算法------------------------------------------------------ 7
2.1定义概览 ---------------------------------------------------- 7
2.2算法描述 ---------------------------------------------------- 7
2.2.1算法思想原理------------------------------------------- 7
2.3算法代码实现 ----------------------------------------------- 10
三、结论 ---------------------------------------------------------- 11
四、参考文献 ------------------------------------------------------ 12
一、Dijkstra算法
1.1定义概览
Dijkstra(迪杰斯特拉)算法是典型的单源最短路径算法，用于计算一个节点到其他所有节点的最短路径。主要特点是以起始点为中心向外层层扩展，直到扩展到终点为止。Dijkstra算法是很有代表性的最短路径算法，在很多专业课程中都作为基本内容有详细的介绍，如数据结构，图论，运筹学等等。注意该算法要求图中不存在负权边。
问题描述：在无向图 G=(V,E) 中，假设每条边 E[i] 的长度为 w[i]，找到由顶点 V0 到其余各点的最短路径。
1.2算法描述
1.2.1算法思想：设G=(V,E)是一个带权有向图，把图中顶点集合V分成两组，第一组为已求出最短路径的顶点集合（用S表示，初始时S中只有一个源点，以后每求得一条最短路径 , 就将加入到集合S中，直到全部顶点都加入到S中，算法就结束了），第二组为其余未确定最短路径的顶点集合（用U表示），按最短路径长度的递增次序依次把第二组的顶点加入S中。在加入的过程中，总保持从源点v到S中各顶点的最短路径长度不大于从源点v到U中任何顶点的最短路径长度。此外，每个顶点对应一个距离，S中的顶点的距离就是从v到此顶点的最短路径长度，U中的顶点的距离，是从v到此顶点只包括S中的顶点为中间顶点的当前最短路径长度。
1.1.2算法步骤：
a.初始时，S只包含源点，即S＝{v}，v的距离为0。U包含除v外的其他顶点，
即:U={其余顶点}，若v与U中顶点u有边，则
b.从U中选取一个距离v最小的顶点k，把k，加入S中（该选定的距离就是v到
k的最短路径长度）。
c.以k为新考虑的中间点，修改U中各顶点的距离；若从源点v到顶点u的距离（经
过顶点k）比原来距离（不经过顶点k）短，则修改顶点u的距离值，修改后的距离值的顶点k的距离加上边上的权。
d.重复步骤b和c直到所有顶点都包含在S中。
执行动画过程如下图
1.3算法代码实现：
const int MAXINT = 32767;
const int MAXNUM = 10;
int dist[MAXNUM];int prev[MAXNUM];
int A[MAXUNM][MAXNUM];
void Dijkstra(int v0)
{
bool S[MAXNUM]; // 判断是否已存入该点到S集合中
int n=MAXNUM;
for(int i=1; i<=n; ++i)
{
dist[i] = A[v0][i];
S[i] = false; // 初始都未用过该点
if(dist[i] == MAXINT)
prev[i] = -1;
else
prev[i] = v0;
}
dist[v0] = 0;
S[v0] = true;
for(int i=2; i<=n; i++)
{
int mindist = MAXINT;
int u = v0; // 找出当前未使用的点j的dist[j]最小值
for(int j=1; j<=n; ++j)
if((!S[j]) && dist[j] { u = j; // u保存当前邻接点中距离最小的点的号码 mindist = dist[j]; } S[u] = true; for(int j=1; j<=n; j++) if((!S[j]) && A[u][j] { if(dist[u] + A[u][j] < dist[j]) //在通过新加入的u点路径找到离v0点更短的路径{ dist[j] = dist[u] + A[u][j]; //更新dist prev[j] = u; //记录前驱顶点 } } } } 1.4算法实例 先给出一个无向图 用Dijkstra算法找出以A为起点的单源最短路径步骤如下 二、Floyd算法 2.1定义概览 Floyd-Warshall算法（Floyd-Warshall algorithm）是解决任意两点间的最短路径的一种算法，可以正确处理有向图或负权的最短路径问题，同时也被用于计算有向图的传递闭包。Floyd-Warshall算法的时间复杂度为O(N3)，空间复杂度为O(N2)。 2.2算法描述 2.2.1算法思想原理： Floyd算法是一个经典的动态规划算法。用通俗的语言来描述的话，首先我们的目标是寻找从点i到点j的最短路径。从动态规划的角度看问题，我们需要为这个目标重新做一个诠释（这个诠释正是动态规划最富创造力的精华所在） 从任意节点i到任意节点j的最短路径不外乎2种可能，1是直接从i到j，2是从i经过若干个节点k到j。所以，我们假设Dis(i,j)为节点u到节点v的最短路径的距离，对于每一个节点k，我们检查Dis(i,k) + Dis(k,j) < Dis(i,j)是否成立，如果成立，证明从i到k再到j的路径比i直接到j的路径短，我们便设置Dis(i,j) = Dis(i,k) + Dis(k,j)，这样一来，当我们遍历完所有节点k，Dis(i,j)中记录的便是i 到j的最短路径的距离。 2.2.2算法描述： a.从任意一条单边路径开始。所有两点之间的距离是边的权，如果两点之间没有边 相连，则权为无穷大。 b.对于每一对顶点 u 和 v，看看是否存在一个顶点 w 使得从 u 到 w 再到 v 比 己知的路径更短。如果是更新它。 2.2.3 Floyd算法过程矩阵的计算----十字交叉法 方法：两条线，从左上角开始计算一直到右下角如下所示 给出矩阵，其中矩阵A是邻接矩阵，而矩阵Path记录u,v两点之间最短路径所必须经过的点 相应计算方法如下： 即为所求结果。