第一部分 双曲线相关知识点讲解
一．双曲线的定义及双曲线的标准方程：
1 双曲线定义：到两个定点F 1与F 2的距离之差的绝对值等于定长（＜|F 1F 2|）的点的轨
迹（21212F F a PF PF <=-（a 为常数））这两个定点叫双曲线的焦点．
要注意两点：（1）距离之差的绝对值.（2）2a ＜|F 1F 2|，这两点与椭圆的定义有本质的不同.
当|MF 1|－|MF 2|=2a 时，曲线仅表示焦点F 2所对应的一支； 当|MF 1|－|MF 2|=－2a 时，曲线仅表示焦点F 1所对应的一支； 当2a =|F 1F 2|时，轨迹是一直线上以F 1、F 2为端点向外的两条射线； 当2a ＞|F 1F 2|时，动点轨迹不存在.
2.双曲线的标准方程：12222=-b y a x 和122
22=-b
x a y （a ＞0，b ＞0）.这里222a c b -=，其中
|1F 2F |=2c.要注意这里的a 、b 、c 及它们之间的关系与椭圆中的异同.
3.双曲线的标准方程判别方法是：如果2x 项的系数是正数，则焦点在x 轴上；如果2y 项的系数是正数，则焦点在y 轴上.对于双曲线，a 不一定大于b ，因此不能像椭圆那样，通过比较分母的大小来判断焦点在哪一条坐标轴上.
4.求双曲线的标准方程，应注意两个问题：⑴ 正确判断焦点的位置；⑵ 设出标准方程后，运用待定系数法求解.
二．双曲线的外部：
(1)点00(,)P x y 在双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>>的部2200221x y a b ?->.
(2)点00(,)P x y 在双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>>的外部2200221x y a b ?-<.
三.双曲线的方程与渐近线方程的关系
(1）若双曲线方程为12222=-b y a x ?渐近线方程：22220x y a b -=?x a
b
y ±=.
(2)若渐近线方程为x a
b
y ±=?0=±b y a x ?双曲线可设为λ=-2222b y a x .
(3)若双曲线与12222=-b y a x 有公共渐近线，可设为λ=-22
22b
y a x （0>λ，焦点在x 轴上，0<λ，
焦点在y 轴上）.
四．双曲线的简单几何性质
22
a x －22b
y =1（a ＞0，b ＞0） ⑴围：|x |≥a ，y ∈R
⑵对称性：关于x 、y 轴均对称，关于原点中心对称 ⑶顶点：轴端点A 1（－a ，0），A 2（a ，0） ⑷渐近线：
①若双曲线方程为12222=-b y a x ?渐近线方程?=-02222b y a x x a
b
y ±=
②若渐近线方程为x a
b
y ±=?0=±b y a x ?双曲线可设为λ=-2222b y a x
③若双曲线与12222=-b y a x 有公共渐近线，可设为λ=-22
22b
y a x （0>λ，焦点在x 轴上，
0<λ，焦点在y 轴上）
④与双曲线12222=-b y a x 共渐近线的双曲线系方程是λ=-22
22b
y a x )0(≠λ
⑤ 与双曲线122
22=-b
y a x 共焦点的双曲线系方程是1222
2=--+k b y k a x 六.弦长公式：若直线y kx b =+与圆锥曲线相交于两点A 、B ，且12,x x 分别为A 、B 的横坐标，则AB 2121k x +-，若12,y y 分别为A 、B 的纵坐标，则AB ＝2121
1y y k
-+
。 第二部分 典型例题分析
题型1：运用双曲线的定义
例1. 如图所示，F 为双曲线116
9:
2
2=-y x C 的左 焦点，双曲线C 上的点i P 与()3,2,17=-i P i 关于y 轴对称，
则F P F P F P F P F P F P 654321---++的值是（ ） A ．9 B ．16 C ．18 D ．27
[解析] =-F P F P 61=-F P F P 52643=-F P F P ，选C
练习：设P 为双曲线112
2
2
=-y x 上的一点F 1、F 2是该双曲线的两个焦点，若|PF 1|：|PF 2|=3：2，则△PF 1F 2的面积为 （ ）
A ．36
B ．12
C ．312
D ．24
解析：2:3||:||,13,12,121====PF PF c b a 由 ①
又,22||||21==-a PF PF ② 由①、②解得.4||,6||21==PF PF
,52||,52||||2212221==+F F PF PF
为21F PF ∴直角三角形，
.12462
1
||||212121=??=?=
∴?PF PF S F PF 故选B 。
题型2 求双曲线的标准方程
例2 已知双曲线C 与双曲线162
x －4
2y =1有公共焦点，且过点（32，2）.求双曲线C
的方程．
解：设双曲线方程为22
a x －22b
y =1.由题意易求c =25.
