1.函数4
43
y x =
+的图像l 1与x 轴交于点A ,与y 轴交于点B,直线l 2与x 交于点C
，与y 轴交于点D ，l 2⊥l 1,
垂足为E ，如图，已知AC=4.
（1）求A 点的坐标。 （2）求OD 的长；
（3）求直线l 2的解析式。
2．（2009年台州市）如图，直线1l ：1y x =+与直线2l ：
y mx n =+相交于点), 1(b P ．
（1）求b 的值；
（2）不解关于y x ,的方程组1y x y mx n =+??
=+?，
，
请你直接写出它的解；
（3）直线3l ：y nx m =+是否也经过点P ？请说明理由．
(4)直线1l 与x 轴交与点A, 2l 与x 轴交于点B （t ,0）,当t (＞0)为何值时S △PAB =3;
并求此时m,n 的值。 3.如图，在平面直角坐标系中，直线y=kx+3分别于x 轴，
y 轴交于A,B 两点，且OA=4，点C 是x 轴上一点，如果把△AOB 沿着直线BC 折叠，那么点A 恰好落在y
轴负半轴上的点D 处。
（1）求直线AB 的表达式； （2）点D 的坐标； （3）求线段CD 的长； （4）求ta n ∠ABC 的值。
7.如图，直线l 1的解析式 y=-3x+3,且l 1 与x 轴y 轴分别交于A,B 两点，将直线l 1绕点O 逆时针旋转90度得到直线l 2, 直线l 2与x 轴，y 轴分别交于D,C 两点，两直线相交于E 点。
（1）A 点的坐标为（ ）；B 点的坐标为（ ）；
（2）求直线l 2的解析式
（3）求E 点的坐标； （4）求四边形OAEC 的面积。
x
x
1.如图，函数 y=x+3的图像分别与x 轴，轴，y轴交于点A,B.
(1)点A 的坐标为（）；点B 的坐标为（）；
(2)若2＜x＜5,求x的取值范围。
（3）直线m经过原点，与线段AB交于C，且把△AOB的面积分
为
2:1的两个部分，求直线m的解析式。
2.如图正方形OABC的顶点O在原点，且OA边和AB边所在直线的函
数解析式为
4325
344
y x y x
=-=+
和。AB边与y轴交于点D。
（1）求点A的坐标；
（2）求正方形OABC的边长；
（3）求直线OC的表达式；
(4)求△AOD的面积。
3.一次函数y=kx+b的图像与x,y轴分别交于点A（2,0）B(0,4).
(1) 求该直线的解析式，并说明点（1,2）是否在函数图像上；
（2）O为坐标原点，设OA,AB的中点分别为C,D,P为OB 上一动点，求PC+PD的最小值，并求取得最小值时P点的坐标。
一次函数 一、定义与定义式： 自变量x和因变量y有如下关系： y=kx+b 则此时称y是x的一次函数。 特别地，当b=0时，y是x的正比例函数。 即：y=kx （k为常数，k≠0） 二、一次函数的性质： 1.y的变化值与对应的x的变化值成正比例，比值为k 即：y=kx+b （k为任意不为零的实数b取任何实数） 2.当x=0时，b为函数在y轴上的截距。 三、一次函数的图像及性质： 1．作法与图形：通过如下3个步骤 （1）列表； （2）描点； （3）连线，可以作出一次函数的图像——一条直线。因此，作一次函数的图像只需知道2点，并连成直线即可。（通常找函数图像与x轴和y轴的交点） 2．性质：（1）在一次函数上的任意一点P（x，y），都满足等式：y=kx+b。（2）一次函数与y轴交点的坐标总是（0，b)，与x轴总是交于（-b/k，0）正比例函数的图像总是过原点。
3．k，b与函数图像所在象限： 当k＞0时，直线必通过一、三象限，y随x的增大而增大； 当k＜0时，直线必通过二、四象限，y随x的增大而减小。 当b＞0时，直线必通过一、二象限； 当b=0时，直线通过原点 当b＜0时，直线必通过三、四象限。 特别地，当b=O时，直线通过原点O（0，0）表示的是正比例函数的图像。 这时，当k＞0时，直线只通过一、三象限；当k＜0时，直线只通过二、四象限。 四、确定一次函数的表达式： 已知点A（x1，y1）；B（x2，y2），请确定过点A、B的一次函数的表达式。 （1）设一次函数的表达式（也叫解析式）为y=kx+b。 （2）因为在一次函数上的任意一点P（x，y），都满足等式y=kx+b。所以可以列出2个方程：y1=kx1+b …… ①和y2=kx2+b …… ② （3）解这个二元一次方程，得到k，b的值。 （4）最后得到一次函数的表达式。 五、一次函数在生活中的应用： 1.当时间t一定，距离s是速度v的一次函数。s=vt。 2.当水池抽水速度f一定，水池中水量g是抽水时间t的一次函数。设水池中原有水量S。g=S-ft。
1.函数4 43 y x = +的图像l 1与x 轴交于点A ,与y 轴交于点B,直线l 2与x 交于点C ，与y 轴交于点D ，l 2⊥l 1, 垂足为E ，如图，已知AC=4. （1）求A 点的坐标。 （2）求OD 的长； （3）求直线l 2的解析式。 2．（2009年台州市）如图，直线1l ：1y x =+与直线2l ： y mx n =+相交于点), 1(b P ． （1）求b 的值； （2）不解关于y x ,的方程组1y x y mx n =+?? =+?， ， 请你直接写出它的解； （3）直线3l ：y nx m =+是否也经过点P ？请说明理由． (4)直线1l 与x 轴交与点A, 2l 与x 轴交于点B （t ,0）,当t (＞0)为何值时S △PAB =3; 并求此时m,n 的值。 3.如图，在平面直角坐标系中，直线y=kx+3分别于x 轴， y 轴交于A,B 两点，且OA=4，点C 是x 轴上一点，如果把△AOB 沿着直线BC 折叠，那么点A 恰好落在y 轴负半轴上的点D 处。 （1）求直线AB 的表达式； （2）点D 的坐标； （3）求线段CD 的长； （4）求ta n ∠ABC 的值。 7.如图，直线l 1的解析式 y=-3x+3,且l 1 与x 轴y 轴分别交于A,B 两点，将直线l 1绕点O 逆时针旋转90度得到直线l 2, 直线l 2与x 轴，y 轴分别交于D,C 两点，两直线相交于E 点。 （1）A 点的坐标为（ ）；B 点的坐标为（ ）； （2）求直线l 2的解析式 （3）求E 点的坐标； （4）求四边形OAEC 的面积。 x x
