求曲线方程的几种常见方法
案场各岗位服务流程
销售大厅服务岗：
1、销售大厅服务岗岗位职责：
1)为来访客户提供全程的休息区域及饮品;
2)保持销售区域台面整洁;
3)及时补足销售大厅物资,如糖果或杂志等;
4)收集客户意见、建议及现场问题点；
2、销售大厅服务岗工作及服务流程
阶段工作及服务流程
班前阶段1）自检仪容仪表以饱满的精神面貌进入工作区域
2）检查使用工具及销售大厅物资情况，异常情况及时登记并报告上级。
班中工作程序服务
流程
行为
规范
迎接
指引
递阅
资料
上饮品
（糕点）
添加茶水
工作
要求
1）眼神关注客人，当客人距3米距离
时，应主动跨出自己的位置迎宾，然后
侯客迎询问客户送客户
注意事项
15度鞠躬微笑问候：“您好！欢迎光临！”2）在客人前方1-2米距离领位，指引请客人向休息区，在客人入座后问客人对座位是否满意：“您好！请问坐这儿可以吗？”得到同意后为客人拉椅入座“好的，请入座！”
3）若客人无置业顾问陪同，可询问：请问您有专属的置业顾问吗？，为客人取阅项目资料，并礼貌的告知请客人稍等，置业顾问会很快过来介绍，同时请置业顾问关注该客人；
4）问候的起始语应为“先生-小姐-女士早上好，这里是XX销售中心，这边请”5）问候时间段为8:30-11:30 早上好11:30-14:30 中午好 14:30-18:00下午好
6）关注客人物品，如物品较多，则主动询问是否需要帮助（如拾到物品须两名人员在场方能打开，提示客人注意贵重物品）；
7）在满座位的情况下，须先向客人致歉，在请其到沙盘区进行观摩稍作等
待；
阶段工作及服务流程
班中工作程序工作
要求
注意
事项
饮料（糕点服务）
1）在所有饮料（糕点）服务中必须使用
托盘；
2）所有饮料服务均已“对不起，打扰一
下，请问您需要什么饮品”为起始；
3）服务方向：从客人的右面服务；
4）当客人的饮料杯中只剩三分之一时，
必须询问客人是否需要再添一杯，在二
次服务中特别注意瓶口绝对不可以与
客人使用的杯子接触；
5）在客人再次需要饮料时必须更换杯
子；
下班程
序1）检查使用的工具及销售案场物资情况，异常情况及时记录并报告上级领导；
2）填写物资领用申请表并整理客户意见；3）参加班后总结会；
4）积极配合销售人员的接待工作，如果下班时间已经到，必须待客人离开后下班；
1.3.3.3吧台服务岗
1.3.3.3.1吧台服务岗岗位职责
1）为来访的客人提供全程的休息及饮品服务；
2）保持吧台区域的整洁；
3)饮品使用的器皿必须消毒；
4）及时补充吧台物资；
5）收集客户意见、建议及问题点；
1.3.3.3.2吧台服务岗工作及流程
阶段工作及服务流程
班前阶段1）自检仪容仪表以饱满的精神面貌进入工作区域
2）检查使用工具及销售大厅物资情况，异常情况及时登记并报告上级。
班中工作程序服务
流程
行为
规范
问询需求按需求提
供饮品客户离开后清理桌面
阶段工作及服务流程
服务准迎客：保得知需客户
班中工作程序工作
要求
注意
事项
1)在饮品制作完毕后，如果有其他客户仍
在等到则又销售大厅服务岗呈送；
2)所有承装饮品的器皿必须干净整洁；
下班程序5）检查使用的工具及销售案场物资情况，异常情况及时记录并报告上级领导；
6）填写物资领用申请表并整理客户意见；7）参加班后总结会；
8）积极配合销售人员的接待工作，如果下班时间已经到，必须待客人离开后下班；
1.3.4展示区服务岗岗位职责
1.3.4.1车场服务岗
1.3.4.1.1车场服务岗岗位职责
1）维护停车区的正常停车秩序；
2）引导客户车辆停放，同时车辆停放有序；
3）当车辆挺稳时，上前开车门并问好；同时提醒客户锁好车门；4）视情况主动为客户提供服务；
5）待车辆停放完好后，仔细检查车身情况请客户签字确认；
1.3.4.1.2
阶段工作及服务流程
班前阶
段1）自检仪容仪表
2）检查周边及案场区设备、消防器材是否良
好，如出现异常现象立即报告或报修
3）检查停车场车位是否充足，如有异常及时上报上级领导
班中工作程序服务
流程
行为
规范
1.敬礼
2.指引停车
3.迎客问好
4.目送
阶段工作及服务流程
班中工作程序工作
要求
注意
事项
1）岗位应表现良好的职业形象时刻注
意自身的表现，用BI规范严格要求自
己
2）安全员向客户敬礼，开车门，检查车
辆情况并登记，用对讲系统告知销售大
厅迎宾，待客人准备离开目送客人离
开；
迎
送
引导敬为问指引销售
检查车
为引敬
下班程序1）检查使用的工具情况，异常情况及时记录并报告上级领导；
2）参加班后总结会；
3）统计访客量；
4）积极配合销售人员的接待工作，如果下班时间已经到，必须待客人离开后下班；
1.3.4.2展示区礼宾岗
1.3.4.
2.1展示区礼宾岗岗位职责
1）对过往的客户行标准的军礼，目视；
2）与下一交接岗保持信息联系，及时将信息告知下一岗位，让其做好接待工作；3）热情礼貌的回答客户的提问，并做正确的指引；
4）注视岗位周边情况，发现异常及时上报上级领导；
1.3.4.
