江苏省扬州中学2020-2021学年度第二学期期中考试
高 一 数 学
（试题满分：150分 考试时间：120分钟）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，计60分．每小题所给的A .B .C .D .四个结论中，只有一个是正确的，请在答题卡上将正确选项按填涂要求涂黑。 1．若直线l 经过坐标原点和(3,3)-，则它的倾斜角是（ ） A ．135?
B ．45?
C ．45?或135?
D ．45-?
2．22cos 15sin 15sin15cos15????-+的值等于（ ）
A ．
34
B ．
54
C ．
14
+ D ．
44
+ 3．过点A （1，2）作圆x 2+（y ﹣1）2＝1的切线，则切线方程是（ ） A ．x ＝1
B ．y ＝2
C ．x ＝2或y ＝1
D ．x ＝1或y ＝2
4．平面αI 平面l β=，点A α∈，B α∈，C β∈，C l ?，AB l R ?=，过A ，B ，
C 确定的平面记为γ，则βγ?是（ ）
A ．直线AC
B ．直线CR
C ．直线BC
D ．以上都不对
5．已知α、β为锐角，若3
cos 5α=
，()1tan 3
βα-=，则tan β=（ ） A ．
13
9
B ．
913 C ．3
D ．
13
6．圆2240x x y -+=与圆22430x y x +++=的公切线共有（ ） A ．1条 B ．2条 C ．3条
D ．4条
7．在ABC ?中，内角A ，B ，
C 的对边分别为a ，b ，c ．若sin :sin :sin 3:7:8A B C =，则ABC ?的形状是（ ） A ．锐角三角形
B ．直角三角形
C ．钝角三角形
D ．不确定
8．已知直线22+=mx ny ()0,0m n >>过圆()()2
2
125x y -+-=的圆心，则12
m n
+的最小值为（ ）
A ．3
B ．3+
C ．6
D ．3+ 9．已知锐角三角形ABC 的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若2,2a B A ==，则b 的取值范围为（ ）
A ．(0,4)
B ．(2,
C ．
D ．4) 10．在平面直角坐标系中，A 、B 分别是x 轴和y 轴上的动点，若以AB 为直径的圆C 与直线3210x y +-=相切，则圆C 面积的最小值（ ） A ．
52
π
B ．
54
π
C ．
56
π
D ．
58
π
11．在ABC ?中，D 为BC 边上一点，若ABD ?是等边三角形，且AC =则ADC ?的面积的最大值为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．12．在ABC ?中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，角B 为锐角，若4cos c b A =，则
tan 6
tan tan tan A B C A
+?的最小值为（ ）
A ．
3
B ．
2
C ．
2
D ．
32
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，计20分．只要求写出最后结果，并将正确结果填写到答题卡相应位置． 13．下列说法中正确的有 个．
①空间中三条直线交于一点，则这三条直线共面； ②一个平行四边形确定一个平面；
③若一个角的两边分别平行于另一个角的两边，则这两个角相等；
④已知两个不同的平面α和β，若,A A αβ∈∈，且l αβ=I ，则点A 在直线l 上．
14．在ABC ?中，已知2,45a b B =
==?，则A =__________．
15．在ABC ?中，60BAC ∠=o
，BAC ∠的平分线AD 交BC 于D ，3AB AC =，则
AC
AD
=_____．
16．在平面四边形OPMN 中，90PON ∠=o
，3OP =,1ON =．若4MO MP ?=u u u u r u u u r
，则
3
5
MP MN +的最小值为 ．
三、解答题：本大题共6小题，计70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（本小题满分10分：55''+）已知两条直线1:240l x y -+=，2:320l x y +-=相交于P 点.
（1）求交点P 的坐标；
（2）求过点P 且与直线30x y -+=垂直的直线l 的方程．
18．（本小题满分12分：66''+）已知函数()3sin cos f x x x =-，x ∈R ．
（1）当[0,]x π∈时，求函数()f x 的值域； （2）若α[0,]2π
∈，10613f πα?
?+= ??