最后A 3 2.3算法代码实现 typedef struct { char vertex[VertexNum]; //顶点表 int edges[VertexNum][VertexNum]; //邻接矩阵,可看做边表 int n,e; //图中当前的顶点数和边数 }MGraph; void Floyd(MGraph g) { int A[MAXV][MAXV]; int path[MAXV][MAXV]; int i,j,k,n=g.n; for(i=0;i for(j=0;j { A[i][j]=g.edges[i][j]; path[i][j]=-1; } for(k=0;k { for(i=0;i for(j=0;j if(A[i][j]>(A[i][k]+A[k][j])) { A[i][j]=A[i][k]+A[k][j]; path[i][j]=k; } } } 三、结论 Dijkstra算法求单源、无负权的最短路时效性较好，时间复杂度为O（V*V+E）,可以用优先队列进行优化，优化后时间复杂度变为0（v*lgn）。源点可达的话，O （V*lgV+E*lgV）=>O（E*lgV）。当是稀疏图的情况时，此时E=V*V/lgV，所以算法的时间复杂度可为O（V^2）。可以用优先队列进行优化，优 化后时间复杂度变为0（v*lgn）。 Floyd算法求多源、无负权边的最短路。用矩阵记录图。时效性较差，时间复杂度O(V^3)。Floyd-Warshall算法（Floyd-Warshall algorithm）是解决任意两点间的最短路径的一种算法，可以正确处理有向图或负权的最短路径问题。 Floyd-Warshall算法的时间复杂度为O(N^3)，空间复杂度为O(N^2)。 Floyd-Warshall的原理是动态规划： 设Di,j,k为从i到j的只以(1..k)集合中的节点为中间节点的最短路径的长度。 若最短路径经过点k，则Di,j,k = Di,k,k-1 + Dk,j,k-1； 若最短路径不经过点k，则Di,j,k = Di,j,k-1。 因此，Di,j,k = min(Di,k,k-1 + Dk,j,k-1 , Di,j,k-1)。 在实际算法中，为了节约空间，可以直接在原来空间上进行迭代，这样空间可降至二维。 四、参考文献 [1］《数据结构》（C语言版），严蔚敏，清华大学出版社，2005． [2］《算法设计与分 析》，王晓东主编，清华大学出版社，2005 [3］汪诗林等译，《数据结构、算法与应用》，（美）Sartaj Sahni著，机械工业出版社， 1999 [4］《数据结构与算法分析》，CLIFFORD A. SHAFFER著，张铭、刘晓丹译，电子工业出版社，1998 [5] 《计算机算法设计与分析》，王晓东，电子工业出版社，2007 [6] 《数据结构与算法使用教程》，刘玉龙，电子工业大学出版社，2009 数据结构与算法 课程设计报告 课程设计题目：图的算法实现专业班级：信息与计算科学1001班姓名：学号： 设计室号：理学院机房 设计时间： 2011-12-26 批阅时间：指导教师：成绩： 图的算法实现 目录 一．设计内容 二．功能设计流程 三．详细设计 四．调试 五．总结 六．参考文献 七．附录源代码 一、设计内容： 1.实验内容 图的算法实现 （1）将图的信息建立文件； （2）从文件读入图的信息，建立邻接矩阵和邻接表； （3）实现Prim、Kruskal、Dijkstra序算法。 2.实现的任务：从文件中读入图的信息，建立图的邻接矩阵和邻接表，实现Prim、Kruskal、Dijkstra 3.本系统涉及的知识点 Prim、Kruskal、Dijkstra、邻接矩阵和邻接表存储。 4.功能要求 1．不同的功能使用不同的函数实现（模块化），对每个函数的功能和调用接口要注释清楚。对程序其它部分也进行必要的注释。 2．对系统进行功能模块分析、画出总流程图和各模块流程图。 3．用户接口要求使用方便、简洁明了、美观大方、格式统一。 4．通过命令行相应选项能直接进入某个相应菜单选项的功能模块。 5．所有程序需调试通过。 二、功能设计流程： 图的算法 实现 邻接矩阵邻接表 Prim算法Kruskal算法Dijkstra算法 开始 辅助数组初始 输出生成树的边并计算其权值 新顶点并入U 集后重新选择最小边：遍历点，若g.edges[k][j]!=0 && g.edges[k][j] 最短路径算法—D i j k s t r a 总结 -标准化文件发布号：（9556-EUATWK-MWUB-WUNN-INNUL-DDQTY-KII Dijkstra 算法解释 本文引用三篇文章：分别是谢光新-Dijkstra 算法， zx770424 -Dijkstra 算法， 中华儿女英雄 -Dijkstra 算法 有兴趣的朋友请引用原文，由于分类很不相同难以查找，此处仅作汇总。 谢光新的文章浅显易懂，无需深入的数学功力，每一步都有图示，很适合初学者了解。 zx770424将每一步过程，都用图示方式和公式代码\伪代码对应也有助于，代码的理解。 中华儿女英雄从大面上总结了Dijkstra 的思想，并将演路图描叙出来了。起到总结的效果。 希望这篇汇总有助于大家对Dijkstra 算法的理解。 Dijkstra算法是典型最短路算法，用于计算一个节点到其他所有节点的最短路径。主要特点是以起始点为中心向外层层扩展，直到扩展到终点为止。Dijkstra算法能得出最短路径的最优解，但由于它遍历计算的节点很多，所以效率低。 简介 Dijkstra(迪杰斯特拉)算法是典型的单源最短路径算法，用于计算一个节点到其他所有节点的最短路径。主要特点是以起始点为中心向外层层扩展，直到扩展到终点为止。Dijkstra算法是很有代表性的最短路径算法，在很多专业课程中都作为基本内容有详细的介绍，如数据结构，图论，运筹学等等。Dijkstra一般的表述通常有两种方式，一种用永久和临时标号方式，一种是用OPEN, CLOSE表的方式，这里均采用永久和临时标号的方式。注意该算法要求图中不存在负权边。 算法描述 (这里描述的是从节点1开始到各点的dijkstra算法，其中Wa->b表示a->b的边的权值，d(i)即为最短路径值) 1．置集合S={2,3,...n}, 数组d(1)=0, d(i)=W1->i(1,i之间存在边) or +无穷大(1.i之间不存在边) 2．在S中，令d(j)=min{d(i),i属于S}，令S=S-{j}，若S为空集则算法结束，否则转3 3．