2.2展示区礼宾岗工作及服务流程
阶段工作及服务流程
班前阶段1）自检仪容仪表
2）检查周边及案场区设备、消防器材是否良好，如出现异常现象立即报告或报修
班中工作程序服务
流程
敬礼问指引样板敬礼目送
行为
规范
1.迎接客户
2.指引客户
3.为客户提供帮
助4.目送客户
工作要求注意事项1）礼宾岗必须掌握样板房户型、面积、朝向、在售金额、物业服务管理费用等客户比较关注的话题；
2）礼宾岗上班后必须检查样板房的整体情况，如果发现问题必须及时上报并协助销售进行处理；
3）视线范围内见有客户参观时，远处目视，待客户行进1.5米的距离时，敬军礼并主动向客户微笑问好，“欢迎您来参观样板房，这边请，手势指引样板房方向”；
阶段工作及服务流程
班中工作程序工作
要求
注意
事项
4）参观期间，礼宾岗需注意背包或穿大
衣等可以重点人员进行关注，避免样板
房的物品丢失，当巡检时发现有物品丢
失及时上报上级领导，对参观的可疑人
员进行询问，根据销售部的意见决定是否报警；
5）样板房开放时间，在未经销售、项目部允许而进行拍照、摄像等行为劝阻，禁止任何人员挪动展示物品；
6）样板房开放时礼宾岗要关注老人、小孩、孕妇及行动不便的人群，对在参观过程中出现的意外及物品损坏必须及时上报上级领导，根据销售部的意见进行处理并做好登记；
7）样板房开放期间礼宾岗要礼貌准确的回答客户的问题，对不能回答的问题需引导给销售人员由其进行解答，严禁用含糊不清或拒绝来回答；
8）留意客户是否离开样板房，通知电瓶车司机来接客户；
9）当客户参观完毕离开样板房，待客户1.5米距离时微笑敬礼目送客户，手势指向出门的方向，若电瓶车未到，向客户致歉并说明电瓶车马上就到；
10）每天下班要对样板房物品进行检查并做好登记，如出现丢失或损坏须向上
级领导呈报，根据销售部意见进行处理并做好记录；
11）礼宾岗下班后要关闭样板房的水源、电源及监控系统并与晚班人员做好交接；
12）对于特殊天气，样板房礼宾岗要检查周边环境，以防不则；
下班程序1）检查使用的工具情况，异常情况及时记录并报告上级领导；
2）参加班后总结会；
3）统计访客量；
4）积极配合销售人员的接待工作，如果下班时间已经到，必须待客人离开后下班；
1.3.4.3电瓶车服务岗
1.3.4.3.1电瓶车服务岗岗位职责
1）严格按照规定的路线及线路行驶，将客人送到指定地点；
2）正确执行驾驶操作流程，确保车行安全；
3）了解开发建设项目的基本情况并使用统一说辞，在允许的情况下礼貌回答客户问题；4）车辆停放时及时对车辆进行清洁，确保车辆干净；
5）负责车辆的检查；
6）对车辆实施责任化管理，未经允许任何人不得驾驶；
7）不允许非客户人员乘坐电瓶车；
8）做好电瓶车的交接工作
1.3.4.3.2电瓶车服务岗工作及服务流程
阶段工作及服务流程
班前阶段1）自检仪容仪表
2）检查电瓶车运行状态，如发现问题立即上报上级领导进行维修并做好记录
班中工作程序服务
流程
行为
规范
1）迎接客户上车2）转弯、减速、避让
提示客户3）下车提示客户小心
工作
要求
注意
事项
1）电瓶车驾驶员载客至样板房过程中
禁止鸣笛、超速、遇车避让；
2）客户上车时应主动问好，欢迎您来到
XX项目，车辆行驶时应提示客户坐稳扶
好，到达目的地时，驾驶员提示客户样
板房已经到达请小心下车，客户离开电
瓶车时应说：欢迎下次乘坐，谢谢再见，
问指引车辆起车辆行驶下
请慢走；
3）带客户下车时应检查车上是否有遗留物品，并提示客户随身带好物品；4）电瓶车必须严格按照规定路线行驶；5）做好行车记录；
下班程序1）待客户全部离开后将电瓶车开至指定位置，并将车辆进行清洁及充电；
2）整理客户意见，参加班后会；
3）积极配合销售人员的接待工作，如果下班时间已经到，必须待客人离开后下班；
1.3.5样板房服务岗
1.3.5.1样板房讲解岗岗位标准
1.3.5.1.1样板房讲解岗岗位职责
1)负责来访样板房客户的全程接待与讲解；
2）协助、配合置业顾问介绍；
3）客户离开后，样板房零星保洁的处理；
4）收集客户意见、建议及现场问题点的填写（样板房日常庶务）反馈单,下班后递交案场负责人；
1.3.5.1.2样板房讲解刚工作及服务流程
阶段工作及服务流程
班前阶1）自检仪容仪表，以饱满的工作状态进入工
段作；
2）检查样板房设备设施运行情况，如有异常
及时上报并做好登记；
3）检查样板房保洁情况及空调开启情况；
设备设施班中工作程序服务
流程
行为
规范
1）站立微笑自然2）递送鞋套3）热情大
方、细致讲解4）温馨道别保持整洁
工作
要求
注意
事项
1）每日对接样板房设备清单，检查空调
开启及保洁状态；
2）站在样板房或电梯口，笑意盈盈接待
客户；
3）顾客出现时，身体成30度角鞠躬“欢
迎光顾XX样板房”
4）引领入座并双手递上鞋套，双手递上
时不宜过高，与客人坐下时的膝盖同
高；
5）与客户交谈时声音要足，吐字清晰避
迎客，引导客协助置向客户
免重复；
6）专注你接待的客户，勿去应其他客户，以示尊重，对其他客户微笑点头以示回应；
7）若无销售人员带领的客户，要主动介绍房子的户型及基本信息，谈到房子的价位时请客户直接与销售人员联系不要直接做回答；
8）参加样板房时，未经销售或其他人员允许谢绝拍照及录像，谢绝动用样板房物品及附属设施，对客遗失物品做好登记并上报上级领导；
9）时刻注意进入样板房的客户群体，特别是小孩，要处处表达殷勤的关心，以示待客之道；
10）时刻留意客户的谈话，记下客户对样板房的关注点和相关信息；
11）送别，引领客户入座示意脱下鞋套双手承接，客户起身离去时，鞠躬说感谢您参观样板房，并目送客户离开；
下班程
序1）检查样板房设备设施是否处于良好的运营状态，如出现异常及时维修；
2）需对接样板房物品清单；
3）整理客户意见，参加班后会；
4）积极配合销售人员的接待工作，如果下班
时间已经到，必须待客人离开后下班；
1.3.5.2样板房服务岗岗位标准（参见销售大厅服务岗岗位标准）
1.3.6案场服务岗管理要求
培训及例会岗前培训BI规范及楼盘基本情况
在岗培训每
月至少一次
1）公司企业文化2）客户服务技
巧3）客户心理培训4）突发事件
处理5）营销知识培训6）职业安
全7）7S现场管理
例会
日会：每日参加案场管理岗组织
的总结会并及时接收案场信息
周会：每周参加管理岗组织的服
务类业务点评会
客户信息收集反馈
每日汇总客户信息反馈到案场管理岗
样板房客户车场岗客户
监督考
核1）考核频次：至少每月一次；
2）考核人：案场管理岗；
3）每月汇总客户信息反馈表，依据上级检查及客户满意度调查情况进行绩效加减；
4）由案场负责人直接考核；
5）连续两个月考核不合格者直接辞退
1.4案场基础作业岗
1.4.1案场基础作业岗任职资格
岗位类
型
岗位名称任职资格基
础作业岗安
全
岗
基本要求：
1）男性：身高1.80米
以上；
2）年龄：(18-30)岁；
3）普通话标准；
4）学历：高中以上；
技能要求：
1）熟悉项
目的基本
情况
2）具备过
硬的军事
素质
素质要求：
1）性格：开朗、主动服
务意识强有亲和力；
2）从业经历：具有同岗
位经验半年以上
案场保洁岗及绿化养护岗基本要求：
1）男女不限；
2）年龄30岁以下
3）学历：初中以上
技能要求“
案场保洁岗：
熟知药剂使
用及工具使
用
案场绿化养
护岗：熟知树
木习性及绿
化养护知识素质要求：具有亲和力，
对保洁及绿化工作有认
同感
案场技术保障岗基本要求：男性五官端
正
学历：中专（机电一体化）
技能要求：
1）具有水
或电及空
调证书；
2）熟悉各
岗位操作