一次函数的图象与性质导学案 一、复习回顾：1、画函数图像的步骤： ______________________________ 2、一次函数y=kx+b （k 工0）的图像是： ____ ，取两点即可画出图像，方法 为： 画y=kx （k 工0）的图像常选取两点 __________________ 3 、正比例函数y=kx （k 工0）的图像和性质： 、探究一 （一）请大家用描点法在同一坐标系中画出函数函数 y= — 2x, y=- 2x+3,y= ⑶直线y=kx+b 与直线y=kx ______ 。 （4）函数y = kx + b 与y 轴的交点坐标为 ___________ 当b >0时，则交点在y 轴的—半轴，当b v 0时，则交点在y 轴的 .半轴；当b =0时，则直线过 探究二 画出函数y i =2x-1与y 2=-0.5x+1的图象. 连线 有其它办法得到直线 y 2=0.5x+1吗？说出与同学分享一 探究三：画出函数y=x+1,y=-x+1,y=2x+1,y=-2x+1的图像。由它们联想：一次 函数解析式y=kx+b （k,b 是常数，k 工0）中，k 的正负对函数有什么影响？ 观察上面一次函数的图像，可以发现规律： 一次函数y=kx+b （k,b 是常数，k ^ 0）具有如下性质： 当k>___0时,y 随x 的增大而 ___________ : 当k< ___ 0时，y 随x 的增大而 ___________ . 三、一次函数的图像与性质 （1）、一次函数y=kx+b （k 工0）的图象规律： （1）当k >0，b >0时，图象是经过第___、 ________ 、 ______ 限的一条直线，y x y 1=2x-1 y 2=-0.5x+1 2x 思考：这亮个函数的图象形状都是丁一! x Y=-2x Y=-2x+3 Y=-2x-3 '程度. .，「— L ，函数 y=--2x\的图象_.I _A 点，函数\y=-2x+3.的图象与一 y_轴交-4 […4 .，即函数-.y=-2x+3 的图象可以 …事 一卜 a —z ■ I | | a ■ i --- ■ i hV T 直线y=-2X 向-__平移--个单位长度-4—4 I ■ I ■ a i .■ ' I ! 「函数「y=2X3的图象菊「y 轴交于"i 1 ■ I ■ n I _? ■ 「函数『y=-2X3舸图象 点 ____ 一，即函数y=-2x-3 的图象可以看作由直线y=-2x 向__平移_个单 归纳： （1）所有一次函数y=kx+b 的图象都是_ ⑵一次函数y=kx+b （k 工0）的图象可以 到.（当b > 0时，向_平移；当b v 0时，向 4 - ■ I :移 二 」二一 -4—;1——^.—J Z7T — 里」 I I I 4 —3的图象 经过原 于占 -J 八、、■4 解：列表： 描点并 思考：你还 y i=2x-1 与
初二数学函数及图象基础知识训练 第一讲函数及坐标系 【知识要点】 1、变量与常量 在某一变化过程中，可以取不同数值的量，叫做变量，取值始终保持不变的量，称为常量2、函数的概念 如果在一个变化过程中，有两个变量x和y，对于x的每一个值，y都有的唯一值与之对应，就说x是自变量，y是因变量，也称y是x的函数。 3、函数关系式的表示 表示函数关系的方法通常有三种：解析法、列表法、图象法。解析法是最常见的表示方法。 4、平面直角坐标系的概念 在平面上画两条原点重合，互相垂直且具有相同单位长度的数轴，这就建立了平面直角坐标系，其中水平的一条数轴叫做x轴或者横轴，取向右为正方向；垂直的数轴叫做y轴或者纵轴，取向上为正方向;两数轴的交点O叫做坐标原点。 5、平面直角坐标系上的点及其特征 在平面直角坐标系中的点和有序实数对是一一对应的。 （1）象限内点的坐标特点： （2）坐标轴上的点不属于任何象限， 0,0 x轴上的点的纵坐标为0，y轴上的点的横坐标为0，原点可表示为() （3）对称点的坐标特点： 关于x轴对称的两个点的横坐标相等(不变)，纵坐标互为相反数； 关于y轴对称的两个点的纵坐标相等(不变)，横坐标互为相反数； 关于原点对称的两个点，横、纵坐标均互为相反数。 6、画函数的图像 画函数图象的方法可以概括为列表、描点、连线三步，通常称为三步法画函数图像。 画函数图像本质上就是把函数由解析法或列表法向图像法转换的过程。
函数图像上的每一个点，点的横坐标代入自变量，纵坐标代入因变量，这两个量必须满足函数解析式，或在列表中对应，反之，对应的一组自变量和因变量，作为一组有序实数对，则它所对应的点，必然在函数的图像上。 题型一：函数概念及表示 例1、（1）甲、乙两地相距S千米，某人行完全程所用的时间t（时）与他的速度v（千米/时）满足vt=S，在这个变化过程中，下列判断中错误的是（） A．S是变量B．t是变量C．v是变量D．S是常量 （2）目前，全球淡水资源日益减少，提倡全社会节约用水．据测试：拧不紧的水龙头每分钟滴出100滴水，每滴水约0.05毫升．小康同学洗手后，没有把水龙头拧紧，水龙头以测试的速度滴水，当小康离开x分钟后，水龙头滴出y毫升的水，请写出y与x之间的函数关系式是（） A、y=0.05x B、y=5x C、y=100x D、y=0.05x+100（3） （3）表格列出了一项实验的统计数据，表示皮球从高度落 这种关系（单位）（） 、、 、、 (4) 如图，是张老师出门散步时离家的距离y与时间x之间的函数关系的图象，若用黑点表示张 老师家的位置，则张老师散步行走的路线可能是（） 下列各曲线中不能表示y是x的函数是（）。
