第一章 矢量分析
1.1 3?2??z y x e e e
A -+= ，z y e e
B ?4?+-= ，2?5?y x e e
C -= 求（1）?A e ；（2）矢量A 的方向余弦；（3）B A ?；（4）B A ?；
（5）验证()()()B A C A C B C B A ??=??=?? ；
（6）验证()()()B A C C A B C B A ?-?=??。
1.2 如果给定一未知矢量与一已知矢量的标量积和矢量积，则可确定该未知矢
量。设A 为已知矢量，X A B ?=和X A B ?=已知，求X 。
1.3 求标量场32yz xy u +=在点（2,-1,1）处的梯度以及沿矢量z y x e e e
l ?2?2?-+= 方向上的方向导数。
1.4 计算矢量()()
3222224???z y x e xy e x e
A z y x ++= 对中心原点的单位立方体表面的面积分，再计算A ??对此立方体的体积分，以验证散度定理。
1.5 计算矢量z y e x e x e
A z y x 22???-+= 沿(0,0)，(2,0)，(2,2)，(0,2)，(0,0)正方形闭合回路的线积分，再计算A ??对此回路所包围的表面积的积分，以验证斯托克斯定理。
1.6 f 为任意一个标量函数，求f ???。
1.7 A 为任意一个矢量函数，求()A ????。
1.8 证明：A f A f A f ??+?=?)(。
1.9 证明：A f A f A f ??+??=??)()()(。
1.10 证明：)()()(B A A B B A ???-???=???。
1.11 证明：A A A 2)(?-???=????。
1.12 ?ρ?ρ?ρρsin cos ?),,(32z e e
z A += ，试求A ??，A ??及A 2?。 1.13 θθθ?θ?θcos 1?sin 1?sin ?),,(2r
e r e r e r A r ++= ，试求A ??，A ??及A 2?。 1.14 ?ρ?ρsin ),,(z z
f =，试求f ?及f 2?。
1.15 2sin ),,(r r f θ?θ=，试求f ?及f 2?。
1.16 求??S
r S e d )sin 3?(θ，S 为球心位于原点，半径为5的球面。 1.17 矢量??θ23cos 1?),,(r
e r A r = ，21< 【专题】麦克斯韦方程 1 在直角坐标系中，试将微分形式的麦克斯韦方程写成8个标量方程。 2 试证明：任意矢量E 在进行旋度运算后再进行散度运算，其结果恒为零，即 ? ? (? ? E ) = 0。 3 试由微分形式麦克斯韦方程组，导出电流连续性方程t ??- =??ρJ 。 4 参看4题图，分界面上方和下方两种媒质的介电常数分别为 ε1和 ε2，分界面两侧电场强度矢量E 与单位法向矢量n 21之间的夹角分别是 θ1和 θ2。假设两种媒质分界面上的电荷面密度 ρS = 0，试证 明： 2 121tan tan εεθθ= 上式称为电场E 的折射定律。 5 参看4题图，分界面上方和下方两种媒 质的磁导率分别为 μ1和 μ2，假设两种媒质的分界面上的表面电流密度矢量J S = 0，把题图中的 电场强度矢量E 换成磁感应强度矢量B 。试证 明： 2 121tan tan μμθθ= 上式称为磁场B 的折射定律。若 μ1为铁磁媒质，μ2为非铁磁媒质，即 μ1 >> μ2，当 θ1 ≠ 90? 时，试问 θ2的近似值为何？请用文字叙述这一结果。 6 已知电场强度矢量的表达式为 E = i sin(ω t - β z ) + j 2cos(ω t - β z ) 通过微分形式的法拉第电磁感应定律 t ??-=??B E ，求磁感应强度矢量B (不必写出与时间t 无关的积分常数)。 7 一平板电容器由两块导电圆盘组成，圆盘的半径为R ，间距为d 。