工具的使
用；
3）同岗工
作一年以
上
素质要求：
踏实肯干，具有亲和力及
主动服务意识
1.4.2案场基础作业岗通用行为规范
通用规范
参照
标准 君正物业员工BI 规范手册
1.4.3安全岗岗位标准 1.4.3.1安全岗岗位职责
1）负责销售案场管理服务区域的安全巡视工作，维持正常秩序； 2）监督工作区域内各岗位工作状态及现场情况及时反馈信息；
3）发现和制止各种违规和违章行为，对可疑人员要礼貌的盘问和跟踪察看； 4）谢绝和制止未经许可的各类拍照、摆放广告行为； 1.4.3.2安全岗作业要求
1）按照巡视路线巡视签到检查重点部位；
2）遇见客户要站立、微笑、敬礼，礼貌的回答客户的提问并正确引导； 3）人过地净，协助案场保洁人员做好案场的环境维护； 4）在每一巡视期内检查设备设施运行状态并做好记录； 5）协助做好参观人员的车辆引导、指引和执勤工作； 6）积极协助其他岗位工作，依据指令进行协助；
1.4.4保洁岗岗位标准
1.4.4.1保洁岗岗位职责
1）负责案场办公区域、样板房及饰品的清洁工作；
2）负责案场外围的清洁工作；
3）负责案场垃圾的处理；
4）对案场杂志等资料及时归位；
1.4.4.2保洁岗作业要求
1）每天提前半小时上岗，对案场玻璃、地面等进行全方位清洁；2）卫生间每十分钟进行一次巡视性清洁；
3）阴雨天提前关闭门窗；
4）掌握清洁器具的使用；
5）熟知清洁药剂的配比及使用；
1.4.5绿化岗岗位标准
1.4.5.1绿化岗岗位职责
1)负责管理区域内一切绿化的养护；
2）确保绿化的正常存活率；
3）对绿植进行修剪及消杀；
1.4.6案场技术岗岗位标准
1.4.6.1案场技术岗岗位职责
1）全面负责案场区域内设备设施的维护、维修及保养；
2）协助管理岗完成重大接待工作案场的布置；
3）现场安全的整体把控；
1.4.6.2案场技术岗岗位要求
1）每日案场开放前对辖区设备设施进行检查，保障现场零事故；2）每日班后对设备设施进行检查保障正常运行并做好相关记录；3）报修后5分钟赶到现场；
4）接到异常天气信息，对案场设备进行安全隐患排除；
1.4.7案场基础作业岗岗位要求
培训及例会岗前培训BI规范及楼盘基本情况
在岗培训每
月至少一次
1）公司企业文化2）客户服务技
巧3）客户心理培训4）突发事件
处理5）营销知识培训6）职业安
全7）7S现场管理
例会
日会：每日参加案场管理岗组织
的总结会并及时接收案场信息
周会：每周参加管理岗组织的服
务类业务点评会
客户信息收集反馈
每日汇总客户信息反馈到案场管理岗
监督考
核1）考核频次：至少每月一次；
2）考核人：案场管理岗；
3）每月汇总客户信息反馈表，依据上级检查及样板房客户车场岗客户
求曲线方程的几种常用方法 求曲线的方程，是学习解析几何的基础，求曲线的方程常用的方法主要有： 1．直接法：就是课本中主要介绍的方法。若命题中所求曲线上的动点与已知条件能直接发生关系，这时，设曲线上动点坐标为（,x y ）后，就可根据命题中的已知条件，研究动点形成的几何特征，在此基础上运用几何或代数的基本公式、定理等列出含有,x y 的关系式。从而得到轨迹方程，这种求轨迹方程的方法称作直接法。 例1：在直角△ABC 中，斜边是定长2a (0)a >，求直角顶点C 的轨迹方程。 解法一：由于未给定坐标系，为此，首先建立直角坐标系，取AB 所在的直线为x 轴，AB 的有中点O 为坐标原点，过O 与AB 垂直的直线为y 轴(如图)．则A (,0)a -，B (,0)a 。 设动点C 为(,)x y ， ∵222||||||AC BC AB +=， ∴2 224a +=， 即222x y a +=． 由于C 点到达A 、B 位置时直角三角形ABC 不存在，轨迹中应除去A 、B 两点， 故所求方程为222x y a +=（x a ≠±）。 解法二：如解法一建立直角坐标系，设A (,0)a -，B (,0)a ，C (,)x y ∵1AC BC k k =-， （1） ∴1y y x a x a =-+- ， （2） 化简得：222 x y a += ， （3） 由于在x a ≠±时方程（2）与（3）不等价，故所求轨迹方程为222x y a +=（x a ≠±）。 解法三：如解法一建立直角坐标系，设A (,0)a -，B (,0)a ，且设动点C (,)x y 。 ∵1||||2 CO AB =， a =，即222x y a +=。 轨迹中应除去A 、B 两点(理由同解法一)，故所求轨迹方程为222x y a +=（x a ≠±）。 说明：利用这种方法求曲线方程的一般方法步骤：
2.2 常见曲线的参数方程 第一节 圆锥曲线的参数方程 一椭圆的参数方程 1、中心在坐标原点，焦点在x 轴上，标准方程是22 221(0)x y a b a b +=>>的椭圆的参数方程 为cos (sin x a y b ? ??=??=? 为参数） 同样，中心在坐标原点，焦点在y 轴上，标准方程是22 221(0)y x a b a b +=>>的椭圆的参 数方程为cos (sin x b y a ? ??=??=? 为参数） 2、椭圆参数方程的推导 如图，以原点O 为圆心，,()a b a b o >>为半径分别作两个同心圆，设A 为大圆上的任一点，连接OA ，和小圆交于点B ，过点,A B 分别作x 轴，y 轴的垂线，两垂线交于点M 。 设以Ox 为始边，OA 为终边的角为?，点M 的坐标是(,)x y 。那么点A 的横坐标为x ，点B 的纵坐标为y 。由于点,A B 都在角?的终边上，由三角函数的定义有 cos cos ,sin sin x OA a y OB b ????==== 3 当半径OA 绕点O 旋转一周时，就得到了点M 的轨迹，它的参数方程是cos (sin x a y b ? ?? =??=?为 参数） 这是中心在原点O ，焦点在x 轴上的椭圆的参数方程。 3、椭圆的参数方程中参数?的意义 圆的参数方程cos (sin x r y r θ θθ =?? =?为参数）中的参数θ是动点(,)M x y 的旋转角，但在椭圆 的参数方程cos (sin x a y b ? ?? =?? =?为参数）中的参数?不是动点(,)M x y 的旋转角，它是动点 (,)M x y 所对应的圆的半径OA （或OB ）的旋转角，称为点M 的离心角，不是OM 的旋 转角，通常规定[)0,2?π∈ 4、椭圆参数方程和普通方程的互化
