函数对称性、周期性和奇偶性规律
一、 同一函数的周期性、对称性问题(即函数自身)
1、 周期性：对于函数
)(x f y =，如果存在一个不为零的常数
T ，使得当x 取定义域内的每一个值时，都有
)()(x f T x f =+都成立，那么就把函数)(x f y =叫做周期函数，不为零的常数T 叫做这个函数的周
期。如果所有的周期中存在着一个最小的正数，就把这个最小的正数叫做最小正周期。 2、 对称性定义（略），请用图形来理解。 3、 对称性：
我们知道：偶函数关于y （即x=0）轴对称，偶函数有关系式
)()(x f x f =-
奇函数关于（0，0）对称，奇函数有关系式
0)()(=-+x f x f
上述关系式是否可以进行拓展？答案是肯定的 探讨：（1）函数)(x f y =关于a x =对称?)()(x a f x a f -=+
)()(x a f x a f -=+也可以写成)2()(x a f x f -= 或 )2()(x a f x f +=-
简证：设点),(11y x 在
)(x f y =上，通过)2()(x a f x f -=可知，)2()(111x a f x f y -==，
即点)(),2(11x f y
y x a =-也在上，而点),(11y x 与点),2(11y x a -关于x=a 对称。得证。
若写成：)()(x b f x a f -=+，函数)(x f y =关于直线2
2)()(b
a x
b x a x +=-++=
对称
（2）函数
)(x f y =关于点),(b a 对称?b x a f x a f 2)()(=-++
b x f x a f 2)()2(=-++上述关系也可以写成 或 b x f x a f 2)()2(=+-
简证：设点),(11y x 在
)(x f y =上，即)
(11x f y =，通过
b x f x a f 2)()2(=+-可知，
b x f x a f 2)()2(11=+-，所以
1
112)(2)2(y b x f b x a f -=-=-，所以点
)2,2(11y b x a --也在)(x f y =上，而点)2,2(11y b x a --与),(11y x 关于),(b a 对称。得
证。
若写成：c x b f x a f =-++)()(，函数)(x f y =关于点)2
,2(
c
b a + 对称
（3）函数
)(x f y =关于点b y =对称:假设函数关于b y =对称，即关于任一个x 值，都有两个
y
值与其对应，显然这不符合函数的定义，故函数自身不可能关于b y =对称。但在曲线c(x,y)=0，则
有可能会出现关于
b y =对称，比如圆04),(22=-+=y x y x
c 它会关于y=0对称。
4、 周期性： （1）函数
)(x f y =满足如下关系系，则T x f 2)(的周期为
A 、
)()(x f T x f -=+ B 、)
(1
)()(1)(x f T x f x f T x f -
=+=
+或 C 、
)(1)(1)2(x f x f T x f -+=+或)
(1)
(1)2(x f x f T x f +-=+（等式右边加负号亦成立）
D 、其他情形 （2）函数
)
(x f y =满足
)
()(x a f x a f -=+且
)
()(x b f x b f -=+，则可推出
)]
(2[)]2([)]2([)2()(a b x f b x a b f b x a b f x a f x f -+=---=--+=-=即可
以得到
)(x f y =的周期为2(b-a)，
即可以得到“如果函数在定义域内关于垂直于x 轴两条直线对称，则函数一定是周期函数”
（3）如果奇函数满足
)()(x f T x f -=+则可以推出其周期是
2T ，且可以推出对称轴为
kT T
x 22+=
)(z k ∈，根据)2()(T x f x f +=可以找出其对称中心为)0(kT ，)(z k ∈（以上0≠T
）
如果偶函数满足
)()(x f T x f -=+则亦可以推出周期是
2T ，且可以推出对称中心为
)0,22(
kT T
+)(z k ∈，根据)2()(T x f x f +=可以推出对称轴为kT T x 2+=)(z k ∈ （以上0≠T
）
（4）如果奇函数
)(x f y =满足)()(x T f x T f -=+（0≠T ），则函数)(x f y =是以4T 为周
期的周期性函数。如果偶函数
)(x f y =满足)()(x T f x T f -=+（0≠T ），则函数)
(x f y =是以2T 为周期的周期性函数。
定理3：若函数
()x f 在
R 上满足
()x a f x a f -=+)(，且()x b f x b f -=+)(（其中
b a ≠），则函数()x f y =以()b a -2为周期.
定理4：若函数
()x f 在
R 上满足
()x a f x a f --=+)(，且()x b f x b f --=+)(（其中
b a ≠），则函数()x f y =以()b a -2为周期.
定理5：若函数()x f 在R 上满足()x a f x a f -=+)(，
且()x b f x b f --=+)(（其中b a ≠），则函数
()x f y =以()b a -4为周期.
二、 两个函数的图象对称性
1、
)(x f y =与)(x f y -=关于X 轴对称。
换种说法：
)(x f y =与)(x g y =若满足)()(x g x f -=，即它们关于0=y 对称。
2、
)(x f y =与)(x f y -=关于Y 轴对称。
换种说法：
)(x f y =与)(x g y =若满足)()(x g x f -=，即它们关于0=x 对称。
3、
)(x f y =与)2(x a f y -=关于直线a x =对称。
换种说法：
)(x f y =与)(x g y =若满足)2()(x a g x f -=，即它们关于a x =对称。
4、
)(x f y =与)(2x f a y -=关于直线a y =对称。
换种说法：)(x f y =与)(x g y =若满足a x g x f 2)()(=+，即它们关于a y =对称。
5、
)2(2)(x a f b y x f y --==与关于点(a,b)对称。
换种说法：
)(x f y =与)(x g y =若满足b x a g x f 2)2()(=-+，即它们关于点(a,b)对称。
6、
)(x a f y -=与)(b x y -=关于直线2
b
a x +=
对称。 7、 函数的轴对称：
定理1：如果函数()x f y =满足()()x b f x a f -=+，则函数()x f y =的图象关于直线2
b a x +=对
称.
推论1：如果函数
()x f y =满足()()x a f x a f -=+，则函数()x f y =的图象关于直线a x =对称. 推论2：如果函数
()x f y =满足()()x f x f -=，则函数()x f y =的图象关于直线0=x （y 轴）对称.
特别地，推论2就是偶函数的定义和性质.它是上述定理1的简化.
8、 函数的点对称：
定理2：如果函数()x f y =满足()()b x a f x a f 2=-++，则函数()x f y =的图象关于点()b a ,对
称.
推论3：如果函数
()x f y =满足()()0=-++x a f x a f ，则函数()x f y =的图象关于点()0,a 对称.
推论4：如果函数
()x f y =满足()()0=-+x f x f ，则函数()x f y =的图象关于原点()0,0对称.特别地，
推论4就是奇函数的定义和性质.它是上述定理2的简化.
三、总规律：定义在Ｒ上的函数()x f y =，在对称性、周期性和奇偶性这三条性质中，只要有两条存在，则第三条
一定存在。 四、试题
1．已知定义为R 的函数
()x f 满足()()4+-=-x f x f ，且函数()x f 在区间()+∞,2上单调递增.如果
212x x <<，且421<+x x ，则()()21x f x f +的值（A ）.
A ．恒小于0
B ．恒大于0
C ．可能为0
D ．可正可负.
分析：
()()4+-=-x f x f 形似周期函数()()4+=x f x f ，但事实上不是，不过我们可以取特殊值代入，通
过适当描点作出它的图象来了解其性质.或者，先用
2-x 代替x ，使()()4+-=-x f x f 变形为
()()22+-=-x f x f .它的特征就是推论3.因此图象关于点()0,2对称.()x f 在区间()+∞,2上单调递增，在
区间
()2,∞-上也单调递增.我们可以把该函数想象成是奇函数向右平移了两个单位.