其间填充介质的介电常数为 ε 。如果电容器接有交流电源，已知流过导线的电流为I (t ) = I 0sin(ω t )。忽略边缘效应，求电容器中的电位移矢量D 。 8 在空气中，交变电场E = j A sin(ω t - β z )。试求：电位移矢量D ，磁感应强度矢量B 和磁场强度矢量H 。 4题图 第 2-3 章 静电场和恒定电场 2-1 参看图2-1，无限大导板上方点P (0, 0, h ) 处有一点电荷q 。试求：z > 0半无限大空间的电场强度矢量E 和电位移矢量D ，以及导板上的面电荷密度 ρS 和总电荷量q 。 图2-1 导体平面上方的点电荷及其镜像 2-2 如果将4块导板的电位分别改为：上板120 V ，左板40 V ，下板30 V ，右板90 V 。按下面步骤和要求用迭代法计算4个内节点处的电位值：(1) 列出联立方程；(2) 用塞德尔迭代法求解；(3) 计算最佳加速因子 α；(4) 用超松弛迭代法求解；(5) 比较两种迭代法的结果和收敛速度。两种迭代方法的迭代次数都取n = 4。 2-3 如果平板电容其中电荷分布的线密度为 ρ = ε0(1 + 4x 2)，其余条件相同，用矩量法(伽辽金法)求两导板之间的电位分布函数 ψ。选择基函数为 f n (x ) = x (1 - x n ) n = 1,2,3,… 2-4 如果在该问题中选择权函数为 x k R x w k R x w 6)( 2)(2 211-=??=-=??=和 上式中，R 是余数，由式(2-7-8)表示。矩量法中，通过这种方式来选择权函数，又称为最小二乘法。在其他已知条件均不变的情况下，用最小二乘法来求解两导板之间的电位分布函数 ψ。 2-5 通过直角坐标系试证明，对于任意的矢量A 都满足下面关系： (1) ? ? (?ψ) ≡ 0； (2) ? ? (? ? A ) ≡ 0 2-6 同轴线内、外半径分别为a 和b ，内外导体之间介质的介电常数为 ε，电导率为 σ。设在同轴线内外导体上施加的电压为U ab ，求内外导体之间的漏电 流密度J 。 2-7 求1/4垫圈两个弯曲面 ρ = a 和 ρ = b 之间的电阻。 2-8 参见2-8题图。某输电系统的接地体为 紧靠地面的半球。土壤的平均电导率为 σ = 10-2 S/m 。设有I = 500 A 的电流流入地内。 为了保证安全，需要划出一半径为a 的禁区。 如果人的正常步伐为b = 0.6 m ，且人能经受的 跨步电压为U = 200 V ，问这一安全半径a 应为 多大？ 2-9 参看图2-9，半径为a ，间距为D 的平行双线传输线，周围介质的介电常数为 ε，电导率为 σ。计算平行双线每单位长度的分布漏电导G 1。 图2-9 平行双线的等效线电荷 2-10 半径分别为a 和b 的两个同心球壳(a < b )之间是电导率为σ = σ0(1+k/r )的导电媒质，试求两球壳之间的电阻R ab 。再问此题中的电流位 ψ 是否满足拉普拉斯方程。 第4章 恒定磁场 3-1 通过直角坐标系试证明，对于任意的矢量A 都满足下面关系： ? ? (? ? A ) ≡ ?(? ? A )－?2 A 2-8题图 第5章 时变电磁场 5-1 通过直角坐标系验证矢量恒等式： ? ? (E ? H ) = H ? (? ? E ) - E ? (? ? H ) 5-2 根据下面复数形式的简谐场表达式，利用麦克斯韦方程求出其相应的电场或磁场表达式，并把复数形式改写成瞬时值形式。注意，在取实部之前应加上时间因子e j ωt 。 . 2 e )2j ( 3 2 e )j ( 2 2 e )2( 1j m 00000j 0000000j 0ε μηλμεωβεμηλ ωεμωηεμηλ ωεμωβ=π==-=+==π===+=+==π===+=+=--，，；，，；，，x z y kz y x kz y x E E E c k E H H c k E E E k j k j E j i j i H j i j i E )()( )( 5-3 将下面瞬时形式的简谐场表达式改写成复数形式，并利用麦克斯韦方程求出其相应的电场或磁场表达式。 