求曲线方程的常用方法 1． 直接法——若动点的运动规律就是一些几何量的等量关系，这些条件简单明确易于表 达，则可根据已知（或可求）的等量关系直接列出方程的方法。 2． 定义法——利用二次曲线的定义求轨迹方程。 （1） 若平面上的动点P(x,y)满足条件：11||||PF PF +=定长2a ，且122||a F F >(F 1F 2 为定点)，那么P 点的轨迹为以F 1、F 2为焦点的椭圆。故只须选择恰当的坐标系， 就可直接写出椭圆的方程。 （2） 若平面上的动点P(x,y)满足条件：11||||||PF PF -=定长2a ，且122||a F F <(F 1F 2 为定点)，那么P 点的轨迹为以F 1、F 2为焦点的双曲线。当122||a F F =时，P 点的轨迹为射线；如果不含绝对值，那么轨迹是一支双曲线或一条射线。故只 须选择恰当的坐标系，依双曲线的定义，就可直接写出椭圆的方程。 3． 代入法（或称相关点法）——有时动点P 所满足的几何条件不易求出，但它随另一动点 P ’的运动而运动，称之为相关点，若相关点P ’满足的条件简单、明确（或P ’的轨迹方程已知），就可以用动点P 的坐标表示出相关点P ’的坐标，再用条件把相关满足的轨迹方程表示出来（或将相关点坐标代入已知轨迹方程）就可得所求动点的轨迹方程的方法。 4． 几何法——利用平面几何的有关知识找出所求动点满足的几何条件，并写出其方程的方 法。 5． 参数法——有时很难直接找出动点的横纵坐标间的关系，可选择一个（有时已给出）与 所求动点的坐标x,y 都相关的参数，并用这个参数把x,y 表示出来，然后再消去参数的方法。 如：遇求两动直线的交点的轨迹方程问题，可适当引进参数（如斜率、截距等），写出两动直线的方程，然后消去参数就得到所求的两动直线的交点的轨迹方程，这种方法又称交轨法，其关键有二：一是选参，要容易写出动直线的方程；二是消参，消参的途径灵活多变，有时分别从两个方程中解出参数，再消参；有时分别解出x,y ，再消参；有时直接或适当变形后，通过加、减、乘、除，求平方和，求平方差等方法整体消参。 5．定义法—— 注意点：求动点轨迹方程在掌握一般步骤的基础上还要注意以下两点，一选建适当的坐标系，以简化运算；二是要注意曲线图形的范围，即根据条件限定方程中变量x,y 的取值范围，将方程中不适合题意的解去掉。 思路方法技巧： 1．“直接法”求动点的轨迹方程 例1． 在正三角形ABC 内有一动点P ，已知P 到三个顶点的距离分别为|PA|、|PB|、|PC| 且满足22||||||P A P B P C =+，求动点P 的轨迹方程。 222()4(0(2)x y a y +=<≤ 例2． 互相垂直的两条直线1l 、2l 的交点为P(a,b)，长为2r 的线段MN 的两端点分别在1l 、 2l 上滑动，求线段MN 的中点Q 的轨迹。 （|PQ|=1/2|MN|222()()x a y b r -+-=） 例3． 已知一条曲线在x 轴的上方，它上面的每一个点到A(0,2) 的距离减去它到x 轴的
求曲线的方程 （45分钟 100分） 一、选择题(每小题6分,共30分) 1.动点P到点(-1,2)的距离是3,则动点P的轨迹方程为( ) A.(x+1)2+(y-2)2=9 B.(x-1)2+(y+2)2=9 C.(x+1)2+(y-2)2=3 D.(x-1)2+(y+2)2=3 2.已知点P是直线2x-y+3=0上的一个动点,定点M(-1,2),Q是线段PM延长线上的一点,且|PM|=|MQ|,则Q点的轨迹方程是( ) A.2x+y+1=0 B.2x-y-5=0 C.2x-y-1=0 D.2x-y+5=0 3.等腰三角形ABC底边两端点是A(-错误!未找到引用源。,0),B(错误!未找到引用源。,0),顶点C的轨迹是( ) A.一条直线 B.一条直线去掉一点 C.一个点 D.两个点 4.已知两定点A(-2,0),B(1,0),如果动点P满足条件|PA|=2|PB|,则动点P的轨迹所围成的图形的面积等于( ) A.9π B.8π C.4π D.π 5.在平面直角坐标系中,已知A(3,1),B(-1,3),若点C满足错误!未找到引用源。=α错误!未找到引用源。+β错误!未找到引用源。,其中α,β∈R,且α+β=1,O 为坐标原点,则点C的轨迹为( ) A.射线 B.直线 C.圆 D.线段 二、填空题(每小题8分,共24分) 6.直角坐标平面xOy中,若定点A(1,2)与动点P(x,y)满足错误!未找到引用
源。·错误!未找到引用源。=4,则点P的轨迹方程是. 7.(2013·珠海高二检测)动点P与平面上两定点A(-错误!未找到引用源。,0),B(错误!未找到引用源。,0)连线的斜率的积为定值-错误!未找到引用源。,则动点P的轨迹方程为. 8.(2013·揭阳高二检测)已知直线l:错误!未找到引用源。+错误!未找到引用源。=1,M是直线l上的一个动点,过点M作x轴和y轴的垂线,垂足分别为A,B,点P 是线段AB的靠近点A的一个三等分点,点P的轨迹方程为. 三、解答题(9题,10题14分,11题18分) 9.等腰三角形的顶点是A(4,2),底边一个端点是B(3,5),求另一个顶点C的轨迹方程,试说明它的轨迹是什么? 10.已知A,B分别是直线y=错误!未找到引用源。x和y=-错误!未找到引用源。x 上的两个动点,线段AB的长为2错误!未找到引用源。,P是AB的中点.求动点P 的轨迹C的方程. 11.(能力挑战题)在边长为1的正方形ABCD中,边AB,BC上分别有一个动点Q,R,且|BQ|=|CR|.求直线AR与DQ的交点P的轨迹方程. 答案解析 1.【解析】选A.由条件可知,点P的轨迹是以(-1,2)为圆心,以3为半径的圆,
求曲线方程的几种常见方法 案场各岗位服务流程 销售大厅服务岗： 1、销售大厅服务岗岗位职责： 1)为来访客户提供全程的休息区域及饮品; 2)保持销售区域台面整洁; 3)及时补足销售大厅物资,如糖果或杂志等; 4)收集客户意见、建议及现场问题点； 2、销售大厅服务岗工作及服务流程 阶段工作及服务流程 班前阶段1）自检仪容仪表以饱满的精神面貌进入工作区域 2）检查使用工具及销售大厅物资情况，异常情况及时登记并报告上级。 班中工作程序服务 流程 行为 规范 迎接 指引 递阅 资料 上饮品 （糕点） 添加茶水 工作 要求 1）眼神关注客人，当客人距3米距离 时，应主动跨出自己的位置迎宾，然后 侯客迎询问客户送客户
注意事项 15度鞠躬微笑问候：“您好！欢迎光临！”2）在客人前方1-2米距离领位，指引请客人向休息区，在客人入座后问客人对座位是否满意：“您好！请问坐这儿可以吗？”得到同意后为客人拉椅入座“好的，请入座！” 3）若客人无置业顾问陪同，可询问：请问您有专属的置业顾问吗？，为客人取阅项目资料，并礼貌的告知请客人稍等，置业顾问会很快过来介绍，同时请置业顾问关注该客人； 4）问候的起始语应为“先生-小姐-女士早上好，这里是XX销售中心，这边请”5）问候时间段为8:30-11:30 早上好11:30-14:30 中午好 14:30-18:00下午好 6）关注客人物品，如物品较多，则主动询问是否需要帮助（如拾到物品须两名人员在场方能打开，提示客人注意贵重物品）； 7）在满座位的情况下，须先向客人致歉，在请其到沙盘区进行观摩稍作等
待； 阶段工作及服务流程 班中工作程序工作 要求 注意 事项 饮料（糕点服务） 1）在所有饮料（糕点）服务中必须使用 托盘； 2）所有饮料服务均已“对不起，打扰一 下，请问您需要什么饮品”为起始； 3）服务方向：从客人的右面服务； 4）当客人的饮料杯中只剩三分之一时， 必须询问客人是否需要再添一杯，在二 次服务中特别注意瓶口绝对不可以与 客人使用的杯子接触； 5）在客人再次需要饮料时必须更换杯 子； 下班程 序1）检查使用的工具及销售案场物资情况，异常情况及时记录并报告上级领导； 2）填写物资领用申请表并整理客户意见；3）参加班后总结会； 4）积极配合销售人员的接待工作，如果下班时间已经到，必须待客人离开后下班；
