平面的基本性质（一）
平面的基本性质是研究空间图形性质的理论基础，也是以后演绎推理的逻辑依据．平面的基本性质是通过三条公理及其重要推论来刻划的，通过这些内容的教学，使学生初步了解从具体的直观形象到严格的数学表述的方法，使学生的思维从直觉思维上升至分析思维，使学生的观念逐步从平面转向空间．
一、素质教育目标
（一）知识教学点
平面的基本性质是通过三个与平面的特征有关的公理来规定的．
1．公理1说明了平面与曲面的本质区别．通过直线的“直”来刻划平面的“平”，通过直线的“无限延伸”来描述平面的“无限延展性”，它既是判断直线在平面内，又是检验平面的方法．
2．公理2揭示了两个平面相交的主要特征，提供了确定两个平面交线的方法．
3．公理3及其三个推论是空间里确定一个平面位置的方法与途径，而确定平面是将空间问题转化为平面问题的重要条件，这个转化使得立体几何的问题得以在确定的平面内充分使用平面几何的知识来解决，是立体几何中解决相当一部分问题的主要的思想方法．
4．“有且只有一个”的含义分两部分理解，“有”说明图形存在，但不唯一，“只有一个”说明图形如果有顶多只有一个，但不保证符合条件的图形存在，“有且只有一个”既保证了图形的存在性，又保证了图形的唯一性．在数学语言的叙述中，“确定一个”，“可以作且只能作一个”与“有且只有一个”是同义词，因此，在证明有关这类语句的命题时，要从“存在性”和“唯一性”两方面来论证．
5．公理3的三个推论是以公理3为主要的推理论证的依据，是命题间逻辑关系的体现，为使命题的叙述和论证简明、准确，应将其证明过程用数学的符号语言表述．
（二）能力训练点
1．通过由模型示范到三条公理的文字叙述培养观察能力与空间想象能力．2．通过由公理3导出其三个推论的思考与论证培养逻辑推理能力．
3．将三条定理及三个推论用符号语言表述，提高几何语言水平．
（三）德育渗透点
借助模型和实物来说明三个公理，进行“数学来源于实践”的唯物主义观念的教育，通过三条公理及公理3的三个推论的学习，逐步渗透事物间既有联系又有区别的观点，更由于对三个推论的证明培养言必有据，一丝不苟的学习品质和公理法思想．
二、教学重点、难点、疑点及解决办法
1．教学重点
（1）体现平面基本性质的三条公理及其作用．
（3）两条公理及公理3的三个推论中的“有且只有一个”的含义．
（3）用图形语言和符号语言表述三条公理及公理3的三个推论．
（4）理解用反证法和同一法证明命题的思路，并会证一些简单问题．
2．教学难点
（1）对“有且只有一个”语句的理解．
（2）对公理3的三个推论的存在性与唯一性的证明及书写格式．
（3）确定两相交平面的交线．
3．解决办法
（1）从实物演示中引导学生观察和实验，阐明公理的条件和结论间的直观形象，加深对“有且只有一个”语句的理解．
（2）通过系列设问，帮助学生渐次展开思维和想象，理解公理的实质和作用．
三、课时安排
2课时．
四、学生活动设计
准备好两块纸板，一块薄平的泡沫板，四根长15cm左右的小竹针，其中三根一样长，一根稍短．针对三条公理设计不同的活动，对公理1，可作如下示范：把直尺的两端紧按在玻璃黑板上，完全密接；对公理2，可用两块硬纸板进行演示（如图1－9）；对公理3，使用图1－10所示的模型进行演示．
五、教学步骤
（一）明确目标
（1）理解井熟记平面基本性质的三条公理及公理3的三个推论．
（2）掌握这三个公理和三个推论的文字语言、图形语言、符号语言间的互译．
（3）理解“有且只有一个”的含义，在此基础上，以公理3为主要依据，推证其三个推论．
（4）能够用模型来说明有关平面划分空间的问题．
（5）理解并掌握证明命题的常用方法——反证法和同一法．
（二）整体感知
本课以平面基本性质的三条公理及公理3的三个推论为主要内容，既有学生熟悉的事实，又有学生初次接触的证明，因此以“设问——实验——归纳”法和讲解
法相结合的方式进行教学．首先，对于平面基本性质的三条公理，因为是“公理”，无需证明，教学中以系列设问结合模型示范引导学生共同思考、观察和实验，从而归纳出三条公理并加以验证．其中公理1应以直线的“直”和“无限延伸”来刻划平面的“平”和“无限延展”；公理2要抓住平面在空间的无限延展特征来讲；公理3应突出已知点的个数和位置，强调“三个点”且“不在同一直线上”．通过三条公理的教学培养学生的观察能力和空间观念，加深对“有且只有一个”语句的理解．对于公理3的三个推论的证明，学生是初次接触“存在性”和“唯一性”的证明，应引导学生以公理3为主要的推理依据进行分析，逐渐摆脱对实物模型的依赖，培养推理论证能力，证明过程不仅要进行口头表述，而且教师应进行板书，使学生熟悉证明的书写格式和符号．最后，无论定理还是推论，都要将文字语言转化为图形语言和符号语言，并且做到既不遗漏又不重复且忠于原意．
三、教学重点、难点的学习与完成过程
A．公理
师：立体几何中有一些公理，构成一个公理体系．人们经过长期的观察和实践，把平面的三条基本性质归纳成三条公理．请同学们思考下列问题（用幻灯显示）．
问题1：直线l上有一个点P在平面α内，直线l是否全部落在平面α内？
问题2：直线l上有两个点P、Q在平面α内，直线l是否全部落在平面α内？
（用竹针穿过纸板演示问题1，用直尺紧贴着玻璃黑板演示问题2，学生思考回答后教师归纳．）
这就是公理1：如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内．这里的条件是什么？结论是什么？
生：条件是直线（a）上有两点（A、B）在平面（α）内，结论是：直线（a）在平面（α）内．
师：把条件表示为A∈a，B∈b且A∈α，B∈α，把结论表示
11）．
这条公理是判定直线是否在平面内的依据，也可用于验证一个面是否是平面，如泥瓦工用直的木条刮平地面上的水泥浆．
在这里，我们用平行四边形来表示平面，那么平面是不是只有平行四边形这么个范围呢？
生：不是，因为平面是无限延展的．
师：对，根据公理1，直线是可以落在平面内的，因为直线是无限延伸的，如果平面是有限的，那么无限延伸的直线又怎么能在有限的平面内呢？所以平面具有无限延展的特征．
现在我们根据平面的无限延展性来观察一个现象（演示图1－9－（1）给学生看）．问：两个平面会不会只有一个公共点？
生甲：只有一个公共点．
生乙：因为平面是无限延展的，应当有很多公共点．
师：生乙答得对，正因为平面是无限延展的，所以有一个公共点，必有无数个公共点．那么这无数个公共点在什么位置呢？（教师随手一压，一块纸板随即插入另一块纸板上事先做好的缝隙里）．可见，这无数个公共点在一条直线上．这说明，如果两个平面有一个公共点，那么它们有且只有一条通过这个点的公共直线．此时，就说两平面相交，交线就是公共点的集合，这就是公理2，其条件和结论分别是什么？
生：条件是两平面（α、β）有一公共点（A），结论
是：它们有且只有一条过这个点的直线．
师：条件表示为A∈α，A∈β，结论表示为：α∩β＝a，A∈a，图形表示为图1－9－（2）或图1－12．
公理2是判定两平面相交的依据，提供了确定相交平面的交线的方法．
下面请同学们思考下列问题（用幻灯显示）：
问题1：经过空间一个已知点A可能有几个平面？
问题2：经过空间两个已知点A、B可能有几个平面？
