第三章习题及答案
3-1 已知系统脉冲响应如下，试求系统闭环传递函数Φ(s)。
t e t k 25.10125.0)(-=
解 Φ()()./(.)s L k t s ==+00125125
3-2 设某高阶系统可用下列一阶微分方程近似描述
T c t c t r t r t ??
+=+()()()()τ
其中，0<(T-τ)<1。试证系统的动态性能指标为 T T T t d ??
?
??????
??-+=τln 693.0
t T r =22. T T T t s ??
???
?
-+=)ln(
3τ 解 设单位阶跃输入s
s R 1)(= 当初始条件为0时有:
1
1
)()(++=Ts s s R s C τ 1
11
11)(+--
=
?
++=
∴
Ts T s s Ts s s C τ
τ C t h t T T
e t T
()()/==---1τ 1) 当 t t d = 时
h t T T
e t t
d ()./==---051τ
12=--T T e t T d τ/ ; T
t T T d
-??? ??-=-τln 2ln ?????
???? ??-+=∴
T T T t d τln 2ln
2) 求t r （即)(t c 从0.1到0.9所需时间) 当 T
t e T
T t h /219.0)(---
==τ; t T T T 201=--[ln()ln .]τ
当 T
t
e
T
T t h /111.0)(---==τ; t T T T 109=--[ln()ln .]τ 则 t t t T T r =-==21
09
01
22ln ... 3) 求 t s
T
t s s e
T
T t h /195.0)(---==τ ∴=--t T T T s [ln ln .]τ005=-+T T T
[ln ln ]τ20=+-T T T [ln
]3τ
3-3 一阶系统结构图如题3-3图所示。要求系统闭环增益2=ΦK ，调节时间4.0≤s t （s ），试确定参数21,K K 的值。
解 由结构图写出闭环系统传递函数
111)(212211211
+=+=+
=ΦK K s
K K K s K s
K K s K s
令闭环增益21
2
==
ΦK K ， 得：5.02=K 令调节时间4.03
32
1≤=
=K K T t s ，得：151≥K 。 3-4 在许多化学过程中，反应槽内的温度要保持恒定， 题3-4图（a ）和（b ）分别为开环和闭环温度控制系统结构图，两种系统正常的K 值为1。
（1） 若)(1)(t t r =，0)(=t n 两种系统从开始达到稳态温度值的63.2％各需多长时间？ （2） 当有阶跃扰动1.0)(=t n 时，求扰动对两种系统的温度的影响。
解 （1）对（a ）系统： 1
101
110)(+=
+=
s s K s G a ， 时间常数 10=T Θ 632.0)(=T h （a ）系统达到稳态温度值的63.2%需要10个单位时间；
对（a ）系统：1101
10101100
10110100
)(+=+=Φs s s b ， 时间常数 10110=
T Θ 632.0)(=T h （b ）系统达到稳态温度值的63.2%需要0.099个单位时间。
（2）对（a ）系统： 1)
()
()(==
s N s C s G n 1.0)(=t n 时，该扰动影响将一直保持。
对（b ）系统： 101101
101
1010011)
()
()(++=++
==
Φs s s s N s C s n 1.0)(=t n 时，最终扰动影响为001.0101
1
1.0≈?
。 3-5 一种测定直流电机传递函数的方法是给电枢加一定的电压，保持励磁电流不变，测出电机的稳态转速；另外要记录电动机从静止到速度为稳态值的50%或63.2%所需的时间，利用转速时间曲线（如题3-5图）和所测数据,并假设传递函数为
)
()()()(a s s K
s V s s G +=Θ=
可求得K 和a 的值。
若实测结果是：加10伏电压可得每分钟1200转的稳态转速，而达到该值50%的时间为1.2秒，试求电机传递函数。 [提示：注意
)()(s V s Ω=a s K +，其中dt
d t θ
ω=)(，单位是弧度/秒] 解 依题意有： 10)(=t v （伏）
ππ
ω4060
21200)(=?=∞ （弧度/秒） （1）
πωω20)(5.0)2.1(=∞= （弧度/秒） （2）
设系统传递函数 a
s K
s V s s G +=Ω=
)()()(0 应有
πω401010lim )()(lim )(0
00
==+??