一、 空间曲线的参数化 若积分曲线Γ的参数方程 ],[)(),(),(βα∈===t t z z t y y t x x Γ，：,则曲线积分的计算公式为 ??'=++β α)())(),(),(({d d d t x t z t y t x P z R y Q x P Γ }d )())(),(),(()())(),(),((t z t z t y t x R t y t z t y t x Q '+'+ ],[d )()()())()()((d )(222βαβ α ∈'+'+'=?? t t t z t y t x t ,z t ,y t x f s x,y,z f Γ ， 曲线积分计算的关键是如何将积分曲线Γ参数化。下面将给出积分曲线参数化的某些常用方法。 1. 设积分曲线???==0 ),,(0),,(z y x G z y x F Γ：,从中消去某个自变量,例如z ，得到Γ在 xoy 平面的投影曲线，这些投影曲线常常是园或是椭圆，先将它们表示成参数方程),(),(t y y t x x ==然后将它们代入0),,(0),,(==z y x G z y x F 或中，解出)(t z z =由此得到Γ的参数方程：],[)(),(),(βα∈===t t z z t y y t x x ，。 例1将曲线???==++y x a z y x Γ2222：，(其中0>a )用参数方程表示。 解：从Γ的方程中消去y ，得到xoz 平面上的投影曲线2 222a z x =+,这是椭圆， 它的参数方程为]2,0[,sin ,cos 2 π∈== t t a z t a x ，将其代入Γ的方程，得到第七讲 曲线积分与曲面积分
高中数学第2章参数方程2.4一些常见曲线的参数方程讲义新人 教B 版选修44 学习目标：1.了解圆的渐开线和摆线的参数方程．(重点)2.了解渐开线与摆线的参数方程的推导过程．(难点) 1．摆线 (1)定义 一圆周沿一直线作无滑动滚动时，圆周上的一定点M 的轨迹称为摆线． (2)参数方程 ????? x ＝a (t －sin t )y ＝a (1－cos t ) (t 是参数)． 2．圆的渐开线 (1)定义 把一条没有弹性的细绳绕在一个固定不动的圆盘的侧面上，把绳拉紧逐渐展开，绳的外端点随之移动，且绳的拉直部分始终和圆相切．绳的端点移动的轨迹就是一条圆的渐开线，固定的圆称为渐开线的基圆． (2)参数方程 ? ?? ?? x ＝a (cos t ＋t sin t )y ＝a (sin t －t cos t )(t 是参数)． 思考：圆的渐开线和摆线的参数方程中，参数t 的几何意义是什么？ [提示] 根据渐开线的定义和求解参数方程的过程，可知其中的字母a 是指基圆的半径，而参数t 是指绳子外端运动时绳子与基圆的切点B 转过的角度，如图，其中的∠AOB 即是角 t .显然点M 由参数t 惟一确定．在我们解决有关问题时可以适当利用其几何意义，把点的坐 标转化为与三角函数有关的问题，使求解过程更加简单． 同样，根据圆的摆线的定义和建立参数方程的过程，可知其中的字母a 是指定圆的半径，参数t 是指圆上定点相对于定直线与圆的切点所张开的角度．参数的几何意义可以在解决问题中加以引用，简化运算过程．当然这个几何意义还不是很明显，直接使用还要注意其取值的具体情况．
1．关于渐开线和摆线的叙述，正确的是( ) A ．只有圆才有渐开线 B ．渐开线和摆线的定义是一样的，只是绘图的方法不一样，所以才得到了不同的图形 C ．正方形也可以有渐开线 D ．对于同一个圆，如果建立的平面直角坐标系的位置不同，画出的渐开线形状就不同 [解析] 不仅圆有渐开线，其他图形如椭圆、正方形也有渐开线；渐开线和摆线的实质是完全不一样的，因此得出的图形也不相同；对于同一个圆不论在什么地方建立平面直角坐标系，画出的图形的大小和形状都是一样的，只是方程的形式及图形在坐标系中的位置可能不同． [答案] C 2．半径为3的圆的摆线上某点的纵坐标为0，那么其横坐标可能是( ) A ．π B ．2π C ．12π D ．14π [解析] 根据条件可知圆的摆线的参数方程为? ?? ?? x ＝3t －3sin t y ＝3－3cos t (t 为参数)，把y ＝0代 入可得cos t ＝1，所以t ＝2k π(k ∈Z )．而x ＝3t －3sin t ＝6k π(k ∈Z )．根据选项可知应选C. [答案] C 3．半径为4的圆的渐开线的参数方程是________． [解析] 将a ＝4代入圆的渐开线方程即可． [答案] ? ?? ?? x ＝4(cos t ＋t sin t ) y ＝4(sin t －t cos t ) 4．给出某渐开线的参数方程? ?? ?? x ＝3cos t ＋3t sin t y ＝3sin t －3t cos t (t 为参数)，根据参数方程可以看 出该渐开线的基圆半径是______，当参数t 取π 2 时，对应的曲线上的点的坐标是________． [解析] 与渐开线的参数方程进行对照可知，a ＝3，即基圆半径是3，然后把t ＝π 2代入， 可得????? x ＝3π2，y ＝3. [答案] (3π 2 ，3)
2.1.2求曲线的方程（2）（教学设计） 教学目标： 知识目标：1.根据条件，求较复杂的曲线方程. 2.求曲线的交点. 3.曲线的交点与方程组解的关系. 能力目标: 1.进一步提高应用“五步”法求曲线方程的能力. 2.会求曲线交点坐标,通过曲线方程讨论曲线性质. 情感目标： 1.渗透数形结合思想. 2.培养学生的辨证思维. 教学重点 1.求曲线方程的实质就是找曲线上任意一点坐标(x,y)的关系式f(x,y)=0. 2.求曲线交点问题转化为方程组的解的问题. 教学难点 1. 寻找“几何关系”. 2. 转化为“动点坐标”关系. 教学方法 启发诱导式教学法. 启发诱导学生联想新旧知识点的联系，从而发现解决问题的途径. 教学过程 一、复习回顾： 求曲线的方程(轨迹方程),一般有下面几个步骤: 1.建立适当的坐标系,设曲线上任一点M 的坐标(,)x y ; 2.写出适合条件P 的几何点集:{} ()P M P M =; 3.用坐标表示条件()P M ,列出方程(,)0f x y =; 4.化简方程(,)0f x y =为最简形式; 5.证明(查漏除杂). 说明：回顾求简单曲线方程的一般步骤,阐明步骤(2)、(3)为关键步骤,说明(5)步不要求书面表达,但思维一定要到位,注意等价性即可. 二、师生互动，新课讲解： （一）、直接法： 由题设所给(或通过分析图形的几何性质而得出)的动点所满足的几何条件列出等式，再用坐标代替这等式，化简得曲线的方程，这种方法叫直接法． 例1：(1)求和定圆x 2+y 2=R 2的圆周的距离等于R 的动点P 的轨迹方程； (2)过点A(a ，o)作圆O ∶x 2+y 2=R 2(a ＞R ＞o)的割线，求割线被圆O 截得弦的中点的轨迹． 对(1)分析： 动点P 的轨迹是不知道的，不能考查其几何特征，但是给出了动点P 的运动规律：|OP|=2R 或|OP|=0．
求曲线轨迹方程的常用 方法 Hessen was revised in January 2021
高考数学专题：求曲线轨迹方程的常用方法 张昕 陕西省潼关县潼关高级中学 714399 求曲线的轨迹方程，其实质就是利用题设中的几何条件，用“坐标化”将其转化为寻求变量间的关系.这类问题除了考查考生对曲线的定义、性质等基础知识的掌握，还充分考查了各种数学思想方法及一定的推理能力和运算能力.因此要分析轨迹的动点和已知条件的内在联系，选择最便于反映这种联系的形式建立等式.其常见方法如下： （1）直接法：直接法就是将动点满足的几何条件或者等量关系，直接坐标化，列出等式化简即得动点轨迹方程，这种求轨迹方程的方法就称为直接法，直接法求轨迹经常要联系平面图形的性质. （2）定义法：若动点轨迹的条件符合某一基本轨迹的定义（如椭圆、双曲线、抛物线、圆等），可以设出其标准方程，然后用待定系数法求解.这种求轨迹方程的方法称为定义法，利用定 义法求方程要善于抓住曲线的定义特征. （3）代入法：根据相关点所满足的方程，通过转换而求动点的轨迹方程.这就叫代入法.
