必修四1.4.3正切函数的性质与图象

1.4.3正切函数的性质与图象一、教学目标：1、借助单位圆中的正切线，能画出y=tanx 的图象，了解正切函数的周期性；2、引导学生利用正切函数已有的知识研究其性质，然后再根据性质研究正切函数的图象，使数形结合的思想体现的更加全面。

3、借助图象理解正切函数在⎪⎭⎫ ⎝⎛-2,2ππ上的性质（如单调性、周期性、值域、图象与x 轴的交点等），并能解决一些简单问题。

二、教学重点、难点重点：通过引导学生利用正切函数已有的知识研究其性质，然后再根据性质研究正切函数的图象，学会用“三点两线法”画正切函数的简图。

难点：借助单位圆中的正切线，研究正切函数的单调性和值域，并利用正切函数的性质，对正切曲线的特征作出解释。

三、教学方法与教学手段教学方法：“问题发现”和启发探究式教学方法学法指导： 分组合作、互动探究、搭建平台、分散难点教学手段： 计算机、投影仪四、教学过程（一）明确目标，提出问题复习1、正弦函数的图象是通过什么方法作出的？复习2、正、余弦函数的基本性质包括哪些内容？这些性质是怎样得到的？问题1：三角函数包括正、余弦函数和正切函数，你能否根据研究正、余弦函数的图象和性质的经验，以同样的方法进一步研究正切函数的性质与图象?（二）自主学习，解决问题复习3、我们学习了正弦线、余弦线、正切线.你能画出图中的正切线吗？思考1：正切函数是如何定义的? 其定义域是什么？思考2: 正切函数是否为周期函数？思考3：根据相关诱导公式，你能判断正切函数具有奇偶性吗？（三）合作学习，探究问题 思考4：观察下图（课本43页图1.4-8）中的正切线，当角x 在 ⎪⎭⎫ ⎝⎛-2,2ππ内增加时，正切函数值发生什么变化？由此反映出一个什么性质？思考5: 观察下图（课本43页图1.4-8（I ）和（II ））中的正切线，正切函数的值域是什么？（四）引导提升，得出结论 思考1：类比正弦函数图象的作法，可以利用正切线作正切函数在区间(2π-,2π) 的图象，具体应如何操作？思考2：结合正切函数的周期性, 如何画出正切函数在整个定义域内的图象？思考3：正切函数还具有怎样的对称性？思考4：在正切函数的图象上，起关键作用的点或直线有哪几个？如何画出正切函数图象的简图？（五）归纳整理，总结方法则y=Atan(ωx+φ)(ω>0)的周期T πω=． 例1.求下列函数的周期：（1）3tan 5y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ 答：T π=。

正切函数的性质与图像一教材分析：《正切函数的图象和性质》是人教A版高中《数学》必修4第一章第四单元第三节内容，本节课既是对前面正余弦函数图象和性质知识的延展，是对三角函数内容的进一步完善，也为学习后续知识直线的斜率作了铺垫。

一般说来，对函数性质的研究总是先作图象，通过观察图象获得对函数性质的直观认识，然后从代数角度对性质作出严格表述.但对正切函数，教材先根据已有的知识（正切函数定义、诱导公式、正切线等）研究性质，然后再根据性质研究正切函数的图象. 主要是为了给学生提供研究函数问题更多的视角，加强了理性思考的成分，并使数形结合的体现得更加全面. 在此也向学生进一步说明华罗庚先生的“数缺形少直观，形少数难入微”的精妙，借助一切机会向学生渗透数学文化观念，让学生体会数学的美无处不在，数学无处不美。

为了让学生能更加直观、形象地理解正切函数的值域和周期性变化，正切曲线的作图过程，采用《几何画板》自制课件进行演示，以提高了学生的学习兴趣，使之能达到良好的教学效果。

二教学目标（一）知识与技能目标：1.在对正切函数已有认知的基础上，理解正切函数的性质。

2.通过已知的性质，利用正切线，得到正切曲线。

3.根据正切曲线，完善正切函数的性质。

（二）过程与方法目标：在探究正切函数基本性质和图像的过程中，渗透数形结合的思想，形成发现问题、提出问题、解决问题的能力，养成良好的数学学习习惯．（三）情感态度价值观目标在教学中使学生了解问题的来龙去脉；强调解决问题方法的落实以及数形结合思想的渗透；突出语言表达能力、推理论证能力的培养和良好思维习惯的养成．三教学重点利用正切函数已有的知识（如定义、诱导公式、正切线等）研究性质.四教学难点正切函数的单调性和值域五学法与教法学生已基本掌握正切函数的定义、诱导公式等知识；基本掌握了从代数角度研究函数单调性、奇偶性、周期性的方法.但是由于该课涉及到的知识内容较多，特别是涉及到正切线时，学生会感到困难.我班学生有扎实的知识基础，学习的主动性和积极性也较高，已基本形成自主学习的习惯和能力.有合作学习的经验和氛围.因此学生学法为合作交流，教法为探究与发现式。

《正切函数的性质与图象》的教学设计一.教材分析1.地位与作用《正切函数的性质与图象》是高中数学必修4第一章第四节内容(人教版)。

在学习了正弦函数、余弦函数的图象与性质之后，研究正切函数的图象与性质过程不仅是对正、余弦曲线研讨方法的一种再现，更是一种提升。

2.教材处理教材采用探究的方法引导学生注意正切函数与正弦函数在研究方法上类似，我采用以提问、设计问题探究的方式，让学生回忆如何有前面学习的知识得到正切函数的性质。

数的研究缺乏形象、直观的特点，进而引导学生由正弦线得到正切曲线的作图过程与方法，设计一系列问题一步步引导学生注意画正切曲线的细节。

我把空间、时间留给学生，让他们自主探究，不仅发挥了学生的能动性，而且增强了动脑、动手绘图的能力。

二．学情分析通过前面正切线，诱导公式的学习，学生已经能解决部分问题，尤其对正弦函数图象与性质的研究，让学生有了思考的方向，且具备了一定的绘图技能，类比推理画出图象，并通过观察图象，总结性质的能力。

但在画正切函数图象时，还有许多需要注意的地方，比如定义域，函数区间等问题。

这又提升了学生分析问题的能力及严密认真的态度。

三．教学目标确定正切函数是继正、余弦之后的又一个三角函数，三者在研究方法与研究内容上类似，但某些性质有所不同，这就养成学生在画图时必须全面考虑问题。

本着新课程标准的理念，养成学生对知识的生成过程的体验，学生亲自体会正切曲线的获得过程，这样学生的动手实践能力有了提高，又体会到学习数学的乐趣，根据教学要求及学生现有的认知水平，现制定以下教学目标：1.知识目标：1).掌握正切函数的性质.2).能借助单位圆中的正切线画出正切函数的图像.3).能够利用正切函数的图像与性质解决问题.2. 过程与方法：1）通过类比，联想正弦函数图象的作法作正切函数的图象.2）能学以致用，结合图象分析得到正切函数的性质,并能解决问题。

3.情感态度与价值观：通过一系列问题的设置，培养学生用联系发展的观点思考问题，充分体验数形结合的思想优势，激发学生学习的积极性；培养学生分析问题、解决问题的能力；让学生体验自身探索成功的喜悦感，培养学生学好数学的自信心. 4.重点与难点重点：正切函数的图象及其主要性质。

