第二章二次函数单元测试
一、选择题 (本大题共7 小题，共 28 分 )
1．已知抛物线y＝ ax2＋ bx＋ c 的开口向下，顶点坐标为 (2，－ 3)，那么该抛物线有 () A．最小值－ 3 B．最大值－ 3 C．最小值 2 D ．最大值 2
2．已知二次函数y＝ ax2＋ bx＋ c 的 x 与 y 的部分对应值如下表：
x －1 0 1 2 3
y 5 1 － 1 － 1 1
则该二次函数图象的对称轴为( )
5 3
A ． y 轴B．直线 x＝2 C．直线 x＝2 D．直线 x＝2
3．若二次函数 y＝ (m－ 1)x2－ mx－ m2＋1 的图象过原点，则 m 的值为 ()
A．±1 B． 0 C． 1 D．－1
图 8－Z－1
c
4．一次函数 y＝ ax＋ b 和反比例函数y＝x在同一平面直角坐标系中的图象如图8－ Z－ 1
所示，则二次函数y＝ax2＋ bx＋ c 的图象大致为 ()
图 8－Z－2
为
5．国家决定对某药品价格分两次降价，若设平均每次降价的百分率为
18 元，降价后的价格为y 元，则 y 与 x 之间的函数关系式为()
x，该药品原价A ． y＝ 36(1－ x) B． y＝ 36(1＋ x) C．y＝ 18(1 － x)2 D． y＝ 18(1＋ x2)
图 8－Z －3
6．如图 8－ Z － 3 是二次函数 y ＝ax 2＋ bx ＋ c 图象的一部分 ，图象过点 (－ 3，0)，对称轴
① b 2
＞ 4ac ；② 2a ＋ b ＝0；③ a ＋ b ＋ c>0；④若点 B － 5
为直线 x ＝－ 1，给出四个结论： 2， y 1 ，
C － 1
，y 2 为函数图象上的两点 ，则 y 1＜ y 2.其中正确的是 (
)
2
A ．②④
B ．①④
C ．①③
D ．②③
图 8－Z －4
7．如图 8－ Z －4， Rt △ OAB 的顶点 A(－ 2，4)在抛物线 y ＝ax
2
上，将 Rt △OAB 绕点 O
顺时针旋转 90°， 得到 △OCD ，边 CD 与该抛物线交于点 P ，则点 P 的坐标为 (
)
A ．( 2， 2)
B ．(2，2)
C ．( 2，2)
D ．(2， 2)
二、填空题 (本大题共 5 小题，共 25 分 )
8． 函数 y ＝ (x － 2)(3－ x)取得最大值时 ， x ＝ ________．
9． 将抛物线 y ＝ 2(x － 1)2＋ 2 向左平移 3 个单位 ，再向下平移 4 个单位长度 ，那么得到
的抛物线的表达式为 ____________ ．
10．如图 8－ Z － 5，某公路隧道横截面为抛物线 ，其最大高度为 8 m ，以隧道底部宽 AB
所在直线为 x 轴，以 AB 垂直平分线为
y 轴建立如图 2－ Z － 7 所示的平面直角坐标系 ，若抛
物线的表达式为 y ＝－ 1 2
2 x ＋ b ，则隧道底部宽 AB 为 ________m.
图 8－Z－5 图 8－Z－ 6 11．如图 8－ Z － 6 所示，已知抛物线 y＝ ax 2＋ bx＋ c 与 x 轴交于 A， B 两点，顶点 C 的
纵坐标为－ 2，现将抛物线向右平移 2 个单位长度，得到抛物线
2
y＝ a1 x ＋ b1 x＋ c1，则下列结
论正确的是 ________． (写出所有正确结论的序号)
① b>0 ；② a－ b＋c<0；③阴影部分的面积为4；④若 c＝－ 1，则 b2＝4a.
12．二次函数y＝ x2－ 2x－3 的图象如图8－ Z－ 7 所示，若线段 AB 在 x 轴上，且 AB 为
23个单位长度，以 AB 为边作等边三角形 ABC ，使点 C 落在该函数 y 轴右侧的图象上，则点C 的坐标为 ________________ ．
图 8－Z－7
三、解答题 (共 47 分 )
13． (14 分 )如图 8－ Z－ 8，已知矩形 ABCD 的周长为 12， E， F， G， H 为矩形 ABCD 的各边中点，若 AB＝ x，四边形 EFGH 的面积为 y.