（4） 参数法：若动点的坐标（x ，y ）中的x ，y 分别随另一变量的 变化而变化，我们可以以这个变量为参数，建立轨迹的参数方程，消去参数来求轨迹方程. （5） 几何法：根据曲线的某种几何性质和特征，通过推理列出等式 求轨迹方程，这种求轨迹的方法叫做几何法. （6） 交轨法：在求动点轨迹方程时，经常遇到求两动曲线的交点轨 迹方程问题，我们列出两动曲线的方程再设法消去曲线中的参数即可得到交点的轨迹方程. 典型例题示范讲解： 设圆C ：22(1)1x y -+=，过原点作圆的弦0A ，求OA 中点B 的轨迹方程. 【解】：法一：（直接法） 如图，设B （x ，y ），由题得2OB +2BC =2OC , 即x 2+y 2 +［22(1)x y -+］=1 即OA 中点B 的轨迹方程为2211()24 x y -+=（x ≠0）. 法二：（定义法） 设B （x ，y ），如上图，因为B 是OA 的中点
求曲线方程学案 课前预习学案 一、预习目标 回顾圆锥曲线的定义, 并会利用定义和性质求圆锥曲线的方程。 二、预习内容 1．到顶点)0,5(F 和定直线516= x 的距离之比为4 5 的动点的轨迹方程是 2．直线l 与椭圆14 22 =+y x 交于P 、Q 两点, 已知l 过定点（1, 0）, 则弦PQ 中点的轨迹方程是 3．已知点P 是双曲线122 22=-b y a x 上任一点, 过P 作x 轴的垂线, 垂足为Q, 则PQ 中点M 的轨迹方程是 4．在ABC ?中, 已知)0,2(),0,2(B A -, 且BC AB AC 、、成等差数列, 则C 点轨迹方程为 课堂探究学案 【学习目标】 1．了解用坐标法研究几何问题的方法, 了解解析几何的基本问题． 2．理解曲线的方程、方程的曲线的概念, 能根据曲线的已知条件求出曲线的方程, 了解两条曲线交点的概念． 3．通过曲线方程概念的教学, 培养学生数与形相互联系、对立统一的辩证唯物主义观点． 4.通过求曲线方程的教学, 培养学生的转化能力和全面分析问题的能力, 帮助学生理解解析几何的思想方法. 5.进一步理解数形结合的思想方法． 【学习重难点】 学习重点：熟练掌握求曲线方程的常用方法：定义法、代入法、待定系数法、参数法等, 并能灵活应用。 学习难点：曲线方程的概念和求曲线方程的方法． 【学习过程】 一、 新课分析 解析几何主要研究两大类问题：一是根据题设条件, 求出表示平面曲线的方程；二是
y y C 通过方程, 研究平面曲线的性质．求曲线的轨迹方程是解析几何的两个基本问题之一.求符合某种条件的动点的轨迹方程, 其实质就是利用题设中的几何条件, 用“坐标化”将其转化为寻求变量间的关系.这类问题除了考查学生对圆锥曲线的定义, 性质等基础知识的掌握, 还充分考查了各种数学思想方法及一定的推理能力和运算能力, 因此这类问题成为高考命题的热点, 也是同学们的一大难点.解答轨迹问题时, 若能充分挖掘几何关系, 则往往可以简化解题过程． 二、典型例题 例1．设动直线l 垂直于x 轴, 且与椭圆422 2 =+y x 交于B A 、两点, P 是l 上满足 1=?PB PA 的点, 求点P 的轨迹方程。 方法点拨：用直接法：若曲线上的动点满足的条件是一些几何量的等量关系, 则只需直接把这种关系“翻译”成关于动点的坐标y x 、的方程。经化简所得同解的最简方程, 即为所求轨迹方程。其一般步骤为：建系——设点——列式——代换——化简——检验。 例2．如图, 在ABC Rt ?中, 2),1,2()1,2(,90= -=∠?ABC S B A BAC 、ο 平 方单位, 动点P 在曲线E )1(≥y 上运动, 若曲线E 过点C 且满足PB PA +的值为常数。 （1） 求曲线E 的方程； （2） 设直线l 的斜率为1, 若直线l 与曲线E 有两个不同的交点R, 求线段的轨迹方程。 B x A B O x O
空间曲线方程不同形式间的转化技巧 李晶晶 摘要：空间曲线的参数方程和一般方程是空间曲线方程的两种非常重要的形式， 它们表示同一条曲线，因此可以相互转化．两种形式相互转化的方法有很多，本文主 要介绍了常用的几种．在转化的过程中要保证方程的等价性和同解性． 关键词：一般方程；参数方程；互化；等价性；同解性 Transformation Techniques for Different Forms of Inter-space Curve Equation Li Jingjing (20102112052, Class 4 Grade 2010, Mathematics & Applied Mathematics ,School of Mathematics & Statistics) Abstract:Space curve parameter equation and general equation are two very important form of the equation of space curve．They represent the same curve, so they can be transformed into each other．There are many methods for the conversion between these two kinds of forms．This paper mainly introduces several methods commonly used．During the transformation process to ensure that equation equivalence and the same solution． Key words: The general equation; parameter equation; interaction; equivalence; the same solution 1引言 空间解析几何的首要问题是空间曲线的方程的求解．空间曲线方程主要包含两种形式，即一般方程（普通方程）与参数方程．空间曲线的一般方程反映的是空间曲线上点的坐标x,y,z之间的直接关系．空间曲线的参数方程是通过参数反应坐标变量之间的间接关系．在求空间曲线的弧长以及空间曲线上的第一类与第二类曲线积分等方面都用到了空间曲线的参数方程．由于任何一种曲线方程的求解方法都不能适用于所有方程的求解，因此如何完成空间曲线方程不同形式的互化便成了一个基本问题.[1] 空间曲线的方程是建立在平面曲线方程的基础之上的，研究空间曲线方程不同形式之间的转化依赖于平面曲线不同形式之间的转化．我们首先回顾之前所学的平面曲线方程的形式以及不同形式间的相互转化．
求曲线方程（导学案） 选编：万立勇审核：吴海燕 求曲线的方程，是学习解析几何的基础，求曲线的方程常用的方法主要有： 1．直接法：就是课本中主要介绍的方法。若命题中所求曲线上的动点与已知条件能直接发生关系，这时，设曲线上动点坐标为（,x y）后，就可根据命题中的已知条件，研究动点形成的几何特征，在此基础上运用几何或代数的基本公式、定理等列出含有,x y的关系式。从而得到轨迹方程，这种求轨迹方程的方法称作直接法。 a>，求直角顶点C的轨迹方程。 例1：在直角△ABC中，斜边是定长2a(0) Array 说明：利用这种方法求曲线方程的一般方法步骤： (1)建立适当的直角坐标系，用(,) x y表示曲线上任意点M的坐标； (2)写出适合条件p的点M的集合{|()} =； p M p m (3)用坐标表示() p m，列出方程(,)0 f x y=； (4)化简方程(,)0 f x y=为最简形式； (5)证明以化简后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点（此步骤经常省略，但一定要注意所求的方程中所表示的点是否都表示曲线上的点，要注意那些特殊的点。）。 这种按照上述五个步骤来求曲线方程的方法，又称“五步法”或“条件直译 法”，这是求曲线方程的基本方程。