八年级数学一次函数图象题（行程问题） 1．甲、乙两人在直线跑道上同起点、同终点、同方向匀速跑步500米，先到终点的人原地休息．已知甲先出发2秒．在跑步过程中，甲、乙两人的距离y（米）与乙出发的时间t（秒）之间的关系如图所示，给出以下结论：①a=8；②b=92；③c=123．其中正确的是（）A．①②③ B、仅有①② C．仅有①③ D．仅有②③ 2、甲、乙两车同时从A地出发，以各自的速度匀速向B地行驶．甲车先到达B地，停留1小时后按原路以另一速度匀速返回，直到两车相遇．乙车的速度为每小时60千米．上图2是两车之间的距离y（千米）与乙车行驶时间x（小时）之间的函数图象． （1）请将图中的（）内填上正确的值，并直接写出甲车从A到B的行驶速度； （2）求从甲车返回到与乙车相遇过程中y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．（3）求出甲车返回时行驶速度及A、B两地的距离．
3．甲船从A 港出发顺流匀速驶向B 港，行至某处，发现船上一救生圈不知何时落入水中，立刻原路返回，找到救生圈后，继续顺流驶向B 港．乙船从B 港出发逆流匀速驶向A 港．已知救生圈漂流的速度和水流速度相同；甲、乙两船在静水中的速度相同．甲、乙两船到A 港的距离y 1、y 2（km ）与行驶时间x （h ）之间的函数图象如图所示． （1）写出乙船在逆流中行驶的速度． （2）求甲船在逆流中行驶的路程． （3）求甲船到A 港的距离y 1与行驶时间x 之间的函数关系式． （4）求救生圈落入水中时，甲船到A 港的距离． 4、某市接到上级通知，立即派出甲、乙两个抗震救灾小组乘车沿同一路线赶赴距出发点480千米的灾区．乙组由于要携带一些救灾物资，比甲组迟出发小时（从甲组出发时开始计时）．图中的折线、线段分别表示甲、乙两组的所走路程y 甲（千米）、y 乙（千米）与时间x （小时）之间的函数关系对应的图像．请根据图像所提供的信息，解决下列问题： （1）由于汽车发生故障，甲组在途中停留了 小时； （2）甲组的汽车排除故障后，立即提速赶往灾区．请问甲组的汽车在排除故障时，距出发点的路程是多少千米（3）为了保证及时联络，甲、乙两组在第一次相遇时约定此后两车之间的路程不超过25千米，请通过计算说明，按图像所表示的走法是否符合约定．
21.2 一次函数的图像和性质 1．会用两点法画出正比例函数和一次函数的图象，并能结合图象说出正比例函数和一次函数的性质；(重点) 2．能运用性质、图象及数形结合思想解决相关函数问题．(难点) 一、情境导入 做一做：在同一个平面直角坐标系中画出下列函数的图象． (1)y ＝12x ； (2)y ＝1 2x ＋2； (3)y ＝3x; (4)y ＝3x ＋2. 观察函数图象有什么形式？ 二、合作探究 探究点一：一次函数的图象 【类型一】 一次函数图象的画法 在同一平面直角坐标中，作出下 列函数的图象． (1)y ＝2x －1; (2)y ＝x ＋3； (3)y ＝－2x; (4)y ＝5x . 解析：分别求出满足各直线的两个特殊点的坐标，经过这两点作直线即可．(1)一次函数y ＝2x －1图象过(1，1)，(0，－1)；(2)一次函数y ＝x ＋3的图象过(0，3)，(－3，0)；(3)正比例函数y ＝－2x 的图象过(1，－2)，(0，0)；(4)正比例函数y ＝5x 的图象过(0，0)，(1，5)． 解：如图所示． 方法总结：此题考查了一次函数的作 图，解题关键是找出两个满足条件的点，连 线即可． 【类型二】 判定一次函数图象的位置 已知正比例函数y ＝kx (k ≠0)的函 数值y 随x 的增大而减小，则一次函数y ＝x ＋k 的图象大致是( ) 解析：∵正比例函数y ＝kx (k ≠0)的函数值y 随x 的增大而减小，∴k ＜0.∵一次函数y ＝x ＋k 的一次项系数大于0，常数项小于0，∴一次函数y ＝x ＋k 的图象经过第一、三、四象限，且与y 轴的负半轴相交．故选B. 方法总结：一次函数y ＝kx ＋b (k 、b 为常数，k ≠0)是一条直线．当k ＞0，图象经过第一、三象限，y 随x 的增大而增大；当k ＜0，图象经过第二、四象限，y 随x 的增大而减小．图象与y 轴的交点坐标为(0，b )． 探究点二：一次函数的性质 【类型一】 判断增减性和图象经过的象限等 对于函数y ＝－5x ＋1，下列结论： ①它的图象必经过点(－1，5)；②它的图象经过第一、二、三象限；③当x ＞1时，y ＜0；④y 的值随x 值的增大而增大．其中正确的个数是( ) A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个 解析：∵当x ＝－1时，y ＝－5×(－1)＋1＝6≠5，∴点(1，－5)不在一次函数的图象上，故①错误；∵k ＝－5＜0，b ＝1＞0，∴此函数的图象经过第一、二、四象限，故②错误；∵x ＝1时，y ＝－5×1＋1＝－4.又∵k ＝－5＜0，∴y 随x 的增大而减小，∴当x ＞1时，y ＜－4，则y ＜0，故③正确，④