1242x x -<< ，且函数在()+∞,2上单调递增，所以 ()()124x f x f -<，又由()()4+-=-x f x f ，
有
()[]()()1111444)4(x f x f x f x f -=+-=--=-，
∴()()<+21x f x f ()()114x f x f -+()()011=-=x f x f .选A.
当然，如果已经作出大致图象后，用特殊值代人也可猜想出答案为A.
2：在R 上定义的函数()f x 是偶函数，且()f x (2)f x =-.若()f x 在区间[1,2]上是减函数，则()f x ( B )
A.在区间[2,1]--上是增函数，在区间[3,4]上是减函数
B.在区间[2,1]--上是增函数，在区间[3,4]上是减函数
C.在区间[2,1]--上是减函数，在区间[3,4]上是增函数
D.在区间[2,1]--上是减函数，在区间[3,4]
上是增函数
分析：由
()(2)f x f x =-可知()f x 图象关于x 1=对称，即推论1
的应用.又因为
()f x 为偶函数图象关于0x =对称，可得到()f x 为周期函
数且最小正周期为2，结合()f x 在区间[1,2]上是减函数，可得如右()
f x 草图.故选B
3.定义在R 上的函数
)(x f 既是奇函数，又是周期函数，T
是它的一个正周期.若将方程
0)(=x f 在闭区间
][T T ,-上的根的个数记为n ，则n 可能为（ D ）
A.0
B.1
C.3
D.5
分析：
()()0f T f T =-=，()()()()2222
T T T T
f f f T f -=-=-+=，
∴()()022
T T
f f -==，则n 可能为5，选D.
4．已知函数
()x f 的图象关于直线2=x 和4=x 都对称，且当10≤≤x 时，()x x f =.求()5.19f 的
值.
分析：由推论1可知，()x f 的图象关于直线2=x 对称，即()()x f x f -=+22，
同样，
()x f 满足()()x f x f -=+44，现由上述的定理3知()x f 是以4为周期的函数.
()()5.3445.19+?=∴f f ()5.3f =()[]()5.05.04-=-+=f f ，同时还知()x f 是偶函数，所以()()5.05.05.0==-f f .
5．
()()()()39821583214f x f x f x f x =-=-=-，则()0f ，()1f ，()2f ，…，()999f 中
最多有（ B ）个不同的值.
A.165
B.177
C.183
D.199
分析：由已知
()()()()39821583214f x f x f x f x =-=-=-()1056f x =+
()()()1760704352f x f x f x =+=+=+.
又有
()()()()39821583214f x f x f x f x =-=-=-()1056f x =+
()21581056f x =-+????()()()11021102105646f x f x f x =-=--=-，
于是
)(x f 有周期352，于是()()(){}0,1,,999f f f 能在()()(){}0,1,,351f f f 中找到.
又
)(x f 的图像关于直线23x =对称，故这些值可以在()()(){}23,24,,351f f f 中找到.又)(x f 的
图像关于直线199x
=对称，故这些值可以在()()(){}23,24,,199f f f 中找到.共有177个.选B.
6：已知
()113x
f x x
+=
-，()()1f x f f x =????，()()21f x f f x =????，…，()()1n n f x f f x +=????，则
()20042f -=（ A ）.
A.17
-
B.
1
7
C. 35
-
D.3
分析：由
()113x f x x +=
-，知()1131x f x x -=+，()2131x f x f x x -??
== ?+??
，()()3f x f x =. )(x f 为迭代周期函数，故()()3n f x f x =，()()2004f x f x =，()()20041
227
f f -=-=-
. 选A.
7：函数
)(x f 在
R 上有定义，且满足
)(x f 是偶函数，且()02005f =，()()1g x f x =-是奇函数，则
()2005f 的值为 .
解：()()()()
11g x f x g x f x -=--=-=--，()()
11f x f x --=--，令1
y x =+，则
()()2f y f y -=--，即有()()20f x f x +-=，令()n a f x =，则20n n a a -+=，其中02005a =，10a =，()20052n n n a i i ??=
+-??，()20052005f a ==()2005
200520052i i ??+-?
?
0=. 或有()()2f x f x =--，得()()()()2005200320011999f f f f =-==-=
()10f ==.
8．设函数
))((R x x f ∈为奇函数，),2()()2(,2
1
)1(f x f x f f +=+=
则=)5(f （ c ） A ．0
B ．1
C ．
2
5 D ．5
分析：答案为B 。先令f （1）= f （--1+2）=f （--1）+f （2）=1/2，根据奇函数的定义可求得f （--1）=--1/2，所以， f （2）=1，f （5）=f （3）+f （2）=f （1）+f （2）+f （2）=5/2，所以，答案为c 。
9． 设f （x ）是定义在R 上以6为周期的函数，f （x ）在(0,3)内单调递减，且y=f （x ）的图象关于直线x=3对称，则下面正确的结论是 （ B ）
(A)
()()()1.5 3.5 6.5f f f <<； (B )()()()3.5 1.5 6.5f f f <<；
(C)()()()6.5 3.5 1.5f f f <<； (D)
()()()3.5 6.5 1.5f f f <<
分析：答案为B 。做这种带周期性、单调性的试题，通常的做法是将f （x ）设成正弦或余弦函数，具体到本题，可将f （x ）设成正弦函数或余弦函数，令其周期为6，通过平移使其满足在（0,3）内单调递减，根据图像，即可求出，答案为B 。 10．设函数
()f x 与()g x 的定义域是{x R ∈}1x ≠±,函数()f x 是一个偶函数，()g x 是一个奇函数，且
1
()()1
f x
g x x -=
-，则()f x 等于（C ） A.112-x B.1
222
-x x C .
1
2
2-x
D.