又双曲线过点（32，2），∴22)23(a －2
4
b =1.
又∵a 2+b 2=（25）2，∴a 2=12，b 2=8.
故所求双曲线的方程为122
x －8
2y =1.
练习：1已知双曲线的渐近线方程是2
x y ±=，焦点在坐标轴上且焦距是10，则此双曲线的
方程为 ； 解：设双曲线方程为λ=-224y x ， 当0>λ时，化为
14
2
2
=-λ
λ
y x ，20104
52
=∴=∴λλ
， 当0<λ时，化为
14
2
2
=---λλy y ，2010452-=∴=-∴λλ， 综上，双曲线方程为221205
x y -
=或12052
2=-x y 2.已知点(3,0)M -，(3,0)N ，(1,0)B ，动圆C 与直线MN 切于点B ，过M 、N 与圆C 相切的两直线相交于点P ，则P 点的轨迹方程为
A ．22
1(1)8y x x -=<- B ．22
1(1)8
y x x -=> C ．1822
=+y x （x > 0） D ．22
1(1)10
y x x -=> [解析]2=-=-BN BM PN PM ，P 点的轨迹是以M 、N 为焦点，实轴长为2的双曲线的
右支，选B
题型3 与渐近线有关的问题 例3.焦点为（0，6），且与双曲线12
22
=-y x 有相同的渐近线的双曲线方程是
A ．124
122
2=-y x
B ．
124
122
2=-x y C ．
112
242
2=-x y D ．
112
242
2=-y x [解析]从焦点位置和具有相同的渐近线的双曲线系两方面考虑，选B
练习：过点（1，3）且渐近线为x y 2
1
±=的双曲线方程是
解：设所求双曲线为()2
214x y k
-= 点
（1，3）代入：135
944
k =-=-.代入
（1）：2222
3541443535
x y x y -=-?-=即为所求. 题型4 弦中点问题——设而不求法
例4. 双曲线122=-y x 的一弦中点为（2，1），则此弦所在的直线方程为 （ ） A. 12-=x y B. 22-=x y C. 32-=x y D. 32+=x y
解:设弦的两端分别为()()1,12,2,A x y B x y .则有：
()()222222
111212121222
121222
101x y y y x x x x y y x x y y x y ?-=-+?---=?=?-+-=?. ∵弦中点为（2，1），∴121242x x y y +=??+=?.故直线的斜率121212122y y x x
k x x y y -+===-+.
则所求直线方程为：()12223y x y x -=-?=-，故选C.
练习：1.在双曲线12
2
2
=-y x 上，是否存在被点M （1，1）平分的弦？如果存在，求弦所在的直线方程；如不存在，请说明理由.
【错解】假定存在符合条件的弦AB ，其两端分别为：A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）.那么：
()()()()()22
111212
121222221112
01121
2
x y x x x x y y y y x y ?-=???-+--+=??-=??.
∵M （1，1）为弦AB 的中点，
∴()()()1212
12121212
2
022
AB x x y y x x y y k y y x x +=?----=∴=
=?
+=-?代入1：2， 故存在符合条件的直线AB ，其方程为：()12121y x y x -=-=-，即. 这个结论对不对呢？我们只须注意如下两点就够了：
其一：将点M （1，1）代入方程1222
=-y x ，发现左式=1-11
22
=＜1，故点M （1，1）在双曲线的外部；其二：所求直线AB 的斜率2AB k =，
而双曲线的渐近线为y =.
这里
2，说明所求直线不可能与双曲线相交，当然所得结论也是荒唐的.
问题出在解题过程中忽视了直线与双曲线有公共点的条件. 【正解】在上述解法的基础上应当加以验证.由
()()2
222
21221224302221y x x x x x y x ?-=??--=?-+=?
?=-?
这里16240?=-，故方程（2）无实根，也就是所求直线不合条件. 结论；不存在符合题设条件的直线.
2. 已知双曲线12
2
2
=-y x ,问过点A （1，1）能否作直线l ,使l 与双曲线交于P 、Q 两点，并且A 为线段PQ 的中点？若存在，求出直线l 的方程，若不存在，说明理由。 解：设符合题意的直线l 存在，并设),(21x x P 、),(22y x Q
则???