对全部i属于S,如果存在边j->i，那么置d(i)=min{d(i), d(j)+Wj->i}，转2 Dijkstra算法思想为：设G=(V,E)是一个带权有向图，把图中顶点集合V分成两组，第一组为已求出最短路径的顶点集合（用S表示，初始时S中只有一个源点，以后每求得一条最短路径 , 就将加入到集合S中，直到全部顶点都加入到S中，算法就结束了），第二组为其余未确定最短路径的顶点集合（用U表示），按最短路径长度的递增次序依次把第二组的顶点加入S中。在加入的过程中，总保持从源点v到S中各顶点的最短路径长度不大于从源点v到U中任何顶点的最短路径长度。此外，每个顶点对应一个距离，S中的顶点的距离就是从v到此顶点的最短路径长度，U中的顶点的距离，是从v到此顶点只包括S中的顶点为中间顶点的当前最短路径长度。 算法具体步骤 （1）初始时，S只包含源点，即S=，v的距离为0。U包含除v外的其他顶点，U中顶点u距离为边上的权（若v与u有边）或）（若u不是v的出边邻接点）。 （2）从U中选取一个距离v最小的顶点k，把k，加入S中（该选定的距离就是v到k的最短路径长度）。 （3）以k为新考虑的中间点，修改U中各顶点的距离；若从源点v到顶点u（u U）的距离（经过顶点k）比原来距离（不经过顶点k）短，则修改顶点u的距离值，修改后的距离值的顶点k 的距离加上边上的权。 （4）重复步骤（2）和（3）直到所有顶点都包含在S中。 复杂度分析 Dijkstra 算法的时间复杂度为O(n^2) 空间复杂度取决于存储方式，邻接矩阵为O(n^2) :算法的设计思想 本算法采用分支定界算法实现。构造解空间树为：第一个城市为根结点，与第一个城市相邻的城市为根节点的第一层子节点，依此类推；每个父节点的子节点均是和它相邻的城市；并且从第一个根节点到当前节点的路径上不能出现重复的城市。 本算法将具有最佳路线下界的节点作为最有希望的节点来展开解空间树，用优先队列实现。算法的流程如下：从第一个城市出发，找出和它相邻的所有城市，计算它们的路线下界和费用，若路线下界或费用不满足要求，将该节点代表的子树剪去，否则将它们保存到优先队列中，并选择具有最短路线下界的节点作为最有希望的节点，并保证路径上没有回路。当找到一个可行解时，就和以前的可行解比较，选择一个较小的解作为当前的较优解，当优先队列为空时，当前的较优解就是最优解。算法中首先用Dijkstra算法算出所有点到代表乙城市的点的最短距离。算法采用的下界一个是关于路径长度的下界，它的值为从甲城市到当前城市的路线的长度与用Dijkstra算法算出的当前城市到乙城市的最短路线长度的和；另一个是总耗费要小于1500。 伪代码 算法AlgBB() 读文件m1和m2中的数据到矩阵length和cost中 Dijkstra(length) Dijkstra(cost) while true do for i←1 to 50 do //选择和node节点相邻的城市节点 if shortestlength>optimal or mincost>1500 pruning else if i＝50 optimal=min(optimal,tmpopt)//选当前可行解和最优解的 较小值做最优解 else if looped //如果出现回路 pruning //剪枝 else 将城市i插入到优先队列中 end for while true do if 优先队列为空 输出结果 else 取优先队列中的最小节点 if 这个最小节点node的路径下界大于当前的较优解 continue 本文主要介绍基于Retinex理论的雾霭天气图像增强及其实现。并通过编写两个程序来实现图像的去雾功能。 1 Rentinex理论 Retinex（视网膜“Retina”和大脑皮层“Cortex”的缩写）理论是一种建立在科学实验和科学分析基础上的基于人类视觉系统（Human Visual System）的图像增强理论。该算法的基本原理模型最早是由Edwin Land（埃德温?兰德）于1971年提出的一种被称为的色彩的理论，并在颜色恒常性的基础上提出的一种图像增强方法。Retinex 理论的基本内容是物体的颜色是由物体对长波（红）、中波（绿）和短波（蓝）光线的反射能力决定的，而不是由反射光强度的绝对值决定的；物体的色彩不受光照非均性的影响，具有一致性，即Retinex理论是以色感一致性（颜色恒常性）为基础的。 根据Edwin Land提出的理论，一幅给定的图像S(x,y)分解成两幅不同的图像：反射物体图像R(x,y)和入射光图像L(x,y)，其原理示意图如图8.3-1所示。 图-1 Retinex理论示意图 对于观察图像S中的每个点(x,y)，用公式可以表示为： S(x,y)=R(x,y)×L(x,y) （1.3.1）实际上，Retinex理论就是通过图像S来得到物体的反射性质R，也就是去除了入射光L的性质从而得到物体原本该有的样子。 2 基于Retinex理论的图像增强的基本步骤 步骤一: 利用取对数的方法将照射光分量和反射光分量分离，即： S＇(x, y)=r(x, y)+l(x, y)=log(R(x, y))+log(L(x, y))； 步骤二：用高斯模板对原图像做卷积，即相当于对原图像做低通滤波，得到低通滤波后的图像D(x,y)，F（x, y）表示高斯滤波函数： D(x, y)=S(x, y) *F（x, y）； 步骤三：在对数域中，用原图像减去低通滤波后的图像，得到高频增强的图像G （x, y）： G(x,y)=S＇(x, y)-log(D(x, y)) ； 第36卷第5期2002年9月 浙 江 大 学 学 报(工学版) Jo ur nal o f Zhejiang U niv ersity(Eng ineer ing Science) Vol.36No.5Sep.2002 收稿日期:2001-10-24. 作者简介:柴登峰(1974-),男,浙江江山人,博士生,从事遥感图像处理、地理信息系统方面研究.E-mail:chaidf@z https://www.doczj.com/doc/0e5124073.html, 前N 条最短路径问题的算法及应用 柴登峰,张登荣 (浙江大学空间信息技术研究所,杭州浙江310027) 摘 要:现有最短路径问题指的是狭义最短路径问题,针对该问题而设计的算法只能求得最短的一条路径.前N 条最短路径拓宽了最短路径问题的内涵(即不仅要求得最短路径,还要求得次短、再次短…第N 短路径),是广义最短路径问题.在图论理论基础上分析问题之后,设计了一个递归调用Dijkstr a 算法的新算法,该算法可以求取前N 条最短路径,而且时间、空间复杂度都为多项式阶.