《一次函数的图象和性质》教学设计 一、教学内容分析 （一）内容 人教版《义务教育课程标准实验教科书·数学》八年级上册“19.2.2一次函数”第二课时。 （二）内容解析 函数是数学领域中最重要的内容之一，也是刻画和研究现实世界变化规律的重要模型．它反映了数量之间的对应规律，是研究数量关系的重要工具．函数思想是最重要的思想，正如F.克莱因的一句名言：“一般受教育者在数学课上应该学会的重要事情是用变量和函数来思考．” 一次函数是中学阶段接触到的最简单、最基本的函数，它在实际生活中有着广泛的应用．一次函数的学习是建立在学习了平面直角坐标系、变量与函数和正比例函数及其图象与性质的基础上的．一次函数的第一课时主要内容是一次函数的有关概念，本节课是一次函数的第二课时，主要研究一次函数图象的形状、画法，并结合图象分析一次函数的性质．它既是正比例函数的图象和性质的拓展，又是继续学习“用函数观点看方程（组）与不等式”的基础． 1.关于一次函数的图象 学生在学习一次函数的图象之前已经学习了函数的图象和正比例函数的图象，掌握了画函数图象的基本方法——描点法，因此，对于运用列表、描点、连线画出一次函数的近似图象并不生疏，但是对于一次函数的图象为一条直线的理解则是本节课的内容，所以，教学时需要在学生动手画图象的基础上，通过对一次函数与正比例函数解析式的分析比较，使学生从数的角度加深对形的理解．在了解了一次函数的图象是一条直线，以及它和正比例函数图象之间的关系后，一次函数图象的画法可以有两种，一种是平移，另一种是两点法，突出两点法画图时如何选取合适的点． 2.关于一次函数的性质 对于一次函数的性质主要是研究一次函数中的的正负对函数增减性（图象的变化趋势）的影响，对于这个性质的探究，让学生经历“先特殊化、简单化，再一般化、复杂化”的过程，通过对图象的研究和分析函数自身的性质,深刻领会函数解析式与函数图象之间的联系，渗透的是数形结合的思想．同时结合一次函数的图象与正比例函数图象之间的关系类比得出一次函数的性质． 从数学自身发展过程来看,正是由于变量与函数概念的引入,标志着初等数学向高等数学的迈进,是一种数学思想与观念的融入.无论从一次函数到反比例函数,再到以后的二次函数,甚至高中的其他各类函数,都是函数的某种具体形式,都为进一步深刻领会函数提供了一个平台.因此，后续学习中对反比例函数、二次函数的研究方法与一次函数的研究方法类似．也就是说，一次函数的学习为今后其他函数的学习提供了一种研究的模式．
一次函数练习题 【练习一】 1、已知 是正比例函数，则a= ；该函数关系式是 。 ２、已知 是一次函数，则m= ； 【练习二】 1、直线 经过第 象限，可以看成是直线________向 平移 单位长度得到的. 2、已知正比例函数 , y 随x 增大而增大,则k 的取值范围是 ； 3、直线 与x 轴的交点坐标是 ，与y 轴的交点坐标是 ； 4、已知点(－1,a)和(0.5,b)都在直线y=2x+C(c 是常数)上, 则a b （用＜、＞、＝填空） 5、在同一坐标系中，函数 与 的图象大致是（ ） 【练习三】 1.已知一次函数y=kx+b(k ≠0)在x=1时,y=5，且它的图象与x 轴交点的横坐标是６,这个一次函数的解析式为 ； 2.已知一次函数图象过点（－１，１），且与直线y ＝－２x ＋５平行，求该一次函数的 解析式。 a ax y -+=2313 2 +-=x y 62+-=x y x k y )1(-=kx y =k x y -=132 +-=m m mx y
【练习四】 1、已知一次函数 的图象如图所示， 当x ＜0时，y 的取值范围是（ ） A 、y ＞0 B 、y ＜0 C 、-2＜y ＜0 D 、y ＜-2 2.已知直线 , 则直线 的交点A 的坐标是 【练习五】 一辆汽车将50升的油箱加满,在高速公路上行驶,油箱中的余油量 y (升) 与它的行驶的时间 x (小时)之间为一次函数的关系，如图所示。 ⑴请求出 y 与 x 的函数关系式。 ⑵这箱油可行驶几小时？ b kx y += x y x y l l 2 :,53:2 1 -=-=l l 21,
一次函数的图像及性质 一：一次函数的概念 1、一次函数的概念 （1）一般地，解析式形如y kx b =+（k ，b 是常数，且0k ≠）的函数叫做一次函数； （2）一次函数y kx b =+的定义域是一切实数； （3）当0b =时，解析式y kx b =+就成为y kx =（k 是常数，且0k ≠）这时，y 是x 的正 比例函数，所以正比例函数是一次函数的特例； （4）一般地，我们把函数y c =（c 为常数）叫做常值函数．它的自变量由所讨论的问题确 定． 【例1】下列函数中，哪些是一次函数? （1）232y x =-； （2）12y x -=；（3）(5)(0)y m x m =-≠；（4）1(0)y ax a a =+≠；（5）(0)k y kx k x =+≠；（6）(3)(3)y k x k =-+≠-． 【例2】（1）已知函数2(2)1y k x =-+是一次函数，则k 的取值范围是_________； （2）当m =________时，函数215(4)m y x m -=+-是一次函数，且不是正比例函数． 【例3】已知一个一次函数，当自变量2x =-时，函数值为1y =-；当2x =时，11y =．求这个 函数的解析式． 【例4】已知一次函数()23317k k y k x -+=-+是一次函数，求实数k 的值．
【例5】若()f x 是一次函数，且[()]87f f x x =+，求()f x 的解析式． 二：一次函数的图像 1、一次函数的图像： 一般地，一次函数y kx b =+（k ，b 是常数，且0k ≠）的图像是一条直线．一次函数y kx b =+的图像也称为直线y kx b =+，这时，我们把一次函数的解析式y kx b =+称为这一直线的表达式． 画一次函数y kx b =+的图像时，只需描出图像上的两个点，然后过这两点作一条直线． 2、一次函数的截距： 一条直线与y 轴的交点的纵坐标叫做这条直线在y 轴上的截距，简称直线的截距， 一般地，直线y kx b =+（0k ≠）与y 轴的交点坐标是(0)b ，，直线y kx b =+（0k ≠）的截距是b ． 3、一次函数图像的平移： 一般地，一次函数y kx b =+（0b ≠）的图像可由正比例函数y kx =的图像平移 得到．当0b >时，向上平移b 个单位；当0b <时，向下平移b 个单位． （函数平移口诀简记为：“上加下减，左加右减”） 4、直线位置关系： 如果12b b ≠，那么直线1y kx b =+与直线2y kx b =+平行． 反过来，如果直线11y k x b =+与直线22y k x b =+平行，那么12k k =，12b b ≠． 【例7】若一次函数2(3)(9)y a x a =-+-函数图像过原点，求a 的值，并在坐标系中画出函数的 图像． 【例8】若一次函数y kx b =+，当x =2时，y =-1，且函数图像的截距为-3，求函数的解析式．
