)(<''x f )(a x >，则方程0)(=x f 在()+∞,a 内( )
A.没有实根
B.有两个实根
C.有无穷多个实根
D.有且仅有一个实根
5．已知)(x f 在0=x 处某邻域内连续，2cos 1)
(lim 0
=-→x
x f x ，则在0=x 处)(x f ( )。
A.不可导
B.可导且2)0('=f
C.取得极大值
D.取得极小值
6．设函数)(x f 在区间[)+∞,1内二阶可导，且满足条件0)1()1(='=f f ，1>x 时0)(<''x f ，则x x f x g )()(=在[)+∞,1内( )
A ．必存在一点ε，使0)(=εf
B ．必存在一点ε，使0)(='εf
C ．单调减少 D. 单调增加 7．设)(x f 有二阶连续导数，且0)0(='f ，1)
(lim 0
=''→x
x f x ，
则( )
A ．)0(f 是)(x f 的极大值 B.)0(f 是)(x f 的极小值 C ．())0(,0f 是曲线)(x f y =的拐点
D ．)0(f 不是)(x f 的极值，())0(,0f 也不是曲线)(x f y =的拐点
8．若)(x f 和)(x g 在0
x x =处都取得极小值，则函数
)
()()(x g x f x F +=在0x x =处( )
A ．必取得极小值 B.必取得极大值 C.不可能取得极值 D.是否取得极值不确定 9．设)(x y y =由方程0
3223
=+-by y ax x
确定，且1)1(=y ，1
=x 是驻点，则( )
A.3==b a
B.25,23==b a
C.21
,23==b a D.3,2-=-=b a 10．曲线2
2
)3()1(--=x x y 的拐点的个数为( )
A.0
B.1
C.2
D.3
11．
)
(),(x g x f 是大于0的可导函数，且0
)(')()()('<-x g x f x g x f ，则当b x a <<时有( )
A ．)()()()(x g b f b g x f > B.)()()()(x g a f a g x f > C.)()()()(b g b f x g x f > D.)()()()(a g a f x g x f > 12．曲线()()
211
arctan
21
2
+-++=x x x x e y x
的渐近线有( )
A ．1条 B.2条 C.3条 D.4条 13．q
x x
x f ++=2)(3
的O 点的个数为( )
A ．1 B.2 C.3 D.个数与q 有关 14．曲线
???
???
?+==111t b t x 则曲线( )
A ．只有垂直渐近线 B.只有水平渐近线 C ．无渐近线 D.有一条水平渐近线和一条垂直渐近线
15．设)(x f y =为0
sin =-'+''x
e
y y 的解，且0)(0
='x f ，则)(x f 有
( )
A ．0x 的某个邻域内单调增加
B ．0x 的某个邻域内单调减少
C ．0x 处取得极小值
D ．0x 处取得极大值 16. 罗尔定理中的三个条件;
)
(x f 在],[b a 上连续,在
)
,(b a 内可导,且)()(b f a f =是)(x f 在),(b a 内至少存在一点
ξ,使得0)(='ξf 成立的(
).
)
(A 必要条件
)
(B 充分条件
)
(C 充要条
件 )
(D 既非充分也非必要
17. 下列函数在],1[e 上满足拉格朗日中值定理条件的是( ). )(A );ln(ln x
)
(B
x
ln ;
)
(C
x
ln 1;
)
(D
)
2ln(x -;
18. 若)(x f 在开区间),(b a 内可导,且2
1
,x x 是),(b a 内任意两点,则至少存在一点ξ使得下式成立( ). )(A )()()()(2112ξf x x x f x f '-=- ),(b a ∈ξ; )(B
)()()()(2
1
21ξf x x x f x f '-=- 2
1
x x <<ξ
)
(C )()()()(1221ξf x x x f x f '-=- 21x x <<ξ )
(D
)
()()()(1212ξf x x x f x f '-=-
2
1x x <<ξ
19. 设)(x f y =是),(b a 内的可导函数,x x x ?+,是),(b a 内的任意两点,则( ) .
)(A
x
x f y ?'=?)(
)(B 在x x x ?+,之间恰有一个ξ,使得x f y ?'=?)(ξ )
(C 在x x x ?+,之间至少存在一点ξ,使得x f y ?'=?)(ξ )
(D 对于x 与x x ?+之间的任一点ξ,均有x f y ?'=?)(ξ
20.若)(x f 在开区间),(b a 内可导,且对),(b a 内任意两点2
1,x x 恒有2
1
2
1
2
)()()(x x x f x f -≤-,则必有( ). )(A 0)(≠'x f )(B
x
x f =')( )
(C
x
x f =)(
)
(D
c
x f =)(
(常数)
21. 已知函数)4)(3)(2)(1()(----=x x x x x f ,则方程)(x f '0=有( ).
)(A 分别位于区间)4,3(),3,2(),2,1(内的三个根; )(B 四个根,它们分别为4
,3,2,14321
====x x x x
;
)
(C 四个根,分别位于);4,3(),3,2(),2,1(),1,0( )
(D 分别位于区间)4,1(),3,1(),2,1(内的三个根;
22. 若)(x f 为可导函数,ξ为开区间),(b a 内一定点,而且有
)()(,0)(≥'->x f x f ξξ,则在闭区间],[b a 上必总有
( ).
)(A 0)()
(B
)(≤x f
)
(C
)(≥x f
)
(D
)(>x f
23. 若0
32
<-b a
,则方程0
)(23
=+++=c bx ax x
x f ( ).
)
(A 无实根 )
(B 有唯一实根 )
(C 有
三个实根 )
(D 有重实根
24. 若)
(x f 在区间]
,[+∞a 上二次可微,且
,0)(,0)(<'>=a f A a f 0
)(≤''a f (a x >),则方程0)(=x f 在],[+∞a 上
( ).
)
(A 没有实根
)
(B 有重实根
)
(C 有无
穷多实根 )(D 有且仅有一个实根
25. 设)
()(lim
x g x f x x →为未定型, 则)
()(lim 0
x g x f x x ''→存在是)
()(lim
x g x f x x →也
存在的( ).
)
(A 必要条件
)
(B 充分条件
)
(C 充要条件
)
(D 既非充分也非必要条件
26. 指出曲线2
3x x y -=的渐近线( ).
)(A 没有水平渐近线,也没有斜渐近线; )(B
3
=x 为垂直渐近线,无水平渐近线;
)
(C 既有垂直渐近线,又有水平渐近线; )
(D 只有水平渐近线.
27 曲线)
2)(1(1
arctan
212
+-++=x x x x e
y x
的渐近线有( ).
)
(A 1条 ; )
(B 2条 ; )
(C 3条 ;
)
(D 4条 ;
28． 函数x x a x f 2cos 21cos )(-=在3
π
=x 取得极值，则=a （ ）。
)
(A 0 ； )
(B
2
1 ；
)
(C 1 ；
)
(D 2 。
29． 下列曲线集邮水平渐近线，又有垂直渐近线的是（ ）。
)
(A x
x x
x f +=3
2sin )( ； )
(B
1
3)(2-+=
x x x f ；
)
(C
)
3ln()(x
e
x f -= ；
)
(D
2
)(x
xe x f -=。
30．
x
x x
-→111
lim =（ ）。
)
(A 1 ； )
(B
1
-e ；
)
(C e ；
)
(D ∞ 。
三、计算题
1. 试讨论下列函数在指定区间内是否存在一点ξ使得f ′(ξ)=0： （1）f(x)=
???
?
?
