衡水金卷2018年高三数学全国统考模拟试卷（三）理科附答案
2018年普通高等学校招生全国统一考试模拟试题
理数（三）
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知复数满足（为虚数单位），其共轭复数为，则为（）A．B．C．D．
2.已知，（其中，，），则的值为（）
A．B．
C．D．
3.已知集合，，若，则实数的取值范围为（）A．B．C．D．
4.某高三学生进行考试心理素质测试，场景相同的条件下每次通过测试的概率为，则连续测试4次，至少有3
次通过的概率为（）
A．B．C.D．
5.已知，，，，若，则的值为（）
A．8B．9C.10D．11
6.已知椭圆的左顶点为，上顶点为，右焦点为，若，则椭圆的离心率为（）
A．B．C.D．
7.将函数图像上的所有点向右平移个单位长度后得到函数的图像，若在区间上单调递增，则的最大值为（）A．B．C.D．
8.如图是计算的程序框图，若输出的的值为，则判断框中应填入的条件是（）
A．B．C.D．
9.朱世杰是历史上有名的数学家之一，他所著的《四元玉鉴》卷中“如像招数一五间”，有如下问题：“今有官司差夫一千八百六十四人筑堤，只云初日差六十四人，次日转多七人，每人日支米三升，共支米四百三石九斗二升，问筑堤几日？”其大意为：“官府陆续派遣1864人前往修筑堤坝，第一天派出64人，从第二天开始，每天派出的人数比前一天多7人，修筑堤坝的每人每天发大米3升，共发出大米40392升，问修筑堤坝多少天”，在这个问题中，第8天应发大米（）
A．350升B．339升C.2024升D．2124升
10.已知三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥内切球的半径为（）
A．B．C.D．
11.如图所示，在矩形中，，，为边的中点，现将绕直线翻转至处，若为线段的中点，则异面直线与所成角的正切值为（）
A．B．2C.D．4
12.若函数图像上存在两个点，关于原点对称，则对称点为函数的“孪生点对”，且点对与可看作同一个“孪生点对”.若函数恰好有两个“孪生点对”，则实数的值为（）
A．0B．2C.4D．6
第Ⅱ卷
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13.的展开式中含项的系数为．
14.如图所示，在正方形中，点为边的中点，点为边上的靠近点的四等分点，点为边上的靠近点的三等分点，则向量用与表示为．
15.已知在等腰梯形中，，，，双曲线以，为焦点，且与线段，（包含端点，）分别有一个交点，则该双曲线的离心率的取值范围是．
16.已知数列满足，，若，则数列的前项和．
三、解答题（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17.在中，角，，的对边分别为，，，且，为边上一点，，.
（1）求的面积；
（2）若，求角的大小.
18.如图所示，在三棱锥中，平面平面，，，，.
（1）证明：平面；
（2）若二面角的平面角的大小为，求直线与平面所成角的正弦值.
19.某葡萄基地的种植专家发现，葡萄每株的收获量（单位：）和与它“相近”葡萄的株数具有线性相关关系（所谓两株作物“相近”是指它们的直线距离不超过），并分别记录了相近葡萄的株数为1,2,3,4,5,6,7时，该葡萄
每株收获量的相关数据如下：
123567
1513121097
（1）求该葡萄每株的收获量关于它“相近”葡萄的株数的线性回归方程及的方差；
（2）某葡萄专业种植户种植了1000株葡萄，每株“相近”的葡萄株数按2株计算，当年的葡萄价格按10元/投入市场，利用上述回归方程估算该专业户的经济收入为多少
万元；（精确到0.01）
（3）该葡萄基地在如图所示的正方形地块的每个格点（指
纵、横直线的交叉点）处都种了一株葡萄，其中每个小正方形的面积都为，现在所种葡萄中随机选取一株，求它的收获量的分布列与数学期望.（注：每株收获量以线性回归方程计算所得数据四舍五入后取的整数为依据）附：对于一组数据，，，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，.