1.4.3正切函数的性质与图象一、教材分析《正切函数的图象和性质》是人教A版高中《数学》必修4第一章第四单元第三节内容，本节课既是对前面正余弦函数图象和性质知识的延展、对三角函数内容的进一步完善，也为学习后续知识直线的斜率作了铺垫．一般来说，对函数性质的研究总是先作图象，通过观察图象获得对函数性质的直观认识，然后从代数角度对性质作出严格表述．但对正切函数，教材采用了先根据已有的知识（正切函数定义、诱导公式、正切线等）研究性质，然后再根据性质研究正切函数的图象．主要是为了给学生提供研究函数问题更多的视角，加强了理性思考的成分，并使数形结合的思想体现得更加全面．二、教学目标（一）知识与技能1．理解并掌握正切函数的定义域、周期性、奇偶性、单调性、值域等性质；2．能利用正切线画出正切函数的准确图象，利用“三点两线”画出正切函数的简图，掌握正切函数图象结构、特征；3．能根据正切函数图象观察性质，根据性质理解图象，用数形结合的思想理解和解决一些简单的三角问题．（二）过程与方法1．通过复习回顾正、余弦函数图象与性质的探究过程，引导学生将本节课要学习的内容与之建立起联系，培养学生的“类比”思维能力；2．利用诱导公式、正切线等探究正切函数的性质；3．经历由正切函数的性质推测图象，再由图象理解性质的过程，渗透了“由数到形和由形到数”的“数形结合”的思想，从而培养学生自觉运用“数形结合”的思想从不同角度解决问题的能力；4．在正切函数的图象分析中，让学生体会、感知无限逼近(极限)的思想；5．通过讲解例题，总结方法，巩固练习等，学会用数形结合的思想理解和处理问题．（三）情感态度与价值观在得到正切函数图象的过程中，学会一类周期性函数的研究方式，通过自己动手得到图象让学生亲身经历数学研究的过程，体验探索的乐趣．通过数形结合，培养学生勇于探索、勤于思考的习惯，渗透由抽象到具体的思想方法，让学生理解动与静的唯物辨证观，进一步培养学生合作学习和数学交流的能力，增强对数学的应用意识，同时，正切曲线的中心对称性让学生感受到数学的美学魅力，增强学生的学习兴趣．三、学情分析学生在知识上已经掌握了三角函数的定义，诱导公式，三角函数线，正弦、余弦函数图象及五点作图的方法；在能力上已经具备了一定的形象思维与抽象思维能力；在思想方法上已经具有一定的数形结合、类比、特殊到一般等数学思想．四、教学重难点教学重点：正切函数的性质，用单位圆中的正切线作正切函数图象．教学难点：1．利用单位圆中的正切线探究正切函数的单调性；2．利用正切线及正切函数的奇偶性、单调性作⎪⎭⎫ ⎝⎛-∈=2,2,tan ππx x y 图象； 3．正切函数性质的简单应用．五、教学用具直尺，三角板，圆规，多媒体设备（PPT ）．六、教学过程（一）复习回顾（0.5分钟）回忆：在前面已经学习了哪几种三角函数的图象和性质?研究了它们的哪些性质?学生自由发言，互相补充，之后教师作口头梳理．设计意图：复习巩固已学知识，为后面教学作铺垫．（二）问题引入（4.5分钟）思考1：我们是先研究的正余弦函数的图象还是性质?能否采用同样的方法研究正切函数的图象与性质呢?学生口答后，教师指出：本节课我们将不从图象研究性质，而是从一个“全新”的角度来研究正切函数的性质．(给出课题，同时板书课题)设计意图：主要是为了给学生提供研究函数问题更多的视角，加强了理性思考的成分，并使数形结合的思想体现得更加全面，同时培养学生的类比思维能力，引出这节课的课题和明确研究方向．思考2：我们学过有关正切函数的哪些性质？学生简单的口答后，提问学生回顾正切函数的定义、诱导公式、正切线等，教师在PPT 上给出单位圆，引导学生进行回顾，同时板书正切函数的定义域并强调用集合或区间表示．设计意图：为后面研究正切函数的性质、画图象作铺垫．思考3：要研究一个函数的性质，我们一般从哪些方面入手？学生自由发言，互相补充，之后教师给出下一个问题．思考4：在这众多的性质中，我们先研究哪个性质更好呢？教材中是先研究的哪个性质？（周期性）学生自由发言，教师稍作等候后对给出不同回答的同学进行提问，并做补充解释，让学生明白先研究周期性的原因：如果一个函数具有周期性，那么当研究清楚该函数在一个周期内的性质之后，就可以推广到整个定义域上，可以降低探究难度．在本节中，对探究单调性和图象等有所帮助．．设计意图：周期性是学生刚刚接触到的一个函数性质，相对其他性质还比较陌生，这样设计能让学生进一步体会到周期性在函数性质研究中的地位与作用．（三）探究新知1．性质（共12分钟）（1）周期性（3分钟）引导性提问：正切函数有没有周期性？→周期是多少？→如何得到的？（tanx π)tan(x =+）→正切函数的周期是π．学生自由口答，教师可视情况进行提问，引导学生结合周期性的定义对正切函数的周期是π做一强调，指出与正余弦函数周期的不同，并板书性质．（2）奇偶性（3分钟）引导性提问：正切函数有没有奇偶性？→是奇函数还是偶函数，为什么？→I x x x ∈∀=-，tan )tan(，→定义域关于原点对称→正切函数是奇函数．学生自由口答，若学生没提到检验定义域，则教师提醒学生要先检验定义域是否关于原点对称，并师生共同完成正切函数定义域的检验，为直观起见，可借助数轴．设计意图：强调判断奇偶性要先看定义域，同时先探究奇偶性对探究单调性有所帮助． （3）单调性（5分钟）思考5：既然正切函数的周期是π，那么我们只需要研究一个长度为多少的区间上的单调性？选择哪个区间好呢？ 学生思考后自由回答，若回答不准确，则教师引导学生选择包含原点的区间⎪⎭⎫ ⎝⎛22-ππ，，因为原点附近的角是我们常见的角．思考6：这个区间能否根据我们已经得到的某一条性质进一步缩小呢？学生自由口答，教师较有指向性的提问，能使学生很容易发现“由于正切函数是奇函数，只需要探究它在⎪⎭⎫ ⎝⎛20π，上的单调性”． 思考7：如何探究正切函数在⎪⎭⎫ ⎝⎛20π，上的单调性？已掌握的有关正切函数的知识中，可以用来比较正切值大小是什么？给学生充足的时间相互探讨，由于已学过的有关正切函数的知识只有“定义、诱导公式和正切线”，所以学生在简单的讨论交流之后应该很容易想到是正切线．教师引导学生借助正切线探究正切函数在单调性⎪⎭⎫ ⎝⎛20π，上的单调性，再根据奇偶性将结论推广到⎪⎭⎫ ⎝⎛22-ππ，，再根据周期性将结论推广到整个定义域．设计意图：正切函数单调性的探究是本节课的难点，在本节课中利用已经得到的奇偶性和周期性，将需要研究的单调区间一步步缩小，之后再利用奇偶性和周期性，还原出正切函数在定义域上的单调情况，让学生体会到函数性质之间的联系，培养学生“从特殊到一般”“从局部到整体”的数学思维．另外，当明确了单调性之后，值域也能很容易得到．（4）值域（1分钟）正切函数在⎪⎭⎫ ⎝⎛-2,2ππ上的值域是R→正切函数的值域是R→无最大值和最小值． 2．图象（共11分钟）猜想：根据我们已经探究出的正切函数的性质，请同学们先猜想、想象一下正切函数的图象会如何呢？学生想象，稍后教师提问一名学生，让他口头表述自己想象的正切函数的图象，之后教师引导学生画图验证猜想．设计意图：猜想图象可使学生对性质进行整合，培养学生的想象能力．思考8：利用已知的性质，如何画函数的图象？可以先画怎样的一个区间内的图象？ 教师较有提示性的提问，学生很容易做出回答：由于正切函数的是周期为，所以只需要画出一个周期内的图象，然后通过平移就可以得到在整个定义域内的图象．由于在探究单调性时就选取的⎪⎭⎫ ⎝⎛-2,2ππ，所以学生也能很容易想到先画出⎪⎭⎫ ⎝⎛-2,2ππ上的函数图象． 类比正弦函数图象的作法，利用单位圆中的正切线绘制()Z k k x x y ∈+≠=,2,tan ππ图象．（1）教师借助PPT ，引导学生按照下列步骤作图：（5分钟）①作直角坐标系，并在直角坐标系轴左侧作单位圆； ②选取特殊角：34606-4-3-ππππππ，，，，，，，分别在单位圆中作出正切线，以6π为例进行详细的步骤说明；③描点；（纵坐标是相应的正切线）④连线：当x 趋近于22-ππ或时，图象的走势如何？思考之后学生自由回答，教师引导学生理解22-ππ==x x 和是正切函数的两条渐进线．思考9：有时不需要画出正切函数精确的图象，只需画出简图，只需确定哪些点或线就能画出函数⎪⎭⎫ ⎝⎛∈=22-,tan ππ，x x y 的简图？ 学生可看出有三个点很关键（0，0），），（14--π，），（14π，还有两条渐近线：2π-=x ，2π=x ．即“三点两线”．学生回答之后，教师板演画出草图．思考10：如何得到函数在⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛2322-23-ππππ，，，上的图象？整个定义域上的图象呢？ 学生自由回答，根据正切函数的周期性，我们可以把上述图象左右平移，得到正切函数()Z k k x x y ∈+≠=,2,tan ππ的图象，称为“正切曲线”．教师板演画出⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛2322-23-ππππ，，，上的草图．这时，学生可以拿出先前由性质推测的图象进行对比，自己找出问题，加以体会．设计意图：培养学生运用类比的方法解决问题的能力，形成对正切函数图象的感知．（2）观察图象，验证、丰富性质（4分钟）从图中可以看出，正切曲线是被相互平行的直线()Z k k x ∈+=,2ππ所隔开的无穷多支曲线组成的．教师引导学生进一步思考，这点反应了它的哪一性质——定义域；从y 轴方向看，上下无限延伸，得到它的哪一性质——值域为R ；图象关于原点中心对称，得到它的哪一性质——奇函数；每隔π个单位，对应的函数值相等，得到它的哪一性质——周期π；在每个区间图象都是上升趋势，得到它的哪一性质——单调性，单调增区间是Z k k k ∈⎪⎭⎫ ⎝⎛++,22-ππππ，，没有减区间． 设计意图：形与数的结合，更能加深对性质的认识，对比正切函数的性质和图象，分析各个性质在图象上的反映，得出：函数的性质有利于画函数的图象，函数的图象是其性质的直观反应，培养学生的识图能力，利用正切函数的图象进一步加深对性质的理解，体会“数形结合”的思想，同时，由渐近线感知无限逼近的思想．追问：在整个定义域上是增函数吗？注意：只能说在某个区间单调递增，不能说在整个定义域单调递增．设计意图：避免一些错误认识，进一步加深对正切函数单调性的理解．它的图象是关于原点对称的，得到是哪一性质——奇函数．追问：认真观察图象还有其它的对称中心吗？有没有对称轴？ 通过图象我们还能发现是中心对称，对称中心是Z k k ∈⎪⎭⎫ ⎝⎛，，02π，无对称轴． 强调：正切函数的对称中心是图象和渐近线与x 轴的交点．3．例题分析（8分钟）例1．求函数y ＝tan （2πx ＋3π）的定义域、周期和单调区间． 教师板演讲解，说明可将2πx ＋3π作为一个整体来处理，而不必设元，并写出解题过程，以规范学生的解题步骤． 设计意图：巩固正切函数的定义域、周期性和单调性，渗透换元的思想．例2．比较大小()︒167tan 1︒173tan ()⎪⎭⎫ ⎝⎛-411tan 2π 513tan π 学生思考后，举手发言，说明理由．教师提醒学生注意利用诱导公式将角度转化为同一单调区间后才能进行比较，并结合正切函数的图象加以说明．设计意图：深化对正切函数的单调性的理解和转化的思想．练习：（5分钟）1．观察正切函数的图象，写出使不等式3tan ≥x 成立的x 的集合．2．求函数x y 3tan =的定义域、值域、周期和单调区间．（学生板演）（四）小结1．正切函数的性质与图象；2．性质有助于更有效的作图，图象有助于更直观的研究性质；3．数形结合的思想方法；设计说明：从知识，方法，思想三个方面对本节课进行总结．（五）布置作业习题1．4，A组，8，9题，B组2题：其他题完成在书上．七、板书设计。