问题3：经过空间三个已知点A、B、C可能有几个平面？
（教师演示图1－10给学生看，学生思考后回答，教师归纳）．这说明，经过不在同一直线上的三点，有且只有一个平面，即公理3，其条件、结论分别是什么？
生：条件是：不在同一直线上的三点（A、B、C），结论是：过这三点（A、B、C）有且只有一个平面（α）．
A∈α，B∈α，C∈α，图形表示为图1－13，公理3是确定平面位置的依据之一．
以上三个公理是平面的基本性质．其中公理2和公理3中的“有且只有一个”有两层含义，在数学中，“有一个”是说明“存在”、但不唯一；“只有一个”是说明“唯一”，但不保证图形存在．也就是说，如果有顶多只有一个．因此，在证明有关“有且只有一个”语句的命题时，要证明两个方面——存在性和唯一性．
B．推论
师：确定一个平面的依据，除公理3外，还有它的三个推论．
推论1：经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面．说出推论1的条件和结论．
生：条件是：一条直线和直线外一点，结论是：经过这条直线和这一点有且只有一个平面．
求证：经过a和A有且只有一个平面．
证明：“存在性”即存在过A、a的平面，在直线a上任取两点B、C．
∴A、B、C三点不在同一直线上．
∴过A、B、C三点有且只有一个平面α（公理3）．
∴B∈α，C∈α．
即过直线a和点A有一个平面α．
“唯一性”，假设过直线a和点A还有一个平面β．
∴B∈β，C∈β．
∴过不共线三点A、B、C有两个平面α、β，这与公理3矛盾．
∴假设不成立，即过直线a和点A不可能还有另一个平面β，而只能有一个平面α．
这里证明“唯一性”时用了反证法．
推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面．
其条件、结论分别是什么？
生：条件是：两条直线相交，结论是：经过这两条直线有且只有一个平面．
师（板书）：已知：直线a∩直线b＝A．
求证：经过a、b有且只有一个平面．
证明：“存在性”．
在a、b上分别取不同于点A的点B、C，得不在同一直线上的三点A、B、C，则过A、B、C三点有且只有一个平面α（公理3）．
∵A∈a，B∈a，A∈α，B∈α，
∴平面α是经过相交直线a、b的一个平面．
“唯一性”．
设过直线a和b还有另一个平面β，则A、B、C三点也一定都在平面β内．∴过不共线三点A、B、C就有两个平面α和β．
∴平面α与平面β重合．
∴过直线a、b的平面只有一个．
这里证明唯一性时，用的是“同一法”．
推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面．（证明作为思考题）
C．练习
1．下面是一些命题的叙述语（A、B表示点，a表示直线，α、β表示平面）A．∵A∈α，B∈α，∴AB∈α．
B．∵a∈α，a∈β，∴α∩β=a．
其中命题和叙述方法都正确的
是． [ ] 2．下列推断中，错误的是
[ ]
D．A、B、C∈α，A、B、C∈β，且A、B、C不共
3．一个平面把空间分成____部分，两个平面把空间最多分成____部分，三个平面把空间最多分成____部分．
4．确定经过A、B、C三点的平面与已知平面α、β的交线．（图1－16）
四、总结、扩展
本课主要的学习内容是平面的基本性质，有三条公理及公理3的三推论．其中公理1用于判定直线是否在平面内，公理2用于判定两平面相交，公理3及三个推论是确定平面的依据．“确定一个平面”与“有且只有一个平面”是同义词．“有”即“存在”，“只有一个”即“唯一”．所以证明有关“有且只有一个”语句的命题时，要证两方面——存在性和唯一性．证明的方法是反证法和同一法．
五、布置作业
1．复习课本有关内容并预习课本例题．
2．课本习题（略）．
3．确定经过A、B、C三点的平面与已知平面α、β、γ的交线．
4．思考题：（1）三个平面把空间可能分成几部分？（2）如何证明推论3？
六、答案
练习：1．D，2．C，3．图1－18．作业：3．图1－19．
七、板书设计
§1.2.1平面的基本性质 一、教学目标： 1、知识与技能 （1）借助生活中的实物，学生对平面产生感性的认识； （2）掌握平面的表示法，认识水平放置的直观图； （3）掌握平面的基本性质及作用； （4）培养学生的空间想象能力。 2、过程与方法 通过师生的共同讨论，学生经历平面的感性认识。 3、情感与价值 使用学生认识到我们所处的世界是一个三维空间，进而增强了学习的兴趣。 二、教学重点、难点 重点：（1）平面的概念及表示； （2）平面的基本性质，注意他们的条件、结论、作用、图形语言及符号语言。 难点：平面基本性质的掌握与运用。 三、学法与教学用具 （1）学法：学生通过阅读教材，联系身边的实物思考、交流，师生共同讨论等，从而较好地完成本节课的教学目标。 （2）教学用具：投影仪、投影片、正（长）方形模型、三角板 四、授课类型：新授课 五、教学过程 （一）创设引入情景 生活中常见的如黑板、平整的操场、桌面、平静的湖面等等，都给我们以平面的印象。你们能举出更多例子吗？ 平面的含义是什么呢？ （二）建立模型 1、平面含义 以上实物都给我们以平面的印象，几何里所说的平面，就是从这样的一些物体中抽象出来的，但是，几何里的平面是无限延展的。 2、平面的画法及表示 在平面几何中，怎样画直线？一条直线平移就得到了一个平面。我们通常把一个“水平 放置的平面画成一个平行四边形，锐角画成450 ，且横边画成邻边的2倍长”。（如图）： 平面通常用希腊字母α、β、γ等表示，如平面α、平面β等，也可以用表示平面的平行四边形的四个顶点或者相对的两个顶点的大写字母来表示，如平面AC 、平面ABCD 等。 如果几个平面画在一起，当一个平面的一部分被另一个平面遮住时，应画成虚线或不画（打出投影片） D C B A α β β
平面的基本性质(一) 教学目的： 1能够从日常生活实例中抽象出数学中所说的“平面” 2理解平面的无限延展性 3正确地用图形和符号表示点、直线、平面以及它们之间的关系 4初步掌握文字语言、图形语言与符号语言三种语言之间的转化 教学重点：掌握点-直线-平面间的相互关系，并会用文字-图形-符号语言正确表示理解平面的无限延展性 教学难点：（1）理解平面的无限延展性;（2）集合概念的符号语言的正确使用 授课类型：新授课 课时安排：1课时 教具：多媒体、实物投影仪 内容分析： 立体几何课程是初等几何教育的内容之一，是在初中平面几何学习的基础上开设的，以空间图形的性质、画法、计算以及它们的应用为研究对象，以演绎法为研究方法通过立体几何的教学，使学生的认识水平从平面图形延拓至空间图形，完成由二维空间向三维空间的转化，发展学生的空间想象能力，逻辑推理能力和分析问题、解决问题的能力平面的概念和平面的性质是立体几何全部理论的基础平面，是现实世界存在着的客观事物形态的数学抽象，在立体几何中是只描述而不定义的原始概念，但平面是把三维空间图形转化为二维平面图形的主要媒介，在立体几何问题平面化的过程中具有重要的桥梁作用 “立体几何”作为一门学生刚开始学习的学科，其内容对学生来说基本上是完全陌生的，应以“讲授法’的主，引导学生观察和想象，吸引学生的注意力，激发学生的学习兴趣，初步培养空间想象力 