=?=∞→→a
K a s K s s s V s G s s s （3）
[][]
at
e a K a s s L a K a s s K L s V s G L t -----=??????+-=??
??
??+=?=1101110)(10)()()(1101ω 由式（2），（3）
[][]
ππω20140110)2.1(2.12.1=-=-=
--a a e e a
K
得 5.012.1=--a
e
解出 5776.02
.15
.0ln =-=
a （4） 将式（4）代入式（3）得 2586.74==a K π
3-6 单位反馈系统的开环传递函数)
5(4
)(+=
s s s G ，求单位阶跃响应)(t h 和调节时间
t s 。
解：依题，系统闭环传递函数
)1)(1(4
)
4)(1(4
454)(2
12T s T s s s s s s ++=
++=++=Φ ???==25.0121T T
)4)(1(4
)()()(++=
Φ=s s s s R s s C =4
1210++++s C s C s C
1)
4)(1(4
lim
)()(lim 00
0=++=Φ=→→s s s R s s C s s
3
4
)4(4lim
)()()1(lim 0
1
1-=+=Φ+=→-→s s s R s s C s s
3
1
)1(4lim
)()()4(lim 0
4
2=+=Φ+=→-→s s s R s s C s s
t t e e t h 43
1
341)(--+-=
Θ 421
=T T ， ∴3.33.3111==???
? ??=T T T t t s s 。 3-7 设角速度指示随动系统结构图如题3-7图。若要
求系统单位阶跃响应无超调，且调节时间尽可能短，问开环增益K 应取何值，调节时间s t 是多少？
解 依题意应取 1=ξ，这时可设闭环极点为
02,11T -=λ。
写出系统闭环传递函数
K
s s K
s 101010)(2
++=Φ 闭环特征多项式
2
0022
02
1211010)(???
? ??++=???? ?
?+=++=T s T s T s K s s s D 比较系数有 ????
???=???
? ??=K T T 10110
2
2
00 联立求解得 ?
?
?==5.22
.00K T 因此有 59.075.40''==T t s 1''<
3-8 给定典型二阶系统的设计指标：超调量
σ%5≤%，调节时间 s t 3<（s ），峰值时间1
解 依题
σ%5≤%， ? )45(707.0?≤≥βξ；
35
.3
<=
n
s t ωξ，? 17.1>n ωξ；
n
p t ωξπ
21-=
1<，? n ωξ21-14.3>
综合以上条件可画出满足要求的特征根区域如图解3-8所示。
3-9 电子心律起博器心率控制系统结构图如题3-9图所示，其中模仿心脏的传递函数相当于一纯积分环节，要求：
（1） 若ξ=0.5对应最佳响应，问起博器增益K 应取多大？
（2） 若期望心速为60次/分钟，并突然接通起博器，问1秒钟后实际心速为多少？瞬时最
大心速多大？
解 依题，系统传递函数为
2
222205
.005.0105.0)(n
n n s s K s s K
s ωξωω++=+
+=Φ ???
?????==n n K
ωξω205.0105.0 令 5.0=ξ可解出 ???==2020
n
K ω
将 1=t （秒）代入二阶系统阶跃响应公式 ()
βωξξ
ξω+---
=-t e t h n t n 22
1sin 11)(
可得 000024.1)1(=h （次/秒）=00145.60（次/分）
5.0=ξ时，系统超调量 σ%=1
6.3% ，最大心速为
163.1163.01(=+=）p t h （次/秒）=78.69（次/分）
3-10 机器人控制系统结构图如题3-10图所示。试确定参数21,K K 值，使系统阶跃响应的峰值时间
5.0=p t （s ），超调量σ%2=%。
解 依题，系统传递函数为
22212121211
2.)1()
1()1(1)1()(n n n
s s K K s K K s K s s s K K s s K s ωξωω++=+++=+++
+=ΦΦ
由 ??
???=-=≤=--5.0102.0212n p o
o t e ωξπσξπξ 联立求解得
??
?==1078
.0n
ωξ 比较)(s Φ分母系数得
??
?