=≤<0;
x 0,,π1x ,0x 1xsin
（2）f(x)=|x|, —|≤x ≤|. 2. 求下列不定式极根: (1)
x
sin 1
e lim
x 0-→x ; (2)
x
cos 2sinx
-1lim 6
x
x →
;
(3) 1-cosx x -x)1n(1lim
0+→x ; (4)
sinx
-x x
-tgx lim
0→x ;
(5)
5
sec 6
-tgx lim 2
+→
x x
x ; (6)
)1
1x 1(lim 0--→x x e ;
(7) sinx
0)
tgx (lim +
→x ; (8) x
-111
lim x
x →;
(9)
x
12)
1(lim x x ++∞
→; (10) x
x x ln sin lim 0+
→;
(11)
)sin 1x 1(lim 220x x -→; (12)
2
1
0)x
tgx (lim x x →.
3. 求下列不定式极限:
(1)2
sin
1)1cos(ln lim 1
x x x π--→;
(2)x 2arctgx)ln (πlim x -+∞
→;
(3) x
x x sin 0
lim +→ (4) x
tg x x tgx 24
)(lim →
(5) x
x x x x 1)1ln(lim 2)1(0-++→
(6) )1(lim 0x
ctgx x -→; (7) x e x x
x -+→1
0)1(lim
;
(8)
x
x ln 1)
arctgx 2
(
lim -+∞
→π
.
4. 求下列函数在提定点处带拉格朗日型余项的泰勒公式:
(1) f(x)=x 3+4x 2+5,在x=1处;
(2) f(x)=,11
x
+在x=0处; (3) f(x)=cosx 的马克林公式.
5. 求下列函数带皮亚诺型余项的马克劳林公式：
（1）f(x)=arctgx 到含x 5的项； （2）f(x)=tgx 到含x 5的项. 6. 求下列极限: (1)
?????
?+-+-∞→→)11ln(lim )2(;)1(sin lim 230x x x x x x x e x x x ;
(3)ctgx)x
1(x 1lim 0
x -→. 7. 估计下列近似公式的绝对误差: (1)21
||,6sin 3≤
-≈x x x x 当;
(2)
,
8
2112
x x x -+≈+当x ∈[0,1].
8. 计算: (1)数e 准确到10-9; (2)lg11准确到10-5.
1. 确定下列函数的单调区间:
(1) f(x)=3x-x 3; (2) f(x)=2x 2-lnx; (3) f(x)=
2
2x
x -; (4) f(x)=
x
x 12-.
9. 求下列函数的极值.
(1) f(x)=2x 3-x 4; (2) f(x)=2
12x
x
+; (3)f(x)=
x nx)(|2
; (4) f(x)=arctgx-2
1ln(1+x 2
). 10. 求下列函数在给定区间上的最大值与最小
值:
(1) y=x 5-5x 4+5x 3+1,[-1,2]; (2) y=2tgx-tg 2x, [0,2π]; (3) y=x lnx, (0,+∞).
11. 把长为1的线段截为两段, 问怎样截法能使以这两段线为边所组成的矩形的面积为最大? 12. 一个无盖的圆柱形容器, 当给定体积为V 时, 要使容器的表面积为最小, 问底的半径与容器的高的比例应该怎样?
13. 设用某仪器进行测量时,读得n 次实验数据为a 1,a 2,…, a n .问以怎样的数值x 表达所要测量的真值，才能使它与这n 个数之差的平方和为最小？
14. 求下列函数的极值:
(1) f(x)=|x(x 2
-1)|; (2) f(x)=1
)
1(242+-+x x x x ; (3)
f(x)=(x-1)2(x+1)3.
15. 设f(x)=alnx+bx 2+x 在x 1=1,x 2=2处都取得极值;试定出a 与b 的值;并问这时f 在x 1与x 2是取得极大值还是极小值?
16. 求正数a,使它与其倒数之和为最小. 17. 要把货物从运河边上A 城运往与运河相距
为BC=a千米的B城(见图7-1).轮船运费的单价是α元/千米.火车运费的单价是β元/千米(β>α),试求运河边上的一点M,修建铁路MB,使总运费最省.
18. 确定下列函数的凸性区间与拐点:
1;
(1) y=2x3-3x2-36x+25; (2) y=x+
x
1; (4) y=ln(x2+1); (3) y=x2+
x
19. 问a和b为何值时,点(1,3)为曲线y=ax3+bx3的拐点?
四、证明题
1. 证明：
（1）方程x3—3x+c=0（这里C为常数）在区间[0，1]内不可能有两个不同的实根；
（2）方程x n+px+q=0(n为自然数，p，q为实数)当n为偶数时至多有两个实根；当n为奇数时至多有三个实根。
2. 证明：（1）若函数f在[a，b]上可导，且f'(x)≥m，则f(b)≥f(a)+m(b-a);
(2)若函数f在[a,b]上可导，且|f'(x)|≤M，则|f(b)-f(a)|≤M(b-a)；
（3）对任意实数x1,x2,都有|sinx1-sinx2|≤
|x 1-x 2|.
3. 应用拉格朗日中值定理证明下列不等式：
（1）a
a
b a b n b a b -<
<-1，其中01h h +0.
4. 设函数f 在[a,b]上可导。证明：存在ξ∈（a,b ），使得
2ξ[f(b)-f(a)]=(b 2-a 2)f '(ξ).
5. 设函数在点a 具有连续的二阶导数。证明：
)('')
(2)()(2
lim a f h
a f h a f h a f h --++→.
6. 试讨论函数f(x)=x 2,g(x)=x 3在闭区间[-1，1]上能否应用柯西中值定理得到相应的结论，为什么？
7. 设0<α<β<2
π，试证明存在θ∈(a,b)，使得 ctg
a
a =--cos cos sin sin ββ
θ.
8. 设h>0，函数f 在[a-h,a+h]上可导。证明：
（1）)(f')(f'h h)
f(a h)f(a h a h a θθ--+=--+，θ∈（0，1）； （2）)('f )('f h
h)f(a f(a)h)f(a h a h a θθ--+=-+-+，θ∈（0，1）. 9. 以S(x)记由（a,f(a)）,(b,f(b)),(x,f(x))三点组成
的三角形面积，试对S(x)应用罗尔中值定理证明拉格朗日中值定理。
10. 若函数f, g 和h 在[a,b]上连续，在（a,b ）内可导，证明存在实数ξ∈(a,b)，使得
)
(h' )(g' )(f'h(b) g(b) f(b)h(a) g(a) f(a)ξξ ξ=0.
再从这个结果导出拉格朗日中值定理和柯西中值定理。
11. 设f 为[a,b]上二阶可导函数，且f(a)=f(b)=0,并存在一点c ∈（a,b ）使得f(c)>0.证明至少存在一点ξ∈(a,b),使得f ''(ξ)<0.