1
22-x x
分析：答案为C. 本题是考察函数奇偶性的判定，并不难，根据奇偶性的定义，即可得出答案为C 11：已知函数f (x )在(－1，1)上有定义，f (
1
2
)=－1,当且仅当0 y x ++1),试证明: (1)f (x )为奇函数；(2)f (x )在(－1，1)上单调递减. 证明: (1)由f (x )+f (y )=f ( xy y x ++1)可令x =y =0,得f (0)=0, 令y =－x ,得f (x )+f (－x )=f (2 1x x x --)=f (0)=0. ∴f (x )=－f (－x ). ∴f (x )为奇函数. (2)先证f (x )在(0，1)上单调递减. 令0 211 21x x x x --) ∵0 21 21x x x x -->0, 又(x 2－x 1)－(1－x 2x 1)=(x 2－1)(x 1+1)<0，∴x 2－x 1<1－x 2x 1,∴0< 2 11 21x x x x --<1,由题意知f ( 21121x x x x --)<0， 即 f (x 2) 12. 已知函数y ＝f (x )是定义在R 上的周期函数，周期T=5，函数()(11)y f x x =-≤≤是奇函数又知y ＝f (x )在[0,1] 上是一次函数，在[1,4]上是二次函数，且在x=2时函数取得最小值5-. ①证明：(1)(4)0f f +=；②求 (),[1,4]y f x x =∈的解析式；③求()y f x =在[4,9]上的解析式. 解：∵f (x )是以5为周期的周期函数，∴(4)(45)(1)f f f =-=-， 又∵()(11)y f x x =-≤≤是奇函数，∴(1)(1)(4)f f f =--=-，∴(1)(4)0 f f += ②当[1,4]x ∈时，由题意可设2()(2) 5 (0)f x a x a =-->， 由(1)(4)0f f +=得2 2(12)5(42)50a a --+--=，∴2a =， ∴ 2()2(2)5(14)f x x x =--≤≤ ③∵ ()(11)y f x x =-≤≤是奇函数，∴(0)0f =， 又知y ＝f (x )在[0,1]上是一次函数，∴可设()(01)f x kx x =≤≤，而2(1)2(12)53f =--=-， ∴3k =-，∴当01x ≤≤时，f (x )=-3x ， 从而当10x -≤<时，()()3f x f x x =--=-，故11x -≤≤时，f (x )= -3x ，. ∴当46x ≤ ≤时，有151x -≤-≤，∴0. 当69x <≤时，154x <-≤，∴ 22()(5)2[(5)2]52(7)5f x f x x x =-=---=-- ∴ 2 315,46()2(7)5,69 x x f x x x -+≤≤?=?--<≤? 13．设ｆ（ｘ）是定义在R 上的偶函数，其图象关于直线ｘ＝１对称 对任意ｘ１，ｘ２∈［０ 2 1］，都有ｆ（ｘ１＋ｘ ２ ）＝ｆ（ｘ１）·ｆ（ｘ２），且f (1)=ａ＞０． (Ⅰ)求ｆ)4 1 (),21( f ； (Ⅱ)证明ｆ（ｘ）是周期函数； （Ⅲ）记n a ＝ｆ（２ｎ＋ n 21 ），求n a ． (Ⅰ)解：因为对ｘ１ ，ｘ２ ∈［０，2 1 ］，都有ｆ（ｘ １ ＋ｘ２）＝ｆ（ｘ１）·ｆ（x ２）, 所以 2 2)]4 1([)41()41()4141()21()]2 1 ([)21()21()2121()1(] 1,0[,0)2()2()22()(f f f f f f f f f f x x f x f x x f x f =?=+==?=+=∈≥?=+= ｆ（１）＝ａ＞0， ∴ 41 21)4 1 (,)21(a f a f == (Ⅱ)证明：依题设ｙ＝ｆ（ｘ）关于直线ｘ＝１对称， 故ｆ（ｘ）＝ｆ（１＋１－ｘ）， 即ｆ（ｘ）＝ｆ（２－ｘ），ｘ∈R 又由ｆ（ｘ）是偶函数知ｆ（－ｘ）＝ｆ（ｘ），ｘ∈R ， ∴ｆ（－ｘ）＝ｆ（２－ｘ），ｘ∈R ， 将上式中－ｘ以ｘ代换，得ｆ（ｘ）＝ｆ（ｘ＋２），ｘ∈Ｒ 这表明ｆ（ｘ）是R 上的周期函数，且2是它的一个周期. （Ⅲ）解：由(Ⅰ)知ｆ（ｘ）≥０，ｘ∈［０，１］ ∵ ]21)1(21[)21()21(n n n f n n f f ?-+=?= n n f n f n f n f n n f n f )] 21([)21()21()21( ]21 )1[()21( =???==?-?= 21 )2 1 (a f = ∴ n a n f 21 )21 (= ∵ｆ（ｘ）的一个周期是2 ∴ｆ（２ｎ＋n 21）=ｆ（n 21 ）,因此a n =n a 21 函数对称性与周期性几个重要结论赏析 湖南周友良黄爱民 【大中小】【关闭】 对称性和周期性是函数的两个重要性质，下面总结这两个性质的几个重要结论及运用它们解决抽象型函数的有关习题。 一、几个重要的结论 （一）函数图象本身的对称性（自身对称） 1、函数满足（T为常数）的充要条件是的图象关于直 线对称。 2、函数满足（T为常数）的充要条件是的图象关于直 线对称。 3、函数满足的充要条件是图象关于直线 对称。 4、如果函数满足且，（和是不相 等的常数），则是以为为周期的周期函数。 5、如果奇函数满足（），则函数是以4T为周期的周期性函数。 6、如果偶函数满足（），则函数是以2T为周 期的周期性函数。 （二）两个函数的图象对称性（相互对称）（利用解析几何中的对称曲线轨迹方程理解） 1、曲线与关于X轴对称。 2、曲线与关于Y轴对称。 3、曲线与关于直线对称。 4、曲线关于直线对称曲线为。 5、曲线关于直线对称曲线为。 6、曲线关于直线对称曲线为。 7、曲线关于点对称曲线为。 二、试试看，练练笔 1、定义在实数集上的奇函数恒满足，且时,, 则________。 2、已知函数满足，则图象关于__________对称。 3、函数与函数的图象关于关于__________对称。 4、设函数的定义域为R，且满足，则的图象关于 __________对称。 5、设函数的定义域为R，且满足，则的图象关于 __________对称。图象关于__________对称。 6、设的定义域为R，且对任意，有，则图象关 于__________对称，关于__________对称。 7、已知函数对一切实数x满足，且方程有5个实根， 则这5个实根之和为（） A、5 B、10 C、15 D、18 8、设函数的定义域为R，则下列命题中，①若是偶函数，则图 象关于y轴对称；②若是偶函数，则图象关于直线对称；③若 ，则函数图象关于直线对称；④与 图象关于直线对称，其中正确命题序号为_______。 9、函数定义域为R，且恒满足和，当 时，，求解析式。 10、已知偶函数定义域为R，且恒满足，若方程在 上只有三个实根，且一个根是4，求方程在区间中的根． 附参考答案： ：：：：y轴即：①y轴② ：①②：C ：②④ ： ：方程的根为共9个根 抽象函数的对称性与周期性 一、抽象函数的对称性。 性质1、若函数y＝f(x)关于直线x＝a轴对称，则以下三式成立且等价：（1）f(a＋x)＝f(a－x)。 （2）f(2a－x)＝f(x)。 （3）f(2a＋x)＝f(－x)。 性质2、若函数y＝f(x)关于点(a,0)中心对称，则以下三式成立且等价：（1）f(a＋x)＝－f(a－x)。 （2）f(2a－x)＝－f(x)。 （3）f(2a＋x)＝－f(－x)。 注：y＝f(x)为偶函数是性质1当a＝0时的特例，f(－x)＝f(x)。 y＝f(x)为奇函数是性质2当a＝0时的特例，f(－x)＝-f(x)。 二、复合函数的奇偶性。 性质1、复数函数y＝f[g(x)]为偶函数，则f[g(－x)]＝f[g(x)]。 复合函数y＝f[g(x)]为奇函数，则f[g(－x)]＝－f[g(x)]。 性质2、复合函数y＝f(x＋a)为偶函数，则f(x＋a)＝f(－x＋a)； 复合函数y＝f(x＋a)为奇函数，则f(－x＋a)＝－f(a＋x)。 性质3、复合函数y＝f(x＋a)为偶函数，则y＝f(x)关于直线x＝a轴对称。 复合函数y＝f(x＋a)为奇函数，则y＝f(x)关于点(a,0)中心对称。 三、函数的周期性。 性质、若a是非零常数，若对于函数y＝f(x)定义域内的任一变量x点，有下列条件之一成立，则函数y＝f(x)是周期函数，且2|a|是它的一个周期。 ①f(x＋a)＝f(x－a)， ②f(x＋a)＝－f(x)， ③f(x＋a)＝1/f(x)， ④f(x＋a)＝－1/f(x)。 