第一章 三角函数1.4.3 正切函数的性质与图象一、正切函数的性质 1．周期性由诱导公式可知，πtan πtan ,π,2()x x x x k k +=∈≠+∈R Z ,，因此 是正切函数的一个周期. 一般地，函数()(tan 0)y A x k A ωϕω=++≠的最小正周期π||T ω=.学科=网2．奇偶性正切函数的定义域为π{|,π,}2x x x k k ∈≠+∈R Z ,关于原点对称，由于()()()()sin tan cos x f x x x --=-=- ()sin tan cos xx f x x-==-=-，因此正切函数是 . 3．单调性和值域单位圆中的正切线如下图所示.利用单位圆中的正切线研究正切函数的单调性和值域，可得下表：角xππ022-→→ π3ππ22→→正切线AT 0-∞→→+∞ 0-∞→→+∞tan x增函数 增函数由上表可知正切函数在ππ(,)22-,π3π(,)22上均为增函数，由周期性可知正切函数的增区间为π(π,2k -+ ππ)()2k k +∈Z .此外由其变化趋势可知正切函数的值域为(,)-∞+∞或R ，因此正切函数 最值. 二、正切函数的图象利用正切线作出函数ππtan ,(,)22y x x =∈-的图象（如图）. 作法如下：(1)作直角坐标系，并在y 轴左侧作单位圆.(2)把单位圆右半圆分成8等份，分别在单位圆中作出正切线. (3)描点.（横坐标是一个周期的8等分点，纵坐标是相应的正切线） (4)连线.根据正切函数的周期性，把上述图象向左、右扩展，就可以得到正切函数tan ,y x x =∈R ，且ππ(2x k k ≠+∈Z)的图象，我们把它叫做正切曲线(如图).正切曲线是被相互平行的直线ππ()2x k k =+∈Z 所隔开的无穷多支曲线组成的.K 知识参考答案：一、1．π 2．奇函数 3．没有K —重点 正切函数的性质与图象K —难点 正切函数的性质的应用，正切函数的图象的应用 K —易错不能正确利用正切函数的图象与性质解题1．正切函数的性质熟练掌握正切函数tan ,y x x =∈R 的性质： (1)定义域：π{|,π,}2x x x k k ∈≠+∈R Z ； (2)值域：R ；学-科网 (3)最小正周期：π； (4)奇偶性：奇函数； (5)单调性：在每一个开区间π(π,2k -+ππ)()2k k +∈Z 内均为增函数. 【例1】下列函数中，最小正周期为π2的是 A ．y ＝sin(2x －π3) B ．y ＝tan(2x －π3) C ．y ＝cos(2x ＋π6)D ．y ＝tan(4x ＋π6)【答案】B【解析】函数y ＝tan(2x －π3)的最小正周期T ＝π2，故选B ．【例2】求函数πtan(3)3y x =-的定义域、值域，并判断它的奇偶性和单调性.【解析】由π33x -ππ2k ≠+得π5π318k x ≠+(k ∈Z )， 所以所求函数的定义域为π5π{|,318k x x x ∈≠+R 且，k ∈Z }； 值域为R ；函数πtan(3)3y x =-的定义域不关于原点对称，因此该函数既不是奇函数又不是偶函数；正切函数tan y x =在区间π(π,2k -+ππ)()2k k +∈Z 上为增函数， 因此令πππ323k x -+<-ππ2k <+，解得ππ183k x -+<5ππ183k <+()k ∈Z , 即函数πtan(3)3y x =-的单调递增区间为ππ5ππ(,)()183183k k k -++∈Z .【易错启示】正切函数是奇函数，但是函数()tan y x ωϕ=+一般不具有奇偶性， 需要先求出定义域，再进行判断.【名师点睛】（1）正切函数tan y x =的定义域为π{|,π,}2x x x k k ∈≠+∈R Z ，这是解决正切函数相关问题首先要关注的地方.（2）求函数(n )ta y A x ωϕ=+的单调区间时，将x ωϕ+视为整体，代入函数tan y x =的单调区间即可，注意,A ω的符号对单调区间的影响. 2．正切函数的性质的应用（1）利用正切函数的单调性比较两个正切值的大小，实际上是将两个角利用函数的周期性或诱导公式放在一个单调区间内比较大小.（2）三角函数与二次函数的综合问题，一般是研究函数的值域或最值，求解方法是通过换元或整体代换将问题转化为二次函数型的函数值域问题，对于新引入的元或整体，要注意其范围的变化. 【例3】比较下列各组数的大小： （1）13πtan4与17πtan 5； （2）tan1,tan 2,tan 3,tan 4.【名师点睛】（1）比较三角函数值的大小，主要利用函数单调性及单位圆，有时可以利用引进中间量等方法．（2）有关正切函数值大小的比较，一般将角化到同一单调区间内，再利用函数的单调性处理． 【例4】求函数y ＝－tan 2x ＋10tan x －1，x ∈[π4，π3]的值域．【解析】由x ∈[π4，π3]，得tan x ∈[1，3]，令tan x ＝t ，则t ∈[1，3]．∴y ＝－tan 2x ＋10tan x －1＝－t 2＋10t －1＝－(t －5)2＋24. 由于1≤t ≤3， ∴8≤y ≤103－4，故函数的值域是[8,103－4]．【名师点睛】利用换元法求解问题时，往往容易忽视元的范围的变化，导致错解.如该题，如果不注意元的取值范围的限制，直接求解二次函数的值域，显然就会扩大所求函数的值域而得到错解. 3．正切函数的图象及其应用 （1）tan y x =的周期性：函数sin y x =及cos y x =的周期是其对应函数sin ,cos y x y x ==周期的一半，而函数tan y x =的图象是把tan y x =在x 轴下方的图象翻折到x 轴上方，但其周期与tan y x =的周期相等，均为π. （2）解三角不等式的方法一般有两种：学-科网一是利用三角函数线，借助于单位圆在直角坐标系中找出角的区域，再求出不等式的解集；二是利用三角函数图象，先在一个周期内求出x 的范围，再在整个定义域上求出不等式的解集.利用正切函数的图象求角的范围时，主要是利用其单调性.这是数形结合思想方法的一个具体应用. 【例5】作出函数y ＝|tan x |的图象，并根据图象求其最小正周期和单调区间． 【答案】B【解析】y ＝|tan x |＝⎩⎨⎧tan x ，x ∈⎣⎡⎭⎫k π，k π＋π2k ∈Z －tan x ，x ∈⎝⎛⎦⎤k π－π2，k πk ∈Z ，其图象如图所示．由图象可知，函数y ＝|tan x |的最小正周期T ＝π，单调增区间的⎣⎡⎭⎫k π，k π＋π2(k ∈Z )；单调减区间为⎝⎛⎦⎤k π－π2，k π(k ∈Z )． 【名师点睛】要作出函数y ＝|tan x |的图象，可先作出y ＝tan x 的图象，然后将其在x 轴上方的图象保留，而将其在x 轴下方的图象翻到上方(即作出其关于x 轴对称的图象)，就可得到y ＝|tan x |的图象． 【例6】求下列函数的定义域： （1）函数y ＝tan x ＋1＋lg(1－tan x )；（2）函数y ＝tan(sin x )．（2）∵对任意x ∈R ，－1≤sin x ≤1， ∴函数y ＝tan(sin x )总有意义， 故函数y ＝tan(sin x )的定义域为R . 4．正确利用函数性质求解【例7】若函数y ＝tan(2x ＋θ)的图象的一个对称中心为(π3，0)，且－π2<θ<π2，则θ的值是________． 【错解】因为函数y ＝tan x 的图象的对称中心为(k π，0)，其中k ∈Z ，所以2x ＋θ＝k π，其中x ＝π3.所以θ＝k π－2π3，k ∈Z .由于－π2<θ<π2，∴k ＝1时，θ＝π－2π3＝π3.【错因分析】错解主要是误认为正切函数图象的对称中心的坐标是(k π，0)(其中k ∈Z )，但由正切函数的图象发现：点(k π＋π2，0)(其中k ∈Z )也是正切曲线的对称中心，因此正切函数图象的对称中心的坐标是(k π2，0)(其中k ∈Z )． 【答案】－π6或π3.【正解】易知函数y ＝tan x 的图象的对称中心为(k π2，0)，其中k ∈Z ，所以2x ＋θ＝k π2，其中x ＝π3，即θ＝k π2－2π3，k ∈Z .因为－π2<θ<π2，所以当k ＝1时，θ＝－π6；当k ＝2时，θ＝π3.即θ＝－π6或π3.1．函数y =tan x 在其定义域上的奇偶性是 A ．奇函数 B ．偶函数C ．既奇且偶的函数D ．非奇非偶的函数2．函数y =tan （π2–x ）（ππ044x x ⎡⎤∈-≠⎢⎥⎣⎦，且）的值域为 A ．[–1，1] B ．[–1，+∞）C ．（–∞，1）D ．（–∞，–1]∪[1，+∞）3．函数πtan 24y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的定义域是A ．πππ3π2828k k k ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭Z ，，B ．π3πππ44k k k ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭Z ，，C ．ππππ2424k k k ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭Z ，，D ．π5πππ44k k k ⎛⎫++∈ ⎪⎝⎭Z ，，4．函数t =tan （3x +π3）的图象的对称中心不可能是 A ．（–π9，0） B ．（π18，0）C ．π018⎛⎫- ⎪⎝⎭，D ．5π018⎛⎫- ⎪⎝⎭， 5．函数πtan 4y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的单调递增区间为A ．()ππππ22k k k ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭Z ，B ．（k π，k π+π）（k ∈Z ）C ．()3ππππ44k k k ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭Z ，D ．()π3πππ44k k k ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭Z ，6．下列关于函数y =tan （x +π3）的说法正确的是 A ．在区间（–π6，5π6）上单调递增 B ．最小正周期是π C ．图象关于点（π4，0）成中心对称 D ．图象关于直线x =π6成轴对称 7．函数f （x ）=tan x 在ππ34⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，上的最小值为___________．8．已知ππ2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，且1+tan α≥0，则角α的取值范围是___________．9．函数f （x ）=5tan （3x +π4）+2的最小正周期T =___________． 10．函数y =3tan （2x +π3）的最小正周期为___________． 11．观察正切曲线，满足条件tan x >1的x 的取值范围是___________． 12．求函数y =tan （π–23x ）的定义域、单调区间和对称中心．学-科网13．根据三角函数图象，写出满足下列条件的x 的取值范围．（1）－32<cos x <0；（2）3tan x －3≥0.14．下列各式中正确的是A ．tan47π>tan 37π B ．