(1)请直接写出y 与 x 之间的函数关系式；
(2)根据 (1) 中的函数关系式，计算当x为何值时，y最大，并求出最大值．
图 8－Z－8
14．(16 分)大学毕业生小王响应国家“自主创业”的号召，利用银行小额无息贷款开办了
一家饰品店．该店购进一种今年新上市的饰品进行销售，饰品的进价为每件40 元，售价为每件 60 元，每月可卖出300 件．市场调查反映：调整价格时，售价每涨 1 元，每月要少卖
10 件；售价每下降 1 元，每月要多卖 20 件．为了获得更大的利润，现将饰品售价调整为 (60 ＋x)元/ 件 (x＞ 0 即售价上涨， x＜0 即售价下降 )，每月饰品销量为 y 件，月利润为 w 元．
(1)直接写出y 与 x 之间的函数关系式；
(2)如何确定销售价格才能使月利润最大？求最大月利润；
(3)为了使每月利润不少于6000 元，应如何控制销售价格？
15． (17 分 )如图 8－ Z－ 9，在平面直角坐标系中，二次函数的图象交坐标轴于A( －1，0)， B(4， 0)， C(0，－ 4)三点，P 是直线 BC 下方抛物线上一动点．
(1)求这个二次函数的表达式．
(2)是否存在点 P，使△POC 是以 OC 为底边的等腰三角形？若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由．
(3)动点 P 运动到什么位置时，△PBC 的面积最大，求出此时点 P 的坐标和△PBC 的最大面积．
图 8－Z－9
详解详析
1．B [解析 ] 因为抛物线开口向下
，其顶点坐标为 (2，－3) ，所以该抛物线有最大值－
3.故选 B.
2．D [解析 ] 观察表格可知 ，点 (0，1)与点 (3，1)、点 (1，－ 1)与点 (2，－ 1)的纵坐标分
别相等 ，所以可知它们分别关于图象的对称轴对称 ，进而可求得对称轴为直线
x ＝
0＋ 3
2 (或
1＋2 3
2 )＝ 2.故选 D.
3． D 4.C 5.C
2
6． B [ 解析 ] ①由抛物线与 x 轴有两个交点 ，得 b － 4ac ＞ 0，所以①正确；②因为对
称轴为直线 x ＝－ 1，则－ b
＝－ 1，即 2a － b ＝ 0，所以②错误； ③因为抛物线经过点
A(－ 3，
2a
0)，对称轴为直线 x ＝－ 1，则抛物线与 x 轴的另一个交点为 (1，0)，于是有 a ＋ b ＋ c ＝ 0，所
5
1
以③错误；④点
B － 2， y 1 在对称轴左侧 1.5 个单位长度处 ，点
C －2， y 2 在对称轴右侧 0.5 个单位长度处 ，找出相应的点 ，显然 y 1＜ y 2，所以④正确．故选 B.
5
7． C 8.2
9． y ＝2(x ＋ 2) 2－2( 或 y ＝ 2x 2＋ 8x ＋ 6)
10． 8 [ 解析 ] 由题意可知抛物线
y ＝－ 1
x 2＋ b 的顶点坐标为 (0， 8)，
2
∴ b ＝ 8， ∴抛物线的函数表达式为
1 2
当 y ＝ 0 时， 0＝－ 2x ＋ 8，解得
1 2
y ＝－ 2x ＋ 8.
x ＝ 4 或－ 4，
∴水面宽 AB ＝ 4＋ 4＝8(m) ．故答案为 8.
11． ③④ [ 解析 ] 由题图知 ，抛物线开口向上 ， ∴ a>0.又对称轴在 y 轴的右侧 ，
b
∴ x ＝－ >0，
∴ b<0 ，①错误．当x＝－ 1 时，抛物线在x 轴上方，
∴ y＝ a－ b＋ c>0 ，②错误．设平移后的抛物线顶点为E，与 x 轴右边的交点为D，则阴影部分的面积与平行四边形CEDB 的面积相同．
∵平移了 2 个单位长度，点 C 的纵坐标是－ 2，∴ S＝ 2×2＝ 4，③正确．由抛物线的顶
点坐标公式，得 y C＝－ 2，
2
4ac－ b
∴＝－ 2.