????=-=-
)2(12)1(122
2222
121y x y x ﹙1﹚
)2(-得))((2121x x x x +- )3())((2
1
2121y y y y +-=
因为A （1，1）为线段PQ 的中点，所以???=+=+)5(2)
4(221
21y y x x 将(4)、(5)代入（3）得
)(2
1
2121y y x x -=
- 若21x x ≠，则直线l 的斜率22
12
1=--=
x x y y k ，
其方程为012=--y x
??
???=--=12122
2y x x y 得03422
=+-x x 根据08<-=?,说明所求直线不存在。 3.已知中心在原点，顶点A 1、A 2在x 轴上，离心率e =
3
21
的双曲线过点P (6，6) (1)求双曲线方程 (2)动直线l 经过△A 1PA 2的重心G ，与双曲线交于不同的两点M 、N ，问 是
否存在直线l ,使G 平分线段MN ，证明你的结论
解 (1)如图，设双曲线方程为2222b y a x -=1 由已知得321,1662
222
2222=+==-a b a e b a ,解得a 2=9,b 2
=12 所以所求双曲线方程为12
922y x -=1
(2)P 、A 1、A 2的坐标依次为(6,6)、(3，0)、(－3，0），∴其重心G 的坐标为(2，2） 假设存在直线l ，使G (2，2)平分线段MN ，设M (x 1,y 1)，N (x 2,y 2) 则有
22
12111222
1212224129108124,493129108
x x x y y y y y x x x y ?+=-=?-??==??+=--=???，∴k l =34
∴l 的方程为 y =34 (x －2)+2,由??
?
??-==-)
2(34108
91222x y y x ,消去y ,整理得x 2－4x +28=0 ∵Δ=16－4×28＜0,∴所求直线l 不存在
题型5 综合问题
1.已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为()2,0
，右顶点为
)
.
（Ⅰ）求双曲线C 的方程
（Ⅱ）若直线:=l y kx A 和B 且2?>OA OB （其中O 为原点），求k 的取值围
解（1）设双曲线方程为22221-=x y a b
由已知得2=a c ，再由222
2+=a b ，得21=b
故双曲线C 的方程为2
213
-=x y . （2
）将=y kx 2
213
-=x y
得22(13)90---=k x 由直线l
与双曲线交与不同的两点得()
22
22
13036(13)36(1)0?-≠?
??=+-=->??
k k 即2
13
≠k 且21 22 9 ,1313-+= =--A B A B x y x y k k ，由2?>OA OB 得2+>A B A B x x y y ， 而2((1)()2+=+=+++A B A B A B A b A B A B x x y y x x kx kx k x x x x 22 22937 (1)21331 -+=+++=--k k k k k . 于是2237231+>-k k ，即22 39031-+>-k k 解此不等式得21 3.3 < 21 13 < 故的取值围为3(1,,1??- ? ??? 2.已知两定点1(F 2F 满足条件212PF PF -=的点P 的轨迹是曲线E ，直线ｙ＝kx －1与曲线E 交于A 、B 两点。 （Ⅰ）求ｋ的取值围； （Ⅱ）如果63,AB =且曲线E 上存在点C ，使,OA OB mOC + =求m ABC ?的值和的面积 S 。 解：（Ⅰ）由双曲线的定义可知，曲线E 是以()) 12 ,F F 为焦点的双曲线的左支， 且2,1c a ==，易知1b =，故曲线E 的方程为()2210x y x -=< 设()()1122,,,A x y B x y ，由题意建立方程组22 1 1y kx x y =-??-=? 消去y ，得()221220k x kx -+-=，有 ()()222 12 212210281020 1201k k k k x x k x x k ?-≠??=-->???-?+=?-? 解得21k <<- ∵ 2121AB k x x =+-()2121214k x x x x =++- 2 222221411k k k k --?? =+-? ?--?? ()()() 2 2 2 21221k k k +-=-依题意得 ()()() 2 2 2 21231k k k +-=-4 2 2855250k k -+= ∴257k = 或25 4 k =，但21k -<<- ∴52k =- 故直线AB 5 10x y ++= 设()00,C x y ，由已知OA OB mOC +=，得()()()112200,,,x y x y mx my += ∴()121200,,x x y y mx my m m ++?? = ???，()0m ≠ 又1222 451 x x k +==--()212122 22222811k y y k x x k k +=+-=-==-- ∴点458C m ?-???? ，将点C 的坐标代入曲线E 的方程，得22 80641m m -=得4m =±， 但当4m =-时，所得的点在双曲线的右支上，不合题意
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