12. 证明达布定理：若f 在[a,b]上可导，且f '(a)≠f '(b),k 为介于f '(a)与f '(b)之间的任一实数，则至少存在一点ξ∈(a,b)，使得f '(ξ)=k. 13. 设函数f 在（a,b ）内可导，且f ＇单调。证明f ＇在（a,b ）内连续。
14. 证明：设f 为n 阶可导函数，若方程f （x ）=0有n+1个相异实根，则方程f (n)(x)=0至少有一个实根。
15. 设p(x)为多项式，α为p(x)=0的r 重实根。证明 ：α必定是p ＇(x)=0的r-1重实根。 16. 证明：
（1）设f 在（a,+∞）上可导,若f(x)lim +∞
→x 和(x)f'lim +∞
→x 都
存在,则(x)f'lim +∞
→x =0;
(2)设f 在(a,+∞)上n 阶可导.若f(x)lim +∞
→x 和(x)
f
lim k
+∞
→x 都
存在,则
(x)
f lim k +∞
→x =0,(k=1,2,…,n)。
17. 设函数f 在点a 的某个邻域内具有连续的二阶导数,试应用罗比塔法则证明:
(a)'f'h
2f(a)-h)-f(a h)f(a lim 2
=++→h 18. 对函数f 在区间[0,x]上应用拉格朗日中值定理有
f(x)-f(0)=f ＇(θx)x,θ∈(0,1). 试证对下列函数都有2
1lim 0
=→θx ; (1) f(x)=ln(1+x); (2) f(x)=e x .
19. 设f(0)=0,f ＇在原点的某邻域内连续,且f ＇(0)=0.证明:
1
lim f(x)0
=+→x x .
20. 证明定理6.5中0g(x)lim 0,f(x)lim x x ==+∞
→+∞
→情形时的罗比塔法则:若
(i) 0)(lim ,0fx lim ==+∞
→+∞
→x x x
(ii) 存在M 0>0,使得f 与g 在(M0,+∞)内可导,且g ＇(x)≠0;
(iii) A
(x )g'(x )
f'lim (x )g'(x )f'lim
x x ==+∞→+∞→(A 为实数,也可为±∞或
∞),则
A
(x )g'(x )f'lim g(x )f(x )lim
x x ==+∞→+∞→
21. 证明:2
x 3e x f(x)-=为有界函数.
22. 应用函数的单调性证明下列不等式. (1) tgx>x-)3
π
(0,x ,3x 3∈; (2)
)2
π
(0,x x,sinx π2x ∈<<;
(3) 0
x ,x )
2(1x x x )n(1|2πx 2
2>+-<+<-
23. 设
?????=≠=0
x 0,0, x ,x
1
sin x f(x )24.
(1) 证明:x=0是函数f 的极小值点;
(2)说明在f 的极小值点x=0处是否满足极值的第一充分条件或第二充分条件.
24. 证明:设f(x)在(a,b)内可导,f(x)在x=b 连续,则当f '(x)≥0(a25. 证明:若函数f 在点x 0处有f '+(x 0)<0(>0),
f '
_(x 0)>0(<0),则x 0为f 的极大(小)值点.
26. 证明：若函数f,g 在区间[a,b]上可导,且
f '
(x)>g '(x), f(a)=g(a),则在(]b a ,内有f(x)>g(x).
27. 证明:,sinx
x
x tgx > ?
?
? ??∈2π0,x .
28. 证明:
(1) 若f 为凸函数,λ为非负实数,则λf 为凸函数;
(2) 若f 、g 均为凸函数，则f+g 为凸函数； (3)若f 为区间I 上凸函数,g 为J ?f(I)上凸的递增函数,则gof 为I 上凸函数.
29. 设f 为区间I 上严格凸函数.证明:若X 0∈I 为f 的极小值点,同x 0为f 在I 上唯一的极小值点. 30. 应用凸函数概念证明如下不等式: (1)对任意实数a,b,有)e (e 2
1e
b a
2
b
a +≤
+;
(2)对任何非负实数a,b, 有
2arctg ??
?
?
?+2
b a ≥arctga+arctgb. 31. 证明:若 f.g 均为区间I 上凸函数,则F(x)=max{f(x),g(x)}也是I 上凸函数. 32. 证明:
(1)f 为区间I 上凸函数的充要条件是对I 上任意三点x 1)f(x
x 1)f(x
x 1)f(x x 1Δ332211=≥0.
(2)f 为严格凸函数的充要条件是对任意x 10.
33. 应用詹禁不等式证明: (1) 设a i >0(i=1,2,…n)，有
n
a a a a a a a 1
a 1a 1n
n
21n n 21n
21+++≤
≤+++ΛΛΛ.
(2)设a i ,b i >0(I=1,2,…,n),有
81
)b (p 1)a (b a m 1i q i n
1
i p
n
1i i i ∑∑∑===≤，
其中P>0,q>0,q
1
p 1+=1.
五、考研复习题
1. 证明:若f(x)在有限开区间(a,b)内可导,且f(x)lim a x +
→ f(x)lim b x -
→=,则至少存在一点ξ∈a,b),使
f '
(ξ)=0. 2. 证明:若x>0,则
(1)
)
(211x x x x θ+=
-+,其中2
1
)(41≤≤x θ; (2)2
1
)(lim ,41)(lim 0
==+∞
→→x x x x θθ. 3. 设函数f 在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,且ab>0.证明存在ξ∈(a,b),使得
华东师大数学分析习题解答1
《数学分析选论》习题解答 第 一 章 实 数 理 论 １．把§1.3例4改为关于下确界的相应命题，并加以证明． 证 设数集S 有下确界，且S S ?=ξinf ，试证： （１）存在数列ξ=?∞ →n n n a S a lim ,}{使； （２）存在严格递减数列ξ=?∞ →n n n a S a lim ,}{使． 证明如下： （１） 据假设，ξ>∈?a S a 有,；且ε+ξ<'<ξ∈'?>ε?a S a 使得,,0．现依 次取,,2,1,1 Λ== εn n n 相应地S a n ∈?,使得 Λ,2,1,=ε+ξ<<ξn a n n ． 因)(0∞→→εn n ，由迫敛性易知ξ=∞ →n n a lim . （２） 为使上面得到的}{n a 是严格递减的，只要从2=n 起，改取 Λ,3,2,,1min 1=? ?? ???+ξ=ε-n a n n n ， 就能保证 Λ,3,2,)(11=>ε+ξ≥ξ-+ξ=--n a a a n n n n ． □ ２．证明§1.3例６的（ⅱ）． 证 设B A ,为非空有界数集，B A S ?=，试证： {}B A S inf ,inf m in inf =． 现证明如下． 由假设，B A S ?=显然也是非空有界数集，因而它的下确界存在．故对任何 B x A x S x ∈∈∈或有,，由此推知B x A x inf inf ≥≥或，从而又有 {}{}B A S B A x inf ,inf m in inf inf ,inf m in ≥?≥． 另一方面，对任何,A x ∈ 有S x ∈，于是有
S A S x inf inf inf ≥?≥； 同理又有S B inf inf ≥．由此推得 {}B A S inf ,inf m in inf ≤． 综上，证得结论 {}B A S inf ,inf m in inf =成立． □ ３．设B A ,为有界数集，且?≠?B A ．证明： （１）{}B A B A sup ,sup m in )sup(≤?； （２）{}B A B A inf ,inf m ax )(inf ≥?． 并举出等号不成立的例子． 证 这里只证（２），类似地可证（１）． 设B A inf ,inf =β=α．则应满足： β≥α≥∈∈?y x B y A x ,,,有． 于是，B A z ?∈?，必有 {}βα≥?? ?? β≥α≥,max z z z ， 这说明{}βα,max 是B A ?的一个下界．由于B A ?亦为有界数集，故其下确界存在，且因下确界为其最大下界，从而证得结论{}{}B A B A inf ,inf m ax inf ≥?成立． 上式中等号不成立的例子确实是存在的．例如：设 )4,3(,)5,3()1,0(,)4,2(=??==B A B A 则， 这时3)(inf ,0inf ,2inf =?==B A B A 而，故得 {}{}B A B A inf ,inf m ax inf >?． □ ４．设B A ,为非空有界数集．定义数集 {}B b A a b a c B A ∈∈+==+,， 证明： （１）B A B A sup sup )sup(+=+； （２）B A B A inf inf )(inf +=+．