tan （–134π）<tan （–175π） C ．tan4>tan3D ．tan281°>tan665°15．直线y =–1与y =tan x 的图象的相邻两个交点的距离是A ．π2B ．πC ．2πD ．与a 的值的大小有关16．函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫12x －π3在一个周期内的大致图象是17．已知函数y ＝tan(2x ＋φ)的图象过点(π12，0)，则φ可以是A ．－π6B ．π6C ．－π12D ．π1218．函数y =tan （sin x ）的值域为A ．[–π4，π4] B ．[–22，22]C ．[–tan1，tan1]D ．以上均不对19．判断函数f (x )＝lg tan x ＋1tan x －1的奇偶性．20．设函数()πtan 23x f x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭．（1）求函数f （x ）的定义域和最小正周期； （2）求f （x ）的单调增区间； （3）求不等式–1≤f （x ）≤3的解集．21．求函数y =tan （3x –π3）的定义域、值域，并指出它的周期性、奇偶性、单调性．22．若函数f (x )＝tan 2x －a tan x (|x |≤π4)的最小值为－6，求实数a 的值．23．已知函数()π3tan 64x f x ⎛⎫-⎪⎝⎭＝. （1）求f (x )的最小正周期和单调递减区间； （2）试比较()πf 与3π2f ⎛⎫⎪⎝⎭的大小．1 2 3 4 5 6 14 15 16 17 18 ADACDBCBAAC1．【答案】A【解析】正切函数y =tan x 的定义域是（–π2+k π，π2+k π）k ∈Z ，定义域关于原点对称，且对于定义域内的任意x ，满足f （–x ）=tan （–x ）=–tan x =–f （x ），所以函数y =tan x 在其定义域上是奇函数．故选A ．3．【答案】A【解析】πtan 24y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭=–tan （2x –π4），要使原函数有意义，则ππππ2π242k x k -+<-<+，解得ππ3ππ8282k k x -+<<+，k ∈Z ，∴函数πtan 24y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的定义域是πππ3π2828k k k ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭Z ，，，故选A ． 4．【答案】C【解析】因为正切函数y =tan x 图象的对称中心是（π2k ，0），k ∈Z ．令3x +ππ32k =，解得x =ππ–69k ，k ∈Z ；所以函数y =tan （3x +π3）的图象的对称中心为（ππ–69k ，0），k ∈Z ；当k =0、1、–1时，得ππ–69k =–π9、π18、–5π18，所以A 、B 、D 选项是函数图象的对称中心．故选C ． 5．【答案】D【解析】对于函数πtan 4y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，令k π–π2<x –π4<k π+π2，求得k π–π4<x <k π+3π4，可得函数的增区间为（k π–π4，k π+3π4），故选D ．7．【答案】3-【解析】由于函数f （x ）=tan x 在（–π2，π2）上单调递增，故函数f （x ）=tan x 在ππ34⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，上单调递增，故当x =–π3时，函数f （x ）取得最小值为–3，故答案为：3-． 8．【答案】[3π4，π） 【解析】1+tan α≥0，∴tan α≥–1，解得–π4+k π≤α<π2+k π，k ∈Z ．又α∈（π2，π），∴3π4≤α<π，即α的取值范围是[3π4，π）．故答案为：[3π4，π）． 9．【答案】π3【解析】根据正切函数的图象与性质得：函数f （x ）=5tan （3x +π4）+2的最小正周期为：T =ππ3ω=．故答案为：π3． 10．【答案】2π【解析】函数y =3tan （2x +π3）的最小正周期为：T =ππ12ω==2π．故答案为：2π． 11．【答案】（ππ4k +，ππ2k +），k ∈Z 【解析】观察正切曲线：当tan x =1时，x =ππ4k +，k ∈Z ，由tan x >1，可得ππππ42k x k +<<+．故答案为：（ππ4k +，ππ2k +），k ∈Z ．12．【解析】对于函数y =tan （π–23x ）， 令12x –π3≠k π+π2，k ∈Z ， 解得x ≠2k π+5π3，k ∈Z ，故函数y 的定义域为{x |x ≠2k π+5π3，k ∈Z }． 令k π–ππ–223x <<k π+π2，k ∈Z ， 解得2k π–π3<x <2k π+5π3，k ∈Z ， 故函数y 的单调增区间为（2k π–π3，2k π+5π3），k ∈Z ；无单调减区间． 令ππ–232x k =，k ∈Z ， 求得x =k π+2π3，k ∈Z ， 故函数y 图象的对称中心为（k π+2π3，0），k ∈Z ． 13．【解析】（1）如图所示．由图象可知，满足不等式的x 的取值范围为(2k π＋π2，2k π＋5π6)∪(2k π＋7π6，2k π＋3π2)，k ∈Z .（2）如图所示．由3tan x －3≥0，得tan x ≥33. 由图象可知，满足不等式的x 的取值范围为[π6＋k π，π2＋k π)，k ∈Z .14．【答案】C【解析】函数y =tan x 在（–π2，π2）上单调递增．A ，tan 47π=tan （–37π），∴tan 47π<tan 37π，故A 错误．B ，tan （–134π）=tan （–π4），tan （–175π）=tan （–2π5），则tan （–134π）>tan （–175π），故B 错误．C ，tan4=tan （4–π），tan3=tan （3–π），则tan （4–π）>tan （3–π），即tan4>tan3，故C 正确．D ，tan281°=tan （–79°），tan665°=tan （–55°），则tan281°<tan665°，故D 错误，故选C ． 15．【答案】B【解析】直线y =–1与y =tan x 的图象的相邻两个交点的距离正好等于y =tan x 的一个周期，即直线y =–1与y =tan x 的图象的相邻两个交点的距离为π，故选B ．学-科网 16．【答案】A【解析】∵函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫12x －π3的最小正周期为2π，因此可排除B 、D ，选项C 中，当x ＝π3时，y ≠0，因此排除C ，故选A ． 17．【答案】A【解析】解法一：验证：当φ＝－π6时，2x ＋φ＝2×π12－π6＝π6－π6＝0，∴tan(2x ＋φ)＝0，满足题意，故φ可以是－π6.解法二：由题意，得2×π12＋φ＝k π(k ∈Z )，∴φ＝k π－π6(k ∈Z )，令k ＝0时，φ＝－π6，故φ可以是－π6.18．【答案】C【解析】∵–1≤sin x ≤1，且函数y =tan t 在t ∈[–1，1]上是单调增函数，∴tan （–1）≤tan t ≤tan1，即–tan1≤tan （sin x ）≤tan1，∴函数y =tan （sin x ）的值域为[–tan1，tan1]．故选C ． 19．【解析】由tan x ＋1tan x －1>0，得tan x >1或tan x <－1.故函数f (x )的定义域为(k π－π2，k π－π4)∪(k π＋π4，k π＋π2)(k ∈Z )．又f (－x )＋f (x )＝tan()1lg tan()1x x -+--＋lg tan x ＋1tan x －1＝tan 1tan 1lg()tan 1tan 1x x x x -+⋅+-＝0，即f (－x )＝－f (x )．∴f (x )为奇函数．（3）由题意，k π–π4≤π23x -≤k π+π3， 可得不等式–1≤f （x ）≤3的解集π4π{|2π2π}63x k x k k +≤≤+∈Z ，． 21．【解析】由ππ3π32x k -≠+，解得π5π318k x ≠+，k ∈Z ； ∴所求的定义域为π5π{|}318k x x x k ∈≠+∈R Z ，且，； 函数的值域为R ， 周期为T =ππ3ω=， f （x ）的定义域不关于原点对称，∴f （x ）是非奇非偶的函数； 令–π2+k π<3x –ππ32<+k π，k ∈Z ， 解得–π18+π3k <x <5π18+π3k ，k ∈Z ， ∴函数y 在区间()πππ5π318318k k k ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭Z ，上是增函数．③若a2≥1，即a ≥2时，二次函数在[－1,1]上单调递减，∴y min ＝1－a ＝－6， ∴a ＝7，综上所述，a ＝－7或7. 23．【解析】（1）∵()ππ3tan()3tan()6446x x f x =-=--， ∴函数的最小正周期为4πT =． 由πππππ,2462x k k k -<-<+∈Z ，得4π8π4π4π,33k x k k -<<+∈Z ， ∴函数()π3tan 64x f x ⎛⎫-⎪⎝⎭＝的单调增区间为4π8π4π,4π,33k k k ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭Z ，∴函数()π3tan 64x f x ⎛⎫-⎪⎝⎭＝的单调减区间为4π8π4π,4π,33k k k ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭Z ，（2）()πππππ3tan 3tan 3tan 641212f ⎛⎫⎛⎫=-=-=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，3ππ3π5π5π3tan 3tan 3tan 2682424f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-=-⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭． ∵π5ππ012242<<<， ∴π5πtan tan1224<，∴π5π3tan3tan 1224->-，即()3ππ2f f ⎛⎫> ⎪⎝⎭．【思路分析】（1）将函数化为()π3tan()46x f x =--，然后根据正切函数的周期和单调性求解． （2）由题意可得()π3π5ππ3tan,3tan 12224f f ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，根据函数tan y x =在区间π0,2⎛⎫⎪⎝⎭上的单调性可得π5πtantan 1224<，从而可得()3ππ2f f ⎛⎫> ⎪⎝⎭．【名师点睛】解决函数()tan()f x A x ωϕ=+有关问题的思路：（1）采用整体代换的解题方法，即把x ωϕ+看作一个整体，然后根据正切函数的有关性质求解． （2）解题时要注意参数,A ω的符号对解题结果的影响，特别是解决与单调性有关的问题时一定要注意．。