?，求sin 2α的值．
19．（本小题满分12分：66''+）如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E 、F 、G 、H 分别是棱AB 、BC 、1CC 、11C D 的中点．
（1）判断直线EF 与GH 的位置关系，并说明理由； （2）求异面直线1A D 与EF 所成的角的大小．
20．（本小题满分12分：57''+）如图，在直角ACB △中，2
ACB π
∠=
，3
CAB π
∠=
，
2AC =，点M 在线段AB 上．
（1）若3
sin 3
CMA ∠=
，求CM 的长； （2）点N 是线段CB 上一点，7MN =
，且
1
2
BMN ACB S S =
△△，求BM BN +的值．
21．(本小题满分12分：57''+)如图所示，一个半圆和长方形组成的铁皮，长方形的边
AD 为半圆的直径，O 为半圆的圆心，1AB =，2BC =，现要将此铁皮剪出一个三角
形PMN ，使得PM PN =，MN BC ⊥． (1)设30MOD ∠=o ，求三角形铁皮PMN 的面积； (2)求剪下的铁皮三角形PMN 的面积的最大值．
22．（本小题满分12分：444'''++）在平面直角坐标系xOy 中，已知圆M 过坐标原点
O 且圆心在曲线x
y 3
=
上． （1）求圆M 面积的最小值； （2）设直线43
3
:+-=x y l 与圆M 交于不同的两点C D 、，且||||OD OC =，求圆M 的方程； （3）设直线3=
y 与（2）中所求圆M 交于点E 、F ，P 为直线5=x 上的动点，直
线PE ，PF 与圆M 的另一个交点分别为G ，H ，求证：直线GH 过定点．
答案
1．A 2．C 3．D 4．B 5．C 6．D 7．C 8． D 9．C 10．A 11．A 12．B
13．2 14．30° 15．
9 16．5
17．解：（1）由240320x y x y -+=??
+-=?得：0
2x y =??=?
， ()0,2P ∴； （2）Q 直线30x y -+=斜率为1，∴直线l 斜率1k =-.
():210l y x ∴-=--，即：20x y +-=.
18．解：（1）()2sin 6f x x π??=- ???
，则当
[0,]x π∈时，5[,]666x πππ-∈-，1sin()[,1]62x π-∈-，2sin()[1,2]6x π
-∈-，所以函数()f x 的值域为[1,2]-．
（2）102sin 613f παα??+== ??
?，即5sin 13α=，0,2απ?∈?
????，故12cos 13α=； 512120
sin 22sin cos 21313169
ααα==?
?=． 19．解：（1）取CD 的中点I
∵E 、F 、I 分别是正方形ABCD 中AB 、BC 、CD 的中点
∴12
CF EI ∥
∴在平面ABCD 中，延长EF 与DC 必交于C 右侧一点P ，且PC CI = 同理，在平面11CC D D 中，延长HG 与DC 必交于C 右侧一点Q ，且QC CI = ∴P 与Q 重合
进而，直线EF 与GH 相交
方法二：∵在正方体1111ABCD A B C D -中，E 、H 分别是AB 、11C D 的中点
∴112
EB CD HC ∥∥ ∴1EBC H 是平行四边形 ∴1EH BC ∥
又∵F 、G 分别是BC 、1CC 的中点
∴112
FG BC ∥
∴∥EH FG ，EH FG ≠
∴EF 、GH 是梯形EFGH 的两腰 ∴直线EF 与GH 相交
（2）解：∵在正方体1111ABCD A B C D -中，11AA CC ∥
∴11ACC A 是平行四边形 ∴11//AC A C
又∵E 、F 分别是AB 、BC 的中点
∴//EF AC ∴11EF AC P
∴1A D 与EF 所成的角即为1A D 与11A C 所成的角
（或：1A D 与EF 所成的角即为11DAC ∠及其补角中的较小角）① 又∵在正方体1111ABCD A B C D -中，11AC D ?为等边三角形 ∴1160DAC ∠=?②
∴由①②得直线1A D 与EF 所成的角为60?
20．（1）在CAM V 中，已知3
CAM π
∠=
，sin CMA ∠=
2AC =，由正弦定理，得
sin sin CM AC CAM CMA
=∠∠
，解得sin
233sin AC CM CMA π
??
=
==∠． （2）因为12BMN ACB S S =
△△
，所以111
sin 22622
BM BN π???=???
BM BN ?=
在BMN ?中，由余弦定理得，
(
)
2
222
2cos
216
2MN BM BN BM BN BM BN BM BN π
?=+-?=+-??+ ??
，
即(
)22
21BM BN ?=+-?+ ??
，
(
)(2
2
194BM BN +=+=+，
故4BM BN +=+
21．（1）由题意知111
21222
OM AD BC =
==?=，
3
sin sin 1sin 3012MN OM MOD CD OM MOD AB ∴=∠+=∠+=?+=
o ，
cos 11cos301BN OA OM MOD =+∠=+?=+
=
o ，
113222PMN S MN BN ?∴=
?=?=
，即三角形铁皮PMN 的面积为
； （2）（2）设MOD x ∠=，则0x π<<，因为半圆和长方形组成的铁皮具有对称性，所以只需考察02
x π
<≤
。
sin sin 1MN OM x CD x =+=+，
cos cos 1BN OM x OA x =+=+，
()()()111
sin 1cos 1sin cos sin cos 1222
PMN S MN BN x x x x x x ?∴=
?=+?+=+++令
sin cos 4t x x x π?