本课是“立体几何”的起始课，应先把这一学科的内容作一大概介绍，包括课本的知识结构，“立体几何”的研究对象，研究方法，学习立体几何的方法和作用等而后引入“平面”概念，以类比的方式，联系直线的无限延伸性去理解平面的无限延展性，突破教学难点在进行“平面的画法”教学时，不仅要会画水平放置的平面，还应会画直立的平面和相交平面（包括有部分被遮住的相交平面）在用字母表示点、直线、平面三者间的关系时，应指明是借用了集合语句，并用列表法将这些关系归类，以便作为初学者的学生便于比较、记忆和运用 9.1节，平面的基本性质共4个知识点：平面的表示法、平面的基本性质、公理的推论、空间图形在平面上的表示方法这一小节是整章的基础通过平面基本性质及其推论的学习使学生对平面的直观认识上升到理性认识教师应该认识到培养学生的空间想象力主要是通过对图形性质的学习，使学生对图形的直观认识上升到理性认识，建立空间图形性质的正确概念，这样才能学好立体几何 为了形成学生的空间观念，这一小节通过观察太阳(平行)光线照射物体形成影子的性质来学习直观图的画法先直观地了解平行射影的性质，这样就可正确地指导学生画空间图形 这小节教学要求是，掌握平面的基本性质，直观了解空间图形在平面上的表示方法，会用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图和长方体、正方体的直观图 教学过程： 一、复习引入： 在初中，我们主要学习了平面图形的性质平面图形就是由同一平面内的点、线所构成的图形平面图形以及我们学过的长方体、圆柱、圆锥等都是空间图形，空间图形就是由空间的点、线、面所构成的图形 当我们把研究的范围由平面扩大到空间后，一些平面图形的基本性质，在空间仍然成立例如三角形全等、相似的充要条件，平行线的传递性等有些性质在研究范围扩大到空间后，是否仍然成立呢？例如，过直线外一点作直线的垂线是否仅有一条？到两定点距离相等的点的集合是否仅是连结两定点的线段的一条垂直平分线？ 二、讲解新课： 1．平面的两个特征：①无限延展②平的（没有厚度） 平面是没有厚薄的，可以无限延伸，这是平面最基本的属性一个平面把空间分成两部分，一条直线把平面分成两部分
1.2.1节平面的基本性质（一） 学习目标: 初步了解平面的概念；了解平面的基本性质（公理3 1 ）；能正确使用集合符号表示有关点、线、面的位置关系；能运用平面的基本性质解决一些简单的问题． 重点难点: 正确使用集合符号表示点、线、面的位置关系，平面的基本性质. 一、课前预习 1. 直线的特征：______,________,_________ 直线的画法： 直线的表示方法：平面的特征：______,________,________ 平面的画法 平面的表示方法： 2．用数学符号来表示点、线、面之间的位置关系：点与直线的位置关系： 点与平面的位置关系： 直线与平面的位置关系： 3．平面的基本性质： 公理1：文字语言描述为： 图形语言表示为： 符号语言表示为： 公理2：文字语言描述为： 图形语言表示为： 符号语言表示为： 公理3：文字语言描述为： 图形语言表示为： 符号语言表示为：
二、课堂研讨 例1. 按照给出的要求，完成两个相交平面作图，线段AB 是两个平面的交线 例2．正方体的各顶点如图所示，正方体的三个面所在平面 A 1C 1，A 1 B 1，B 1 C 1，分别记作γβα,,，试用适当的符号填空． 111____,___)4(BB B A ==γββα γβα________,______,_____)5(11111B A BB B A 例3.已知：Q BC R AC P AB ABC =?=?=??αααα,，外，在平面 求证：P,Q,R 三点共线。 ,_______)1(1αA α_______1B ,_______)2(1γB γ_______1C ,_______)3(1βA β_______1D P A B C R Q α
平面的基本性质（一） 平面的基本性质是研究空间图形性质的理论基础，也是以后演绎推理的逻辑依据．平面的基本性质是通过三条公理及其重要推论来刻划的，通过这些内容的教学，使学生初步了解从具体的直观形象到严格的数学表述的方法，使学生的思维从直觉思维上升至分析思维，使学生的观念逐步从平面转向空间． 一、素质教育目标 （一）知识教学点 平面的基本性质是通过三个与平面的特征有关的公理来规定的． 1．公理1说明了平面与曲面的本质区别．通过直线的“直”来刻划平面的“平”，通过直线的“无限延伸”来描述平面的“无限延展性”，它既是判断直线在平面内，又是检验平面的方法． 2．公理2揭示了两个平面相交的主要特征，提供了确定两个平面交线的方法． 3．公理3及其三个推论是空间里确定一个平面位置的方法与途径，而确定平面是将空间问题转化为平面问题的重要条件，这个转化使得立体几何的问题得以在确定的平面内充分使用平面几何的知识来解决，是立体几何中解决相当一部分问题的主要的思想方法． 4．“有且只有一个”的含义分两部分理解，“有”说明图形存在，但不唯一，“只有一个”说明图形如果有顶多只有一个，但不保证符合条件的图形存在，“有且只有一个”既保证了图形的存在性，又保证了图形的唯一性．在数学语言的叙述中，“确定一个”，“可以作且只能作一个”与“有且只有一个”是同义词，因此，在证明有关这类语句的命题时，要从“存在性”和“唯一性”两方面来论证． 5．公理3的三个推论是以公理3为主要的推理论证的依据，是命题间逻辑关系的体现，为使命题的叙述和论证简明、准确，应将其证明过程用数学的符号语言表述． （二）能力训练点 1．通过由模型示范到三条公理的文字叙述培养观察能力与空间想象能力．2．通过由公理3导出其三个推论的思考与论证培养逻辑推理能力． 3．将三条定理及三个推论用符号语言表述，提高几何语言水平．
初中数学平面及其基本性质教案与学案 课型：立体几何新授课计划授课班级：高2010级6班（文科平行班） 授课教师：陈杰计划授课时间：2011年10月27日上午 教学内容：学习公理一、二、三，引申出公理的三个推论 教学目标： 1.结合问题与实例，让学生直观感知，认识平面的基本性质（三个公理） 2.引导学生学习使用图形语言、文字语言、符号语言准确描述三个公理 3.组织学生动手操作，理解公理的三个推论 4.通过对平面基本性质的学习，让学生认识我们所处的世界是一个三维空间，培养学生的辩证唯物主义世界观 教学重点：结合问题实例，认识平面的基本性质（三个公理） 教学难点：正确应用符号语言，公理的基础应用 教学辅助：多媒体课件，学生准备的纸板、小棍，课堂教学学案 教学形式：启发式教学、学生小组探究活动等 第一部分教学过程设计 一、复习巩固，引入新课 （一）在上一节课，我们初步认识了空间中的各类位置关系．从平面几何发展到立体几何，位置关系变得更加丰富起来，其中一个重要的原因，就是源于在空间中，除了点、线这样的基本要素外，还增加了一个新的要素——平面． （二）上节课中，我们也学习了平面的概念、图形及表示方法，请同学们完成以下的练习题： 【课堂练习】 1．说一说——数学中的“平面”概念具有哪些基本特征？ 2．画一画—— （1）我们通常怎样画一个水平放置的平面图形？用怎样的数学符号来表示？ （2）如果一个平面被另一个平面挡住了，一般用虚线体现图形的立体感，请把右图中被挡住的部分用虚线表现出来使之呈现立体感． 3．填一填——把下图中呈现的位置关系用符号语言表示出来：