数学分析课本(华师大三版)-习题及答案04
第四章 函数的连续性 习题 §1 连续性概念 1． 按定义证明下列函数在其定义域内连续： （1）()x x f 1 = ； （2） ()x x f = 2． 指出下列函数的间断点并说明其类型： （1）()x x x f 1+ =； （2）()x x x f sin =； （3）()[] x x f cos =； （4）()x x f sgn =； （5）()()x x f cos sgn =； （6）()?? ?-=为无理数； 为有理数， x x x x x f ,, （7）()()?? ? ? ??? +∞<<--≤≤--<<-∞+=x x x x x x x x f 1,11sin 11 7,7,71 3． 延拓下列函数，使其在R 上连续： （1）()2 8 3--=x x x f ； （2）()2cos 1x x x f -=； （3）()x x x f 1cos =. 4． 证明：若f 在点0x 连续，则f 与2f 也在点0x 连续。又问：若f 与2f 在I 上连续， 那么f 在I 上是否必连续？ 5． 设当0≠x 时()()x g x f ≡，而()()00g f ≠。证明：f 与g 两者中至多有一个在0 =x 连续 6． 设f 为区间I 上的单调函数。证明：若I x ∈0为f 的间断点，则0x 必是f 的第一类间 断点 7． 设f 只有可去间断点，定义()()y f x g x y →=lim ，证明：g 为连续函数 8． 设f 为R 上的单调函数，定义()()0+=x f x g ，证明：g 在R 上每一点都右连续 9． 举出定义在[]1,0上分别符合下述要求的函数： （1）只在 41,31,21三点不连续的函数； （2）只在4 1 ,31,21三点连续的函数；
数学分析教案_(华东师大版)上册全集_1-10章
第一章实数集与函数 导言数学分析课程简介( 2 学时) 一、数学分析(mathematical analysis)简介: 1.背景: 从切线、面积、计算 sin、实数定义等问题引入. 32 2.极限( limit ) ——变量数学的基本运算： 3.数学分析的基本内容：数学分析以极限为基本思想和基本运算研究变实值函数.主要研究微分(differential)和积分(integration)两种特殊的极限运算,利用这两种运算从微观和宏观两个方面研究函数, 并依据这些运算引进并研究一些非初等函数. 数学分析基本上是连续函数的微积分理论. 微积运算是高等数学的基本运算. 数学分析与微积分(calculus)的区别. 二、数学分析的形成过程： 1.孕育于古希腊时期：在我国，很早就有极限思想. 纪元前三世纪, Archimedes就有了积分思想. 2.十七世纪以前是一个漫长的酝酿时期,是微积分思想的发展、成果的积累时期. 3.十七世纪下半叶到十九世纪上半叶——微积分的创建时期. 4.十九世纪上半叶到二十世纪上半叶——分析学理论的完善和重建时期：
三、数学分析课的特点: 逻辑性很强, 很细致, 很深刻; 先难后易, 是说开头四章有一定的难度, 倘能努力学懂前四章(或前四章的), 后面的学习就会容易一些; 只要在课堂上专心听讲, 一般是可以听得懂的, 但即便能听懂, 习题还是难以顺利完成. 这是因为数学分析技巧性很强, 只了解基本的理论和方法, 不辅以相应的技巧, 是很难顺利应用理论和方法的. 论证训练是数学分析课基本的,也是重要的内容之一, 也是最难的内容之一. 一般懂得了证明后, 能把证明准确、严密、简练地用数学的语言和符号书写出来，似乎是更难的一件事. 因此, 理解证明的思维方式, 学习基本的证明方法, 掌握叙述和书写证明的一般语言和格式, 是数学分析教学贯穿始终的一项任务. 有鉴于此, 建议的学习方法是: 预习, 课堂上认真听讲, 必须记笔记, 但要注意以听为主, 力争在课堂上能听懂七、八成. 课后不要急于完成作业, 先认真整理笔记, 补充课堂讲授中太简或跳过的推导, 阅读教科书, 学习证明或推导的叙述和书写. 基本掌握了课堂教学内容后, 再去做作业. 在学习中, 要养成多想问题的习惯. 四、课堂讲授方法: 1.关于教材及参考书:这是大学与中学教学不同的地方, 本课程主要从以下教科书中取材: [1]华东师范大学数学系编，数学分析，高等教育出版社，2001； [2]刘玉琏傅沛仁编，数学分析讲义，高等教育出版社，1992； [3]谢惠民，恽自求等数学分析习题课讲义，高等教育出版社，2003；
数学分析华东师大反常积分
数学分析华东师大反常 积分 SANY标准化小组 #QS8QHH-HHGX8Q8-GNHHJ8-HHMHGN#
第十一章反常积分 §1 反常积分概念 一问题提出 在讨论定积分时有两个最基本的限制: 积分区间的有穷性和被积函数的有界性.但在很多实际问题中往往需要突破这些限制, 考虑无穷区间上的“积分”, 或是无界函数的“积分”, 这便是本章的主题. 例1 ( 第二宇宙速度问题) 在地球表面垂直发射火箭( 图 11 - 1 ) , 要使火箭克服地球引力无限远离地球, 试问初速度v0 至少要多大设地球半径为R, 火箭质量为m, 地面上的重力加速度为 g .按万有引力定律,在距地心x( ≥R) 处火箭所受的引力为 mg R2 F = . x2 于是火箭从地面上升到距离地心为r ( > R) 处需作的功为
r mg R ∫ ∫ 2 ∫ d x = m g R 2 1 - 1 .R x 2 R r 当 r → + ∞ 时 , 其 极限 mg R 就是 火箭 无限 远 离地 球 需作 的 功 .我们很自然地会把这极限写作上限为 + ∞的“ 积分”: 图 11 - 1 + ∞ mg R 2 d x = lim r mgR 2 R x 2 r → + ∞ R d x = m g R . x 2 最后 , 由机械能守恒定律可求得初速度 v 0 至少应使 1 2 2 mv 0 = mg R . 用 g = 9 .81 ( m 6s /2 ) , R = 6 .371× 106 ( m ) 代入 , 便得 v 0 = 2 g R ≈ 11 .2( k m 6s /) . 例 2 圆 柱形桶 的内壁高 为 h , 内半 径为 R , 桶底有 一半径为 r 的小孔 ( 图 11 - 2) .试问从盛满水开始打开小孔直至流完桶中的水 , 共需多少时间
数学分析课本(华师大三版)-习题及答案第二十二章
第二十二章 曲面积分 一、证明题 1.证明:由曲面S 所包围的立体V 的体积等于 V= ()??+β+αS ds r cos z cos y cos x 31其中αcos ,βcos , cpsr 为曲面S 的外法线方向余弦. 2.若S 为封闭曲面,L 为任何固定方向,则 ()??S ds L ,n cos =0 其中n 为曲面S 的外法线方向. 3. 证明 公式 ???V r dx dydz =()??S ds n ,r cos 21 其中S 是包围V 的曲面,n 为S 的外法线方向. r=222z y x ++,r=(x,y,z). 4.证明: 场A=()(z y x 2yz ++,()z y 2x zs ++, ())z 2y x x y ++是有势场并求其势函数. 二、计算题 1.计算下列第一型曲面积分: (1) ()??++S ds z y x ,其中S 为上半球面 222z y x ++=2a 0z ≥; (2) () ??+S 22ds y x ,其中S 为主体1z y x 22≤≤+的边界曲面; (3) ?? +S 22ds y x 1,其中S 为柱面222R y x =+被平面Z=0,Z=H 所截取的P 分; (4) ??S xyzds ,其中S 为平面在第一卦限中的部分.