1.4.3 正切函数的性质与图象整体设计教学分析本节课的背景是:这之前我们已经用了三节课的时间学习了正弦函数和余弦函数的性质.函数的研究具有其本身固有的特征和特有的研究方式.一般来说,对函数性质的研究总是先作图象,通过观察图象获得对函数性质的直观认识,然后再从代数的角度对性质作出严格表述.但对正切函数,教科书换了一个新的角度,采取了先根据已有的知识(如正切函数的定义、诱导公式、正切线等)研究性质,然后再根据性质研究正切函数的图象.这样处理,主要是为了给学生提供研究数学问题更多的视角,在性质的指导下可以更加有效地作图、研究图象,加强了理性思考的成分,并使数形结合的思想体现得更加全面.教师要在学生探究活动过程中引导学生体会这种解决问题的方法.通过多媒体教学,让学生通过对图象的动态观察,对知识点的理解更加直观、形象.以提高学生的学习兴趣,提高课题教学质量.从学生的实际情况为教学出发点,通过各种数学思想的渗透,合理运用各种教学课件,逐步培养学生养成学会通过对图象的观察来整理相应的知识点的能力,学会运用数学思想解决实际问题的能力.这样既加强了类比这一重要数学思想的培养,也有利于学生综合运用能力的提高,有利于学生把新旧知识前后联系,融会贯通,提高教学效果.由于学生已经有了研究正弦函数、余弦函数的图象与性质的经验,这种经验完全可以迁移到对正切函数性质的研究中,因此,我们可以通过“探究”提出,引导学生根据前面的经验研究正切函数的性质,让学生深刻领悟这种迁移与类比的学习方法.三维目标1.通过对正切函数的性质的研究,注重培养学生类比思想的养成,以及培养学生综合运用新旧知识的能力.学会通过对图象的观察来整理相应的知识点,学会运用数学思想解决实际问题的能力.2.在学习了正弦函数、余弦函数的图象与性质的基础上,运用类比的方法,学习正切函数的图象与性质,从而培养学生的类比思维能力.3.通过正切函数图象的教学,培养学生欣赏(中心)对称美的能力,激发学生热爱科学、努力学好数学的信心.重点难点教学重点:正切函数的性质与图象的简单应用.教学难点:正切函数性质的深刻理解及其简单应用.课时安排1课时教学过程导入新课思路1.(直接导入)常见的三角函数还有正切函数,前面我们研究了正、余弦函数的图象和性质,你能否根据研究正弦函数、余弦函数的图象与性质的经验,以同样的方法研究正切函数的图象与性质？由此展开新课.思路2.先由图象开始,让学生先画正切线,然后类比正弦、余弦函数的几何作图法来画出正切函数的图象.这也是一种不错的选择,这是传统的导入法.推进新课新知探究提出问题①我们通过画正弦、余弦函数图象探究了正弦、余弦函数的性质.正切函数是我们高中要学习的最后一个基本初等函数.你能运用类比的方法先探究出正切函数的性质吗？都研究函数的哪几个方面的性质？②我们学习了正弦线、余弦线、正切线.你能画出四个象限的正切线吗？③我们知道作周期函数的图象一般是先作出长度为一个周期的区间上的图象,然后向左、右扩展,这样就可以得到它在整个定义域上的图象.那么我们先选哪一个区间来研究正切函数呢？为什么？④我们用“五点法”能简捷地画出正弦、余弦函数的简图,你能画出正切函数的简图吗？ 你能类比“五点法”也用几个字总结出作正切简图的方法吗？活动:问题①,教师先引导学生回忆:正弦、余弦函数的性质是从定义域、值域、奇偶性、单调性、周期性这几个方面来研究的,有了这些知识准备,然后点拨学生也从这几个方面来探究正切函数的性质.由于还没有作出正切函数图象,教师指导学生充分利用正切线的直观性. (1)周期性 由诱导公式tan(x+π)=tanx,x∈R ,x≠2π+k π,k∈Z 可知,正切函数是周期函数,周期是π.这里可通过多媒体课件演示,让学生观察由角的变化引起正切线的变化的周期性,直观理解正切函数的周期性,后面的正切函数图象作出以后,还可从图象上观察正切函数的这一周期性. (2)奇偶性 由诱导公式tan(-x)=-tanx,x∈R ,x≠2π+k π,k∈Z 可知,正切函数是奇函数,所以它的图象关于原点对称.教师可进一步引导学生通过图象还能发现对称点吗？与正余弦函数相对照,学生会发现正切函数也是中心对称函数,它的对称中心是(2πk ,0)k∈Z . (3)单调性通过多媒体课件演示,由正切线的变化规律可以得出,正切函数在(2π-,2π)内是增函数,又由正切函数的周期性可知,正切函数在开区间(2π-+k π,2π+k π),k∈Z 内都是增函数.(4)定义域根据正切函数的定义tan α=xy,显然,当角α的终边落在y 轴上任意一点时,都有x=0,这时正切函数是没有意义的；又因为终边落在y 轴上的所有角可表示为k π+2π,k∈Z ,所以正切函数的定义域是{α|α≠k π+2π,k∈Z },而不是{α≠2π+2k π,k∈Z },这个问题不少初学者很不理解,在解题时又很容易出错,教师应提醒学生注意这点,深刻明了其内涵本质.(5)值域由多媒体课件演示正切线的变化规律,从正切线知,当x 大于2π-且无限接近2π-时,正切线AT 向Oy 轴的负方向无限延伸;当x 小于2π且无限接近2π时,正切线AT 向Oy 轴的正方向无限延伸.因此,tanx 在(2π-,2π)内可以取任意实数,但没有最大值、最小值. 因此,正切函数的值域是实数集R .问题②,教师引导学生作出正切线,并观察它的变化规律,如图1.图1问题③,正切函数图象选用哪个区间作为代表区间更加自然呢？教师引导学生在课堂上展开充分讨论,这也体现了“教师为主导,学生为主体”的新课改理念.有的学生可能选取了［0,π］作为正切函数的周期选取,这正是学生作图的真实性的体现.此时,教师应调整计划,把课件中先作出［-2π,2π］内的图象,改为先作出［0,π］内的图象,再进行图象的平移,得到整个定义域内函数的图象,让学生观察思考.最后由学生来判断究竟选用哪个区间段内的函数图象既简单又能完全体现正切函数的性质,让学生通过分析得到先作区间(-2π,2π)的图象为好.这时条件成熟,教师引导学生来作正切函数的图象,如图2.根据正切函数的周期性,把图2向左、右扩展,得到正切函数y=tanx,x∈R,且x≠2π+k π(k∈Z )的图象,我们称正切曲线,如图3.图2 图3问题④,教师引导学生观察正切曲线,点拨学生讨论思考,只需确定哪些点或线就能画出函数y=tanx,x∈(2π-,2π)的简图.学生可看出有三个点很关键:(4π-,-1),(0,0),(4π,1),还有两条竖线.因此,画正切函数简图的方法就是:先描三点(4π-,-1),(0,0),(4π,1),再画两条平行线x=2π-,x=2π,然后连线.教师要让学生动手画一画,这对今后解题很有帮助.讨论结果:①略.②正切线是AT.③略.④能,“三点两线”法. 提出问题①请同学们认真观察正切函数的图象特征,由数及形从正切函数的图象讨论它的性质. ②设问:每个区间都是增函数,我们可以说正切函数在整个定义域内是增函数吗？请举一个例子.活动:问题①,从图中可以看出,正切曲线是被相互平行的直线x=2π+k π,k∈Z 所隔开的无穷多支曲线组成的.教师引导学生进一步思考,这点反应了它的哪一性质——定义域；并且函数图象在每个区间都无限靠近这些直线,我们可以将这些直线称之为正切函数的什么线——渐近线；从y 轴方向看,上下无限延伸,得到它的哪一性质——值域为R ；每隔π个单位,对应的函数值相等,得到它的哪一性质——周期π;在每个区间图象都是上升趋势,得到它的哪一性质——单调性,单调增区间是(2π-+k π,2π+k π),k∈Z ,没有减区间.它的图象是关于原点对称的,得到是哪一性质——奇函数.通过图象我们还能发现是中心对称,对称中心是(2πk ,0),k∈Z . 问题②,正切函数在每个区间上都是增函数,但我们不可以说正切函数在整个定义域内是增函数.如在区间(0,π)上就没有单调性. 讨论结果:①略. ②略. 应用示例例1 比较大小.(1)tan138°与tan143°；(2)tan(413π-)与tan(517π-). 活动:利用三角函数的单调性比较两个同名三角函数值的大小,可以先利用诱导公式将已知角化为同一单调区间内的角,然后再比较大小.教师可放手让学生自己去探究完成,由学生类比正弦、余弦函数值的大小比较,学生不难解决,主要是训练学生巩固本节所学的基础知识,加强类比思想的运用.解:(1)∵y=tanx 在90°<x<180°上为增函数, ∴由138°<143°,得tan138°<tan143°.(2)∵tan(413π-)=-tan 413π=-tan(3π+4π)=-tan 4π, tan(517π-)=-tan 517π=-tan(3π+52π)=-tan 52π.又0<4π<52π<2π,而y=tanx 在(0, 2π)上是增函数, ∴tan 4π<tan 52π.∴-tan 4π>-tan 52π,即tan(413π-)>tan(517π-).点评:不要求学生强记正切函数的性质,只要记住正切函数的图象或正切线即可.例2 用图象求函数y=3tan -的定义域.活动:如图4,本例的目的是让学生熟悉运用正切曲线来解题.不足之处在于本例可以通过三角函数线来解决,教师在引导学生探究活动中,也应以两种方法提出解决方案,但要有侧重点,应体现函数图象应用的重要性.图4 图5解:由tanx-3≥0,得tanx≥3, 利用图4知,所求定义域为［k π+3π,k π+2π)(k∈Z ). 点评:先在一个周期内得出x 的取值范围,然后再加周期即可,亦可利用单位圆求解,如图5.本节的重点是正切线,但在今后解题时,学生哪种熟练就用哪种. 变式训练根据正切函数的图象,写出使下列不等式成立的x 的集合. (1)1+tanx≥0;(2)tanx+3＜0. 解:(1)tanx≥-1,∴x∈［k π-4π,k π+2π),k∈Z ; (2)x∈［k π-2π,k π-3π),k∈Z .例3 求函数y=tan(2πx+3π)的定义域、周期和单调区间.活动:类比正弦、余弦函数,本例应用的是换元法,由于在研究正弦、余弦函数的类似问题时已经用过换元法,所以这里也就不用再介绍换元法,可以直接将2πx+3π作为一个整体.教师可让学生自己类比地探究,只是提醒学生注意定义域. 解:函数的自变量x 应满足2πx+3π≠k π+2π,k∈Z , 即x≠2k +31,k∈Z . 所以函数的定义域是{x|x≠2k+31,k∈Z }. 由于f(x)=tan(2πx+3π)=tan(2πx+3π+π)=tan[2π(x+2)+ 3π]=f(x+2), 因此,函数的周期为2. 由-2π+k π<2πx+3π<2π+k π,k∈Z ,解得35-+2k<x<31+2k,k∈Z .因此,函数的单调递增区间是(35-+2k,31+2k ),k∈Z .点评:同y=Asin(ωx+φ)(ω>0)的周期性的研究一样,这里可引导学生探究y=Atan(ωx+φ)(ω>0)的周期T=ωπ. 变式训练求函数y=tan(x+4π)的定义域,值域,单调区间,周期性. 解:由x+4π≠k π+2π,k∈Z 可知,定义域为{x|x∈R 且x≠k π+4π,k∈Z }.值域为R .由x+4π∈(k π-2π,k π+2π),k∈Z 可得,在x∈(k π-43π,k π+4π)上是增函数. 周期是π,也可看作由y=tanx 的图象向左平移4π个单位得到,其周期仍然是π.例4 把tan1,tan2,tan3,tan4按照由小到大的顺序排列,并说明理由.活动:引导学生利用函数y=tanx 的单调性探究解题方法.也可利用单位圆中的正切线探究解题方法.但要提醒学生注意本节中活动的结论:正切函数在定义域内的每个区间上都是增函数,但我们不可以说正切函数在整个定义域内是增函数.学生可能的错解有: 错解1:∵函数y=tanx 是增函数,又1<2<3<4,∴tan1<tan2<tan3<tan4.错解2:∵2和3的终边在第二象限,∴tan2,tan3都是负数.∵1和4的终边分别在第一和第三象限,∴tan1,tan4都是正数.又∵函数y=tanx 是增函数,且2<3,1<4,∴tan2<tan3<tan1<tan4.教师可放手让学生自己探究问题的解法.发现错解后不要直接纠正,立即给出正确解法,可再让学生讨论分析找出错的原因.图6 解法一:∵函数y=tanx 在区间(2π,23π)上是单调递增函数, 且tan1=tan(π+1),又2π<2<3<4<π+1<23π,∴tan2<tan3<tan4<tan1.解法二:如图6,1,2,3,4的正切函数线分别是AT 1,AT 2,AT 3,AT 4, ∴tan2<tan3<tan4<tan1.点评:本例重在让学生澄清正切函数单调性问题,这属于学生易错点.把正切函数y=tanx 的单调性简单地说成“在定义域内是增函数”是不对的. 知能训练课本本节练习1—5. 解答:1.在x 轴上任取一点O 1,以O 1为圆心,单位长为半径作圆,作垂直于x 轴的直径,将⊙O 1分成左右两个半圆,过右半圆与x 轴的交点作⊙O 1的切线,然后从圆心O 1引7条射线把右半圆分成8等份,并与切线相交,得到对应于83π-,4π-,8π-,0,8π,4π,83π等角的正切线.相应地,再把x 轴上从2π-到2π这一段分成8等份.把角x 的正切线向右平行移动,使它的起点与x 轴上的点x 重合,再把这些正切线的终点用光滑的曲线连结起来,就得到函数y=tanx,x∈(2π-,2π)的图象. 点评:可类比正弦函数图象的作法. 2.(1){x|k π<x<2π+k π,k∈Z };(2){x|x=k π,k∈Z };(3){x|2π-+k π<x<k π,k∈Z }.点评:只需根据正切曲线写出结果,并不要求解三角方程或三角不等式. 3.x≠6π+3πk ,k∈Z . 点评:可用换元法. 4.(1)2π;(2)2π. 点评:可根据函数图象得解,也可直接由函数y=Atan(ωx+φ),x∈R 的周期T=ωπ得解. 5.(1)不是.例如0<π,但tan0=tan π=0.(2)不会.因为对于任何区间A 来说,如果A 不含有2π+k π(k∈Z )这样的数,那么函数y=tanx,x∈A 是增函数;如果A 至少含有一个2π+k π(k∈Z )这样的数,那么在直线x=2π+k π两侧的图象都是上升的(随自变量由小到大).点评:理解正切函数的单调性. 课堂小结1.先由学生回顾本节都学到了哪些知识方法,有哪些启发、收获.本节课我们是在研究完正、余弦函数的图象与性质之后,研究的又一个具体的三角函数,与研究正弦、余弦函数的图象和性质有什么不同?研究正、余弦函数,是由图象得性质,而这节课我们从正切函数的定义出发得出一些性质,并在此基础上得到图象,最后用图象又验证了函数的性质.2.(教师点拨)本节研究的过程是由数及形,又由形及数相结合,也是我们研究函数的基本方法,特别是又运用了类比的方法、数形结合的方法、化归的方法.请同学们课后思考总结:这种多角度观察、探究问题的方法对我们今后学习有什么指导意义？ 作业课本习题1.4 A 组6、8、9.。