该算法已经成功应用于一个交通咨询系统中,自然满足实时应用需要. 关键词:最短路径;N 条最短路径;网络分析;地理信息系统;交通咨询系统 中图分类号:P 208;O 22 文献标识码:A 文章编号:1008-973X (2002)05-0531-04 Algorithm and its application to N shortest paths problem CHAI Deng-f eng,ZHAN G Deng-rong (I nstitute of Sp ace and I n f ormation T echnical ,Zhej iang U niv er sity ,H angz hou 310027,China ) Abstract :As the shor test path denotes one path ,algorithms designed for shor test path problem can g et only one path .N shortest paths are N paths including the shortest one ,the one inferior to the shortest one,eto.After reviewing the application of shortest poth pro blem ,an N shortest paths problem w as put fo rw ard and described.Gr aph theo ry w as used to analy ze the problem and results in fo ur theoretical con-clusions .T hen ,algo rithm recursively calling the Dijkstra algor ithm was desig ned and analy zed .Bath time co nplexity and space conplex ity are poly nom ial order.The algo rithm w as tested by ex periment and applied to a traffic consultatio n system of Guang zhou City ,it can meet the need of r eal-time application.Key words :sho rtest path;N shor test paths;netw ork analysis;tr affic consultation system ;GIS 20世纪中后期,随着计算机的出现和发展,图论的理论和应用研究得到广泛重视,图论作为一个数学分支的地位真正得到了确立.现在,图论的应用已经深入到众多领域,GIS 网络分析就是图论在地理信息领域的重要应用[3] ,此外,还有城市规划、电子导航、交通咨询等等. 最短路径问题是图论中的一个典范问题[1],主要研究成果有Dijkstra 、Floy d 等优秀算法[1,2],Dijk-stra 还被认为是图论中的好算法[1] .目前的研究工作主要集中于算法实现的优化改进与应用方面[3,4].最短路径问题通常有两类[2]:一类是求取从某一源点到其余各点的最短路径;另一类是求取每一对顶 点之间的最短路径.它们从不同的角度描述问题,但有一个共同的缺陷:这里的最短路径指两点之间最 短的那一条路径,不包括次短、再次短等等路径.在此不妨称以上两类问题为狭义最短路径问题,为此设计的算法只能求得最短的一条路径,而不能得到次短、再次短等等路径. 实际上,用户在使用咨询系统或决策支持系统时,希望得到最优的决策参考外,还希望得到次优、再次优等决策参考,这同样反映在最短路径问题上.因此,有必要将最短路径问题予以扩充,成为N 条最短路径问题,即不但要求得到最短路径,还要得到次短、再次短等路径.这称之为广义最短路径问题. 图像拼接算法及实现（一） 来源：中国论文下载中心 [ 09-06-03 16:36:00 ] 作者：陈挺编辑：studa090420 论文关键词：图像拼接图像配准图像融合全景图 论文摘要：图像拼接(image mosaic)技术是将一组相互间重叠部分的图像序列进行空间匹配对准,经重采样合成后形成一幅包含各图像序列信息的宽视角场景的、完整的、高清晰的新图像的技术。图像拼接在摄影测量学、计算机视觉、遥感图像处理、医学图像分析、计算机图形学等领域有着广泛的应用价值。一般来说,图像拼接的过程由图像获取,图像配准,图像合成三步骤组成,其中图像配准是整个图像拼接的基础。本文研究了两种图像配准算法:基于特征和基于变换域的图像配准算法。在基于特征的配准算法的基础上,提出一种稳健的基于特征点的配准算法。首先改进Harris角点检测算法,有效提高所提取特征点的速度和精度。然后利用相似测度NCC(normalized cross correlation——归一化互相关),通过用双向最大相关系数匹配的方法提取出初始特征点对,用随机采样法RANSAC(Random Sample Consensus)剔除伪特征点对,实现特征点对的精确匹配。最后用正确的特征点匹配对实现图像的配准。本文提出的算法适应性较强,在重复性纹理、旋转角度比较大等较难自动匹配场合下仍可以准确实现图像配准。 Abstract：Image mosaic is a technology that carries on the spatial matching to a series of image which are overlapped with each other, and finally builds a seamless and high quality image which has high resolution and big eyeshot. Image mosaic has widely applications in the fields of photogrammetry, computer vision, remote sensing image processing, medical image analysis, computer graphic and so on. 。