2 )2cos(sin 2 4 2 )cos()cos(2 3 )sin()cos( 2 )cos()cos( 1.0 00000000 0000000εμηλεμωωθηλεμηλμεωβωβηε μημεωββωβωεμηεμωωηωηθ θθ=π==π+-===π===== =-+-=+===-+--=+=，，；，，；，，；，， k kr t r IL E t z E H x t E x t E E E k ky t E ky t E H H y z y x z e e E j j H k j k j E i k i k H )( )()()( 5-4 自由空间电流元的远区辐射场为 kr kr r l I H r l I E j j e sin 2j e sin 60j --==π==θλθλ???θθθe e H e e E ， 试求：(1) 写出波印亭矢量的瞬时值S ； (2) 写出复数波印亭矢量S C ； (3) 总的平均辐射功率P 。 5-5 在微波环境中，如果平均功率密度 |S av | < 10 mW/cm 2对人体是安全的。分别计算以电场强度E 和磁场强度H 表示的相应标准。已知E = η0H ，η0 = 120π Ω。 5-6 设自由空间一天线辐射的电场强度矢量为E = i A sin(ωt - kz ) 上式中00εμω=k ，是电磁波的相位常数，已知波阻抗0 00εμη=。 试求：(1) 将电场强度矢量E 改写成复数形式； (2) 通过麦克斯韦方程求磁场强度矢量H ； (3) 瞬时波印亭矢量S ； (4)复数波印亭矢量S C 。 5-7 空中交变电磁场的电场强度矢量只有x 分量 E x = A cos(ω t - kz ) + B sin(ω t + kz ) 试求：(1) 由麦克斯韦方程求出磁场强度矢量H ； (2) 瞬时波印亭矢量S ； (3) 复数波印亭矢量S C 。 5-8 将下列指数形式(复数形式)的场表达式变换成正、余弦形式(瞬时值形式)的场表达式，或者做相反的变换。注意，在取实部之前应加上时间因子e j ωt 。 (1) E = i E 0e j αe -j kz ； (2) E = i E 0cos(ωt - kz ) + j 2E 0cos(ωt - kz + π)； (3))(j 4j 0e e z k x k z x E +-π=j E 5-9 已知磁导率为 μ，介电常数为 ε 的均匀媒质中，电场强度矢量的表达式为 E = (i + j j)A e j(ω t - β z ) 上式中，μεωβ=，是电磁波的相位常数，已知波阻抗ε μη=。 试求：(1) 瞬时波印亭矢量S ，复数波印亭矢量S C 和平均波印亭矢量S av ； (2) 电场能量密度w e 和磁场能量密度w m 。 第6章 平面电磁波 6-1 一频率为f = 100 MHz 的均匀平面电磁波在简单媒质(μr = 1，εr = 4，σ = 0)中沿 + z 方向传播，电场强度矢量为E = i E x (z , t )，电场的振幅值为E 0 = 10-4 V/m 。当t = 0，z = 0.125 m 时，电场的瞬时值达到振幅值E 0 。试写出电场强度矢量E 和磁场强度矢量H 的瞬时表达式。 6-2 已知自由空间中电磁波的振幅为A ，极化方向为j ，圆频率为 ω，传播方向为(- z )，试写出该电磁波的电场强度矢量E 和磁场强度矢量H 。 6-3 试证明在色散媒质中相速v p 和群速v g 之间满足下面关系： λλββd d 2 d d 1p p g p p g v v v v v v -=+= )( )(： 上两式中，β 和 λ 分别是色散媒质中电磁波的相位常数和波长。 