第一章 三角函数1.4.3 正切函数的性质与图象一、正切函数的性质 1．周期性由诱导公式可知，πtan πtan ,π,2()x x x x k k +=∈≠+∈R Z ,，因此 是正切函数的一个周期. 一般地，函数()(tan 0)y A x k A ωϕω=++≠的最小正周期π||T ω=.2．奇偶性正切函数的定义域为π{|,π,}2x x x k k ∈≠+∈R Z ,关于原点对称，由于()()()()sin tan cos x f x x x --=-=- ()sin tan cos xx f x x-==-=-，因此正切函数是 .学科-网 3．单调性和值域单位圆中的正切线如下图所示.利用单位圆中的正切线研究正切函数的单调性和值域，可得下表：角xππ022-→→ π3ππ22→→正切线AT 0-∞→→+∞ 0-∞→→+∞tan x增函数 增函数由上表可知正切函数在(,)22-,(,)22上均为增函数，由周期性可知正切函数的增区间为π(π,2k -+ ππ)()2k k +∈Z .此外由其变化趋势可知正切函数的值域为(,)-∞+∞或R ，因此正切函数 最值. 二、正切函数的图象利用正切线作出函数ππtan ,(,)22y x x =∈-的图象（如图）. 作法如下：(1)作直角坐标系，并在y 轴左侧作单位圆.(2)把单位圆右半圆分成8等份，分别在单位圆中作出正切线. (3)描点.（横坐标是一个周期的8等分点，纵坐标是相应的正切线） (4)连线.根据正切函数的周期性，把上述图象向左、右扩展，就可以得到正切函数tan ,y x x =∈R ，且ππ(2x k k ≠+∈Z)的图象，我们把它叫做正切曲线(如图).正切曲线是被相互平行的直线ππ()2x k k =+∈Z 所隔开的无穷多支曲线组成的.K 知识参考答案：一、1．π 2．奇函数 3．没有K —重点 正切函数的性质与图象K —难点 正切函数的性质的应用，正切函数的图象的应用 K —易错不能正确利用正切函数的图象与性质解题1．正切函数的性质熟练掌握正切函数tan ,y x x =∈R 的性质： (1)定义域：π{|,π,}2x x x k k ∈≠+∈R Z ； (2)值域：R ； (3)最小正周期：π； (4)奇偶性：奇函数； (5)单调性：在每一个开区间π(π,2k -+ππ)()2k k +∈Z 内均为增函数. 【例1】下列函数中，最小正周期为π2的是 A ．y ＝sin(2x －π3) B ．y ＝tan(2x －π3) C ．y ＝cos(2x ＋π6)D ．y ＝tan(4x ＋π6)【答案】B【解析】函数y ＝tan(2x －π3)的最小正周期T ＝π2，故选B ．【例2】求函数πtan(3)3y x =-的定义域、值域，并判断它的奇偶性和单调性.正切函数tan y x =在区间π(π,2k -+ππ)()2k k +∈Z 上为增函数， 因此令πππ323k x -+<-ππ2k <+，解得ππ183k x -+<5ππ183k <+()k ∈Z , 即函数πtan(3)3y x =-的单调递增区间为ππ5ππ(,)()183183k k k -++∈Z .【易错启示】正切函数是奇函数，但是函数()tan y x ωϕ=+一般不具有奇偶性， 需要先求出定义域，再进行判断.【名师点睛】（1）正切函数tan y x =的定义域为π{|,π,}2x x x k k ∈≠+∈R Z ，这是解决正切函数相关问题首先要关注的地方.（2）求函数(n )ta y A x ωϕ=+的单调区间时，将x ωϕ+视为整体，代入函数tan y x =的单调区间即可，注意,A ω的符号对单调区间的影响. 2．正切函数的性质的应用（1）利用正切函数的单调性比较两个正切值的大小，实际上是将两个角利用函数的周期性或诱导公式放在一个单调区间内比较大小.（2）三角函数与二次函数的综合问题，一般是研究函数的值域或最值，求解方法是通过换元或整体代换将问题转化为二次函数型的函数值域问题，对于新引入的元或整体，要注意其范围的变化. 【例3】比较下列各组数的大小： （1）13πtan4与17πtan 5； （2）tan1,tan 2,tan 3,tan 4.【名师点睛】（1）比较三角函数值的大小，主要利用函数单调性及单位圆，有时可以利用引进中间量等方法．（2）有关正切函数值大小的比较，一般将角化到同一单调区间内，再利用函数的单调性处理． 【例4】求函数y ＝－tan 2x ＋10tan x －1，x ∈[π4，π3]的值域．【解析】由x ∈[π4，π3]，得tan x ∈[1，3]，令tan x ＝t ，则t ∈[1，3]．∴y ＝－tan 2x ＋10tan x －1＝－t 2＋10t －1＝－(t －5)2＋24.由于1≤t ≤3， ∴8≤y ≤103－4，故函数的值域是[8,103－4]．【名师点睛】利用换元法求解问题时，往往容易忽视元的范围的变化，导致错解.如该题，如果不注意元的取值范围的限制，直接求解二次函数的值域，显然就会扩大所求函数的值域而得到错解. 3．正切函数的图象及其应用 （1）tan y x =的周期性：函数sin y x =及cos y x =的周期是其对应函数sin ,cos y x y x ==周期的一半，而函数tan y x =的图象是把tan y x =在x 轴下方的图象翻折到x 轴上方，但其周期与tan y x =的周期相等，均为π. （2）解三角不等式的方法一般有两种：一是利用三角函数线，借助于单位圆在直角坐标系中找出角的区域，再求出不等式的解集；二是利用三角函数图象，先在一个周期内求出x 的范围，再在整个定义域上求出不等式的解集.利用正切函数的图象求角的范围时，主要是利用其单调性.这是数形结合思想方法的一个具体应用. 【例5】作出函数y ＝|tan x |的图象，并根据图象求其最小正周期和单调区间． 【答案】B【解析】y ＝|tan x |＝⎩⎨⎧tan x ，x ∈⎣⎡⎭⎫k π，k π＋π2k ∈Z －tan x ，x ∈⎝⎛⎦⎤k π－π2，k πk ∈Z，其图象如图所示．由图象可知，函数y ＝|tan x |的最小正周期T ＝π，单调增区间的⎣⎡⎭⎫k π，k π＋π2(k ∈Z )；单调减区间为⎝⎛⎦⎤k π－π2，k π(k ∈Z )． 【名师点睛】要作出函数y ＝|tan x |的图象，可先作出y ＝tan x 的图象，然后将其在x 轴上方的图象保留，而将其在x 轴下方的图象翻到上方(即作出其关于x 轴对称的图象)，就可得到y ＝|tan x |的图象．【例6】求下列函数的定义域： （1）函数y ＝tan x ＋1＋lg(1－tan x )；（2）函数y ＝tan(sin x )．【解析】（1）要使函数有意义，应满足⎩⎪⎨⎪⎧tan x ＋1≥01－tan x >0，∴⎩⎪⎨⎪⎧tan x ≥－1tan x <1， ∴⎩⎨⎧k π－π4≤x <k π＋π2，k ∈Z k π－π2<x <k π＋π4，k ∈Z ，∴k π－π4≤x <k π＋π4，k ∈Z ，故函数y ＝tan x ＋1＋lg(1－tan x )的定义域为[k π－π4，k π＋π4)k ∈Z .（2）∵对任意x ∈R ，－1≤sin x ≤1， ∴函数y ＝tan(sin x )总有意义， 故函数y ＝tan(sin x )的定义域为R . 4．正确利用函数性质求解【例7】若函数y ＝tan(2x ＋θ)的图象的一个对称中心为(π3，0)，且－π2<θ<π2，则θ的值是________． 【错解】因为函数y ＝tan x 的图象的对称中心为(k π，0)，其中k ∈Z ，所以2x ＋θ＝k π，其中x ＝π3.所以θ＝k π－2π3，k ∈Z .由于－π2<θ<π2，∴k ＝1时，θ＝π－2π3＝π3.【错因分析】错解主要是误认为正切函数图象的对称中心的坐标是(k π，0)(其中k ∈Z )，但由正切函数的图象发现：点(k π＋π2，0)(其中k ∈Z )也是正切曲线的对称中心，因此正切函数图象的对称中心的坐标是(k π2，0)(其中k ∈Z )．【正解】易知函数y ＝tan x 的图象的对称中心为(k π2，0)，其中k ∈Z ，所以2x ＋θ＝k π2，其中x ＝π3，即θ＝k π2－2π3，k ∈Z .因为－π2<θ<π2，所以当k ＝1时，θ＝－π6；当k ＝2时，θ＝π3.即θ＝－π6或π3.【答案】－π6或π3.1．下列说法中，正确的是 A ．y ＝tan x 是增函数B ．y ＝tan x 在第一象限内是增函数C ．y ＝tan x 在区间(k π－π2，k π＋π2)(k ∈Z )上是增函数D ．y ＝tan x 在某一区间内是减函数 2．函数y ＝tan(π4－x )的定义域是A ．{x |x ≠π4，x ∈R }B ．{x |x ≠－π4，x ∈R }C ．{x |x ≠k π＋π4，k ∈Z ，x ∈R }D ．{x |x ≠k π＋3π4，k ∈Z ，x ∈R }3．下列函数中，在区间[0，π2]上为减函数的是A ．y ＝sin(x －π3)B ．y ＝sin xC ．y ＝tan xD ．y ＝cos x4．下列不等式中，正确的是 A ．tan 4π7>tan 3π7B ．tan 2π5<tan 3π5C ．tan(－13π7)>tan(－15π8)D ．tan(－13π4)<tan(－12π5)5．函数tan(2)3y x π=-的单调递减区间是________． 6．函数y ＝tan(2x －π4)的对称中心坐标是________．7．已知函数f (x )＝2tan(ωx ＋π3)(ω>0)的最小正周期为π2，求函数f (x )的单调区间．8．根据三角函数图象，写出满足下列条件的x 的取值范围． （1）－32<cos x <0；（2）3tan x －3≥0.9．与函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4的图象不相交的一条直线是 A ．x ＝π2B ．y ＝π2C ．x ＝π8D ．y ＝π810．函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫12x －π3在一个周期内的大致图象是11．直线y ＝3与函数y ＝tan ωx (ω>0)的图象相交，则相邻两交点间的距离是A ．πB ．2πωC ．πωD ．π2ω12．已知函数y ＝tan(2x ＋φ)的图象过点(π12，0)，则φ可以是A ．－π6B ．π6C ．－π12D ．π1213．已知函数()πtan 23f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭，则下列说法正确的是 A ．()f x 在定义域内是增函数B ．()f x 的对称中心是()ππ,046k k ⎛⎫-∈⎪⎝⎭Z C ．()f x 是奇函数D ．()f x 的对称轴是()ππ212k x k =+∈Z 14．函数y ＝tan(cos x )的值域是________． 15．判断函数f (x )＝lg tan x ＋1tan x －1的奇偶性．学！科网16．若函数f(x)＝tan2x－a tan x(|x|≤π4)的最小值为－6，求实数a的值．17（1）求f(x)的最小正周期和单调递减区间；（2）试比较()πf与1 2 3 4 9 10 11 12 13 CCDCCACAB1．【答案】C【解析】令x 1＝π3，x 2＝13π6，则tan x 1＝3，tan x 2＝33，即x 1<x 2，而tan x 1>tan x 2，故函数y ＝tan x 在第一象限内不是增函数，排除A 、B ；由正切函数的图象知，函数y ＝tan x 在某一区间内不可能是减函数，排除D ，故选C ． 2．【答案】C【解析】y ＝tan(π4－x )＝－tan(x －π4)，由x －π4≠π2＋k π，k ∈Z ，得x ≠3π4＋k π，k ∈Z ，故选D ．3．【答案】D【解析】函数y ＝cos x 在[0，π2]上单调递减，故选D ．5．【答案】5(,)()212212k k k ππππ-+∈Z 【解析】（1）把函数tan(2)3y x π=-变为tan(2)3y x π=--，由2,232k x k k ππππ-<-<π+∈Z ，得2,66k x k k π5ππ-<<π+∈Z ， 即5,212212k k x k ππππ-<<+∈Z, 故函数tan(2)3y x π=-的单调减区间为5(,)()212212k k k ππππ-+∈Z . 6．【答案】(k π4＋π8，0)，k ∈Z【解析】由2x －π4＝k π2，k ∈Z ，得x ＝k π4＋π8，k ∈Z ，∴函数y ＝tan(2x －π4)的对称中心坐标为(k π4＋π8，0)，k ∈Z .8．【解析】（1）如图所示．由图象可知，满足不等式的x 的取值范围为(2k π＋π2，2k π＋5π6)∪(2k π＋7π6，2k π＋3π2)，k ∈Z .（2）如图所示．由3tan x －3≥0，得tan x ≥33. 由图象可知，满足不等式的x 的取值范围为[π6＋k π，π2＋k π)，k ∈Z .9．【答案】C【解析】由正切函数图象知2x ＋π4≠k π＋π2，k ∈Z ，∴x ≠k π2＋π8，k ∈Z ，故符合题意的只有C 选项．10．【答案】A【解析】∵函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫12x －π3的最小正周期为2π，因此可排除B 、D ，选项C 中，当x ＝π3时，y ≠0，因此排除C ，故选A ． 11．【答案】C【解析】相邻两交点间的距离，即为函数y ＝tan ωx (ω>0)的最小正周期T ＝πω，故选C ．13．【答案】B【解析】()f x 在定义域内不单调，且不具有奇偶性，没有对称轴，所以A 、C 、D 错误； 由ππ232k x +=，得ππ,64k x k =-+∈Z ，即()f x 的对称中心是()ππ,046k k ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭Z ，所以B 正确，故选B.14．【答案】[－tan1，tan1]【解析】∵x ∈R ，∴cos x ∈[－1,1]，又函数y ＝tan x 在⎝⎛⎭⎫－π2，π2上是增函数，且－π2<－1<1<π2， ∴tan(cos x )∈[－tan1，tan1]．15．【解析】由tan x ＋1tan x －1>0，得tan x >1或tan x <－1.故函数f (x )的定义域为(k π－π2，k π－π4)∪(k π＋π4，k π＋π2)(k ∈Z )．又f (－x )＋f (x )＝tan()1lg tan()1x x -+--＋lg tan x ＋1tan x －1＝tan 1tan 1lg()tan 1tan 1x x x x -+⋅+-＝0，即f (－x )＝－f (x )．∴f (x )为奇函数． 16．【解析】设t ＝tan x ，∵|x |≤π4，∴t ∈[－1,1]． 则原函数化为y ＝t 2－at ＝(t －a 2)2－a 24，对轴称为t ＝a 2. ①若－1<a 2<1，即－2<a <2时．则当t ＝a 2时，y min ＝－a 24＝－6，∴a 2＝24(舍去，不合题意)．②若a2≤－1，即a ≤－2时，二次函数在[－1,1]上单调递增，∴y min ＝1＋a ＝－6， ∴a ＝－7.③若a2≥1，即a ≥2时，二次函数在[－1,1]上单调递减，∴y min ＝1－a ＝－6， ∴a ＝7，综上所述，a ＝－7或7. 17．【解析】（1）∵()ππ3tan()3tan()6446x x f x =-=--， ∴函数的最小正周期为4πT =． 由πππππ,2462x k k k -<-<+∈Z ，得4π8π4π4π,33k x k k -<<+∈Z ， ∴函数()π3tan 64x f x ⎛⎫-⎪⎝⎭＝的单调增区间为4π8π4π,4π,33k k k ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭Z ，∴函数()π3tan 64x f x ⎛⎫-⎪⎝⎭＝的单调减区间为4π8π4π,4π,33k k k ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭Z ，（2）()πππππ3tan 3tan 3tan 641212f ⎛⎫⎛⎫=-=-=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，3ππ3π5π5π3tan 3tan 3tan 2682424f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-=-⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭． ∵π5ππ012242<<<， ∴π5πtan tan1224<， ∴π5π3tan3tan 1224->-，即()3ππ2f f ⎛⎫> ⎪⎝⎭．【名师点睛】解决函数()tan()f x A x ωϕ=+有关问题的思路：学科！网（1）采用整体代换的解题方法，即把x ωϕ+看作一个整体，然后根据正切函数的有关性质求解． （2）解题时要注意参数,A ω的符号对解题结果的影响，特别是解决与单调性有关的问题时一定要注意．。