In general, the process of image mosaic by the image acquisition, image registration, image synthesis of three steps, one of image registration are the basis of the entire image mosaic. In this paper, two image registration algorithm: Based on the characteristics and transform domain-based image registration algorithm. In feature-based registration algorithm based on a robust feature-based registration algorithm points. First of all, to improve the Harris corner detection algorithm, effectively improve the extraction of feature points of the speed and accuracy. And the use of a similar measure of NCC (normalized cross correlation - Normalized cross-correlation), through the largest correlation coefficient with two-way matching to extract the feature points out the initial right, using random sampling method RANSAC (Random Sample Consensus) excluding pseudo-feature points right, feature points on the implementation of the exact match. Finally with the correct feature point matching for image registration implementation. In this paper, the algorithm adapted, in the repetitive texture, such as relatively large rotation more difficult to automatically match occasions can still achieve an accurate image registration. Key words: image mosaic, image registration, image fusion, panorama 第一章绪论 数据结构第20次课 （续表） 思考.题 作业题试对下图所示的AOE网络，解答下列问题。 (1) 这个工程最早可能在什么时间结束。 (2) 求每个事件的最早开始时间Ve[i]和最迟开始时间Vl[I]。 (3) 求每个活动的最早开始时间e( )和最迟开始时间l( )。 (4) 确定哪些活动是关键活动。画出由所有关键活动构成的图，指出哪些活动加速可使整个工程提前完成。 *参考资料《数据结构辅导与提高》，徐孝凯编著，清华大学出版社 《数据结构习题解答与考试指导》，梁作娟等编著，清华大学出版社 授课内容 关键路径 对整个工程和系统，人们关心的是两个方面的问题： 一）工程能否顺利进行（对AOV网进行拓扑排序） 二）估算整个工程的完成所必须的最短时间（对AOE网求关键路径） 1. AOE-网 } 与AOV-网相对应的是AOE-网(Activity On Edge)，即边表示活动的网。 AOE-网是一个带权的有向无环图，其中，顶点表示事件(Event)，弧表示活 动，权表示活动持续的时间。通常，AOE-网可用来估算工程的完成时间。 例：下图是一个假想的有11项活动的AOE-网。其中有9个事件v 1 ， v 2 ，…，v 9 ，每个事件表示在它之前的活动已经完成，在它之后的活动可以 开始。如v 1 表示整个工程开始，v 9 表示整个工程结束，v 5 表示a 4 和a 5 已经 完成，a 7 和a 8 可以开始。与每个活动相联系的数是执行该活动所需的时间。 比如，活动a 1 需要6天，a 2 需要4天等。 和AOV-网不同，对AOE-网有待研究的问题是： (1)完成整项工程至少需要多少时间 (2)哪些活动是影响工程进度的关键 2. 关键路径 由于在AOE-网中有些活动可以并行地进行，所以完成工程的最短时间 是从开始点到完成点的最长路径的长度(这里所说的路径长度是指路径上 各活动持续时间之和，不是路径上弧的数目)。路径长度最长的路径叫做关 备注： 回顾 地图中最短路径的搜索算法研究 学生:李小坤导师：董峦 摘要：目前为止, 国内外大量专家学者对“最短路径问题”进行了深入的研究。本文通过理论分析, 结合实际应用，从各个方面较系统的比较广度优先搜索算法(BFS)、深度优先搜索算法(DFS)、A* 算法的优缺点。 关键词:最短路径算法；广度优先算法；深度优先算法；A*算法； The shortest path of map's search algorithm Abstract:So far, a large number of domestic and foreign experts and scholars on the" shortest path problem" in-depth study. In this paper, through theoretical analysis and practical application, comprise with the breadth-first search algorithm ( BFS ), depth-first search algorithm ( DFS ) and the A * algorithms from any aspects of systematic. Key words: shortest path algorithm; breadth-first algorithm; algorithm; A * algorithm; 前言： 最短路径问题是地理信息系统（GIS）网络分析的重要内容之一，而且在图论中也有着重要的意义。