四、函数的对称性与周期性。 性质1、若函数y＝f(x)同时关于直线x＝a与x＝b轴对称，则函数f(x)必为周期函数，且T＝2|a－b|。 性质2、若函数y＝f(x)同时关于点（a，0）与点（b，0）中心对称，则函数f(x)必为周期函数，且T＝2|a－b|。 性质3、若函数y＝f(x)既关于点（a，0）中心对称，又关于直线x＝b轴对称，则函数f(x)必为周期函数，且T＝4|a－b|。 五、复合函数的对称性。 性质1、已知函数y＝f(x)，则复合函数y＝f(a＋x)与y＝f(b-x)关于直线x＝(b-a)/2轴对称。 性质2、已知函数y＝f(x)，则复合函数y＝f(a＋x)与y＝-f(b-x)关于点((b-a)/2,0)中心对称。 推论1、已知函数y＝f(x)，则复合函数y＝f(a＋x)与y＝f(a－x)关于y轴轴对称。 推论2、已知函数y＝f(x)，则复合函数y＝f(a＋x)与y＝－f(a－x)关于原点中心对称。 六、巩固练习 1、函数y＝f(x)是定义在实数集R上的函数，那么y＝－f(x＋4)与y＝ f(6－x)的图象（）。 A．关于直线x＝5对称 B．关于直线x＝1对称 C．关于点（5，0）对称 D．关于点（1，0）对称 2、设f(x)是（－∞，＋∞）上的奇函数，f(x＋2)＝－f(x)，当0≤x≤1时， f(x)＝x，则f(7.5)=（）。 A．0.5 B．－0.5 C．1.5 D．－1.5 3、设f(x)是定义在（－∞，＋∞）上的函数，且满足f(10＋x)＝f(10－x)， f(20－x)＝－f(20＋x)，则f(x)是（）。 A．偶函数，又是周期函数 B．偶函数，但不是周期函数 C．奇函数，又是周期函数 D．奇函数，但不是周期函数 4、f(x)是定义在R上的偶函数，图象关于x＝1对称，证明f(x)是周期函数。参考答案：D，B，C，T＝2。 函数 对称性与周期性关系 【知识梳理】 一、 同一函数的周期性、对称性问题(即函数自身) 1、 周期性：对于函数)(x f y =，如果存在一个不为零的常数T ，使得当x 取定义域内的每一个值时，都有 )()(x f T x f =+都成立，那么就把函数)(x f y =叫做周期函数，不为零的常数T 叫做这个函数的周期。 如果所有的周期中存在着一个最小的正数，就把这个最小的正数叫做最小正周期。 2、 对称性定义（略），请用图形来理解。 3、 对称性： 我们知道：偶函数关于y （即x=0）轴对称，偶函数有关系式 )()(x f x f =- 奇函数关于（0，0）对称，奇函数有关系式0)()(=-+x f x f 上述关系式是否可以进行拓展？答案是肯定的 探讨：（1）函数)(x f y =关于a x =对称?)()(x a f x a f -=+ )()(x a f x a f -=+也可以写成)2()(x a f x f -= 或 )2()(x a f x f +=- 简证：设点),(11y x 在)(x f y =上，通过)2()(x a f x f -=可知，)2()(111x a f x f y -==，即 点)(),2(11x f y y x a =-也在上，而点),(11y x 与点),2(11y x a -关于x=a 对称。得证。 若写成：)()(x b f x a f -=+，函数)(x f y =关于直线2 2)()(b a x b x a x +=-++= 对称 （2）函数)(x f y =关于点),(b a 对称?b x a f x a f 2)()(=-++ b x f x a f 2)()2(=-++上述关系也可以写成 或 b x f x a f 2)()2(=+- 简证：设点),(11y x 在)(x f y =上，即)(11x f y =，通过b x f x a f 2)()2(=+-可知， 函数对称性的解题方法归纳 讲函数的对称性主要是讲奇偶函数图像的对称性，函数与反函数图像的对称性。前者是函数自身的性质，而后者是函数的变换问题。下文中我们均简称为函数的变换性。函数的对称性在近几年高考中屡见不鲜，对于解决其它问题也很有帮助，同时也是数学美的很好体现。现通过函数自身的对称性和不同函数之间的对称变换这两个方面来探讨函数对称性有关的性质。 1. 函数自身的对称性探究 设函数 )2()2(),()(x f x f x f +=-∞+-∞上满足在，)7()7(x f x f +=-，且在闭区间［0，7］上只有0)3()1(==f f （1）试判断函数)(x f y =的奇偶性； （2）试求方程0)(=x f 在闭区间［－2005，2005］上根的个数并证明你的结论。 分析：由)7()7(),2()2(x f x f x f x f +=-+=-可得：函数图象既关于x ＝2对称，又关于x ＝7对称，进而可得到周期性，然后再继续求解，而本题关键是要首先明确函数的对称性，因此，熟悉函数对称性是解决本题的第一步。 定理1 函数)(x f y =的图像关于直线x ＝a 对称的充要条件是)()(x a f x a f -=+即)2()(x a f x f -= 证明（略） 推论 函数)(x f y =的图像关于y 轴对称的充要条件是)()(x f x f -= 定理2 函数)(x f y =的图像关于点A （a ，b ）对称的充要条件是 b x a f x f 2)2()(=-+ 证明（略） 推论 函数)(x f y =的图像关于原点O 对称的充要条件是0)()(=-+x f x f 偶函数、奇函数分别是定理1，定理2的特例。 定理3 ①若函数)(x f y =的图像同时关于点A （a ，c ）和点B （b ，c ）成中心对称（b a ≠），则)(x f y =是周期函数，且b a -2是其一个周期。 函数的对称性 知识梳理 一、对称性的概念及常见函数的对称性 1、对称性的概念 ①函数轴对称：如果一个函数的图像沿一条直线对折，直线两侧的图像能够完全重合，则称该函数具备对称性中的轴对称，该直线称为该函数的对称轴。 ②中心对称：如果一个函数的图像沿一个点旋转180度，所得的图像能与原函数图像完全重合，则称该函数具备对称性中的中心对称，该点称为该函数的对称中心。 2、常见函数的对称性（所有函数自变量可取有意义的所有值） ①常数函数;②一次函数;③二次函数;④反比例函数;⑤指数函数;⑥对数函数;⑦幂函数;⑧正弦函数; ⑨正弦型函数sin()y A x ω?=+既是轴对称又是中心对称;⑩余弦函数;⑾正切函数;⑿耐克函数; ⒁绝对值函数：这里主要说的是(||)y f x =和|()|y f x =两类。前者显然是偶函数，它会关于y 轴对称;后者是把x 轴下方的图像对称到x 轴的上方，是否仍然具备对称性，这也没有一定的结论，例如|ln |y x =就没有对称性，而|sin |y x =却仍然是轴对称。 ⒂形如(0,)ax b y c ad bc cx d +=≠≠+的图像是双曲线，其两渐近线分别直线d x c =- (由分母为零确定)和直线a y c =(由分子、分母中x 的系数确定)，对称中心是点(,)d a c c -。 二、抽象函数的对称性 【此类问题涉及到了函数图象的两种对称性，一种是同一函数自身的对称性，我们称其为自对称；另一种是两个函数之间的对称性 ，我们称其为互对称。】 1、函数)(x f y =图象本身的对称性（自对称问题） （1）轴对称 ①)(x f y =的图象关于直线a x =对称 ?)()(x a f x a f -=+ ?)2()(x a f x f -= ?)2()(x a f x f +=- 函数的对称性与周期性 一、相关结论 1．关于x 轴、y 轴、原点、x y =对称 2．周期性（内同） ① 若)()(x f T x f =+(0≠T )，则)(x f 为周期函数，T 为一个周期。 ② 若)()(b x f a x f +=+(b a ≠)，则)(x f 为周期函数，||a b -为一个周期。 ③ 若)()(x f a x f -=+(0≠a )，则)(x f 为周期函数，a 2为一个周期。 ④ 若) (1 )(x f a x f =+(0≠a )，则)(x f 为周期函数，a 2为一个周期。 3．自对称性（内反） ①若)()(x b f x a f -=+，则)(x f 的图像关于直线2 b a x += 对称；特别地，若)()(x a f x a f -=+，则)(x f 的图像关于直线a x =对称；0=a 为偶函数。 ②若)()(x b f x a f --=+，则)(x f 的图像关于点)0,2 ( b a +对称；特别地，若)()(x a f x a f --=+，则)(x f 的图像关于点)0,(a 对称；0=a 为奇函数。 ③若c x b f x a f =-++)()(，则)(x f 的图像关于点)2 ,2(c b a +对称。 4．互对称性 ①函数)(x a f y +=与函数)(x b f y -=的图像关于直线2a b x -=对称； ②函数)(x a f y +=与函数)(x b f y --=的图像关于点)0,2 (a b -对称； ③函数)(x a f y +=与函数)(x a f y -=的图像关于直线0=x 对称。 5． 对称性与周期性的关系 ①若)(x f 的图像有两条对称轴a x =和b x =(b a ≠)，则)(x f 为周期函数， ||2a b -为一个周期。 ②若)(x f 的图像有两个对称中心)0,(a 和)0,(b (b a ≠)，则)(x f 为周期函数， ||2a b -为一个周期。 若)(x f 的图像有一条对称轴a x =和一个对称中心)0,(b (b a ≠)，则)(x f 为周期函 数，||4a b -为一个周期。 第5炼 函数的对称性与周期性 一、基础知识 （一）函数的对称性 1、对定义域的要求：无论是轴对称还是中心对称，均要求函数的定义域要关于对称轴（或对称中心）对称 2、轴对称的等价描述： （1）()()f a x f a x -=+?()f x 关于x a =轴对称（当0a =时，恰好就是偶函数） （2）()()()f a x f b x f x -=+?关于2 a b x +=轴对称 在已知对称轴的情况下，构造形如()()f a x f b x -=+的等式只需注意两点，一是等式两侧f 前面的符号相同，且括号内x 前面的符号相反；二是,a b 的取值保证2 a b x +=为所给对称轴即可。例如：()f x 关于1x =轴对称()()2f x f x ?=-，或得到()()31f x f x -=-+均可，只是在求函数值方面，一侧是()f x 更为方便 （3）()f x a +是偶函数，则()()f x a f x a +=-+，进而可得到：()f x 关于x a =轴对称。 ① 要注意偶函数是指自变量取相反数，函数值相等，所以在()f x a +中，x 仅是括号中的一部分，偶函数只是指其中的x 取相反数时，函数值相等，即()()f x a f x a +=-+，要与以下的命题区分： 若()f x 是偶函数，则()()f x a f x a +=-+????：()f x 是偶函数中的x 占据整个括号，所以是指括号内取相反数，则函数值相等，所以有()()f x a f x a +=-+???? ② 本结论也可通过图像变换来理解，()f x a +是偶函数，则()f x a +关于0x =轴对称，而()f x 可视为()f x a +平移了a 个单位（方向由a 的符号决定），所以()f x 关于x a =对称。 函数周期性与对称性的函数方程 【问题提出】 问题1：满足下列条件的函数是否为周期函数？为什么？如果是，请写出它的一个正周期. （1）)()(a x f x f += ； （2）)()(a x f x f +-=；（3）)()(a x f b x f +=+ （4）) (1 )(a x f x f +± =.（其中0,0>>b a ） 问题2：满足下列条件的函数是否具有对称性？为什么？如果有，请写出它的对称性质. （1）)()(x a f x a f -= +； （2）)()(x b f x a f -=+ （3）)()(x a f x a f --=+；（4）)()(x b f x a f --=+ 【探究拓展】 探究1：设()b a ,为函数) (x f y =的对称中心，则必有等式 ________________________ 变式：（复旦自主招生）写出函数)3sin()(-+=x x x f 的一个对称中心为____________ 探究2：已知奇函数 )(x f 的图像关于直线2-=x 对称，当[]2,0∈x 时， ,2)(x x f = 则______)9(=-f 变式1：奇函数()f x 的定义域为R ，若(2)f x +为偶函数，且1)1(=f ，则 =+)9()8(f f _____ 1 变式2：已知偶函数)(x f 满足)(1 )2(x f x f - =+，当 32< 函数对称性、周期性和奇偶性规律 一、 同一函数的周期性、对称性问题(即函数自身) 1、 周期性：对于函数 )(x f y =，如果存在一个不为零的常数 T ，使得当x 取定义域内的每一个值时，都有 )()(x f T x f =+都成立，那么就把函数)(x f y =叫做周期函数，不为零的常数T 叫做这个函数的周 期。如果所有的周期中存在着一个最小的正数，就把这个最小的正数叫做最小正周期。 2、 对称性定义（略），请用图形来理解。 3、 对称性： 我们知道：偶函数关于y （即x=0）轴对称，偶函数有关系式 )()(x f x f =- 奇函数关于（0，0）对称，奇函数有关系式 0)()(=-+x f x f 上述关系式是否可以进行拓展？答案是肯定的 探讨：（1）函数)(x f y =关于a x =对称?)()(x a f x a f -=+ )()(x a f x a f -=+也可以写成)2()(x a f x f -= 或 )2()(x a f x f +=- 简证：设点),(11y x 在 )(x f y =上，通过)2()(x a f x f -=可知，)2()(111x a f x f y -==， 即点)(),2(11x f y y x a =-也在上，而点),(11y x 与点),2(11y x a -关于x=a 对称。得证。 若写成：)()(x b f x a f -=+，函数)(x f y =关于直线2 2)()(b a x b x a x +=-++= 对称 （2）函数 )(x f y =关于点),(b a 对称?b x a f x a f 2)()(=-++ b x f x a f 2)()2(=-++上述关系也可以写成 或 b x f x a f 2)()2(=+- 简证：设点),(11y x 在 )(x f y =上，即) (11x f y =，通过 b x f x a f 2)()2(=+-可知， b x f x a f 2)()2(11=+-，所以 1 112)(2)2(y b x f b x a f -=-=-，所以点 )2,2(11y b x a --也在)(x f y =上，而点)2,2(11y b x a --与),(11y x 关于),(b a 对称。得 证。 若写成：c x b f x a f =-++)()(，函数)(x f y =关于点)2 ,2( c b a + 对称 （3）函数 )(x f y =关于点b y =对称:假设函数关于b y =对称，即关于任一个x 值，都有两个 y 值与其对应，显然这不符合函数的定义，故函数自身不可能关于b y =对称。但在曲线c(x,y)=0，则 有可能会出现关于 b y =对称，比如圆04),(22=-+=y x y x c 它会关于y=0对称。 4、 周期性： （1）函数 )(x f y =满足如下关系系，则T x f 2)(的周期为 A 、 )()(x f T x f -=+ B 、) (1 )()(1)(x f T x f x f T x f - =+= +或 C 、 )(1)(1)2(x f x f T x f -+=+或) (1) (1)2(x f x f T x f +-=+（等式右边加负号亦成立） 函数的对称性 新课标高中数学教材上就函数的性质着重讲解了单调性、奇偶性、周期性，但在考试测验甚至高考中不乏对函数对称性、连续性、凹凸性的考查。尤其是对称性，因为教材上对它有零散的介绍，例如二次函数的对称轴，反比例函数的对称性，三角函数的对称性，因而考查的频率一直比较高。 一、对称性的概念及常见函数的对称性 1、对称性的概念： ①函数轴对称：如果一个函数的图像沿一条直线对折，直线两侧的图像能够完全重合，则称该函数具备对称性中的轴对称，该直线称为该函数的对称轴。 ②中心对称：如果一个函数的图像沿一个点旋转180度，所得的图像能与原函数图像完全重合，则称该函数具备对称性中的中心对称，该点称为该函数的对称中心。 