2．代入法（或利用相关点法）：即利用动点是定曲线上的动点，另一动点依赖于它，那么可寻求它们坐标之间的关系，然后代入定曲线的方程进行求解，就得到原动点的轨迹。 例2：已知一条长为6的线段两端点A、B分别在x、y轴上滑动，点M在线段AB上，AM MB=，求动点M的轨迹方程。 且:1:2 3．几何法：求动点轨迹问题时，动点的几何特征与平面几何中的定理及有关平面几何知识有着直接或间接的联系，且利用平面几何的知识得到包含已知量和动点坐标的等式，化简后就可以得到动点的轨迹方程，这种求轨迹方程的方法称作几何法。 -），B（2,0），O为原点，动点P与线段AO、BO所例3：如图，已知两定点A（6,0 张的角相等，求动点P的轨迹方程。
求曲线方程的常用方法 曲线方程的求法就是解析几何的重要内容与高考的常考点.求曲线方程时,应根据曲线的不同背景,不同的结构特征,选用不同的思路与方法,才能简捷明快地解决问题.下面对其求法进行探究. 1.定义法 求曲线方程时,如果动点轨迹满足已知曲线的定义,则可根据题设条件与图形的特点,恰当运用平面几何的知识去寻求其数量关系,再由曲线定义直接写出方程,这种方法叫做定义法. 例1 如图,点A 为圆形纸片内不同于圆心C 的定点,动点M 在圆周上, 将纸片折起,使点M 与点A 重合,设折痕m 交线段CM 于点N 、现将圆 形纸片放在平面直角坐标系xOy 中,设圆C :(x ＋1)2＋y 2＝4a 2 (a >1),A (1,0),记点N 的轨迹为曲线E 、 (1)证明曲线E 就是椭圆,并写出当a ＝2时该椭圆的标准方程; (2)设直线l 过点C 与椭圆E 的上顶点B ,点A 关于直线l 的对称点为点Q ,若椭圆E 的离心率e ∈???? ?? 1 232,求点Q 的纵坐标的取值范围. 解 (1)依题意,直线m 为线段AM 的垂直平分线, ∴|NA |＝|NM |、 ∴|NC |＋|NA |＝|NC |＋|NM |＝|CM |＝2a >2, ∴N 的轨迹就是以C 、A 为焦点,长轴长为2a ,焦距为2的椭圆. 当a ＝2时,长轴长为2a ＝4,焦距为2c ＝2, ∴b 2＝a 2－c 2＝3、 ∴椭圆的标准方程为x 24＋y 2 3 ＝1、 (2)设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2 b 2＝1 (a >b >0). 由(1)知:a 2－b 2＝1、又C (－1,0),B (0,b ), ∴直线l 的方程为x －1＋y b ＝1,即bx －y ＋b ＝0、 设Q (x ,y ),∵点Q 与点A (1,0)关于直线l 对称,
求轨迹方程的常用方法: 题型一直接法 此法是求轨迹方程最基本的方法， 根据所满足的几何条件， 将几何条件｛M | P(M )｝直接翻 译成x, y 的形式f(x, y) 0 ,然后进行等价变换，化简 f (x,y) 0，要注意轨迹方程的纯 粹性和完备性，即曲线上没有坐标不满足方程的点， 也就是说曲线上所有的点适合这个条件 而毫无例外(纯粹性)；反之，适合条件的所有点都在曲线上而毫无遗漏(完备性) 。 例1过点A(2,3)任作互相垂直的两直线 AM 和AN ，分别交x,y 轴于点M , N ，求线段 MN 中点P 的轨迹方程。 解：设P 点坐标为P(x, y)，由中点坐标公式及M,N 在轴上得M (0,2y)， AM AN k AM k AN 所以中点P 的轨迹方程为4x 6y 13 0。 变式1 已知动点M (x, y)到直线l : x 4的距离是它到点 (1) 求动点M 的轨迹C 的方程; (2) 过点P(0,3)的直线m 与轨迹C 交于A, B 两点。若A 是PB 的中点，求直线 m 的斜 率。 题型二定义法 圆锥曲线定义所包含的几何意义十分重要， 应特别重视利用圆锥曲线的定义解题， 包括用定 义法求轨迹方程。 2 2 例2 动圆M 过定点P( 4,0)，且与圆C :x y 8x 0相切，求动圆圆心 M 的轨迹 方程。 解：根据题意|| MC | |MP || 4，说明点M 到定点C 、P 的距离之差的绝对值为定值, N(2x,0)(x,y R) 0 3 2y 2x 2 0 2 3 1 (x 1)，化简得 4x 6y 13 0 (x 1) 当x 1时，M(0,3)，N(2,0)，此时MN 的中点 P(1,|)它也满足方程4x 6y 13 0， N (1,0)的距离的2倍。
2.1.2求曲线的方程 学习目标 1.了解用坐标法研究几何问题的有关知识和观点，感受曲线的实际背景，明确其刻画现实世界和解决实际问题的作用.2.了解解析几何的基本思想、明确它所研究的基本问题.3.初步掌握根据已知条件求曲线方程的方法，同时进一步加深理解“曲线的方程、方程的曲线”的概念. 知识点求曲线方程的方法与步骤 (1)建立适当的坐标系，用有序实数对(x，y)表示曲线上任意一点M的坐标； (2)写出适合条件p的点M的集合P＝{M|p(M)}； (3)用坐标表示条件p(M)，列出方程f(x，y)＝0； (4)化方程f(x，y)＝0为最简形式； (5)说明以化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上． 简记为：建系、列式、代换、化简、说明，这五步构成一个有机的整体，每一步都有其特点和相应的作用． 类型一轨迹方程求解问题 例1设A，B两点的坐标分别是(－1，－1)，(3,7)，求线段AB的垂直平分线的方程． 解如图所示，设点M(x，y)是线段AB的垂直平分线上的任意一点，也就是点M属于集合P ＝{M||MA|＝|MB|}． 由两点间的距离公式，点M适合的条件可表示为： (x＋1)2＋(y＋1)2＝(x－3)2＋(y－7)2. 上式两边平方，并整理得x＋2y－7＝0.① 我们证明方程①是线段AB的垂直平分线的方程． (1)由求方程的过程可知，垂直平分线上每一点的坐标都是方程①的解； (2)设点M1的坐标(x1，y1)是方程①的解， 即x1＋2y1－7＝0，x1＝7－2y1. 点M1到A，B的距离分别是 |M1A|＝(x1＋1)2＋(y1＋1)2