实际生活中许多问题都与“最短路径问题”有关, 比如: 网络路由选择, 集成电路设计、布线问题、电子导航、交通旅游等。本文应用深度优先算法，广度优先算法和A*算法，对一具体问题进行讨论和分析，比较三种算的的优缺点。 在地图中最短路径的搜索算法研究中，每种算法的优劣的比较原则主要遵循以下三点:[1] (1)算法的完全性：提出一个问题，该问题存在答案，该算法能够保证找到相应的答案。算法的完全性强是算法性能优秀的指标之一。 (2)算法的时间复杂性: 提出一个问题，该算法需要多长时间可以找到相应的答案。算法速度的快慢是算法优劣的重要体现。 (3)算法的空间复杂性:算法在执行搜索问题答案的同时，需要多少存储空间。算法占用资源越少，算法的性能越好。 地图中最短路径的搜索算法: 1、广度优先算法 广度优先算法(Breadth-First-Search)，又称作宽度优先搜索，或横向优先搜索，是最简便的图的搜索算法之一，这一算法也是很多重要的图的算法的原型,Dijkstra单源最短路径算法和Prim最小生成树算法都采用了和宽 数据结构课程设计报告 设计题目：图的算法实现 班级： 学号： 姓名： 数据结构课程设计报告内容 一．课程设计题目 图的算法实现 【基本要求】 （1）建立一文件，将图的信息存在此文件中； （2）从此文件读入图的信息，建立邻接矩阵和邻接表； （3）实现Prim、Kruskal、Dijkstra和拓扑排序算法。 二．算法设计思想 （1）图的存储结构： 邻接矩阵：用两个数组分别存储数据元素（顶点）的信息和数据元素之间的关系（边或弧）的信息。 邻接表：对图中的每个顶点建立一个单链表，第i个单链表中的结点表示依附于顶点Vi的边（对有向图是以顶点Vi为尾的弧）。每个结点由3个域组成，其中邻接点域指示与顶点Vi邻接的点在图中的位置，链域指示下一条边或弧的结点；数据域存储和边或弧相关的信息。每个链表上附设一个表头结点。在表头结点中，除了设有链域指向链表中第一个结点之外，还设有存储顶点Vi的名或其他相关信息的数据域。 （2）prim算法 是一种求图的最小生成树的算法。 假设N=（V，{E}）是连通网，TE是N上最小生成树中边的集合。算法从U＝{u0}（u0∈V）、TE＝{}开始。重复执行下列操作：在所有u∈U，v∈V－U的边(u，v)∈E中找一条权值最小的边(u0,v0)并入集合TE中，同时v0并入U，直到V＝U为止。此时，TE中必有n-1条边，T=(V，TE)为G 的最小生成树。Prim算法的核心:始终保持TE中的边集构成一棵生成树。 （3）Kruskal算法 Kruskal算法是另一种求最小生成树的算法 他的基本思想是以边为主导地位，始终选择当前可用（所选的边不 能构成回路）的最小权植边。所以Kruskal算法的第一步是给所有的边按照从小到大的顺序排序。 具体实现过程如下： <1> 设一个有n个顶点的连通网络为G（V,E），最初先构造一个只有n个顶点，没有边的非连通图T={V,空}，图中每个顶点自成一格连通分量。 <2> 在Ｅ中选择一条具有最小权植的边时，若该边的两个顶点落在不同的连通分量上，则将此边加入到Ｔ中；否则，即这条边的两个顶点落到同一连通分量上，则将此边舍去（此后永不选用这条边），重新选择一条权植最小的边。 <3> 如此重复下去，直到所有顶点在同一连通分量上为止。 (4)Dijkstar算法 Dijkstra算法是典型最短路径算法，用于计算一个节点到其他节点的最短路径。 它的主要特点是以起始点为中心向外层层扩展直到扩展到终点为止。 基本思想 通过Dijkstra计算图G中的最短路径时，需要指定起点s(即从顶点s 开始计算)。 此外，引进两个集合S和U。S的作用是记录已求出最短路径的顶点(以及相应的最短路径长度)，而U则是记录还未求出最短路径的顶点(以及该顶点到起点s的距离)。 初始时，S中只有起点s；U中是除s之外的顶点，并且U中顶点的路径是”起点s到该顶点的路径”。然后，从U中找出路径最短的顶点，并将其加入到S中；接着，更新U中的顶点和顶点对应的路径。然后，再从U中找出路径最短的顶点，并将其加入到S中；接着，更新U中的顶点和顶点对应的路径。…重复该操作，直到遍历完所有顶点。 操作步骤 <1>初始时，S只包含起点s；U包含除s外的其他顶点，且U中顶点的距离为”起点s到该顶点的距离”[例如，U中顶点v的距离为(s,v)的长 第 6 章图 课后习题讲解 1. 填空题 ⑴设无向图G中顶点数为n，则图G至少有（）条边，至多有（）条边；若G为有向图，则至少有（）条边，至多有（）条边。 【解答】0，n(n-1)/2，0，n(n-1) 【分析】图的顶点集合是有穷非空的，而边集可以是空集；边数达到最多的图称为完全图，在完全图中，任意两个顶点之间都存在边。 ⑵任何连通图的连通分量只有一个，即是（）。 【解答】其自身 ⑶图的存储结构主要有两种，分别是（）和（）。 【解答】邻接矩阵，邻接表 【分析】这是最常用的两种存储结构，此外，还有十字链表、邻接多重表、边集数组等。 ⑷已知无向图G的顶点数为n，边数为e，其邻接表表示的空间复杂度为（）。 【解答】Ｏ(n+e) 【分析】在无向图的邻接表中，顶点表有n个结点，边表有2e个结点，共有n+2e个结点，其空间复杂度为Ｏ(n+2e)=Ｏ(n+e)。 ⑸已知一个有向图的邻接矩阵表示，计算第j个顶点的入度的方法是（）。 【解答】求第j列的所有元素之和 ⑹有向图G用邻接矩阵A[n][n]存储，其第i行的所有元素之和等于顶点i的（）。 【解答】出度 ⑺图的深度优先遍历类似于树的（）遍历，它所用到的数据结构是（）；图的广度优先遍历类似于树的（）遍历，它所用到的数据结构是（）。 【解答】前序，栈，层序，队列 ⑻对于含有n个顶点e条边的连通图，利用Prim算法求最小生成树的时间复杂度为（），利用Kruskal 算法求最小生成树的时间复杂度为（）。 【解答】Ｏ(n2)，Ｏ(elog2e) 【分析】Prim算法采用邻接矩阵做存储结构，适合于求稠密图的最小生成树；Kruskal算法采用边集数组做存储结构，适合于求稀疏图的最小生成树。 ⑼如果一个有向图不存在（），则该图的全部顶点可以排列成一个拓扑序列。 【解答】回路 我国基本比例尺地形图分幅与编号的计算方法 韩丽蓉 (青海大学水电系,青海西宁 810016) 摘要:通过实例探讨了我国基本比例尺地形图分幅与编号的计算方法,此方法可以帮助使用者快速地由某点的经纬度值计算出高斯投影带带号和某比例尺地形图的图幅编号,在测绘工作中具有一定的实用性。 