2、常见函数的对称性（所有函数自变量可取有意义的所有值） ①常数函数：既是轴对称又是中心对称，其中直线上的所有点均为它的对称中心，与该直线相垂直的直线均为它的对称轴。 ②一次函数：既是轴对称又是中心对称，其中直线上的所有点均为它的对称中心，与该直线相垂直的直线均为它的对称轴。 ③二次函数：是轴对称，不是中心对称，其对称轴方程为a b x 2-=。 ④反比例函数：既是轴对称又是中心对称，其中原点为它的对称中心，y=x 与y=-x 均为它的对称轴。 ⑤指数函数：既不是轴对称，也不是中心对称。 ⑥对数函数：既不是轴对称，也不是中心对称。 ⑦幂函数：显然幂函数中的奇函数是中心对称，对称中心是原点；幂函数中的偶函数是轴对称，对称轴是y 轴；而其他的幂函数不具备对称性。 ⑧正弦函数：既是轴对称又是中心对称，其中（kπ，0）是它的对称中心，2π π+=k x 是它的对称轴。 ⑨正弦型函数：正弦型函数y=Asin(ωx+φ)既是轴对称又是中心对称，只需从ωx+φ=kπ中解出x ，就是它的对称中心的横坐标，纵坐标当然为零；只需从ωx+φ=kπ+π/2中解出x ，就是它的对称轴；需要注意的是如果图像向上向下平移，对称轴不会改变，但对称中心的纵坐标会跟着变化。 ⑩余弦函数：既是轴对称又是中心对称，其中x=kπ是它的对称轴，)0,2(ππ+k 是它的对称中心。 （11）正切函数：不是轴对称，但是是中心对称，其中)0,2(π k 是它的对称中心， 容易犯错误的是可能有的同学会误以为对称中心只是（kπ,0）。 （12）对号函数：对号函数y=x+a/x(其中a>0)因为是奇函数所以是中心对称，原点是它的对称中心。但容易犯错误的是同学们可能误以为最值处是它的对称轴。 （13）三次函数：显然三次函数中的奇函数是中心对称，对称中心是原点，而其他的三次函数是否具备对称性得因题而异。 （一）函数)(x f y =图象本身的对称性（自身对称） 若()()f x a f x b +=±+，则()f x 具有周期性；若()()f a x f b x +=±-，则()f x 具有对称性：“内同表示周期性，内反表示对称性”。 推论1：)()(x a f x a f -=+ ?)(x f y =的图象关于直线a x =对称 推论2、)2()(x a f x f -= ?)(x f y =的图象关于直线a x =对称 推论3、)2()(x a f x f +=- ?)(x f y =的图象关于直线a x =对称 推论1、b x a f x a f 2)()(=-++ ?)(x f y =的图象关于点),(b a 对称 推论2、b x a f x f 2)2()(=-+ ?)(x f y =的图象关于点),(b a 对称 推论3、b x a f x f 2)2()(=++- ?)(x f y =的图象关于点),(b a 对称 （二）两个函数的图象对称性（相互对称）（利用解析几何中的对称曲线轨迹方程理解） 1、偶函数)(x f y =与)(x f y -=图象关于Y 轴对称 2、奇函数)(x f y =与)(x f y --=图象关于原点对称函数 3、函数)(x f y =与()y f x =-图象关于X 轴对称 4、互为反函数)(x f y =与函数1()y f x -=图象关于直线y x =对称 推论1:函数)(x a f y +=与)(x a f y -=图象关于直线0=x 对称 推论2:函数)(x f y =与)2(x a f y -= 图象关于直线a x =对称 推论3:函数)(x f y -=与)2(x a f y +=图象关于直线a x -=对称 函数对称性、周期性和奇偶性规律总结 注：换种说法：)(x f y =与()()y g x f x ==-若满足)()(x g x f -=，即它们关于0=y 对称。 2、()y f x =与()y f x =-关于Y 轴对称。 证明：设()y f x =上任一点为11(,)x y 则11()y f x =，所以()y f x =-经过点11(,)x y - ∵11(,)x y 与11(,)x y -关于Y 轴对称，∴()y f x =与()y f x =-关于Y 轴对称。 注：因为11(,)x y -代入()y f x =-得111(())()y f x f x =--=所以()y f x =-经过点11(,)x y - 换种说法：)(x f y =与()()y g x f x ==-若满足)()(x g x f -=，即它们关于0=x 对称。 ()(())()g x f x f x -=--= 3、()y f x =与(2)y f a x =-关于直线x a = 对称。 证明：设()y f x =上任一点为11(,)x y 则11()y f x =，所以(2)y f a x =-经过点11(2,)a x y - ∵11(,)x y 与11(2,)a x y -关于x a =轴对称，∴()y f x =与(2)y f a x =-关 于直线x a = 对称。 注：换种说法：)(x f y =与()(2)y g x f a x ==-若满足)2()(x a g x f -=，即它们关于a x =对称。 4、)(x f y =与)(2x f a y -=关于直线a y =对称。 证明：设()y f x =上任一点为11(,)x y 则11()y f x =，所以)(2x f a y -=经过点11(,2)x a y - ∵11(,)x y 与11(,2)x a y -关于y a =轴对称，∴)(x f y =与)(2x f a y -=关于直线a y =对称. 注：换种说法：)(x f y =与()2()y g x a f x ==-若满足a x g x f 2)()(=+，即它们关于a y =对称。 5、)2(2)(x a f b y x f y --==与关于点(a,b)对称。 证明：设()y f x =上任一点为11(,)x y 则11()y f x =，所以2(2)y b f a x =--经过点11(2,2)a x b y -- 二次函数图象对称性的应用 一、几个重要结论： 1、抛物线的对称轴是直线__________。 2、对于抛物线上两个不同点P1（），P2（），若有，则P1，P2两点是关于_________对称的点，且这时抛物线的对称轴是直线_____________；反之亦然。 3、若抛物线与轴的两个交点是A（，0），B（，0），则抛物线的对称轴是__________（此结论是第2条性质的特例，但在实际解题中经常用到）。 4、若已知抛物线与轴相交的其中一个交点是A（，0），且其对称轴是，则另一个交点B 的坐标可以用＿＿＿＿表示出来（注：应由A、B两点处在对称轴的左右情况而定，在应用时要把图画出）。 5、若抛物线与轴的两个交点是B（，0），C（，0），其顶点是点A，则?ABC是＿＿＿＿三角形，且?ABC的外接圆与内切圆的圆心都在抛物线的＿＿＿＿＿＿＿上。 二、在解题中的应用： 例1已知二次函数的图象经过A（-1，0）、B（3，0），且函数有最小值-8，试求二次函数的解析式。 例2已知抛物线,设,是抛物线与轴两个交点的横坐标，且满足 . （1）求抛物线的解析式； （2）设点P（，），Q（，）是抛物线上两个不同的点，且关于此抛物线的对称轴对称，求的值。 例3已知抛物线经过点A（-2，7）、B（6，7）、C（3，-8），则该抛物线上纵坐标为-8的另一点的坐标是。 例4已知抛物线的顶点A在直线上。 （1）求抛物线顶点的坐标； （2）抛物线与轴交于B、C两点，求B、C两点的坐标； （3）求?ABC的外接圆的面积。 y O x -1 -2 1 2 - 3 3 -1 1 2 -2 二次函数专题训练——对称性与增减性 一、选择 1、若二次函数 ，当x 取 ， （ ≠ ）时，函数值相等，则 当x 取+时，函数值为（ ） （A ）a+c （B ）a-c （C ）-c （D ）c 2、抛物线2)1(2++=x a y 的一部分如图所示，该抛物线在y 轴右 侧部分与x 轴交点的坐标是 （A ）（ 2 1 ，0） （B ）（1，0） （C ）（2，0） （D ）（3，0） 3、已知抛物线2 (1)(0)y a x h a =-+≠与x 轴交于1(0)(30)A x B ，，，两点，则线段AB 的长度为（ ） Ａ．1 Ｂ．2 Ｃ．3 Ｄ．