2.计算??S 2ds z ,其中S 为圆锥表面的一部分. S:?? ???θ=θ?=θ?=cos r z sin sin r y sin cos r x D:???π≤?≤≤≤20a r 0 这里θ为常数(0<θ<2 π). 3.计算下列第二型曲面积分 (1) ()?? -S dydz z x y +dzdx x 2+()dx dy x z y 2+,其中S 为x=y=z=0,x=y=z=a 平成所围成的正方体并取处侧为正向; (2)()()()??+++++S dxdy x z dzdx z y dydz y x ,其中S 是以原点中心,边长为2的正方体 表面并取外侧正向; (3)??++S zxdxdy yzdzdx xydydz ,其中S 是由平面x=y=z=0和x+y+z=1所围的四面体 表面并取外侧为正向; (4) ??S yzdzdx ,其中S 是球面,222z y x ++=1的上半部分并取外侧为正向; (5)?? ++S 222dxdy z dzdx y dydz x ,其中S 是球面()2a x - +()2b y -+()2c x -=R 2并取外侧为正向. 4.设某流体的流速为V=(x,y,0),求单位时间内从球面x 2+y 2 +z 2=4的内部流过球面的流量 5.计算第二型曲面积分 I=()??S dydz x f +()dzdx y g +()dx dy z h 其中S 是平行分面体(a x 0≤≤,b y 0≤≤,c z 0≤≤)表面并取外侧,f(x),g(y),h(z)为S 上的连续函数, 6.设磁场强度为E(x,y,z),求从球内出发通过上半球面x 2+y 2 +z 2=a 2,z=0的磁通量, 7.应用高斯公式计算下列曲面积分: (1) ??++S sydxdy zxdzds yzdydz ,其中S 为单位球面x 2+y 2+z 2=1的外侧; (2) ??++S 222dxdy z dzds y dydz x ,其中S 是立方体≤0x,y,z a ≤的表面取外侧; (3) ??++S 222dxdy z dzds y dydz x ,其中S 为锥面x 2+y 2 =z 2与平面z=h 所围的空间区域(h z 0≤≤)的表面方向取外侧; (4) ??++S 332dxdy z dzds y dydz x ,其中S 是单位球面x 2+y 2+z 2=1的外侧; (5) ??++S dxdy 2ydzds xdydz ,其中S 为上半球面Z=222y x a --的外侧.
数学分析课后习题答案(华东师范大学版)
习题 1．验证下列等式 （1） C x f dx x f +='?)()( （2）?+=C x f x df )()( 证明 （1）因为)(x f 是)(x f '的一个原函数，所以?+='C x f dx x f )()(. （2）因为C u du +=?, 所以? +=C x f x df )()(. 2．求一曲线)(x f y =, 使得在曲线上每一点),(y x 处的切线斜率为x 2, 且通过点 )5,2(. 解 由导数的几何意义, 知x x f 2)(=', 所以C x xdx dx x f x f +=='= ??22)()(. 于是知曲线为C x y +=2 , 再由条件“曲线通过点)5,2(”知，当2=x 时，5=y , 所以 有 C +=2 25, 解得1=C , 从而所求曲线为12 +=x y 3．验证x x y sgn 2 2 =是||x 在),(∞+-∞上的一个原函数. 证明 当0>x 时, 22x y =, x y ='; 当0数学分析 上册 第三版 华东师范大学数学系 编
数学分析 上册 第三版 华东师范大学数学系 编 部分习题参考解答 P.4 习题 1．设a 为有理数，x 为无理数，证明： （1）a + x 是无理数； （2）当0≠a 时，ax 是无理数。 证明 （1）（反证）假设a + x 是有理数，则由有理数对减法的封闭性，知 x = a +x – a 是有理数。这与题设“x 为无理数”矛盾，故a + x 是无理数。 （2）假设ax 是有理数，于是a ax x =是有理数，这与题设“x 为无理数”矛盾，故 ax 是无理数。 3．设R b a ∈,，证明：若对任何正数ε有ε<-||b a ，则 a = b 。 证明 由题设，对任何正数ε有0||+<-εb a ，再由教材P .3 例2，可得0||≤-b a ，于是0||=-b a ，从而 a = b 。 另证 （反证）假设0||>-b a ，由实数的稠密性，存在 r 使得0||>>-r b a 。这与题设“对任何正数ε有ε<-||b a ”矛盾，于是0||=-b a ，从而 a = b 。 5．证明：对任何R x ∈有 （1）1|2||1|≥-+-x x ； （2）2|3||2||1|≥-+-+-x x x 证明 （1）|2||1||)2()1(|1-+-≤-+-=x x x x （2）因为|2||1||1||)3(2||3|2-+-≤-=--≤--x x x x x ， 所以2|3||2||1|≥-+-+-x x x 6．设+ ∈R c b a ,,证明|||| 2 22 2c b c a b a -≤+-+ 证明 建立坐标系如图，在三角形OAC 中，OA 的长度是2 2 b a +，OC 的长度是2 2 c a +， AC 的长度为||c b -。因为三角形两边的差 大于第三边，所以有
数学分析课本(华师大三版)-习题及答案第六章
数学分析课本(华师大三版)-习题及答案第六章
第六章 微分中值定理及其应用 一、 填空题 1．若0,0>>b a 均为常数，则=??? ? ? ?+→x x x x b a 3 2 lim ________。 2．若2 1 sin cos 1lim 0 =-+→x x b x a x ，则=a ______，=b ______。 3．曲线x e y =在0=x 点处的曲率半径=R _________。 4．设2442 -+=x x y ，则曲线在拐点处的切线方程为 ___________。 5．= -+→x e x x x 10 )1(lim ___________。 6．设) 4)(1()(2 --=x x x x f ，则0)(='x f 有_________个根， 它们分别位于________ 区间； 7．函数x x x f ln )(=在[]2,1上满足拉格朗日定理条件的 __________=ξ； 8．函数3 )(x x f =与2 1)(x x g +=在区间[]2,0上满足柯西定 理条件的_____=ξ； 9．函数x y sin =在[]2,0上满足拉格朗日中值定理条件的____=ξ； 10．函数 2 )(x e x f x =的单调减区间是__________； 11．函数x x y 33 -=的极大值点是______，极大值是
_______。 12．设x xe x f =)(，则函数) () (x f n 在=x _______处取得 极小值_________。 13．已知bx ax x x f ++=23 )(，在1=x 处取得极小值2-， 则=a _______，=b _____。 14．曲线2 2)3(-=x k y 在拐点处的法线通过原点，则 =k ________。 15．设)2,1()1()(Λ=-?=n x n x f n ，n M 是)(x f 在[]1,0上的最 大值，则=∞ →n n M lim ___________。 16．设)(x f 在0 x 可导，则0)(0 ='x f 是)(x f 在点0 x 处取得 极值的______条件； 17．函数x bx x a x f ++=2 ln )(在1=x 及2=x 取得极值，则 ___ ___,==b a ； 18. 函数 3 2 2 3 )(x x x f -=的极小值是_________; 19．函数x x x f ln )(=的单调增区间为__________； 20. 函数x x x f cos 2)(+=在?? ??? ?2,0π上的最大值为______， 最小值为_____； 21. 设点 ) 2,1(是曲线 b a x y +-=3)(的拐点,则 ______ _____,==b a ; 22. 曲线x e y =的下凹区间为_______,曲线的拐点为
华东师大数学分析答案