关键词:分幅;编号;六度带;中央子午线经度 中图分类号:K 99 文献标识码:B 文章编号:1006-8996(2006)06-0079-04 1 高斯分带投影 1.1 基本概念 在地理坐标中,经度是以经过英国格林威治天文台的子午面作为起算点(零度),自西向东逆时针至180°为东经,自东向西顺时针从0°至180°为西经,东、西经180°经线是重合的。地图投影是把不可展的 地球椭球体面上的经纬网,按照一定的数学法则转绘到平面上[1,2]。我国的8种国家基本比例尺地形图 (1:1000000～1:5000)中,除了1:1000000万地形图采用国际通用的正轴等角割圆锥投影外,其余7种国家基本比例尺地形图统一采用高斯投影。 高斯投影中限制长度变形的最有效方法是按一定经差将地球椭球面划分成若干投影带,通常投影分为六度带和三度带。分带时既要控制长度变形使其不大于测图误差,又要使带数不致过多以减少换带计算工作。我国1:500000～1:25000的比例尺地形图多采用六度带高斯投影,1:10000～1:5000的地形图采用三度带高斯投影。我国基本比例尺地形图的分幅与编号需要用到某地所在的1:1000000 地形图(经差6° )的中央子午线经度,故需计算该六度带的带号及中央子午线经度。1.2 投影带带号和中央子午线经度的计算方法 1.2.1 六度带 从格林威治零度经线起,每隔经差6°分为一个投影带,自西向东逆时针分带,全球依次编号为1,2, 3,……60,每带中间的子午线称为中央子午线[1,2]。 东半球从经度0°逆时针回算到东、西经180°,投影带号为1～30。假如知道东半球某地区的平均大地经度L 东,则其投影带带号M 东和中央子午线经度L 6东的计算公式为: M 东=[L 东Π6](取整数商)+1(有余数时);L 6东=(6M 东-3)° (东经)西半球投影带从东、西经180°逆时针回算到0°,投影带号为31～60,假如知道西半球某地区的平均大地经度L 西,则其投影带带号M 西和中央子午线经度L 6西的计算公式为: M 西=[(360°-L 西)Π6](取整数商)+1(有余数时)=[(180°-L 西)Π6](取整数商)+1(有余数时)+30;L 6西={360°-(6M 西-3)°}(西经) 1.2.2 三度带 自东经115°子午线起,每隔经差3°自西向东分带,依次编号为1,2,3,……120[1,2] 。 东半球有60个投影带,编号为1～60,假如知道东半球某地区的平均大地经度L 东,其投影带带号N 东和中央子午线经度L 3东的计算公式为: 收稿日期:2006-07-10 作者简介:韩丽蓉(1967—),女,撒拉族,青海循化人,副教授,硕士。第24卷 第6期2006年12月 青海大学学报(自然科学版)Journal of Qinghai University (Nature Science ) Vol 124No 16Dec 12006 数据结构课程设计报告 图的最短路径算法的实现 班级：计算机112班 姓名：李志龙 指导教师：郑剑 成绩：_______________ 信息工程学院 2013 年1 月11 日 目录 一、题目描述 -------------------------------------------------------------------- 1 1.1题目内容-------------------------------------------------------------------- 1 2.2题目要求-------------------------------------------------------------------- 1 二、设计概要 -------------------------------------------------------------------- 2 2.1程序的主要功能----------------------------------------------------------- 2 2.2数据结构-------------------------------------------------------------------- 2 2.3算法分析-------------------------------------------------------------------- 2 三、设计图示 -------------------------------------------------------------------- 4 四、详细设计 -------------------------------------------------------------------- 5 五、调试分析 -------------------------------------------------------------------- 8 六、运行结果 -------------------------------------------------------------------- 9 七、心得体会 ------------------------------------------------------------------- 11参考资料 ------------------------------------------------------------------------ 12 基本数字图像处理算法的matlab实现 1.数字图像处理的简单介绍 所谓数字图像就是把传统图像的画面分割成为像素的小的离散点，各像素的灰度值也是用离散值来表示的。 数字图像处理是通过计算机对图像进行去除噪声、增强、复原、分割、提取特征等处理的方法和技术。 2.图像的显示与运算 2.1图像的显示 Matlab显示语句 imshow（I,[lowhigh]）%图像正常显示 I为要显示的图像矩阵。,[lowhigh]为指定显示灰度图像的灰度范围。高于high的像素被显示成白色；低于low的像素被显示成黑色；介于high和low之间的像素被按比例拉伸后显示为各种等级的灰色。 subplot(m,n,p) 打开一个有m行n列图像位置的窗口，并将焦点位于第p个位置上。 2.2图像的运算 灰度化将彩色图像转化成为灰度图像的过程成为图像的灰度化处理。彩色图像中的每个像素的颜色有R、G、B三个分量决定，而每个分量有255中值可取，这样一个像素点可以有1600多万（255*255*255）的颜色的变化范围。