??=-===146.012100
1221K K K n n ξωω 3-11 某典型二阶系统的单位阶跃响应如题3-11图所示。试确定系统的闭环传递函数。
解 依题，系统闭环传递函数形式应为
2
2
22.)(n
n n
s s K s ωξωω++=ΦΦ 由阶跃响应曲线有：
21
)(lim )()(lim (0
==?
Φ=Φ=∞Φ→→K s
s s s R s s h s s ）
???
????
=-===-=--o o
o o n p e t 25225.221212ξξπσξωπ 联立求解得 ???==717.1404
.0n
ωξ，所以有
95
.239.19
.5717.1717.1404.02717.12)(2222++=+??+?=Φs s s s s
3-12 设单位反馈系统的开环传递函数为 )
12.0(5
.12)(+=
s s s G
试求系统在误差初条件1)0(,10)0(==e e &作用下的时间响应。
解 依题意，系统闭环传递函数为 5
.6255
.62)(1)()()()(2++=+==
Φs s s G s G s R s C s 当0)(=t r 时，系统微分方程为 0)(5.62)(5)(=+'+''t c t c t c 考虑初始条件，对微分方程进行拉氏变换
[]
[]0)(5.62)0()(5)0()0()(2=+-+'--s C c s C s c c s s C s
整理得 ()
())0()0(5)(5.6252
c c s s C s s
'++=++ （1）
对单位反馈系统有 )()()(t c t r t e -=， 所以
1
10)0()0()0(10
1000()0()0(-=-='-'='-=-=-=e r c e r c ）
将初始条件代入式（1）得 2
225.7)5.2(26
)5.2(105.6255110)(++++-=++--=
s s s s s s C 2
2225.7)5.2(5
.747.35.7)5.2()5.2(10
++-+++-=s s s
)8.705.7sin(6.105.7sin 47.35.7cos 10)(5.25.25.2?+-=--=---t e t e t e
t c t t t
3-13设题3-13图（a）所示系统的单位阶跃响应如题3-13图（b ）所示。试确定系统参数,
1
K
2
K和a。
解由系统阶跃响应曲线有
?
?
?
?
?
=
-
=
=
=
∞
o
o
o
o
p
t
h
3.
33
3
)3
4(
1.0
3
)
(
σ
系统闭环传递函数为
2
2
2
2
1
2
2
1
2
)
(
n
n
n
s
s
K
K
as
s
K
K
s
ω
ξω
ω
+
+
=
+
+
=
Φ（1）
由
?
?
?
?
?
=
=
=
-
=
-
-
o
o
o
o
n
p
e
t
3.
33
1.0
1
2
1
2
ξ
ξπ
σ
ω
ξ
π
联立求解得
?
?
?
=
=
28
.
33
33
.0
n
ω
ξ
由式（1）
?
?
?
=
=
=
=
22
2
1108
2
1
n
n
a
K
ξω
ω
另外3
lim
1
)
(
lim
)
(
2
1
2
2
1
=
=
+
+
=
?
Φ
=
∞
→
→
K
K
as
s
K
K
s
s
s
h
s
s
3-14 题3-14图是电压测量系统，输入电压
)(t
e
t
伏，输出位移)
(t
y厘米，放大器增益
10
=
K，丝杠每转螺距1毫米，电位计滑臂每移
动1厘米电压增量为0.4伏.当对电机加10伏阶
跃电压时（带负载）稳态转速为1000转/分钟，
达到该值63.2%需要0.5秒。画出系统方框图，
求出传递函数)(/)(s E s Y t ，并求系统单位阶跃响应的峰值时间p t 、超调量o o
σ、
调节时间s t
和稳态值
)(∞h 。
解 依题意可列出环节传递函数如下
比较点： )()()(s F s E s E t -= 伏 放大器：
10)
()
(==K s E s U a 电动机： 1
5.03515.060101000
1)()(+=+?=+=Ωs s s T K s U s m m a (转/秒/?伏)
丝杠：
1.0)
()
(1==ΘK s s Y (厘米?转) 电位器：
4.0)
()
(2==K s Y s F (伏?厘米) 画出系统结构图如图解3-14所示
系统传递函数为
3
42310
)()()(2+
+==Φs s s E s Y s t ???????===866.02232n n ωξω
∴ 44.512
''=-=
n
p t ωξπ
o o o o e 433.02
1==--ξξπ
σ
5.35
.3''==
n
s t ξω
5.21
)(lim )(0
=?