1.4.3正切函数的性质与图象（教学设计）教学目的：知识目标：1.用单位圆中的正切线作正切函数的图象；2.用正切函数图象解决函数有关的性质；能力目标：1.理解并掌握作正切函数图象的方法；2.理解用函数图象解决有关性质问题的方法；德育目标：培养认真学习的精神；教学重点：用单位圆中的正切线作正切函数图象； 教学难点：正切函数的性质。

授课类型：新授课教学模式： 启发、诱导发现教学. 教学过程：一、复习回顾，新课引入： 问题：正弦曲线是怎样画的？正切线?练习正切线，画出下列各角的正切线：．下面我们来作正切函数图象． 二、师生互动，新课讲解：1．正切函数tan y x =的定义域是什么？ ⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+≠z k k x x ,2|ππ2．正切函数是不是周期函数？()tan tan ,,2x x x R x k k z πππ⎛⎫+=∈≠+∈ ⎪⎝⎭且，∴π是tan ,,2y x x R x k k z ππ⎛⎫=∈≠+∈ ⎪⎝⎭且的一个周期。

π是不是正切函数的最小正周期？下面作出正切函数图象来判断。

3．作tan y x =，x ∈⎪⎭⎫⎝⎛-2,2ππ的图象说明：（1）正切函数的最小正周期不能比π小，正切函数的最小正周期是π；（2）根据正切函数的周期性，把上述图象向左、右扩展，得到正切函数R x x y ∈=tan ，且()z k k x ∈+≠ππ2的图象，称“正切曲线”。

4．正切函数的性质 引导学生观察，共同获得： （1）定义域：⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+≠z k k x x ,2|ππ； （2）值域：R观察：当x 从小于()z k k ∈+2ππ，2π+π−→−k x 时，tan x −−→+∞ 当x 从大于()z k k ∈+ππ2，ππk x +−→−2时，-∞−→−x tan 。

（3）周期性：π=T ；（4）奇偶性：由()x x tan tan -=-知，正切函数是奇函数；（5）单调性：在开区间z k k k ∈⎪⎭⎫ ⎝⎛++-ππππ2,2内，函数单调递增。