八年级数学函数怎么学 八年级数学函数学习方法如下 一、理解二次函数的内涵及本质. 二次函数y=ax2+bx+c(a≠0，a、b、c是常数)中含有两个变量x、y，我们只要先确定其中一个变量，就可利用解析式求出另一个变量，即得到一组解;而一组解就是一个点的坐标，实际上二次函数的图象 就是由无数个这样的点构成的图形. 二、熟悉几个特殊型二次函数的图象及性质. 1、通过描点，观察y=ax 2、y=ax2+k、y=a(x+h)2图象的形状及 位置，熟悉各自图象的基本特征，反之根据抛物线的特征能迅速确 定它是哪一种解析式. 2、理解图象的平移口诀“加上减下，加左减右”. y=ax2→y=a(x+h)2+k“加上减下”是针对k而言的，“加左减右”是针对h而言的. 总之，如果两个二次函数的二次项系数相同，则它们的抛物线形状相同，由于顶点坐标不同，所以位置不同，而抛物线的平移实质 上是顶点的平移，如果抛物线是一般形式，应先化为顶点式再平移. 3、通过描点画图、图象平移，理解并明确解析式的特征与图象 的特征是完全相对应的，我们在解题时要做到胸中有图，看到函数 就能在头脑中反映出它的图象的基本特征; 4、在熟悉函数图象的基础上，通过观察、分析抛物线的特征， 来理解二次函数的增减性、极值等性质;利用图象来判别二次函数的 系数a、b、c、△以及由系数组成的代数式的符号等问题. 三、要充分利用抛物线“顶点”的作用.
1、要能准确灵活地求出“顶点”.形如y=a(x+h)2+K→顶点(- h,k)，对于其它形式的二次函数，我们可化为顶点式而求出顶点. 2、理解顶点、对称轴、函数最值三者的关系.若顶点为(-h，k)，则对称轴为x=-h，y最大(小)=k;反之，若对称轴为x=m，y最值=n，则顶点为(m，n);理解它们之间的关系，在分析、解决问题时，可达 到举一反三的效果. 3、利用顶点画草图.在大多数情况下，我们只需要画出草图能帮助我们分析、解决问题就行了，这时可根据抛物线顶点，结合开口 方向，画出抛物线的大致图象. 四、理解掌握抛物线与坐标轴交点的求法. 一般地，点的坐标由横坐标和纵坐标组成，我们在求抛物线与坐标轴的交点时，可优先确定其中一个坐标，再利用解析式求出另一 个坐标.如果方程无实数根，则说明抛物线与x轴无交点. 从以上求交点的过程可以看出，求交点的实质就是解方程，而且与方程的根的判别式联系起来，利用根的判别式判定抛物线与x轴 的交点个数.答案补充学理科东西学会求本质做类推 二次函数都是抛物线函数(它的函数轨迹就像平推出去一个球的 运动轨迹，当然这个不重要)因此把握它的函数图像就能把握二次函 数 在函数图像中注意几点(标准式y=ax^2+bx+c，且a不等于0)： 1、开口方向与二次项系数a有关正则开口向上反之反是。 2、必有一个极值点，也是最值点。如果开口向上，很容易想象 这个极值点应该是最小点反之反是。且极值点的横坐标为-b/2a。极 值点很容易出应用题。 3、不一定和x轴有交点。当根的判定式Δ=b^2-4ac<0时，没有交点，也就是ax^2+bx+c=0这个方程式“没有实数解”(不能说没有 解!具体你上高中就知道了)如果Δ=0那么正好有一个交点，也就是
第2课时 一次函数的图象与性质 1．会用两点法画出正比例函数和一次函数的图象，并能结合图象说出正比例函数和一次函数的性质；(重点) 2．能运用性质、图象及数形结合思想解决相关函数问题．(难点) 一、情境导入 做一做：在同一个平面直角坐标系中画出下列函数的图象． (1)y ＝12x ； (2)y ＝1 2x ＋2； (3)y ＝3x; (4)y ＝3x ＋2. 观察函数图象有什么形式？ 二、合作探究 探究点一：一次函数的图象 【类型一】 一次函数图象的画法 在同一平面直角坐标中，作出下 列函数的图象． (1)y ＝2x －1; (2)y ＝x ＋3； (3)y ＝－2x; (4)y ＝5x . 解析：分别求出满足各直线的两个特殊点的坐标，经过这两点作直线即可．(1)一次函数y ＝2x －1图象过(1，1)，(0，－1)；(2)一次函数y ＝x ＋3的图象过(0，3)，(－3，0)；(3)正比例函数y ＝－2x 的图象过(1，－2)，(0，0)；(4)正比例函数y ＝5x 的图象过(0，0)，(1，5)． 解：如图所示． 方法总结：此题考查了一次函数的作 图，解题关键是找出两个满足条件的点，连 线即可． 【类型二】 判定一次函数图象的位置 已知正比例函数y ＝kx (k ≠0)的函 数值y 随x 的增大而减小，则一次函数y ＝x ＋k 的图象大致是( ) 解析：∵正比例函数y ＝kx (k ≠0)的函数值y 随x 的增大而减小，∴k ＜0.∵一次函数y ＝x ＋k 的一次项系数大于0，常数项小于0，∴一次函数y ＝x ＋k 的图象经过第一、三、四象限，且与y 轴的负半轴相交．故选B. 方法总结：一次函数y ＝kx ＋b (k 、b 为常数，k ≠0)是一条直线．当k ＞0，图象经过第一、三象限，y 随x 的增大而增大；当k ＜0，图象经过第二、四象限，y 随x 的增大而减小．图象与y 轴的交点坐标为(0，b )． 探究点二：一次函数的性质 【类型一】 判断增减性和图象经过的象限等 对于函数y ＝－5x ＋1，下列结论： ①它的图象必经过点(－1，5)；②它的图象经过第一、二、三象限；③当x ＞1时，y ＜