（1），． （2），． （3），． （4）直线与直线相交于点，表示为__________；直线与平面相交于点， 表示为_________． （在学生完成练习的基础上，教师作简要评讲，做好新课学习的准备） （三）为了对空间中的位置关系进行更深入的研究，我们需要对平面这一新要素进行必要的研究与总结，这就是本节课的主要任务——认识平面的基本性质．（板书课题） 二、新课学习 平面的基本性质是学习研究立体几何的基础，人们经过长期的观察与实践，把它们总结为几个公理，并由此出发建立了立体几何的知识体系．下面来认识一下这几条性质．（一）公理一的学习 提供背景材料1：（1）如果直线与平面有一个公共点，那么直线是否在平面内？ （2）如果直线与平面有两个公共点呢？ （3）请用实例说明你的判断． 在学生理解的基础上，归纳： 【公理一】如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内．（文字语言） 教师引导学生解决以下几个知识点： 1．图形语言 通常画成上图的形象 2．符号语言的提炼 （或者写成） 3．介绍其作用： （1）判定直线是否在平面内（2）判定点在面内 教师指出：公理1说明了平面与曲面的本质区别，通过直线的“直”来刻画平面的“平”，用直线的“无限延伸”来描述平面的“无限延展”，它既可以判断直线（点）在平面内，也为我们验证平面提供了方法依据．
1 / 1 §1.2 点、线、面之间的位置关系 1．2.1 平面的基本性质与推论 一、基础过关 1． 下列图形中，不一定是平面图形的是 ( ) A ．三角形 B ．菱形 C ．梯形 D ．四边相等的四边形 2． 空间中，可以确定一个平面的条件是 ( ) A ．两条直线 B ．一点和一条直线 C ．一个三角形 D ．三个点 3． 已知平面α与平面β、γ都相交，则这三个平面可能的交线有 ( ) A ．1条或2条 B ．2条或3条 C ．1条或3条 D ．1条或2条或3条 4． 给出以下命题：①和一条直线都相交的两条直线在同一平面内；②三条两两相交的直线在同一平面内；③有三个不同公共点的两个平面重合；④两两平行的三条直线确定三个平面．其中正确命题的个数是________． 5． 已知α∩β＝m ，a ?α，b ?β，a∩b ＝A ，则直线m 与A 的位置关系用集合符号表示为________． 6． 如图，梯形ABDC 中，AB ∥CD ，AB>CD ，S 是直角梯形ABDC 所在平面外一点，画出 平面SBD 和平面SAC 的交线，并说明理由． 7． 空间中三个平面两两相交于三条直线，这三条直线两两不平行，证明此三条直线必相交于 一点． 二、能力提升 8． 空间不共线的四点，可以确定平面的个数是 ( ) A ．0 B ．1 C ．1或4 D ．无法确定 9． 已知α、β为平面，A 、B 、M 、N 为点，a 为直线，下列推理错误的是 ( ) A ．A ∈ a ，A ∈ β， B ∈ a ，B ∈ β ? a ? β B ．M ∈ α，M ∈ β，N ∈ α，N ∈ β ? α ∩ β＝MN C ．A ∈ α，A ∈ β ? α ∩ β ＝ A D ．A 、B 、M ∈ α，A 、B 、M ∈ β，且A 、B 、M 不共线?α、β重合 10．下列四个命题：①两个相交平面有不在同一直线上的三个公共点；②经过空间任意三点有且只有一个平面； ③过两平行直线有且只有一个平面；④在空间两两相交的三条直线必共面．其中正确命题的序号是________． 11．如图所示，四边形ABCD 中，已知AB ∥CD ，AB ，BC ，DC ，AD(或延长线)分别与平面α相交于E ，F ，G ，H ，求证：E ，F ，G ，H 必在同一直线上． 三、探究与拓展 12．如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，对角线A 1C 与平面BDC 1交于点O ，AC 、BD 交于点M ，E 为AB 的中点，F 为AA 1的中点． 求证：(1)C 1、O 、M 三点共线；2)E 、C 、D 1、F 四点共面．
资源信息表
（3）平面及其基本性质 ——三个公理三个推论的应用 上海市南洋中学马亚萍一、教学内容分析 本节课的重点是三个公理三个推论的应用.在上一节概念课 的基础上，让学生充分理解三个公理三个推论，能灵活运用三个 公理三个推论进行证明. 公理2说明了如果两个平面相交，那么它们就交于一条直线. 它的作用是：①确定两个平面的交线，即先找两个平面的两个公 共点，再作连线.②判定两个平面相交，即两平面只要有一个公 共点即可.③判定点在直线上，即点是某两平面的公共点，线是 这两平面的公共直线，则这个点在这条直线上. 公理3及其三个推论是空间里确定平面的依据，它提供了把 空间问题转化为平面问题的条件. 二、教学目标设计
理解三个公理三个推论，利用三个公理三个推论来解决共面、共点、共线问题，培养严密的逻辑推理能力. 三、教学重点及难点 利用三个公理三个推论解决共面、共点、共线问题 四、教学流程设计 五、教学过程设计 （一）复习上节课的概念，三个公理三个推论 1）若B ,AB A C αα∈∈∈平面，平面直线，则（ A ） A 、C α∈ B 、C α? C 、AB α? D 、AB C α?= 2）判断 ①若直线a 与平面α有公共点，则称a α?. （×）
②两个平面可能只有一个公共点. （×） ③四条边都相等的四边形是菱形. （×） ④若A 、B 、C α∈，A 、B 、C β∈，则,αβ重合. （×） ⑤若4点不共面，则它们任意三点都不共线. （√） ⑥两两相交的三条直线必定共面. （×） 3）下列命题正确的是（ D ） A 、两组对边分别相等的四边形是平行四边形. B 、四条线段顺次首尾连接所构成的图形一定是平面图形. C 、三条互相平行的直线一定共面. D 、梯形是平面图形. 4）不在同一直线上的5点，最多能确定平面（ C ） A 、8个 B 、9个 C 、10个 D 、12个 5）两个平面可把空间分成 3或4 部分 ； 三个平面可把空间分成 4、6、7或8 部分. （二）证明 1、共面问题 例1 已知直线123,,l l l 两两相交，且三线不共点. 求证：直线123,l l l 和在同一平面上. 证明：设13231213,,,,l l A l l B l l C l l A ?=?=?=?= l 3 l 2 B C l 1 A
