杭州学军中学2020学年第一学期期末考试
高一数学试卷
一、选择题(1-8为单选题,每题一个正确答案,每题4分;第9题和第10题为多选题,少选和错选均不
给分,每题4分;合计40分)
1.若全集{1,2,3,4,5,6}U =,{1,4}M =,{2,3}P =,则集合{5,6}=( )
A .M P ?
B .M P ?
C .
(
)()U
U M P ?
D .
(
)()U
U M P ?
2.命题p :“*
N x ?∈,11
22
x
??≤ ???”的否定为( )
A .*
N x ?∈,1122
x
??> ???
B .*
N x ??,1122
x
??> ???
C .*
0N x ??,011
22
x ??> ???
D .*
0N x ?∈,011
22
x
??> ???
3.设sin33a =?,cos55b =?,tan37c =?,则( )
A .a b c >>
B .b c a >>
C .c b a >>
D .c a b >>
4.函数2
()22x x
x f x -=+的图象大致是( )
A
B
C
D
5.如图,梯形ABCD 中,//AB CD ,且2AB CD =,对角线AC ,BD 相交于点O ,若AD a =,AB b =,则OC =( )
A .
36
a b - B .
36
a b + C .
233
a b + D .
233
a b -
6.将函数sin 26y x π?
?
=-
??
?
的图象上各点沿x 轴向右平移
6
π
个单位长度,所得函数图象解析式可以是( ) A .sin 2y x =
B .sin 23y x π??
=- ??
?
C .cos 2y x =-
D .cos 2y x =
7.设函数()y f x =,x R ∈,则“|()|y f x =是偶函数”是“()y f x =的图象关于原点对称”的( )
A .充分不必要条件
B .必要不充分条件
C .充要条件
D .既不充分也不必要条件
8.已知定义在R 上的奇函数()y f x =的图象关于直线1x =对称,当10x -≤<时,2
()f x x =,则方程
1
()02
f x +
=在[2,6]-内的所有根之和为( ) A .12
B .6
C .4
D .2
9.(多选题)在ABC 中,三边长分别为a ,b ,c ,且4abc =,则下列结论正确的是( )
A .2
2
4a b ab <+ B .4ab a b ++> C .2
2
4a b c ++>
D .4a b c ++<
10.(多选题)如图,直角ABC 的斜边BC 长为2,30C ∠=?,且点B ,C 分别在x 轴正半轴...和y 轴正半..
轴.
上滑动,点A 在线段BC 的右上方则( )
A .||OA OC +有最大值也有最小值
B .OA O
C ?有最大值无最小值 C .||OA BC +有最小值无最大值
D .OA BC ?无最大值也无最小值
二、填空题(11-13每空3分,14-17题每空4分,合计34分)
11
.已知函数2,0
()0
x
x f x x ?≤?=?>??,则(3)f -=________;[(4)]f f =________.
12.若ABCD 是边长为2的菱形,且3
BAD π
∠=
,则AB AD ?=________,||AB CB -=________.
13.已知函数()lg(2)lg(2)f x x x =++-,则函数()f x 为________函数(奇偶性判断),函数()f x 的单
调递增区间是________.
14.已知函数()sin()f x A x ω?=+(0A >,0ω>,||2
π
?<
)的部分图象如图所示.则函数()
y f x =的解析式为________.
15.某人准备购置一块占地1800平方米的矩形地块,中间建三个矩形温室大棚,大棚周围均是宽为1米的
小路(如图阴影部分所示),大棚占地面积为S 平方米,其中:1:2a b =,若要使S 最大,则y =________.
16.若正实数x ,y 满足20x y xy +-=,则2x y +的最小值为________.
17.已知函数()|sin 2cos 2||sin cos ||(1)sin (1)cos |f x a x x x x a x a x =+++?++-,a R ∈,且函数
()y f x =的最大值为5,则实数a =________
.
三、解答题(18-19每题8分,20-22每题10分,合计46分) 18.求下列各式的值:
(Ⅰ)()13
2227log log 16lg 2lg 508-
??
+++
???
;
.
19.某疫苗公司生产某种型号的疫苗,2016年平均每箱疫苗的成本5000元,并以纯利润20%标定出厂价.2017年开始,公司更新设备、加强管理,逐步推行股份制,从而使生产成本逐年降低2020年平均每箱疫苗出厂价仅是2016年出厂价的80%,但却实现了纯利润50%的高效率. (Ⅰ)求2020年的每箱疫苗成本;
(Ⅱ)以2016年的生产成本为基数,求2016年至2020年生产成本平均每年降低的百分率(精确到
0.01). 1.414= 2.236=,lg 20.301=,lg30.477=).
20.设函数2
()cos 22sin 3f x x x π?
?
=+
+ ??
?
. (I )求函数()f x 的最大值及取得最大值时x 的集合; (Ⅱ)若,42ππα??
∈
???
,且2()5f α=,求sin 2α.
21.已知函数2
()1ax b
f x x +=
+是定义在R 上的奇函数,且1225
f ??= ???. (I )确定函数()f x 的解析式;
(Ⅱ)若存在实数θ,使得不等式(
)2
(sin 2)2sin 10f f t θθ-+++<成立,求正实数...t 的取值范围.
22.设函数2
()(,)f x x ax b a b R =-+∈.
(I )若2a =,求函数|()|y f x =在区间[0,3]上的最大值;
(Ⅱ)试判断:是否存在实数a ,b ,使得当[0,]x b ∈时,2()6f x ≤≤恒成立,若存在,请求出实数
b 的取值范围;若不存在,请说明理由.
参考答案与解析
1.D 2.D 3.C 4.A 5.B 6.C 7.B 8.A 9.ABC 10.BD
11.
18;1
4
12.2; 13.偶;(2,0)-
14.2sin 23y x π??
=+
??
?
15.45 16.8 17.18.(I )原式214
2233
=
++=.
(Ⅱ)原式
=
=
19.(I )5000(120%)80%(150%)3200?+?÷+=元.
(Ⅱ)450000(1)32001111%
x x -=?==≈.
20.(I )1()cos 221cos 22f x x x x =
+-1sin 26x π?
?=-+ ??
?, 当226
2x k π
π
π+
=-
+,即,3x x
k x k z ππ??
∈-+=∈????
∣时,max ()2f x =. (Ⅱ)21sin 265πα?
?
-+
= ??
?,3sin 265
πα?
?∴+= ???,
341sin 2sin 266552ππαα??-??=+-=?=
????
???. 21.(I )2
()1x
f x x =
+,易证在(1,)+∞递减, (Ⅱ)()2
2sin
1(2sin )f t f θθ++<-,
22sin 1t θφ++>,2sin 1θ-≥, 22sin 12sin t θθ∴++>-,
()
2min
2sin sin 12t θθ∴>--+=-,(0,)t ∴∈+∞.
22.(I )2
()2f x x x b =-+,(0)f b =,
(3)3f b =+,(1)1f b =-,max 3,1|()|1,1b b
f x b b +-≤?=?-<-?
.
(Ⅱ)由2(0)6f b ≤=≤知[2,6]b ∈,
26(0)b b
x a x x b x x
---≤-≤-<≤递减,
递增,)b 递减,
6
(3)(1236)0b
b b b b
-∴-≤
-?-++≤, 3b ∴≤,综上:[2,3]b ∈.