Φ=∞→s
s s h s 3-15 已知系统的特征方程，试判别系统的稳定性，并确定在右半s 平面根的个数及纯虚根。
（1）1011422)(2
3
4
5
+++++=s s s s s s D =0 （2）483224123)(2
3
4
5
+++++=s s s s s s D =0 （3）22)(4
5
--+=s s s s D =0
（4）0502548242)(2
3
4
5
=--+++=s s s s s s D
解（1）1011422)(2
3
4
5
+++++=s s s s s s D =0
Routh ： S 5 1 2 11
S 4 2 4 10 S 3 ε 6 S 2
εε124- 10
S 6 S 0 10
第一列元素变号两次，有2个正根。
（2）483224123)(2
3
4
5
+++++=s s s s s s D =0
Routh ： S 5 1 12 32
S 4 3 24 48
S 3
3122434?-= 32348
316?-= 0 S 2
424316
4
12?-?= 48 S 121644812
0?-?= 0 辅助方程 124802s +=,
S 24 辅助方程求导：24s=0 S 0 48
系统没有正根。对辅助方程求解，得到系统一对虚根 s j 122,=±。 （3）22)(4
5
--+=s s s s D =0
Routh ： S 5 1 0 -1
S 4 2 0 -2 辅助方程 0224=-s S 3 8 0 辅助方程求导 083
=s
S 2 ε -2 S ε16
S 0 -2
第一列元素变号一次，有1个正根；由辅助方程0224
=-s 可解出： ))()(1)(1(2224
j s j s s s s -+-+=-
))()(1)(1)(2(22)(4
5
j s j s s s s s s s s D -+-++=--+= （4）0502548242)(2
3
4
5
=--+++=s s s s s s D Routh ： S 5 1 24 -25
S 4 2 48 -50 辅助方程 05048224=-+s s S 3 8 96 辅助方程求导 09683
=+s s
S 2 24 -50 S 338/3
S 0 -50
第一列元素变号一次，有1个正根；由辅助方程0504822
4=-+s s 可解出： )5)(5)(1)(1(2504822
4
j s j s s s s s -+-+=-+
)5)(5)(1)(1)(2(502548242)(2345j s j s s s s s s s s s s D -+-++=--+++=
3-16 题3-16图是某垂直起降飞机的高度控制系统结构图，试确定使系统稳定的K 值范围。
解 由结构图，系统开环传递函数为：
)
4()
124()(232++++=s s s s s K s G
??
?==3
4
v K K k 系统型别开环增益
0244)(2
345=+++++=K Ks Ks s s s s D Routh ： S 5 1 4 2K S 4 1 4K K
S 3 -4(1-K) K 1
S 2 )
1(4)1615(K K K -- K 067.11516=>?