4 4、抛物线c bx x y ++-=2 的部分图象如图所示，若0>y ，则的取值范围是（ ） A.14<<-x B. 13<<-x C. 4- 函数的对称性与周期性 【知识梳理】 1. 周期的概念：设函数(),y f x x D =∈，如果存在非零常数T ，使得对任意x D ∈都有 ，则函数()y f x =为周期函数，T 为()y f x =的一个周期； 2. 周期函数的其它形式 ()()f x a f x b +=+? ；()()f x a f x +=-? ；()()1f x a f x +=? ； ()()1f x a f x +=-? ；)(1)(1)(x f x f a x f +-=+? ，)(1)(1)(x f x f a x f -+=+? )()()2(x f a x f a x f -+=+? 1 )(1)(+-=+x f a x f ? ， 3. 函数图像的对称性 1）.若()()f x f x =-，则()y f x =的图像关于直线 对称； 2）.若()()0f x f x +-=，则()y f x =的图像关于点 对称； 3）若()()f a x f a x +=-，则()y f x =的图像关于直线 对称； 4）若()()2f x f a x =-，则()y f x =的图像关于直线 对称； 5）若()()2f a x f a x b ++-=，则()y f x =的图像关于点 对称； 6）若()()22f x f a x b +-=，则()y f x =的图像关于点 对称； 4. 常见函数的对称性 1）函数()()0ax b f x c cx d +=≠+的图像关于点 对称； 2）函数()()0f x ax b a =-≠的图像关于直线 对称； 3）函数()()20f x ax bx c a =++≠的图像关于直线 对称； 【例题选讲】 题型一 根据解析式判断函数图像的对称性 1. 函数()2331 x f x x +=-的图像关于 对称； 2. 函数()f x 的定义域为R ，且()()1f x f x -=，则()f x 的图像关于 对称； 3. 函数()23f x x =-的图像关于 对称； 4. 函数()3sin 23f x x π??=- ?? ?的图像关于直线 对称；关于点 对称； 题型二 平移变换后，函数图像的对称性 1.已知函数()y f x =是偶函数，()2f x -在[]0,2递减，则( ) 2.已知()2y f x =-是偶函数，则()y f x =的图像关于 对称； 3.已知()y f x =是奇函数，则()12y f x =+-的图像关于 对称； 题型三 函数图像的对称性求函数解析式 一:有关周期性的讨论 在已知条件()()f a x f b x +=-或 ()()f x a f x b +=-中， (1) 等式两端的两自变量部分相加得常数，如()()a x b x a b ++-=+，说明f x ()的图像具有对称性，其对称轴为2 b a x +=。 (2)等式两端的两自变量部分相减得常数，如()()x a x b a b +--=+，说明 f （x ）的图像具有周期性，其周期T=a +b 。 设a 为非零常数,若对于)(x f 定义域内的任意x 恒有下列条件之一成立 周期性规律 对称性规律 (1))()(a x f a x f +=- a T 2=? (1))()(x a f x a f -=+ a x =? (2))()(a x f x f += a T =? (2))()(x b f x a f -=+ 2 b a x += ? (3))()(x f a x f -=+ a T 2=? (3) )()(x b f x a f +=- 2b a x +=? (4))(1)(x f a x f =+ a T 2=? (4) )()(x b f x a f --=+ 中心点)0,2 (b a +? (5))(1)(x f a x f - =+ a T 2=? (5) )()(x a f x a f --=+ 为对称中心点)0,(a ? (6)1 )(1)()(-+=+x f x f a x f a T 2=? (7) 1()()1() f x f x a f x -+=+ a T 2=? (8) 1()()1()f x f x a f x -+=- + a T 4=? (9) ) (1)(1)(x f x f a x f -+=+ a T 4=? (10) )()()(a x f a x f x f ++-=, 0>a a T 6=? 函数的周期性与对称性 1、函数的周期性 若a 是非零常数，若对于函数y ＝f(x)定义域内的任一变量x 点有下列条件之一成立，则函数y ＝f(x)是周期函数，且2|a|是它的一个周期。 ①f(x＋a)＝f(x －a) ②f(x＋a)＝－f(x) ③f(x＋a)＝1/f(x) ④f(x＋a)＝－1/f(x) 2、函数的对称性与周期性 性质5 若函数y ＝f(x)同时关于直线x ＝a 与x ＝b 轴对称，则函数f(x)必为周期函数，且T ＝2|a －b| 性质6、若函数y ＝f(x)同时关于点（a ，0）与点（b ，0）中心对称，则函数f(x)必为周期函数，且T ＝2|a －b| 性质7、若函数y ＝f(x)既关于点（a ，0）中心对称，又关于直线x ＝b 轴对称，则函数f(x)必为周期函数，且T ＝4|a －b| 3.函数)(x f y =图象本身的对称性（自身对称） 若()()f x a f x b +=±+，则()f x 具有周期性；若()()f a x f b x +=±-，则()f x 具有对称性：“内同表示周期性，内反表示对称性”。 1、)()(x b f x a f -=+ ?)(x f y =图象关于直线2 2)()(b a x b x a x += -++= 对称 推论1：)()(x a f x a f -=+ ?)(x f y =的图象关于直线a x =对称 推论2、)2()(x a f x f -= ?)(x f y =的图象关于直线a x =对称 推论3、)2()(x a f x f +=- ?)(x f y =的图象关于直线a x =对称 2、c x b f x a f 2)()(=-++ ?)(x f y =的图象关于点),2 ( c b a +对称 推论1、 b x a f x a f 2)()(=-++ ?)(x f y =的图象关于点),(b a 对称 推论2、b x a f x f 2)2()(=-+ ?)(x f y =的图象关于点),(b a 对称 推论3、b x a f x f 2)2()(=++- ?)(x f y =的图象关于点),(b a 对称 例题分析： 1．设)(x f 是),(+∞-∞上的奇函数，)()2(x f x f -=+，当10≤≤x 时，x x f =)(，则 )5.47(f 等于 ( ) （A ）0.5 （B ）5.0- （C ）1.5 （D ）5.1- 2、（山东）已知定义在R 上的奇函数)(x f 满足(2)()f x f x +=-，则(6)f 的值为（ ） A ．－1 B ．0 C ．1 D ．2 3．设)(x f 是定义在R 上的奇函数，(1)2,(1)(6),f f x f x =+=+求(10).f 4．函数)(x f 对于任意实数x 满足条件1 (2)() f x f x += ，若(1)5f =-，则[(5)]f f =___ 函数的对称性?专题练习试卷?及解析 1.2015年北 京市西城区高 三第一次模拟 考试数学理科 试题第8题 已知抛物线和?214y x = 21 516 y x =-+所围成的封闭?曲线如图所示?， 给定点(0,)A a ，若在此封闭曲?线上恰有三对?不同的点，满足每一对点?关于点A 对称，则实数的取值?a 范围是 ( ) A. (1,3) B. (2,4) C. 3 (,3)2 D. 5(,4)2 2.2012年天?津市河北区高?三第一次模拟?数学理科试题?第8题 下图展示了一?个由区间到实?(0,1)数集的映射过?R 程：如图1，在区间中数轴?(0,1)上的点对应实?M 数m ；如图2，将线段围成一?AB 个圆，使两端点A 、B 恰好重合；如图3，将这个圆放在?平面直角坐标?系中，使其圆心在轴?y 上，点A 的坐标为(0,1)，射线与轴交于?AM x 点(,0)N n ．则n 就是m 的象，记作()f m n =．下列说法： ① ()f x 的定义域为(0,1)，值域为R ； ②()f x 是奇函数； ③ ()f x 在定义域上是?