6-4 已知某色散媒质的色散关系为m k v 0p λ=， 其中 λ0是该波在真空中的波长，k ，m 是正实数，求群速v g 。 6-5 已知自由空间电磁波的电场强度矢量的表达式为 )(j 0e )j (z k t A -+=ωj i E 试求其相伴的磁场强度矢量H ，并指出电磁波的极化方式。 6-6 试判断E x = 2cos(ω t - βz )，E y = 3cos(ω t - βz + 90?) 是什么极化波，并写出E x 和E y 分量所满足的轨迹方程式。 6-7 试判断下列各波的极化状态(线极化应指出极化方向，圆极化应指出旋转方向)。 (1) E x = B sin(ω t + βz )， E y = A cos(ω t + βz + 90?) (2) E y = -A cos(ω t - βx )， E z = A cos(ω t - βx + 90?) (3) E z = B cos(ω t + βy - 270?)， E x = A cos(ω t + βy ) (4) E y = A e j(ωt + k x )， E z = A e j(ωt + k x + 90?) (5) )(j 0)(j 0e j ,e kz t y kz t x A H A H --== ωωηη 6-8 试证明： (1) 一个椭圆极化波可以分解为左旋和右旋的两个圆极化波； (2) 一个圆极化波可以由旋向相反的两个椭圆极化波叠加而成。 6-9 已知无限大均匀理想介质中，电场强度矢量的表达式为 E = (i 2 + j 2 - k j)e - j(x - y ) 试说明该波的极化状态，并计算它的波长 λ。 6-10 z = 0平面是无限大分界面，z < 0一侧为真空，z > 0一侧为相对磁导 率和相对介电常数分别为 μr = 1和 εr = 2.25的理想介质。圆频率为 ω 的线极化均匀平面电磁波从真空一侧向分界面垂直投射。已知z = 0分界面上，入射波的电场强度矢量为E i (x , y , 0, t ) = i E i x = i 300πcos(ω t ) (μV/m )。 试求：(1) 分界面两侧电磁波的相位常数k ，波长 λ，相速v p 和波阻抗 η ； (2) 分界面两侧入射波、反射波和传输波的电场强度矢量、磁场强度矢量表达式； (3) 验证分界面上满足电磁场边界条件和能量守恒定律。 6-11 把6-10已知条件中的入射波改为垂直入射面极化，即 E i (x , y , 0, t ) = j E i y = j 300πcos(ω t ) (μV/m )，按上面3个步骤重作一遍。 6-12 分别把前两题中得到的反射波和传输波在分界面上的表达式作为已知条件，重做3个步骤。 6-13 在什么条件下，两种无耗介质分界面上垂直入射的均匀平面电磁波反射系数和传输系数的大小相等？ 6-14 一右旋圆极化波从空气垂直入射到位于z = 0的理想导体板上，其电场强度矢量为 z k E z 0j 0i e )j ()(--=j i E 试求：(1) 确定入射波和反射波的极化状态； (2) 理想导体板上的感应面电流密度矢量J S ； (3) 写出空气中总的电场强度矢量E 的表达式。 6-15 参见题图，光学仪器中经常使用的等腰三角 形玻璃棱镜。玻璃的相对介电常数为 εr = 4，相对磁导 率为 μr = 1。试计算反射光功率流密度与入射光功率流 密度之比。 6-16 左旋圆极化波 z k A 0j i e )j (2 1-+=j i E 从空气垂直入射到无限大介质块上。介质的磁导率为 μ0，介电常数为9ε0。 试求：(1) 入射波的磁场强度矢量H i 表达式，反射波的电场强度矢量E r 和磁场强度矢量H r 表达式，传输波的电场强度矢量E t 和磁场强度矢量H t 表达式； (2) 分别计算入射波、反射波和传输波的功率流密度。 (3) 如果介质的磁导率为 μ0，介电常数为4ε0 ，入射波、反射波和传输波的平均功率流密度与例6-5-3是否相同？ 6-17 均匀平面电磁波由空气入射到z = 0的理想导体平面上，电场强度矢量为 E i (x , z ) = j 10e -j(6x + 8z ) (V/m ) 试求：(1) 波的频率f 和波长 λ，以及它的传播方向； (2) 入射波电场强度矢量E i 和磁场强度矢量H i 的瞬时值表达式； 6-15题图 (3) 确定斜入射波的入射角(传播方向的单位矢量或方向余弦)； (4) 反射波的电场强度矢量E r和磁场强度矢量H r的表达式； (5) 总的电场强度矢量E和磁场强度矢量H的表达式。 第7章 导行电磁波 7-1 已知矩形波导横截面的尺寸为a ? b = 2.850 cm ? 1.262 cm ，内部填充空气(μ0, ε0)。波导所传输信号的工作频率为f = 8 GHz ，求主模的截止频率f c (10) ，截止波长 λc (10)，波导波长 λg (10) 和波阻抗10H Z 。已知光速为c = 2.998 ? 108 m/s 。 7-2 已知矩形波导横截面的尺寸为a ? b = 2.286 cm ? 1.016 cm ，内部填充空气(μ0, ε0)。波导所传输信号的工作频率为f = 20 GHz 。试求矩形波导中能传输的波型模式。已知光速为c = 2.998 ? 108 m/s 。 7-3 已知矩形波导横截面的尺寸为a ? b ，填充空气(μ0, ε0)。 试写出：(1) TM 11模(E 11模)的场量表达式； (2) x = 0壁内表面上的电流密度矢量J S 。 7-4 已知矩形波导横截面的尺寸为a ? b ，填充空气(μ0, ε0)。 试写出：(1) TE 11模(H 11模)的场量表达式； (2) x = a 壁内表面上的电荷密度 ρS 。 7-5 有一空气填充的矩形波导，横截面的尺寸为a = 2.25 cm ，b = 1.00 cm ，工作于TE 10模(H 10模)状态，工作频率为f = 10 GHz 。在不发生击穿现象的情况下，矩形波导内所能通过的最大传输功率为何？ 7-6 矩形波导横截面的尺寸为a ? b = 2.3 cm ? 1.0 cm 。如果该波导分别以 λ0 = 5 cm ，λ0 = 4.7 cm ，λ0 = 4 cm ，λ0 = 3 cm 和 λ0 = 2 cm 等5种工作波长来工作。 试问： (1) 若波导填充空气，哪些工作波长的信号不能在波导中传输？哪些工作波长信号能以TE 10模(H 10模)单模传输？哪些工作波长的信号会出现多模传输？ (2) 若该波导填充 μr = 1，εr = 4的介质，哪些工作波长的信号能以TE 10模(H 10模)单模传输？哪些工作波长的信号多模传输？ 7-7 欲使工作频率为f = 1.5 GHz 的信号在横截面为a ? b = 5.0 cm ? 2.0 cm 的矩形波导中以TE 10模(H 10模)单模传输，试问该波导中所需要填充介质的相对磁导率 μr 和相对介电常数 εr 分别应为多少？ 7-8 矩形波导横截面的尺寸为a ? b = 7.0 cm ? 3.0 cm ，传输工作频率为f = 1.0 GHz 的信号。 试求：(1) 当波导内部填充空气时，信号能否以TE 10模(H 10模)单模传输？ (2) 当波导中填充 μr = 1，εr = 4的媒质时，信号能否在波导中以TE 10模(H 10模)单模传输？ (3) 当波导中填充 μr = 1，εr = 9的媒质时，波导中会出现哪几种工作模式？ (4) 当波导中填充 μr = 1，εr = 25的媒质时，波导中会出现哪几种工作
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