K
S )
1(41647322
K K K --+- 933.0536.0<
S 0 K 0>?K
∴使系统稳定的K 值范围是： 933.0536.0< 3-17 单位反馈系统的开环传递函数为 ) 5)(3()(++= s s s K s G 为使系统特征根的实部不大于-1，试确定开环增益的取值范围。 解 系统开环增益 15K K k =。特征方程为： 0158)(2 3 =+++=K s s s s D 做代换 1-'=s s 有： 0)8(25)1(15)1(8)1()(2323=-+'+'+'=+-'+-+-'='K s s s K s s s s D Routh ： S 3 1 2 S 2 5 K-8 S 5 18K - 18 K S 0 K-8 8>? K 使系统稳定的开环增益范围为： 15 1815158〈K K k =< 。 3-18 单位反馈系统的开环传递函数为 ) 12)(1() 1()(+++= s Ts s s K s G 试在满足 1,0>>K T 的条件下，确定使系统稳定的T 和K 的取值范围，并以T 和K 为坐标画出使系统稳定的参数区域图。 解 特征方程为： 0)1()2(2)(2 3 =+++++=K s K s T Ts s D Routh ： S 3 T 2 K +1 0>?T S 2 T +2 K 2->?T S T TK K +-+221 1 4 2-+ ? K 综合所得条件，当1>K 时，使系统稳定的参数取值 范围如图解3-18中阴影部所示。 3-19 题3-19图是核反应堆石墨棒位置控制闭环系统，其目的在于获得希望的辐射水 平，增益4.4就是石墨棒位置和辐射水平的变换系数，辐射传感器的时间常数为0.1秒，直流增益为1，设控制器传递函数1)(=s G c 。 （1） 求使系统稳定的功率放大器增益K 的取值范围； （2） 设20=K ，传感器的传递函数1 1 )(+= s s H τ（τ不一定是0.1），求使系统稳定的τ的取值范围。 解 （1）当控制器传递函数1)(=s G c 时 K s s s s K s R s C s 64.2)11.0)(6() 11.0(64.2)()()(++++== Φ 04.2660164.26)10)(6()(2 3 =+++=+++=K s s s K s s s s D 4.2636.360 164.269604.2616601:0 1 23 >→<→-K K s K K s K s s Routh ∴ 36.360< （2）20=K ，1 1 )(+=s s H τ时 8 .52)1)(6() 1(8.52)()()(++++==Φs s s s s R s C s ττ 08.526)16(8.52)1)(6()(23=++++=+++=s s s s s s s D τττ 8 .52357 .00 1 68.166167.08.52166:0 1 23 s s s s Routh <→+-->→+ττττττ ∴ 357.00<<τ 3-20 题3-20图是船舶横摇镇定系统结构图，引入内环速度反馈是为了增加船只的阻尼。 （1） 求海浪扰动力矩对船只倾斜角的传递函数 ) () (s M s d Θ； （2） 为保证d M 为单位阶跃时倾斜角θ的值不超过0.1，且系统的阻尼比为0.5，求a K 、 1K 和g K 应满足的方程； （3） 取a K =1时，确定满足（2）中指标的1K 和g K 值。 解 （1） )5.01()5.02.0(5.01 2.05.012.05.0112.05.0)()(122 122a g a a g a d K K s K K s s s K K s s s K K s s s M s ++++=++++++++=Θ （2）令： 1.05.015 .0)()(1lim )()()(lim )(100 ≤+=Θ??=Θ? =∞→→a d s d d s K K s M s s s s M s s M s θ 得 81≥a K K 。 由 )()(s M s d Θ 有： ?? ? ??=+=+=5.025.02.05.011n a g n K K K K ωξω， 可得 a g a K K K K 15.0125.02.0+=+ （3）1=a K 时，81≥K ，525.02.0≥+g K ，可解出 072.4≥g K 。 3-21 温度计的传递函数为 1 1 +Ts ，用其测量容器内的水温，1min 才能显示出该温度的98%的数值。若加热容器使水温按10oC/min 的速度匀速上升，问温度计的稳态指示误差有多大？ 解法一 依题意，温度计闭环传递函数 = Φ)(s 1 1 +Ts 由一阶系统阶跃响应特性可知：o o T h 98)4(=，因此有 min 14=T ，得出 min 25.0=T 。 视温度计为单位反馈系统，则开环传递函数为 Ts s s s G 1 )(1)()(=Φ-Φ= ? ? ?==11v T K 用静态误差系数法，当t t r ?=10)( 时，C T K e ss ?=== 5.21010 。 解法二 依题意，系统误差定义为 )()()(t c t r t e -=，应有 1 111)()(1)()()(+=+-=-== ΦTs Ts Ts s R s C s R s E s e C T s Ts Ts s s R s s e s e s ss ?==?+=Φ=→→5.21010 1lim )()(lim 2 3-22 系统结构图如题3-22图所示。