?=+=+ ???
，由于02x π<≤，所以3444x πππ<+≤，
则有
sin 124x π?
?≤+≤ ??
?，所以1t ≤≤ 且()
2
2
sin cos 12sin cos t x x x x =+=+，所以21
sin cos 2
t x x -=，
故()()22
211111211224
4PMN
t S t t t t ???-=++=++=+ ???，
而函数()2
114
y t =
+在区间??上单调递增，
故当t =时，y
取最大值，即
)
2
max 1
314
4
y +=
=
， 即剪下的铁皮三角形PMN
22．解：（Ⅰ）由题意可设圆M
的圆心为(x ，
≥=
2x = 所以圆M
的面积最小值为． （Ⅱ）由||||OD OC =，知l OM ⊥．
所以332
==
t
k OM ，解得1±=t ．
当1=t 时，圆心M )3,1(到直线43
3
:+-=x y l 的距离)13(2-=d 小于半径，符合题意；
当1-=t 时，圆心M )3,1(--到直线43
3
:+-=x y l 的距离)13(2+=d 大于半径，不符合题意．
所以，所求圆M 的方程为4)3()1(22=-+-y x ．
（Ⅲ）设),5(0y P ，),(11y x G ，),(22y x H ，又知)3,1(-E ，)3,3(F ，
所以GE PE k x y y k =+-=-=
1363110，FH PF k x y y k =--=-=3
3
23220． 因为PF PE
k k =3，所以2
2222121)
3()3()1()3(9--=+-?x y x y ．
将2121)1(4)3(--=-x y ，2222)1(4)3(--=-x y 代入上式， 整理得020)(722121=++-x x x x ． ①
设直线GH 的方程为b kx y +=，代入4)3()1(22=-+-y x ， 整理得032)2322()1(222=-+--++b b x k kb x k ．
所以22112322k k kb x x +---=+，2
221132k
b
b x x +-=?． 代入①式，并整理得033710)327(22=+-+-+b k b k b ， 即0)35)(32(=-+-+k b k b ， 解得k b 23-=或k b 53-=．
当k b 23-=时，直线GH 的方程为3)2(+-=x k y ，过定点)3,2(； 当k b 53-=时，直线GH 的方程为3)5(+-=x k y ，过定点)3,5( 第二种情况不合题意（G 、H 只可能在直径的异侧），舍去
1、只要朝着一个方向奋斗，一切都会变得得心应手。20.6.166.16.202022:0622:06:49Jun-2022:06
2、心不清则无以见道，志不确则无以定功。二〇二〇年六月十六日2020年6月16日星期二
3、有勇气承担命运这才是英雄好汉。22:066.16.202022:066.16.202022:0622:06:496.16.202022:066.16.2020
4、与肝胆人共事，无字句处读书。6.16.20206.16.202022:0622:0622:06:4922:06:49
5、阅读使人充实，会谈使人敏捷，写作使人精确。Tuesday, June 16, 2020June 20Tuesday, June 16,
20206/16/2020
亲爱的用户：
春去春又回，新桃换旧符。在那桃花盛开的地方，在
这醉人芬芳的季节，愿你生活像春天一样阳光，心情像桃
花一样美丽，感谢你的阅读。
1、只要朝着一个方向努力，一切都会变得得心应手。20.6.166.16.202022:0622:06:49Jun-2022:06
2、心不清则无以见道，志不确则无以定功。二〇二〇年六月十六日2020年6月16日星期二
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4、与肝胆人共事，无字句处读书。6.16.20206.16.202022:0622:0622:06:4922:06:49
5、阅读使人充实，会谈使人敏捷，写作使人精确。Tuesday, June 16, 2020June 20Tuesday, June 16,
20206/16/2020
6、最大的骄傲于最大的自卑都表示心灵的最软弱无力。10时6分10时6分16-Jun-206.16.2020
7、自知之明是最难得的知识。20.6.1620.6.1620.6.16。2020年6月16日星期二二〇二〇年六月十六日
8、勇气通往天堂，怯懦通往地狱。22:0622:06:496.16.2020Tuesday, June 16, 2020
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春去春又回，新桃换旧符。在那桃花盛开的地方，在
这醉人芬芳的季节，愿你生活像春天一样阳光，心情像桃
花一样美丽，感谢你的阅读。