指数函数 概念：一般地，函数y=a^x（a＞0，且a≠1）叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域是R。 注意：⒈指数函数对外形要求严格，前系数要为1，否则不能为指数函数。 ⒉指数函数的定义仅是形式定义。 指数函数的图像与性质： 规律：1. 当两个指数函数中的a互为倒数时，两个函数关于y轴对称，但这两个函数都不具有奇偶 性。 2.当a＞1时，底数越大，图像上升的越快，在y轴的右侧，图像越靠近y轴； 当0＜a＜1时，底数越小，图像下降的越快，在y轴的左侧，图像越靠近y轴。 在y轴右边“底大图高”；在y轴左边“底大图低”。
3.四字口诀：“大增小减”。即：当a ＞1时，图像在R 上是增函数；当0＜a ＜1时，图像在R 上是减函数。 4. 指数函数既不是奇函数也不是偶函数。 比较幂式大小的方法： 1. 当底数相同时，则利用指数函数的单调性进行比较； 2. 当底数中含有字母时要注意分类讨论； 3. 当底数不同，指数也不同时，则需要引入中间量进行比较； 4. 对多个数进行比较，可用0或1作为中间量进行比较 底数的平移： 在指数上加上一个数，图像会向左平移；减去一个数，图像会向右平移。 在f(X)后加上一个数，图像会向上平移；减去一个数，图像会向下平移。 对数函数 1.对数函数的概念 由于指数函数y=a x 在定义域(-∞，+∞)上是单调函数，所以它存在反函数， 我们把指数函数y=a x (a ＞0，a ≠1)的反函数称为对数函数，并记为y=log a x(a ＞0，a ≠1). 因为指数函数y=a x 的定义域为(-∞，+∞)，值域为(0，+∞)，所以对数函数y=log a x 的定义域为(0，+∞)，值域为(-∞，+∞). 2.对数函数的图像与性质对数函数与指数函数互为反函数，因此它们的图像对称于直线y=x . 据此即可以画出对数函数的图像，并推知它的性质. 为了研究对数函数y=log a x(a ＞0，a ≠1)的性质，我们在同一直角坐标系中作出函数 y=log 2x ，y=log 10x ，y=log 10x,y=log 2 1x,y=log 10 1x 的草图
21.2一次函数的图像和性质 教学设计思想 本节内容分两个课时，第一课时主要学习的是函数图像的画法，由于一次函数是一般函数的具体化，因此在学习本节内容之前首先回顾第二十一章函数图像的画法，进而学习一次函数的画法。第二课时主要学习正比例函数的图像特征以及探索一次函数的性质及其简单应用，要使学生多动手操作经历作图过程，认真研究图像的性质。 教学目标 知识与技能：总结一次函数图像的画法并初步感受其形象；总结归纳出一次函数的性质———k>0或k<0时图像变化的情况；在特殊与一般的比较中概述正比例函数的概念、图像及性质；尝试利用一次函数性质对变量变化规律进行初步预测；提高利用函数图像解决问题的能力。 过程与方法：经历作图过程，初步了解作函数图像的一般步骤；经历将一次函数图像与表达式y＝kx＋b结合的探索过程，通过观察与思考、合作探究得出正比例函数、一次函数的性质及其简单应用。 情感态度价值观：通过本节课的学习，体会数形结合思想的重要性。 教学方法：启发引导、合作探究 教学过程设计第一课时 重点：一次函数图像的画法。 难点：一次函数y=kx＋b的图像是一条直线。 解决放法：通过具体操作与思考使学生明白凡是满足关系式y=kx＋b的点都在它的图像上，凡是在图像上的点都满足这个一次函数。进而就容易理解一次函数y=kx＋b的图像是一条直线。 复习引导学生回顾第二十一章函数图像的画法。 新授 一次函数是一种形式上比较简单的函数，相应地，它的图像和性质又有什么特点呢？ 我们已经知道，对于由表达式给出的函数，可以由表达式确定出两个变量的一系列对应的数值。在直角坐标系中，以这些对应值为坐标描出相应的点，再用平滑的线连结这些点，就可以得到这个函数的图像。 （一）试着做做. 已知一次函数y=2x－1。 (1)填写下表： (2)以(1)中得到的每对对应值分别为横坐标和纵坐标，在图25—2的直角坐标系中描出相应的点。 (3)把由(2)得到的点依次连结起来，就得到y=2x－1的图像。
八年级数学-函数的图象练习题（含解析） 基础闯关全练 1．小刚从家去学校，先匀速步行到车站，等了几分钟后坐上了公交车，公交车匀速行驶一段时间后到达学校，小刚从家到学校的路程s(单位：m)与时间t（单位：min ）之间函数关系的大致图象是（） A． B． C． D． 2．某日上午，静怡同学接到通知，她的作文通过了《我的中国梦》征文选拔，需尽快上交该作文的电子文稿，接到通知后，静怡立即在电脑上打字录入这篇文稿，录入一段时间后因事暂停，过了一会儿，静怡继续录入并加快了录入速度，直至录入完成，设从录入文稿开始所经过的时间为x，录入字数为y，下面能反映y与x的函数关系的大致图象是（） A． B． C． D． 3．星期天，小明与小刚骑自行车去距家50千米的某地旅游，匀速骑行1.5小时后，其中一辆自行车出现故障，因此二人在自行车修理点修车，用了半小时，然后以原速继续前行，骑行1小时后到达目的地，请在如图19-1-2-1所示的平面直角坐标系中画出符合他们骑行的路程s（千米）与骑行时间t （小时）之间的函数图象． 4．已知两个变量x和y它们之间的3组对应值如下表所示： x -1 0 1 y -1 1 3 则y与x对应的函数关系可能是（） A．y=x B．y=2x+1 C.y=x2+x+1 D．y= x 3 5．商场进了一批花布，出售时要在进价（进货价格）的基础上加一定的利润，其数量x（米）与售价y（元）如下表：数量x（米） 1 2 3 4 … 售价y（元）8+0.3 16+0. 6 24+0. 9 32+1. 2 … 下列用数量x（米）表示售价y（元）的关系式中，正确的是（） A．y=8x+0.3 B．y=(8+0.3)x C．y=8+0.3x D．y=8+0.3+x 能力提升全练 1．