＝(8－2y 1)2＋(y 1＋1)2＝5(y 21－6y 1＋13)； |M 1B |＝(x 1－3)2＋(y 1－7)2 ＝(4－2y 1)2＋(y 1－7)2＝5(y 21－6y 1 ＋13). 所以|M 1A |＝|M 1B |， 即点M 1在线段AB 的垂直平分线上． 由(1)(2)可知，方程①是线段AB 的垂直平分线的方程． 反思与感悟 求曲线方程一般都要按照5个步骤进行，建系要适当，尽量使点的坐标、线的方程最简．关键步骤是第二步，写出动点的条件集合，即找出等量关系，确定了等量关系式将点的坐标代入就得方程．步骤5可以省略不写，如有特殊情况，可以适当说明． 跟踪训练1 已知△ABC 的两顶点A ，B 的坐标分别为A (0,0)，B (6,0)，顶点C 在曲线y ＝x 2＋3上运动，求△ABC 重心的轨迹方程． 解 设G (x ，y )为△ABC 的重心，顶点C 的坐标为(x ′，y ′)， 则由重心坐标公式，得??? x ＝0＋6 ＋x ′3，y ＝0＋0＋y ′3 ， 所以????? x ′＝3x －6，y ′＝3y . 因为顶点C (x ′，y ′)在曲线y ＝x 2＋3上， 所以3y ＝(3x －6)2＋3， 整理，得y ＝3(x －2)2＋1. 故所求轨迹方程为y ＝3(x －2)2＋1. 类型二 求曲线方程的方法 例2 已知圆C ：x 2＋(y －3)2＝9，过原点作圆C 的弦OP ，求OP 的中点Q 的轨迹方程． 解 方法一 (直接法) 如图，因为Q 是OP 的中点，所以∠OQC ＝90°. 设Q (x ，y )，由题意，得|OQ |2＋|QC |2＝|OC |2， 即x 2＋y 2＋[x 2＋(y －3)2]＝9， 所以x 2＋????y －322＝94 (x ≠0)． 方法二 (定义法) 如图所示，因为Q 是OP 的中点，所以∠OQC ＝90°，则Q 在以OC 为直径的圆上，故Q 点的轨迹方程为x 2＋????y －322＝94 (x ≠0)． 方法三 (代入法或称相关点法)
求曲线方程的常用方法 曲线方程的求法是解析几何的重要内容和高考的常考 点. 背景，不同的结构特征，选用不同的思路和方法， 才能简捷明快地解决问题.下面对其求法 进行探究. 1定义法 求曲线方程时，如果动点轨迹满足已知曲线的定义， 则可根据题设条件和图形的特点， 恰当 运用平面几何的知识去寻求其数量关系， 再由曲线定义直接写出方程, 例1如图，点A 为圆形纸片内不同于圆心 C 的定点，动点M 在圆周 上，将纸片折起，使点 M 与点A 重合，设折痕 m 交线段CM 于点N 现 . . . . 2 2 2 将圆形纸片放在平面直角坐标系 xOy 中，设圆C ： (X + 1) + y = 4a (a >1) , A (1,0)，记点N 的轨迹为曲线 E (1)证明曲线E 是椭圆，并写出当a = 2时该椭圆的标准方程; (2)设直线I 过点C 和椭圆E 的上顶点B,点A 关于直线I 的对称点为点 Q 若椭圆E 的离心 ???I NC + I NA = I NC + I NM = I CM = 2a >2, ? N 的轨迹是以C 、A 为焦 点，长轴长为 2a ,焦距为2的椭圆. 当a = 2时，长轴长为 2a = 4,焦距为2c = 2, 2 2 ?椭圆的标准方程为X 4+ 3 =1- 2 2 X y ⑵设椭圆的标准方程为 a + b = 1 ( a >b >0). ???离心率 e € 1，字，??? !e 2 <4, 2 2 由(1)知：a — b = 1.又 q — 1,0),耳0 , b ), ???直线I 的方程为二1+ b = 1，即卩bx —y + b = 0. 设Qx , y ) ,???点Q 与点A (1,0)关于直线I 对称, 占 b =- 1, 4b 消去X 得y =乔T 求曲线方程时，应根据曲线的不同 率e € 1 ，字，求点Q 的纵坐标的取值范围. 2' 解(1)依题意，直线 m 为线段AM 的垂直平分线, 这种方法叫做定义法.
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求曲线轨迹方程的五种方法 一、直接法 如果题目中的条件有明显的等量关系，或者可以利用平面几何知识推出等量关系，求方程时可用直接法。 例1 长为2a的线段AB的两个端点分别在x轴、y轴上滑动，求AB中点P的轨迹方程。 解：设点P的坐标为（x，y）， 则A（2x，0），B（0，2y），由|AB|=2a得 2) 2 x- 2(y + -=2a 2 0( )0 化简得x2+y2=a，即为所求轨迹方程 点评：本题中存在几何等式|AB|=2a，故可用直接法解之。 二、定义法 如果能够确立动点的轨迹满足某种已知曲线的定义，则可用曲线定义写出方程，这种方法称为定义法。 例2 动点P到直线x+4=0的距离减去它到M（2，0）的距离之差等于2，则点P的轨迹是（） A、直线 B、椭圆 C、双曲线 D、抛物线 解法一：由题意，动点P到点M（2，0）的距离等于这点到直线x=-2的距离，因此动点P的轨迹是抛物线，故选D。 解法二：设P点坐标为（x，y），则 |x+4|-2 2 -=2 x+ (y )2
当x ≥-4时，x+4-22)2(y x +-=2化简得 当时，y 2=8x 当x ＜-4时，-x-4-22)2(y x +-=2无解 所以P 点轨迹是抛物线y 2=8x 点评：解法一与解法二分别用定义法和直接法求轨迹方程，明显，解法一优于后一种解法，对于有些求轨迹方程的题目，若能采用定义法，则优先采用定义法，它能大量地简化计算。 三、 代入法 如果轨迹点P （x ，y ）依赖于另一动点Q （a ，b ），而Q （a ，b ）又在某已知曲线上，则可先列出关于x 、y 、a 、b 的方程组，利用x 、y 表示出a 、b ，把a 、b 代入已知曲线方程便得动点P 的轨迹方程，此法称为代入法。 例3 P 在以F 1、F 2为焦点的双曲线19 1622=-y x 上运动，则△F 1F 2P 的重心G 的轨迹方程是 。 解：设P （x 0，y 0），G （x ，y ），则有 ??? ????++=+-=)00(31)4(3100y y x x x 即???==y y x x 3300，代入 191622=-y x 得19 91692 2=-y x 即116 922 =-y x 由于G 不在F 1F 2上，所以y ≠0
高考数学专题：求曲线轨迹方程的常用方法 昕 省潼关县潼关高级中学 714399 求曲线的轨迹方程，其实质就是利用题设中的几何条件，用“坐标化”将其转化为寻求变量间的关系.这类问题除了考查考生对曲线的定义、性质等基础知识的掌握，还充分考查了各种数学思想方法及一定的推理能力和运算能力.因此要分析轨迹的动点和已知条件的在联系，选择最便于反映这种联系的形式建立等式.其常见方法如下：（1）直接法：直接法就是将动点满足的几何条件或者等量关系，直接坐标化，列出等式化简即得动点轨迹方程，这种求轨迹方程 的方法就称为直接法，直接法求轨迹经常要联系平面图形的性 质. （2）定义法：若动点轨迹的条件符合某一基本轨迹的定义（如椭圆、双曲线、抛物线、圆等），可以设出其标准方程，然后用待定系 数法求解.这种求轨迹方程的方法称为定义法，利用定义法求方 程要善于抓住曲线的定义特征. （3）代入法：根据相关点所满足的方程，通过转换而求动点的轨迹方程.这就叫代入法. （4）参数法：若动点的坐标（x，y）中的x，y分别随另一变量的变化而变化，我们可以以这个变量为参数，建立轨迹的参数方 程，消去参数来求轨迹方程. （5）几何法：根据曲线的某种几何性质和特征，通过推理列出等式求轨迹方程，这种求轨迹的方法叫做几何法.
（6） 交轨法：在求动点轨迹方程时，经常遇到求两动曲线的交点轨 迹方程问题，我们列出两动曲线的方程再设法消去曲线中的参数即可得到交点的轨迹方程. 典型例题示讲解： 设圆C ：22(1)1x y -+=，过原点作圆的弦0A ，求OA 中点B 的轨迹方程. 【解】：法一：（直接法） 如图，设B （x ，y ），由题得2OB +2BC =2OC , 即x 2+y 2 +［22(1)x y -+］=1 即OA 中点B 的轨迹方程为2211()24 x y -+= （x ≠0）. 法二：（定义法） 设B （x ，y ），如上图，因为B 是OA 的中点 所以∠OBC= 90?, 则B 在以OC 为直径的圆上， 故B 点的轨迹方程是2211()24 x y -+=（x ≠0）. 法三：（代入法） 设A （1x ，1y ），B （x ，y ），