高中立体几何教案第一章直线和平面平面的基本性质之一教案 教学目标 1．了解三个公理及公理3的三个推论； 2．了解推论1的证明过程． 教学重点和难点 公理3的引入与掌握及推论1的证明是教学的重点也是教学的难点． 教学设计过程 师：上节课我们讲过平面是原名，没有方法定义，所以平面的性质只能以公理的形式给出，我们今天就来研究以公理形式给出的平面的性质． （当教师说完上述话后，拿出一根小棍作为直线的模型，一矩形硬纸板作为平面的模型，让学生自己也拿同样的模型，师生一起观察．然后，再提出问题） 师：直线与平面有几种位置关系？ 生：有三种位置关系：平行，相交，在平面内． 师：相交时，直线与平面有且只有几个公共点？ 生：有且只有一个公共点． 师：当直线与平面有几个公共点时，我们就能判定直线在平面内？ 生：只要有两个公共点． 师：对，这就是公理1．（同时板书） 公理1 如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内．（如图1） 这时我们说直线在平面内，或者说平面经过直线．
师：为了书写的简便，我们把代数中刚学习过的有关集合的符号，引入立体几何中．我们只把点作为基本元素，于是直线、平面都作为“点的集合”，所以： 点A在直线a上，记作A∈a； 点A在平面α内，记作A∈α； 所以公理1用集合符号为：A∈a，B∈a，A∈α，B∈α，则 公理2可用如下方法引入：教师用矩形硬纸板的一顶点放在讲台面上，让学生观察，并同时提出问题． 师：看模型，能否说这两个平面只有一个公共点？ 生：不能，因为平面是无限延展的，所以这两个平面应该有一条经过这公共点的直线． （这时教师用手动矩形硬纸板，表示同意学生的意见，并说） 师：我们只能用有限的模型或图形来表示无限延展的平面，所以我们有时要看模型或图形，但又不能受模型或图形的限制来影响我们对平面的无限延展的了解．（同时板书） 公理2 如果两个平面有一个公共点，那么它们有且只有一条通过这个点的公共直线．（如图2）
立体几何平面的基本性质 一、知识点： 1．平面的概念：平面是没有厚薄的，可以无限延伸，这是平面最基本的属性 2．平面的画法及其表示方法：①常用平行四边形表示平面通常把平行四边形的锐角画成45o ，横边画成邻边的两倍画两个平面相交时，当一个平面的一部分被另一个平面遮住时，应把被遮住的部分画成虚线或不画(面实背虚)②一般用一个希腊字母α、β、γ……来表示，还可用平行四边形的对角顶点的字母来表示如平面AC 等 3．空间图形是由点、线、面组成的点、线、面的基本位置关系如下表所示： 图形 符号语言 文字语言（读法） 图形 符号语言 文字语言（读法） A a A a ∈点A 在直线a 上 a α a α? 直线a 在平面α内 A a A a ?点A 不在直线a 上 a αa α=?I 直线a 与平面α无公共点 A αA α∈点A 在平面α内 a A αa A α=I 直线a 与平面α交于点A A αA α?点A 不在平面α内 b a A a b A =I 直线a 、b 交于A 点 l αβ=I 平面α、β相交于直线l α?a （平面α外的直线a ）表示a α=?I （a αP ）或a A α=I 4 平面的基本性质 公理1 如果一条直线的两点在一个平面内，那么这条直线上的所有点都在这个平面内 推理模式：A AB B ααα∈????∈?． 如图示： 应用：是判定直线是否在平面内的依据，也可用于验证一个面是否是平面． 公理1说明了平面与曲面的本质区别．通过直线的“直”来刻划平面的“平”，通过直线的“无限延伸”来描述平面的“无限延展性”，它既是判断直线在平面内，又是检验平面的方法． 公理2如果两个平面有一个公共点,那么它们还有其他公共点,且所有这些公共点的集合是一条过这个公共点的直线 推理模式：A l A ααββ∈??=?∈? I 且A l ∈且l 唯一如图示： 应用：①确定两相交平面的交线位置；②判定点在直线上 公理2揭示了两个平面相交的主要特征，是判定两平面相交的依据，提供了确定两个平面交线的方法． B A α
2.1.1平面的教学设计 一、教材分析 本节课选自人教版《数学》必修二的2.1.1平面第一课时，主要内容是平面的概念及三个公理。平面的基本性质虽然在高考中一般以选择和填空题型为主，但是它是研究立体几何的理论基础，也是以后论证推理的逻辑依据。这节内容是学生已有的平面几何观念的拓展，帮助学生观念逐步从平面转向空间。因此，掌握平面的三条基本性质至关重要。 二、设计思想： 本节课采用探究式课堂教学模式，即在教学过程中，在教师的启发引导下，以学生独立自主和合作交流为前提，以问题串为导向设计教学情境，以“平面及其基本定理”为基本探究内容，为学生提供充分自由表达、质疑、探究、讨论问题的机会，让学生通过个人、小组、集体等多种解难释疑的尝试活动，在知识的形成、发展过程中展开思维，逐步培养学生发现问题、探索问题、解决问题的能力和创造性思维的能力。 三、教学目标 根据本节课的教学内容、特点及教学大纲对学生的要求，结合学生现有的知识水平和理解水平，确定本节课的教学目标： 【知识目标】 （1）掌握平面的概念、画法、表示方法； （2）通过联想、观察图形，用图形和符号语言表示平面； （3）准确的理解并表述平面的三个基本性质、正确运用平面的基本性质进行共面、共线、共点问题的证明。 【能力目标】 （1）通过实例和多媒体直观教学，培养学生的观察能力和空间想象能力； （2）通过对生活中平面实例及其性质的举例、分析、解释过程，培养学生逻辑思维能力。 【情感目标】 让学生在发现中学习，增强学习的积极性，提高学生的学习兴趣。 四、教学的重点难点 重点：1、平面的概念及表示方法。 2、平面的基本性质，注意其条件、结论、作用、图形语言及符号语言。难点：平面基本性质的掌握与运用。 五、教法与学法 本节课是一节较为抽象的数学几何概念课。因此， 1、教法上应注意： （1）通过学生熟悉的实际生活问题引入课题，为概念学习创设情境，拉近数学与现实的距离，激发学生的求知欲，调动了学生主动参与的积极性； （2）在鼓励学生主体参与的同时，不可忽视教师的主导作用，具体表现在设问、讲评和规范书写等方面，要教会学生清晰地思维、严谨的推理，并 成功地完成书面表达； （3）采用直尺、三角板直观地表示平面的基本性质，以及运用计算机多媒体等教学手段，是学生更容易地理解教学内容。
平面的基本性质 一、知识梳理 一）平面 1．特征：①无限延展 ②平的（没有厚度） ，平面是抽象出来的，只能描述，如平静的湖面，不能 定义.一个平面把空间分成两部分，一条直线把平面分成两部分. 2．表示：一般用一个希腊字母α、β、γ……来表示，还可用平行四边形的对角顶点的字母来表示 如：平面α，平面AC 等. 3．画法：通常画平行四边形来表示平面 (1)一个平面： 当平面是水平放置的时候，通常把平行四边形的锐角画成45 ，横边画成邻边的2倍 长，如图1（1）. (2)直线与平面相交，如图1（2）、（3），： （3）两个相交平面：画两个相交平面时，先定位，后交线，邻边依次添，若一个平面的一部分被另 一个平面遮住，应把被遮住部分的线段画成虚线或不画（如图2）. 4.点、线、面的基本位置关系如下表所示： a βα B A β B A α β B A α α β a 图 2 A （1）