“龟兔赛跑”这则寓言故事讲述的是比赛中兔子开始时领先，但它因为骄傲在途中睡觉，而乌龟一直坚持爬行，最终赢得比赛，下列函数图象可以体现这一故事过程的是（） A． B． C． D． 2．小明家、食堂、图书馆在同一条直线上．小明从家去食堂吃早餐，接着去图书馆读报，然后回家，如图19-1-2-2反映了这个过程中，小明离家的距离y与时间x之间的对应关系，根据图象，下列说法正确的是（） A．小明吃早餐用了25min B．小明读报用了30min C．食堂到图书馆的距离为0.8km D．小明从图书馆回家的速度为0.8km/min 3．已知y是x的函数，自变量x的取值范围是x＞0，下表是y与x的几组对应值． x … 1 2 3 5 7 9 … y … 1.9 8 3.9 5 2.63 1.5 8 1.13 0.88 … 小腾根据学习函数的经验，利用上述表格所反映出的y与x之间的变化规律，对该函数的图象与性质进行了探究. 下面是小腾的探究过程，请补充完整： (1)如图19-1-2-3，在平面直角坐标系xOy中，描出了以表中各组对应值为坐标的点，根据描出的点，画出该函数的图象：
5.2-5.3一次函数、一次函数的图象 一、知识点： 1、一次函数与正比例函数的定义： 一般地，如果两个变量x与y之间的关系，可以表示为y=kx+b（k，b为常数k≠0）的形式，那么称y是x的一次函数。 特别地，当b=0时， y叫做x的正比例函数。 2、如何求一次函数与正比例函数的解析式： ①因为正比例函数y=kx (k≠0)中的待定系数只有一个k，因此确定正比例函数的解析式只需x、y一组条件，列出一个方程，从而求出k值。 ②而一次函数y=kx+b(k≠0)中的待定系数有两个k和b，因此要确定一次函数的解析式需x、y的两组条件，列出一个方程组，从而求出k和b。 3、一次函数的图象： 一般的，正比例函数y=kx的图象是经过原点的一条直线，一次函数y=kx+b的图象是由正比例函数y=kx的图象沿y轴向上（b>0）或向下（b<0）平移b个单位长度得到的一条直线。 因为一次函数的图象是一条直线，由直线的公理可知：两点确定一条直线。所以在画一次函数的图象时，只要确定两个点，再过这两个点作直线就可以了，一次函数y=kx+b的图象也称为直线y-kx+b。 4、一次函数的性质： 在一次函数y=kx+b中， 如果k>0，那么y的值随x的增大而增大； 如果k<0，那么y的值随x的增大而减小。 ☆补充性质： 在正比例函数y=kx中， 如果k>0，那么正比例函数的图象经过一、三象限； 如果k<0，那么正比例函数的图象经过二、四象限； 在一次函数y=kx+b中， 如果k>0、b>0，那么一次函数的图象经过一、二、三象限； 如果k>0、b<0，那么一次函数的图象经过一、三、四象限；
如果k<0、b>0，那么一次函数的图象经过一、二、四象限； 如果k<0、b<0，那么一次函数的图象经过二、三、四象限； 二、举例： 例1：填空题和选择题： 1. 函数x 3 2 y = 的图象是过原点与点(－6, ___)的一条直线, 并且过第_____________象限. 2. 函数y=5－8x 中，y 随x 的增大而___________，当x =－0.5时，y =__________。 3. 已知点A （－4，a ），B （－2，b ）都在直线k x y += 2 1 （k 为常数）上， 则a 与b 的大小关系是a b （填“＜”“=”或“＞”＝） 4. 函数3x 2 1 y -= 的图象不经过_____象限,它与x 轴的交点坐标是________,它与y 轴的交点坐标是________, 与两坐标轴围成的三角形面积是________. 5. 在一次函数1x 3 2 y +-=中, 当－5≤y ≤3时, 则x 的取值范围为______________. 6. 直线只过二、四象限时, 则y=kx+b 须满足的条件是__________________. 7.若点（m ，m ＋3）在函数y=－ 2 1 x ＋2的图象上，则m=______________. 8. 已知直线y=kx+b 与y=2x+1平行，且经过点（－3，4），则k=______，b=________. 9.下列说法正确的是（ ） A 、正比例函数是一次函数； B 、一次函数是正比例函数; C 、正比例函数不是一次函数; D 、不是正比例函数就不是一次函数. 10.下面两个变量是成正比例变化的是( ) A 、正方形的面积和它的面积; B 、变量x 增加,变量y 也随之增加; C 、矩形的一组对边的边长固定,它的周长和另一组对边的边长; D 、圆的周长与它的半径 11.直线y=kx ＋b 经过一、二、四象限,则k 、b 应满足( ) A 、k>0, b<0; B 、k>0,b>0; C 、k<0, b<0; D 、k<0, b>0. 12.已知正比例函数y=kx (k ≠0)，当x=－1时, y=－2,则它的图象大致是( )
【例1】小明外出散步，从家走了20分钟后到达了一个离家900米的报亭，看了10分钟的 报纸然后用了15分钟返回到家．则下列图象能表示小明离家距离y 与时间x 关系的是（ ） 选择D 答案 【例2】打开某洗衣机开关（洗衣机内无水），在洗涤衣服时，洗衣机经历了进水、清洗、 排水、脱水四个连续过程，其中进水、清洗、排水时洗衣机中的水量y （升）与时间x （分钟）之间满足某种函数关系，其函数图象大致为（ ） D 答案。 【练习一】 1.（2010黑龙江绥化）六月P 市连降大雨，某部队前往救援，乘车行进一段路程之后，由于道路受阻，汽车无法通行，部队短暂休整后决定步行前往. 则能反映部队离开驻地的距离s （千米）与时间t （小时）之间函数关系的大致图象是（ ） 【答案】A 2.（2010广东深圳）升旗时，旗子的高度h （米）与时间t （分）的函数图像大致为（ ） A ． / B ． C ． D ．