∵ c＝－ 1，解得 b2＝4a，④正确．故填③④.
12． (1＋7， 3)或(2，－ 3)
13．解： (1) ∵矩形 ABCD 的周长为 12，AB＝ x，
1
∴ BC＝2×12－ x＝ 6－ x.
∵ E， F， G， H 为矩形 ABCD 的各边中点，
1 1 2
∴ y＝ x(6 － x) ＝－ x ＋ 3x，
2 2
即 y＝－1
2x2＋ 3x.
1 2 1 2
＋4.5，
(2)y＝－ x ＋ 3x＝－(x－ 3)
2 2
∵a＝－1
＜ 0，2
∴ y 有最大值，
当 x＝ 3 时， y 有最大值，为 4.5. 14．解： (1) 由题意可得：
300－ 10x（0≤x≤ 30），
y＝
300－ 20x（－ 20≤x<0） . (2)由题意可得：
（ 20＋ x ）（ 300－10x ）（ 0≤x ≤30）， w ＝
（ 20＋ x ）（ 300－ 20x ）（－ 20≤x<0），
化简得：
－ 10x 2＋ 100x ＋ 6000（0≤x ≤30），
w ＝
－ 20x 2－ 100x ＋ 6000（－ 20≤x<0），
－ 10（ x － 5） 2＋ 6250（ 0≤x ≤30），
即 w ＝ － 20（ x ＋ 5）2 ＋6125（－
20≤x<0）. 2
由题意可知 x 应取整数 ，所以当 x ＝－ 2 或 x ＝－ 3 时， w ＜ 6125＜ 6250 ，
故当销售价格为每件
65 元时 ，月利润最大 ，最大月利润为 6250 元．
(3)由题意得 w ≥ 6000，如图，令 w ＝ 6000 ，
5 2 2
＋ 6250， 即 6000＝－ 20(x ＋ ) ＋ 6125， 6000＝－ 10(x － 5)
2
解得 x 1＝－ 5， x 2＝ 0， x 3＝10，
∴－ 5≤x ≤10，
故将销售价格控制在
55 元到 70 元之间 (含 55 元和 70 元 )，才能使每月利润不少于
6000
元．
15． 解： (1) 设这个二次函数的表达式为
y ＝ ax 2＋ bx ＋ c ，
a －
b ＋
c ＝ 0，
a ＝1，
把 A ， B ， C 三点的坐标分别代入可得
16a ＋ 4b ＋ c ＝ 0，解得 b ＝－ 3， c ＝－ 4，
c ＝－ 4，
∴这个二次函数的表达式为
y ＝ x 2－ 3x － 4.
(2)作 OC 的垂直平分线 DP ，交 OC 于点 D ，交 BC 下方抛物线于点
P ，连接 OP ， CP ，
如图① ，
∴PO＝ PC，此时点 P 即为满足条件的
点．∵ C(0，－ 4)，
∴D(0，－ 2)，
∴点 P 的纵坐标为－ 2.
当 y＝－ 2 时，即 x2－3x－ 4＝－ 2，
解得 x1＝3－17(
不合题意，舍去)，x2＝
3＋17
.
2 2
3＋17
∴存在满足条件的点P，其坐标为 (，－2)．
(3)∵点 P 在抛物线上，
∴可设 P(t ，t2－ 3t－ 4)．
过点 P 作 PE⊥ x 轴于点 E，交直线 BC 于点 F，如图② ，∵B(4， 0)，C(0，－4)，
∴直线 BC 的函数表达式为y＝x－ 4，
∴F(t， t－ 4)，
∴PF＝ (t－4)－ (t2－ 3t－ 4)＝－ t2＋ 4t，
∴S
△PBC ＝S
△ PFC
＋S
△ PFB
＝
1 1 1 1 1 2
×4 2
PF·OE＋ PF ·BE＝ PF ·(OE＋ BE )＝PF ·OB＝(－ t ＋ 4t)
2 2 2 2
＝－ 2(t－2)2＋ 8，
∴当 t＝ 2 时， S△PBC最大，且最大值为8，
此时 t2－ 3t－ 4＝－ 6，
∴当点 P 的坐标为 (2，－ 6)时，△ PBC 的面积最大，最大面积为8.