a α a α? 直线a 在平面α内. a α a α=? 直线a 与平面α无公共点. a A α a A α= 直线a 与平面α交于点A . l αβ= 平面α、β相交于直线l . 点可看成元素，直线和平面可看成集合，符号“∈”只能用于点与直线，点与平面的关系，“?”和“ ”的符号只能用于直线与直线、直线与平面、平面与平面的关系，虽然借用于集合符号，但在读法上仍用几何语言. 例1、将下列符号语言转化为图形语言： （1）A α∈，B β∈，A l ∈，B l ∈； （2）a α?，b β?，//a c ，b c p =，c αβ=. 说明：画图的顺序：先画大件（平面），再画小件（点、线）. 例2、将下列文字语言转化为符号语言： （1）点A 在平面α内，但不在平面β内； （2）直线a 经过平面α外一点M ； （3）直线l 在平面α内，又在平面β内.（即平面α和β相交于直线l .） 例3、在平面α内有,,A O B 三点，在平面β内有,,B O C 三点，试画出它们的图形. 二）三条公理 人们经过长期的观察和实践，把平面的三条基本性质归纳成三条公理． 公理1如果一条直线的两点在一个平面内，那么这条直线上的所有点都在这个平面内. 应用： ①判定直线在平面内；②判定点在平面内.模式：a A A a α α???∈? ∈?． B A α
《2.2.4平面与平面平行的性质》教学设计 一、教材分析： 本节内容是人教版新教材必修②高一数学第二章第二节的第4课时 平行与垂直是空间中两种特殊而重要的位置关系，也是高考考查的重点之一，求解的关键是根据线与面之间的互化关系，借助创设辅助线与辅助面，找出符号语言与图形语言之间的关系解决问题。通过对有关概念和定理的概括、证明和应用，使学生体会“转化”的观点，提高学生的空间想象能力和逻辑推理能力。 二、学情分析： 本节内容是在学生已经学习了平行公理，直线与平面平行的判定与性质等内容的基础上的学习，只要掌握了平行线的概念和面与面平行的概念，该性质定理的证明不难理解，难点是选择或添加适当的平面或线，将空间问题转化为平面问题，利用平面图形的几何特征解决问题。 三、教学目标： 1、知识与技能 （1）掌握两个平面平行的性质定理及其应用。 （2）提高分析解决问题的能力,进一步渗透等价转化的思想。 2、情感态度与价值观 （1）进一步提高学生空间想象能力、思维能力； （2）进一步体会类比的作用； （3）通过证明问题，树立创新意识。 四、教学重、难点： 1．重点：两个平面平行的性质定理的探索过程及应用。 2．难点：两个平面平行的性质定理的探究发现及其应用。 五、教学设想： 学生是学习和发展的主体，教师是教学活动的组织者和引导者。引导学生自己探索与研究两个平面平行的性质定理，培养和发展学生发现问题，解决问题的能力。学生通过观察与类比，借助实物模型理解性质及应用。 六、教学方法设计： 由直线与直线平行的定义得到的两个平面平行性质定理是证明直线与直线
平行的重要方法。在两个平面平行的性质定理的研究中，重在引导学生如何将两个平面平行的问题转化为直线与直线平行、直线与平面平行的问题。 七、教学流程： ↓ ↓ ↓ 八、学法与教学用具 1、学法：学生借助实物，通过类比、交流等，得出性质及基本应用。 2、教学用具：多媒体、长方体模型 九、教学过程： 复习提问：（大屏幕展示） 如何判断平面和平面平行? （答:有两种方法,一是用定义法,须判断两个平面没有公共点;二是用平面和平面平行的判定定理,须判断一个平面内有两条相交直线都和另一个平面平行.） 你会用符号语言描述判定定理吗？(目的:(1)通过学生回答，来检查学生能否正确叙述学过的知识，正确理解平面与平面平行的判定定理.(2)板书定义及定理内容，是为学生猜测并发现平面与平面平行的性质定理作准备) 探究新知 思考:如果两个平面平行，会有哪些结论呢?(学生议论，教师引导学生大胆猜想，同时提示研究问题的方法) 探究1. 如果两个平面平行，那么一个平面内的直线与另一个平面有什么位置关系？
平面的基本性质（1） 教学目标： 1．了解立体几何研究的对象及方法，初步建立空间的概念； 2．掌握平面的概念，平面的画法及其表示法，掌握平面的基本性质公理1、2、3； 3．初步掌握文字语言、图形语言与符号语言三种语言之间的转化． 教学重、难点：平面的基本性质公理1、2、3，空间概念的建立． 教学过程： （一）新课讲解： 1．平面的概念： 平面是没有厚薄的，可以无限延伸，这是平面最基本的属性。常见的桌面，黑板面，平静的水面等都是平面的局部形象。一个平面把空间分成两部分，一条直线把平面分成两部分． 2．平面的画法及其表示方法： ①在立体几何中，常用平行四边形表示平面。当平面水平放置时，通常把平行四边形的锐角画成45o，横边画成邻边的两倍。画两个平面相交时，当一个平面的一部分被另一个平面遮住时，应把被遮住的部分画成虚线或不画． ②一般用一个希腊字母α、β、γ----来表示，还可用平行四边形的对角顶点的字母来表示 如平面α，平面AC等． 3．空间图形是由点、线、面组成的。点、线、面的基本位置关系如下表所示：
4．平面的基本性质： 公理1：如果一条直线的两点在一个平面内，那么这条直线上的所有点都在这个平面内． 推理模式： A A B B ααα∈? ???∈? ． 如图示： 应用：①判定直线在平面内；②判定点在平面内．模式：a A A a α α???∈? ∈?． 公理2：如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其他公共点，这些公共点的集合是 一条直线。 推理模式： A l A ααββ∈? ?=?∈? I 且A l ∈且l 唯一． 应用：①确定两相交平面的交线位置；②判定点在直线上． 公理3：经过不在同一条直线上的三点有且只有一个平面。 推理模式：,, ,,,,A B C A B C A B C ααβ? ? ∈???∈? 不共线与β重合． 应用：①确定平面；②证明两个平面重合． （二）例题分析： 例1 将下列文字语言转化为符号语言，图形语言： （1）点A 在平面α内，但不在平面β内； （2）直线a 经过平面α外一点M ；
14.1平面及其基本性质 1、理解平面的概念，会画出平面和用字母表示平面。 教学目 标： 、能用集合符号表示点与直线，点与平面，直线与平面，平面与平面的关系。 2 3、掌握平面性质的三条公理和推论并知道其作用，会证明简单的共线和共面问 题。 教学重 平面的无限延展性和揭示平面基本性质的三条公理及推论。 点： 教学难 三个推论的证明和共面问题的证明。 点： 教学过程： 一、预习反馈： 1、三个问题： (1)你能画出一个四边形，使它的对角线所在的直线不相交吗? 空间四边形 (2)过任意一点，你能引出三条两两垂直的直线吗? (3)你能用六根粉笔在桌上搭出四个全等的三角形吗? 2、引出立体几何与平面几何的不同和联系。 (1) 从集合的观点看，立体图形和平面图形一样是点的集合，构成平面图形的点是在同一平面上的，而构成 立体图形的点不全在一个平面上； (2) 立体几何研究的对象是空间图形，是平面几何的扩充。 (3) 立体几何和平面几何有着紧密的联系，平面几何的概念和性质在立体几何中对于同一平面内的图形 依然成立，但在空间不一定成立。 例如：过直线上一点有且只能引一条直线与它垂直(X) 过直线外一点只能作一条直线与它平行( “ 垂直于同一条直线的两条直线必平行(X) 二、新课： (一)、平面的概念： 1、生活中的桌面、墙面、湖面都是平面的形象，在数学中我们把平面抽象为: 无厚度、无边界在空间中可以无限延展的“平”的面， 注：直线是往两端无限延伸，而平面是可以往四面八方无限延伸的。