第四章 函数的连续性 第一 连续性概念 1．按定义证明下列函数在其定义域内连续： （1） x x f 1 )(= ； （2）x x f =)(。 证：（1）x x f 1 )(=的定义域为 ),0()0,(+∞-∞=D ，当D x x ∈0,时，有 001 1x x x x x x -=- 由三角不等式可得：00x x x x --≥ ， 故当00x x x <-时，有 02 01 1x x x x x x x x ---≤- 对任意给的正数ε，取,010 2 0>+= x x εεδ则0x <δ，当 D x ∈ 且δ<-0x x 时， 有 ε<-= -0 011)()(x x x f x f 可见 )(x f 在0x 连续，由0x 的任意性知：)(x f 在其定义域内连续。 (2) x x f =)(的定义域为),,(+∞-∞对任何的),(0+∞-∞∈x ，由于 00x x x x -≤-，从而对任给正数ε，取εδ=，当δ<-0x x 时， 有 =-)()(0x f x f 00x x x x -≤-ε< 故 )(x f 在0x 连续，由0x 的任意性知，)(x f 在),(+∞-∞连续。 2．指出函数的间断点及类型： （1）=)(x f x x 1 + ； （2）=)(x f x x sin ； （3）=)(x f ]cos [x ； （4）=)(x f x sgn ； （5）=)(x f )sgn(cos x ； （6）=)(x f ???-为无理数为有理数x x x x ,,；（7）=)(x f ??? ? ???+∞ <<--≤≤--<<∞-+x x x x x x x 1,11 sin )1(17,7 ,71
数学分析教案(华东师大版)第七章实数的完备性
第七章实数的完备性 教学目的： 1.使学生掌握六个基本定理，能准确地加以表述，并深刻理解其实质意义； 2.明确基本定理是数学分析的理论基础，并能应用基本定理证明闭区间上连续函数的基本性质和一些有关命题，从而掌握应用基本定理进行分析论证的能力。 教学重点难点：本章的重点是实数完备性的基本定理的证明；难点是基本定理的应用。 教学时数：14学时 § 1 关于实数集完备性的基本定理（4学时）教学目的： 1.使学生掌握六个基本定理，能准确地加以表述，并深刻理解其实质意义； 2.明确基本定理是数学分析的理论基础。 教学重点难点：实数完备性的基本定理的证明。 一．确界存在定理：回顾确界概念． Th 1 非空有上界数集必有上确界；非空有下界数集必有下确界 . 二.单调有界原理: 回顾单调和有界概念 . Th 2 单调有界数列必收敛 .
三.Cantor闭区间套定理 : 区间套: 设是一闭区间序列. 若满足条件 1. ⅰ>对 一个闭区间包含在前一个闭区间中 ; . 即当时区间长度趋于零. ⅱ> 则称该闭区间序列为一个递缩闭区间套,简称为区间套 . 简而言之, 所谓区间套是指一个“闭、缩、套”区间列. 区间套还可表达为: . 我们要提请大家注意的是, 这里涉及两个数列 递增, 递减. 例如和都是区间套. 但、 和都不是. 2.Cantor区间套定理: 是一闭区间套. 则存在唯一的点,使对有 Th 3 设 简言之, 区间套必有唯一公共点. 四． Cauchy收敛准则——数列收敛的充要条件 :
1.基本列 : 回顾基本列概念 . 基本列的直观意义 . 基本列亦称为Cauchy列. 例1验证以下两数列为Cauchy列 : ⑴ . ⑵ . 解⑴ ; ，为使，易见只要 . 对 于是取 ⑵ . 当 为偶数时 , 注意到上式绝对值符号内有偶数项和下式每个括号均为正号 , 有 ,
最新华东师范大学数学分析试题
华东师范大学2004数学分析试题
华东师范大学2004数学分析 一、（30分）计算题。 1、求21 2 0)2(cos lim x x x x -→ 2、若)),sin(arctan 2ln x x e y x +=-求'y . 3、求?--dx x xe x 2) 1(. 4、求幂级数∑∞ =1n n nx 的和函数)(x f . 5、L 为过)0,0(O 和)0,2 (π A 的曲线)0(sin >=a x a y ,求?+++L dy y dx y x .)2()(3 xdx a x da dy x a y cos sin ,sin === 6、求曲面积分??++S zdxdy dydz z x )2(,其中)10(,22≤≤+=z y x z ,取上侧. . 二、（30分）判断题（正确的证明，错误的举出反例） 1、若},,2,1,{ =n x n 是互不相等的非无穷大数列，则}{n x 至少存在一个聚点).,(0+∞-∞∈x 2、若)(x f 在),(b a 上连续有界，则)(x f 在),(b a 上一致连续. 3、若)(x f ,)(x g 在]1,0[上可积，则∑?=∞→=-n i n dx x g x f n i g n i f n 1 10)()()1()(1lim . 4、若∑∞=1n n a 收敛，则∑∞=1 2n n a 收敛. 5、若在2R 上定义的函数),(y x f 存在偏导数),(y x f x ,),(y x f y 且),(y x f x ,),(y x f y 在(0,0)上连续，则),(y x f 在(0,0)上可微. 6、),(y x f 在2R 上连续,})()(|),{(),(2202000r y y x x y x y x D r ≤-+-= 若??=>??r D dxdy y x f r y x ,0),(,0),,(00 则.),(,0),(2R y x y x f ∈=
数学分析教案-(华东师大版)第六章-微分中值定理及其应用
第六章微分中值定理及其应用 教学目的： 1.掌握微分学中值定理，领会其实质，为微分学的应用打好坚实的理论基 础； 2.熟练掌握洛比塔法则，会正确应用它求某些不定式的极限； 3.掌握泰勒公式，并能应用它解决一些有关的问题； 4.使学生掌握运用导数研究函数在区间上整体性态的理论依据和方法，能根据函数的整体性态较为准确地描绘函数的图象； 5.会求函数的最大值、最小值，了解牛顿切线法。 教学重点、难点： 本章的重点是中值定理和泰勒公式，利用导数研究函数单调性、极值与凸性；难点是用辅助函数解决问题的方法。 教学时数：14学时 § 1 中值定理（4学时） 教学目的：掌握微分学中值定理，领会其实质，为微分学的应用打下坚实的理论基础。 教学要求：深刻理解中值定理及其分析意义与几何意义，掌握三个定理的证明方法，知道三者之间的包含关系。 教学重点：中值定理。 教学难点：定理的证明。 教学难点：系统讲解法。
一、引入新课： 通过复习数学中的“导数”与物理上的“速度”、几何上的“切线”之联系，引导学生从直觉上感到导数是一个非常重要而有用的数学概念。在学生掌 握了“如何求函数的导数”的前提下，自然提出另外一个基本问题：导数有什 么用？俗话说得好：工欲善其事，必先利其器。因此，我们首先要磨锋利导数 的刀刃。我们要问：若函数可导，则它应该有什么特性？由此引入新课——第 六章微分中值定理及其应用§1 拉格朗日定理和函数的单调性（板书课题） 二、讲授新课： （一）极值概念： 1．极值：图解，定义 ( 区分一般极值和严格极值. ) 2.可微极值点的必要条件: Th ( Fermat ) ( 证 ) 函数的稳定点, 稳定点的求法. （二）微分中值定理: 1. Rolle中值定理: 叙述为Th1.( 证 )定理条件的充分但不必要性. https://www.doczj.com/doc/135700407.html,grange中值定理: 叙述为Th2. ( 证 ) 图解 . 用分析方法引进辅助函数, 证明定理.用几何直观引进辅助函数的方法参 阅[1]P157. Lagrange中值定理的各种形式. 关于中值点的位置. 推论1 函数在区间I上可导且为I上的常值函数. (证)
数学分析课本(华师大三版)-习题及答案第二十一章
第十一章 重积分 §1 二重积分的概念 1.把重积分 ??D xydxdy 作为积分和的极限,计算这个积分值,其中D=[][]1,01,0?,并用直线网x=n i ,y=n j (i,j=1,2,…,n-1)分割这个正方形为许多小正方形,每一小正方形取其右上顶点为其界点. 2.证明:若函数f 在矩形式域上D 可积,则f 在D 上有界. 3.证明定理:若f 在矩形区域D 上连续,则f 在D 上可积. 4.设D 为矩形区域,试证明二重积分性质2、4和7. 性质2 若f 、g 都在D 上可积,则f+g 在D 上也可积,且 ()?+D g f =??+D D g f . 性质4 若f 、g 在D 上可积,且g f ≤,则 ??≤D D g f , 性质7(中值定理) 若f 为闭域D 上连续函数,则存在()D ,∈ηξ,使得 ()D ,f f D ?ηξ=?. 5.设D 0、D 1和D 2均为矩形区域,且 210D D D Y =,?=11D int D int I , 试证二重积分性质3. 性质3(区域可加性) 若210D D D Y =且11D int D int I ?=,则f 在D 0上可积的充要条件是f 在D 1、D 2上都可积,且 ?0D f =??+2 1D D f f , 6.设f 在可求面积的区域D 上连续,证明: (1)若在D 上()0y ,x f ≥,()0y ,x f ≠则0f D >?; (2)若在D 内任一子区域D D ?'上都有 ?' =D 0f ,则在D 上()0y ,x f ≡。 .