试求局部反馈加入前后系统的静态位置误差系数、静态速度误差系数和静态加速度误差系数。 解 局部反馈加入前，系统开环传递函数为 ) 1() 12(10)(2 ++= s s s s G ∞==→)(lim 0 s sG K s v 10)(lim 20 ==→s G s K s a 局部反馈加入后，系统开环传递函数为 )20()12(1012011(10 12)(2 +++=++ +?+=s s s s s s s s s s G ） （） ∞==→)(lim 0 s G K s p 5.0)(lim 0 ==→s sG K s v 0)(lim 20 ==→s G s K s a 3-23 已知单位反馈系统的开环传递函数为 ) 22)(4() 1(7)(2++++= s s s s s s G 试分别求出当输入信号t t t r ),(1)(=和2 t 时系统的稳态误差[)()()(t c t r t e -=]。 ∞ ==→)(lim 0 s G K s p 解 )22)( 4() 1(7)(2 ++++= s s s s s s G ???==1 87v K 由静态误差系数法 )(1)(t t r =时， 0=ss e t t r =)(时， 14.17 8 ===K A e ss 2)(t t r =时， ∞=ss e 3-24 系统结构图如题3-24图所示。已知)(1)()()(21t t n t n t r ===，试分别计算 )()(),(21t n t n t r 和作用时的稳态误差，并说明积分环节设置位置对减小输入和干扰作用下的 稳态误差的影响。 解 ) 1)(1()(21++= s T s T s K s G ? ??=1v K )(1)(t t r =时， 0=ssr e ； K s T s T s s T s T s T s K s T s s N s E s en ++++-=+++ +- ==Φ)1)(1()1() 1)(1(1)1(1 )() ()(21121211 )(1)(1t t n =时， K s s s s N s s e en s en s ssn 11) (lim )()(lim 1110 10 -=Φ=Φ=→→ K s T s T s s T s s T s T s K s T s N s E s en ++++-=+++ +- ==Φ)1)(1()1() 1)(1(1)1(1 )() ()(21121222 )(1)(2t t n =时， 01 ) (lim )()(lim 2120 20 =Φ=Φ=→→s s s s N s s e en s en s ssn 在反馈比较点到干扰作用点之间的前向通道中设置积分环节，可以同时减小由输入和干扰因引起的稳态误差。 3-25 系统结构图如题3-25图所示，要使系统对)(t r 而言是II 型的，试确定参数0K 和 τ的值。 解 )1( )1)(1() 1() 1)(1()1(1)1)(1()1()(02121021+-+++= +++- +++=s K K s T s T s K s T s T s K K s T s T s K s G ττττ ) 1()() 1(0021221K K s K K T T s T T s K -+-+++= ττ 依题意应有：???=-+=-00 1021 0τK K T T K K 联立求解得 ? ? ?+==2101T T K K τ 此时系统开环传递函数为 2 2121)()(s T T K s T T K s G ++= 考虑系统的稳定性，系统特征方程为 0)()(21221=+++=K s T T K s T T s D 当 1T ，2T ，0>K 时，系统稳定。 3-26 宇航员机动控制系统结构图如题3-26图所示，其中控制器可以用增益2K 来表示。 宇航员及其装备的总转动惯量2 25m kg I ?=。 （1） 当输入为斜坡信号t t r =)(（m ）时，试确定3K 的取值，使系统稳态误差ss e 1 =（cm ）； （2） 采用（1）中的3K 值，试确定21,K K 的取值，使系统超调量σ%限制在10%以内。 解 （1）系统开环传递函数为 ) () ()()()(3212 132121I K K K s s I K K K K K s I s K K s E s C s G +=+== ?????== 1 13v K K t t r =)(时，令 01.01 3≤== K K e ss ， 可取 01.03=K 。 （2）系统闭环传递函数为 I K K s I K K K s I K K s R s C s 2 132122 1) ()()(++==Φ ??? ??? ?==I K K K I K K n 2213 21ξω 由 o o o o e 102 1≤=--ξξπ σ ，可解出 592.0≥ξ。取 6.0=ξ进行设计。 将25=I ，01.03=K 代入6.022 13==I K K K ξ表达式，可得 36000021≥K K 3-27 大型天线伺服系统结构图如题3-27图所示，其中ξ=0.707，n ω=15，τ=0.15(s)。 （1） 当干扰)(110)(t t n ?=，输入0)(=t r 时，为保证系统的稳态误差小于0.01o，试确定 a k 的取值； （2） 当系统开环工作（a k =0），且输入0)(=t r 时，确定由干扰)(110)(t t n ?=引起的系 统响应稳态值。
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