2、表示方法: （1）字母表示：平面可以用一个大写字母或小写的希腊字母表示，也可以用平面上的三个点（或三个以 上）的字母表示。比如：平面 M 平面：?，平面ABCD 等。 （2）图像： 画平面可以画它的局部，画出一个有一个角为 （3）点和直线、平面的位置关系符号表示: 点A 在直线| 上: A l ； 点B 不在直线|上：B - l 。 点A 在平面:-上: A 「工；点B 不在平面:-上: B ° （4）直线和平面位置关系: 1、 直线l 在平面o 上（或平面ot 经过直线| ）:直线I 所有的点都在平面 ?上， 记作：|「X 2、 直线I 与平面:-相交于点A :直线I 与平面〉有一个公共点A ,记作：I 'I = A 3、 直线|与平面:平行：直线|与平面〉没有公共点，记作：I 〔 - ?一 （or I l ；） 注：2, 3也叫做 直线|在平面「夕卜。 （5）完成课后练习14.1/1 （二）、公理1 : 1、公理1:如果直线I 上有两点在一个平面:-内，那么直线I 在平面〉上 集合语言表述： 若A ? I, B ? I,且A 三壮,B 三：￡ 「If 作用：1）判断直线是否在平面内的理论依据； （证明一条直线在一个平面内，只需证明直线上有两 点 在平面内） 2）也可鉴别一个面是否是平面（如木工检查工作物的表面是否平整，就用一把直尺紧靠表面 任意滑动，看直尺的边是否和表面处处密合） 2、书例1：已知若BW ：；,M 是AB 的中点，求证： M 三：； （学生自己看书） 45的平行四边形。 垂直
2.1.1 平面 东莞市南城中学陈立 1．内容和内容解析 （1）内容 《2.1.1平面》是人教A版《数学》必修二的第二章第一节，教学内容安排一个课时，主要内容是平面的描述性概念及三个公理。 （2）内容解析 平面是最基本的几何概念，教材以课桌面、黑板面、海平面等为例对它加以描述而不定义。平面的基本性质即公理1、公理2、公理3，是研究立体图形的理论基础，也是进一步推理的出发点和根据。其中公理1可以用来判断直线或者点是否在平面内；公理2用来确定一个平面，判断两平面重合，或者证明点、线共面；公理3用来判断两个平面相交，证明点共线或者线共点的问题。平面的基本性质在高考中一般以选择和填空题型为主。 学生在第一章的学习过程中，经历了对立体图形的整体把握，这节课以学生熟知的长方体为载体，引出本节课的主要内容，拓展学生已有的平面几何观念，帮助学生观念逐步从平面转向空间。因此，本节课的教学重点是使学生了解平面的描述性概念，了解平面的表示方法和画法；理解平面的基本性质即三个公理，会用符号语言表示图形中点、直线、平面之间的关系。 2．目标和目标解析 （1）目标 根据本节课的教学内容、特点及教学大纲对学生的要求，结合学生现有的知识水平和理解水平，确定本节课的教学目标如下： ①了解平面的描述性概念； ②了解平面的表示方法和基本画法； ③理解公理1、公理2、公理3； ④能正确地用数学语言表示点、直线、平面以及它们之间的关系。 ⑤感知数学语言的美，激发学习兴趣。 （2）目标解析 通过学生熟知的正方体、生活中的实例使学生对平面有感性的、初步的认识，借助学生已有的直线的描述性概念，通过类比让学生体验获得平面的描述性概念的思维过程。在学生了解平面的描述性概念以后，首先给出平面的表示方法，然后类比画直线的方式，从“直观性”角度给出平面的画法。尽管平面的描述性概念、平面的表示方法和基本画法这些内容不难，但是要让学生理解这些知识的本质还是有一定难度，没办法也没有必要从更深层次理解这些知识点，因此，将这些内容定位为了解。平面的三个公理，是本节课的重点内容，要求学生充分重视，并且能够理解这些知识点。通过文字语言的严谨、图形语言的直观和符号语言的简洁以及三种语言的相互转化使学生体会数学的美，提高学生的学习兴趣。让学生认识到我们生活的世界就是一个三维空间，进而激发学生的求知欲。 3．教学问题诊断分析 本节课是一节较为抽象的几何概念课。学生了解平面的无限延展性可能有难度，因此，在教学时一定要让学生多感受，多举例。学生不好接受为什么通常用平行四边形表示水平放置的平面，教学中要引导让学生通过观察，体会用平行四边形表示水平放置的平面的“直观性”。三个公理是研究立体几何的理论基础，也是以后论证推理的逻辑依据，学生容易掌握文字语言、图形语言，但符号语言较难掌握，教学中可适当安排一些问题让学生用符号语言规范的完成表达。 基于上述分析，本节课教学难点是理解三个公理以及用符号语言规范的完成对问题的表示。 4．教学支持条件分析 立体几何教具，多媒体，直尺。 5．教学过程设计
平面的基本性质练习题 一、选择题： 1．若点N 在直线a 上，直线a 又在平面α内，则点N ，直线a 与平面α之间的关系可记作（ ） Ａ、N α∈∈a Ｂ、N α?∈a Ｃ、N α??a Ｄ、N α∈?a 2.Ａ，Ｂ，Ｃ表示不同的点，a, 表示不同的直线，βα,表示不同的平面，下列推理错误的是（ ） Ａ.A ααα??∈∈∈∈ B B A ,;, Ｂ.βαβαβα??∈∈∈∈B B A A ,;,=AB Ｃ.αα??∈?A A , Ｄ.A,B,C α∈,A,B,C β∈且A ，B ，C 不共线α?与β重合 3. 空间不共线的四点，可以确定平面的个数为（ ） Ａ.０ Ｂ.１ Ｃ.１或４ Ｄ. 无法确定 4. 空间不重合的三个平面可以把空间分成（ ） A. 4或6或7个部分 B. 4或6或7或8个部分 C. 4或7或8个部分 D. 6或7或8个部分 5．下列说法正确的是( ) ①一条直线上有一个点在平面内, 则这条直线上所有的点在这平面内; ②一条直线上有两点在一个平面内, 则这条直线在这个平面内; ③若线段AB α?, 则线段AB 延长线上的任何一点一点必在平面α内; ④一条射线上有两点在一个平面内, 则这条射线上所有的点都在这个平面内. A. ①②③ B. ②③④ C. ③④ D. ②③ 6．如果,,,,B b A a b a =?=??? αα那么下列关系成立的是( ) A. α? B.α? C. A =?α D.B =?α 7．空间中交于一点的四条直线最多可确定平面的个数为( ) A.7个 B.6个 C. 5个 D.4个 8．两个平面重合的条件是它们的公共部分有( ) A. 两个公共点 B. 三个公共点 C. 四个公共点 D.两条平行直线 9．空间四边形ABCD 各边AB 、BC 、CD 、DA 上分别取E 、F 、G 、H 四点，如果EF ?GH=P ，则点P （ ） A. 一定在直线BD 上 B. 一定在直线AC 上 C. 在直线AC 或BD 上 D. 不在直线AC 上也不在直线BD 上 10．如图，在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，直线EF 是平面ACD 1与下面哪个平面的交线（ ） A ．面BD B 1 B. 面BD C 1 C. 面ACB 1 D. 面ACC 1 二、填空题： 11．设平面α与平面β交于直线 , 直线α?a , 直线β?b ,M b a =?, 则M_______ .