1．4.3 正切函数的性质与图象学习目标1.会求正切函数y＝tan(ωx＋φ)的周期.2.掌握正切函数y＝tan x的奇偶性，并会判断简单三角函数的奇偶性.3.掌握正切函数的单调性，并掌握其图象的画法．知识点一 正切函数的性质 思考1 正切函数的定义域是什么？[答案] ⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ∈R 且x ≠π2＋k π，k ∈Z . 思考2 诱导公式tan(π＋x )＝tan x ，x ∈R 且x ≠π2＋k π，k ∈Z 说明了正切函数的什么性质？[答案] 周期性．思考3 诱导公式tan(－x )＝－tan x ，x ∈R 且x ≠π2＋k π，k ∈Z 说明了正切函数的什么性质？[答案] 奇偶性．思考4 从正切线上看，在⎝⎛⎭⎫0，π2上正切函数值是增大的吗？ [答案] 是．梳理 函数y ＝tan x ⎝⎛⎭⎫x ∈R 且x ≠k π＋π2，k ∈Z 的图象与性质见下表：知识点二 正切函数的图象思考1 利用正切线作正切函数图象的步骤是什么？[答案] 根据正切函数的定义域和周期，首先作出区间⎝⎛⎭⎫－π2，π2上的图象．作法如下： (1)作平面直角坐标系，并在平面直角坐标系y 轴的左侧作单位圆． (2)把单位圆的右半圆分成8等份，分别在单位圆中作出正切线． (3)描点(横坐标是一个周期的8等分点，纵坐标是相应的正切线的长度)． (4)连线，得到如图①所示的图象．(5)根据正切函数的周期性，把上述图象向左、右扩展，就可以得到正切函数y ＝tan x ，x ∈R 且x ≠π2＋k π(k ∈Z )的图象，把它称为正切曲线(如图②所示)．可以看出，正切曲线是被相互平行的直线x ＝π2＋k π，k ∈Z 所隔开的无穷多支曲线组成的．思考2 我们能用“五点法”简便地画出正弦函数、余弦函数的简图，你能类似地画出正切函数y ＝tan x ，x ∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2的简图吗？怎样画？ [答案] 能，三个关键点：⎝⎛⎭⎫π4，1，(0,0)，⎝⎛⎭⎫－π4，－1，两条平行线：x ＝π2，x ＝－π2. 梳理 (1)正切函数的图象(2)正切函数的图象特征正切曲线是被相互平行的直线x ＝π2＋k π，k ∈Z 所隔开的无穷多支曲线组成的．1．函数y ＝tan x 在其定义域上是增函数．( × )提示 y ＝tan x 在开区间⎝⎛⎭⎫k π－π2，k π＋π2(k ∈Z )上是增函数，但在其定义域上不是增函数． 2．函数y ＝tan x 的图象的对称中心是(k π，0)(k ∈Z )．( × ) 提示 y ＝tan x 图象的对称中心是⎝⎛⎭⎫12k π，0(k ∈Z )． 3．正切函数y ＝tan x 无单调递减区间．( √ ) 4．正切函数在区间⎣⎡⎦⎤－π2，π2上单调递增．( × )提示 正切函数在区间⎝⎛⎭⎫－π2，π2上是增函数，不能写成闭区间，当x ＝±π2时，y ＝tan x 无意义.类型一 正切函数的定义域、值域问题例1 (1)函数y ＝3tan ⎝⎛⎭⎫π6－x 4的定义域为________． [考点] 正切函数的定义域、值域 [题点] 正切函数的定义域[答案] ⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≠－4π3－4k π，k ∈Z [解析] 由π6－x 4≠π2＋k π，k ∈Z ，得x ≠－4π3－4k π，k ∈Z ，即函数的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≠－4π3－4k π，k ∈Z . (2)求函数y ＝tan 2⎝⎛⎭⎫3x ＋π3＋tan ⎝⎛⎭⎫3x ＋π3＋1的定义域和值域． [考点] 正切函数的定义域、值域 [题点] 正切函数的值域 解 由3x ＋π3≠k π＋π2，k ∈Z ，得x ≠k π3＋π18，k ∈Z ，所以函数的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≠k π3＋π18，k ∈Z . 设t ＝tan ⎝⎛⎭⎫3x ＋π3， 则t ∈R ，y ＝t 2＋t ＋1＝⎝⎛⎭⎫t ＋122＋34≥34，所以原函数的值域是⎣⎡⎭⎫34，＋∞. 反思与感悟 (1)求定义域时，要注意正切函数自身的限制条件，另外解不等式时，要充分利用三角函数的图象或三角函数线．(2)处理正切函数值域时，应注意正切函数自身值域为R ，将问题转化为某种函数的值域求解． 跟踪训练1 求函数y ＝tan x ＋1＋lg(1－tan x )的定义域． [考点] 正切函数的定义域、值域 [题点] 正切函数的定义域解 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧tan x ＋1≥0，1－tan x >0，即－1≤tan x <1.在⎝⎛⎭⎫－π2，π2内，满足上述不等式的x 的取值范围是⎣⎡⎭⎫－π4，π4. 又y ＝tan x 的周期为π，所以函数的定义域是⎣⎡⎭⎫k π－π4，k π＋π4(k ∈Z )．类型二 正切函数的单调性问题 命题角度1 求正切函数的单调区间例2 求函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫－12x ＋π4的单调区间及最小正周期． [考点] 正切函数的单调性 [题点] 判断正切函数的单调性 解 y ＝tan ⎝⎛⎭⎫－12x ＋π4＝－tan ⎝⎛⎭⎫12x －π4， 由k π－π2<12x －π4<k π＋π2(k ∈Z )，得2k π－π2<x <2k π＋32π(k ∈Z )，所以函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫－12x ＋π4的单调递减区间是⎝⎛⎭⎫2k π－π2，2k π＋32π，k ∈Z ，周期T ＝π⎪⎪⎪⎪－12＝2π. 反思与感悟 y ＝tan(ωx ＋φ)(ω>0)的单调区间的求法是把ωx ＋φ看成一个整体，解－π2＋k π<ωx ＋φ<π2＋k π，k ∈Z 即可．当ω<0时，先用诱导公式把ω化为正值再求单调区间．跟踪训练2 (2017·太原高一检测)求函数y ＝3tan ⎝⎛⎭⎫π4－2x 的单调区间． [考点] 正切函数的单调性 [题点] 判断正切函数的单调性 解 y ＝3tan ⎝⎛⎭⎫π4－2x ＝－3tan ⎝⎛⎭⎫2x －π4， 由－π2＋k π<2x －π4<π2＋k π，k ∈Z ，得－π8＋k π2<x <3π8＋k π2(k ∈Z )， 所以y ＝3tan ⎝⎛⎭⎫π4－2x 的单调递减区间为⎝⎛⎭⎫－π8＋k π2，3π8＋k π2(k ∈Z )． 命题角度2 利用正切函数的单调性比较大小 例3 比较大小：(1)tan 32°________tan 215°； (2)tan 18π5________tan ⎝⎛⎭⎫－28π9. [考点] 正切函数的单调性 [题点] 正切函数的单调性的应用 [答案] (1)< (2)<[解析] (1)tan 215°＝tan(180°＋35°)＝tan 35°， ∵y ＝tan x 在(0°，90°)上单调递增，32°<35°， ∴tan 32°<tan 35°＝tan 215°.(2)tan 18π5＝tan ⎝⎛⎭⎫4π－2π5＝tan ⎝⎛⎭⎫－2π5， tan ⎝⎛⎭⎫－28π9＝tan ⎝⎛⎭⎫－3π－π9＝tan ⎝⎛⎭⎫－π9， ∵y ＝tan x 在⎝⎛⎭⎫－π2，π2上单调递增，且－2π5<－π9， ∴tan ⎝⎛⎭⎫－2π5<tan ⎝⎛⎭⎫－π9，即tan 18π5<tan ⎝⎛⎭⎫－28π9. 反思与感悟 运用正切函数的单调性比较大小的步骤 (1)运用函数的周期性或诱导公式将角化到同一单调区间内； (2)运用单调性比较大小关系．跟踪训练3 比较大小：tan ⎝⎛⎭⎫－7π4_______tan ⎝⎛⎭⎫－9π5.[考点] 正切函数的单调性 [题点] 正切函数的单调性的应用 [答案] >[解析] ∵tan ⎝⎛⎭⎫－7π4＝－tan ⎝⎛⎭⎫2π－π4＝tan π4， tan ⎝⎛⎭⎫－9π5＝－tan ⎝⎛⎭⎫2π－π5＝tan π5. 又0＜π5＜π4＜π2，y ＝tan x 在⎝⎛⎭⎫0，π2内单调递增， ∴tan π5＜tan π4，∴tan ⎝⎛⎭⎫－7π4＞tan ⎝⎛⎭⎫－9π5.类型三 正切函数综合问题 例4 设函数f (x )＝tan ⎝⎛⎭⎫x 2－π3.(1)求函数f (x )的最小正周期，对称中心； (2)作出函数f (x )在一个周期内的简图． [考点] 正切函数的综合应用 [题点] 正切函数的综合应用解 (1)∵ω＝12，∴最小正周期T ＝πω＝π12＝2π.令x 2－π3＝k π2(k ∈Z )，得x ＝k π＋2π3(k ∈Z )， ∴f (x )的对称中心是⎝⎛⎭⎫k π＋2π3，0(k ∈Z )． (2)令x 2－π3＝0，则x ＝2π3；令x 2－π3＝π4，则x ＝7π6；令x 2－π3＝－π4，则x ＝π6；令x 2－π3＝π2，则x ＝5π3； 令x 2－π3＝－π2，则x ＝－π3. ∴函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫x 2－π3的图象与x 轴的一个交点坐标是⎝⎛⎭⎫2π3，0，在这个交点左，右两侧相邻的两条渐近线方程分别是x ＝－π3，x ＝5π3，从而得到函数y ＝f (x )在一个周期⎝⎛⎭⎫－π3，5π3内的简图(如图)．反思与感悟 熟练掌握正切函数的图象和性质是解决正切函数综合问题的关键，正切曲线是被相互平行的直线x ＝π2＋k π，k ∈Z 隔开的无穷多支曲线组成，y ＝tan x 的对称中心为⎝⎛⎭⎫k π2，0，k ∈Z .跟踪训练4 画出f (x )＝tan |x |的图象，并根据其图象判断其单调区间、周期性、奇偶性．[考点] 正切函数的综合应用[题点] 正切函数的综合应用解 f (x )＝tan |x |化为f (x )＝⎩⎨⎧ tan x ，x ≠k π＋π2，x ≥0(k ∈Z )，－tan x ，x ≠k π＋π2，x <0(k ∈Z )，根据y ＝tan x 的图象，作出f (x )＝tan |x |的图象，如图所示，由图象知，f (x )不是周期函数，是偶函数，单调增区间为⎣⎡⎭⎫0，π2，⎝⎛⎭⎫k π＋π2，k π＋3π2(k ∈N )；单调减区间为⎝⎛⎦⎤－π2，0，⎝⎛⎭⎫k π－3π2，k π－π2(k ＝0，－1，－2，…).1．函数f (x )＝tan ⎝⎛⎭⎫x ＋π4的单调递增区间为( ) A.⎝⎛⎭⎫k π－π2，k π＋π2，k ∈Z B ．(k π，(k ＋1)π)，k ∈ZC.⎝⎛⎭⎫k π－3π4，k π＋π4，k ∈Z D.⎝⎛⎭⎫k π－π4，k π＋3π4，k ∈Z [考点] 正切函数的单调性[题点] 判断正切函数的单调性[答案] C2．函数y ＝tan x ＋1tan x是( ) A ．奇函数B ．偶函数C ．既是奇函数又是偶函数D ．既不是奇函数又不是偶函数[考点] 正切函数的周期性、对称性[题点] 正切函数的奇偶性[答案] A[解析] 函数的定义域是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≠12k π，k ∈Z ，且tan(－x )＋1tan (－x )＝－tan x －1tan x ＝－⎝⎛⎭⎫tan x ＋1tan x ，所以函数y ＝tan x ＋1tan x是奇函数． 3．将tan 1，tan 2，tan 3按大小排列为________．(用“<”连接)[考点] 正切函数的单调性[题点] 正切函数单调性的应用[答案] tan 2<tan 3<tan 1[解析] tan 2＝tan(2－π)，tan 3＝tan(3－π)，∵－π2<2－π<3－π<1<π2， 且y ＝tan x 在⎝⎛⎭⎫－π2，π2上单调递增， ∴tan(2－π)<tan(3－π)<tan 1，即tan 2<tan 3<tan 1.4．(2017·西安高一检测)函数y ＝4tan ⎝⎛⎭⎫3x ＋π6的最小正周期为________． [考点] 正切函数的周期性、对称性[题点] 正切函数的周期性[答案] π3[解析] T ＝π|ω|＝π3. 5．函数y ＝tan x ⎝⎛⎭⎫π4≤x ≤3π4，且x ≠π2的值域是________________． [考点] 正切函数的定义域、值域[题点] 正切函数的值域[答案] (－∞，－1]∪[1，＋∞)[解析] 函数y ＝tan x 在⎣⎡⎭⎫π4，π2上单调递增，在⎝⎛⎦⎤π2，3π4上也单调递增，所以函数的值域是(－∞，－1]∪[1，＋∞)．1．正切函数的图象正切函数有无数多条渐近线，渐近线方程为x ＝k π＋π2，k ∈Z ，相邻两条渐近线之间都有一支正切曲线，且单调递增．2．正切函数的性质(1)正切函数y ＝tan x 的定义域是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≠k π＋π2，k ∈Z ，值域是R . (2)正切函数y ＝tan x 的最小正周期是π，函数y ＝A tan(ωx ＋φ)(Aω≠0)的最小正周期为T ＝π|ω|. (3)正切函数在⎝⎛⎭⎫－π2＋k π，π2＋k π(k ∈Z )上单调递增，不能写成闭区间，正切函数无单调减区间.。

1.4.3正切函数的性质与图象教案（人教A版必修4）授课题目授课时间课型新授课授课地点授课教师授课班级授课方法启发和探究教学相结合教学辅助手段多媒体课件教学目标1．掌握正切函数的周期性、奇偶性、单调性、值域等相关性质的同时学会本节课研究数学问题的方法，培养积极主动的学习态度。

2．利用迁移、类比的方法提高分析、探究问题的能力，拓展研究数学问题的视角，加强理性思考，体验数学的严谨之美.3．领悟和内化数形结合的思想，让学生在学习中收获成功和快乐，感受到数学的无穷魅力.教学重点正切函数的性质与图象. 教学难点利用正切线研究函数的单调性及值域.教学过程教学流程教学内容教师活动学生活动学情预设设计意图复习引入1．正、余弦函数的图象是通过什么方法作出的？2．正、余弦函数的基本性质包括哪些内容？这些性质是怎样得到的？提出问题引导学生回忆，迁移到对正切函数的研究中.1．学生和老师一起回忆研究正弦函数余弦函数的思路与方法.学生易于得到描点作图和函数的性质.激发学生的学习兴趣和探究欲望.探究一正切函数y=tan x的定义域.强调研究函数定义域优先. 2．学生回忆正切函数的定义.类比正、余弦函数定义学生容易遗漏定义域，老师提醒.培养学生缜密的思维. 探究二1．当x大于-2π且无限接近-2π时，正切线AT向y轴负方向无限延伸；2．当x小于2π且无限接近2π时，正切线AT向y轴正方向无限延伸；因此，正切函数没有最大值、最小值；所以，正切函数的值域是实数集R.展示正切线的变化规律，引导学生观察正切函数的值域；指定学生回答．3．学生观察探究正切函数的值域.学生会想到正切函数线，老师再引导和动画演示.展示单位圆中三角函数线的重要性，进一步让学生体会数形结合的思想.探究三诱导公式tan(-x)= -tan x，x R∈,,2x k k Zππ≠+∈知，正切函数是奇函数.让学生类比研究正、余弦函数奇偶性的方法，自己探究正切函数的奇偶性．4．利用诱导公式探究正切函数的奇偶性.学生可能遗漏函数奇偶性对定义域的要求.展示数学中的对称美. 探究四诱导公式tan( x+π)=tan x ，x R∈,,2x k k Zππ≠+∈)可知：正切函数是周期函数，周期为π.让学生类比研究弦函数的方法来研究正切函数的周期性．5．学生类比思考探究正切函数是否为周期函数.学生会想到诱导公式，老师需要解释是最小正周期.让学生感受类比，体会类比在研究问题中的重要性.。