【答案】B 3.（2010 河南模拟）如图是某蓄水池的横断面示意图，分为深水池和浅水池，如果这个蓄水池以固定的流量注水，下面能大致表示水的最大深度h与时间t之间的关系的图像是 ( ) 4.（2010四川巴中）如图3所示，以恒定的速度向此容器注水，容器内水的高度（h）与注水时间（t）之间的函数关系可用下列图像大致描述的是（） 5.（2010 湖北孝感）均匀地向如图所示的一个容器注水，最后把容器注满，在注水过程中，能大致反映水面高度h随时间t变化的图像是（） 【答案】C 6.（2010内蒙呼和浩特）均匀的地向一个容器注水，最后把容器注满，在注水过程中，水面高度h随时间t的变化规律如图所示（图中OABC位一折线），则这个容器的形状为( ) 图 3 A B C D
八年级（下）一次函数图像与性质专题培优2（题） 正比例函数的图象和性质 要点感知1画函数图象的步骤：(1)__________；(2)__________：建立直角坐标系，以__________为横坐标，__________为纵坐标，确定点的坐标；(3)__________. 预习练习1-1下面所给点的坐标满足y=-2x的是( ) A.(2，-1) B.(-1，2) C.(1，2) D.(2，1) 要点感知2 正比例函数y=kx(k为常数，k≠0)的图象是一条__________，因此画正比例函数图象时，只要描出图象上的__________，然后过两点作一条直线即可，这条直线叫作“直线__________”.预习练习2-1 如图，某正比例函数的图象过点M(-2，1)，则此正比例函数表达式为( ) A.y=- 1 2 x B.y= 1 2 x C.y=-2x D.y=2x 要点感知3 正比例函数图象的性质：直线y=kx(k≠0)是一条经过________的直线.当k>0时,直线 y=kx经过第_______象限，从左到右，y随x的增大而________；当k<0时，直线y=kx经过第_____ 象限，从左到右，y随x的增大而________. 知识点1 画正比例函数的图象 1.正比例函数y=3x的大致图像是( ) 2.已知正比例函数y=x，请在平面直角坐标系中画出这个函数的图象. 知识点2 正比例函数的图象与性质 3.已知函数y=kx的函数值随x的增大而增大，则函数的图象经过( ) A.第一、二象限 B.第一、三象限 C.第二、三象限 D.第二、四象限 4.对于函数y=-k2x(k是常数，k≠0)的图象，下列说法不正确的是( ) A.其函数图象是一条直线 B.其函数图象过点( 1 k ，-k) C.其函数图象经过一、三象限 D.y随着x增大而减小 5.正比例函数y=-x的图象平分( ) A.第一、三象限 B.第一、二象限 C.第二、三象限 D.第二、四象限 6.函数y=-5x的图象在第__________象限内，y随x的增大而__________. 知识点3 实际问题中的正比例函数 7.一根蜡烛长20 cm，点燃后每小时燃烧5 cm，则蜡烛燃烧的长度y(cm)与燃烧时间x(h)的函数关系 用图象表示为下图中的( ) 8.小明用16元零花钱购买水果，已知水果单价是每千克4元，设买水果x千克用去的钱为y元， (1)求买水果用去的钱y(元)随买水果的数量x(千克)而变化的函数表达式； (2)画出这个函数的图象. 9.已知正比例函数y=kx(k≠0)，当x=1时，y=-2，则它的图象大致是( ) 10.已知正比例函数y=(3k-1)x，若y随x的增大而增大，则k的取值范围是( ) A.k＜0 B.k＞0 C.k＜ 1 3 D.k＞ 1 3
初二数学一次函数图像 应用专题
初二数学一次函数图像 应用专题 Pleasure Group Office【T985AB-B866SYT-B182C-BS682T-STT18】
【8上数】一次函数图像应用专题 一、解答题（本大题共10小题，共分） 1.如图，直线l1的解析表达式为y=-3x+3，且l1与x轴交于点D．直线l2经过点A、 B，直l1，l2交于点C． 2.（1）求点D的坐标； 3.（2）求直线l2的解析表达式； 4.（3）在直线l2上存在异于点C的另一个点P，使得△ADP与△ADC的面积相等，求 P点的坐标． 5.如图，点A、B的坐标分别为（0，2），（1，0），直线y=-3与坐标轴交于C、 D两点． 6.（1）求直线AB：y=kx+b与CD交点E的坐标； 7.（2）直接写出不等式kx+b＞x-3的解集； 8.（3）求四边形OBEC的面积； 9.（4）利用勾股定理证明：AB⊥CD． 10.如图，直线l1：y=-x+3与x轴相交于点A，直线l2： y=kx+b经过点（3，-1），与x轴交于点B（6，0），与y 轴交于点C，与直线l1相交于点D． 11.（1）求直线l2的函数关系式； 12.（2）点P是l2上的一点，若△ABP的面积等于△ABD的 面积的2倍，求点P的坐标； 13.（3）设点Q的坐标为（m，3），是否存在m的值使得QA+QB最小若存在，请求 出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 14.甲、乙两个工程队完成某项工程，首先是甲队单独做了10 天，然后乙队加入合作，完成剩下的全部工程，设工程总 量为单位1，工程进度满足如图所示的函数关系． 15.（1）求甲、乙两队合作完成剩下的全部工程时，工作量y 与天数x间的函数关系式； 16.（2）求实际完成这项工程所用的时间比由甲队单独完成 这项工程所需时间少多少天 17. 18. 19. 20. 21. 22. 23. 24.在行驶完某段全程600千米的高速公路时，李师傅对张 师傅说：“你的车速太快了，平均每小时比我多跑20千 米，比我少用小时就跑完了全程．” 25.（1）若这段高速公路全程限速110千米/时，如若两人 全程均匀速行驶，那么张师傅超速了吗请说明理由．