而灰度图像是R、G、B三个分量相同的一种特殊的彩色图像，其一个像素点的变化范围为255种，所以在数字图像处理种一般先将各种格式的图像转变成灰度图像以使后续的图像的计算量变得少一些。灰度图像的描述与彩色图像一样仍然反映了整幅图像的整体和局部的色度和亮度等级的分布和特征。图像的灰度化处理可用两种方法来实现。 第一种方法使求出每个像素点的R、G、B三个分量的平均值，然后将这个平均值赋予给这个像素的三个分量。 第二种方法是根据YUV的颜色空间中，Y的分量的物理意义是点的亮度，由该值反映亮度等级，根据RGB和YUV颜色空间的变化关系可建立亮度Y与R、G、B三个颜色分量的对应：Y=0.3R+0.59G+0.11B，以这个亮度值表达图像的灰度值。 灰度是灰度级的函数，它表示图象中具有每种灰度级的象素的个数，反映图象中每种灰度出现的频率。 图像增强的目标是改进图片的质量，例如增加对比度，去掉模糊和噪声，修正几何畸变等；图像复原是在假定已知模糊或噪声的模型时，试图估计原图像的一种技术。 Matlab图像格式转换语句 rgb2gray(I) %从RGB图创建灰度图 imhist(I) %画灰度直方图 图像的线性变换 D B=f(D A)=f A*D A+f B Matlab源代码： I1=imread('F:\图片2.jpg'); subplot(2,2,1);imshow(I1);title('原图'); I2=rgb2gray(I1); %灰度化图像 subplot(2,2,2);imshow(I2);title('灰度化后图'); [M,N]=size(I2); subplot(2,2,3) [counts,x]=imhist(I2,60); %画灰度直方图 counts=counts/M/N; stem(x,counts);title('灰度直方图'); g=zeros(M,N);%图像增强 最短路径问题的算法分析及建模案例 最短路径问题的算法分析及建模案例 一.摘要 (3) 二.网络最短路径问题的基础知识 (5) 2.1有向图 (7) 2.2连通性................... 错误！未定义书签。 2.3割集....................... 错误！未定义书签。 2.4最短路问题 (8) 三．最短路径的算法研究.. 错误！未定义书签。 3.1最短路问题的提出 (9) 3.2 Bellman最短路方程错误！未定义书签。 3.3 Bellman-Ford算法的基本思想错误！未定义书签 3.4 Bellman-Ford算法的步骤错误！未定义书签。 3.5实例....................... 错误！未定义书签。 3.6 Bellman-FORD算法的建模应用举例错误！未定义 3.7 Dijkstra算法的基本思想 (9) 3.8 Dijkstra算法的理论依据 (9) 3.9 Dijkstra算法的计算步骤 (9) 3.10 Dijstre算法的建模应用举例 (10) 3.11 两种算法的分析错误！未定义书签。 1.Diklstra算法和Bellman-Ford算法 思想有很大的区别错误！未定义书签。 Bellman-Ford算法在求解过程中，每 次循环都要修改所有顶点的权值，也就 是说源点到各顶点最短路径长度一直 要到Bellman-Ford算法结束才确定下 来。...................... 错误！未定义书签。 2.Diklstra算法和Bellman-Ford算法 的限制.................. 错误！未定义书签。 3.Bellman-Ford算法的另外一种理解错误！未定 4.Bellman-Ford算法的改进错误！未定义书签。 摘要 近年来计算机发展迅猛，图论的研究也得到了很大程度的发展，而最短路径 问题一直是图论中的一个典型问题，它已应用在地理信息科学，计算机科学等 诸多领域。而在交通路网中两个城市之间的最短行车路线就是最短路径问题的 一个典型例子。 由于最短路径问题在各方面广泛应用，以及研究人员对最短路径的深入研究， 使得在最短路径问题中也产生了很多经典的算法。在本课题中我将提出一些最 短路径问题的算法以及各算法之间的比较，最后将这些算法再应用于实际问题 Dijstra 最短路径算法 1课程设计目的 为进一步巩固学习《数据通信与通信网技术》课程。加强对Dijstra最短路径算法的认识，所以需要通过实践巩固基础知识，为使我们取得最现代化的设计技能和研究方法，课程设计训练也就成为了一个重要的教学环节。通过Dijstra 最短路径算法的设计和实现，达到进一步完善对通信网基础及应用课程学习的效果。增加对仿真软件的认识，学会对各种软件的操作和使用方法；加深理解路径算法的概念；初步掌握系统的设计方法，培养独立工作能力。 2设计方案论证 Dijkstra(迪杰斯特拉)算法是典型的单源最短路径算法，用于计算一个节点到其他所有节点的最短路径。主要特点是以起始点为中心向外层层扩展，直到扩展到终点为止。 Dijkstra算法是很有代表性的最短路径算法，在很多专业课程中都作为基本内容有详细的介绍，如数据结构，图论，运筹学等等。注意该算法要求图中不存在负权边。 在日常生活中，我们如果需要常常往返A地区和B地区之间，我们最希望知道的可能是从A地区到B地区间的众多路径中，那一条路径的路途最短。最短路径问题是图论研究中的一个经典算法问题，旨在寻找图（由结点和路径组成的）中两结点之间的最短路径。算法具体的形式包括： （１）确定起点的最短路径问题：即已知起始结点，求最短路径的问题。 （２）确定终点的最短路径问题：与确定起点的问题相反，该问题是已知终结结点，求最短路径的问题。在无向图中该问题与确定起点的问题完全等同，在有向图中该问题等同于把所有路径方向反转的确定起点的问题。 （３）确定起点终点的最短路径问题：即已知起点和终点，求两结点之间的最短路径。 （４）全局最短路径问题：求图中所有的最短路径。 2.1 设计内容 沈阳大学图的算法实现课程设计
最短路径算法—dijkstra总结
最短路径流程图及算法详解
基于matlab的图像去雾算法详细讲解与实现-附matlab实现源代码
前N条最短路径问题的算法及应用
图像拼接算法及实现.doc
第20讲-关键路径与最短路径
地图中最短路径的搜索算法研究综述 (1)
图的算法实现
数据结构与算法第6章图答案
新旧图幅编号
图的最短路径算法的实现
基本数字(精选)图像处理算法的matlab实现
最短路径问题的算法分析及建模案例
Dijstra 最短路径算法
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