平面的基本性质教案 课题：平面的基本性质 教学目标： [知识目标] 1、让学生理解平面的概念，掌握平面的画法、表示法。 2、掌握平面的基本性质公理1、2、3。 [能力目标]使学生了解立体几何研究的对象及方法，在初步建立空间的概念基础上，培养学生的空间想象力、逻辑推理能力和 分析判断能力。 [情感目标]在传授知识培养能力的同时，培养学生有根有据、实事求是等严肃的科学态度和品质，并从生活实际中逐步培养学 生从实践中来，到实践中去的辩证唯物主义观点。 教学重点：1、平面概念的理解。 2、掌握平面基本性质的三个公理及其作用。 教学难点：平面概念的理解；平面基本性质的三个公理的理解。 授课类型：新授课 教具：直尺、三角板、纸板等 教学过程： 一、创设问题情境，导入新课 问题1：平静的湖面，广阔的草原，大漠袅袅炊烟升起的画面会给你留下怎样的印象呢？ 问题2：请学生举出生活中一些平面的例子：如黑板面、桌面、墙面等。
二、讲解新课 （一）、平面 1、平面的三个特征：①平的②无厚度③无限延展(无边界) 几何里的平面是从现实生活中抽象出来的，它和直线一样，是无 限延展的，常见的桌面、黑板面、平静的水面都是平面的局部形象。 2、平面的画法：常用平行四边形表示平面 通常我们画出直线的一部分来表示直线，同样地，我们也可以画 出平面的一部分来表示平面，当我们从适当的角度和距离观察桌面或 黑板面时，感到它们都很像平行四边形。因此，通常画平行四边形来 表示平面。 表示方法：一般用一个希腊字母α、β、γ……来表示，还可用 平行四边形的对角顶点的字母来表示如平面ABCD ，平面AC 等 练习1：判断下列命题是否正确： ① 一个平面长4m ，宽2m ，厚0.01mm 。（ ） ②平面是平行四边形( ) （二）、平面的基本性质 讨论1：当一直尺的边缘上任意两点放在平的桌面上时，可以观 察到什么现象，并归纳出一般性结论。 α β D C A B γ
《平面的基本性质与推论》教案 教学目标 1、了解平面的基本性质与推论，并能运用这些公理及推论去解决有关问题，会用集合语言来描述点、直线和平面之间的关系以及图形的性质。 2、以所学过的作为推理依据的一些公理和定理为基础，通过直观感知，操作确认，思辨论证，归纳出空间中线、面平行的有关判定定理和性质定理。 3、能运用已获得的结论证明一些空间位置关系的简单命题。 教学重难点 重点：平面的基本性质与推论以及它们的应用；线线平行及平行线的传递性和面面平行的定义与判定。 难点：自然语言与数学图形语言和符号语言间的相互转化与应用；如何由平行公理以及其他基本性质推出空间线、线，线、面和面、面平行的判定和性质定理，并掌握这些定理的应用。 教学过程 一、导入 生活中的图形由哪些元素组成？点线面作为基本图形，他们之间有什么关系呢？ 二、平面的基本性质 1、关于公理1 （1）三种数学语言表述： 文字语言表述：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有点都在这个平面内。 图形语言表述：如图1所示 图1 符号语言表述： （2）内容剖析： 公理1的内容反映了直线与平面的位置关系，条件“线上两点在平面内”是公理的必须条件，结论“线上所有点都在面内”。这个结论阐述两个观点，一是整个直线在平面内，二是直线上所有点都在平面内。 （3）公理1的作用：既可判定直线是否在平面内，点是否在平面内，又可用直线检验平
面。 2、关于公理2 （1）公理2的三种数学语言表述： 文字语言表述：过不在同一直线上的三点，有且只有一个平面。 图形语言表述：如图2所示 图2 符号语言表述：A、B、C三点不共线有且只有一个平面α，使. （2）内容剖析： 公理2的条件是“过不在同一直线上的三点”，结论是“有且只有一个平面”。条件中的“三点”是条件的骨干，不会被忽视，但“不在同一直线上”这一附加条件则易被遗忘，如舍之，结论就不成立了，因此绝对不能遗忘．同时还应认识到经过一点、两点或在同一直线上的三点可有无数个平面；过不在同一直线上的四点，不一定有平面，因此要充分重视“不在同一直线上的三点”这一条件的重要性。 公理2中的“有且只有一个”含义要准确理解。这里的“有”是说图形存在。“只有一个”是说图形惟一，本公理强调的是存在和惟一两个方面。因此“有且只有一个”必须完整的使用，不能仅用“只有一个”来替代“有且只有一个”，否则就没有表达存在性。“确定一个平面”中的“确定”是“有且只有”的同义词，也是指存在性和惟一性这两方面的，这个术语今后也会常常出现，要理解好。 （3）公理2的作用： 作用一是确定平面； 作用二是可用其证明点、线共面问题。 3、关于公理3 （1）公理3的三种数学语言表述： 文字语言表述：如果不重合的两个平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。 图形语言表述：如图3所示。