20.已知抛物线的焦点为，直线与抛物线交于，两点. （1）若直线过焦点，且与圆交于，（其中，在轴同侧）两点，求证：是定值；
（2）设抛物线在点和点处的切线交于点，试问在轴上是否存在点，使得四边形为菱形？若存在，求出此时直线的斜率和点的坐标；若不存在，请说明理由.
21.已知函数，.
（1）当时，求函数在点处的切线方程；
（2）当时，令函数，若函数在区间上有两个零点，求实数的取值范围.
请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.
22.选修4-4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系中，已知点（为参数）.以为极点，轴的正半轴为极轴，取相同的长度单位建立极坐标系，直线的极坐标方程为.
（1）求点的轨迹的方程及直线的直角坐标方程；
（2）求曲线上的点到直线的距离的最大值.
23.选修4-5：不等式选讲
已知函数.
（1）在给出的平面直角坐标系中作出函数的图像；（2）记函数的最大值为，是否存在正数，，使，且，若存在，求出，的值，若不存在，说明理由.
试卷答案
一、选择题
1-5:CABAC6-10:DDBDB11、12：AA
二、填空题
13.1814.15.16.
三、解答题
17.解：（1）由，
可知，
即，
即.
因为在中，，所以，
所以.
（2）在中，由余弦定理，
可知
，
所以，所以，所以.
又由已知，得，
故角的大小为.
18.解：（1）在中，因为，，，
所以由余弦定理，可知
，
所以.故，即有.
又因为平面平面，且平面平面，平面，所以平面.又平面，所以.
又因为，，所以平面.
（2）过点作，垂足为，连接.
由（1），知平面，平面，
所以.又，所以平面，
因此即为直线与平面所成的角.
又由（1）的证明，可知平面，
又平面，平面，所以，，
故即为二面角的平面角，即.
故在中，由，得.
在中，，
且.
因此在中，得，
故直线与平面所成角的正弦值为.
19.解：（1）由题意，可知，
.
，
，
所以，
所以，
故该葡萄每株收获量关于它“相近”葡萄的株数的线性回归方程为.
的方差为
.
（2）由，可知当时，，
因此总收入为（万元）.
（3）由题知，.
由（1）（2），知当时，，所以；
当时，，所以；
当时，，
即时，与之相对应的的值分别为13,12,11，
又，
，
，
所以在所种葡萄中随机选取一株，它的收获量的分布列为
.
20.解：由题知抛物线的焦点为，设，. 由，
则，且，.
（1）若直线过焦点，则，所以，.
由条件可知圆的圆心为，半径为1，
又由抛物线定义可知，，
故可得，，
所以.
故为定值1.
（2）假设存在点满足题意，设，
由，因此.
若四边形为菱形，则，，
则，，
则，，
则，所以，
此时直线的方程为，
所以，.
则抛物线在点处的切线为，①
同理，抛物线在点处的切线为，②
联立①②，得.
又线段的中点为，所以点.
即存在点，使得四边形为菱形，此时.
21.解：（1）当时，.
当时，，所以点为，
又，因此.
因此所求切线方程为.
（2）当时，，
则.
因为，所以当时，，
且当时，；当时，；
故在处取得极大值也即最大值.
又，，
，
则，所以在区间上的最小值为，
故在区间上有两个零点的条件是
，
所以实数的取值范围是.
22.解：（1）设点，所以，（为参数），
消去参数，得，
即点的轨迹的方程为
直线,
所以直线的直角坐标方程为.
（2）由（1），可知点的轨迹是圆心为，半径为1的圆，
则圆心到直线的距离为.
所以曲线上的点到直线的距离的最大值为.
23.解：（1）由于
.
作图如下：
（2）由图像可知，
当，，即得.
假设存在正数，，使，且，
因为
，
当且仅当时，取等号，
所以的最小值为4，与相矛盾，
故不存在正数，，使，且成立.