7.证明:若f 在可求面积的有界闭域D 上连续,,g 在D 上可积且不变号,则存在一点()D ,∈ηξ,使得 ()()??D dxdy y ,x g y ,x f =()ηξ,f ()??D dxdy y ,x g . 8.应用中值定理估计积分 ?? ≤-++10y x 22y cos x cos 100dxdy 的值 §2 二重积分的计算 1.计算下列二重积分: (1)()??-D dxdy x 2y ,其中D=[][]2,15,3?; (2) ??D 2dxdy xy ,其中(ⅰ)D=[][]3,02,0?,(ⅱ)D=[]3,0 []2,0?; (3)()??+D dxdy y x cos ,其中D=[]π???????π,02,0; (4) ??+D dx dy x y 1x ,其中D=[][]1,01,0?. 2. 设f(x,y)=()()y f x f 21?为定义在D=[]?11b ,a []22b ,a 上的函数,若1f 在[]11b ,a 上可积,2f 在[]22b ,a 上可积,则f 在D 上可积,且 ?D f =???1122 b a b a 21f f .
数学分析(华东师大版)第三章习题详解
P 47 1.按定义证明： （1）65lim 6;x x x →+∞+= (2)2 2 lim (610)2;x x x →-+= (3) 2 2 5lim 1;1 x x x →∞ -=- (4)2 lim 0;x - →= (5)0 0lim cos cos .x x x x →= 证: （1） 不妨设0,x >则 6556.x x x +-= 0,ε?>取5 ,M ε = 则当x M >时， 有6556, x x x ε+-= <故65lim 6.x x x →+∞ += (2)22|(610)2||68||4||2|.x x x x x x -+-=-+=--限制|2|1,x -<则 |4||(2)2||2|23,x x x -=--≤-+< 进而有 2 |(610)2|3|2|.x x x -+-<- 0,m in{1,},:0|2|3 x x ε εδδ?>?=?<-<有2 |(610)2|.x x ε-+-<故得证. (3)2 2 22 2 2 54488 ||2, 1| |.1 1 || 2 x x x x x x x x ->-= <= < --- 当时8 0,m ax{2,},||M x M εε?>?=>当时有 2 2 51,1 x x ε--<-故得证. (4) 当021x <-<时有12,x <<进而 20(2)(2)4(2),x x x == ≤+-<- 对于0,ε?>取,4 ε δ= 当02x δ<-<时，有 0,ε< 所以2 lim 0.x - →= (5) 001|cos cos |sin sin ||,22 2 x x x x x x x x +--=- ≤- (1)
华东师大数学分析试题
华东师大2019年数学分析试题 一、（24分）计算题： （1） 求011lim()ln(1)x x x →-+； （2） 求32cos sin 1cos x x dx x +?g （3） 设(,)z z x y =是由方程222(,)0F xyz x y z ++=所确定的可微隐函数， 试求grad z 。 二、（14分）证明： （1）11(1)n n +??+???? 为递减数列： （2） 111ln(1),1,21n n n n <+<=+???? 一般说来，“教师”概念之形成经历了十分漫长的历史。杨士勋（唐初学者，四门博士）《春秋谷梁传疏》曰：“师者教人以不及，故谓师为师资也”。这儿的“师资”，其实就是先秦而后历代对教师的别称之 一。《韩非子》也有云：“今有不才之子……师长教之弗为变”其“师长”当然也指教师。这儿的“师资”和“师长”可称为“教师”概念的雏形，但仍说不上是名副其实的“教师”，因为“教师”必须要有明确的传授知识的对象和本身明确的职责。三、（12分）设f(x)在[],a b 中任意两点之间都具有介质性，而且f 在（a ，b ）内可导， '()f x K ≤ （K 为正常数） ，(,)x a b ∈ 证明：f 在点a 右连续，在点b 左连续。 四、（14分）设1 20(1)n n I x dx =-?，证明： 五、（12分）设S 为一旋转曲面，它由光滑曲线段
绕x 轴曲线旋转而成，试用二重积分计算曲面面积的方法，导出S 的面积公式为： 2(b a A f x π=? 六、（24分）级数问题： （1） 其实，任何一门学科都离不开死记硬背，关键是记忆有技巧， “死记”之后会“活用”。不记住那些基础知识，怎么会向高层次进军?尤其是语文学科涉猎的范围很广，要真正提高学生的写作水平，单靠分析文章的写作技巧是远远不够的，必须从基础知识抓起，每天挤一点时间让学生“死记”名篇佳句、名言警句，以及丰富的词语、新颖的材料等。这样，就会在有限的时间、空间里给学生的脑海里注入无限的内容。日积月累，积少成多，从而收到水滴石穿，绳锯木断的功效。设 sin ,01,0()x x x x f x ≠=?=??{}[]() x a,b ()()11()()n n n f x f x f x f x f x ∈? ?，求 ()(0),1,2,k f k =L （2） 宋以后，京师所设小学馆和武学堂中的教师称谓皆称之为“教 谕”。至元明清之县学一律循之不变。明朝入选翰林院的进士之师称“教习”。到清末，学堂兴起，各科教师仍沿用“教习”一称。其实“教谕”在明清时还有学官一意，即主管县一级的教育生员。而相应府和州掌管教育生员者则谓“教授”和“学正”。“教授”“学正”和“教谕”的副手一律称“训导”。于民间，特别是汉代以后，对于在“校”或“学”中传授经学者也称为“经师”。在一些特定的讲学场合，比如书院、皇室，也称教师
数学分析课本(华师大三版)-习题及答案10
习 题 十 1. 求下列曲线所围图形的面积． (1) y x x x y = ===1 14，，，0=； (2) 轴； y x y y ==3 8，， (3) ； y e y e x x x ==?，，1 (4) y x y x x ===lg .，，，001=10； (5) x y y x ==2 380，，=1； (6) y x y y x y =+===14，，，；3 (7) ； y x x y 2 24=?=， (8) ． x y y x =?=2 10()， 2. 求抛物线以及在点y x x =?+?2 4(,)03?和处的切线所围图形的面积． (,)30 3. 设曲线与直线y x x =?2y ax =，求参数，使该曲线与直线围图形面积为 a 92 ． 4. 曲线与相交于原点和点f x x ()=2 g x cx c ()=>3 0（）(,)11 2 c c ，求的值，使位于区间c [,01 c 上，两曲线所围图形的面积等于 23． 5. 求星形线所围图形的面积（a ）． x a t y a t t ==?????≤≤cos sin 3 3 02 （）π>0 6. 求下列极坐标方程所表曲线所围成的图形的面积． (1) 三叶玫瑰线r =83sin θ； (2) 心形线r =?31(sin )θ； (3) r =+1sin θ与r =1； (4) r =2与r =4cos θ． 7. 证明：球的半径为R 、高为的球冠的体积公式为： h V h R = ?13 32 π()h