单调函数； ④11()42 f = ； ⑤ ()f x 的图象关于点?1(,0)2 对称． 其中正确命题?的序号是（ ） A. ②③⑤ B. ①③⑤ C. ①③④ D. ③④⑤ 3.2015年皖?北协作区高三?年级联考数学?文科试卷第9?题 定义在上的函? R 数的图像关于?()f x 直线3 2 x = 对称，且对任意实数?x 都有3 ()(),(1)1,(0)22 f x f x f f =-+-==-，则 (2013)(2014)(2015) f f f ++=（ ） A. 0 B. 2- C. 1 高中函数对称性总结 新课标高中数学教材上就函数的性质着重讲解了单调性、奇偶性、周期性，但在考试测验甚至高考中不乏对函数对称性、连续性、凹凸性的考查。尤其是对称性，因为教材上对它有零散的介绍，例如二次函数的对称轴，反比例函数的对称性，三角函数的对称性，因而考查的频率一直比较高。以笔者的经验看，这方面一直是教学的难点，尤其是抽象函数的对称性判断。所以这里我对高中阶段所涉及的函数对称性知识做一个粗略的总结。 一、对称性的概念及常见函数的对称性 1、对称性的概念 ①函数轴对称：如果一个函数的图像沿一条直线对折，直线两侧的图像能够完全重合，则称该函数具备对称性中的轴对称，该直线称为该函数的对称轴。 ②中心对称：如果一个函数的图像沿一个点旋转180度，所得的图像能与原函数图像完全重合，则称该函数具备对称性中的中心对称，该点称为该函数的对称中心。 2、常见函数的对称性（所有函数自变量可取有意义的所有值） ①常数函数：既是轴对称又是中心对称，其中直线上的所有点均为它的对称中心，与该直线相垂直的直线均为它的对称轴。 ②一次函数：既是轴对称又是中心对称，其中直线上的所有点均为它的对称中心，与该直线相垂直的直线均为它的对称轴。 ③二次函数：是轴对称，不是中心对称，其对称轴方程为x=-b/(2a)。 ④反比例函数：既是轴对称又是中心对称，其中原点为它的对称中心，y=x与y=-x均为它的对称轴。 ⑤指数函数：既不是轴对称，也不是中心对称。 ⑥对数函数：既不是轴对称，也不是中心对称。 ⑦幂函数：显然幂函数中的奇函数是中心对称，对称中心是原点；幂函数中的偶函数是轴对称，对称轴是y轴；而其他的幂函数不具备对称性。 ⑧正弦函数：既是轴对称又是中心对称，其中（kπ，0）是它的对称中心，x=kπ+π/2是它的对称轴。 ⑨正弦型函数：正弦型函数y=Asin(ωx+φ)既是轴对称又是中心对称，只需从ωx+φ=kπ中解出x，就是它的对称中心的横坐标，纵坐标当然为零；只需从ωx+φ=kπ+π/2中解出x，就是它的对称轴；需要注意的是如果图像向上 函数对称性 一知识点精讲： I 函数)(x f y =图象本身的对称性（自身对称） 1、)()(x b f x a f -=+?)(x f y =图象关于直线2 2)()(b a x b x a x +=-++=对称 证明：函数)(x f y =图象上的任一点00(,)P x y （满足00()f x y =）关于直线a b x +=的对称点为 (Q a b +∴点Q 推论1推论2推论32、f ((Q a b +∴点Q 推论1推论2推论3II 1、y 2、y 345.函数证明：函数()y f a x =+图象上的任一点00(,)P x y （满足00()f a x y +=）关于直线2b a x -= 的对称点为00(,)Q b a x y --，Q 000[()]()f b b a x f a x y ---=+= ∴点Q 在函数()y f b x =-的图象上；反之函数()y f b x =-的图象上任一点关于直线2 b a x -= 的对称点也在函数()y f a x =+图象上.从而函数()y f a x =+与()y f b x =-的图象关于直线2 b a x -=对称. 推论1:函数)(x a f y +=与)(x a f y -=图象关于直线0=x 对称 推论2:函数)(x f y =与)2(x a f y -=图象关于直线a x =对称 推论3:函数)(x f y -=与)2(x a f y +=图象关于直线a x -=对称 6若函数)(x f y =的定义域为R ，则函数()y f a x =+与()y f b x =--的图象关于点( ,0)2 b a -对称. 证明：函数()y f a x =+图象上的任一点00(,)P x y （满足00()f a x y +=）关于点(,0)2 b a -的对称点为00(,)Q b a x y ---，Q 000[()]()f b b a x f a x y ----=-+=- ∴点Q 在函数()y f b x =--的图象上；反之函数()y f b x =--的图象上任一点关于点(,0)2 b a -的对称点也在函数()y f a x =+图象上.从而函数()y f a x =+与()y f b x =--的图象关于点(,0)2b a -对称. 二典例解析： 11x (log 2f 解析：)(x f -(log f 234 5 解析：的，故6、设y )2(x f =解析：)2(x f 是由2 1=x ，=x 7个实根之和为解析：)(x f y =的图象关于直线3=x 对称，故五个实根，有两对关于直线3=x 对称，它们的和为12，还有一个根就是3。故这5个实根之和为15，正确答案为15 8、设函数)(x f y =的定义域为R ，则下列命题中， ①若)(x f y =是偶函数，则)2(+=x f y 图象关于y 轴对称； ②若)2(+=x f y 是偶函数，则)(x f y =图象关于直线2=x 对称； ③若)2()2(x f x f -=-，则函数)(x f y =图象关于直线2=x 对称； ④)2(-=x f y 与)2(x f y -=图象关于直线2=x 对称， 其中正确命题序号为_______。 解析：①错)2(+=x f y 关于直线2-=x 对称，②对③错若)2()2(x f x f -=-，则函数)(x f y =图象关于直线0=x 对称；④对正确答案为②④ 专题二：函数的周期性和对称性 【高考地位】 函数的周期性和对称性是函数的两个基本性质。在高中数学中，研究一个函数，首看定义域、值域，然后就要研究对称性（中心对称、轴对称），并且在高考中也经常考查函数的对称性和周期性，以及它们之间的联系。因此，我们应该掌握一些简单常见的几类函数的周期性与对称性的基本方法。 【方法点评】 一、函数的周期性求法 使用情景：几类特殊函数类型 解题模板：第一步 合理利用已知函数关系并进行适当地变形； 第二步 准确求出函数的周期性； 第三步 运用函数的周期性求解实际问题. 例1 (1) 函数)(x f 对于任意实数x 满足条件) (1 )2(x f x f = +，若5)1(-=f ，则=))5((f f （ ） A ．5- B ．5 C ．51 D ．5 1- 【答案】D 考点：函数的周期性． (2) 已知()x f 在R 上是奇函数，且满足()()x f x f -=+5，当()5,0∈x 时，()x x x f -=2 ，则()=2016f （ ） A 、-12 B 、-16 C 、-20 D 、0 【答案】A 试题分析：因为()()5f x f x +=-，所以()()()105f x f x f x +=-+=，()f x 的周期为10，因此 ()()()()20164416412f f f =-=-=--=-，故选A ． 考点：1、函数的奇偶性；2、函数的解析式及单调性． 【点评】(1)函数的周期性反映了函数在整个定义域上的性质．对函数周期性的考查，主要涉及函数周期性的判断，利用函数周期性求值．(2)求函数周期的方法 【变式演练1】已知定义在R 上的函数()f x 满足()()f x f x -=-，(3)()f x f x -=，则(2019)f =（ ） A ．3- B ．0 C ．1 D ．3 【答案】B函数对称性与周期性关系
《函数对称性的解题方法归纳》
函数的对称性
函数的对称性与周期性
函数的周期性与对称性
函数周期性与对称性的函数方程 专题
函数对称性、周期性和奇偶性的规律总结大全 .分解
函数的对称性
(完整版)常见函数对称性和周期性
函数对称性、周期性和奇偶性规律总结
二次函数对称性的专题复习
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