8. 计算圆柱面与所围立体（部分）的体积． x y a 22+=2 2 x z z ==，0z ≥0 9. 计算两个柱面与所围立体的体积． x y a 2 2 +=222a z x =+ 10. 计算四棱台的体积．四棱台的上底面是边长为与b 的矩形，下底面是边长为与a A B 的矩形，高为． h 11. 求下列曲线围成的图形绕x 轴旋转所得旋转体的体积． (1) ； y x x =≤sin () 0π≤；(2) y x x y ===2 20，，(3) y x y x == 2，； (4) ； y x x e =≤ln () 1≤3 (5) ． y x y x ==2 2 ， 12. 求y x =，x 轴和x =4所围图形分别绕x 、y 轴旋转所得旋转体的体 积． 13. 求曲线与曲线所围图形的面积．并将此图形绕y x x =?3 2y x =2 y 轴旋转，求所得旋转体的体积． 14. 求下列曲线的弧长． (1) ； y x x 2301=≤，()≤ (2) y x x =≤≤ln ()，38； (3) x y y y = ?≤≤141 2 12ln ()，e ； (4) r a a =>≤≤θθ ，()003； (5) r a =≤sin ()3 3 03≤θ θπ，； (6) ． x a t t t y a t t t t =+=?≤≤(cos sin )(sin cos )()，，02π 15. 计算曲线：的质量中心（线密度x y a y 2 2 20+=≥ ()ρ为常数）． 16. 计算星形线：在第一象限的质量中心（线密 度x a y a ==cos sin 3 θ，3 θρ为常数） ． 17. 计算下列曲线所围图形的质量中心． (1) ax ； y ay x a ==>2 2 0， () (2) x a y b x a y b 222 2100+=≤≤≤≤，，()； (3) 轴，()y a x x =sin ，01≤≤x ； 18. 若1公斤的力能使弹簧伸长1厘米，问把弹簧伸长10厘米要作多少功？ 19. 物体按规律x ct =3 （c ）做直线运动，设介质阻力与速度的平方成正比，求物体从.>0x =0到x a =时，阻力所作的功． 20. 一圆台形的水池，深15厘米，上下口半径分别为20厘米和10厘米，
数学分析-上册--第三版-华东师范大学数学系-编
数学分析-上册--第三版-华东师范大学数学系-编
数学分析 上册 第三版 华东师范大学数学系 编 部分习题参考解答 P.4 习题 1．设a 为有理数，x 为无理数，证明： （1）a + x 是无理数； （2）当0≠a 时，ax 是无理数。 证明 （1）（反证）假设a + x 是有理数，则由有理数对减法的封闭性，知 x = a +x – a 是有理数。这与题设“x 为无理数”矛盾，故a + x 是无理数。 （2）假设ax 是有理数，于是a ax x =是有理数，这与题设“x 为无理数”矛盾，故ax 是无理数。 3．设R b a ∈,，证明：若对任何正数ε有ε<-||b a ，则 a = b 。 证明 由题设，对任何正数ε有0||+<-εb a ，
1 再由教材P.3 例2，可得0||≤-b a ，于是0||=-b a ，从而 a = b 。 另证 （反证）假设0||>-b a ，由实数的稠密性，存在 r 使得0||>>-r b a 。这与题设“对任何正数ε有ε<-||b a ”矛盾，于是0||=-b a ，从而 a = b 。 5．证明：对任何R x ∈有 （1）1|2||1|≥-+-x x ； （2）2|3||2||1|≥-+-+-x x x 证明 （1）|2||1||)2()1(|1-+-≤-+-=x x x x （2）因为|2||1||1||)3(2||3|2-+-≤-=--≤--x x x x x ， 所以2|3||2||1|≥-+-+-x x x 6．设+ ∈R c b a ,,证明| ||| 2222c b c a b a -≤+-+ 证明 建立坐标系如图，在三角形OAC 中，OA 的长度是 2 2b a +，OC 的长度是2 2c a +， a c b ) ,(b a A ) ,(c a C x y O
数学分析教案华东师大第三版
§6 重积分的应用 (一) 教学目的：学会用重积分计算曲面的面积，物体的重心，转动惯量与引力． (二) 教学内容： 曲面面积的计算公式；物体重心的计算公式；转动惯量的计算公式；引力的计算公式． 基本要求：掌握曲面面积的计算公式，了解物体重心的计算公式，转动惯量的计算公式 和引力的计算公式． (三) 教学建议： 要求学生必须掌握曲面面积的计算公式，物体重心的计算公式，转动惯量的计算公式和引力的计算公式，并且布置这方面的的习题． ________________________________________ 一 曲面的大面积 设D 为可求面积的平面有界区域函数在D 上具有连续一阶偏导数，讨论由方程 D y x y x f z ∈=),(,),( 所确定的曲面S 的面积i σ? ==i i i i 1 1当 0||||→T 时，可用和式∑=?n i i A 1的极限作为S 的面积 首先计算i A ?的面积，由于切平面的法线向量就是曲面S 在),,(i i i i M ζηξ处的法线向量，记它与z 轴的夹角为i γ，则
),(),(11 cos 22 i i y i i x i f f ηξηξγ++= i i i y i i x i i i f f A σηξηξγσ?++=?= ?),(),(1cos 22 ∑∑==?++=?n i i i i y i i x n i i f f A 1 221),(),(1σηξηξ 是连续函数),(),(122i i y i i x f f ηξηξ++在有界闭域上的积分和，所以当0||||→T 时，就得 到 ∑=→?++=?n i i i i y i i x T f f S 1220||||),(),(1lim σηξηξ dxdy y x f y x f D i i y i i x ??++=),(),(122 或 ∑??=→=?=?n i D i i T z n dxdy S 10|||||),cos(||)cos |lim γσ 例 1 求圆锥 22y x z += 在圆柱体 x y x ≤+22内那一部分的面积 解 dxdy y x z y x z S D i i y i i x ??++= ?),(),(122 x y x D ≤+22: 所求曲面方程为 ?+= 22y x z 2222,y x y z y x x z y x +=+=
